Dalam artikel ini, metode dianggap sebagai cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritme solusi dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat bekerja dengan solusi yang memiliki banyak solusi. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.

Apa yang dimaksud dengan Gauss?

Pertama, Anda perlu menuliskan sistem persamaan kami di Tampilannya seperti ini. Sistem diambil:

Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan di sebelah kanan di kolom terpisah - anggota bebas. Kolom dengan anggota bebas dipisahkan untuk kenyamanan.Matriks yang mencakup kolom ini disebut diperpanjang.

Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Ini adalah poin utama penyelesaian sistem dengan metode Gauss. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat seperti ini, sehingga hanya ada nol di bagian kiri bawahnya:

Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, akar lain ditemukan, dan seterusnya.

Ini adalah deskripsi solusi dengan metode Gauss dalam istilah yang paling umum. Dan apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak memiliki solusi? Atau apakah ada jumlah yang tak terbatas dari mereka? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu untuk mempertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam solusi dengan metode Gauss.

Matriks, sifat-sifatnya

Tidak ada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanya cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya. Bahkan anak sekolah tidak perlu takut pada mereka.

Matriks selalu persegi panjang, karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gauss, di mana semuanya bermuara pada membangun matriks segitiga, sebuah persegi panjang muncul di entri, hanya dengan nol di tempat di mana tidak ada angka. Nol dapat dihilangkan, tetapi tersirat.

Matriks memiliki ukuran. "Lebar" adalah jumlah baris (m), "panjang" adalah jumlah kolom (n). Kemudian ukuran matriks A (biasanya digunakan huruf kapital Latin untuk penunjukannya) akan dilambangkan sebagai A m×n . Jika m=n, maka matriks ini persegi, dan m=n adalah ordenya. Dengan demikian, setiap elemen dari matriks A dapat dilambangkan dengan jumlah baris dan kolomnya: a xy ; x - nomor baris, perubahan , y - nomor kolom, perubahan .

B bukanlah titik utama dari solusi. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasi akan menjadi jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk bingung di dalamnya.

penentu

Matriks juga memiliki determinan. Ini adalah fitur yang sangat penting. Mencari tahu artinya sekarang tidak sepadan, Anda cukup menunjukkan cara menghitungnya, dan kemudian memberi tahu properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk menemukan determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen yang terletak di masing-masingnya dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda "plus", dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda "minus".

Sangat penting untuk dicatat bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (misalkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen yang terletak di persimpangan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan selain nol, maka matriks tersebut disebut basis minor dari matriks persegi panjang semula.

Sebelum melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan dengan metode Gauss, tidak ada salahnya untuk menghitung determinannya. Jika ternyata nol, maka kita dapat segera mengatakan bahwa matriks tersebut memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.

Klasifikasi sistem

Ada yang namanya pangkat matriks. Ini adalah urutan maksimum determinannya, yang berbeda dari nol (jika kita mengingat basis minor, kita dapat mengatakan bahwa pangkat suatu matriks adalah urutan basis minor).

Menurut bagaimana hal-hal dengan peringkat, SLAE dapat dibagi menjadi:

• Persendian. Pada dari sistem gabungan, peringkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan peringkat matriks yang diperluas (dengan kolom anggota bebas). Sistem seperti itu memiliki solusi, tetapi tidak harus satu, oleh karena itu, sistem gabungan juga dibagi menjadi:
• - yakin- memiliki solusi yang unik. Dalam sistem tertentu, peringkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama) adalah sama;
• - tidak terbatas - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Peringkat matriks untuk sistem tersebut kurang dari jumlah yang tidak diketahui.
• tidak kompatibel. Pada sistem seperti itu, jajaran matriks utama dan matriks diperpanjang tidak bertepatan. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.

Metode Gauss baik karena memungkinkan seseorang untuk memperoleh bukti yang tidak ambigu dari inkonsistensi sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar) atau solusi umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terbatas.

Transformasi dasar

Sebelum melanjutkan langsung ke solusi sistem, dimungkinkan untuk membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks, yang sumbernya adalah SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:

1. Permutasi string. Jelas bahwa jika kita mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, maka ini tidak akan mempengaruhi solusi dengan cara apa pun. Akibatnya, dimungkinkan juga untuk menukar baris dalam matriks sistem ini, tentu saja tidak melupakan kolom anggota bebas.
2. Mengalikan semua elemen string dengan beberapa faktor. Sangat berguna! Dengan itu, Anda dapat mengurangi angka besar dalam matriks atau menghapus nol. Himpunan solusi, seperti biasa, tidak akan berubah, dan akan menjadi lebih nyaman untuk melakukan operasi lebih lanjut. Hal utama adalah bahwa koefisiennya tidak sama dengan nol.
3. Hapus baris dengan koefisien proporsional. Ini sebagian mengikuti dari paragraf sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks memiliki koefisien proporsional, maka ketika mengalikan / membagi salah satu baris dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan Anda dapat menghapus yang ekstra, hanya menyisakan satu.
4. Menghapus baris nol. Jika dalam proses transformasi sebuah string diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk anggota bebas, adalah nol, maka string seperti itu dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
5. Menambahkan elemen satu baris ke elemen lain (dalam kolom yang sesuai), dikalikan dengan koefisien tertentu. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Layak untuk memikirkannya secara lebih rinci.

Menambahkan string dikalikan dengan faktor

Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya membongkar proses ini selangkah demi selangkah. Dua baris diambil dari matriks:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Misalkan Anda perlu menambahkan yang pertama ke yang kedua, dikalikan dengan koefisien "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Kemudian dalam matriks baris kedua diganti dengan yang baru, dan yang pertama tetap tidak berubah.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Perlu dicatat bahwa faktor perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil dari penambahan dua string, salah satu elemen dari string baru sama dengan nol. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk memperoleh persamaan dalam sistem, di mana akan ada satu yang kurang diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang sudah mengandung dua lebih sedikit yang tidak diketahui. Dan jika setiap kali kita beralih ke nol satu koefisien untuk semua baris yang lebih rendah dari yang asli, maka kita dapat, seperti langkah-langkah, turun ke bagian paling bawah dari matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini disebut penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian.

Secara umum

Biar ada sistemnya. Ini memiliki m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menuliskannya seperti ini:

Matriks utama dikompilasi dari koefisien sistem. Kolom anggota bebas ditambahkan ke matriks yang diperluas dan dipisahkan oleh batang untuk kenyamanan.

• baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k = (-a 21 / a 11);
• baris pertama yang dimodifikasi dan baris kedua dari matriks ditambahkan;
• alih-alih baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
• sekarang koefisien pertama di baris kedua yang baru adalah 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, dalam setiap langkah algoritma, elemen a 21 diganti dengan a 31 . Kemudian semuanya diulang untuk 41 , ... a m1 . Hasilnya adalah matriks di mana elemen pertama dalam baris sama dengan nol. Sekarang kita perlu melupakan baris nomor satu dan menjalankan algoritma yang sama mulai dari baris kedua:

• koefisien k \u003d (-a 32 / a 22);
• baris kedua yang dimodifikasi ditambahkan ke baris "saat ini";
• hasil penambahan disubstitusikan pada baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tetap tidak berubah;
• dalam baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.

Algoritma harus diulang sampai koefisien k = (-a m,m-1 /a mm) muncul. Ini berarti bahwa algoritma terakhir dijalankan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriks terlihat seperti segitiga, atau memiliki bentuk loncatan. Intinya berisi persamaan a mn × x n = b m . Koefisien dan suku bebas diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris atas untuk menemukan x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada root baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, Anda dapat menemukan banyak solusi. Ini akan menjadi satu-satunya.

Ketika tidak ada solusi

Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen, kecuali suku bebas, sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris ini terlihat seperti 0 = b. Ini tidak memiliki solusi. Dan karena persamaan seperti itu termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi dari seluruh sistem adalah kosong, yaitu, merosot.

Ketika ada sejumlah solusi yang tak terbatas

Mungkin ternyata dalam matriks segitiga tereduksi tidak ada baris dengan satu elemen-koefisien persamaan, dan satu - anggota bebas. Hanya ada string yang, ketika ditulis ulang, akan terlihat seperti persamaan dengan dua atau lebih variabel. Ini berarti bahwa sistem memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas. Dalam hal ini, jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana cara melakukannya?

Semua variabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Dasar - ini adalah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks bertahap. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar ditulis dalam bentuk variabel bebas.

Untuk memudahkan, matriks tersebut terlebih dahulu ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian yang terakhir dari mereka, di mana hanya satu variabel dasar yang tersisa, itu tetap di satu sisi, dan yang lainnya ditransfer ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, di sisa persamaan, jika memungkinkan, alih-alih variabel dasar, ekspresi yang diperoleh untuk itu diganti. Jika hasilnya kembali merupakan ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan diekspresikan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Ini adalah solusi umum dari SLAE.

Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan variabel bebas nilai apa pun, dan kemudian untuk kasus khusus ini hitung nilai variabel dasar. Ada banyak solusi khusus yang tak terhingga.

Solusi dengan contoh spesifik

Berikut adalah sistem persamaan.

Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya

Diketahui bahwa ketika menyelesaikan dengan metode Gauss, persamaan yang sesuai dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama dari baris yang tersisa setelah operasi akan menjadi nol. Ini berarti bahwa dalam matriks yang dikompilasi akan menguntungkan untuk menempatkan yang kedua di tempat baris pertama.

baris kedua: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Sekarang, agar tidak bingung, perlu untuk menuliskan matriks dengan hasil antara dari transformasi.

Jelas bahwa matriks seperti itu dapat dibuat lebih nyaman untuk persepsi dengan bantuan beberapa operasi. Misalnya, Anda dapat menghapus semua "minus" dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1".

Perlu juga dicatat bahwa di baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Kemudian Anda dapat mengurangi string dengan angka ini, mengalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - pada saat yang sama untuk menghapus nilai negatif).

Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan koefisien sedemikian rupa sehingga elemen a 32 menjadi sama dengan nol.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 pecahan, dan baru kemudian, ketika jawaban diterima, putuskan apakah akan dibulatkan dan diterjemahkan ke dalam bentuk notasi lain)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matriks ditulis kembali dengan nilai baru.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah memiliki bentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut dengan metode Gauss tidak diperlukan. Apa yang dapat dilakukan di sini adalah menghapus koefisien keseluruhan "-1/7" dari baris ketiga.

Sekarang semuanya indah. Intinya kecil - tulis matriks lagi dalam bentuk sistem persamaan dan hitung akarnya

x + 2y + 4z = 12(1)

7th + 11z = 24 (2)

Algoritma dimana akar sekarang akan ditemukan disebut langkah mundur dalam metode Gauss. Persamaan (3) berisi nilai z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Dan persamaan pertama memungkinkan Anda menemukan x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Kami memiliki hak untuk menyebut sistem seperti itu bersama, dan bahkan pasti, yaitu, memiliki solusi unik. Jawaban ditulis dalam bentuk berikut:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Contoh sistem tak tentu

Varian penyelesaian sistem tertentu dengan metode Gauss telah dianalisis, sekarang perlu untuk mempertimbangkan kasus jika sistem tidak terbatas, yaitu, banyak solusi yang dapat ditemukan untuk itu.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Bentuk sistem itu sendiri sudah mengkhawatirkan, karena jumlah yang tidak diketahui adalah n = 5, dan peringkat matriks sistem sudah tepat kurang dari angka ini, karena jumlah baris adalah m = 4, yaitu, orde terbesar dari determinan kuadrat adalah 4. Ini berarti ada tak hingga banyaknya solusi, dan perlu dicari bentuk umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan untuk melakukan ini.

Pertama, seperti biasa, matriks yang diperbesar dikompilasi.

Baris kedua: koefisien k = (-a 21 / a 11) = -3. Di baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Mengalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris yang diinginkan, kita memperoleh matriks dengan bentuk berikut:

Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen-elemen yang proporsional satu sama lain. Yang kedua dan keempat umumnya sama, jadi salah satunya dapat segera dihapus, dan sisanya dikalikan dengan koefisien "-1" dan dapatkan nomor baris 3. Dan lagi, sisakan salah satu dari dua garis yang identik.

Ternyata matriks seperti itu. Sistem belum ditulis, perlu di sini untuk menentukan variabel dasar - berdiri di koefisien a 11 \u003d 1 dan a 22 \u003d 1, dan gratis - sisanya.

Persamaan kedua hanya memiliki satu variabel dasar - x 2 . Oleh karena itu, dapat dinyatakan dari sana, menulis melalui variabel x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.

Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama.

Ternyata persamaan di mana satu-satunya variabel dasar adalah x 1. Mari kita lakukan hal yang sama dengan x 2 .

Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas, sekarang Anda dapat menulis jawabannya dalam bentuk umum.

Anda juga dapat menentukan salah satu solusi khusus dari sistem. Untuk kasus seperti itu, sebagai aturan, nol dipilih sebagai nilai untuk variabel bebas. Maka jawabannya akan menjadi:

16, 23, 0, 0, 0.

Contoh sistem yang tidak kompatibel

Penyelesaian sistem persamaan yang tidak konsisten dengan metode Gauss adalah yang tercepat. Itu berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, panggung dengan perhitungan akar yang cukup panjang dan suram itu menghilang. Sistem berikut dipertimbangkan:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Seperti biasa, matriks dikompilasi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Dan itu direduksi menjadi bentuk bertahap:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk

tidak memiliki solusi. Oleh karena itu, sistem tidak konsisten, dan jawabannya adalah himpunan kosong.

Kelebihan dan kekurangan metode

Jika Anda memilih metode mana untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dipertimbangkan dalam artikel ini terlihat paling menarik. Dalam transformasi dasar, jauh lebih sulit untuk menjadi bingung daripada yang terjadi jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun, jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, misalnya, spreadsheet, ternyata program tersebut sudah berisi algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, invers, dan sebagainya. Dan jika Anda yakin bahwa mesin akan menghitung nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesalahan, lebih baik menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penerapannya dimulai dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks invers.

Aplikasi

Karena solusi Gaussian adalah suatu algoritma, dan matriksnya, pada kenyataannya, adalah array dua dimensi, maka solusi tersebut dapat digunakan dalam pemrograman. Tetapi karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan "untuk boneka", harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk memasukkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya, Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka, ada banyak perintah yang bagus: penambahan (Anda hanya dapat menambahkan matriks dengan ukuran yang sama!), Perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga dengan batasan tertentu), menemukan matriks terbalik dan ditransposisikan dan, yang paling penting , menghitung determinan. Jika tugas yang memakan waktu ini digantikan oleh satu perintah, akan jauh lebih cepat untuk menentukan peringkat matriks dan, oleh karena itu, untuk menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensinya.

Sejak awal abad 16-18, ahli matematika mulai mempelajari fungsi secara intensif, berkat begitu banyak yang telah berubah dalam hidup kita. Teknologi komputer tanpa pengetahuan ini tidak akan ada. Untuk memecahkan masalah yang kompleks, persamaan dan fungsi linier, berbagai konsep, teorema, dan teknik penyelesaian telah dibuat. Salah satu metode dan metode universal dan rasional untuk menyelesaikan persamaan linier dan sistemnya adalah metode Gauss. Matriks, peringkatnya, determinannya - semuanya dapat dihitung tanpa menggunakan operasi yang rumit.

Apa itu SLAU?

Dalam matematika, ada konsep SLAE - sistem persamaan aljabar linier. Apa yang dia wakili? Ini adalah satu set persamaan m dengan n yang tidak diketahui yang diperlukan, biasanya dilambangkan sebagai x, y, z, atau x 1 , x 2 ... x n, atau simbol lainnya. Menyelesaikan sistem ini dengan metode Gaussian berarti menemukan semua yang tidak diketahui yang tidak diketahui. Jika suatu sistem memiliki jumlah yang tidak diketahui dan persamaan yang sama, maka itu disebut sistem orde ke-n.

Metode paling populer untuk menyelesaikan SLAE

Di lembaga pendidikan pendidikan menengah, berbagai metode penyelesaian sistem semacam itu sedang dipelajari. Paling sering, ini adalah persamaan sederhana yang terdiri dari dua yang tidak diketahui, sehingga metode apa pun yang ada untuk menemukan jawabannya tidak akan memakan banyak waktu. Ini bisa seperti metode substitusi, ketika persamaan lain diturunkan dari satu persamaan dan disubstitusikan ke persamaan aslinya. Atau istilah demi istilah pengurangan dan penambahan. Tetapi metode Gauss dianggap yang termudah dan paling universal. Itu memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan sejumlah yang tidak diketahui. Mengapa teknik ini dianggap rasional? Semuanya sederhana. Metode matriks bagus karena tidak perlu beberapa kali untuk menulis ulang karakter yang tidak perlu dalam bentuk yang tidak diketahui, cukup melakukan operasi aritmatika pada koefisien - dan Anda akan mendapatkan hasil yang andal.

Di mana SLAE digunakan dalam praktik?

Penyelesaian SLAE adalah titik potong garis pada grafik fungsi. Di era komputer berteknologi tinggi kita, orang-orang yang terlibat erat dalam pengembangan game dan program lain perlu mengetahui cara memecahkan sistem seperti itu, apa yang diwakilinya, dan bagaimana memeriksa kebenaran hasil yang dihasilkan. Paling sering, programmer mengembangkan kalkulator aljabar linier khusus, ini termasuk sistem persamaan linier. Metode Gauss memungkinkan Anda untuk menghitung semua solusi yang ada. Rumus dan teknik sederhana lainnya juga digunakan.

Kriteria kompatibilitas SLAE

Sistem seperti itu hanya dapat diselesaikan jika kompatibel. Untuk kejelasan, kami menyajikan SLAE dalam bentuk Ax=b. Ini memiliki solusi jika rang(A) sama dengan rang(A,b). Dalam hal ini, (A,b) adalah matriks bentuk diperluas yang dapat diperoleh dari matriks A dengan menulis ulang dengan suku bebas. Ternyata menyelesaikan persamaan linear menggunakan metode Gaussian cukup mudah.

Mungkin beberapa notasi tidak sepenuhnya jelas, jadi perlu untuk mempertimbangkan semuanya dengan sebuah contoh. Katakanlah ada sistem: x+y=1; 2x-3y=6. Ini hanya terdiri dari dua persamaan di mana ada 2 yang tidak diketahui. Sistem akan memiliki solusi hanya jika pangkat matriksnya sama dengan pangkat matriks yang diperbesar. Apa itu pangkat? Ini adalah jumlah garis independen dari sistem. Dalam kasus kami, peringkat matriks adalah 2. Matriks A akan terdiri dari koefisien yang terletak di dekat yang tidak diketahui, dan koefisien di belakang tanda “=” juga akan masuk ke dalam matriks yang diperluas.

Mengapa SLAE dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks

Berdasarkan kriteria kompatibilitas menurut teorema Kronecker-Capelli yang telah terbukti, sistem persamaan aljabar linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Dengan menggunakan metode kaskade Gaussian, Anda dapat memecahkan matriks dan mendapatkan satu-satunya jawaban yang dapat diandalkan untuk keseluruhan sistem. Jika peringkat matriks biasa sama dengan peringkat matriks yang diperluas, tetapi kurang dari jumlah yang tidak diketahui, maka sistem memiliki jumlah jawaban yang tak terbatas.

Transformasi matriks

Sebelum beralih ke pemecahan matriks, perlu diketahui tindakan apa yang dapat dilakukan pada elemen-elemennya. Ada beberapa transformasi dasar:

• Dengan menulis ulang sistem ke dalam bentuk matriks dan melakukan penyelesaiannya, dimungkinkan untuk mengalikan semua elemen deret dengan koefisien yang sama.
• Untuk mengubah matriks ke bentuk kanonik, dua baris paralel dapat ditukar. Bentuk kanonik menyiratkan bahwa semua elemen matriks yang terletak di sepanjang diagonal utama menjadi satu, dan sisanya menjadi nol.
• Elemen-elemen yang bersesuaian dari baris-baris paralel matriks dapat ditambahkan satu ke yang lain.

Metode Jordan-Gauss

Inti dari penyelesaian sistem persamaan linear homogen dan tidak homogen dengan metode Gauss adalah untuk secara bertahap menghilangkan yang tidak diketahui. Katakanlah kita memiliki sistem dua persamaan di mana ada dua yang tidak diketahui. Untuk menemukannya, Anda perlu memeriksa kompatibilitas sistem. Persamaan Gaussian diselesaikan dengan sangat sederhana. Penting untuk menuliskan koefisien yang terletak di dekat setiap yang tidak diketahui dalam bentuk matriks. Untuk menyelesaikan sistem, Anda perlu menulis matriks yang diperbesar. Jika salah satu persamaan berisi jumlah yang lebih kecil dari yang tidak diketahui, maka "0" harus diletakkan di tempat elemen yang hilang. Semua metode transformasi yang dikenal diterapkan ke matriks: perkalian, pembagian dengan angka, menambahkan elemen baris yang sesuai satu sama lain, dan lainnya. Ternyata di setiap baris perlu untuk meninggalkan satu variabel dengan nilai "1", sisanya harus dikurangi menjadi nol. Untuk pemahaman yang lebih akurat, perlu untuk mempertimbangkan metode Gauss dengan contoh.

Contoh sederhana untuk menyelesaikan sistem 2x2

Untuk memulainya, mari kita ambil sistem persamaan aljabar sederhana, di mana akan ada 2 yang tidak diketahui.

Mari kita tulis ulang dalam matriks yang diperbesar.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ini, hanya diperlukan dua operasi. Kita perlu membawa matriks ke bentuk kanonik sehingga ada unit di sepanjang diagonal utama. Jadi, menerjemahkan dari bentuk matriks kembali ke dalam sistem, kita mendapatkan persamaan: 1x+0y=b1 dan 0x+1y=b2, di mana b1 dan b2 adalah jawaban yang diperoleh dalam proses penyelesaian.

1. Langkah pertama dalam menyelesaikan matriks yang diperbesar adalah sebagai berikut: baris pertama harus dikalikan dengan -7 dan elemen yang sesuai ditambahkan ke baris kedua, masing-masing, untuk menghilangkan satu yang tidak diketahui dalam persamaan kedua.
2. Karena penyelesaian persamaan dengan metode Gauss menyiratkan membawa matriks ke bentuk kanonik, maka perlu untuk melakukan operasi yang sama dengan persamaan pertama dan menghapus variabel kedua. Untuk melakukan ini, kami mengurangi baris kedua dari yang pertama dan mendapatkan jawaban yang diperlukan - solusi SLAE. Atau, seperti yang ditunjukkan pada gambar, kita mengalikan baris kedua dengan faktor -1 dan menambahkan elemen baris kedua ke baris pertama. Ini sama.

Seperti yang Anda lihat, sistem kami diselesaikan dengan metode Jordan-Gauss. Kami menulis ulang dalam bentuk yang diperlukan: x=-5, y=7.

Contoh penyelesaian SLAE 3x3

Misalkan kita memiliki sistem persamaan linier yang lebih kompleks. Metode Gauss memungkinkan untuk menghitung jawaban bahkan untuk sistem yang tampaknya paling membingungkan. Oleh karena itu, untuk mempelajari lebih dalam metodologi perhitungan, kita dapat beralih ke contoh yang lebih kompleks dengan tiga yang tidak diketahui.

Seperti pada contoh sebelumnya, kami menulis ulang sistem dalam bentuk matriks yang diperluas dan mulai membawanya ke bentuk kanonik.

Untuk mengatasi sistem ini, Anda perlu melakukan lebih banyak tindakan daripada pada contoh sebelumnya.

1. Pertama, Anda perlu membuat di kolom pertama satu elemen tunggal dan sisanya nol. Untuk melakukannya, kalikan persamaan pertama dengan -1 dan tambahkan persamaan kedua ke dalamnya. Penting untuk diingat bahwa kami menulis ulang baris pertama dalam bentuk aslinya, dan yang kedua - sudah dalam bentuk yang dimodifikasi.
2. Selanjutnya, kami menghapus yang tidak diketahui pertama yang sama dari persamaan ketiga. Untuk melakukan ini, kami mengalikan elemen baris pertama dengan -2 dan menambahkannya ke baris ketiga. Sekarang baris pertama dan kedua ditulis ulang dalam bentuk aslinya, dan yang ketiga - sudah dengan perubahan. Seperti yang Anda lihat dari hasilnya, kami mendapatkan yang pertama di awal diagonal utama matriks dan sisanya adalah nol. Beberapa tindakan lagi, dan sistem persamaan dengan metode Gauss akan diselesaikan dengan andal.
3. Sekarang Anda perlu melakukan operasi pada elemen baris lainnya. Langkah ketiga dan keempat bisa digabungkan menjadi satu. Kita perlu membagi garis kedua dan ketiga dengan -1 untuk menghilangkan garis negatif pada diagonal. Kami telah membawa baris ketiga ke formulir yang diperlukan.
4. Selanjutnya, kita mengkanonikalisasi baris kedua. Untuk melakukan ini, kami mengalikan elemen baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris kedua matriks. Dapat dilihat dari hasil bahwa baris kedua juga direduksi menjadi bentuk yang kita butuhkan. Tetap melakukan beberapa operasi lagi dan menghapus koefisien yang tidak diketahui dari baris pertama.
5. Untuk membuat 0 dari elemen kedua baris, Anda perlu mengalikan baris ketiga dengan -3 dan menambahkannya ke baris pertama.
6. Langkah menentukan berikutnya adalah menambahkan elemen yang diperlukan dari baris kedua ke baris pertama. Jadi kita mendapatkan bentuk kanonik dari matriks, dan, karenanya, jawabannya.

Seperti yang Anda lihat, solusi persamaan dengan metode Gauss cukup sederhana.

Contoh penyelesaian sistem persamaan 4x4

Beberapa sistem persamaan yang lebih kompleks dapat diselesaikan dengan metode Gaussian menggunakan program komputer. Penting untuk mengarahkan koefisien untuk yang tidak diketahui ke dalam sel kosong yang ada, dan program akan menghitung hasil yang diperlukan langkah demi langkah, menjelaskan setiap tindakan secara rinci.

Petunjuk langkah demi langkah untuk memecahkan contoh seperti itu dijelaskan di bawah ini.

Pada langkah pertama, koefisien bebas dan angka untuk yang tidak diketahui dimasukkan ke dalam sel kosong. Jadi, kita mendapatkan matriks augmented yang sama yang kita tulis dengan tangan.

Dan semua operasi aritmatika yang diperlukan dilakukan untuk membawa matriks yang diperluas ke bentuk kanonik. Harus dipahami bahwa jawaban sistem persamaan tidak selalu bilangan bulat. Terkadang solusinya bisa dari bilangan pecahan.

Memeriksa kebenaran solusi

Metode Jordan-Gauss menyediakan untuk memeriksa kebenaran hasil. Untuk mengetahui apakah koefisien dihitung dengan benar, Anda hanya perlu mengganti hasilnya ke dalam sistem persamaan asli. Ruas kiri persamaan harus sama dengan ruas kanan, yang berada di belakang tanda sama dengan. Jika jawabannya tidak cocok, maka Anda perlu menghitung ulang sistem atau mencoba menerapkan metode lain untuk menyelesaikan SLAE yang Anda ketahui, seperti substitusi atau pengurangan dan penambahan suku demi suku. Bagaimanapun, matematika adalah ilmu yang memiliki sejumlah besar metode penyelesaian yang berbeda. Tapi ingat: hasilnya harus selalu sama, apa pun metode solusi yang Anda gunakan.

Metode Gauss: kesalahan paling umum dalam menyelesaikan SLAE

Selama penyelesaian sistem persamaan linier, kesalahan paling sering terjadi, seperti transfer koefisien yang salah ke bentuk matriks. Ada sistem di mana beberapa yang tidak diketahui hilang dalam salah satu persamaan, kemudian, mentransfer data ke matriks yang diperluas, mereka dapat hilang. Akibatnya, ketika memecahkan sistem ini, hasilnya mungkin tidak sesuai dengan yang sebenarnya.

Kesalahan utama lainnya adalah penulisan hasil akhir yang salah. Harus dipahami dengan jelas bahwa koefisien pertama akan sesuai dengan yang pertama tidak diketahui dari sistem, yang kedua - ke yang kedua, dan seterusnya.

Metode Gauss menjelaskan secara rinci solusi persamaan linier. Berkat dia, mudah untuk melakukan operasi yang diperlukan dan menemukan hasil yang tepat. Selain itu, ini adalah alat universal untuk menemukan jawaban yang andal untuk persamaan dengan kompleksitas apa pun. Mungkin itu sebabnya sering digunakan dalam menyelesaikan SLAE.

Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan, yang harus diselesaikan (temukan nilai-nilai yang tidak diketahui i yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).

Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:

1) Tidak memiliki solusi (menjadi tidak cocok).
2) Memiliki banyak solusi.
3) Memiliki solusi yang unik.

Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok dalam kasus di mana sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten. Metode Gauss – alat yang paling kuat dan serbaguna untuk menemukan solusi untuk setiap sistem persamaan linier, yang dalam setiap kasus membawa kita ke jawabannya! Algoritma metode dalam ketiga kasus bekerja dengan cara yang sama. Jika metode Cramer dan matriks membutuhkan pengetahuan tentang determinan, maka penerapan metode Gauss hanya membutuhkan pengetahuan tentang operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.

Transformasi matriks yang diperluas ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom istilah bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:

1) dengan troky matriks bisa mengatur kembali tempat.

2) jika ada (atau) baris proporsional (sebagai kasus khusus - identik) dalam matriks, maka berikut: menghapus dari matriks, semua baris ini kecuali satu.

3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka itu juga mengikuti menghapus.

4) baris matriks dapat mengalikan (membagi) ke nomor apa pun selain nol.

5) ke baris matriks, Anda dapat tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.

Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.

Metode Gauss terdiri dari dua tahap:

1. "Langkah langsung" - menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen dari matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah ). Misalnya, untuk jenis ini:

Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:

1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien pada x 1 sama dengan K. Yang kedua, ketiga, dst. kami mengubah persamaan sebagai berikut: kami membagi setiap persamaan (koefisien untuk yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien untuk x 1 yang tidak diketahui, yang ada di setiap persamaan, dan dikalikan dengan K. Setelah itu, kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien untuk yang tidak diketahui dan istilah bebas). Kita mendapatkan di x 1 dalam persamaan kedua koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama, jadi sampai semua persamaan, kecuali yang pertama, dengan x 1 yang tidak diketahui tidak akan memiliki koefisien 0.

2) Pindah ke persamaan berikutnya. Biarkan ini menjadi persamaan kedua dan koefisien pada x 2 sama dengan M. Dengan semua persamaan "bawahan", kita lanjutkan seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui dalam semua persamaan akan menjadi nol.

3) Kami meneruskan ke persamaan berikutnya dan seterusnya sampai satu suku bebas terakhir yang tidak diketahui dan diubah tetap.

1. "Gerakan terbalik" dari metode Gauss adalah untuk mendapatkan solusi sistem persamaan aljabar linier (gerakan "bawah ke atas"). Dari persamaan "lebih rendah" terakhir kita mendapatkan satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan dasar A * x n \u003d B. Dalam contoh di atas, x 3 \u003d 4. Kami mengganti nilai yang ditemukan dalam persamaan "atas" berikutnya dan menyelesaikannya sehubungan dengan yang tidak diketahui berikutnya. Misalnya, x 2 - 4 \u003d 1, mis. x 2 \u003d 5. Dan seterusnya sampai kami menemukan semua yang tidak diketahui.

Contoh.

Kami memecahkan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, seperti yang disarankan oleh beberapa penulis:

Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk langkah:

Kami melihat "langkah" kiri atas. Di sana kita harus memiliki unit. Masalahnya adalah tidak ada yang sama sekali di kolom pertama, jadi tidak ada yang bisa diselesaikan dengan mengatur ulang baris. Dalam kasus seperti itu, unit harus diatur menggunakan transformasi dasar. Ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan seperti ini:
1 langkah . Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan -1. Artinya, kami secara mental mengalikan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.

Sekarang di kiri atas "minus satu", yang sangat cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan -1 (ubah tandanya).

2 langkah . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

3 langkah . Baris pertama dikalikan dengan -1, pada prinsipnya, ini untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke tempat kedua, sehingga pada "langkah kedua, kami memiliki unit yang diinginkan.

4 langkah . Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, dikalikan 2.

5 langkah . Baris ketiga dibagi 3.

Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang salah ketik) adalah garis bawah yang "buruk". Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 | 23) di bawah ini, dan, oleh karena itu, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat probabilitas yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa kesalahan telah dibuat selama sekolah dasar. transformasi.

Kami melakukan gerakan terbalik, dalam desain contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis ulang, dan persamaan "diambil langsung dari matriks yang diberikan". Gerakan sebaliknya, saya ingatkan Anda, bekerja "dari bawah ke atas." Dalam contoh ini, hadiahnya ternyata:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, oleh karena itu x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Menjawab:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Mari kita selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Bagi persamaan kedua dengan 5 dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita dapatkan:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Bagi persamaan ketiga dengan 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Kami mengurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga, kami mendapatkan matriks augmented "melangkah":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Jadi, karena kesalahan terakumulasi dalam proses perhitungan, kami mendapatkan x 3 \u003d 0,96, atau sekitar 1.

x 2 \u003d 3 dan x 1 \u003d -1.

Memecahkan dengan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan, meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.

Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak memperhitungkan fitur khusus dari koefisien untuk yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien non-bilangan bulat.

Semoga Anda beruntung! Sampai jumpa di kelas! Guru Dmitry Aistrakhanov.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Dua sistem persamaan linear dikatakan ekuivalen jika himpunan semua penyelesaiannya sama.

Transformasi dasar dari sistem persamaan adalah:

1. Penghapusan dari sistem persamaan trivial, mis. yang semua koefisiennya sama dengan nol;
2. Mengalikan persamaan apa pun dengan angka bukan nol;
3. Penjumlahan ke persamaan ke-i apa pun dari persamaan ke-j apa pun, dikalikan dengan angka apa pun.

Variabel x i disebut bebas jika variabel ini tidak diperbolehkan, dan seluruh sistem persamaan diperbolehkan.

Dalil. Transformasi dasar mengubah sistem persamaan menjadi setara.

Arti dari metode Gauss adalah untuk mengubah sistem persamaan asli dan mendapatkan sistem yang tidak konsisten yang setara atau setara.

Jadi, metode Gauss terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Perhatikan persamaan pertama. Kami memilih koefisien bukan nol pertama dan membagi seluruh persamaan dengannya. Kami memperoleh persamaan di mana beberapa variabel x i masuk dengan koefisien 1;
2. Mari kita kurangi persamaan ini dari yang lain, mengalikannya dengan angka sedemikian rupa sehingga koefisien untuk variabel x i dalam persamaan yang tersisa ditetapkan ke nol. Kami mendapatkan sistem yang diselesaikan sehubungan dengan variabel x i dan setara dengan yang asli;
3. Jika persamaan sepele muncul (jarang, tetapi itu terjadi; misalnya, 0 = 0), kami menghapusnya dari sistem. Akibatnya, persamaan menjadi kurang satu;
4. Kami mengulangi langkah sebelumnya tidak lebih dari n kali, di mana n adalah jumlah persamaan dalam sistem. Setiap kali kami memilih variabel baru untuk "diproses". Jika persamaan yang bertentangan muncul (misalnya, 0 = 8), sistem tidak konsisten.

Akibatnya, setelah beberapa langkah kami memperoleh sistem yang diizinkan (mungkin dengan variabel bebas) atau yang tidak konsisten. Sistem yang diizinkan terbagi dalam dua kasus:

1. Banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan. Jadi sistem didefinisikan;
2. Jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan. Kami mengumpulkan semua variabel gratis di sebelah kanan - kami mendapatkan rumus untuk variabel yang diizinkan. Rumus ini ditulis dalam jawabannya.

Itu saja! Sistem persamaan linear diselesaikan! Ini adalah algoritma yang cukup sederhana, dan untuk menguasainya, Anda tidak perlu menghubungi tutor matematika. Pertimbangkan sebuah contoh:

Tugas. Memecahkan sistem persamaan:

Deskripsi langkah:

1. Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kami mengalikan persamaan kedua dengan (−1), dan membagi persamaan ketiga dengan (−3) - kami mendapatkan dua persamaan di mana variabel x 2 masuk dengan koefisien 1;
3. Kami menambahkan persamaan kedua ke yang pertama, dan mengurangi dari yang ketiga. Mari kita dapatkan variabel yang diizinkan x 2 ;
4. Akhirnya, kami mengurangi persamaan ketiga dari yang pertama - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 3 ;
5. Kami telah menerima sistem yang berwenang, kami menuliskan jawabannya.

Solusi umum dari sistem gabungan persamaan linier adalah sistem baru, setara dengan yang asli, di mana semua variabel yang diizinkan dinyatakan dalam variabel bebas.

Kapan solusi umum diperlukan? Jika Anda harus mengambil langkah lebih sedikit dari k (k adalah berapa banyak persamaan total). Namun, alasan mengapa proses berakhir pada beberapa langkah l< k , может быть две:

1. Setelah langkah ke-l, kita mendapatkan sistem yang tidak memuat persamaan dengan bilangan (l + 1). Sebenarnya, ini bagus, karena. sistem yang diselesaikan tetap diterima - bahkan beberapa langkah sebelumnya.
2. Setelah langkah ke-l, diperoleh persamaan yang semua koefisien variabelnya sama dengan nol, dan koefisien bebasnya berbeda dengan nol. Ini adalah persamaan yang tidak konsisten, dan, oleh karena itu, sistemnya tidak konsisten.

Penting untuk dipahami bahwa munculnya persamaan yang tidak konsisten dengan metode Gauss adalah alasan yang cukup untuk inkonsistensi. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa sebagai hasil dari langkah ke-l, persamaan sepele tidak dapat dipertahankan - semuanya dihapus secara langsung dalam proses.

Deskripsi langkah:

1. Kurangi persamaan pertama kali 4 dari persamaan kedua. Dan juga tambahkan persamaan pertama ke persamaan ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kami mengurangi persamaan ketiga, dikalikan dengan 2, dari yang kedua - kami mendapatkan persamaan kontradiktif 0 = 5.

Jadi, sistem tidak konsisten, karena persamaan yang tidak konsisten telah ditemukan.

Tugas. Selidiki kompatibilitas dan temukan solusi umum sistem:

Deskripsi langkah:

1. Kami mengurangi persamaan pertama dari yang kedua (setelah mengalikan dengan dua) dan yang ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga. Karena semua koefisien dalam persamaan ini sama, persamaan ketiga menjadi sepele. Pada saat yang sama, kita kalikan persamaan kedua dengan (−1);
3. Kami mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 2. Seluruh sistem persamaan sekarang juga diselesaikan;
4. Karena variabel x 3 dan x 4 bebas, kami memindahkannya ke kanan untuk menyatakan variabel yang diizinkan. Ini adalah jawabannya.

Jadi, sistemnya gabungan dan tak tentu, karena ada dua variabel yang diizinkan (x 1 dan x 2) dan dua variabel bebas (x 3 dan x 4).

Salah satu cara paling sederhana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode yang didasarkan pada penghitungan determinan ( Aturan Cramer). Keuntungannya adalah memungkinkan Anda untuk segera merekam solusi, sangat nyaman dalam kasus di mana koefisien sistem bukan angka, tetapi beberapa parameter. Kerugiannya adalah kerumitan perhitungan dalam kasus sejumlah besar persamaan, apalagi, aturan Cramer tidak secara langsung berlaku untuk sistem di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui. Dalam kasus seperti itu, biasanya digunakan Metode Gauss.

Sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian yang sama disebut setara. Jelas, himpunan solusi sistem linier tidak akan berubah jika ada persamaan yang dipertukarkan, atau jika salah satu persamaan dikalikan dengan beberapa bilangan bukan nol, atau jika satu persamaan ditambahkan ke persamaan lainnya.

Metode Gauss (metode eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui) terletak pada kenyataan bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem direduksi menjadi sistem bertahap yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 dari semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, dengan menggunakan persamaan ke-2, kita eliminasi x 2 dari 3 dan semua persamaan berikutnya. Proses ini disebut metode Gauss langsung, berlanjut sampai hanya satu yang tidak diketahui yang tersisa di sisi kiri persamaan terakhir x n. Setelah itu dibuat Kebalikan Gauss– memecahkan persamaan terakhir, kami menemukan x n; setelah itu, dengan menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua dari belakang kita hitung x n-1 dll. Terakhir kita temukan x 1 dari persamaan pertama.

Lebih mudah untuk melakukan transformasi Gaussian dengan melakukan transformasi tidak dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks koefisiennya. Pertimbangkan matriks:

ditelepon sistem matriks diperpanjang, karena selain matriks utama sistem, itu termasuk kolom anggota bebas. Metode Gauss didasarkan pada membawa matriks utama sistem ke bentuk segitiga (atau bentuk trapesium dalam kasus sistem non-persegi) menggunakan transformasi baris elementer (!) dari matriks diperpanjang sistem.

Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss:

Keputusan. Mari kita tuliskan matriks yang diperbesar dari sistem dan, dengan menggunakan baris pertama, setelah itu kita akan mengatur elemen-elemen lainnya menjadi nol:

kita mendapatkan nol di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 dari kolom pertama:

Sekarang kita membutuhkan semua elemen di kolom kedua di bawah baris ke-2 agar sama dengan nol. Untuk melakukan ini, Anda dapat mengalikan baris kedua dengan -4/7 dan menambahkan ke baris ke-3. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan membuat unit di baris ke-2 dari kolom kedua dan hanya

Sekarang, untuk mendapatkan matriks segitiga, Anda perlu meniadakan elemen baris keempat dari kolom ke-3, untuk ini Anda dapat mengalikan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahkannya ke yang keempat. Namun, agar tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 dan kolom ke-3 dan ke-4, dan hanya setelah itu kami akan mengatur ulang elemen yang ditentukan. Perhatikan bahwa ketika kolom disusun ulang, variabel terkait akan ditukar, dan ini harus diingat; transformasi dasar lainnya dengan kolom (penjumlahan dan perkalian dengan angka) tidak dapat dilakukan!

Matriks sederhana terakhir sesuai dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asli:

Dari sini, dengan menggunakan kebalikan dari metode Gauss, kita temukan dari persamaan keempat x 3 = -1; dari yang ketiga x 4 = -2, dari detik x 2 = 2 dan dari persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawabannya ditulis sebagai

Kami telah mempertimbangkan kasus ketika sistem pasti, yaitu. ketika hanya ada satu solusi. Mari kita lihat apa yang terjadi jika sistem tidak konsisten atau tak tentu.

Contoh 5.2. Jelajahi sistem menggunakan metode Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperbesar dari sistem

Kami menulis sistem persamaan yang disederhanakan:

Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, yaitu. kontradiksi. Oleh karena itu, sistem tidak memiliki solusi, mis. dia adalah tidak cocok. à

Contoh 5.3. Jelajahi dan selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:

Sebagai hasil dari transformasi, hanya nol yang diperoleh di baris terakhir. Ini berarti bahwa jumlah persamaan berkurang satu:

Jadi, setelah penyederhanaan, dua persamaan tetap ada, dan empat tidak diketahui, yaitu. dua "ekstra" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, variabel bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian

Asumsi x 3 = 2sebuah dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–sebuah dan x 1 = 2b–sebuah; atau dalam bentuk matriks

Solusi yang ditulis dengan cara ini disebut umum, karena, dengan memberikan parameter sebuah dan b nilai yang berbeda, adalah mungkin untuk menggambarkan semua solusi yang mungkin dari sistem. sebuah