Himpunan dua atau lebih pertidaksamaan linier yang memiliki besaran yang sama dan tidak diketahui disebut

Berikut adalah contoh sistem tersebut:

Interval perpotongan dua sinar adalah solusi kami. Oleh karena itu, solusi dari pertidaksamaan ini adalah semua X terletak antara dua dan delapan.

Menjawab: X

Penerapan jenis pemetaan solusi sistem pertidaksamaan ini kadang-kadang disebut metode atap.

Definisi: Perpotongan dua himpunan TETAPI dan PADA disebut himpunan ketiga, yang mencakup semua elemen yang termasuk dalam dan di TETAPI dan masuk PADA. Inilah arti dari perpotongan himpunan yang bersifat arbitrer. Kami sekarang mempertimbangkan set numerik secara rinci, oleh karena itu, ketika menemukan pertidaksamaan linier, set tersebut adalah sinar - diarahkan bersama, berlawanan arah, dan seterusnya.

Mari kita cari tahu secara nyata contoh menemukan sistem pertidaksamaan linier, cara menentukan perpotongan himpunan solusi pertidaksamaan individu yang termasuk dalam sistem.

Menghitung sistem ketidaksetaraan:

Mari kita tempatkan dua garis gaya satu di bawah yang lain. Di atas kami menempatkan nilai-nilai itu X, yang memenuhi pertidaksamaan pertama x>7 , dan di bagian bawah - yang bertindak sebagai solusi untuk pertidaksamaan kedua x>10 Kami mengkorelasikan hasil garis bilangan, temukan bahwa kedua pertidaksamaan akan dipenuhi untuk x>10.

Jawaban: (10;+).

Kita lakukan dengan analogi dengan sampel pertama. Pada sumbu numerik tertentu, plot semua nilai tersebut X yang pertama ada ketidaksetaraan sistem, dan pada sumbu numerik kedua, ditempatkan di bawah yang pertama, semua nilai tersebut X, yang memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita bandingkan kedua hasil ini dan tentukan bahwa kedua pertidaksamaan akan dipenuhi secara bersamaan untuk semua nilai X terletak antara 7 dan 10, dengan mempertimbangkan tanda-tanda, kami mendapatkan 7<x≤10

Jawaban: (7; 10].

Berikut ini diselesaikan dengan cara yang sama. sistem ketidaksetaraan.

Artikel ini telah mengumpulkan informasi awal tentang sistem ketidaksetaraan. Di sini kami memberikan definisi sistem pertidaksamaan dan definisi solusi sistem pertidaksamaan. Ini juga mencantumkan jenis sistem utama yang paling sering Anda gunakan dalam pelajaran aljabar di sekolah, dan contoh diberikan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan sistem ketidaksetaraan?

Lebih mudah untuk mendefinisikan sistem pertidaksamaan dengan cara yang sama seperti kita memperkenalkan definisi sistem persamaan, yaitu, menurut jenis catatan dan makna yang terkandung di dalamnya.

Definisi.

Sistem ketidaksetaraan adalah catatan yang mewakili sejumlah pertidaksamaan yang ditulis satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri oleh tanda kurung kurawal, dan menunjukkan himpunan semua solusi yang secara simultan merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem.

Mari kita berikan contoh sistem pertidaksamaan. Ambil dua arbitrer , misalnya, 2 x−3>0 dan 5−x≥4 x−11 , tuliskan satu di bawah yang lain
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
dan satukan dengan tanda sistem - kurung kurawal, sebagai hasilnya kami mendapatkan sistem pertidaksamaan dengan bentuk berikut:

Demikian pula, sebuah ide diberikan tentang sistem ketidaksetaraan dalam buku teks sekolah. Perlu dicatat bahwa definisi di dalamnya diberikan lebih sempit: untuk ketidaksetaraan dengan satu variabel atau dengan dua variabel.

Jenis utama sistem ketidaksetaraan

Jelas bahwa ada banyak sistem ketidaksetaraan yang berbeda. Agar tidak tersesat dalam keragaman ini, disarankan untuk mempertimbangkan mereka dalam kelompok yang memiliki ciri khasnya sendiri. Semua sistem ketidaksetaraan dapat dibagi menjadi beberapa kelompok sesuai dengan kriteria berikut:

• dengan jumlah ketidaksetaraan dalam sistem;
• dengan jumlah variabel yang terlibat dalam pencatatan;
• oleh sifat ketidaksetaraan.

Menurut jumlah ketidaksetaraan yang termasuk dalam catatan, sistem dua, tiga, empat, dll. dibedakan. ketidaksetaraan. Pada paragraf sebelumnya, kami memberikan contoh sistem yang merupakan sistem dua pertidaksamaan. Mari kita tunjukkan contoh lain dari sistem empat pertidaksamaan .

Secara terpisah, kami mengatakan bahwa tidak masuk akal untuk berbicara tentang sistem satu ketidaksetaraan, dalam hal ini, sebenarnya, kita berbicara tentang ketidaksetaraan itu sendiri, dan bukan tentang sistem.

Jika Anda melihat jumlah variabel, maka ada sistem pertidaksamaan dengan satu, dua, tiga, dll. variabel (atau, seperti yang mereka katakan, tidak diketahui). Lihatlah sistem ketidaksetaraan terakhir yang ditulis dua paragraf di atas. Ini adalah sistem dengan tiga variabel x , y dan z . Perhatikan bahwa dua pertidaksamaan pertamanya tidak mengandung ketiga variabel, tetapi hanya satu dari mereka. Dalam konteks sistem ini, mereka harus dipahami sebagai pertidaksamaan dengan tiga variabel yang masing-masing berbentuk x+0 y+0 z≥−2 dan 0 x+y+0 z≤5. Perhatikan bahwa sekolah berfokus pada ketidaksetaraan dengan satu variabel.

Masih membahas jenis ketidaksetaraan apa yang terlibat dalam sistem penulisan. Di sekolah, mereka terutama mempertimbangkan sistem dua ketidaksetaraan (lebih jarang - tiga, bahkan lebih jarang - empat atau lebih) dengan satu atau dua variabel, dan ketidaksetaraan itu sendiri biasanya pertidaksamaan bilangan bulat derajat pertama atau kedua (lebih jarang - derajat lebih tinggi atau rasional fraksional). Namun jangan heran jika dalam materi persiapan OGE Anda menemukan sistem pertidaksamaan yang mengandung pertidaksamaan irasional, logaritma, eksponensial, dan pertidaksamaan lainnya. Sebagai contoh, kami menyajikan sistem ketidaksetaraan , diambil dari .

Apa solusi dari sistem pertidaksamaan?

Kami memperkenalkan definisi lain yang terkait dengan sistem ketidaksetaraan - definisi solusi untuk sistem ketidaksetaraan:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan satu variabel nilai variabel seperti itu disebut yang mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi benar, dengan kata lain, adalah solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh. Mari kita ambil sistem dua pertidaksamaan dengan satu variabel . Mari kita ambil nilai variabel x sama dengan 8 , ini adalah solusi untuk sistem pertidaksamaan kita menurut definisi, karena substitusinya ke dalam pertidaksamaan sistem memberikan dua pertidaksamaan numerik yang benar 8>7 dan 2−3 8≤0 . Sebaliknya, satuan bukanlah solusi sistem, karena jika disubstitusikan ke variabel x, pertidaksamaan pertama akan berubah menjadi pertidaksamaan numerik salah 1>7 .

Demikian pula, kita dapat memperkenalkan definisi solusi untuk sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga, atau lebih variabel:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga, dst. variabel disebut pair, triple, dll. nilai dari variabel-variabel ini, yang secara bersamaan merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem, yaitu, mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

Misalnya, pasangan nilai x=1 , y=2 , atau dalam notasi lain (1, 2) adalah solusi sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, karena 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistem pertidaksamaan mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki jumlah solusi yang terbatas, atau mungkin memiliki banyak solusi. Orang sering berbicara tentang serangkaian solusi untuk sistem ketidaksetaraan. Ketika suatu sistem tidak memiliki solusi, maka ada himpunan kosong dari solusinya. Jika jumlah solusi terbatas, maka himpunan solusi berisi sejumlah elemen yang terbatas, dan ketika ada banyak solusi, maka himpunan solusi terdiri dari jumlah elemen yang tak terbatas.

Beberapa sumber memperkenalkan definisi solusi khusus dan umum untuk sistem ketidaksetaraan, seperti, misalnya, dalam buku teks Mordkovich. Di bawah solusi khusus untuk sistem pertidaksamaan memahami satu solusi tunggal. Pada gilirannya solusi umum sistem pertidaksamaan- ini semua adalah keputusan pribadinya. Namun, istilah-istilah ini masuk akal hanya ketika diperlukan untuk menekankan solusi mana yang sedang dibahas, tetapi biasanya ini sudah jelas dari konteksnya, jadi lebih umum untuk hanya mengatakan "pemecahan sistem ketidaksetaraan".

Dari definisi sistem pertidaksamaan dan solusi yang diperkenalkan dalam artikel ini, dapat disimpulkan bahwa solusi dari sistem pertidaksamaan adalah perpotongan dari himpunan solusi dari semua pertidaksamaan sistem ini.

Bibliografi.

1. Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. MENGGUNAKAN-2013. Matematika: pilihan ujian khas: 30 pilihan / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Penerbitan "Pendidikan Nasional", 2012. - 192 hal. - (USE-2013. FIPI - sekolah).

Memecahkan Pertidaksamaan dengan Dua Variabel, dan terlebih lagi sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, tampaknya cukup menantang. Namun, ada algoritme sederhana yang membantu menyelesaikan masalah yang tampaknya sangat kompleks dengan mudah dan mudah. Mari kita coba mencari tahu.

Misalkan kita memiliki pertidaksamaan dengan dua variabel dari salah satu jenis berikut:

y > f(x); y f(x); kamu< f(x); y ≤ f(x).

Untuk menggambarkan himpunan solusi dari pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat, lakukan sebagai berikut:

1. Kami membuat grafik fungsi y = f(x), yang membagi bidang menjadi dua daerah.

2. Kami memilih salah satu area yang diperoleh dan mempertimbangkan titik sewenang-wenang di dalamnya. Kami memeriksa kepuasan ketidaksetaraan asli untuk titik ini. Jika, sebagai hasil pemeriksaan, diperoleh pertidaksamaan numerik yang benar, maka kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan asli dipenuhi di seluruh area tempat titik yang dipilih berada. Dengan demikian, himpunan solusi pertidaksamaan adalah area tempat titik yang dipilih berada. Jika sebagai hasil pemeriksaan diperoleh ketidaksetaraan numerik yang salah, maka himpunan solusi untuk pertidaksamaan akan menjadi wilayah kedua, di mana titik yang dipilih tidak termasuk.

3. Jika pertidaksamaan tegas, maka batas-batas wilayah, yaitu titik-titik dari grafik fungsi y = f(x), tidak termasuk dalam himpunan solusi dan batasnya ditampilkan sebagai garis putus-putus. Jika pertidaksamaan tidak ketat, maka batas-batas wilayah, yaitu titik-titik grafik fungsi y \u003d f (x), termasuk dalam himpunan solusi untuk pertidaksamaan ini, dan batas dalam hal ini digambarkan sebagai garis padat.
Sekarang mari kita lihat beberapa masalah tentang topik ini.

Tugas 1.

Himpunan titik yang diberikan oleh pertidaksamaan x · y 4?

Keputusan.

1) Kita buat grafik dari persamaan x · y = 4. Untuk melakukannya, kita ubah dulu. Jelas, x tidak berubah menjadi 0 dalam kasus ini, karena jika tidak, kita akan memiliki 0 · y = 4, yang tidak benar. Jadi kita bisa membagi persamaan kita dengan x. Kita peroleh: y = 4/x. Grafik fungsi ini adalah hiperbola. Ini membagi seluruh bidang menjadi dua wilayah: satu di antara dua cabang hiperbola dan yang di luarnya.

2) Kami memilih titik sewenang-wenang dari wilayah pertama, biarkan itu menjadi titik (4; 2).
Memeriksa pertidaksamaan: 4 2 4 salah.

Ini berarti bahwa titik-titik dari daerah ini tidak memenuhi pertidaksamaan asli. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan solusi untuk pertidaksamaan akan menjadi wilayah kedua, di mana titik yang dipilih tidak termasuk.

3) Karena pertidaksamaan tidak tegas, kami menggambar titik batas, yaitu titik-titik grafik fungsi y = 4/x, dengan garis padat.

Mari mewarnai himpunan titik yang mendefinisikan pertidaksamaan asli dengan warna kuning (Gbr. 1).

Tugas 2.

Gambarkan area yang didefinisikan pada bidang koordinat oleh sistem
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 9.

Keputusan.

Kami membangun grafik dari fungsi-fungsi berikut untuk memulai: (Gbr. 2):

y \u003d x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - garis lurus

x 2 + y 2 \u003d 9 adalah lingkaran.

1) y > x 2 + 2.

Kami mengambil titik (0; 5), yang terletak di atas grafik fungsi.
Memeriksa pertidaksamaan: 5 > 0 2 + 2 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas parabola yang diberikan y = x 2 + 2 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna kuning.

2) y + x > 1.

Kami mengambil titik (0; 3), yang terletak di atas grafik fungsi.
Memeriksa pertidaksamaan: 3 + 0 > 1 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas garis y + x = 1 memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna hijau.

3) x2 + y2 9.

Kita ambil sebuah titik (0; -4), yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9.
Memeriksa pertidaksamaan: 0 2 + (-4) 2 9 salah.

Jadi, semua titik yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 9, tidak memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Kemudian kita dapat menyimpulkan bahwa semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 9 memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Mari kita lukis mereka dengan bayangan ungu.

Jangan lupa bahwa jika pertidaksamaannya ketat, maka garis batas yang sesuai harus digambar dengan garis putus-putus. Kami mendapatkan gambar berikut: (Gbr. 3).

(Gbr. 4).

Tugas 3.

Gambarkan area yang didefinisikan pada bidang koordinat oleh sistem:
(x 2 + y 2 16;
(x -y;
(x 2 + y 2 4.

Keputusan.

Untuk memulainya, kami membuat grafik dari fungsi-fungsi berikut:

x 2 + y 2 \u003d 16 - lingkaran,

x \u003d -y - lurus

x 2 + y 2 \u003d 4 - lingkaran (Gbr. 5).

Sekarang kita berurusan dengan setiap ketidaksetaraan secara terpisah.

1) x2 + y2 16.

Kita ambil titik (0;0) yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16.
Memeriksa pertidaksamaan: 0 2 + (0) 2 16 benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di dalam lingkaran x 2 + y 2 = 16 memenuhi pertidaksamaan pertama sistem.
Mari kita warnai mereka dengan warna merah.

Kami mengambil titik (1; 1), yang terletak di atas grafik fungsi.
Kami memeriksa ketidaksetaraan: 1 -1 - benar.

Oleh karena itu, semua titik yang terletak di atas garis x = -y memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna biru.

3) x2 + y2 4.

Kita ambil titik (0; 5), yang terletak di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4.
Kami memeriksa ketidaksetaraan: 0 2 + 5 2 4 benar.

Oleh karena itu, semua titik di luar lingkaran x 2 + y 2 = 4 memenuhi pertidaksamaan ketiga dari sistem. Mari kita warnai mereka dengan warna biru.

Dalam masalah ini, semua ketidaksetaraan tidak ketat, yang berarti bahwa kita menggambar semua batas dengan garis yang solid. Kami mendapatkan gambar berikut: (Gbr. 6).

Area of ​​interest adalah area di mana ketiga area berwarna saling berpotongan. (gambar 7).

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak yakin bagaimana menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Sistem ketidaksetaraan.
Contoh 1. Temukan ruang lingkup ekspresi
Keputusan. Harus ada bilangan non-negatif di bawah tanda akar kuadrat, yang berarti bahwa dua pertidaksamaan harus secara bersamaan berlaku: Dalam kasus seperti itu, masalahnya dikatakan direduksi menjadi penyelesaian sistem pertidaksamaan

Tetapi kita belum menemukan model matematika (sistem pertidaksamaan) seperti itu. Ini berarti bahwa kita belum dapat menyelesaikan solusi dari contoh tersebut.

Pertidaksamaan yang membentuk suatu sistem digabungkan dengan kurung kurawal (sama halnya dengan sistem persamaan). Misalnya, entri

berarti pertidaksamaan 2x - 1 > 3 dan 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Kadang-kadang sistem pertidaksamaan ditulis sebagai pertidaksamaan ganda. Misalnya, sistem pertidaksamaan

dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda 3<2х-1<11.

Dalam kursus aljabar kelas 9, kita hanya akan membahas sistem dua pertidaksamaan.

Perhatikan sistem pertidaksamaan

Anda dapat mengambil beberapa solusi khususnya, misalnya x = 3, x = 4, x = 3,5. Memang, untuk x = 3 pertidaksamaan pertama berbentuk 5 > 3, dan yang kedua - bentuk 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Pada saat yang sama, nilai x = 5 bukan merupakan solusi dari sistem pertidaksamaan. Untuk x = 5, pertidaksamaan pertama berbentuk 9 > 3 - pertidaksamaan numerik yang benar, dan yang kedua - bentuk 13< 11- неверное числовое неравенство .
Memecahkan sistem pertidaksamaan berarti menemukan semua solusi khususnya. Jelas bahwa tebakan seperti yang ditunjukkan di atas bukanlah metode untuk memecahkan sistem pertidaksamaan. Dalam contoh berikut, kami akan menunjukkan bagaimana biasanya seseorang berargumentasi ketika memecahkan sistem pertidaksamaan.

Contoh 3 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Keputusan.

sebuah) Memecahkan pertidaksamaan pertama dari sistem, kita menemukan 2x > 4, x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Memecahkan ketidaksetaraan pertama dari sistem, kami menemukan x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan Kami menandai celah ini pada satu garis koordinat, menggunakan garis atas untuk celah pertama, dan garis bawah untuk yang kedua (Gbr. 23). Penyelesaian sistem pertidaksamaan akan menjadi perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, kita mendapatkan balok

di) Memecahkan pertidaksamaan pertama dari sistem, kita menemukan x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Mari kita generalisasikan penalaran yang dilakukan dalam contoh yang dipertimbangkan. Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan

Misalkan, interval (a, b) adalah solusi dari pertidaksamaan fx 2 > g (x), dan interval (c, d) adalah solusi dari pertidaksamaan f 2 (x) > s 2 (x ). Kami menandai celah ini pada satu garis koordinat, menggunakan garis atas untuk celah pertama, dan garis bawah untuk yang kedua (Gbr. 25). Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. pada gambar. 25 adalah interval (s, b).

Sekarang kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang kita dapatkan di atas, pada contoh 1:

Memecahkan ketidaksetaraan pertama dari sistem, kami menemukan x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Tentu saja, sistem pertidaksamaan tidak harus terdiri dari pertidaksamaan linier, seperti yang terjadi selama ini; setiap ketidaksetaraan rasional (dan tidak hanya rasional) dapat terjadi. Secara teknis, bekerja dengan sistem pertidaksamaan non-linier rasional, tentu saja, lebih sulit, tetapi pada dasarnya tidak ada yang baru (dibandingkan dengan sistem pertidaksamaan linier).

Contoh 4 Memecahkan sistem pertidaksamaan

Keputusan.

1) Memecahkan pertidaksamaan yang kita miliki
Perhatikan titik -3 dan 3 pada garis bilangan (Gbr. 27). Mereka membagi garis menjadi tiga interval, dan pada setiap interval ekspresi p (x) = (x - 3) (x + 3) mempertahankan tanda konstan - tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar. 27. Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan p(x) > 0 terpenuhi (mereka diarsir pada Gambar 27), dan titik-titik di mana persamaan p(x) = 0 terpenuhi, yaitu. poin x \u003d -3, x \u003d 3 (ditandai pada Gambar 2 7 dengan lingkaran hitam). Jadi, dalam gambar. 27 menunjukkan model geometrik untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama.

2) Memecahkan pertidaksamaan yang kita miliki
Perhatikan titik 0 dan 5 pada garis bilangan (Gbr. 28). Mereka membagi garis menjadi tiga interval, dan pada setiap interval ekspresi<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (diarsir pada Gambar 28), dan titik-titik di mana persamaan g (x) - O terpenuhi, yaitu. titik x = 0, x = 5 (mereka ditandai pada Gambar 28 dengan lingkaran hitam). Jadi, dalam gambar. 28 menunjukkan model geometris untuk memecahkan ketidaksetaraan kedua dari sistem.

3) Kami menandai solusi yang ditemukan untuk pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem pada garis koordinat yang sama, menggunakan penetasan atas untuk solusi pertidaksamaan pertama, dan penetasan bawah untuk solusi kedua (Gbr. 29). Penyelesaian sistem pertidaksamaan akan menjadi perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. Interval seperti itu adalah segmen.

Contoh 5 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Keputusan:

sebuah) Dari pertidaksamaan pertama kita temukan x >2. Pertimbangkan ketidaksetaraan kedua. Trinomial kuadrat x 2 + x + 2 tidak memiliki akar real, dan koefisien utamanya (koefisien pada x 2) adalah positif. Ini berarti bahwa untuk semua x pertidaksamaan x 2 + x + 2>0 terpenuhi, dan oleh karena itu pertidaksamaan kedua dari sistem tidak memiliki solusi. Apa artinya ini bagi sistem ketidaksetaraan? Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki solusi.

b) Dari pertidaksamaan pertama kita temukan x > 2, dan pertidaksamaan kedua berlaku untuk semua nilai x. Apa artinya ini bagi sistem ketidaksetaraan? Ini berarti bahwa solusinya memiliki bentuk x>2, yaitu. bertepatan dengan solusi pertidaksamaan pertama.

Menjawab:

a) tidak ada keputusan; b) x>2.

Contoh ini adalah ilustrasi untuk hal-hal berikut yang bermanfaat

1. Jika dalam sistem beberapa pertidaksamaan dengan satu variabel, satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka sistem tersebut tidak memiliki solusi.

2. Jika dalam sistem dua pertidaksamaan dengan satu variabel, satu pertidaksamaan dipenuhi untuk setiap nilai variabel , maka solusi sistem tersebut adalah solusi dari pertidaksamaan kedua sistem tersebut.

Sebagai penutup bagian ini, mari kita kembali ke masalah angka yang dikandung yang diberikan di awal dan menyelesaikannya, seperti yang mereka katakan, sesuai dengan semua aturan.

Contoh 2(lihat hal. 29). Pikirkan bilangan asli. Diketahui bahwa jika 13 ditambahkan ke kuadrat dari angka yang dikandung, maka jumlahnya akan lebih besar dari produk dari angka yang dikandung dan angka 14. Jika 45 ditambahkan ke kuadrat dari angka yang dikandung, maka jumlahnya akan kurang dari produk dari nomor yang dikandung dan nomor 18. Berapa nomor yang dikandung?

Keputusan.

Tahap pertama. Membuat model matematika.
Angka x yang dimaksud, seperti yang kita lihat di atas, harus memenuhi sistem pertidaksamaan

Fase kedua. Bekerja dengan model matematika yang dikompilasi. Mari ubah pertidaksamaan pertama dari sistem ke bentuk
x2- 14x+ 13 > 0.

Mari kita cari akar trinomial x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Menggunakan parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (Gbr. 30), kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan dari minat kami puas untuk x< 1 или x > 13.

Mari kita ubah pertidaksamaan kedua dari sistem ke bentuk x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Mari kita lihat contoh bagaimana menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier.

4x - 19 \end(array) \right.\]" title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Untuk menyelesaikan suatu sistem, masing-masing pertidaksamaan penyusunnya diperlukan. Hanya keputusan yang dibuat untuk menuliskan tidak secara terpisah, tetapi bersama-sama, menggabungkannya dengan tanda kurung kurawal.

Di setiap pertidaksamaan sistem, kami mentransfer yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain dengan tanda yang berlawanan:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Setelah disederhanakan, kedua bagian pertidaksamaan harus dibagi dengan angka sebelum x. Kami membagi pertidaksamaan pertama dengan bilangan positif, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah. Kami membagi pertidaksamaan kedua dengan angka negatif, sehingga tanda pertidaksamaan harus dibalik:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Kami menandai solusi pertidaksamaan pada garis bilangan:

Sebagai tanggapan, kami menuliskan persimpangan solusi, yaitu bagian di mana bayangan berada di kedua garis.

Jawaban: x∈[-2;1).

Mari kita singkirkan pecahan dalam pertidaksamaan pertama. Untuk melakukannya, kita mengalikan kedua bagian suku dengan suku dengan penyebut terkecil 2. Jika dikalikan dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tidak berubah.

Buka tanda kurung pada pertidaksamaan kedua. Produk dari jumlah dan selisih dua ekspresi sama dengan selisih kuadrat dari ekspresi ini. Di sisi kanan adalah kuadrat perbedaan antara dua ekspresi.

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Kami mentransfer yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke sisi lain dengan tanda yang berlawanan dan menyederhanakan:

Bagilah kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan di depan x. Pada pertidaksamaan pertama, kita bagi dengan bilangan negatif, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik. Yang kedua, kita bagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tidak berubah:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Kedua ketidaksetaraan ditandai "kurang dari" (tidak penting bahwa satu tanda benar-benar "kurang dari", yang lain tidak ketat, "kurang dari atau sama dengan"). Kami tidak dapat menandai kedua solusi, tetapi gunakan aturan "". Yang terkecil adalah 1, oleh karena itu, sistem direduksi menjadi pertidaksamaan

Kami menandai solusinya pada garis bilangan:

Jawaban: x∈(-∞;1].

Kami membuka kurung. Pada pertidaksamaan pertama - . Itu sama dengan jumlah pangkat tiga dari ekspresi ini.

Di yang kedua - produk dari jumlah dan perbedaan dua ekspresi, yang sama dengan perbedaan kuadrat. Karena di sini ada tanda minus di depan tanda kurung, lebih baik membukanya dalam dua tahap: pertama gunakan rumus, dan baru kemudian buka tanda kurung, ubah tanda setiap istilah menjadi kebalikannya.

Kami mentransfer yang tidak diketahui ke satu sisi, yang diketahui ke yang lain dengan tanda yang berlawanan:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Keduanya lebih besar dari tanda. Menggunakan aturan "lebih dari lebih", kami mengurangi sistem pertidaksamaan menjadi satu pertidaksamaan. Yang lebih besar dari dua angka adalah 5, jadi

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Kami menandai solusi pertidaksamaan pada garis bilangan dan menuliskan jawabannya:

Jawaban: x∈(5;∞).

Karena sistem pertidaksamaan linier terjadi dalam aljabar tidak hanya sebagai tugas independen, tetapi juga dalam penyelesaian berbagai jenis persamaan, pertidaksamaan, dll., penting untuk mempelajari topik ini tepat waktu.

Lain kali kita akan mempertimbangkan contoh penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dalam kasus khusus ketika salah satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi atau solusinya adalah bilangan berapa pun.

Rubrik: |