URUTAN NUMERIK VI

144. Jumlah anggota deret aritmatika

Mereka mengatakan bahwa suatu ketika seorang guru sekolah dasar, yang ingin menempati kelas untuk waktu yang lama dengan pekerjaan mandiri, memberi anak-anak tugas yang "sulit" - untuk menghitung jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Salah satu siswa langsung menyarankan solusi. Ini dia.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 kali

Adalah Carl Gauss, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan paling terkenal di dunia*.

*Kasus serupa dengan Gauss benar-benar terjadi. Namun, di sini sangat disederhanakan. Angka-angka yang disarankan oleh guru adalah lima digit dan merupakan deret aritmatika dengan selisih tiga digit.

Gagasan solusi semacam itu dapat digunakan untuk menemukan jumlah suku dari setiap deret aritmatika.

Kata pengantar singkat. Jumlah dua suku suatu barisan aritmatika berhingga, yang berjarak sama dari ujungnya, sama dengan jumlah suku-suku ekstremnya.

Misalnya, dalam deret aritmatika berhingga

1, 2, 3.....98, 99, 100

istilah 2 dan 99, 3 dan 98, 4 dan 97, dll. berjarak sama dari ujung deret ini. Oleh karena itu, jumlah mereka 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 sama dengan jumlah suku ekstrim 1 + 100.

Bukti dari lemma. Biarkan dalam deret aritmatika berhingga

sebuah 1 , sebuah 2 , ..., sebuah n - 1 , sebuah n

setiap dua anggota sama-sama jauh dari ujung. Mari kita asumsikan bahwa salah satunya adalah k -Suku ke-th dari kiri, yaitu sebuah k , Dan lainnya - k suku ke th dari kanan, mis. sebuah n -k+ satu . Kemudian

sebuah k + sebuah n -k+ 1 =[sebuah 1 + (k - 1)d ] + [sebuah 1 + (n - k )d ] = 2sebuah 1 + (n - 1)d .

Jumlah suku ekstrim dari progresi ini sama dengan

sebuah 1 + sebuah n = sebuah 1 + [sebuah 1 + (n - 1)d ] = 2sebuah 1 + (n - 1)d .

Dengan demikian,

sebuah k + sebuah n -k+ 1 = sebuah 1 + sebuah n

Q.E.D.

Menggunakan lemma yang baru saja dibuktikan, mudah untuk mendapatkan rumus umum untuk jumlah P anggota dari setiap deret aritmatika.

S n = sebuah 1 +sebuah 2 + ...+ sebuah n - 1 + sebuah n

S n = sebuah n + sebuah n - 1 + ... + sebuah 2 + sebuah 1 .

Menambahkan dua persamaan ini istilah demi istilah, kita mendapatkan:

2S n = (sebuah 1 +sebuah n ) + (sebuah 2 +sebuah n - 1)+...+(sebuah n - 1 +sebuah 2) + (sebuah n +sebuah 1)

sebuah 1 +sebuah n = sebuah 2 +sebuah n - 1 = sebuah 3 +sebuah n - 2 =... .

2S n = n (sebuah 1 +sebuah n ),

Jumlah anggota deret aritmatika berhingga sama dengan hasil kali setengah jumlah anggota ekstrem dan jumlah semua anggota.

Secara khusus,

Latihan

971. Temukan jumlah semua bilangan ganjil yang terdiri dari tiga angka.

972. Berapa banyak pukulan yang akan dilakukan sebuah jam dalam sehari jika hanya memukul jumlah jam penuh?

973. Berapa jumlah yang pertama? P bilangan asli?

974. Turunkan rumus untuk panjang lintasan yang ditempuh benda selama gerak dipercepat beraturan:

di mana v 0 - kecepatan awal dalam m/dtk , sebuah - percepatan dalam m/dtk 2 , t - waktu perjalanan detik.

975. Temukan jumlah semua pecahan yang tidak dapat disederhanakan dengan penyebut 3 di antara bilangan bulat positif t dan P (t< п ).

976. Seorang pekerja memelihara 16 alat tenun yang bekerja secara otomatis. Performa per mesin sebuah m/j. Pekerja menyalakan mesin pertama pada jam 7 h, dan masing-masing berikutnya sebesar 5 min lambat dari yang sebelumnya. Cari tahu output dalam meter untuk 2 . pertama h kerja.

977. Memecahkan persamaan:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. Dari 1 Juli hingga 12 Juli, inklusif, suhu udara naik setiap hari rata-rata 1/2 derajat. Mengetahui bahwa suhu rata-rata selama ini ternyata 18 3/4 derajat, tentukan berapa suhu udara pada 1 Juli.

979. Temukan barisan aritmatika yang rata-rata aritmatikanya P istilah pertama untuk sembarang P sama dengan jumlah mereka.

980. Temukan jumlah dari dua puluh suku pertama dari deret aritmatika di mana

sebuah 6 + sebuah 9 + sebuah 12 + sebuah 15 = 20.

Ketika mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.

Apa itu barisan aritmatika?

Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang sedang dibahas, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah.

Deret aritmatika atau aljabar adalah seperangkat bilangan rasional yang teratur, yang masing-masing anggotanya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang konstan. Nilai ini disebut selisih. Artinya, mengetahui anggota deret angka yang berurutan dan perbedaannya, Anda dapat memulihkan seluruh deret aritmatika.

Mari kita ambil contoh. Barisan bilangan selanjutnya adalah barisan aritmatika: 4, 8, 12, 16, ..., karena selisihnya dalam hal ini adalah 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Tetapi himpunan angka 3, 5, 8, 12, 17 tidak dapat lagi dikaitkan dengan jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, karena perbedaannya bukan nilai konstan (5 - 3 8 - 5 12 - 8 17 - 12).

Rumus Penting

Kami sekarang memberikan rumus dasar yang akan diperlukan untuk menyelesaikan masalah menggunakan deret aritmatika. Misalkan a n menyatakan anggota ke-n dari barisan, di mana n adalah bilangan bulat. Perbedaannya dilambangkan dengan huruf latin d. Maka ekspresi berikut ini benar:

1. Untuk menentukan nilai suku ke-n, rumusnya cocok: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Untuk menentukan jumlah n suku pertama: S n = (a n + a 1)*n/2.

Untuk memahami contoh deret aritmatika dengan solusi di kelas 9, cukup mengingat dua rumus ini, karena masalah jenis apa pun dibangun berdasarkan penggunaannya. Juga, jangan lupa bahwa perbedaan perkembangan ditentukan oleh rumus: d = a n - a n-1 .

Contoh #1: Menemukan Anggota Tidak Dikenal

Kami memberikan contoh sederhana dari deret aritmatika dan rumus yang harus digunakan untuk menyelesaikannya.

Biarkan urutan 10, 8, 6, 4, ... diberikan, perlu untuk menemukan lima suku di dalamnya.

Sudah mengikuti dari kondisi masalah bahwa 4 suku pertama diketahui. Kelima dapat didefinisikan dalam dua cara:

1. Mari kita hitung selisihnya terlebih dahulu. Kami memiliki: d = 8 - 10 = -2. Demikian pula, seseorang dapat mengambil dua istilah lain yang berdiri bersebelahan. Misalnya, d = 4 - 6 = -2. Karena diketahui bahwa d \u003d a n - a n-1, maka d \u003d a 5 - a 4, dari mana kita mendapatkan: a 5 \u003d a 4 + d. Kami mengganti nilai yang diketahui: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Cara kedua juga membutuhkan pengetahuan tentang selisih dari progresi yang bersangkutan, jadi Anda harus menentukannya terlebih dahulu, seperti gambar di atas (d = -2). Diketahui suku pertama a 1 = 10, kita gunakan rumus bilangan n barisan tersebut. Kami memiliki: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Mengganti n = 5 ke dalam ekspresi terakhir, kita mendapatkan: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Seperti yang Anda lihat, kedua solusi menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan bahwa dalam contoh ini perbedaan d dari progresi adalah negatif. Barisan demikian disebut menurun karena setiap suku yang berurutan lebih kecil dari suku sebelumnya.

Contoh #2: perbedaan perkembangan

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas, berikan contoh caranya

Diketahui bahwa pada beberapa suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.

Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.

Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.

Contoh #3: membuat kemajuan

Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara ini.

Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu dipahami tempat yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus deret aljabar tetap sama.

Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.

Contoh #4: Anggota pertama dari progresi

Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.

Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tulis ekspresi untuk setiap istilah yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.

Sistem yang ditentukan paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).

Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.

Contoh #5: Jumlah

Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.

Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?

Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Sangat mengherankan untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.

Contoh #6: jumlah suku dari n ke m

Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah sukunya dari 8 hingga 14.

Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.

Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.

Seperti dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.

Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan pisahkan tugas umum menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).

Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.

Jumlah dari barisan aritmatika.

Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.

Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.

Rumus penjumlahannya sederhana:

Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.

S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam masalah seperti menemukan jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)

sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.

sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.

n adalah nomor anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan.

Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?

Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)

Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis kemajuan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.

Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke suku dengan angka n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)

Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.

Pertama-tama, informasi yang berguna:

Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen-elemen rumus yang benar.

Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.

1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Kerja yang baik. Gampang.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota Pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.

Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di tempat yang sama, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.

Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.

sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:

Itu saja. Jawaban: 75.

Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:

2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.

Kami segera menulis rumus jumlah:

Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:

Jawaban: 423.

Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukannya sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:

Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:

Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)

Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):

3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.

Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?

Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...

Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi dengan 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)

Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:

Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.

Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.

Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:

Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:

sebuah 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:

Jawaban: 1665

Jenis lain dari teka-teki populer:

4. Sebuah deret aritmatika diberikan:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.

Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.

Anda tentu saja dapat mengecat seluruh progres secara berurutan, dan menempatkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)

Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Kedua jumlah di ruas kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?

Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:

d = 1,5.

sebuah 1= -21,5.

Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Jawaban: 262,5

Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)

Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)

Saran praktis:

Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.

Rumus suku ke-n:

Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.

Dan sekarang tugas untuk solusi independen.

5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.

Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.

6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.

Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.

7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?

Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.

Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan Pelajaran:

• perluasan dan pendalaman gagasan siswa tentang tugas yang diselesaikan menggunakan deret aritmatika; organisasi aktivitas pencarian siswa ketika menurunkan rumus untuk jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika;
• pengembangan keterampilan untuk secara mandiri memperoleh pengetahuan baru, menggunakan pengetahuan yang sudah diperoleh untuk mencapai tugas;
• perkembangan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, perkembangan kemandirian.

Tugas:

• menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada tentang topik "Perkembangan aritmatika";
• turunkan rumus untuk menghitung jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika;
• mengajarkan bagaimana menerapkan rumus yang diperoleh dalam memecahkan berbagai masalah;
• menarik perhatian siswa pada prosedur untuk menemukan nilai ekspresi numerik.

Peralatan:

• kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
• kertas evaluasi;
• presentasi"Perkembangan aritmatika".

I. Aktualisasi pengetahuan dasar.

1. Bekerja mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Menentukan barisan aritmatika. Tuliskan rumus rekursif yang mendefinisikan deret aritmatika. Berikan contoh barisan aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika. Tentukan suku ke-100 suatu barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Pada saat ini, dua siswa di bagian belakang papan sedang mempersiapkan jawaban untuk pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan membandingkannya dengan papan tulis. (Leaflet dengan jawaban diserahkan).

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya menyusun beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan hanya dua pertanyaan kepada saya sehingga setelah jawaban Anda dapat dengan cepat menyebutkan anggota ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

1. Apa suku keenam dari kemajuan dan apa perbedaannya?
2. Apa suku kedelapan dari perkembangan dan apa perbedaannya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsang mereka - "larangan" pada d (selisih), yaitu tidak boleh bertanya apa perbedaannya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: apa suku ke-6 dari perkembangan dan apa suku ke-8 dari perkembangan?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri membelakangi papan tulis. Siswa menyebutkan nomor dari nomor tersebut, dan guru segera memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukannya?

Guru mengingat rumus suku ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, dengan mengganti nilai n yang diberikan, temukan nilai yang sesuai sebuah .

II. Pernyataan tugas pendidikan.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah lama yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas:“Katakanlah kepadamu: bagilah 10 takaran gandum kepada 10 orang, maka selisih antara setiap orang dan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

• Bagaimana masalah ini berhubungan dengan topik deret aritmatika? (Setiap orang berikutnya mendapat 1/8 lebih banyak, jadi selisihnya adalah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
• Menurutmu apa arti angka 10? (Jumlah semua anggota perkembangan.)
• Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana membagi jelai sesuai dengan kondisi masalahnya? (Suku pertama dari progresi.)

Tujuan pelajaran- memperoleh ketergantungan jumlah suku perkembangan pada jumlah mereka, suku pertama dan perbedaan, dan memeriksa apakah masalah diselesaikan dengan benar di zaman kuno.

Sebelum menurunkan rumus, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah.

Dan mereka menyelesaikannya seperti ini:

1) 10 ukuran: 10 = 1 ukuran - rata-rata berbagi;
2) 1 takaran = 2 takaran - digandakan rata-rata Bagikan.
dua kali lipat rata-rata bagiannya adalah jumlah bagian dari orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran - 1/8 takaran = 1 7/8 takaran - dua kali bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bagian kelima; dan seterusnya, Anda dapat menemukan bagian dari setiap orang sebelumnya dan berikutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Solusi dari tugas.

1. Bekerja dalam kelompok

kelompok 1: Tentukan jumlah 20 bilangan asli berurutan: S 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210.

Secara umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (Legenda Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 21.

Solusi: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Tentukan jumlah bilangan asli dari 1 sampai 101.

Kesimpulan:

Metode pemecahan masalah yang dipertimbangkan ini disebut "metode Gauss".

2. Setiap kelompok mempresentasikan solusi masalah di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk deret aritmatika arbitrer:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami menemukan jumlah ini dengan berdebat serupa:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus-rumus yang diperoleh dalam memecahkan masalah.

1. Memeriksa solusi masalah lama dengan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan untuk pembentukan kemampuan menerapkan rumus dalam memecahkan masalah.

A) Nomor 613

Diberikan :( dan N) - deret aritmatika;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Mencari: S 1500

Keputusan: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( dan N) - deret aritmatika;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Mencari: n
Keputusan:

V. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi timbal balik.

Denis pergi bekerja sebagai kurir. Pada bulan pertama, gajinya 200 rubel, di setiap bulan berikutnya meningkat 30 rubel. Berapa penghasilannya dalam setahun?

Diberikan :( dan N) - deret aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Mencari: S 12
Keputusan:

Jawaban: Denis menerima 4.380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

1. hal 4.3 - pelajari turunan dari rumus.
2. №№ 585, 623 .
3. Buatlah masalah yang akan diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

• Hari ini di kelas saya belajar...
• Rumus yang dipelajari...
• saya pikir itu…

3. Dapatkah Anda menemukan jumlah angka dari 1 hingga 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Buku teks untuk lembaga pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskow: Pencerahan, 2009.

Dalam pelajaran ini, kita akan menurunkan rumus untuk jumlah suku dari barisan aritmatika hingga dan memecahkan beberapa masalah menggunakan rumus ini.

Tema: Kemajuan

Pelajaran: Rumus jumlah anggota barisan aritmatika berhingga

1. Perkenalan

Pertimbangkan masalahnya: temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 inklusif.

Diketahui: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Cari: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Solusi: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Jawaban: 5050.

Barisan bilangan asli 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 adalah deret aritmatika: a1=1, d=1.

Kami telah menemukan jumlah dari seratus bilangan asli pertama, yaitu jumlah dari n . pertama anggota barisan aritmatika.

Solusi yang dipertimbangkan diusulkan oleh ahli matematika hebat Carl Friedrich Gauss, yang hidup pada abad ke-19. Masalah itu diselesaikan olehnya pada usia 5 tahun.

Referensi sejarah: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - matematikawan, mekanik, fisikawan, dan astronom Jerman. Dianggap sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa, "raja matematikawan". Peraih medali Copley (1838), anggota asing Akademi Ilmu Pengetahuan Swedia (1821) dan Rusia (1824), dari Masyarakat Kerajaan Inggris. Menurut legenda, seorang guru matematika sekolah, untuk membuat anak-anak sibuk untuk waktu yang lama, menyarankan agar mereka menghitung jumlah angka dari 1 hingga 100. Gauss muda memperhatikan bahwa jumlah berpasangan dari lawan ke lawan adalah sama: 1+100 =101, 2+99=101, dll. dan langsung mendapatkan hasilnya: 101x50=5050.

2. Turunan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Pertimbangkan masalah serupa untuk deret aritmatika arbitrer.

Cari: jumlah n anggota pertama suatu deret aritmatika.

Mari kita tunjukkan bahwa semua ekspresi dalam tanda kurung sama satu sama lain, yaitu ekspresi . Misalkan d adalah selisih dari suatu barisan aritmatika. Kemudian:

Dan seterusnya, sehingga kita dapat menulis:

Di mana kita mendapatkan rumus untuk jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika:

.

3. Menyelesaikan masalah penerapan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

1. Selesaikan masalah jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 menggunakan rumus jumlah n anggota pertama dari deret aritmatika:

Solusi: a1=1, d=1, n=100.

Rumus umum:

.

Dalam kasus kami: .

Jawaban: 5050.

Rumus umum:

. Mari kita cari dengan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika: .

Dalam kasus kami: .

Untuk menemukan, Anda harus terlebih dahulu menemukan.

Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus umum .Pertama, terapkan rumus ini untuk menemukan perbedaan dari deret aritmatika.

yaitu . Cara .

Sekarang kita bisa menemukan.

Menggunakan rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

, mari kita temukan .

4. Turunan rumus kedua untuk jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Kami memperoleh rumus kedua untuk jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, yaitu: kami membuktikan bahwa .

Bukti:

Dalam rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika mari kita ganti ekspresi untuk , yaitu . Kami mendapatkan: , yaitu. . Q.E.D.

Mari kita menganalisis rumus yang diperoleh. Untuk perhitungan dengan rumus pertama Anda perlu mengetahui suku pertama, suku terakhir, dan n dengan rumus kedua - Anda perlu mengetahui suku pertama, perbedaan dan n.

Akhirnya, perhatikan bahwa bagaimanapun Sn adalah fungsi kuadrat dari n, karena .

5. Menyelesaikan masalah penerapan rumus kedua untuk jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

Rumus umum:

.

Dalam kasus kami:.

Jawaban: 403.

2. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang merupakan kelipatan 4.

(12; 16; 20; ...; 96) - satu set angka yang memenuhi kondisi masalah.

Jadi kita memiliki barisan aritmatika.

n cari dari rumus untuk:.

yaitu . Cara .

Menggunakan rumus kedua untuk jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika

, mari kita temukan .

Diperlukan untuk menemukan jumlah semua suku dari tanggal 10 hingga 25.

Salah satu cara untuk mengatasinya adalah sebagai berikut:

Karena itu, .

6. Ringkasan pelajaran

Jadi, kami telah menurunkan rumus untuk jumlah anggota deret aritmatika berhingga. Rumus-rumus ini telah digunakan untuk memecahkan beberapa masalah.

Pada pelajaran berikutnya, kita akan berkenalan dengan sifat-sifat dari barisan aritmatika.

1. Makarychev Yu.N. et al.Aljabar kelas 9 (buku pelajaran untuk sekolah menengah).-M.: Pendidikan, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Aljabar untuk Kelas 9 dengan pendalaman. belajar matematika.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Bab tambahan untuk buku teks sekolah aljabar kelas 9.-M.: Pendidikan, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Kumpulan masalah dalam aljabar untuk kelas 8-9 (buku teks untuk siswa sekolah dan kelas dengan studi matematika yang mendalam) - M .: Pendidikan, 1996.

5. Mordkovich A. G. Aljabar kelas 9, buku teks untuk lembaga pendidikan umum. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Aljabar kelas 9, buku masalah untuk lembaga pendidikan. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Sejarah matematika di sekolah. Kelas 7-8 (panduan untuk guru).-M.: Pencerahan, 1983.

1. Bagian perguruan tinggi. ru dalam matematika.

2. Portal Ilmu Pengetahuan Alam.

3. Eksponensial. ru Situs matematika pendidikan.

1. No.362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Aljabar Tingkat 9).

2. No. 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Kumpulan masalah dalam aljabar untuk nilai 8-9).