Farafonova Natalia Igorevna

Subjek: Persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tujuan Pelajaran:- Memperkenalkan konsep persamaan kuadrat tidak lengkap;

Pelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Tujuan pelajaran:- Mampu menentukan bentuk persamaan kuadrat;

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Buku web: Aljabar: Proc. untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov dan lainnya - M .: Pendidikan, 2010.

Selama kelas.

1. Ingatkan siswa bahwa sebelum menyelesaikan persamaan kuadrat, perlu untuk membawanya ke bentuk standar. Ingat definisinya persamaan kuadrat penuh:sumbu2+bx +c = 0,sebuah 0.

Dalam persamaan kuadrat ini, beri nama koefisien a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 \u003d 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Berikan definisi persamaan kuadrat tidak lengkap:

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu koefisien, b atau c, sama dengan 0. Perhatikan bahwa koefisien a 0. Dari persamaan yang disajikan di atas, pilih persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

3. Lebih mudah untuk menyajikan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap dengan contoh solusi dalam bentuk tabel:

1. Tanpa penyelesaian, tentukan jumlah akar untuk setiap persamaan kuadrat yang tidak lengkap:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x \u003d 0; d) 0,6x2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

1. Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap (solusi persamaan, dengan centang di papan tulis, 2 opsi):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

f) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Pekerjaan mandiri pada opsi:

1 pilihan

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

pilihan 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9 tahun 2 - 4 = 0

d) -y 2 + 5 = 0

e) 1 - 4 tahun 2 = 0

f) 8y 2 + y = 0

3 pilihan

a) 6y - y2 = 0

b) 0,1 tahun 2 - 0,5 tahun = 0

c) (x + 1) (x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

f) x 2 - 16 = 0

4 pilihan

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 pilihan

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

f) x 2 - 5x = 0

6 pilihan

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25 tahun 2 - 1 = 0

d) -y 2 + 2 = 0

e) 9 - 16 tahun 2 = 0

f) 7y 2 + y = 0

7 pilihan

a) 4y - y 2 = 0

b) 0.2y 2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

e) x 2 + 4x = 0

f) x 2 - 36 = 0

8 pilihan

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Jawaban untuk pekerjaan mandiri:

Opsi 1: a) 2, b) 0; -3; c) 0; d) tidak ada akar; e);

Opsi 2 a) 0; b) akar; di); G); e); f)0;-;

3 opsi a) 0;6; b) 0;5; c) -1;2; d) 0;-0,5; e) 0;2; f)4

4 opsi a); b) 0; 1,5; c) 0;3; d) 3; e)0;4 e)5

5 opsi a)3; b) 0;4; c) 0; d) tidak ada akar; e) f) 0; 5

6 opsi a) 0; b) tidak ada akar; c) d) e) f) 0;-

7 pilihan a) 0;4; b) 0;5; c) -2;1; d) 0; 0,03; e) 0;-4; f)6

8 opsi a) b) 0; c) 0;7; d) 4; e) 0;3; e)

Ringkasan pelajaran: Konsep "persamaan kuadrat tidak lengkap" dirumuskan; cara memecahkan berbagai jenis persamaan kuadrat tidak lengkap ditampilkan. Selama melakukan berbagai tugas, keterampilan memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap dikembangkan.

7. Pekerjaan rumah: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Tugas tambahan:

Untuk nilai a berapa persamaan tersebut merupakan persamaan kuadrat yang tidak lengkap? Selesaikan persamaan untuk nilai yang diperoleh dari:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + kapak \u003d 4 - a 2 \u003d 0

Tugas untuk persamaan kuadrat dipelajari baik dalam kurikulum sekolah maupun di universitas. Mereka dipahami sebagai persamaan dalam bentuk a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, di mana x- variabel, a,b,c – konstanta; sebuah<>0 . Masalahnya adalah menemukan akar persamaan.

Arti geometris dari persamaan kuadrat

Grafik fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu x. Maka ada tiga kemungkinan kasus:
1) parabola tidak memiliki titik potong dengan sumbu x. Ini berarti berada di bidang atas dengan cabang di atas atau yang lebih rendah dengan cabang di bawah. Dalam kasus seperti itu, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks).

2) parabola memiliki satu titik potong dengan sumbu Ox. Titik seperti itu disebut titik parabola, dan persamaan kuadrat di dalamnya memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Dalam hal ini, persamaan kuadrat memiliki satu akar real (atau dua akar identik).

3) Kasus terakhir lebih menarik dalam praktiknya - ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu absis. Ini berarti ada dua akar real dari persamaan tersebut.

Berdasarkan analisis koefisien pangkat variabel, kesimpulan menarik dapat ditarik tentang penempatan parabola.

1) Jika koefisien a lebih besar dari nol, maka parabola mengarah ke atas, jika negatif, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

2) Jika koefisien b lebih besar dari nol, maka titik sudut parabola terletak di setengah bidang kiri, jika mengambil nilai negatif, maka di kanan.

Turunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Mari kita pindahkan konstanta dari persamaan kuadrat

untuk tanda sama dengan, kita mendapatkan ekspresi

Kalikan kedua ruas dengan 4a

Untuk mendapatkan persegi penuh di sebelah kiri, tambahkan b ^ 2 di kedua bagian dan lakukan transformasi

Dari sini kita menemukan

Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat

Diskriminan adalah nilai dari ekspresi radikal.Jika positif, maka persamaan memiliki dua akar real, dihitung dengan rumus Ketika diskriminan adalah nol, persamaan kuadrat memiliki satu solusi (dua akar yang bertepatan), yang mudah diperoleh dari rumus di atas untuk D = 0. Ketika diskriminan negatif, tidak ada akar real. Namun, untuk mempelajari solusi persamaan kuadrat di bidang kompleks, dan nilainya dihitung dengan rumus

teorema Vieta

Pertimbangkan dua akar persamaan kuadrat dan bangun persamaan kuadrat berdasarkan mereka Teorema Vieta sendiri dengan mudah mengikuti dari notasi: jika kita memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien p, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan sama dengan suku bebas q. Rumus di atas akan terlihat seperti Jika konstanta a dalam persamaan klasik bukan nol, maka Anda perlu membagi seluruh persamaan dengan itu, dan kemudian menerapkan teorema Vieta.

Jadwal persamaan kuadrat pada faktor

Biarkan tugas ditetapkan: untuk menguraikan persamaan kuadrat menjadi faktor-faktor. Untuk melakukannya, pertama-tama kita selesaikan persamaan (cari akarnya). Selanjutnya, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam rumus perluasan persamaan kuadrat.Masalah ini akan terpecahkan.

Tugas untuk persamaan kuadrat

Tugas 1. Temukan akar-akar persamaan kuadrat

x^2-26x+120=0 .

Solusi: Tuliskan koefisien dan substitusikan ke dalam rumus diskriminan

Akar dari nilai ini adalah 14, mudah untuk menemukannya dengan kalkulator, atau mengingatnya dengan sering digunakan, namun untuk kenyamanan, di akhir artikel saya akan memberikan daftar kuadrat angka yang sering dapat ditemukan dalam tugas-tugas seperti itu.
Nilai yang ditemukan diganti ke dalam rumus akar

dan kita mendapatkan

Tugas 2. selesaikan persamaannya

2x2+x-3=0.

Solusi: Kami memiliki persamaan kuadrat yang lengkap, tuliskan koefisiennya dan temukan diskriminannya


Menggunakan rumus terkenal, kami menemukan akar persamaan kuadrat

Tugas 3. selesaikan persamaannya

9x2 -12x+4=0.

Solusi: Kami memiliki persamaan kuadrat lengkap. Tentukan diskriminannya

Kami mendapat kasus ketika akarnya bertepatan. Kami menemukan nilai-nilai akar dengan rumus

Tugas 4. selesaikan persamaannya

x^2+x-6=0 .

Solusi: Dalam kasus di mana ada koefisien kecil untuk x, disarankan untuk menerapkan teorema Vieta. Dengan kondisinya, kita memperoleh dua persamaan

Dari kondisi kedua, kita mendapatkan bahwa produk harus sama dengan -6. Ini berarti salah satu akarnya negatif. Kami memiliki pasangan solusi berikut yang mungkin(-3;2), (3;-2 ). Dengan mempertimbangkan kondisi pertama, kami menolak pasangan solusi kedua.
Akar persamaannya adalah

Tugas 5. Tentukan panjang sisi persegi panjang jika kelilingnya 18 cm dan luasnya 77 cm 2.

Penyelesaian: Setengah keliling persegi panjang sama dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan. Mari kita nyatakan x - sisi yang lebih besar, maka 18-x adalah sisi yang lebih kecil. Luas persegi panjang sama dengan produk dari panjang ini:
x(18x)=77;
atau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Tentukan diskriminan dari persamaan

Kami menghitung akar persamaan

Jika sebuah x=11, kemudian 18x=7 , sebaliknya juga benar (jika x=7, maka 21-x=9).

Soal 6. Faktorkan persamaan kuadrat 10x 2 -11x+3=0.

Solusi: Hitung akar persamaan, untuk ini kami menemukan diskriminan

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar dan menghitung

Kami menerapkan rumus untuk memperluas persamaan kuadrat dalam bentuk akar

Memperluas tanda kurung, kita mendapatkan identitasnya.

Persamaan kuadrat dengan parameter

Contoh 1. Untuk apa nilai parameternya? sebuah , apakah persamaan (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 memiliki satu akar?

Solusi: Dengan substitusi langsung nilai a=3, kita melihat bahwa tidak ada solusi. Selanjutnya, kita menggunakan fakta bahwa dengan diskriminan nol, persamaan memiliki satu akar multiplisitas 2. Mari kita tulis diskriminannya

sederhanakan dan samakan dengan nol

Kami telah memperoleh persamaan kuadrat sehubungan dengan parameter a, yang solusinya mudah diperoleh dengan menggunakan teorema Vieta. Jumlah akar-akarnya adalah 7, dan hasilnya adalah 12. Dengan pencacahan sederhana, kami menetapkan bahwa angka 3.4 akan menjadi akar persamaan. Karena kita telah menolak solusi a=3 di awal perhitungan, satu-satunya solusi yang benar adalah - a=4. Jadi, untuk a = 4, persamaan memiliki satu akar.

Contoh 2. Untuk apa nilai parameternya? sebuah , persamaan a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 memiliki lebih dari satu akar?

Solusi: Pertimbangkan dulu titik-titik singularnya, itu akan menjadi nilai a=0 dan a=-3. Ketika a=0, persamaan akan disederhanakan menjadi 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu akar. Untuk a= -3 kita mendapatkan identitas 0=0 .
Hitung diskriminannya

dan temukan nilai a yang positif

Dari kondisi pertama kita mendapatkan a>3. Untuk yang kedua, kami menemukan diskriminan dan akar persamaan


Mari kita tentukan interval di mana fungsi mengambil nilai positif. Dengan mensubstitusi titik a=0 kita peroleh 3>0 . Jadi, di luar interval (-3; 1/3) fungsinya negatif. Jangan lupa titiknya a=0 yang harus dikecualikan, karena persamaan asli memiliki satu akar di dalamnya.
Sebagai hasilnya, kami memperoleh dua interval yang memenuhi kondisi masalah

Akan ada banyak tugas serupa dalam praktik, cobalah untuk menangani tugas sendiri dan jangan lupa untuk memperhitungkan kondisi yang saling eksklusif. Pelajari baik-baik rumus-rumus penyelesaian persamaan kuadrat, yang cukup sering dibutuhkan dalam perhitungan di berbagai masalah dan ilmu pengetahuan.

Tingkat pertama

persamaan kuadrat. Panduan Komprehensif (2019)

Dalam istilah “persamaan kuadrat” kata kuncinya adalah “kuadrat”. Ini berarti bahwa persamaan harus mengandung variabel (X yang sama) di dalam kuadrat, dan pada saat yang sama tidak boleh ada Xs di derajat ketiga (atau lebih besar).

Solusi dari banyak persamaan direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat.

Mari belajar menentukan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat, dan bukan persamaan lainnya.

Contoh 1

Singkirkan penyebutnya dan kalikan setiap suku persamaan dengan

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri dan atur suku-sukunya dalam urutan pangkat menurun dari x

Sekarang kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa persamaan ini adalah kuadrat!

Contoh 2

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:

Persamaan ini, meskipun awalnya di dalamnya, bukan persegi!

Contoh 3

Mari kita kalikan semuanya dengan:

Menakutkan? Derajat keempat dan kedua ... Namun, jika kita melakukan penggantian, kita akan melihat bahwa kita memiliki persamaan kuadrat sederhana:

Contoh 4

Sepertinya begitu, tapi mari kita lihat lebih dekat. Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri:

Anda lihat, itu telah menyusut - dan sekarang menjadi persamaan linier sederhana!

Sekarang coba tentukan sendiri mana dari persamaan berikut yang kuadrat dan mana yang bukan:

Contoh:

Jawaban:

1. kotak;
2. kotak;
3. tidak persegi;
4. tidak persegi;
5. tidak persegi;
6. kotak;
7. tidak persegi;
8. kotak.

Matematikawan secara kondisional membagi semua persamaan kuadrat ke dalam jenis berikut:

• Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien dan, serta istilah bebas c, tidak sama dengan nol (seperti dalam contoh). Selain itu, di antara persamaan kuadrat lengkap, ada diberikan adalah persamaan di mana koefisien (persamaan dari contoh satu tidak hanya lengkap, tetapi juga berkurang!)

• Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

  Mereka tidak lengkap karena beberapa elemen hilang dari mereka. Tetapi persamaan harus selalu mengandung x kuadrat !!! Jika tidak, itu tidak akan lagi menjadi kuadrat, tetapi beberapa persamaan lainnya.

Mengapa mereka datang dengan divisi seperti itu? Tampaknya ada X kuadrat, dan oke. Pembagian seperti itu disebabkan oleh metode penyelesaian. Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Pertama, mari kita fokus pada penyelesaian persamaan kuadrat yang tidak lengkap - persamaannya jauh lebih sederhana!

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah dari jenis:

1. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.
2. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.
3. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

1. saya Karena kita tahu cara mengambil akar kuadrat, mari kita nyatakan dari persamaan ini

Ekspresinya bisa negatif atau positif. Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif, jadi: jika, maka persamaan tidak memiliki solusi.

Dan jika, maka kita mendapatkan dua akar. Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama adalah bahwa Anda harus selalu tahu dan ingat bahwa itu tidak boleh kurang.

Mari kita coba memecahkan beberapa contoh.

Contoh 5:

Selesaikan Persamaan

Sekarang tinggal mengekstrak root dari bagian kiri dan kanan. Lagi pula, apakah Anda ingat cara mengekstrak akarnya?

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!!!

Contoh 6:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 7:

Selesaikan Persamaan

Aduh! Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar!

Untuk persamaan seperti itu di mana tidak ada akar, ahli matematika datang dengan ikon khusus - (set kosong). Dan jawabannya bisa ditulis seperti ini:

Menjawab:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar. Tidak ada batasan di sini, karena kami tidak mengekstrak root.
Contoh 8:

Selesaikan Persamaan

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Dengan demikian,

Persamaan ini memiliki dua akar.

Menjawab:

Jenis persamaan kuadrat tidak lengkap yang paling sederhana (walaupun semuanya sederhana, kan?). Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Di sini kita akan melakukannya tanpa contoh.

Memecahkan persamaan kuadrat lengkap

Kami mengingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan bentuk persamaan di mana

Memecahkan persamaan kuadrat penuh sedikit lebih rumit (hanya sedikit) daripada yang diberikan.

Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Metode lainnya akan membantu Anda melakukannya lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, kuasai dulu penyelesaiannya menggunakan diskriminan.

1. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan.

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika, maka persamaan memiliki akar. Perhatian khusus harus diberikan pada langkah tersebut. Diskriminan () memberi tahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka rumus pada langkah tersebut akan dikurangi menjadi. Dengan demikian, persamaan hanya akan memiliki akar.
• Jika, maka kita tidak akan dapat mengekstrak akar diskriminan pada langkah tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mari kembali ke persamaan kita dan lihat beberapa contoh.

Contoh 9:

Selesaikan Persamaan

Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan tersebut memiliki dua akar.

Langkah 3

Menjawab:

Contoh 10:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Jadi persamaan memiliki satu akar.

Menjawab:

Contoh 11:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dalam bentuk standar, jadi Langkah 1 melewati.

Langkah 2

Menemukan diskriminan:

Ini berarti bahwa kita tidak akan dapat mengekstrak akar dari diskriminan. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu bagaimana menuliskan jawaban seperti itu dengan benar.

Menjawab: tidak ada akar

2. Penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta.

Jika Anda ingat, maka ada jenis persamaan yang disebut tereduksi (ketika koefisien a sama dengan):

Persamaan seperti itu sangat mudah diselesaikan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadrat sama, dan hasil kali akar-akarnya sama.

Contoh 12:

Selesaikan Persamaan

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena .

Jumlah akar-akar persamaan tersebut adalah, mis. kita dapatkan persamaan pertama:

Dan produknya adalah:

Mari kita buat dan selesaikan sistemnya:

• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13:

Selesaikan Persamaan

Menjawab:

Contoh 14:

Selesaikan Persamaan

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRAT. TINGKAT TENGAH

Apa itu persamaan kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana - tidak diketahui, - beberapa angka, apalagi.

Angka tersebut disebut tertinggi atau koefisien pertama persamaan kuadrat, - koefisien kedua, sebuah - anggota gratis.

Mengapa? Karena jika, persamaan akan langsung menjadi linier, karena akan hilang.

Dalam hal ini, dan bisa sama dengan nol. Dalam persamaan tinja ini disebut tidak lengkap. Jika semua suku sudah ada, artinya persamaan selesai.

Solusi untuk berbagai jenis persamaan kuadrat

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap:

Untuk memulainya, kami akan menganalisis metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap - mereka lebih sederhana.

Jenis persamaan berikut dapat dibedakan:

I. , dalam persamaan ini koefisien dan suku bebasnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya sama.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini suku bebasnya sama dengan.

Sekarang perhatikan solusi dari masing-masing subtipe ini.

Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Suatu bilangan kuadrat tidak boleh negatif, karena ketika mengalikan dua bilangan negatif atau dua bilangan positif, hasilnya akan selalu bilangan positif. Jadi:

jika, maka persamaan tidak memiliki solusi;

jika kita memiliki dua akar

Rumus-rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama yang perlu diingat adalah tidak boleh kurang.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar dengan tanda negatif!

Kuadrat suatu bilangan tidak boleh negatif, yang berarti persamaan

tidak ada akar.

Untuk menulis secara singkat bahwa masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon set kosong.

Menjawab:

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Ini berarti bahwa persamaan memiliki solusi ketika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Kami memfaktorkan ruas kiri persamaan dan menemukan akarnya:

Menjawab:

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap:

1. Diskriminan

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan tidak lengkap.

Apakah Anda memperhatikan akar diskriminan dalam rumus akar? Tapi diskriminan bisa negatif. Apa yang harus dilakukan? Kita perlu memberikan perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan memberitahu kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka persamaan memiliki akar:
• Jika, maka persamaan memiliki akar yang sama, tetapi sebenarnya, satu akar:

  Akar seperti ini disebut akar ganda.

• Jika, maka akar diskriminan tidak diekstraksi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mengapa jumlah akar berbeda? Mari kita beralih ke arti geometris dari persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus tertentu, yang merupakan persamaan kuadrat, . Dan ini berarti bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah titik potong dengan sumbu x (sumbu). Parabola mungkin tidak melintasi sumbu sama sekali, atau mungkin berpotongan di satu (bila bagian atas parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, dan jika - maka ke bawah.

Contoh:

Solusi:

Menjawab:

Menjawab: .

Menjawab:

Ini berarti tidak ada solusi.

Menjawab: .

2. Teorema Vieta

Menggunakan teorema Vieta sangat mudah: Anda hanya perlu memilih sepasang angka yang produknya sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan pada diberikan persamaan kuadrat ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 1:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan ini cocok untuk solusi menggunakan teorema Vieta, karena . Koefisien lainnya: ; .

Jumlah akar persamaannya adalah:

Dan produknya adalah:

Mari kita pilih pasangan angka tersebut, yang produknya sama, dan periksa apakah jumlahnya sama:

• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya adalah;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan adalah akar dari persamaan kita.

Menjawab: ; .

Contoh #2:

Keputusan:

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan kemudian memeriksa apakah jumlahnya sama:

dan: berikan secara total.

dan: berikan secara total. Untuk mendapatkannya, Anda hanya perlu mengubah tanda-tanda akar yang diduga: dan, bagaimanapun, produknya.

Menjawab:

Contoh #3:

Keputusan:

Suku bebas persamaan adalah negatif, dan karena itu hasil kali akar-akarnya adalah bilangan negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan akar lainnya positif. Jadi jumlah akarnya adalah perbedaan modul mereka.

Kami memilih pasangan angka yang memberikan produk, dan perbedaannya sama dengan:

dan: perbedaan mereka adalah - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Tetap hanya untuk diingat bahwa salah satu akarnya adalah negatif. Karena jumlah mereka harus sama, maka akar, yang lebih kecil dalam nilai absolut, harus negatif: . Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh #4:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Suku bebasnya negatif, sehingga hasil kali akarnya negatif. Dan ini hanya mungkin jika satu akar persamaan negatif dan akar lainnya positif.

Kami memilih pasangan angka yang produknya sama, dan kemudian menentukan akar mana yang memiliki tanda negatif:

Jelas, hanya akar dan cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh #5:

Memecahkan persamaan.

Keputusan:

Persamaan dikurangi, yang berarti:

Jumlah akarnya negatif, artinya paling sedikit salah satu akarnya negatif. Tetapi karena produknya positif, itu berarti kedua akarnya minus.

Kami memilih pasangan angka seperti itu, yang produknya sama dengan:

Jelas, akarnya adalah angka dan.

Menjawab:

Setuju, sangat nyaman - untuk menemukan akar secara lisan, alih-alih menghitung diskriminan jahat ini. Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin.

Tetapi teorema Vieta diperlukan untuk memudahkan dan mempercepat pencarian akar. Untuk membuatnya menguntungkan bagi Anda untuk menggunakannya, Anda harus membawa tindakan ke otomatisme. Dan untuk ini, selesaikan lima contoh lagi. Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta:

Solusi untuk tugas untuk pekerjaan mandiri:

Tugas 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Menurut teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan produk:

Tidak sesuai karena jumlahnya;

: jumlah yang Anda butuhkan.

Menjawab: ; .

Tugas 2.

Dan sekali lagi, teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus berhasil, tetapi produknya sama.

Tetapi karena seharusnya tidak, tetapi, kami mengubah tanda-tanda akarnya: dan (total).

Menjawab: ; .

Tugas 3.

Hm... Dimana itu?

Penting untuk mentransfer semua persyaratan menjadi satu bagian:

Jumlah akar sama dengan produk.

Ya, berhenti! Persamaan tidak diberikan. Tapi teorema Vieta hanya berlaku dalam persamaan yang diberikan. Jadi pertama-tama Anda perlu membawa persamaannya. Jika Anda tidak dapat memunculkannya, tinggalkan ide ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan). Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa membawa persamaan kuadrat berarti membuat koefisien utama sama dengan:

Bagus. Maka jumlah akarnya sama, dan hasilnya.

Lebih mudah untuk mengambil di sini: setelah semua - bilangan prima (maaf untuk tautologinya).

Menjawab: ; .

Tugas 4.

Istilah bebasnya negatif. Apa yang istimewa darinya? Dan fakta bahwa akarnya akan memiliki tanda yang berbeda. Dan sekarang, selama pemilihan, kami tidak memeriksa jumlah akar, tetapi perbedaan antara modul mereka: perbedaan ini sama, tetapi produknya.

Jadi, akarnya sama dan, tetapi salah satunya dengan minus. Teorema Vieta memberi tahu kita bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, yaitu. Ini berarti bahwa akar yang lebih kecil akan memiliki minus: dan, sejak.

Menjawab: ; .

Tugas 5.

Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Benar, berikan persamaan:

Sekali lagi: kami memilih faktor-faktor dari angka tersebut, dan perbedaannya harus sama dengan:

Akarnya sama dan, tetapi salah satunya minus. Yang? Jumlahnya harus sama, yang berarti bahwa dengan minus akan ada akar yang lebih besar.

Menjawab: ; .

Biarkan saya meringkas:

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akar dengan seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ada pasangan faktor yang cocok dari suku bebas yang ditemukan, maka tidak ada akar bilangan bulat, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan kotak penuh

Jika semua suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui direpresentasikan sebagai suku-suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat dari jumlah atau selisih - maka setelah perubahan variabel, persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai jenis persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Sebagai contoh:

Contoh 1:

Selesaikan persamaan: .

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 2:

Selesaikan persamaan: .

Keputusan:

Menjawab:

Secara umum, transformasi akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan: .

Tidakkah itu mengingatkanmu pada sesuatu? Ini diskriminan! Itulah tepatnya bagaimana rumus diskriminan diperoleh.

PERSAMAAN KUADRAT. SINGKAT TENTANG UTAMA

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, di mana tidak diketahui, adalah koefisien persamaan kuadrat, adalah istilah bebas.

Persamaan kuadrat lengkap- persamaan di mana koefisien tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat tereduksi- persamaan di mana koefisien, yaitu: .

Persamaan kuadrat tidak lengkap- persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisien, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika istilah bebas, persamaan memiliki bentuk: ,
• jika dan, persamaan tersebut berbentuk: .

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Nyatakan yang tidak diketahui: ,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan memiliki dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana, :

1) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari kurung: ,

2) Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar:

1.3. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, di mana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar: .

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap dari bentuk di mana

2.1. Penyelesaian menggunakan diskriminan

1) Mari kita bawa persamaan ke bentuk standar: ,

2) Hitung diskriminan menggunakan rumus: , yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar-akar persamaan:

• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan tidak memiliki akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar persamaan kuadrat tereduksi (persamaan berbentuk, di mana) adalah sama, dan produk dari akar-akarnya sama, mis. , sebuah.

2.3. Solusi persegi penuh

Persamaan kuadrat digunakan dalam memecahkan banyak masalah. Bagian penting dari masalah yang mudah diselesaikan dengan bantuan persamaan tingkat pertama juga dapat diselesaikan secara aritmatika murni, meskipun kadang-kadang dengan cara yang jauh lebih sulit, panjang, dan sering artifisial. Masalah yang mengarah ke persamaan kuadrat, sebagai suatu peraturan, tidak cocok untuk solusi aritmatika sama sekali. Banyak dan paling beragam pertanyaan fisika, mekanik, hidromekanika, aerodinamika dan banyak ilmu terapan lainnya menyebabkan masalah seperti itu.

Tahapan utama dalam menyusun persamaan kuadrat sesuai dengan kondisi masalah adalah sama seperti dalam menyelesaikan masalah yang mengarah ke persamaan derajat pertama. Mari kita beri contoh.

Tugas. 1. Dua juru ketik mengetik ulang naskah dalam 6 jam. 40 menit Berapa lama waktu yang dibutuhkan setiap juru ketik untuk mengetik ulang naskah, bekerja sendiri, jika yang pertama menghabiskan 3 jam lebih banyak untuk pekerjaan ini daripada yang kedua?

Keputusan. Biarkan juru ketik kedua menghabiskan waktu x jam untuk mencetak ulang naskah. Ini berarti bahwa juru ketik pertama akan menghabiskan waktu berjam-jam untuk pekerjaan yang sama.

Kami akan mencari tahu bagian mana dari keseluruhan pekerjaan yang dilakukan setiap juru ketik dalam satu jam dan bagian apa - keduanya bersama-sama.

Juru ketik pertama menyelesaikan satu bagian dalam satu jam

Bagian kedua.

Kedua juru ketik melakukan suatu bagian.

Oleh karena itu kami memiliki:

Menurut arti masalahnya, bilangan positif

Kalikan kedua ruas persamaan dengan Setelah penyederhanaan, kita mendapatkan persamaan kuadrat:

Karena , persamaan memiliki dua akar. Dengan rumus (B) kita menemukan:

Tetapi sebagaimana mestinya, nilai itu tidak valid untuk tugas ini.

Menjawab. Juru ketik pertama akan menghabiskan waktu berjam-jam untuk bekerja, yang kedua 12 jam.

Soal 2. Kecepatan sendiri pesawat km per jam. Pesawat terbang sejauh 1 km dua kali: pertama melawan arah angin, lalu melawan angin, dan pada penerbangan kedua menghabiskan lebih banyak waktu. Hitung kecepatan angin.

Kami akan menggambarkan jalannya solusi dalam bentuk diagram.