Persamaan trigonometri bukanlah topik yang paling mudah. Menyakitkan mereka beragam.) Misalnya, ini:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Dll...

Tetapi monster trigonometri ini (dan semua lainnya) memiliki dua fitur umum dan wajib. Pertama - Anda tidak akan percaya - ada fungsi trigonometri dalam persamaan.) Kedua: semua ekspresi dengan x adalah dalam fungsi yang sama ini. Dan hanya di sana! Jika x muncul di suatu tempat di luar, Sebagai contoh, sin2x + 3x = 3, ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu membutuhkan pendekatan individual. Di sini kami tidak akan mempertimbangkannya.

Kami juga tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini.) Di sini kita akan berurusan dengan persamaan trigonometri paling sederhana. Mengapa? Ya, karena keputusan setiap persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama, persamaan jahat direduksi menjadi persamaan sederhana dengan berbagai transformasi. Pada yang kedua - persamaan paling sederhana ini diselesaikan. Tidak ada jalan lain.

Jadi, jika Anda memiliki masalah di tahap kedua, tahap pertama tidak masuk akal.)

Seperti apa persamaan trigonometri dasar?

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

Di Sini sebuah singkatan dari nomor berapa pun. Setiap.

Omong-omong, di dalam fungsi mungkin tidak ada x murni, tetapi beberapa jenis ekspresi, seperti:

cos(3x+π/3) = 1/2

dll. Ini memperumit hidup, tetapi tidak mempengaruhi metode penyelesaian persamaan trigonometri.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri?

Persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logika dan trigonometri lingkaran. Kami akan menjelajahi jalan ini di sini. Cara kedua - menggunakan memori dan rumus - akan dibahas dalam pelajaran berikutnya.

Cara pertama jelas, andal, dan sulit dilupakan.) Cara ini bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, pertidaksamaan, dan segala macam contoh rumit yang tidak standar. Logika lebih kuat dari ingatan!

Kami memecahkan persamaan menggunakan lingkaran trigonometri.

Kami menyertakan logika dasar dan kemampuan menggunakan lingkaran trigonometri. Tidak bisakah kamu!? Namun... Akan sulit bagimu dalam trigonometri...) Tapi itu tidak masalah. Lihatlah pelajaran "Lingkaran trigonometri ...... Apa itu?" dan "Menghitung sudut pada lingkaran trigonometri." Semuanya sederhana di sana. Tidak seperti buku teks ...)

Ah, kau tahu!? Dan bahkan menguasai "Pekerjaan praktis dengan lingkaran trigonometri"!? Terima ucapan selamat. Topik ini akan dekat dan dapat dimengerti oleh Anda.) Yang sangat menyenangkan adalah bahwa lingkaran trigonometri tidak peduli persamaan mana yang Anda pecahkan. Sinus, kosinus, tangen, kotangen - semuanya sama untuknya. Prinsip penyelesaiannya sama.

Jadi kami mengambil persamaan trigonometri dasar. Setidaknya ini:

cos = 0,5

Saya harus menemukan X. Berbicara dalam bahasa manusia, Anda perlu tentukan sudut (x) yang cosinusnya 0,5

Bagaimana kita menggunakan lingkaran sebelumnya? Kami menggambar sudut di atasnya. Dalam derajat atau radian. Dan segera terlihat fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya. Gambarlah cosinus sama dengan 0,5 pada lingkaran dan segera kita lihat saja nanti injeksi. Tinggal menuliskan jawabannya.) Ya, ya!

Kami menggambar lingkaran dan menandai kosinus sama dengan 0,5. Pada sumbu kosinus, tentu saja. Seperti ini:

Sekarang mari kita menggambar sudut yang diberikan kosinus ini kepada kita. Arahkan mouse Anda ke atas gambar (atau sentuh gambar di tablet), dan Lihat sudut yang sama ini X.

Sudut manakah yang memiliki cosinus 0,5?

x \u003d / 3

karena 60 °= kos( /3) = 0,5

Beberapa orang akan mendengus skeptis, ya... Mereka berkata, apakah layak untuk memagari lingkaran, ketika semuanya sudah jelas... Anda tentu saja bisa, mendengus...) Tetapi kenyataannya adalah bahwa ini adalah kesalahan menjawab. Atau lebih tepatnya, tidak memadai. Penikmat lingkaran memahami bahwa masih ada sejumlah besar sudut yang juga memberikan cosinus sama dengan 0,5.

Jika Anda memutar sisi bergerak OA untuk putaran penuh, titik A akan kembali ke posisi semula. Dengan cosinus yang sama sama dengan 0,5. Itu. sudutnya akan berubah 360° atau 2π radian, dan kosinus tidak. Sudut baru 60° + 360° = 420° juga akan menjadi solusi persamaan kita, karena

Ada tak terhingga jumlah rotasi penuh seperti itu... Dan semua sudut baru ini akan menjadi solusi persamaan trigonometri kita. Dan mereka semua perlu ditulis entah bagaimana. Semua. Kalau tidak, keputusan tidak dipertimbangkan, ya ...)

Matematika dapat melakukan ini dengan sederhana dan elegan. Dalam satu jawaban singkat, tuliskan set tak terbatas solusi. Inilah yang tampak seperti untuk persamaan kami:

x = /3 + 2π n, n Z

saya akan menguraikan. masih menulis dengan penuh arti lebih baik daripada dengan bodoh menggambar beberapa huruf misterius, kan?)

/3 adalah sudut yang sama dengan kita gergaji pada lingkaran dan teridentifikasi menurut tabel cosinus.

2π adalah satu putaran penuh dalam radian.

n - ini adalah jumlah yang lengkap, mis. utuh revolusi. Jelas bahwa n bisa 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri singkat:

n Z

n milik ( ∈ ) ke himpunan bilangan bulat ( Z ). Ngomong-ngomong, alih-alih surat n huruf dapat digunakan k, m, t dll.

Notasi ini berarti bahwa Anda dapat mengambil bilangan bulat apa pun n . Setidaknya -3, setidaknya 0, setidaknya +55. Apa yang kamu inginkan. Jika Anda memasukkan nomor itu ke entri jawaban Anda, Anda mendapatkan sudut tertentu, yang pasti akan menjadi solusi untuk persamaan kasar kami.)

Atau dengan kata lain, x \u003d / 3 adalah satu-satunya akar dari himpunan tak hingga. Untuk mendapatkan semua akar lainnya, cukup dengan menambahkan sejumlah putaran penuh ke / 3 ( n ) dalam radian. Itu. 2πn radian.

Semuanya? Tidak. Saya secara khusus meregangkan kesenangan. Untuk mengingat lebih baik.) Kami hanya menerima sebagian dari jawaban persamaan kami. Saya akan menulis bagian pertama dari solusi ini sebagai berikut:

x 1 = /3 + 2π n, n Z

x 1 - bukan satu akar, itu adalah seluruh rangkaian akar, ditulis dalam bentuk pendek.

Tetapi ada sudut lain yang juga memberikan cosinus sama dengan 0,5!

Mari kita kembali ke gambar kita, yang dengannya kita menuliskan jawabannya. Ini dia:

Gerakkan mouse ke atas gambar dan Lihat sudut lain itu juga memberikan cosinus 0,5. Apa yang Anda pikir itu sama? Segitiganya sama... Ya! Itu sama dengan sudut X , hanya diplot ke arah negatif. Ini sudutnya -X. Tapi kita sudah menghitung x. /3 atau 60 °. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menulis:

x 2 \u003d - / 3

Dan, tentu saja, kami menambahkan semua sudut yang diperoleh melalui putaran penuh:

x 2 = - /3 + 2π n, n Z

Itu saja sekarang.) Dalam lingkaran trigonometri, kita gergaji(siapa yang mengerti, tentu saja)) semua sudut yang memberikan cosinus sama dengan 0,5. Dan mereka menuliskan sudut-sudut ini dalam bentuk matematika singkat. Jawabannya adalah dua rangkaian akar tak terhingga:

x 1 = /3 + 2π n, n Z

x 2 = - /3 + 2π n, n Z

Ini adalah jawaban yang benar.

Harapan, prinsip umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan bantuan lingkaran bisa dimengerti. Kami menandai kosinus (sinus, tangen, kotangen) dari persamaan yang diberikan pada lingkaran, menggambar sudut yang sesuai dan menuliskan jawabannya. Tentu saja, Anda perlu mencari tahu sudut seperti apa kami gergaji pada lingkaran. Terkadang tidak begitu jelas. Yah, seperti yang saya katakan, logika diperlukan di sini.)

Sebagai contoh, mari kita analisis persamaan trigonometri lainnya:

Harap dicatat bahwa angka 0,5 bukan satu-satunya angka yang mungkin dalam persamaan!) Hanya saja lebih mudah bagi saya untuk menulisnya daripada akar dan pecahan.

Kami bekerja sesuai dengan prinsip umum. Kami menggambar lingkaran, tandai (pada sumbu sinus, tentu saja!) 0,5. Kami menggambar sekaligus semua sudut yang sesuai dengan sinus ini. Kami mendapatkan gambar ini:

Mari kita berurusan dengan sudut pertama. X pada kuartal pertama. Kami mengingat tabel sinus dan menentukan nilai sudut ini. Masalahnya sederhana:

x \u003d / 6

Kami mengingat belokan penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, menuliskan rangkaian jawaban pertama:

x 1 = /6 + 2π n, n Z

Setengah pekerjaan selesai. Sekarang kita perlu mendefinisikan sudut kedua... Ini lebih sulit daripada di cosinus, ya ... Tapi logika akan menyelamatkan kita! Cara menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segitiga pada gambar adalah sama, dan sudut merah X sama dengan sudut X . Hanya dihitung dari sudut ke arah negatif. Itu sebabnya warnanya merah.) Dan untuk jawabannya, kita membutuhkan sudut yang diukur dengan benar dari semisumbu positif OX, yaitu. dari sudut 0 derajat.

Arahkan kursor ke atas gambar dan lihat semuanya. Saya menghapus sudut pertama agar tidak memperumit gambar. Sudut yang menarik bagi kami (digambar dengan warna hijau) akan sama dengan:

- x

x kita tahu itu /6 . Jadi sudut kedua adalah:

- /6 = 5π /6

Sekali lagi, kami mengingat penambahan putaran penuh dan menuliskan rangkaian jawaban kedua:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n Z

Itu saja. Jawaban lengkap terdiri dari dua rangkaian akar:

x 1 = /6 + 2π n, n Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n Z

Persamaan dengan tangen dan kotangen dapat dengan mudah diselesaikan menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Kecuali, tentu saja, Anda tahu cara menggambar garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri.

Dalam contoh di atas, saya menggunakan nilai tabular sinus dan cosinus: 0,5. Itu. salah satu makna yang diketahui siswa harus. Sekarang mari kita perluas kemampuan kita untuk semua nilai lainnya. Putuskan, jadi putuskan!)

Jadi, misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri berikut:

Tidak ada nilai kosinus seperti itu dalam tabel pendek. Kami dengan tenang mengabaikan fakta mengerikan ini. Kami menggambar lingkaran, menandai 2/3 pada sumbu kosinus dan menggambar sudut yang sesuai. Kami mendapatkan gambar ini.

Kami memahami, sebagai permulaan, dengan sudut di kuarter pertama. Untuk mengetahui berapa x sama dengan, mereka akan segera menuliskan jawabannya! Kami tidak tahu... Gagal!? Tenang! Matematika tidak membiarkan dirinya sendiri dalam kesulitan! Dia menemukan arc cosinus untuk kasus ini. Tidak tahu? Dengan sia-sia. Cari tahu Ini jauh lebih mudah daripada yang Anda pikirkan. Menurut tautan ini, tidak ada satu pun mantra rumit tentang "fungsi trigonometri terbalik" ... Ini berlebihan dalam topik ini.

Jika Anda tahu, katakan saja pada diri sendiri, "X adalah sudut yang kosinusnya 2/3." Dan segera, murni menurut definisi arccosine, kita dapat menulis:

Kami ingat tentang putaran tambahan dan dengan tenang menuliskan seri pertama akar persamaan trigonometri kami:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n Z

Deret akar kedua juga ditulis hampir secara otomatis, untuk sudut kedua. Semuanya sama, hanya x (arccos 2/3) dengan minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n Z

Dan semua hal! Ini adalah jawaban yang benar. Bahkan lebih mudah daripada dengan nilai tabel. Anda tidak perlu mengingat apa pun.) Omong-omong, yang paling perhatian akan melihat bahwa gambar ini dengan solusi melalui busur kosinus pada dasarnya tidak berbeda dengan gambar untuk persamaan cosx = 0,5.

Tepat! Prinsip umum tentang itu dan umum! Saya secara khusus menggambar dua gambar yang hampir identik. Lingkaran menunjukkan sudut X oleh kosinusnya. Ini adalah kosinus tabular, atau tidak - lingkaran tidak tahu. Sudut macam apa ini, / 3, atau jenis busur kosinus apa yang harus kita putuskan.

Dengan sinus lagu yang sama. Sebagai contoh:

Sekali lagi kita menggambar lingkaran, tandai sinus sama dengan 1/3, gambar sudutnya. Ternyata gambar ini:

Dan lagi gambarnya hampir sama dengan persamaannya sinx = 0,5. Lagi-lagi kami memulai dari sepak pojok di kuarter pertama. Berapa x sama dengan jika sinusnya 1/3? Tidak masalah!

Jadi paket akar pertama sudah siap:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n Z

Mari kita lihat sudut kedua. Dalam contoh dengan nilai tabel 0,5, itu sama dengan:

- x

Jadi di sini akan persis sama! Hanya x yang berbeda, arcsin 1/3. Terus!? Anda dapat dengan aman menulis paket root kedua:

x 2 = - arcsin 1/3 + 2π n, n Z

Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar. Meskipun tidak terlihat sangat akrab. Tapi itu bisa dimengerti, saya harap.)

Ini adalah bagaimana persamaan trigonometri diselesaikan menggunakan lingkaran. Jalan ini jelas dan dapat dimengerti. Dialah yang menyimpan dalam persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada interval tertentu, dalam ketidaksetaraan trigonometri - mereka umumnya diselesaikan hampir selalu dalam lingkaran. Singkatnya, dalam tugas apa pun yang sedikit lebih rumit daripada tugas standar.

Mempraktikkan pengetahuan?

Memecahkan persamaan trigonometri:

Pada awalnya lebih sederhana, langsung pada pelajaran ini.

Sekarang lebih sulit.

Petunjuk: di sini Anda harus memikirkan lingkaran. Sendiri.)

Dan sekarang secara lahiriah bersahaja ... Mereka juga disebut kasus khusus.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Petunjuk: di sini Anda perlu mencari tahu dalam lingkaran di mana ada dua rangkaian jawaban, dan di mana ada satu ... Dan bagaimana menuliskan satu, bukan dua rangkaian jawaban. Ya, agar tidak ada satu akar pun dari jumlah tak terbatas yang hilang!)

Yah, cukup sederhana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Petunjuk: di sini Anda perlu tahu apa itu arcsine, arccosine? Apa itu tangen busur, tangen busur? Definisi paling sederhana. Tetapi Anda tidak perlu mengingat nilai tabular apa pun!)

Jawabannya, tentu saja, kacau):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n Z
x 2= - arcsin0.3 + 2

Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Baca pelajaran lagi. Hanya dengan penuh pertimbangan(ada kata yang sudah usang...) Dan ikuti tautannya. Tautan utama adalah tentang lingkaran. Tanpa itu dalam trigonometri - cara menyeberang jalan dengan mata tertutup. Terkadang berhasil.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.

• Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Memecahkan persamaan trigonometri akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar.

• Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
• dosa x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Memecahkan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat berbagai posisi x pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
• Contoh 1. sin x = 0,866. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = /3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, yaitu nilainya berulang. Misalnya, periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah n. Jadi jawabannya ditulis seperti ini:
• x1 = /3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Contoh 2 cos x = -1/2. Menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Contoh 3. tg (x - /4) = 0.
• Jawaban: x \u003d / 4 + n.
• Contoh 4. ctg 2x = 1,732.
• Jawaban: x \u003d / 12 + n.

Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Untuk mentransformasi persamaan trigonometri, digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, pengurangan suku homogen, dll.) dan identitas trigonometri.
• Contoh 5. Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Jadi, persamaan dasar trigonometri berikut perlu dipecahkan: cos x = 0; dosa(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui.

  • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara menemukan sudut dari nilai fungsi yang diketahui. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
  • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga sama dengan 0,732.

• Sisihkan solusi pada lingkaran satuan.

  • Anda dapat menempatkan solusi untuk persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul poligon beraturan.
  • Contoh: Solusi x = /3 + n/2 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul bujur sangkar.
  • Contoh: Solusi x = /4 + n/3 pada lingkaran satuan adalah simpul-simpul segi enam beraturan.

• Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri.

  • Jika persamaan trigonometri yang diberikan hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan ini sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika persamaan yang diberikan mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung pada kemungkinan transformasinya).
    • Metode 1
  • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, di mana f(x), g(x), h(x) adalah persamaan trigonometri dasar.
  • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Keputusan. Menggunakan rumus sudut ganda sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan trigonometri dasar: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
  • Contoh 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan berbentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
  • Contoh 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solusi: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dalam bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0.
    • Metode 2
  • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya berisi satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri ini dengan beberapa yang tidak diketahui, misalnya t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, dst.).
  • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Keputusan. Dalam persamaan ini, ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai dengan identitasnya). Persamaan yang diubah terlihat seperti:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ganti sin x dengan t. Sekarang persamaannya menjadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dengan dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi rentang fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Keputusan. Ganti tg x dengan t. Tulis ulang persamaan awalnya sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tg x.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Solusi persamaan trigonometri paling sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa itu persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa itu persamaan trigonometri?

Kawan, kita telah mempelajari arcsine, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri - persamaan di mana variabel terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Kami mengulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1) Jika |а|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a memiliki solusi:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |а|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a memiliki solusi:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak memiliki solusi 4) Persamaan tg(x)=a memiliki solusi: x=arctg(a)+ k

5) Persamaan ctg(x)=a memiliki solusi: x=arcctg(a)+ k

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana memiliki bentuk: (kx+m)=a, T- sembarang fungsi trigonometri.

Contoh.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= 3/2

Keputusan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, maka kita akan menulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ n.

Dari tabel nilai kita mendapatkan: t=((-1)^n)×π/3+ n.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ n,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ n/3

Jawaban: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, di mana n adalah bilangan bulat. (-1)^n - dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- /3)= 3

Keputusan:

A) Kali ini kita akan langsung menuju ke perhitungan akar-akar persamaan :

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= k => x=5πk

Jawaban: x=5πk, di mana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tulis dalam bentuk: 3x- /3=artg(√3)+ k. Kita tahu bahwa: arctg(√3)= /3

3x- /3= /3+ k => 3x=2π/3 + k => x=2π/9 + k/3

Jawaban: x=2π/9 + k/3, di mana k adalah bilangan bulat.

Memecahkan persamaan: cos(4x)= 2/2. Dan temukan semua akar pada segmen .

Keputusan:

Selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

X= ± /16+ k/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang jatuh pada segmen kita. Untuk k Untuk k=0, x= /16, kita berada di segmen yang diberikan .
Dengan k=1, x= /16+ /2=9π/16, mereka memukul lagi.
Untuk k=2, x= /16+ =17π/16, tapi di sini kita tidak memukul, yang berarti kita juga tidak akan memukul untuk k yang besar.

Jawaban: x= /16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Kami telah mempertimbangkan persamaan trigonometri paling sederhana, tetapi ada yang lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya, digunakan metode memasukkan variabel baru dan metode faktorisasi. Mari kita lihat contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya:

Keputusan:
Untuk menyelesaikan persamaan kami, kami menggunakan metode memasukkan variabel baru, dilambangkan: t=tg(x).

Sebagai hasil dari penggantian, kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Kemudian tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita mendapatkan persamaan trigonometri paling sederhana, mari kita cari akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Contoh penyelesaian persamaan

Memecahkan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Keputusan:

Mari kita gunakan identitas: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita menjadi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai yang lebih besar dari satu, maka cos(x)=2 tidak memiliki akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Definisi: Persamaan berbentuk a sin(x)+b cos(x) disebut persamaan trigonometri homogen derajat pertama.

persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, kita membaginya dengan cos(x): Tidak mungkin membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, mari kita pastikan bahwa ini tidak benar:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Keputusan:

Keluarkan faktor persekutuan: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 untuk x= /2 + k;

Pertimbangkan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagi persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= /2 + k dan x= -π/4+πk

Bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, patuhi aturan ini selalu!

1. Lihat apa koefisien a sama dengan, jika a \u003d 0 maka persamaan kita akan berbentuk cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), contoh solusinya ada di sebelumnya menggeser

2. Jika a≠0, maka Anda perlu membagi kedua bagian persamaan dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x) kami mendapatkan persamaan:

Selesaikan Contoh #:3

Selesaikan persamaan:
Keputusan:

Bagilah kedua ruas persamaan dengan kuadrat cosinus:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-artg(3) + k

Tg(x)=1 => x= /4+ k

Jawaban: x=-artg(3) + k dan x= /4+ k

Selesaikan Contoh #:4

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan Contoh #:5

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kami memperkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Maka diperoleh: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-artg(2)+ k => x=-artg(2)/2 + k/2

2x= arctg(1/2) + k => x=arctg(1/2)/2+ k/2

Jawaban: x=-artg(2)/2 + k/2 dan x=arctg(1/2)/2+ k/2

Tugas untuk solusi independen.

1) Memecahkan persamaan

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= 3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = 3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Memecahkan persamaan: sin(3x)= 3/2. Dan temukan semua akar pada segmen [π/2; ].

3) Selesaikan persamaan: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + 3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Saat memecahkan banyak Soal matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan ditentukan dengan jelas. Masalah tersebut meliputi, misalnya, persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi kuadrat. Prinsip solusi yang berhasil dari masing-masing tugas yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu untuk menetapkan jenis tugas apa yang sedang diselesaikan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, mis. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Jelas, keberhasilan atau kegagalan dalam memecahkan masalah tertentu terutama tergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang sedang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan solusinya direproduksi. Tentu saja, dalam hal ini, diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasi yang berbeda terjadi dengan persamaan trigonometri. Tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan mengarah pada jawaban yang benar.

Kadang-kadang sulit untuk menentukan jenisnya dengan munculnya persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir tidak mungkin untuk memilih yang benar dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";
2. bawa persamaan ke "fungsi yang sama";
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Mempertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Skema solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk komponen yang diketahui.

Langkah 2 Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n Z.

dosa x = a; x \u003d (-1) n busur di a + n, n Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + n, n Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + n, n Z.

Langkah 3 Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – /4) = -√2.

Keputusan.

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x – /4 = ±(π – /4) + 2πn, n Z;

3x – /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + /4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + /12 + 2πn/3, n Z;

x = ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

II. Substitusi variabel

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ke bentuk aljabar sehubungan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2 Tunjukkan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, perkenalkan pembatasan pada t).

Langkah 3 Tulis dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4 Lakukan substitusi terbalik.

Langkah 5 Memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Keputusan.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Misal sin (x/2) = t, dimana |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2 tidak memenuhi syarat |t| 1.

4) dosa (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

x = + 4πn, n Z.

Jawaban: x = + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Skema solusi

Langkah 1. Ganti persamaan ini dengan persamaan linier menggunakan rumus reduksi daya:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos2x + cos2x = 5/4.

Keputusan.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + n, n Z.

IV. persamaan homogen

Skema solusi

Langkah 1. Ubah persamaan ini menjadi bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat pertama)

atau ke tampilan

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2 Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x 0;

b) cos 2 x 0;

dan dapatkan persamaan untuk tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Langkah 3 Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Keputusan.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t, maka

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, jadi

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = /4 + n, n Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + k, k Z.

Jawaban: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. Metode untuk mengubah persamaan menggunakan rumus trigonometri

Skema solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua jenis rumus trigonometri, bawa persamaan ini ke persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Keputusan.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = /2 + n, n Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami memiliki x = /4 + n/2, n Z; dari persamaan kedua x = ±(π – /3) + 2πk, k Z.

Akibatnya, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat penting, perkembangannya memerlukan usaha yang cukup besar, baik dari pihak siswa maupun guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll terkait dengan solusi persamaan trigonometri.Proses pemecahan masalah seperti itu, seolah-olah, mengandung banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh ketika mempelajari elemen trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pengajaran matematika dan pengembangan kepribadian secara umum.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Saat memecahkan banyak Soal matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan ditentukan dengan jelas. Masalah tersebut meliputi, misalnya, persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi kuadrat. Prinsip solusi yang berhasil dari masing-masing tugas yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu untuk menetapkan jenis tugas apa yang sedang diselesaikan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, mis. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Jelas, keberhasilan atau kegagalan dalam memecahkan masalah tertentu terutama tergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang sedang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan solusinya direproduksi. Tentu saja, dalam hal ini, diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasi yang berbeda terjadi dengan persamaan trigonometri. Tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan mengarah pada jawaban yang benar.

Kadang-kadang sulit untuk menentukan jenisnya dengan munculnya persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir tidak mungkin untuk memilih yang benar dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";
2. bawa persamaan ke "fungsi yang sama";
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Mempertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Skema solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk komponen yang diketahui.

Langkah 2 Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n Z.

dosa x = a; x \u003d (-1) n busur di a + n, n Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + n, n Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + n, n Z.

Langkah 3 Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – /4) = -√2.

Keputusan.

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x – /4 = ±(π – /4) + 2πn, n Z;

3x – /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + /4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + /12 + 2πn/3, n Z;

x = ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

II. Substitusi variabel

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ke bentuk aljabar sehubungan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2 Tunjukkan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, perkenalkan pembatasan pada t).

Langkah 3 Tulis dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4 Lakukan substitusi terbalik.

Langkah 5 Memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Keputusan.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Misal sin (x/2) = t, dimana |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2 tidak memenuhi syarat |t| 1.

4) dosa (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

x = + 4πn, n Z.

Jawaban: x = + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Skema solusi

Langkah 1. Ganti persamaan ini dengan persamaan linier menggunakan rumus reduksi daya:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos2x + cos2x = 5/4.

Keputusan.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + n, n Z.

IV. persamaan homogen

Skema solusi

Langkah 1. Ubah persamaan ini menjadi bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat pertama)

atau ke tampilan

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2 Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x 0;

b) cos 2 x 0;

dan dapatkan persamaan untuk tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Langkah 3 Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Keputusan.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t, maka

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, jadi

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = /4 + n, n Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + k, k Z.

Jawaban: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. Metode untuk mengubah persamaan menggunakan rumus trigonometri

Skema solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua jenis rumus trigonometri, bawa persamaan ini ke persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Keputusan.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = /2 + n, n Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami memiliki x = /4 + n/2, n Z; dari persamaan kedua x = ±(π – /3) + 2πk, k Z.

Akibatnya, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat penting, perkembangannya memerlukan usaha yang cukup besar, baik dari pihak siswa maupun guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll terkait dengan solusi persamaan trigonometri.Proses pemecahan masalah seperti itu, seolah-olah, mengandung banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh ketika mempelajari elemen trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pengajaran matematika dan pengembangan kepribadian secara umum.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.