Teori singkat

Metode pengali Lagrange adalah metode klasik untuk memecahkan masalah pemrograman matematika (khususnya, cembung). Sayangnya, dalam penerapan praktis metode ini, kesulitan komputasi yang signifikan dapat terjadi, mempersempit area penggunaannya. Kami mempertimbangkan di sini metode Lagrange terutama karena ini adalah peralatan yang secara aktif digunakan untuk membenarkan berbagai metode numerik modern yang banyak digunakan dalam praktik. Adapun fungsi Lagrange dan pengali Lagrange, mereka memainkan peran independen dan sangat penting dalam teori dan aplikasi tidak hanya pemrograman matematika.

Pertimbangkan masalah optimasi klasik:

Di antara batasan masalah ini tidak ada pertidaksamaan, tidak ada kondisi untuk variabel non-negatif, diskritnya, dan fungsinya dan kontinu dan memiliki turunan parsial setidaknya orde kedua.

Pendekatan klasik untuk memecahkan masalah memberikan sistem persamaan (kondisi yang diperlukan) yang harus dipenuhi oleh titik yang menyediakan fungsi dengan ekstrem lokal pada himpunan titik yang memenuhi kendala (untuk masalah pemrograman cembung, titik yang ditemukan pada saat yang sama akan menjadi titik ekstrem global).

Mari kita asumsikan bahwa fungsi (1) memiliki ekstrem bersyarat lokal pada titik dan pangkat matriks sama dengan . Maka kondisi yang diperlukan dapat ditulis sebagai:

adalah fungsi Lagrange; adalah pengali Lagrange.

Ada juga kondisi yang cukup di mana solusi sistem persamaan (3) menentukan titik ekstrem dari fungsi . Pertanyaan ini diselesaikan berdasarkan studi tentang tanda diferensial kedua dari fungsi Lagrange. Namun, kondisi yang memadai terutama untuk kepentingan teoritis.

Anda dapat menentukan prosedur berikut untuk menyelesaikan masalah (1), (2) dengan metode pengali Lagrange:

1) menyusun fungsi Lagrange (4);

2) temukan turunan parsial dari fungsi Lagrange terhadap semua variabel dan samakan

nol. Dengan demikian, sistem (3) yang terdiri dari persamaan akan diperoleh. Selesaikan sistem yang dihasilkan (jika ternyata mungkin!) dan dengan demikian temukan semua titik stasioner dari fungsi Lagrange;

3) dari titik stasioner yang diambil tanpa koordinat, pilih titik di mana fungsi tersebut memiliki ekstrem lokal bersyarat dengan adanya kendala (2). Pilihan ini dibuat, misalnya, menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem lokal. Seringkali studi disederhanakan jika kondisi spesifik dari masalah digunakan.

Contoh solusi masalah

Tugas

Perusahaan memproduksi dua jenis barang dalam jumlah dan . Fungsi biaya yang berguna didefinisikan oleh relasi . Harga barang-barang ini di pasar adalah sama dan masing-masing.

Tentukan pada volume output berapa keuntungan maksimum dicapai dan berapa besarnya jika biaya total tidak melebihi

Mengalami kesulitan memahami proses solusi? Situs ini memiliki layanan Memecahkan masalah dengan metode solusi optimal sesuai pesanan

Solusi dari masalah

Model ekonomi dan matematika dari masalah

Fungsi keuntungan:

Batas biaya:

Kami mendapatkan model ekonomi dan matematika berikut:

Selain itu, sesuai dengan arti tugas

Metode pengali Lagrange

Mari kita buat fungsi Lagrange:

Kami menemukan turunan parsial dari orde pertama:

Kami membuat dan menyelesaikan sistem persamaan:

Dari dulu

Keuntungan Maksimum:

Menjawab

Jadi, perlu untuk menghasilkan unit. barang jenis dan unit pertama. barang dari tipe ke-2. Dalam hal ini, keuntungan akan maksimal dan akan menjadi 270.
Contoh pemecahan masalah pemrograman cembung kuadrat dengan metode grafis diberikan.

Memecahkan masalah linier dengan metode grafis
Sebuah metode grafis untuk memecahkan masalah program linier (LPP) dengan dua variabel dipertimbangkan. Pada contoh masalah, deskripsi terperinci tentang konstruksi gambar dan menemukan solusi diberikan.

Model manajemen inventaris Wilson
Pada contoh pemecahan masalah, model utama manajemen persediaan (model Wilson) dipertimbangkan. Indikator model seperti ukuran lot pesanan yang optimal, biaya penyimpanan tahunan, interval antara pengiriman dan titik penempatan pesanan dihitung.

Matriks Rasio Biaya Langsung dan Matriks Input-Output
Pada contoh pemecahan masalah, model lintas sektoral Leontiev dipertimbangkan. Perhitungan matriks koefisien biaya bahan langsung, matriks "input-output", matriks koefisien biaya tidak langsung, vektor konsumsi akhir dan output kotor ditampilkan.

Dengan Inti dari metode Lagrange adalah mereduksi masalah ekstrem bersyarat menjadi solusi dari masalah ekstrem bersyarat. Pertimbangkan model pemrograman non-linier:

(5.2)

di mana
adalah fungsi yang terkenal,

sebuah
diberikan koefisien.

Perhatikan bahwa dalam perumusan masalah ini, kendala diberikan oleh persamaan, dan tidak ada kondisi untuk variabel menjadi nonnegatif. Selain itu, kita asumsikan bahwa fungsi
kontinu dengan turunan parsial pertamanya.

Mari kita ubah kondisi (5.2) sedemikian rupa sehingga bagian kiri atau kanan persamaan mengandung nol:

(5.3)

Mari kita buat fungsi Lagrange. Ini termasuk fungsi tujuan (5.1) dan ruas kanan kendala (5.3), diambil masing-masing dengan koefisien
. Akan ada banyak koefisien Lagrange karena ada kendala dalam masalah.

Titik ekstrem dari fungsi (5.4) adalah titik ekstrem dari masalah awal dan sebaliknya: rencana optimal dari masalah (5.1)-(5.2) adalah titik ekstrem global dari fungsi Lagrange.

Memang, biarkan solusinya ditemukan
masalah (5.1)-(5.2), maka kondisi (5.3) terpenuhi. Mari kita ganti rencananya
ke dalam fungsi (5.4) dan verifikasi validitas persamaan (5.5).

Jadi, untuk menemukan rencana optimal dari masalah asli, perlu untuk menyelidiki fungsi Lagrange untuk ekstrem. Fungsi memiliki nilai ekstrem pada titik di mana turunan parsialnya sama nol. Titik-titik seperti itu disebut Perlengkapan tulis.

Kami mendefinisikan turunan parsial dari fungsi (5.4)

,

.

Setelah pemerataan nol turunan kita dapatkan sistemnya m+n persamaan dengan m+n tidak dikenal

,(5.6)

Dalam kasus umum, sistem (5.6)-(5.7) akan memiliki beberapa solusi, yang mencakup semua maxima dan minima dari fungsi Lagrange. Untuk menyoroti maksimum atau minimum global, nilai fungsi tujuan dihitung di semua titik yang ditemukan. Yang terbesar dari nilai-nilai ini akan menjadi maksimum global, dan yang terkecil akan menjadi minimum global. Dalam beberapa kasus dimungkinkan untuk menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem yang ketat fungsi kontinu (lihat Soal 5.2 di bawah):

biarkan fungsinya
kontinu dan terdiferensialkan dua kali di beberapa lingkungan titik stasionernya (itu.
)). Kemudian:

sebuah ) jika
, (5.8)

kemudian adalah titik maksimum ketat dari fungsi
;

b) jika
, (5.9)

kemudian adalah titik minimum ketat dari fungsi
;

G ) jika
,

maka pertanyaan tentang keberadaan ekstrem tetap terbuka.

Selain itu, beberapa solusi sistem (5.6)-(5.7) mungkin negatif. Yang tidak konsisten dengan makna ekonomi dari variabel. Dalam hal ini, kemungkinan penggantian nilai negatif dengan nol harus dianalisis.

Arti ekonomi dari pengganda Lagrange. Nilai pengganda yang optimal
menunjukkan seberapa besar nilai kriteria akan berubah Z saat menambah atau mengurangi sumber daya j per satuan, karena

Metode Lagrange juga dapat diterapkan ketika kendalanya adalah pertidaksamaan. Jadi, mencari ekstrem dari fungsi
dalam kondisi

,

dilakukan dalam beberapa tahap:

1. Tentukan titik-titik stasioner dari fungsi tujuan, yang dengannya titik-titik tersebut menyelesaikan sistem persamaan

.

2. Dari titik-titik stasioner, dipilih titik-titik yang koordinatnya memenuhi kondisi

3. Metode Lagrange digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan kendala (5.1)-(5.2).

4. Titik-titik yang ditemukan pada tahap kedua dan ketiga diperiksa untuk maksimum global: nilai-nilai fungsi tujuan pada titik-titik ini dibandingkan - nilai terbesar sesuai dengan rencana optimal.

Tugas 5.1 Mari kita selesaikan Soal 1.3, yang dibahas di bagian pertama, dengan metode Lagrange. Distribusi sumber daya air yang optimal digambarkan dengan model matematis

.

Buat fungsi Lagrange

Temukan maksimum tak bersyarat dari fungsi ini. Untuk melakukan ini, kami menghitung turunan parsial dan menyamakannya dengan nol

,

Dengan demikian, kami telah memperoleh sistem persamaan linier dalam bentuk

Solusi dari sistem persamaan tersebut adalah rencana distribusi sumber daya air yang optimal pada daerah irigasi

, .

Kuantitas
diukur dalam ratusan ribu meter kubik.
- jumlah pendapatan bersih per seratus ribu meter kubik air irigasi. Oleh karena itu, harga marjinal 1 m 3 air irigasi adalah
sarang. unit

Pendapatan bersih tambahan maksimum dari irigasi adalah

160 12,26 2 +7600 12,26-130 8,55 2 +5900 8,55-10 16,19 2 +4000 16,19=

172391.02 (unit ruang)

Tugas 5.2 Memecahkan masalah pemrograman non-linear

Kami mewakili kendala sebagai:

.

Susun fungsi Lagrange dan tentukan turunan parsialnya

.

Untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange, kita harus menyamakan turunan parsialnya dengan nol. Sebagai hasilnya, kami memperoleh sistem persamaan

.

Dari persamaan pertama berikut

. (5.10)

Ekspresi substitusikan ke persamaan kedua

,

dari mana ada dua solusi untuk :

dan
. (5.11)

Substitusikan solusi-solusi ini ke dalam persamaan ketiga, kita peroleh

,
.

Nilai pengganda Lagrange dan yang tidak diketahui hitung dengan ekspresi (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Jadi, kami mendapat dua titik ekstrem:

;
.

Untuk mengetahui apakah titik-titik ini adalah titik maksimum atau minimum, kami menggunakan kondisi yang cukup untuk ekstrem ketat (5.8)-(5.9). Pra ekspresi untuk , diperoleh dari pembatasan model matematika, kita substitusikan ke dalam fungsi tujuan

,

. (5.12)

Untuk memeriksa kondisi ekstrem, kita harus menentukan tanda turunan kedua dari fungsi (5.11) pada titik ekstrem yang kita temukan
dan
.

,
;

.

Dengan demikian, (·)
adalah titik minimum dari masalah awal (
), sebuah (·)
- titik maksimum.

Paket Optimal:

,
,
,

.

Deskripsi metode

di mana .

Alasan

Pembenaran berikut dari metode pengali Lagrange bukanlah bukti yang ketat. Ini berisi penalaran heuristik yang membantu untuk memahami makna geometris dari metode tersebut.

kasus 2D

Garis dan kurva datar.

Biarkan diperlukan untuk menemukan ekstrem dari beberapa fungsi dua variabel di bawah kondisi yang diberikan oleh persamaan . Kami akan mengasumsikan bahwa semua fungsi terdiferensiasi secara kontinu, dan persamaan ini mendefinisikan kurva mulus S di permukaan. Kemudian masalahnya direduksi menjadi menemukan ekstrem dari fungsi tersebut f pada kurva S. Kami juga akan berasumsi bahwa S tidak melalui titik-titik di mana gradien f berubah menjadi 0 .

Gambarlah pada bidang garis-garis level dari fungsi tersebut f(yaitu kurva). Dapat dilihat dari pertimbangan geometrik bahwa ekstrem dari fungsi f pada kurva S hanya ada titik-titik di mana garis singgung S dan garis level yang sesuai adalah sama. Memang, jika kurva S melintasi garis level f pada suatu titik secara transversal (yaitu, pada beberapa sudut bukan nol), kemudian bergerak sepanjang kurva S dari titik kita bisa mendapatkan keduanya ke garis level yang sesuai dengan nilai yang lebih besar f, dan lebih kecil. Oleh karena itu, titik seperti itu tidak bisa menjadi titik ekstrem.

Dengan demikian, kondisi yang diperlukan untuk ekstrem dalam kasus kami adalah kebetulan garis singgung. Untuk menuliskannya dalam bentuk analitik, perhatikan bahwa itu setara dengan paralelisme gradien fungsi f dan pada titik ini, karena vektor gradien tegak lurus terhadap garis singgung garis level. Kondisi ini dinyatakan dalam bentuk berikut:

di mana adalah beberapa angka bukan nol, yang merupakan pengali Lagrange.

Pertimbangkan sekarang Fungsi Lagrange tergantung pada dan :

Kondisi yang diperlukan untuk ekstremnya adalah gradien nol. Sesuai dengan aturan diferensiasi, ditulis sebagai

Kami telah memperoleh sistem yang dua persamaan pertamanya setara dengan kondisi ekstrem lokal yang diperlukan (1), dan yang ketiga setara dengan persamaan . Dari situ Anda dapat menemukan. Dalam hal ini, karena jika tidak, gradien fungsi f menghilang pada satu titik , yang bertentangan dengan asumsi kami. Perlu dicatat bahwa titik yang ditemukan dengan cara ini mungkin bukan titik ekstrem bersyarat yang diinginkan - kondisi yang dipertimbangkan diperlukan, tetapi tidak cukup. Menemukan ekstrem bersyarat menggunakan fungsi bantu L dan membentuk dasar dari metode pengali Lagrange yang diterapkan di sini untuk kasus paling sederhana dari dua variabel. Ternyata alasan di atas dapat digeneralisasi untuk kasus sejumlah variabel dan persamaan arbitrer yang menentukan kondisi.

Berdasarkan metode pengali Lagrange, seseorang juga dapat membuktikan beberapa kondisi yang cukup untuk ekstrem bersyarat, yang memerlukan analisis turunan kedua dari fungsi Lagrange.

Aplikasi

• Metode pengali Lagrange digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman non-linier yang muncul di banyak bidang (misalnya, di bidang ekonomi).
• Metode utama untuk memecahkan masalah pengoptimalan kualitas penyandian data audio dan video untuk bitrate rata-rata yang diberikan (optimasi distorsi - Bahasa Inggris. Optimasi tingkat-distorsi).

Lihat juga

Tautan

• Zorich V.A. Analisis matematika. Bagian 1. - ed. 2, rev. dan tambahan - M.: FAZIS, 1997.

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "Pengganda Lagrange" di kamus lain:

Pengganda Lagrange- faktor tambahan yang mengubah fungsi tujuan dari masalah ekstrem pemrograman cembung (khususnya, pemrograman linier) ketika diselesaikan dengan salah satu metode klasik dengan metode menyelesaikan faktor ... ... Kamus Ekonomi dan Matematika

Pengganda Lagrange- Faktor tambahan yang mengubah fungsi tujuan dari masalah ekstrem pemrograman cembung (khususnya, pemrograman linier) ketika diselesaikan dengan salah satu metode klasik dengan metode faktor penyelesaian (metode Lagrange). ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

Mekanika. 1) Persamaan Lagrangian jenis pertama, persamaan diferensial gerak suatu mekanik. sistem, yang diberikan dalam proyeksi ke sumbu koordinat persegi panjang dan berisi apa yang disebut. Pengganda Lagrange. Diterima oleh J. Lagrange pada tahun 1788. Untuk sistem holonomik, ... ... Ensiklopedia Fisik

Persamaan diferensial biasa mekanika orde 2, menggambarkan gerak seorang mekanik. sistem di bawah pengaruh gaya yang diterapkan padanya. L. di. ditetapkan oleh J. Lag range dalam dua bentuk: L. at. Jenis pertama, atau persamaan dalam koordinat Cartesian dengan ... ... Ensiklopedia Matematika

1) dalam hidromekanika, persamaan gerak cairan (gas) dalam variabel Lagrange, yang merupakan koordinat medium. Menerima bahasa Prancis. ilmuwan J. Lagrange (J. Lagrange; c. 1780). Dari L. di. hukum gerak medium h c ditentukan dalam bentuk ketergantungan ... ... Ensiklopedia Fisik

Metode pengali lagrange, suatu metode untuk menemukan ekstrem bersyarat dari fungsi f(x), di mana, sehubungan dengan m kendala, i bervariasi dari satu ke m. Isi 1 Deskripsi metode ... Wikipedia

Sebuah fungsi yang digunakan dalam memecahkan masalah untuk fungsi ekstrem bersyarat dari beberapa variabel dan fungsi. Dengan bantuan L. f. kondisi optimalitas yang diperlukan ditulis dalam masalah untuk ekstrem bersyarat. Tidak perlu hanya mengekspresikan variabel ... Ensiklopedia Matematika

Metode untuk memecahkan masalah untuk ekstrem Bersyarat; L. m. m. terdiri dalam mereduksi masalah-masalah ini menjadi masalah untuk ekstrem tanpa syarat dari fungsi bantu yang disebut. Fungsi Lagrange. Untuk masalah ekstrem dari fungsi f (x1, x2,..., xn) untuk ... ...

Variabel, dengan bantuan yang fungsi Lagrange dibangun dalam studi masalah untuk ekstrem bersyarat. Penggunaan L.m. dan fungsi Lagrange memungkinkan untuk memperoleh kondisi optimalitas yang diperlukan dengan cara yang seragam dalam masalah untuk ekstrem bersyarat ... Ensiklopedia Matematika

1) dalam hidromekanika, persamaan gerak medium cair ditulis dalam variabel Lagrange, yang merupakan koordinat partikel medium. Dari L. di. hukum gerak partikel medium ditentukan dalam bentuk ketergantungan koordinat pada waktu, dan menurut mereka ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

METODE LAGRANGE

Metode pengurangan bentuk kuadrat menjadi jumlah kuadrat, ditunjukkan pada tahun 1759 oleh J. Lagrange. Biar dikasih

dari variabel x 0 , x 1 ,..., x n. dengan koefisien dari lapangan k karakteristik Hal ini diperlukan untuk membawa formulir ini ke kanonik. pikiran

menggunakan transformasi linear variabel nondegenerate. L.m. terdiri dari sebagai berikut. Kita dapat mengasumsikan bahwa tidak semua koefisien bentuk (1) sama dengan nol. Oleh karena itu, dua kasus dimungkinkan.

1) Untuk beberapa g, diagonal Kemudian

di mana bentuk f 1 (x) tidak mengandung variabel xg. 2) Jika semua tetapi kemudian

di mana bentuk f 2 (x) tidak mengandung dua variabel x g dan x jam Bentuk-bentuk di bawah tanda persegi pada (4) bebas linier. Dengan menerapkan transformasi bentuk (3) dan (4), bentuk (1) setelah sejumlah langkah terhingga direduksi menjadi jumlah kuadrat dari bentuk-bentuk linier bebas linier. Menggunakan turunan parsial, rumus (3) dan (4) dapat ditulis sebagai:

menyala.: G a n t m a h e r F. R., Teori Matriks, edisi ke-2, Moskow, 1966; K ur o sh A. G., Kursus Aljabar Tinggi, edisi ke-11., M., 1975; Alexandrov P.S., Kuliah tentang Geometri Analitik..., M., 1968. I.V.Proskuryakov.

ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "METODE LAGRANGE" di kamus lain:

Metode Lagrange- Metode Lagrange - metode untuk memecahkan sejumlah kelas masalah pemrograman matematika dengan mencari titik pelana (x *, *) dari fungsi Lagrange, yang dicapai dengan menyamakan ke nol turunan parsial dari fungsi ini terhadap . .. ... Kamus Ekonomi dan Matematika

Metode Lagrange- Sebuah metode untuk memecahkan sejumlah kelas masalah pemrograman matematika dengan mencari titik pelana (x*, ?*) dari fungsi Lagrange, yang dicapai dengan menyamakan ke nol turunan parsial dari fungsi ini terhadap xi dan ?i . Lihat Lagrangian. (x, kamu) = C dan f 2 (x, y) = C 2 di permukaan XOkamu.

Dari sini berikut metode untuk menemukan akar dari sistem. persamaan nonlinier:

Tentukan (setidaknya kira-kira) interval keberadaan solusi untuk sistem persamaan (10) atau persamaan (11). Di sini perlu untuk mempertimbangkan jenis persamaan yang termasuk dalam sistem, domain definisi dari masing-masing persamaannya, dll. Terkadang pemilihan pendekatan awal dari solusi digunakan;

Tabulasikan solusi persamaan (11) untuk variabel x dan y pada interval yang dipilih, atau buat grafik fungsi f 1 (x, kamu) = C, dan f 2 (x, y) = C 2 (sistem (10)).

Lokalkan taksiran akar sistem persamaan - temukan beberapa nilai minimum dari tabel tabulasi akar persamaan (11), atau tentukan titik potong kurva yang termasuk dalam sistem (10).

4. Temukan akar dari sistem persamaan (10) menggunakan add-on Cari solusi.