Fungsi distribusi berisi informasi lengkap tentang variabel acak. Dalam praktiknya, fungsi alokasi tidak selalu dapat ditetapkan; terkadang pengetahuan yang lengkap seperti itu tidak diperlukan. Informasi parsial tentang variabel acak diberikan oleh karakteristik numerik, yang, tergantung pada jenis informasinya, dibagi ke dalam kelompok berikut.
1. Karakteristik posisi variabel acak pada sumbu numerik (modus mo, median Saya, nilai yang diharapkan M(X)).
2. Karakteristik penyebaran variabel acak di sekitar nilai rata-rata (dispersi D(X), simpangan baku ( X)).
3. Karakteristik bentuk kurva kamu = φ( x) (asimetri Sebagai, kurtosis Mantan).
Mari kita lihat lebih dekat masing-masing karakteristik ini.
Nilai yang diharapkan variabel acak X menunjukkan beberapa nilai rata-rata di mana semua nilai yang mungkin dikelompokkan X. Untuk variabel acak diskrit yang hanya dapat mengambil sejumlah nilai yang mungkin terbatas, ekspektasi matematis adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas dari nilai-nilai ini:
. (2.4)
Untuk variabel acak kontinu X, yang memiliki kerapatan distribusi tertentu ( x) harapan matematis adalah integral berikut:
. (2.5)
Di sini diasumsikan bahwa integral tak wajar konvergen mutlak, yaitu ada.
Sifat-sifat ekspektasi matematis:
1. NONA) = C, di mana Dengan = konstan;
2. M(C∙X) = C∙M(X);
3. M(X ± Y) = M(X) ± KU), di mana X dan kamu– variabel acak apa pun;
4. M(X∙kamu)=M(X)∙KU), di mana X dan kamu adalah variabel acak independen.
Dua variabel acak disebut mandiri , jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada nilai apa yang mungkin diambil oleh nilai lainnya.
Mode variabel acak diskrit, dilambangkan mo, nilai yang paling mungkin disebut (Gbr. 2.3), dan modus dari variabel acak kontinu adalah nilai di mana kepadatan probabilitas maksimum (Gbr. 2.4).



Beras. 2.3 Gambar. 2.4
median variabel acak kontinu X nilainya Me disebut seperti itu, yang kemungkinannya sama apakah variabel acak akan menjadi lebih kecil atau lebih besar Saya, yaitu
P(X < Saya) = P(X > Saya)
Dari definisi median, berikut ini P(X<Saya) = 0,5, yaitu F (Saya) = 0,5. Secara geometris, median dapat diartikan sebagai absis, di mana ordinat ( x) membagi dua daerah yang dibatasi oleh kurva distribusi (Gbr. 2.5). Dalam kasus distribusi simetris, median bertepatan dengan modus dan ekspektasi matematis (Gbr. 2.6).

Beras. 2.5 Gambar. 2.6

Penyebaran.

Varians dari variabel acak- ukuran penyebaran variabel acak yang diberikan, yaitu penyimpangannya dari ekspektasi matematis. Dilambangkan D[X] dalam sastra Rusia dan (eng. perbedaan) di luar negeri. Dalam statistika, sebutan atau sering digunakan. Akar kuadrat dari varians, sama dengan , disebut standar deviasi, standar deviasi, atau standar spread. Standar deviasi diukur dalam unit yang sama dengan variabel acak itu sendiri, dan varians diukur dalam kuadrat unit itu.

Ini mengikuti dari ketidaksetaraan Chebyshev bahwa variabel acak bergerak menjauh dari ekspektasi matematisnya lebih dari k simpangan baku dengan probabilitas kurang dari 1/ k². Jadi, misalnya, dalam setidaknya 75% kasus, variabel acak dihapus dari meannya tidak lebih dari dua standar deviasi, dan dalam sekitar 89% - tidak lebih dari tiga.

penyebaran variabel acak disebut ekspektasi matematis kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematis
D(X) = M(X –M(X)) 2 .
Varians dari variabel acak X lebih mudah untuk menghitung dengan rumus:
a) untuk besaran diskrit
; (2.6)
b) untuk variabel acak kontinu
j( X)d x – 2 . (2.7)
Dispersi memiliki sifat-sifat berikut:
1. D(C) = 0, dimana Dengan = konstan;
2. D(C× X) = C2 D(X);
3. D(X± kamu) = D(X) + D(kamu), jika X dan kamu variabel acak independen.
Standar deviasi variabel acak X disebut akar aritmatika dari varians, yaitu
σ( X) = .
Perhatikan bahwa dimensi ( X) bertepatan dengan dimensi variabel acak itu sendiri X, sehingga standar deviasi lebih nyaman untuk karakterisasi hamburan.
Generalisasi karakteristik numerik utama dari variabel acak adalah konsep momen dari variabel acak.
Momen awal orde ke-k α k variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari kuantitas X k, yaitu k = M(X k).
Momen awal orde pertama adalah ekspektasi matematis dari variabel acak.
Momen sentral dari orde ke-k μ k variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari kuantitas ( X–M(X))k, yaitu k = M(X–M(X))k.
Momen sentral dari orde kedua adalah varians dari variabel acak.
Untuk variabel acak diskrit, momen awal dinyatakan dengan jumlah k= , dan yang pusat adalah jumlah k = di mana p saya = p(X=x saya). Untuk momen awal dan pusat variabel acak kontinu, persamaan berikut dapat diperoleh:
α k = ,  μ k = ,
dimana ( x) adalah densitas distribusi variabel acak X.
Nilai Sebagai= 3 / 3 disebut koefisien asimetri .
Jika koefisien asimetri negatif, maka hal ini menunjukkan pengaruh yang besar terhadap nilai m 3 deviasi negatif. Dalam hal ini, kurva distribusi (Gbr. 2.7) lebih datar di sebelah kiri M(X). Jika koefisien As positif, yang berarti bahwa pengaruh deviasi positif berlaku, maka kurva distribusi (Gbr. 2.7) lebih datar di sebelah kanan. Dalam praktiknya, tanda asimetri ditentukan oleh lokasi kurva distribusi relatif terhadap mode (titik maksimum fungsi diferensial).


Beras. 2.7
kurtosis ek disebut besaran
ek\u003d 4 / 4 - 3.

Pertanyaan 24: Korelasi

Korelasi (ketergantungan korelasi) - hubungan statistik dari dua atau lebih variabel acak (atau variabel yang dapat dianggap demikian dengan tingkat akurasi yang dapat diterima). Dalam hal ini, perubahan nilai satu atau lebih besaran ini disertai dengan perubahan sistematis dalam nilai besaran lain atau besaran lain. Ukuran matematis dari korelasi dua variabel acak adalah hubungan korelasi, atau koefisien korelasi (atau ). Jika perubahan dalam satu variabel acak tidak menyebabkan perubahan reguler pada variabel acak lain, tetapi menyebabkan perubahan karakteristik statistik lain dari variabel acak ini, maka hubungan seperti itu tidak dianggap sebagai korelasi, meskipun bersifat statistik.

Untuk pertama kalinya, istilah "korelasi" diperkenalkan ke dalam sirkulasi ilmiah oleh ahli paleontologi Prancis Georges Cuvier pada abad ke-18. Dia mengembangkan "hukum korelasi" bagian dan organ makhluk hidup, dengan bantuan yang memungkinkan untuk mengembalikan penampilan hewan fosil, yang hanya memiliki sebagian dari sisa-sisanya. Dalam statistik, kata "korelasi" pertama kali digunakan oleh ahli biologi dan statistik Inggris Francis Galton pada akhir abad ke-19.

Beberapa jenis koefisien korelasi bisa positif atau negatif (mungkin juga tidak ada hubungan statistik - misalnya, untuk variabel acak independen). Jika diasumsikan bahwa hubungan urutan yang ketat diberikan pada nilai-nilai variabel, maka korelasi negatif- korelasi, di mana peningkatan satu variabel dikaitkan dengan penurunan variabel lain, sedangkan koefisien korelasi bisa negatif; korelasi positif dalam kondisi seperti itu, korelasi di mana peningkatan satu variabel dikaitkan dengan peningkatan variabel lain, sedangkan koefisien korelasi bisa positif.

Teori probabilitas adalah cabang khusus matematika yang hanya dipelajari oleh mahasiswa dari institusi pendidikan tinggi. Apakah Anda menyukai perhitungan dan rumus? Apakah Anda tidak takut dengan prospek kenalan dengan distribusi normal, entropi ansambel, ekspektasi matematis, dan varians dari variabel acak diskrit? Maka subjek ini akan sangat menarik bagi Anda. Mari berkenalan dengan beberapa konsep dasar terpenting dari bagian sains ini.

Mari kita ingat dasar-dasarnya

Bahkan jika Anda mengingat konsep teori probabilitas yang paling sederhana, jangan abaikan paragraf pertama artikel tersebut. Faktanya adalah bahwa tanpa pemahaman yang jelas tentang dasar-dasarnya, Anda tidak akan dapat bekerja dengan rumus-rumus yang dibahas di bawah ini.

Jadi, ada beberapa peristiwa acak, beberapa eksperimen. Sebagai hasil dari tindakan yang dilakukan, kita bisa mendapatkan beberapa hasil - beberapa di antaranya lebih umum, yang lain kurang umum. Probabilitas suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil yang benar-benar diperoleh dari satu jenis dengan jumlah total hasil yang mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik dari konsep ini, Anda dapat mulai mempelajari ekspektasi matematis dan dispersi variabel acak kontinu.

Rata-rata

Kembali di sekolah, dalam pelajaran matematika, Anda mulai bekerja dengan mean aritmatika. Konsep ini banyak digunakan dalam teori probabilitas, dan oleh karena itu tidak dapat diabaikan. Hal utama bagi kita saat ini adalah bahwa kita akan menemukannya dalam rumus untuk harapan matematis dan varians dari variabel acak.

Kami memiliki urutan angka dan ingin mencari mean aritmatika. Yang diperlukan dari kita hanyalah menjumlahkan semua yang tersedia dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Misalkan kita memiliki angka dari 1 hingga 9. Jumlah elemennya adalah 45, dan nilainya akan kita bagi dengan 9. Jawaban: - 5.

Penyebaran

Dalam istilah ilmiah, varians adalah kuadrat rata-rata dari deviasi nilai fitur yang diperoleh dari mean aritmatika. Satu dilambangkan dengan huruf Latin kapital D. Apa yang dibutuhkan untuk menghitungnya? Untuk setiap elemen barisan, kami menghitung selisih antara bilangan yang tersedia dan rata-rata aritmatika dan kuadratkan. Akan ada nilai yang sama persis dengan hasil yang ada untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Selanjutnya, kami merangkum semua yang diterima dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Jika kita memiliki lima kemungkinan hasil, maka bagilah dengan lima.

Varians juga memiliki sifat yang perlu Anda ingat untuk menerapkannya saat memecahkan masalah. Misalnya, jika variabel acak dinaikkan X kali, varians meningkat X kali kuadrat (yaitu, X*X). Itu tidak pernah kurang dari nol dan tidak bergantung pada pergeseran nilai dengan nilai yang sama ke atas atau ke bawah. Juga, untuk percobaan independen, varians jumlah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians dari variabel acak diskrit dan ekspektasi matematis.

Katakanlah kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapatkan 7 hasil berbeda. Kami mengamati masing-masing, masing-masing 1,2,2,3,4,4 dan 5 kali. Apa yang akan menjadi varians?

Pertama, kita hitung rata-rata aritmatika: jumlah elemen, tentu saja, adalah 21. Kita bagi dengan 7, mendapatkan 3. Sekarang kita kurangi 3 dari setiap angka dalam urutan asli, kuadratkan setiap nilai, dan jumlahkan hasilnya . Ternyata 12. Sekarang tinggal kita membagi angka dengan jumlah elemen, dan, tampaknya, itu saja. Tapi ada tangkapan! Mari kita bahas.

Ketergantungan pada jumlah percobaan

Ternyata saat menghitung varians, penyebutnya bisa salah satu dari dua angka: N atau N-1. Di sini N adalah jumlah percobaan yang dilakukan atau jumlah elemen dalam urutan (yang pada dasarnya adalah hal yang sama). Itu tergantung pada apa?

Jika jumlah soal diukur dalam ratusan, maka penyebutnya harus N. Jika dalam satuan, maka N-1. Para ilmuwan memutuskan untuk menggambar perbatasan secara simbolis: hari ini garis itu membentang di sepanjang angka 30. Jika kami melakukan kurang dari 30 percobaan, maka kami akan membagi jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Tugas

Mari kembali ke contoh penyelesaian masalah varians dan ekspektasi. Kami mendapat angka antara 12, yang harus dibagi dengan N atau N-1. Karena kami melakukan 21 percobaan, yang kurang dari 30, kami akan memilih opsi kedua. Jadi jawabannya adalah: variansnya adalah 12/2 = 2.

Nilai yang diharapkan

Mari kita beralih ke konsep kedua, yang harus kita pertimbangkan dalam artikel ini. Ekspektasi matematis adalah hasil penjumlahan semua hasil yang mungkin dikalikan dengan probabilitas yang sesuai. Penting untuk dipahami bahwa nilai yang dihasilkan, serta hasil penghitungan varians, diperoleh hanya sekali untuk seluruh tugas, tidak peduli berapa banyak hasil yang dipertimbangkan.

Rumus ekspektasi matematika cukup sederhana: kita mengambil hasilnya, mengalikannya dengan probabilitasnya, menambahkan yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dll. Segala sesuatu yang berhubungan dengan konsep ini mudah dihitung. Misalnya, jumlah ekspektasi matematis sama dengan ekspektasi matematis dari jumlah tersebut. Hal yang sama berlaku untuk pekerjaan. Tidak setiap kuantitas dalam teori probabilitas memungkinkan operasi sederhana seperti itu dilakukan. Mari kita mengambil tugas dan menghitung nilai dari dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - saatnya untuk berlatih.

Satu lagi contoh

Kami menjalankan 50 percobaan dan mendapatkan 10 jenis hasil - angka 0 hingga 9 - muncul dalam berbagai persentase. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingatlah bahwa untuk mendapatkan probabilitas, Anda perlu membagi nilai persentase dengan 100. Jadi, kami mendapatkan 0,02; 0,1 dll. Mari kita sajikan contoh pemecahan masalah untuk varians dari variabel acak dan ekspektasi matematis.

Kami menghitung rata-rata aritmatika menggunakan rumus yang kami ingat dari sekolah dasar: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita terjemahkan probabilitas ke dalam jumlah hasil "berkeping-keping" agar lebih mudah untuk dihitung. Kami mendapatkan 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Kurangi rata-rata aritmatika dari setiap nilai yang diperoleh, setelah itu kami kuadratkan setiap hasil yang diperoleh. Lihat bagaimana melakukannya dengan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Selanjutnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lain, lakukan operasi ini sendiri. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, maka setelah menambahkan semuanya, Anda mendapatkan 90.

Mari kita lanjutkan menghitung varians dan mean dengan membagi 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Itu benar, karena jumlah percobaan yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapat dispersi. Jika Anda mendapatkan nomor yang berbeda, jangan putus asa. Kemungkinan besar, Anda membuat kesalahan dangkal dalam perhitungan. Periksa kembali apa yang Anda tulis, dan pasti semuanya akan sesuai dengan tempatnya.

Terakhir, mari kita ingat kembali rumus ekspektasi matematis. Kami tidak akan memberikan semua perhitungan, kami hanya akan menulis jawaban yang dapat Anda periksa setelah menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Nilai yang diharapkan adalah 5,48. Kami hanya mengingat cara melakukan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, kami hanya mengalikan nilai hasil dengan probabilitasnya.

Deviasi

Konsep lain yang terkait erat dengan dispersi dan ekspektasi matematis adalah standar deviasi. Ini dilambangkan dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan bagaimana, rata-rata, nilai-nilai menyimpang dari fitur utama. Untuk menemukan nilainya, Anda perlu menghitung akar kuadrat dari varians.

Jika Anda memplot distribusi normal dan ingin melihat deviasi kuadrat secara langsung, ini dapat dilakukan dalam beberapa langkah. Ambil setengah dari gambar ke kiri atau kanan mode (nilai pusat), gambar tegak lurus terhadap sumbu horizontal sehingga area gambar yang dihasilkan sama. Nilai segmen antara tengah distribusi dan proyeksi yang dihasilkan pada sumbu horizontal akan menjadi standar deviasi.

Perangkat lunak

Seperti yang dapat dilihat dari uraian rumus dan contoh yang disajikan, menghitung varians dan ekspektasi matematis bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut pandang aritmatika. Agar tidak membuang waktu, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di pendidikan tinggi - ini disebut "R". Ini memiliki fungsi yang memungkinkan Anda menghitung nilai untuk banyak konsep dari statistik dan teori probabilitas.

Misalnya, Anda mendefinisikan vektor nilai. Ini dilakukan sebagai berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Dispersi dan ekspektasi matematis tanpanya sulit untuk menghitung apa pun di masa depan. Dalam kursus utama kuliah di universitas, mereka dianggap sudah dalam bulan-bulan pertama mempelajari subjek. Justru karena kurangnya pemahaman tentang konsep-konsep sederhana ini dan ketidakmampuan untuk menghitungnya, banyak siswa segera mulai tertinggal dalam program dan kemudian menerima nilai buruk di akhir sesi, yang membuat mereka kehilangan beasiswa.

Berlatihlah setidaknya satu minggu selama setengah jam sehari, selesaikan tugas-tugas yang serupa dengan yang disajikan dalam artikel ini. Kemudian, pada tes teori probabilitas apa pun, Anda akan mengatasi contoh-contoh tanpa tip dan lembar contekan yang asing.

Setiap nilai individu sepenuhnya ditentukan oleh fungsi distribusinya. Juga, untuk memecahkan masalah praktis, cukup mengetahui beberapa karakteristik numerik, berkat itu dimungkinkan untuk menyajikan fitur utama variabel acak dalam bentuk yang ringkas.

Jumlah ini terutama nilai yang diharapkan dan penyebaran .

Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata variabel acak dalam teori probabilitas. Ditunjuk sebagai .

Dalam cara yang paling sederhana, ekspektasi matematis dari variabel acak X(w), ditemukan sebagai integralLebesgue sehubungan dengan ukuran probabilitas R asli ruang probabilitas

Anda juga dapat menemukan ekspektasi matematis dari suatu nilai sebagai Integral Lebesgue dari X dengan distribusi probabilitas R X kuantitas X:

di mana adalah himpunan semua nilai yang mungkin X.

Ekspektasi matematis fungsi dari variabel acak X adalah melalui distribusi R X. Misalnya, jika X- variabel acak dengan nilai dalam dan f(x)- tidak ambigu borelfungsi X , kemudian:

Jika sebuah F(x)- fungsi distribusi X, maka ekspektasi matematisnya terwakili integralLebesgue - Stieltjes (atau Riemann - Stieltjes):

sedangkan keterpaduan X dalam arti apa ( * ) sesuai dengan keterbatasan integral

Dalam kasus tertentu, jika X memiliki distribusi diskrit dengan nilai kemungkinan x k, k=1, 2, . , dan peluang , maka

jika X memiliki distribusi yang benar-benar kontinu dengan kerapatan probabilitas p(x), kemudian

dalam hal ini, keberadaan ekspektasi matematis ekuivalen dengan konvergensi absolut dari deret atau integral yang bersesuaian.

Sifat-sifat ekspektasi matematis dari variabel acak.

• Harapan matematis dari nilai konstan sama dengan nilai ini:

C- konstan;

• M=C.M[X]

• Harapan matematis dari jumlah nilai yang diambil secara acak sama dengan jumlah harapan matematisnya:

• Ekspektasi matematis produk variabel acak independen = produk ekspektasi matematisnya:

M=M[X]+M[Y]

jika X dan kamu mandiri.

jika deret tersebut konvergen:

Algoritma untuk menghitung ekspektasi matematis.

Properti variabel acak diskrit: semua nilainya dapat dinomori ulang dengan bilangan asli; menyamakan setiap nilai dengan probabilitas bukan nol.

1. Kalikan pasangan secara bergantian: x saya pada pi.

2. Tambahkan produk dari setiap pasangan x saya p saya.

Sebagai contoh, untuk n = 4 :

Fungsi distribusi variabel acak diskrit bertahap, itu meningkat tiba-tiba pada titik-titik yang probabilitasnya memiliki tanda positif.

Contoh: Temukan harapan matematis dengan rumus.

Ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak X , diberikan pada ruang probabilitas diskrit, adalah bilangan m =M[X]=∑x i p i , jika deret tersebut konvergen mutlak.

tugas layanan. Dengan layanan online ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dihitung(lihat contoh). Selain itu, grafik fungsi distribusi F(X) diplot.

Sifat-sifat ekspektasi matematis dari variabel acak

1. Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan dirinya sendiri: M[C]=C , C adalah konstanta;
2. M=C M[X]
3. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: M=M[X]+M[Y]
4. Ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya: M=M[X] M[Y] jika X dan Y bebas.

Sifat Dispersi

1. Dispersi nilai konstan sama dengan nol: D(c)=0.
2. Faktor konstanta dapat diambil dari bawah tanda dispersi dengan mengkuadratkannya: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Jika variabel acak X dan Y bebas, maka varians jumlah sama dengan jumlah varians: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Jika variabel acak X dan Y adalah dependen: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Untuk varians, rumus komputasinya valid:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Contoh. Ekspektasi matematis dan varians dari dua variabel acak independen X dan Y diketahui: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak Z=9X-8Y+7 .
Keputusan. Berdasarkan sifat-sifat ekspektasi matematis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Berdasarkan sifat dispersi: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritma untuk menghitung ekspektasi matematis

Properti variabel acak diskrit: semua nilainya dapat dinomori ulang dengan bilangan asli; Tetapkan setiap nilai probabilitas bukan nol.

1. Kalikan pasangan satu per satu: x i dengan p i .
2. Kami menambahkan produk dari setiap pasangan x i p i .
   Misalnya, untuk n = 4: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Fungsi distribusi variabel acak diskrit bertahap, itu meningkat tiba-tiba pada titik-titik yang probabilitasnya positif.

Contoh 1.

x saya	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Harapan matematis ditemukan dengan rumus m = x i p i .
Ekspektasi matematis M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Dispersi ditemukan dengan rumus d = x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersi D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Simpangan baku (x).
= kuadrat(D[X]) = kuadrat(7.69) = 2.78

Contoh #2. Sebuah variabel acak diskrit memiliki deret distribusi berikut:

X	-10	-5	0	5	10
R	sebuah	0,32	2sebuah	0,41	0,03

Temukan nilai a , ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak ini.

Keputusan. Nilai a ditemukan dari relasi: p i = 1
p i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 atau 0,24=3 a , dari mana a = 0,08

Contoh #3. Tentukan hukum distribusi variabel acak diskrit jika variansnya diketahui, dan x 1 x 1 = 6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Keputusan.
Di sini Anda perlu membuat rumus untuk mencari varians d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
di mana harapan m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Untuk data kami
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
atau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Dengan demikian, perlu untuk menemukan akar persamaan, dan akan ada dua di antaranya.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Kami memilih salah satu yang memenuhi kondisi x 1 x3=12

Hukum distribusi variabel acak diskrit
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3

Ekspektasi dan varians matematis adalah karakteristik numerik yang paling umum digunakan dari variabel acak. Mereka mencirikan fitur paling penting dari distribusi: posisi dan tingkat dispersinya. Dalam banyak masalah praktik, deskripsi lengkap dan lengkap dari variabel acak - hukum distribusi - tidak dapat diperoleh sama sekali, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kasus ini, mereka terbatas pada deskripsi perkiraan variabel acak menggunakan karakteristik numerik.

Ekspektasi matematis sering disebut hanya sebagai nilai rata-rata dari variabel acak. Dispersi variabel acak adalah karakteristik dispersi, dispersi variabel acak di sekitar harapan matematisnya.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Mari kita mendekati konsep ekspektasi matematis, pertama-tama melanjutkan dari interpretasi mekanis dari distribusi variabel acak diskrit. Biarkan massa unit didistribusikan antara titik-titik sumbu x x1 , x 2 , ..., x n, dan setiap titik material memiliki massa yang sesuai dengannya dari p1 , p 2 , ..., p n. Diperlukan untuk memilih satu titik pada sumbu x, yang mencirikan posisi seluruh sistem titik material, dengan mempertimbangkan massanya. Adalah wajar untuk mengambil pusat massa sistem titik material sebagai titik seperti itu. Ini adalah rata-rata tertimbang dari variabel acak X, di mana absis setiap titik xsaya masuk dengan "bobot" sama dengan probabilitas yang sesuai. Nilai rata-rata dari variabel acak sehingga diperoleh X disebut ekspektasi matematisnya.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitas nilai-nilai ini:

Contoh 1 Sebuah lotre menang-menang diselenggarakan. Ada 1000 kemenangan, 400 di antaranya masing-masing 10 rubel. 300 - 20 rubel masing-masing 200 - 100 rubel masing-masing. dan masing-masing 100 - 200 rubel. Berapa rata-rata kemenangan untuk seseorang yang membeli satu tiket?

Keputusan. Kami akan menemukan kemenangan rata-rata jika jumlah total kemenangan, yang sama dengan 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubel, dibagi dengan 1000 (jumlah total kemenangan). Maka kita mendapatkan 50000/1000 = 50 rubel. Tetapi ekspresi untuk menghitung keuntungan rata-rata juga dapat direpresentasikan dalam bentuk berikut:

Di sisi lain, dalam kondisi ini, jumlah kemenangan adalah variabel acak yang dapat mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan probabilitas sama dengan 0,4, masing-masing; 0,3; 0.2; 0.1. Oleh karena itu, hasil rata-rata yang diharapkan sama dengan jumlah produk dari ukuran hasil dan kemungkinan menerimanya.

Contoh 2 Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Dia akan menjual buku itu seharga 280 rubel, 200 di antaranya akan diberikan kepadanya, 50 ke toko buku, dan 30 kepada penulisnya. Tabel tersebut memberikan informasi tentang biaya penerbitan buku dan kemungkinan penjualan sejumlah eksemplar buku tersebut.

Temukan keuntungan yang diharapkan penerbit.

Keputusan. Variabel acak "keuntungan" sama dengan perbedaan antara pendapatan dari penjualan dan biaya biaya. Misalnya, jika 500 eksemplar buku terjual, maka pendapatan dari penjualan adalah 200 * 500 = 100.000, dan biaya penerbitan adalah 225.000 rubel. Dengan demikian, penerbit menghadapi kerugian 125.000 rubel. Tabel berikut merangkum nilai yang diharapkan dari variabel acak - laba:

Nomor	Laba xsaya	Kemungkinan psaya	xsaya p saya
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Total:		1,00	25000

Dengan demikian, kita memperoleh ekspektasi matematis dari keuntungan penerbit:

.

Contoh 3 Kesempatan untuk memukul dengan satu tembakan p= 0,2. Tentukan konsumsi cangkang yang memberikan ekspektasi matematis dari jumlah pukulan sama dengan 5.

Keputusan. Dari formula harapan yang sama yang telah kami gunakan sejauh ini, kami menyatakan x- konsumsi kerang:

.

Contoh 4 Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak x jumlah pukulan dengan tiga tembakan, jika probabilitas memukul dengan setiap tembakan p = 0,4 .

Petunjuk: temukan probabilitas nilai variabel acak dengan rumus Bernoulli .

Properti Harapan

Pertimbangkan sifat-sifat harapan matematis.

Properti 1. Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan konstanta ini:

Properti 2. Faktor konstan dapat diambil dari tanda harapan:

Properti 3. Ekspektasi matematis dari jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) ekspektasi matematisnya:

Properti 4. Ekspektasi matematis produk variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya:

Properti 5. Jika semua nilai dari variabel acak X berkurang (naik) dengan angka yang sama Dengan, maka ekspektasi matematisnya akan berkurang (naik) dengan angka yang sama:

Ketika Anda tidak dapat dibatasi hanya pada ekspektasi matematis

Dalam kebanyakan kasus, hanya ekspektasi matematis yang tidak dapat secara memadai mengkarakterisasi variabel acak.

Biarkan variabel acak X dan kamu diberikan oleh hukum distribusi berikut:

Berarti X	Kemungkinan
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Berarti kamu	Kemungkinan
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Harapan matematis dari jumlah ini adalah sama - sama dengan nol:

Namun, distribusinya berbeda. Nilai acak X hanya dapat mengambil nilai yang sedikit berbeda dari ekspektasi matematis, dan variabel acak kamu dapat mengambil nilai yang menyimpang secara signifikan dari ekspektasi matematis. Contoh serupa: upah rata-rata tidak memungkinkan untuk menilai proporsi pekerja bergaji tinggi dan rendah. Dengan kata lain, dengan ekspektasi matematis seseorang tidak dapat menilai penyimpangan apa darinya, setidaknya secara rata-rata, yang mungkin terjadi. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan varians dari variabel acak.

Dispersi variabel acak diskrit

penyebaran variabel acak diskrit X disebut ekspektasi matematis kuadrat deviasinya dari ekspektasi matematis:

Simpangan baku variabel acak X adalah nilai aritmatika dari akar kuadrat variansnya:

.

Contoh 5 Hitung varians dan standar deviasi dari variabel acak X dan kamu, yang hukum distribusinya diberikan dalam tabel di atas.

Keputusan. Ekspektasi matematis dari variabel acak X dan kamu, seperti yang ditemukan di atas, sama dengan nol. Menurut rumus dispersi untuk E(X)=E(kamu)=0 kita peroleh:

Maka simpangan baku variabel acak X dan kamu merupakan

.

Jadi, dengan harapan matematis yang sama, varians dari variabel acak X sangat kecil dan acak kamu- penting. Ini adalah konsekuensi dari perbedaan dalam distribusi mereka.

Contoh 6 Investor memiliki 4 alternatif proyek investasi. Tabel merangkum data tentang keuntungan yang diharapkan dalam proyek-proyek ini dengan probabilitas yang sesuai.

Proyek 1	Proyek 2	Proyek 3	Proyek 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Cari untuk setiap alternatif harapan matematis, varians dan standar deviasi.

Keputusan. Mari kita tunjukkan bagaimana jumlah ini dihitung untuk alternatif ke-3:

Tabel merangkum nilai yang ditemukan untuk semua alternatif.

Semua alternatif memiliki ekspektasi matematis yang sama. Artinya dalam jangka panjang setiap orang memiliki pendapatan yang sama. Standar deviasi dapat diartikan sebagai ukuran risiko - semakin besar, semakin besar risiko investasi. Seorang investor yang tidak menginginkan banyak risiko akan memilih proyek 1 karena memiliki standar deviasi terkecil (0). Jika investor lebih menyukai risiko dan pengembalian yang tinggi dalam waktu singkat, maka ia akan memilih proyek dengan standar deviasi terbesar - proyek 4.

Sifat Dispersi

Mari kita sajikan sifat-sifat dispersi.

Properti 1. Dispersi nilai konstan adalah nol:

Properti 2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

.

Properti 3. Varians variabel acak sama dengan ekspektasi matematis dari kuadrat nilai ini, dari mana kuadrat ekspektasi matematis dari nilai itu sendiri dikurangi:

,

di mana .

Properti 4. Varians jumlah (selisih) variabel acak sama dengan jumlah (selisih) variansnya:

Contoh 7 Diketahui bahwa variabel acak diskrit X hanya membutuhkan dua nilai: 3 dan 7. Selain itu, ekspektasi matematis diketahui: E(X) = 4 . Temukan varians dari variabel acak diskrit.

Keputusan. Dilambangkan dengan p probabilitas dengan mana variabel acak mengambil nilai x1 = −3 . Maka peluang nilai x2 = 7 akan menjadi 1 p. Mari kita turunkan persamaan untuk ekspektasi matematis:

E(X) = x 1 p + x 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,

di mana kita mendapatkan probabilitas: p= 0,3 dan 1 p = 0,7 .

Hukum distribusi variabel acak:

X	−3	7
p	0,3	0,7

Kami menghitung varians variabel acak ini menggunakan rumus dari properti 3 varians:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Temukan sendiri ekspektasi matematis dari variabel acak, lalu lihat solusinya

Contoh 8 Variabel acak diskrit X hanya membutuhkan dua nilai. Dibutuhkan nilai 3 yang lebih besar dengan probabilitas 0,4. Selain itu, varians dari variabel acak diketahui D(X) = 6 . Temukan harapan matematis dari variabel acak.

Contoh 9 Sebuah guci berisi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 3 bola diambil dari guci. Banyaknya bola putih diantara kedua bola yang terambil adalah peubah acak diskrit X. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak ini.

Keputusan. Nilai acak X dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang sesuai dapat dihitung dari aturan perkalian peluang. Hukum distribusi variabel acak:

X	0	1	2	3
p	1/30	3/10	1/2	1/6

Oleh karena itu ekspektasi matematis dari variabel acak ini:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Varians dari variabel acak yang diberikan adalah:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Ekspektasi matematis dan dispersi variabel acak kontinu

Untuk variabel acak kontinu, interpretasi mekanis dari ekspektasi matematis akan mempertahankan arti yang sama: pusat massa untuk satuan massa yang terdistribusi secara kontinu pada sumbu x dengan kerapatan f(x). Berbeda dengan variabel acak diskrit, yang argumen fungsinya xsaya berubah tiba-tiba, untuk variabel acak kontinu, argumen berubah terus menerus. Tetapi ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga terkait dengan nilai rata-ratanya.

Untuk menemukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak kontinu, Anda perlu menemukan integral tertentu . Jika fungsi kerapatan dari variabel acak kontinu diberikan, maka ia masuk langsung ke integral. Jika fungsi distribusi probabilitas diberikan, maka dengan mendiferensialkannya, Anda perlu menemukan fungsi kerapatan.

Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu disebut harapan matematis, dilambangkan dengan atau .