Tingkat pertama

Turunan fungsi. Panduan Komprehensif (2019)

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal di sepanjang jalan, dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbu adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Bergerak maju di sepanjang jalan seperti itu, kita juga bergerak naik atau turun. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (bergerak sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (bergerak sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita berpikir tentang bagaimana menentukan "kecuraman" jalan kita? Apa yang bisa menjadi nilai ini? Sangat sederhana: berapa banyak perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang absis) satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang ordinat).

Kami menunjukkan kemajuan ke depan (baca "delta x").

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan besarnya, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan ukuran.

Penting: ekspresi adalah entitas tunggal, satu variabel. Anda tidak boleh merobek "delta" dari "x" atau huruf lainnya! Yaitu, misalnya, .

Jadi, kami telah bergerak maju, secara horizontal, terus. Jika kita membandingkan garis jalan dengan grafik fungsi, lalu bagaimana kita menunjukkan kenaikan? Tentu, . Artinya, ketika bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Sangat mudah untuk menghitung nilainya: jika pada awalnya kami berada di ketinggian, dan setelah bergerak kami berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir ternyata lebih rendah dari titik awal, itu akan menjadi negatif - ini berarti kita tidak naik, tetapi turun.

Kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan berapa banyak (curam) peningkatan ketinggian saat bergerak maju per satuan jarak:

Misalkan di beberapa bagian jalan, ketika maju sejauh km, jalan naik sejauh km. Kemudian kecuraman di tempat ini sama. Dan jika jalan, ketika maju sejauh m, tenggelam sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang perhatikan puncak bukit. Jika Anda mengambil bagian awal setengah kilometer ke atas, dan ujungnya - setengah kilometer setelahnya, Anda dapat melihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Banyak yang bisa berubah hanya beberapa mil jauhnya. Area yang lebih kecil perlu dipertimbangkan untuk estimasi kecuraman yang lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Tetapi bahkan akurasi ini mungkin tidak cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa saja melewatinya. Berapa jarak yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

Dalam kehidupan nyata, mengukur jarak ke milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Tapi matematikawan selalu berusaha untuk kesempurnaan. Oleh karena itu, konsepnya adalah kecil sekali, yaitu, nilai modulo lebih kecil dari angka apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda mengatakan: satu triliun! Kurang berapa? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan itu akan menjadi lebih sedikit. Dll. Jika kita ingin menulis bahwa nilainya sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca "x cenderung nol"). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini tidak sama dengan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya dapat dibagi menjadi.

Konsep yang berlawanan dengan kecil tak terhingga adalah besar tak terhingga (). Anda mungkin pernah mengalaminya saat mengerjakan ketidaksetaraan: angka ini lebih besar dalam modulus daripada angka apa pun yang dapat Anda pikirkan. Jika Anda mendapatkan angka terbesar yang mungkin, kalikan saja dengan dua dan Anda akan mendapatkan lebih banyak lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga berbanding terbalik satu sama lain, yaitu di, dan sebaliknya: di.

Sekarang kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk segmen jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan menjadi sangat kecil. Tapi izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan yang benar-benar biasa, misalnya,. Artinya, satu nilai kecil bisa persis dua kali lebih besar dari yang lain.

Mengapa semua ini? Jalannya, tanjakannya... Kami tidak pergi reli, tapi kami belajar matematika. Dan dalam matematika semuanya sama persis, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen pada kenaikan argumen yang sangat kecil.

Kenaikan dalam matematika disebut perubahan. Berapa banyak argumen () telah berubah ketika bergerak sepanjang sumbu disebut penambahan argumen dan dilambangkan Berapa banyak fungsi (tinggi) telah berubah ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan jarak disebut peningkatan fungsi dan ditandai.

Jadi, turunan dari suatu fungsi adalah hubungannya dengan kapan. Kami menunjukkan turunan dengan huruf yang sama dengan fungsi, hanya dengan goresan dari kanan atas: atau sederhana. Jadi, mari kita tulis rumus turunan menggunakan notasi ini:

Seperti dalam analogi jalan, di sini, ketika fungsi bertambah, turunannya positif, dan ketika berkurang, itu negatif.

Tetapi apakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya, jika kita mengemudi di jalan horizontal yang datar, kecuramannya adalah nol. Memang, ketinggiannya tidak berubah sama sekali. Jadi dengan turunannya : turunan dari suatu fungsi konstan (konstanta) sama dengan nol :

karena kenaikan fungsi tersebut adalah nol untuk sembarang.

Mari kita ambil contoh puncak bukit. Ternyata adalah mungkin untuk mengatur ujung-ujung segmen pada sisi-sisi yang berlawanan dari simpul sedemikian rupa sehingga ketinggian di ujung-ujungnya ternyata sama, yaitu, segmen itu sejajar dengan sumbu:

Tetapi segmen besar adalah tanda pengukuran yang tidak akurat. Kami akan menaikkan segmen kami sejajar dengan dirinya sendiri, lalu panjangnya akan berkurang.

Pada akhirnya, ketika kita sangat dekat dengan puncak, panjang segmen akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, itu tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian pada ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di paling atas, pergeseran kecil ke kiri atau kanan mengubah ketinggian kita dengan tidak berarti.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di kiri atas, fungsi meningkat, dan di kanan menurun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, ketika fungsi meningkat, turunannya positif, dan ketika menurun, itu negatif. Tapi itu berubah dengan mulus, tanpa lompatan (karena jalan tidak mengubah kemiringannya dengan tajam di mana pun). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Ini akan berada di mana fungsi tidak bertambah atau berkurang - pada titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk lembah (area di mana fungsi berkurang di sebelah kiri dan meningkat di sebelah kanan):

Sedikit lagi tentang kenaikan.

Jadi kami mengubah argumen menjadi nilai. Kita ubah dari nilai apa? Apa yang dia (argumen) sekarang menjadi? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari darinya.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kami melakukan kenaikan yang sama: tingkatkan koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapakah nilai fungsi sekarang? Ke mana argumennya, fungsinya ada di sana: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Tidak ada yang baru: ini masih jumlah perubahan fungsi:

Berlatih menemukan kenaikan:

1. Temukan kenaikan fungsi pada titik dengan kenaikan argumen sama dengan.
2. Hal yang sama untuk fungsi di suatu titik.

Solusi:

Pada titik yang berbeda, dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Ini berarti bahwa turunan di setiap titik memilikinya sendiri (kami membahas ini di awal - kecuraman jalan pada titik yang berbeda berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi daya disebut fungsi di mana argumennya sampai batas tertentu (logis, bukan?).

Dan - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Ingat definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari ke. Apa itu peningkatan fungsi?

Kenaikan adalah. Tetapi fungsi pada titik mana pun sama dengan argumennya. Jadi:

turunannya adalah:

turunan dari adalah:

b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Ini berarti bahwa nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan karena itu tidak signifikan dengan latar belakang istilah lain:

Jadi, kami memiliki aturan lain:

c) Kami melanjutkan deret logis: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan cara yang berbeda: buka kurung pertama menggunakan rumus perkalian singkat dari jumlah pangkat tiga, atau dekomposisi seluruh ekspresi menjadi faktor menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri dengan salah satu cara yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut:

Dan mari kita ingat itu lagi. Ini berarti bahwa kita dapat mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasi untuk fungsi pangkat dengan eksponen arbitrer, bahkan bilangan bulat:

(2)

Anda dapat merumuskan aturan dengan kata-kata: "derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi".

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Cari turunan fungsi:

1. (dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

1. . Percaya atau tidak, ini adalah fungsi kekuatan. Jika Anda memiliki pertanyaan seperti “Bagaimana? Dan di mana gelarnya? ”, Ingat topik“ ”!
   Ya, ya, akarnya juga derajat, hanya pecahan:.
   Jadi akar kuadrat kita hanyalah pangkat dengan eksponen:
   .
   Kami mencari turunannya menggunakan rumus yang baru dipelajari:

   Jika pada titik ini menjadi tidak jelas lagi, ulangi topik "" !!! (tentang gelar dengan indikator negatif)

2. . Sekarang eksponennya:

   Dan sekarang melalui definisi (apakah Anda sudah lupa?):
   ;
   .
   Sekarang, seperti biasa, kita mengabaikan istilah yang mengandung:
   .

3. . Kombinasi kasus sebelumnya: .

fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika yang lebih tinggi:

Saat ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk sampai ke sana, Anda harus lulus ujian dengan baik). Sekarang saya hanya akan menunjukkannya secara grafis:

Kami melihat bahwa ketika fungsi tidak ada - titik pada grafik tertusuk. Tetapi semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya.Inilah yang paling "berusaha".

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini dengan kalkulator. Ya, ya, jangan malu, ambil kalkulator, kita belum ujian.

Jadi mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengganti kalkulator ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Pertimbangkan sebuah fungsi. Seperti biasa, kami menemukan kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi produk. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik ""):.

Sekarang turunannya:

Mari kita lakukan substitusi: . Kemudian, untuk sangat kecil, itu juga sangat kecil: . Ekspresi untuk mengambil bentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ekspresi. Dan juga, bagaimana jika nilai yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah (yaitu, di).

Jadi kita mendapatkan aturan berikut: turunan sinus sama dengan cosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

1. Temukan turunan suatu fungsi di suatu titik;
2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

1. Pertama, kami menemukan turunannya dalam bentuk umum, dan kemudian kami mengganti nilainya sebagai gantinya:
   ;
   .
2. Di sini kita memiliki sesuatu yang mirip dengan fungsi daya. Mari kita coba untuk membawanya ke
   tampilan biasa:
   .
   Oke, sekarang Anda bisa menggunakan rumus:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ada apa????

Oke, Anda benar, kami masih tidak tahu bagaimana menemukan turunan seperti itu. Di sini kita memiliki kombinasi dari beberapa jenis fungsi. Untuk bekerja dengan mereka, Anda perlu mempelajari beberapa aturan lagi:

eksponen dan logaritma natural.

Ada fungsi seperti itu dalam matematika, yang turunannya untuk sembarang sama dengan nilai fungsi itu sendiri untuk yang sama. Ini disebut "eksponen", dan merupakan fungsi eksponensial

Basis fungsi ini - konstanta - adalah pecahan desimal tak terbatas, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut "bilangan Euler", itulah sebabnya dilambangkan dengan huruf.

Jadi aturannya adalah:

Sangat mudah untuk diingat.

Baiklah, kita tidak akan jauh-jauh, kita akan langsung mempertimbangkan fungsi kebalikannya. Apa kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma semacam itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut "alami", dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulis sebagai gantinya.

Apa yang setara dengan? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

1. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2. Apa turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Eksponen dan logaritma natural adalah fungsi yang unik sederhana dalam hal turunannya. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lainnya akan memiliki turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita melalui aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Istilah baru lagi, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses menemukan turunannya.

Hanya dan segalanya. Apa kata lain dari proses ini? Bukan proizvodnovanie... Diferensial matematika disebut inkremental dari fungsi di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential - perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kami juga membutuhkan formula untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - beberapa angka konstan (konstan), maka.

Jelas, aturan ini juga berfungsi untuk perbedaan: .

Mari kita buktikan. Biarkan, atau lebih mudah.

Contoh.

Cari turunan fungsi:

1. pada intinya;
2. pada intinya;
3. pada intinya;
4. pada intinya.

Solusi:

1. (turunannya sama di semua titik, karena merupakan fungsi linier, ingat?);

Turunan dari suatu produk

Semuanya serupa di sini: kami memperkenalkan fungsi baru dan menemukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

1. Cari turunan dari fungsi dan;
2. Menemukan turunan suatu fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari bagaimana menemukan turunan dari fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi di mana beberapa nomor.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba membawa fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kami menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Yah, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan dari eksponen: seperti itu, tetap, hanya faktor yang muncul, yang hanya angka, tetapi bukan variabel.

Contoh:
Cari turunan fungsi:

Jawaban:

Ini hanyalah angka yang tidak dapat dihitung tanpa kalkulator, yaitu tidak dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Oleh karena itu, dalam jawabannya dibiarkan dalam bentuk ini.

Turunan dari fungsi logaritma

Ini mirip: Anda sudah tahu turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari arbitrer dari logaritma dengan basis yang berbeda, misalnya:

Kita perlu membawa logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang alih-alih kita akan menulis:

Penyebutnya ternyata hanya konstanta (angka konstan, tanpa variabel). Turunannya sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam ujian, tetapi tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa itu "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika logaritma tampaknya sulit bagi Anda, baca topik "Logaritma" dan semuanya akan berhasil), tetapi dalam hal matematika, kata "kompleks" tidak berarti "sulit".

Bayangkan sebuah konveyor kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa objek. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang cokelat dalam bungkus, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Ternyata benda komposit seperti itu: sebatang coklat dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah-langkah yang berlawanan dalam urutan terbalik.

Mari kita buat jalur matematika yang serupa: pertama kita akan menemukan kosinus dari sebuah angka, dan kemudian kita akan mengkuadratkan angka yang dihasilkan. Jadi, mereka memberi kami nomor (cokelat), saya menemukan kosinusnya (pembungkus), dan kemudian Anda kuadratkan apa yang saya dapatkan (ikat dengan pita). Apa yang terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk menemukan nilainya, kami melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua lainnya dengan hasil yang pertama.

Kami mungkin melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda kuadratkan, dan kemudian saya mencari kosinus dari angka yang dihasilkan:. Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsi berubah.

Dengan kata lain, Fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya adalah fungsi lain: .

Untuk contoh pertama, .

Contoh kedua: (sama). .

Tindakan terakhir yang kita lakukan akan disebut fungsi "eksternal", dan tindakan yang dilakukan pertama - masing-masing fungsi "internal"(ini adalah nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal:

Jawaban: Pemisahan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan perubahan variabel: misalnya, dalam fungsi

1. Tindakan apa yang akan kita lakukan pertama kali? Pertama kami menghitung sinus, dan baru kemudian kami menaikkannya menjadi kubus. Jadi ini adalah fungsi internal, bukan fungsi eksternal.
   Dan fungsi aslinya adalah komposisinya: .
2. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
3. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
4. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .
5. dalaman: ; eksternal: .
   Penyelidikan: .

kita mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak cokelat kita - cari turunannya. Prosedurnya selalu dibalik: pertama, kita mencari turunan dari fungsi luar, kemudian kita mengalikan hasilnya dengan turunan dari fungsi dalam. Untuk contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita merumuskan aturan resmi:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

Semuanya tampak sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

Solusi:

1) Dalaman: ;

Eksternal: ;

2) Dalaman: ;

(jangan mencoba untuk mengurangi sekarang! Tidak ada yang diambil dari bawah kosinus, ingat?)

3) Dalaman: ;

Eksternal: ;

Segera jelas bahwa ada fungsi kompleks tiga tingkat di sini: lagi pula, ini sudah merupakan fungsi kompleks itu sendiri, dan kami masih mengekstrak akarnya, yaitu, kami melakukan tindakan ketiga (masukkan cokelat ke dalam bungkus dan dengan pita di dalam tas kerja). Tetapi tidak ada alasan untuk takut: bagaimanapun, kami akan "membongkar" fungsi ini dalam urutan yang sama seperti biasa: dari akhir.

Artinya, pertama-tama kita bedakan akarnya, lalu kosinusnya, dan baru kemudian ekspresinya dalam tanda kurung. Dan kemudian kita kalikan semuanya.

Dalam kasus seperti itu, akan lebih mudah untuk memberi nomor pada tindakan. Artinya, mari kita bayangkan apa yang kita ketahui. Dalam urutan apa kita akan melakukan tindakan untuk menghitung nilai ekspresi ini? Mari kita lihat sebuah contoh:

Semakin lambat tindakan dilakukan, semakin "eksternal" fungsi yang sesuai. Urutan tindakan - seperti sebelumnya:

Di sini bersarang umumnya 4 tingkat. Mari kita tentukan tindakannya.

1. Ekspresi radikal. .

2. Akar. .

3. Sinus. .

4. Persegi. .

5. Menyatukan semuanya:

TURUNAN. SINGKAT TENTANG UTAMA

turunan fungsi- rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen dengan kenaikan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta diambil dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Produk turunan:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan dari fungsi kompleks:

1. Kami mendefinisikan fungsi "internal", temukan turunannya.
2. Kami mendefinisikan fungsi "eksternal", temukan turunannya.
3. Kami mengalikan hasil poin pertama dan kedua.

Jika mengikuti definisi, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:

Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih SD.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	f(x) = C, C ∈ R	0 (ya, ya, nol!)
Derajat dengan eksponen rasional	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = sin x	karena x
Kosinus	f(x) = cos x	dosa x(dikurangi sinus)
Garis singgung	f(x) = tg x	1/co 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	1/sin2 x
logaritma natural	f(x) = log x	1/x
logaritma arbitrer	f(x) = log sebuah x	1/(x ln sebuah)
Fungsi eksponensial	f(x) = e x	e x(Tidak ada yang berubah)

Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan jumlah dan selisih

Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:

f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;

Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Turunan dari suatu produk

Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .

Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.

Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:

Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Cari turunan fungsi:

Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.

Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).

Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan penjelasan rinci dari setiap langkah.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.

Menjawab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena ( x 2+ln x).

Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.

Tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:

Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.

Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar:

Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari pemecahan masalah untuk menemukan turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai batas rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang didefinisikan secara tepat muncul . Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan.

Oleh karena itu, saat ini, untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi yang disebutkan di atas terhadap kenaikan argumen, tetapi hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut cocok untuk mencari turunan.

Untuk mencari turunan, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda guratan uraikan fungsi-fungsi sederhana dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling berhubungan. Selanjutnya, kami menemukan turunan dari fungsi dasar dalam tabel turunan, dan rumus untuk turunan produk, jumlah dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel aturan turunan dan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan, kita mengetahui bahwa turunan dari "X" sama dengan satu, dan turunan dari sinus adalah cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini dalam jumlah turunan dan menemukan turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kami membedakan sebagai turunan dari jumlah, di mana suku kedua dengan faktor konstan dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Jika masih ada pertanyaan tentang dari mana sesuatu berasal, mereka, sebagai suatu peraturan, menjadi jelas setelah membaca tabel turunan dan aturan diferensiasi paling sederhana. Kami akan pergi ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Setiap angka (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu nol. Ini sangat penting untuk diingat, karena sangat sering diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "x". Selalu sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan dari akar kuadrat
6. Turunan sinus
7. Turunan kosinus
8. Turunan tangen
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arc cosinus
12. Turunan dari tangen busur
13. Turunan dari tangen terbalik
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari jumlah atau selisih
2. Turunan dari suatu produk
2a. Turunan dari ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1Jika fungsi

terdiferensialkan pada suatu titik , maka pada titik yang sama fungsi

dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi yang dapat diturunkan berbeda satu konstanta, maka turunannya adalah:, yaitu

Aturan 2Jika fungsi

terdiferensiasi pada suatu titik, maka produknya juga terdiferensiasi pada titik yang sama

dan

itu. turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain.

Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Konsekuensi 2. Turunan produk dari beberapa fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah produk turunan dari masing-masing faktor dan semua faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3Jika fungsi

terdiferensiasi di beberapa titik dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga dapat dibedakan.u/v , dan

itu. turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dengan turunan dari pembilangnya dan pembilangnya dengan turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya .

Di mana mencarinya di halaman lain

Ketika menemukan turunan dari produk dan hasil bagi dalam masalah nyata, selalu perlu untuk menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, jadi lebih banyak contoh tentang turunan ini ada di artikel."Turunan dari produk dan hasil bagi".

Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu, angka) sebagai istilah dalam jumlah dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan umum yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi karena rata-rata siswa menyelesaikan beberapa contoh satu-dua komponen, kesalahan ini tidak lagi terjadi.

Dan jika, ketika membedakan produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"v, di mana kamu- angka, misalnya, 2 atau 5, yaitu konstanta, maka turunan dari angka ini akan sama dengan nol dan, oleh karena itu, seluruh istilah akan sama dengan nol (kasus seperti itu dianalisis dalam contoh 10) .

Kesalahan umum lainnya adalah solusi mekanis dari turunan fungsi kompleks sebagai turunan dari fungsi sederhana. Jadi turunan dari fungsi kompleks dikhususkan untuk artikel terpisah. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang jalan, Anda tidak dapat melakukannya tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual windows baru Tindakan dengan kekuatan dan akar dan Tindakan dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan dengan pangkat dan akar, yaitu, ketika fungsinya terlihat seperti , lalu ikuti pelajaran " Turunan jumlah pecahan dengan pangkat dan akar".

Jika Anda memiliki tugas seperti , maka Anda berada dalam pelajaran "Turunan dari fungsi trigonometri sederhana".

Contoh langkah demi langkah - cara menemukan turunannya

Contoh 3 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kami menentukan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, di mana salah satu sukunya mengandung faktor konstan. Kami menerapkan aturan diferensiasi produk: turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain:

Selanjutnya, kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini. Dalam kasus kami, di setiap jumlah, istilah kedua dengan tanda minus. Dalam setiap penjumlahan, kita melihat variabel bebas, turunannya sama dengan satu, dan konstanta (angka), turunannya sama dengan nol. Jadi, "x" berubah menjadi satu, dan minus 5 - menjadi nol. Dalam ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita kalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami mendapatkan nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan memperoleh turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kita diminta untuk mencari turunan dari hasil bagi. Kami menerapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah perbedaan antara produk dari penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan dari faktor-faktor dalam pembilang pada Contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua dalam pembilang, diambil dengan tanda minus pada contoh saat ini:

Jika Anda mencari solusi untuk masalah seperti itu di mana Anda perlu menemukan turunan dari suatu fungsi, di mana ada tumpukan akar dan derajat yang kontinu, seperti, misalnya, lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan dengan kekuatan dan akar" .

Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, garis singgung, dan fungsi trigonometri lainnya, yaitu ketika fungsi terlihat seperti , maka Anda memiliki pelajaran "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat produk, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel independen, dengan turunan yang kita kenal dalam tabel turunan. Menurut aturan diferensiasi produk dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kita mendapatkan:

Contoh 6 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Menurut aturan diferensiasi hasil bagi, yang kami ulangi dan terapkan dalam contoh 4, dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kami mendapatkan:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus ujian matematika dengan 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 dari Profil GUNAKAN dalam matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan, dan rahasia ujian. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Masalah teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Trik licik untuk memecahkan, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual dari konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks dari bagian ke-2 ujian.