Teorema 1. Luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alasnya dan tingginya:

Teorema 2. Diagonal trapesium membaginya menjadi empat segitiga, dua di antaranya sebangun dan dua lainnya memiliki luas yang sama:

Teorema 3. Luas jajaran genjang sama dengan produk alas dan tinggi yang diturunkan ke alas yang diberikan, atau produk dari kedua sisi dan sinus sudut di antara mereka:

Teorema 4. Dalam jajar genjang, jumlah kuadrat diagonal sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya:

Teorema 5. Luas segi empat cembung sewenang-wenang sama dengan setengah produk diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara mereka:

Teorema 6. Luas segiempat yang dibatasi oleh lingkaran sama dengan produk setengah keliling segi empat ini dan jari-jari lingkaran yang diberikan:

Teorema 7. Segi empat yang simpulnya adalah titik tengah sisi-sisi segiempat cembung sewenang-wenang adalah jajar genjang yang luasnya sama dengan setengah luas segi empat asli:

Teorema 8. Jika diagonal-diagonal suatu segi empat cembung saling tegak lurus, maka jumlah kuadrat sisi-sisi yang berhadapan pada segi empat tersebut adalah:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Artikel ini diterbitkan dengan dukungan dari perusahaan "DKROST". Slide untuk anak-anak, rumah, kotak pasir dan banyak lagi - pembuatan dan penjualan taman bermain grosir dan eceran. Harga terendah, diskon, waktu produksi yang singkat, keberangkatan dan konsultasi dengan spesialis, jaminan kualitas. Anda dapat mempelajari lebih lanjut tentang perusahaan, melihat katalog produk, harga, dan kontak di situs web, yang terletak di: http://dkrost.ru/.

Bukti dari beberapa teorema

Bukti Teorema 2. Misalkan ABCD adalah trapesium tertentu, AD dan BC alasnya, O titik potong diagonal AC dan BD trapesium ini. Mari kita buktikan bahwa segitiga AOB dan COD memiliki luas yang sama. Untuk melakukan ini, mari kita turunkan tegak lurus BP dan CQ dari titik B dan C ke garis AD. Maka luas segitiga ABD adalah

Dan luas segitiga ACD adalah

Karena BP = CQ, maka S∆ABD = S∆ACD . Namun luas segitiga AOB adalah selisih luas segitiga ABD dan AOD, dan luas segitiga COD adalah selisih luas segitiga ACD dan AOD. Oleh karena itu, luas segitiga AOB dan COD adalah sama, yang harus dibuktikan.

Bukti Teorema 4. Misal ABCD jajar genjang, AB = CD = sebuah, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , BAD = , ADC = 180° – . Mari kita terapkan teorema kosinus pada segitiga ABD:

Menerapkan sekarang teorema kosinus ke segitiga ACD, kita mendapatkan:

Menambahkan persamaan suku demi suku, kita mendapatkan bahwa Q.E.D.

Bukti Teorema 5. Biarkan ABCD menjadi segi empat cembung sewenang-wenang, E titik perpotongan diagonal-diagonalnya, AE = sebuah, BE = b,
CE = c, DE = d, AEB = CED = , BEC =
= AED = 180° – . Kita punya:

Q.E.D.

Bukti Teorema 6. Biarkan ABCD menjadi segiempat sembarang yang dibatasi oleh lingkaran, O menjadi pusat lingkaran ini, OK, OL, OM dan ON adalah garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke garis AB, BC, CD dan AD, masing-masing. Kita punya:

di mana r adalah jari-jari lingkaran dan p adalah setengah keliling persegi ABCD.

Bukti Teorema 7. Biarkan ABCD menjadi segi empat cembung sewenang-wenang, K, L, M dan N masing-masing adalah titik tengah sisi AB, BC, CD dan AD. Karena KL adalah garis tengah segitiga ABC, garis KL sejajar dengan garis AC dan Demikian pula, garis MN sejajar dengan garis AC dan Oleh karena itu, KLMN adalah jajar genjang. Perhatikan segitiga KBL. Luasnya sama dengan seperempat luas segitiga ABC. Luas segitiga MDN juga sama dengan seperempat luas segitiga ACD. Karena itu,

Juga,

Ini berarti bahwa

dari mana mengikuti itu

Bukti Teorema 8. Misalkan ABCD adalah segi empat cembung sembarang yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, misalkan E adalah titik potong diagonal-diagonalnya,
AE = sebuah, BE = b, CE = c, DE = d. Terapkan teorema Pythagoras pada segitiga ABE dan CDE:
AB2=AE2+BE2= sebuah 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
karena itu,
AB2+CD2= sebuah 2 + b2 + c2 + d2 .
Menerapkan sekarang teorema Pythagoras ke segitiga ADE dan BCE, kita mendapatkan:
AD2=AE2+DE2= sebuah 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
dari mana mengikuti itu
AD2+BC2= sebuah 2 + b2 + c2 + d2 .
Oleh karena itu, AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , yang harus dibuktikan.

Penyelesaian masalah

Tugas 1. Sebuah trapesium digambarkan di dekat lingkaran dengan sudut alas dan . Temukan rasio luas trapesium dengan luas lingkaran.

Keputusan. Misal ABCD diberikan trapesium, AB dan CD alasnya, DK dan CM tegak lurus turun dari titik C dan D ke garis AB. Rasio yang diinginkan tidak tergantung pada jari-jari lingkaran. Oleh karena itu, kita asumsikan jari-jarinya adalah 1. Maka luas lingkaran adalah , kita cari luas trapesium. Karena segitiga ADK adalah segitiga siku-siku,

Demikian pula, dari segitiga siku-siku BCM kami menemukan bahwa Karena sebuah lingkaran dapat ditulis dalam trapesium tertentu, maka jumlah sisi yang berlawanan adalah sama:
AB + CD = AD + BC,
di mana kita menemukan?

Jadi luas trapesium adalah

dan rasio yang diinginkan adalah
Menjawab:

Tugas 2. Pada segi empat cembung ABCD, sudut A adalah 90° dan sudut C tidak melebihi 90°. Tegak lurus BE dan DF dijatuhkan dari simpul B dan D ke diagonal AC. Diketahui AE = CF. Buktikan bahwa sudut C adalah sudut siku-siku.

Bukti. Karena sudut A adalah 90°,
dan sudut C tidak melebihi 90°, maka titik E dan F terletak pada diagonal AC. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
EBC = , FDA = , FDC = . Kita cukup membuktikan bahwa + + + = . Sebagai

dari mana kita mendapatkan apa yang harus dibuktikan.

Tugas 3. Keliling trapesium sama kaki yang dibatasi oleh lingkaran adalah p. Temukan jari-jari lingkaran ini jika diketahui bahwa sudut lancip di dasar trapesium adalah .
Keputusan. Misalkan ABCD adalah trapesium sama kaki yang diketahui dengan alas AD dan BC, misalkan BH adalah tinggi trapesium ini dari titik B.
Karena sebuah lingkaran dapat dibuat dalam trapesium tertentu, maka

Karena itu,

Dari segitiga siku-siku ABH kita temukan,

Menjawab:

Tugas 4. Diketahui sebuah trapesium ABCD dengan alas AD dan BC. Diagonal AC dan BD berpotongan di titik O, dan garis AB dan CD berpotongan di titik K. Garis KO memotong sisi BC dan AD masing-masing di titik M dan N, dan sudut BAD adalah 30°. Diketahui bahwa lingkaran dapat dituliskan pada trapesium ABMN dan NMCD. Tentukan perbandingan luas segitiga BKC dan trapesium ABCD.

Keputusan. Seperti yang Anda ketahui, untuk trapesium sewenang-wenang, garis yang menghubungkan titik potong diagonal dan titik potong perpanjangan sisi lateral membagi masing-masing alas menjadi dua. Jadi BM = MC dan AN = ND. Selanjutnya, karena lingkaran dapat dituliskan dalam trapesium ABMN dan NMCD, maka
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Maka AB = CD, yaitu trapesium ABCD adalah sama kaki. Perbandingan luas yang diinginkan tidak bergantung pada skala, sehingga kita dapat mengasumsikan bahwa KN = x, KM = 1. Dari segitiga siku-siku AKN dan BKM, kita peroleh bahwa Menulis ulang hubungan yang telah digunakan di atas
BM + AN = AB + MN

Kita perlu menghitung rasio:

Di sini kita telah menggunakan fakta bahwa luas segitiga AKD dan BKC berhubungan sebagai kuadrat dari sisi KN dan KM, yaitu sebagai x2.

Menjawab:

Tugas 5. Pada segi empat cembung ABCD, titik E, F, H, G berturut-turut adalah titik tengah sisi AB, BC, CD, DA, dan O adalah titik potong segmen EH dan FG. Diketahui EH = sebuah, FG = b, Tentukan panjang diagonal-diagonal segi empat tersebut.

Keputusan. Diketahui bahwa jika Anda menghubungkan secara seri titik-titik tengah sisi-sisi segiempat yang sewenang-wenang, Anda mendapatkan jajaran genjang. Dalam kasus kami EFHG adalah jajar genjang dan O adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Kemudian

Terapkan teorema kosinus pada segitiga FOH:

Karena FH adalah garis tengah segitiga BCD, maka

Demikian pula, menerapkan teorema kosinus ke segitiga EFO, kita mendapatkan bahwa

Menjawab:

Tugas 6. Sisi trapesium adalah 3 dan 5. Diketahui bahwa sebuah lingkaran dapat ditulis dalam trapesium. Garis tengah trapesium membaginya menjadi dua bagian, perbandingan luasnya sama dengan Temukan alas trapesium.

Keputusan. Biarkan ABCD menjadi trapesium yang diberikan, AB = 3 dan CD = 5 - sisi-sisinya, titik K dan M - titik tengah sisi AB dan CD, masing-masing. Misalkan, untuk kepastian AD > BC, maka luas trapesium AKMD akan lebih besar dari luas trapesium KBCM. Karena KM adalah garis tengah trapesium ABCD, maka trapesium AKMD dan KBCM memiliki ketinggian yang sama. Karena luas trapesium sama dengan hasil kali setengah jumlah alas dan tinggi, maka persamaan berikut adalah benar:

Selanjutnya, karena pada trapesium ABCD dapat dibuat lingkaran, maka AD + BC = AB + CD = 8. Maka KM = 4 sebagai garis tengah trapesium ABCD. Misal BC = x, maka AD = 8 - x. Kita punya:
Jadi BC = 1 dan AD = 7.

Menjawab: 1 dan 7.

Tugas 7. Panjang alas AB trapesium ABCD dua kali panjang alas CD dan dua kali panjang sisi lateral AD. Panjang diagonal AC adalah sebuah, dan panjang sisi lateral BC sama dengan b. Temukan luas trapesium.

Keputusan. Misalkan E adalah titik potong perpanjangan sisi trapesium dan CD = x, maka AD = x, AB = 2x. Ruas CD sejajar dengan ruas AB dan dua kali lebih pendek, jadi CD adalah garis tengah segitiga ABE. Oleh karena itu, CE = BC = b dan DE = AD = x, dimana AE = 2x. Jadi segitiga ABE adalah segitiga sama kaki (AB = AE) dan AC adalah mediannya. Oleh karena itu, AC juga tinggi segitiga ini, dan karenanya

Karena segitiga DEC sebangun dengan segitiga AEB dengan koefisien kesamaan, maka

Menjawab:

Tugas 8. Diagonal trapesium ABCD berpotongan di titik E. Hitunglah luas segitiga BCE jika panjang alas trapesium adalah AB = 30, DC = 24, panjang sisi AD = 3 dan sudut DAB adalah 60 °.

Keputusan. Biarkan DH menjadi tinggi trapesium. Dari segitiga ADH kita temukan bahwa

Karena tinggi segitiga ABC, yang dijatuhkan dari titik C, sama dengan tinggi DH trapesium, kita peroleh:

Menjawab:

Tugas 9. Dalam trapesium, garis tengahnya adalah 4, dan sudut di salah satu alasnya adalah 40° dan 50°. Tentukan alas trapesium jika ruas yang menghubungkan titik tengah alasnya adalah 1.

Keputusan. Misalkan ABCD adalah trapesium tertentu, AB dan CD alasnya (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Perpanjang sisi DA dan CB hingga perpotongan di titik E. Perhatikan segitiga ABE, di mana EAB = 50°. EBA = 40°,
maka AEB = 90°. EM median segitiga ini, yang ditarik dari titik sudut siku-siku, sama dengan setengah dari sisi miring: EM = AM. Misal EM = x, maka AM = x, DN = 4 – x. Menurut kondisi masalah MN = 1, oleh karena itu,
EN = x + 1. Dari persamaan segitiga AEM dan DEN diperoleh:

Artinya AB = 3 dan CD = 5.

Menjawab: 3 dan 5.

Tugas 10. Suatu segiempat ABCD yang cembung dibatasi oleh lingkaran yang berpusat di titik O, sedangkan AO = OC = 1, BO = OD = 2. Hitunglah keliling segi empat ABCD.

Keputusan. Biarkan K, L, M, N menjadi titik singgung lingkaran dengan sisi AB, BC, CD, DA, masing-masing, r - jari-jari lingkaran. Karena garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik ke titik kontak, segitiga AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO adalah siku-siku. Menerapkan teorema Pythagoras ke segitiga ini, kita mendapatkan bahwa

Oleh karena itu, AB = BC = CD = DA, yaitu ABCD adalah belah ketupat. Diagonal belah ketupat saling tegak lurus, dan titik potongnya adalah pusat lingkaran tertulis. Dari sini kita dengan mudah menemukan bahwa sisi belah ketupat sama dan, oleh karena itu, keliling belah ketupat sama dengan

Menjawab:

Tugas untuk solusi independen

C-1. Sebuah trapesium sama kaki ABCD dibatasi pada lingkaran yang berjari-jari r. Biarkan E dan K menjadi titik singgung lingkaran ini dengan sisi trapesium. Sudut antara alas AB dan sisi AD pada trapesium adalah 60°. Buktikan bahwa EK sejajar dengan AB dan temukan luas trapesium ABEK.
C-2. Dalam sebuah trapesium, diagonal-diagonalnya adalah 3 dan 5, dan ruas yang menghubungkan titik-titik tengah alasnya adalah 2. Temukan luas trapesium tersebut.
C-3. Apakah mungkin untuk membatasi lingkaran di sekitar segiempat ABCD jika ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. Dalam trapesium ABCD (AB adalah alas), nilai sudut DAB, BCD, ADC, ABD dan ADB membentuk barisan aritmatika (sesuai urutan penulisannya). Hitunglah jarak dari titik C ke diagonal BD jika tinggi trapesium adalah h.
C-5. Diberikan trapesium sama kaki yang di dalamnya terdapat lingkaran dan di sekelilingnya terdapat lingkaran. Perbandingan tinggi trapesium dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah Tentukan sudut trapesium.
C-6. Luas persegi panjang ABCD adalah 48, dan panjang diagonalnya adalah 10. Pada bidang tempat persegi panjang itu berada, dipilih titik O sehingga OB = OD = 13. Tentukan jarak dari titik O ke puncak persegi panjang yang terjauh darinya.
C-7. Keliling jajar genjang ABCD adalah 26. Sudut ABCD adalah 120°. Jari-jari lingkaran pada segitiga BCD adalah Hitunglah panjang sisi jajar genjang jika diketahui AD > AB.
C-8. Segi empat ABCD ditulis dalam sebuah lingkaran yang berpusat di titik O. Jari-jari OA tegak lurus dengan jari-jari OB, dan jari-jari OC tegak lurus dengan jari-jari OD. Panjang garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik C ke garis AD adalah 9. Panjang ruas BC adalah setengah dari panjang ruas AD. Hitunglah luas segitiga AOB.
C-9. Pada segi empat cembung ABCD, titik sudut A dan C berhadapan, dan panjang sisi AB adalah 3. Sudut ABC adalah sudut BCD. Hitunglah panjang sisi AD jika diketahui luas segi empat adalah

C-10. Segi empat cembung ABCD memiliki diagonal AC dan BD. Diketahui bahwa
AD = 2, ABD = ACD = 90°, dan jarak antara titik potong garis-bagi segitiga ABD dan titik potong garis-bagi segitiga ACD adalah Hitunglah panjang sisi BC.
C-11. Misalkan M adalah titik potong diagonal-diagonal segi empat cembung ABCD, yang sisi-sisinya AB, AD dan BC sama besar. Tentukan sudut CMD jika diketahui DM = MC,
dan CAB DBA.
C-12. Dalam segi empat ABCD, kita tahu bahwa A = 74°, D = 120°. Hitunglah besar sudut antara garis-bagi sudut B dan C.
C-13. Sebuah lingkaran dapat ditulis dalam segi empat ABCD. Misalkan K adalah titik potong diagonal-diagonalnya. Diketahui AB > BC > KC, serta keliling dan luas segitiga BKC berturut-turut adalah 14 dan 7. Carilah DC.
C-14. Pada trapesium yang dibatasi lingkaran, diketahui bahwa BC AD, AB = CD, BAD =
= 45°. Carilah AB jika luas trapesium ABCD adalah 10.
C-15. Pada trapesium ABCD dengan alas AB dan CD diketahui bahwa CAB = 2∠DBA. Temukan luas trapesium.
C-16. Dalam jajar genjang ABCD kita tahu bahwa AC = sebuah, CAB = 60°. Temukan luas jajaran genjang.
S-17. Pada segi empat ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di titik K. Titik L dan M masing-masing merupakan titik tengah sisi BC dan AD. Ruas LM berisi titik K. Segi empat ABCD sedemikian rupa sehingga lingkaran dapat ditulis di dalamnya. Tentukan jari-jari lingkaran ini jika AB=3 dan LK:KM=1:3.
C-18. Segi empat cembung ABCD memiliki diagonal AC dan BD. Dalam hal ini, BAC =
= BDC, dan luas lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga BDC sama dengan
a) Tentukan jari-jari lingkaran yang dibatasi segitiga ABC.
b) Diketahui BC = 3, AC = 4, BAD = 90°, tentukan luas segi empat ABCD.

Catatan. Ini adalah bagian dari pelajaran dengan masalah dalam geometri (bagian genjang). Jika Anda perlu memecahkan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis di forum. Untuk menunjukkan tindakan mengekstraksi akar kuadrat dalam memecahkan masalah, simbol atau kuadrat () digunakan, dan ekspresi radikal ditunjukkan dalam tanda kurung.

bahan teoretis

Penjelasan rumus untuk mencari luas jajar genjang:

1. Luas jajar genjang sama dengan hasil kali panjang salah satu sisinya dan tinggi sisi tersebut.
2. Luas jajar genjang sama dengan produk dari dua sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara mereka
3. Luas jajar genjang sama dengan setengah produk diagonal-diagonalnya dan sinus sudut di antara mereka

Masalah untuk menemukan luas jajaran genjang

Tugas.
Dalam jajar genjang, tinggi yang lebih kecil dan sisi yang lebih kecil masing-masing adalah 9 cm dan akar dari 82. Diagonal terpanjang adalah 15 cm. Temukan luas jajar genjang.

Keputusan.
Mari kita nyatakan ketinggian yang lebih kecil dari jajaran genjang ABCD, diturunkan dari titik B ke alas AD yang lebih besar sebagai BK.
Hitunglah nilai kaki segitiga siku-siku ABK yang dibentuk oleh tinggi yang lebih kecil, sisi yang lebih kecil dan bagian alas yang lebih besar. Menurut teorema Pythagoras:

AB2 = BK2 + AK2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Mari kita perpanjang alas atas jajar genjang BC dan turunkan tinggi AN di atasnya dari alas bawahnya. AN = BK sebagai sisi persegi panjang ANBK. Dalam segitiga siku-siku yang dihasilkan ANC kami menemukan kaki NC.
AN2 + NC2 = AC2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = 144
NC = 12

Sekarang mari kita cari alas BC yang lebih besar dari jajaran genjang ABCD.
BC=NC-NB
Kami memperhitungkan bahwa NB = AK sebagai sisi persegi panjang, maka
SM=12 - 1=11

Luas jajaran genjang sama dengan produk alas dan tinggi alas ini.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Menjawab: 99cm2.

Tugas

Dalam jajar genjang ABCD, tegak lurus BO dijatuhkan ke diagonal AC. Cari luas jajar genjang jika AO=8, OS=6 dan BO=4.

Keputusan.
Mari kita jatuhkan satu lagi DK tegak lurus ke AC diagonal.
Dengan demikian, segitiga AOB dan DKC, COB dan AKD kongruen berpasangan. Salah satu sisinya adalah sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, salah satu sudutnya siku-siku, karena tegak lurus terhadap diagonal, dan salah satu sudut yang tersisa adalah salib internal yang terletak untuk sisi paralel dari jajaran genjang dan garis potong dari diagonalnya.

Dengan demikian, luas jajaran genjang sama dengan luas segitiga yang ditunjukkan. Yaitu
Sparall = 2S AOB +2S BOC

Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali kaki-kakinya. Di mana
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Menjawab: 56cm2.

Saat memecahkan masalah tentang topik ini, selain sifat dasar genjang dan rumus yang sesuai, Anda dapat mengingat dan menerapkan yang berikut ini:

1. Garis bagi sudut dalam jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya
2. Garis-bagi sudut dalam yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus
3. Garis bagi yang datang dari sudut internal yang berlawanan dari jajaran genjang, sejajar satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
4. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya
5. Luas jajar genjang adalah setengah hasil kali diagonal-diagonal dikalikan sinus sudut di antara keduanya.

Mari kita pertimbangkan tugas-tugas dalam solusi yang menggunakan properti ini.

Tugas 1.

Garis bagi sudut C jajar genjang ABCD memotong sisi AD di titik M dan perpanjangan sisi AB di luar titik A di titik E. Temukan keliling jajar genjang jika AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Keputusan.

1. Segitiga CMD sama kaki. (Properti 1). Jadi, CD = MD = 3 cm.

2. Segitiga EAM adalah sama kaki.
Jadi, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Keliling ABCD = 20 cm.

Menjawab. 20 cm

Tugas 2.

Diagonal digambar pada segi empat cembung ABCD. Diketahui luas segitiga ABD, ACD, BCD sama besar. Buktikan bahwa segi empat yang diberikan adalah jajar genjang.

Keputusan.

1. Misalkan BE adalah tinggi segitiga ABD, CF adalah tinggi segitiga ACD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan memiliki alas yang sama AD, maka tinggi segitiga ini sama. BE = CF

2. BE, CF tegak lurus AD. Titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari garis AD. BE = CF Jadi, garis BC || IKLAN. (*)

3. Misalkan AL adalah tinggi segitiga ACD, BK adalah tinggi segitiga BCD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan mereka memiliki basis CD yang sama, maka tinggi segitiga ini sama. AL = BK.

4. AL dan BK tegak lurus terhadap CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama dari garis lurus CD. AL = BK. Oleh karena itu, garis AB || CD (**)

5. Kondisi (*), (**) menyiratkan bahwa ABCD adalah jajar genjang.

Menjawab. Terbukti. ABCD adalah jajaran genjang.

Tugas 3.

Pada sisi BC dan CD jajar genjang ABCD, masing-masing titik M dan H ditandai, sehingga segmen BM dan HD berpotongan di titik O;<ВМD = 95 о,

Keputusan.

1. Dalam segitiga DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Dalam segitiga siku-siku DHC
(

Kemudian<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Karena dalam segitiga siku-siku, kaki yang terletak di depan sudut 30 o sama dengan setengah sisi miring).

Tapi CD = AB. Maka AB : HD = 2 : 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Jawaban: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang dengan panjang 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Keputusan.

1. AO = 2√6.

2. Terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut yang lebih kecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang. Hitunglah jumlah panjang diagonal-diagonalnya.

Keputusan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal dan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang adalah φ.

1. Mari kita hitung dua yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan perbandingan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tulis persamaannya

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita membuat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Kalikan persamaan kedua dari sistem dengan 2 dan tambahkan ke yang pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal adalah 45 o. Temukan luas jajaran genjang.

Keputusan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tulis hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonal-diagonalnya.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64.

2. Demikian pula, kami menulis hubungan untuk segitiga AOD.

Kami memperhitungkan bahwa<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kita mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 d 2 2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin \u003d 1/2 20√2 2/2 \u003d 10.

Catatan: Dalam masalah ini dan sebelumnya, tidak ada kebutuhan untuk menyelesaikan sistem sepenuhnya, meramalkan bahwa dalam masalah ini kita membutuhkan produk diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya adalah 8 dan 15. Temukan kuadrat dari diagonal yang lebih kecil.

Keputusan.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Mari kita lakukan substitusi dalam rumus.

Kita mendapatkan 96 = 8 15 sin VAD. Jadi sin VAD = 4/5.

2. Cari cos BURUK. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BURUK = 1. cos 2 BURUK = 9/25.

Sesuai dengan kondisi masalah, kami menemukan panjang diagonal yang lebih kecil. BD diagonal akan lebih kecil jika sudut BAD lancip. Maka cos BURUK = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, menggunakan teorema kosinus, kita menemukan kuadrat dari diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BURUK.

D 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Jawaban: 145.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana memecahkan masalah geometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Rumus luas jajar genjang

Luas jajaran genjang sama dengan produk sisinya dan tingginya diturunkan ke sisi ini.

Bukti

Jika jajar genjang adalah persegi panjang, maka persamaan tersebut dipenuhi oleh teorema luas persegi panjang. Selanjutnya, kami berasumsi bahwa sudut jajaran genjang tidak benar.

Misalkan $\angle BAD$ merupakan sudut lancip pada jajar genjang $ABCD$ dan $AD > AB$. Jika tidak, kami akan mengganti nama simpul. Maka tinggi $BH$ dari simpul $B$ ke garis $AD$ jatuh pada sisi $AD$, karena kaki $AH$ lebih pendek dari sisi miring $AB$, dan $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Mari kita bandingkan luas jajar genjang $ABCD$ dan luas persegi panjang $HBCK$. Luas jajar genjang lebih besar dengan luas $\segitiga ABH$, tetapi lebih kecil dengan luas $\segitiga DCK$. Karena segitiga-segitiga ini kongruen, maka luasnya juga kongruen. Artinya luas jajar genjang sama dengan luas persegi panjang dengan panjang sisi-sisinya dan tinggi jajar genjang.

Rumus luas jajar genjang dalam hal sisi dan sinus

Luas jajaran genjang sama dengan produk sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara mereka.

Bukti

Tinggi jajar genjang $ABCD$ yang diturunkan ke sisi $AB$ sama dengan hasil kali ruas $BC$ dan sinus sudut $\sudut ABC$. Tetap menerapkan pernyataan sebelumnya.

Rumus luas jajar genjang dalam hal diagonal

Luas jajaran genjang sama dengan setengah produk diagonal dan sinus sudut di antara mereka.

Bukti

Biarkan diagonal jajar genjang $ABCD$ berpotongan di titik $O$ dengan sudut $\alpha$. Kemudian $AO=OC$ dan $BO=OD$ oleh properti jajaran genjang. Sinus sudut yang berjumlah $180^\circ$ adalah $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Oleh karena itu, sinus sudut-sudut pada perpotongan diagonal-diagonalnya sama dengan $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\triangle AOB) + S_(\triangle BOC) + S_(\triangle COD) + S_(\triangle AOD)$

sesuai dengan aksioma pengukuran luas. Terapkan rumus luas segitiga $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \sudut ABC$ untuk segitiga dan sudut-sudut ini ketika diagonal-diagonalnya berpotongan. Sisi masing-masing sama dengan setengah diagonal, sinus juga sama. Jadi, luas keempat segitiga adalah $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Menyimpulkan semua hal di atas, kita dapatkan

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Saat memecahkan masalah tentang topik ini, selain sifat dasar genjang dan rumus yang sesuai, Anda dapat mengingat dan menerapkan yang berikut ini:

1. Garis bagi sudut dalam jajar genjang memotong segitiga sama kaki darinya
2. Garis-bagi sudut dalam yang berdekatan dengan salah satu sisi jajar genjang saling tegak lurus
3. Garis bagi yang datang dari sudut internal yang berlawanan dari jajaran genjang, sejajar satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
4. Jumlah kuadrat diagonal-diagonal jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisinya
5. Luas jajar genjang adalah setengah hasil kali diagonal-diagonal dikalikan sinus sudut di antara keduanya.

Mari kita pertimbangkan tugas-tugas dalam solusi yang menggunakan properti ini.

Tugas 1.

Garis bagi sudut C jajar genjang ABCD memotong sisi AD di titik M dan perpanjangan sisi AB di luar titik A di titik E. Temukan keliling jajar genjang jika AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Keputusan.

1. Segitiga CMD sama kaki. (Properti 1). Jadi, CD = MD = 3 cm.

2. Segitiga EAM adalah sama kaki.
Jadi, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Keliling ABCD = 20 cm.

Menjawab. 20 cm

Tugas 2.

Diagonal digambar pada segi empat cembung ABCD. Diketahui luas segitiga ABD, ACD, BCD sama besar. Buktikan bahwa segi empat yang diberikan adalah jajar genjang.

Keputusan.

1. Misalkan BE adalah tinggi segitiga ABD, CF adalah tinggi segitiga ACD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan memiliki alas yang sama AD, maka tinggi segitiga ini sama. BE = CF

2. BE, CF tegak lurus AD. Titik B dan C terletak pada sisi yang sama dari garis AD. BE = CF Jadi, garis BC || IKLAN. (*)

3. Misalkan AL adalah tinggi segitiga ACD, BK adalah tinggi segitiga BCD. Karena, sesuai dengan kondisi masalah, luas segitiga sama dan mereka memiliki basis CD yang sama, maka tinggi segitiga ini sama. AL = BK.

4. AL dan BK tegak lurus terhadap CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama dari garis lurus CD. AL = BK. Oleh karena itu, garis AB || CD (**)

5. Kondisi (*), (**) menyiratkan bahwa ABCD adalah jajar genjang.

Menjawab. Terbukti. ABCD adalah jajaran genjang.

Tugas 3.

Pada sisi BC dan CD jajar genjang ABCD, masing-masing titik M dan H ditandai, sehingga segmen BM dan HD berpotongan di titik O;<ВМD = 95 о,

Keputusan.

1. Dalam segitiga DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Dalam segitiga siku-siku DHC
(

Kemudian<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Karena dalam segitiga siku-siku, kaki yang terletak di depan sudut 30 o sama dengan setengah sisi miring).

Tapi CD = AB. Maka AB : HD = 2 : 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Jawaban: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В =

Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang dengan panjang 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Keputusan.

1. AO = 2√6.

2. Terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut yang lebih kecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang. Hitunglah jumlah panjang diagonal-diagonalnya.

Keputusan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal dan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang adalah φ.

1. Mari kita hitung dua yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan perbandingan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tulis persamaannya

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita membuat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Kalikan persamaan kedua dari sistem dengan 2 dan tambahkan ke yang pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal adalah 45 o. Temukan luas jajaran genjang.

Keputusan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tulis hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonal-diagonalnya.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64.

2. Demikian pula, kami menulis hubungan untuk segitiga AOD.

Kami memperhitungkan bahwa<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kita mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 d 2 2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin \u003d 1/2 20√2 2/2 \u003d 10.

Catatan: Dalam masalah ini dan sebelumnya, tidak ada kebutuhan untuk menyelesaikan sistem sepenuhnya, meramalkan bahwa dalam masalah ini kita membutuhkan produk diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya adalah 8 dan 15. Temukan kuadrat dari diagonal yang lebih kecil.

Keputusan.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Mari kita lakukan substitusi dalam rumus.

Kita mendapatkan 96 = 8 15 sin VAD. Jadi sin VAD = 4/5.

2. Cari cos BURUK. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BURUK = 1. cos 2 BURUK = 9/25.

Sesuai dengan kondisi masalah, kami menemukan panjang diagonal yang lebih kecil. BD diagonal akan lebih kecil jika sudut BAD lancip. Maka cos BURUK = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, menggunakan teorema kosinus, kita menemukan kuadrat dari diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BURUK.

D 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Jawaban: 145.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana memecahkan masalah geometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.