Kami mempertimbangkan beberapa sistem yang sama sekali berbeda secara fisik, dan memastikan bahwa persamaan gerak direduksi menjadi bentuk yang sama

Perbedaan antara sistem fisik memanifestasikan dirinya hanya dalam definisi kuantitas yang berbeda dan dalam arti fisik yang berbeda dari variabel x: itu bisa berupa koordinat, sudut, muatan, arus, dll. Perhatikan bahwa dalam hal ini, sebagai berikut dari struktur persamaan (1.18), besaran selalu memiliki dimensi waktu terbalik.

Persamaan (1.18) menjelaskan apa yang disebut getaran harmonik.

Persamaan getaran harmonik (1.18) adalah persamaan diferensial linier orde dua (karena mengandung turunan kedua dari variabel x). Linearitas persamaan berarti bahwa

jika ada fungsi x(t) adalah solusi untuk persamaan ini, maka fungsi Cx(t) juga akan menjadi solusinya ( C adalah konstanta arbitrer);

jika fungsi x 1 (t) dan x 2 (t) adalah solusi dari persamaan ini, maka jumlah mereka x 1 (t) + x 2 (t) juga akan menjadi solusi untuk persamaan yang sama.

Sebuah teorema matematika juga terbukti, yang menurutnya persamaan orde kedua memiliki dua solusi independen. Semua solusi lain, menurut sifat-sifat linearitas, dapat diperoleh sebagai kombinasi liniernya. Sangat mudah untuk memeriksa dengan diferensiasi langsung bahwa fungsi independen dan memenuhi persamaan (1.18). Jadi solusi umum untuk persamaan ini adalah:

di mana C1,C2 adalah konstanta arbitrer. Solusi ini juga dapat disajikan dalam bentuk lain. Kami memperkenalkan kuantitas

dan tentukan sudutnya sebagai berikut:

Maka solusi umum (1.19) ditulis sebagai

Menurut rumus trigonometri, ekspresi dalam tanda kurung adalah

Kami akhirnya tiba di solusi umum persamaan getaran harmonik sebagai:

Nilai non-negatif A ditelepon amplitudo osilasi, - fase awal osilasi. Seluruh argumen kosinus - kombinasi - disebut fase osilasi.

Ekspresi (1.19) dan (1.23) benar-benar ekuivalen, jadi kita bisa menggunakan salah satunya untuk alasan kesederhanaan. Kedua solusi tersebut merupakan fungsi periodik dari waktu. Memang, sinus dan cosinus periodik dengan periode . Oleh karena itu, berbagai keadaan sistem yang melakukan osilasi harmonik diulang setelah periode waktu tertentu t*, di mana fase osilasi menerima kenaikan yang merupakan kelipatan dari :

Oleh karena itu berikut ini

Paling sedikit dari waktu ini

ditelepon periode osilasi (Gbr. 1.8), a - his melingkar (siklus) frekuensi.

Beras. 1.8.

Mereka juga menggunakan frekuensi keraguan

Dengan demikian, frekuensi melingkar sama dengan jumlah osilasi per detik.

Jadi, jika sistem pada waktu t ditandai dengan nilai variabel x(t), kemudian, nilai yang sama, variabel akan memiliki setelah periode waktu (Gbr. 1.9), yaitu

Nilai yang sama, tentu saja, akan berulang setelah beberapa saat. 2T, ZT dll.

Beras. 1.9. Periode osilasi

Solusi umum mencakup dua konstanta arbitrer ( C 1 , C 2 atau A, sebuah), yang nilainya harus ditentukan oleh dua kondisi awal. Biasanya (meskipun tidak harus) peran mereka dimainkan oleh nilai awal variabel x(0) dan turunannya.

Mari kita ambil contoh. Biarkan solusi (1.19) dari persamaan osilasi harmonik menggambarkan gerak bandul pegas. Nilai konstanta arbitrer bergantung pada cara kita mengeluarkan pendulum dari kesetimbangan. Misalnya, kami menarik pegas ke kejauhan dan melepaskan bola tanpa kecepatan awal. Pada kasus ini

Mengganti t = 0 di (1.19), kami menemukan nilai konstanta Dari 2

Solusinya dengan demikian terlihat seperti:

Kecepatan beban ditemukan dengan diferensiasi terhadap waktu

Mengganti di sini t = 0, tentukan konstanta Dari 1:

Akhirnya

Dibandingkan dengan (1.23), kami menemukan bahwa adalah amplitudo osilasi, dan fase awalnya sama dengan nol: .

Kami sekarang membawa pendulum keluar dari keseimbangan dengan cara lain. Mari kita tekan beban, sehingga memperoleh kecepatan awal , tetapi praktis tidak bergerak selama tumbukan. Kami kemudian memiliki kondisi awal lainnya:

solusi kami terlihat seperti

Kecepatan beban akan berubah sesuai dengan hukum:

Mari kita taruh di sini:

GERAK GETARAN HARMONIS

1 Kinematika osilasi harmonik

Proses yang berulang dari waktu ke waktu disebut osilasi.

Tergantung pada sifat proses osilasi dan mekanisme eksitasi, ada: osilasi mekanis (osilasi bandul, tali, bangunan, permukaan bumi, dll.); osilasi elektromagnetik (osilasi arus bolak-balik, osilasi vektor dan dalam gelombang elektromagnetik, dll.); getaran elektromekanis (getaran membran telepon, diffuser loudspeaker, dll.); getaran inti dan molekul sebagai akibat dari gerakan termal dalam atom.

Mari kita perhatikan segmen [OD] (vektor jari-jari) yang membuat gerakan rotasi di sekitar titik 0. Panjang |OD| = A . Rotasi terjadi pada kecepatan sudut konstan 0 . Maka sudut antara vektor jari-jari dan sumbuxberubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum

di mana 0 adalah sudut antara [OD] dan sumbu X pada saat itut= 0. Proyeksi segmen [OD] ke sumbu X pada saat itut= 0

dan pada titik waktu yang sewenang-wenang

(1)

Jadi, proyeksi segmen [OD] pada sumbu x berosilasi sepanjang sumbu X, dan fluktuasi ini dijelaskan oleh hukum kosinus (rumus (1)).

Osilasi yang dijelaskan oleh hukum kosinus

atau sinus

ditelepon harmonis.

Getaran harmonik adalah berkala, karena nilai x (dan y) diulang secara berkala.

Jika segmen [OD] berada di posisi terendah pada gambar, yaitu. dot D bertepatan dengan titik R, maka proyeksinya pada sumbu x adalah nol. Mari kita sebut posisi segmen ini [OD] sebagai posisi keseimbangan. Maka kita dapat mengatakan bahwa nilai X menggambarkan perpindahan titik berosilasi dari posisi keseimbangannya. Perpindahan maksimum dari posisi setimbang disebut amplitudo fluktuasi

Nilai

yang berada di bawah tanda kosinus disebut fase. Fase menentukan perpindahan dari posisi kesetimbangan pada titik waktu yang berubah-ubaht. Fase pada saat awal waktut = 0 sama dengan 0 disebut fase awal.

T

Periode waktu terjadinya satu getaran penuh disebut periode getaran. T. Banyaknya getaran tiap satuan waktu disebut frekuensi getaran .

Setelah periode waktu yang sama dengan periode T, yaitu karena argumen kosinus meningkat 0 T, gerakan diulang, dan kosinus mengambil nilai yang sama

karena periode cosinus sama dengan 2π, maka, oleh karena itu, 0 T= 2π

dengan demikian, 0 adalah jumlah osilasi tubuh dalam 2π detik. 0 - frekuensi siklik atau melingkar.

pola gelombang harmonik

TETAPI- amplitudo, T- Titik, X- mengimbangi,t- waktu.

Kami menemukan kecepatan titik osilasi dengan membedakan persamaan perpindahan X(t) Oleh waktu

itu. kecepatan vkeluar dari fase dengan offset X pada/2.

Percepatan - turunan pertama dari kecepatan (turunan kedua dari perpindahan) terhadap waktu

itu. percepatan sebuah berbeda dengan pergeseran fasa sebesar .

Mari kita membuat grafik X( t) , y( t) dan sebuah( t) dalam satu perkiraan koordinat (untuk kesederhanaan, kami mengambil 0 = 0 dan 0 = 1)

Gratis atau milik sendiri Getaran yang terjadi dalam sistem yang dibiarkan sendiri setelah dikeluarkan dari kesetimbangan disebut.

Osilasi harmonik adalah fenomena perubahan periodik sejumlah besaran, di mana ketergantungan pada argumen bersifat fungsi sinus atau kosinus. Misalnya, besaran yang berubah dalam waktu sebagai berikut berfluktuasi secara harmonis:

di mana x adalah nilai kuantitas yang berubah, t adalah waktu, parameter yang tersisa adalah konstan: A adalah amplitudo osilasi, adalah frekuensi siklik dari osilasi, adalah fase penuh osilasi, adalah fase awal dari osilasi.

Osilasi harmonik umum dalam bentuk diferensial

(Setiap solusi non-sepele dari persamaan diferensial ini adalah osilasi harmonik dengan frekuensi siklik)

Jenis getaran

Osilasi bebas dilakukan di bawah aksi gaya internal sistem setelah sistem dikeluarkan dari kesetimbangan. Agar osilasi bebas menjadi harmonik, sistem osilasi harus linier (dijelaskan oleh persamaan gerak linier), dan tidak boleh ada disipasi energi di dalamnya (yang terakhir akan menyebabkan redaman).

Osilasi paksa dilakukan di bawah pengaruh gaya periodik eksternal. Agar harmonik, cukup bahwa sistem osilasinya linier (dijelaskan oleh persamaan gerak linier), dan gaya eksternal itu sendiri berubah seiring waktu sebagai osilasi harmonik (yaitu, ketergantungan waktu dari gaya ini adalah sinusoidal) .

Persamaan getaran harmonik

Persamaan (1)

memberikan ketergantungan nilai fluktuatif S pada waktu t; ini adalah persamaan osilasi harmonik bebas dalam bentuk eksplisit. Namun, persamaan osilasi biasanya dipahami sebagai catatan yang berbeda dari persamaan ini, dalam bentuk diferensial. Untuk kepastian, kita ambil persamaan (1) dalam bentuk

Bedakan dua kali terhadap waktu:

Dapat dilihat bahwa hubungan berikut berlaku:

yang disebut persamaan osilasi harmonik bebas (dalam bentuk diferensial). Persamaan (1) merupakan solusi dari persamaan diferensial (2). Karena persamaan (2) adalah persamaan diferensial orde kedua, dua kondisi awal diperlukan untuk mendapatkan solusi lengkap (yaitu, untuk menentukan konstanta A dan yang termasuk dalam persamaan (1); misalnya, posisi dan kecepatan sistem osilasi pada t = 0.

Pendulum matematika adalah osilator, yang merupakan sistem mekanis yang terdiri dari titik material yang terletak pada benang yang tidak dapat diperpanjang tanpa bobot atau pada batang tanpa bobot dalam medan gaya gravitasi yang seragam. Periode eigenosilasi kecil dari bandul matematis dengan panjang l, ditangguhkan tanpa gerak dalam medan gravitasi seragam dengan percepatan jatuh bebas g, sama dengan

dan tidak bergantung pada amplitudo dan massa bandul.

Pendulum fisik adalah osilator, yang merupakan benda tegar yang berosilasi dalam medan gaya apa pun tentang titik yang bukan merupakan pusat massa benda ini, atau sumbu tetap yang tegak lurus terhadap arah gaya dan tidak melewati pusat massa tubuh ini.

Seiring dengan gerakan translasi dan rotasi benda dalam mekanika, gerakan osilasi juga sangat menarik. Getaran mekanis disebut gerakan tubuh yang berulang persis (atau kira-kira) secara berkala. Hukum gerak benda yang berosilasi diberikan oleh beberapa fungsi periodik waktu x = f (t). Representasi grafis dari fungsi ini memberikan representasi visual dari jalannya proses osilasi dalam waktu.

Contoh sistem osilasi sederhana adalah beban pada pegas atau bandul matematis (Gbr. 2.1.1).

Osilasi mekanis, seperti proses osilasi dari sifat fisik lainnya, dapat Gratis dan dipaksa. Getaran gratis dibuat di bawah pengaruh kekuatan internal sistem setelah sistem dibawa keluar dari kesetimbangan. Getaran suatu beban pada pegas atau osilasi bandul adalah osilasi bebas. getaran di bawah aksi luar gaya yang berubah secara periodik disebut dipaksa .

Jenis proses osilasi yang paling sederhana adalah sederhana getaran harmonik , yang dijelaskan oleh persamaan

x = x m cos (ω t + φ 0).

Di Sini x- perpindahan tubuh dari posisi keseimbangan, x m - amplitudo osilasi, yaitu perpindahan maksimum dari posisi setimbang, - frekuensi siklik atau melingkar keraguan, t- waktu. Nilai di bawah tanda kosinus = t+ 0 disebut fase proses harmonik. Pada t= 0 = 0 , jadi 0 disebut tahap awal. Selang waktu minimum setelah gerakan tubuh diulang disebut periode osilasi T. Besaran fisis yang berbanding terbalik dengan periode getaran disebut frekuensi osilasi:

Frekuensi osilasi f menunjukkan berapa banyak getaran yang dibuat dalam 1 sekon. Satuan frekuensi - hertz(Hz). Frekuensi osilasi f berhubungan dengan frekuensi siklik dan periode osilasi T rasio:

pada gambar. 2.1.2 menunjukkan posisi tubuh secara berkala dengan getaran harmonik. Gambar seperti itu dapat diperoleh secara eksperimental dengan menyinari benda yang berosilasi dengan kilatan cahaya periodik pendek ( pencahayaan stroboskopik). Panah mewakili vektor kecepatan tubuh pada titik waktu yang berbeda.

Beras. 2.1.3 mengilustrasikan perubahan yang terjadi pada grafik proses harmonik jika amplitudo osilasi berubah x m , atau periode T(atau frekuensi f), atau fase awal 0 .

Ketika tubuh berosilasi sepanjang garis lurus (sumbu SAPI) vektor kecepatan selalu diarahkan sepanjang garis lurus ini. Kecepatan = x gerakan tubuh ditentukan oleh ekspresi

Dalam matematika, prosedur untuk menemukan limit rasio pada t→ 0 disebut perhitungan turunan dari fungsi x (t) Oleh waktu t dan dilambangkan sebagai atau sebagai x"(t) atau akhirnya sebagai . Untuk hukum gerak harmonik Perhitungan turunan menghasilkan hasil sebagai berikut:

Munculnya suku + / 2 dalam argumen kosinus berarti perubahan pada fase awal. Nilai modulo maksimum kecepatan = x m dicapai pada saat-saat waktu ketika tubuh melewati posisi keseimbangan ( x= 0). Percepatan didefinisikan dengan cara yang sama sebuah = sebuahx benda dengan getaran harmonik:

maka percepatan sebuah sama dengan turunan dari fungsi ( t) Oleh waktu t, atau turunan kedua dari fungsi x (t). Perhitungannya memberikan:

Tanda minus pada ungkapan ini berarti percepatan sebuah (t) selalu memiliki tanda kebalikan dari offset x (t), dan, oleh karena itu, menurut hukum kedua Newton, gaya yang menyebabkan tubuh melakukan osilasi harmonik selalu diarahkan ke posisi setimbang ( x = 0).

Perubahan waktu menurut hukum sinusoidal:

di mana X- nilai kuantitas yang berfluktuasi pada saat itu t, TETAPI- amplitudo , ω - frekuensi melingkar, φ adalah fase awal osilasi, ( t + φ ) adalah fase total osilasi. Pada saat yang sama, nilai-nilai TETAPI, ω dan φ - permanen.

Untuk getaran mekanis dengan nilai berosilasi X adalah, khususnya, perpindahan dan kecepatan, untuk osilasi listrik - tegangan dan kekuatan arus.

Getaran harmonik menempati tempat khusus di antara semua jenis getaran, karena ini adalah satu-satunya jenis getaran yang bentuknya tidak terdistorsi ketika melewati media homogen apa pun, yaitu, gelombang yang merambat dari sumber getaran harmonik juga akan harmonik. Setiap getaran non-harmonik dapat direpresentasikan sebagai jumlah (integral) dari berbagai getaran harmonik (dalam bentuk spektrum getaran harmonik).

Transformasi energi selama getaran harmonik.

Dalam proses osilasi, ada transisi energi potensial wp menjadi kinetik wk dan sebaliknya. Pada posisi simpangan maksimum dari posisi kesetimbangan, energi potensial maksimum, energi kinetik nol. Saat kita kembali ke posisi setimbang, kecepatan benda yang berosilasi meningkat, dan dengan itu energi kinetik juga meningkat, mencapai maksimum dalam posisi setimbang. Energi potensial kemudian turun menjadi nol. Gerakan leher lebih lanjut terjadi dengan penurunan kecepatan, yang turun menjadi nol ketika defleksi mencapai maksimum kedua. Energi potensial di sini meningkat ke nilai awal (maksimum) (tanpa adanya gesekan). Dengan demikian, osilasi energi kinetik dan potensial terjadi dengan frekuensi ganda (dibandingkan dengan osilasi pendulum itu sendiri) dan berada dalam antifase (yaitu, ada pergeseran fase di antara mereka sama dengan π ). Energi getaran total W tetap tidak berubah. Untuk benda yang berosilasi di bawah aksi gaya elastis, itu sama dengan:

di mana v m- kecepatan maksimum tubuh (dalam posisi keseimbangan), x m = TETAPI- amplitudo.

Karena adanya gesekan dan hambatan medium, osilasi bebas meredam: energi dan amplitudonya berkurang seiring waktu. Oleh karena itu, dalam praktiknya, tidak bebas, tetapi osilasi paksa lebih sering digunakan.