Fungsi antiturunan dan integral tak tentu

Fakta 1. Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, yaitu pemulihan suatu fungsi dari turunan yang diketahui dari fungsi ini. Fungsi dipulihkan dengan cara ini F(x) disebut primitif untuk fungsi f(x).

Definisi 1. Fungsi F(x f(x) pada beberapa interval X, jika untuk semua nilai x dari interval ini persamaan F "(x)=f(x), yaitu, fungsi ini f(x) adalah turunan dari fungsi antiturunan F(x). .

Misalnya, fungsi F(x) = sin x adalah antiturunan dari fungsi f(x) = cos x pada seluruh garis bilangan, karena untuk sembarang nilai x (dosa x)" = (cos x) .

Definisi 2. Integral tak tentu dari suatu fungsi f(x) adalah himpunan semua antiturunannya. Ini menggunakan notasi

∫

f(x)dx

,

dimana tandanya ∫ disebut tanda integral, fungsi f(x) adalah integral, dan f(x)dx adalah integran.

Jadi, jika F(x) adalah beberapa antiturunan untuk f(x) , kemudian

∫

f(x)dx = F(x) +C

di mana C - konstanta arbitrer (konstanta).

Untuk memahami arti dari himpunan antiturunan dari suatu fungsi sebagai integral tak tentu, analogi berikut ini tepat. Biarlah ada pintu (pintu kayu tradisional). Fungsinya adalah “menjadi pintu”. Pintunya terbuat dari apa? Dari sebuah pohon. Ini berarti bahwa himpunan antiturunan dari integran "menjadi pintu", yaitu integral tak tentu, adalah fungsi "menjadi pohon + C", di mana C adalah konstanta, yang dalam konteks ini dapat menunjukkan, untuk misalnya jenis pohon. Seperti halnya pintu yang dibuat dari kayu dengan beberapa perkakas, turunan suatu fungsi "dibuat" dari fungsi antiturunan dengan rumus yang kita pelajari dengan mempelajari turunan .

Kemudian tabel fungsi objek umum dan primitif yang sesuai ("menjadi pintu" - "menjadi pohon", "menjadi sendok" - "menjadi logam", dll.) mirip dengan tabel integral tak tentu dasar, yang akan diberikan di bawah ini. Tabel integral tak tentu mencantumkan fungsi-fungsi umum, yang menunjukkan antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Sebagai bagian dari tugas mencari integral tak tentu, diberikan integran-integran yang dapat diintegralkan secara langsung tanpa usaha khusus, yaitu menurut tabel integral tak tentu. Dalam masalah yang lebih kompleks, integran harus terlebih dahulu ditransformasikan agar integral tabel dapat digunakan.

Fakta 2. Untuk mengembalikan fungsi sebagai antiturunan, kita harus memperhitungkan konstanta arbitrer (konstanta) C, dan agar tidak menulis daftar antiturunan dengan konstanta yang berbeda dari 1 hingga tak terhingga, Anda perlu menuliskan satu set antiturunan dengan konstanta arbitrer C, seperti ini: 5 x+C. Jadi, konstanta arbitrer (konstanta) termasuk dalam ekspresi antiturunan, karena antiturunan dapat berupa fungsi, misalnya, 5 x+4 atau 5 x+3 dan ketika mendiferensiasikan 4 atau 3 atau konstanta lainnya menghilang.

Kami mengatur masalah integrasi: untuk fungsi yang diberikan f(x) temukan fungsi seperti itu F(x), turunan siapa adalah sama dengan f(x).

Contoh 1 Tentukan himpunan antiturunan dari suatu fungsi

Keputusan. Untuk fungsi ini, antiturunannya adalah fungsi

Fungsi F(x) disebut antiturunan untuk fungsi f(x) jika turunan F(x) adalah sama dengan f(x), atau, yang merupakan hal yang sama, diferensial F(x) adalah sama dengan f(x) dx, yaitu

(2)

Oleh karena itu, fungsi tersebut merupakan antiturunan dari fungsi . Namun, itu bukan satu-satunya antiturunan untuk . Mereka juga fungsi

di mana Dengan adalah konstanta arbitrer. Hal ini dapat dibuktikan dengan diferensiasi.

Jadi, jika ada satu antiturunan untuk suatu fungsi, maka untuk itu ada himpunan antiturunan tak berhingga yang berbeda dengan jumlah konstan. Semua antiturunan untuk suatu fungsi ditulis dalam bentuk di atas. Ini mengikuti dari teorema berikut.

Teorema (pernyataan formal fakta 2). Jika sebuah F(x) adalah antiturunan dari fungsi f(x) pada beberapa interval X, maka antiturunan lainnya untuk f(x) pada interval yang sama dapat direpresentasikan sebagai F(x) + C, di mana Dengan adalah konstanta arbitrer.

Dalam contoh berikut, kita telah beralih ke tabel integral, yang akan diberikan dalam paragraf 3, setelah sifat-sifat integral tak tentu. Kami melakukan ini sebelum membiasakan diri dengan seluruh tabel, sehingga esensi dari hal di atas menjadi jelas. Dan setelah tabel dan properti, kami akan menggunakannya secara keseluruhan saat mengintegrasikan.

Contoh 2 Temukan himpunan antiturunan:

Keputusan. Kami menemukan set fungsi antiturunan dari mana fungsi-fungsi ini "dibuat". Saat menyebutkan rumus dari tabel integral, untuk saat ini, terima saja bahwa ada rumus seperti itu, dan kita akan mempelajari tabel integral tak tentu secara penuh lebih jauh.

1) Menerapkan rumus (7) dari tabel integral untuk n= 3, kita peroleh

2) Menggunakan rumus (10) dari tabel integral untuk n= 1/3, kita punya

3) Sejak

maka menurut rumus (7) di n= -1/4 temukan

Di bawah tanda integral, mereka tidak menulis fungsi itu sendiri f, dan produknya dengan diferensial dx. Ini dilakukan terutama untuk menunjukkan variabel mana yang dicari oleh antiturunan. Sebagai contoh,

, ;

di sini dalam kedua kasus integran sama dengan , tetapi integral tak tentu dalam kasus yang dipertimbangkan ternyata berbeda. Dalam kasus pertama, fungsi ini dianggap sebagai fungsi dari variabel x, dan yang kedua - sebagai fungsi dari z .

Proses mencari integral tak tentu dari suatu fungsi disebut pengintegrasian fungsi tersebut.

Arti geometris integral tak tentu

Biarkan diperlukan untuk menemukan kurva y=F(x) dan kita sudah tahu bahwa garis singgung dari kemiringan garis singgung pada setiap titiknya adalah fungsi yang diberikan f(x) absis titik ini.

Menurut arti geometris turunan, garis singgung kemiringan garis singgung pada titik tertentu pada kurva y=F(x) sama dengan nilai turunannya F"(x). Jadi, kita perlu menemukan fungsi seperti itu F(x), untuk itu F"(x)=f(x). Fungsi yang diperlukan dalam tugas F(x) berasal dari f(x). Kondisi masalah tidak dipenuhi oleh satu kurva, tetapi oleh keluarga kurva. y=F(x)- salah satu kurva ini, dan kurva lainnya dapat diperoleh darinya dengan translasi paralel sepanjang sumbu Oy.

Sebutlah grafik fungsi antiturunan dari f(x) kurva integral. Jika sebuah F"(x)=f(x), maka grafik fungsi y=F(x) adalah kurva integral.

Fakta 3. Integral tak tentu secara geometris diwakili oleh keluarga dari semua kurva integral seperti pada gambar di bawah ini. Jarak setiap kurva dari titik asal ditentukan oleh konstanta arbitrer (konstanta) integrasi C.

Sifat-sifat integral tak tentu

Fakta 4. Teorema 1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, dan diferensialnya sama dengan integran.

Fakta 5. Teorema 2. Integral tak tentu dari diferensial suatu fungsi f(x) sama dengan fungsi f(x) sampai suku konstan , yaitu

(3)

Teorema 1 dan 2 menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi yang saling terbalik.

Fakta 6. Teorema 3. Faktor konstanta dalam integral dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu , yaitu

Dalam kalkulus diferensial, masalahnya diselesaikan: di bawah fungsi yang diberikan (x) temukan turunannya(atau diferensial). Kalkulus integral memecahkan masalah invers: untuk menemukan fungsi F (x), mengetahui turunannya F "(x) \u003d (x) (atau diferensial). Fungsi yang diinginkan F (x) disebut antiturunan dari fungsi (x).

Fungsi F(x) disebut primitif fungsi (x) pada interval (a; b), jika untuk sembarang x (a; b) persamaan

F " (x)=ƒ(x) (atau dF(x)=ƒ(x)dx).

Misalnya, fungsi antiturunan y \u003d x 2, x R, adalah suatu fungsi, karena

Jelas, antiturunan juga akan menjadi fungsi apa pun

di mana C adalah konstanta, karena

Teorema 29. 1. Jika fungsi F(x) adalah antiturunan dari fungsi (x) pada (a;b), maka himpunan semua antiturunan untuk (x) diberikan oleh rumus F(x)+ C, di mana C adalah bilangan konstan.

Fungsi F(x)+C adalah antiturunan dari (x).

Memang, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Misal F(x) adalah fungsi lain, berbeda dari F(x), fungsi antiturunan (x), yaitu, "(x)=ƒ(x). Maka untuk setiap x (a; b) kita miliki

Dan ini berarti (lihat Akibat wajar 25.1) bahwa

dimana C adalah bilangan konstan. Oleh karena itu, (х)=F(x)+.▼

Himpunan semua fungsi primitif F(x)+C untuk (x) disebut integral tak tentu dari fungsi (x) dan dilambangkan dengan simbol (x) dx.

Jadi menurut definisi

(x)dx= F(x)+C.

Di sini (x) disebut integral, (x)dx — integral, X - variabel integrasi, ∫ -tanda integral tak tentu.

Operasi mencari integral tak tentu dari suatu fungsi disebut integrasi dari fungsi ini.

Integral tak tentu geometris adalah keluarga kurva "paralel" y \u003d F (x) + C (setiap nilai numerik C sesuai dengan kurva keluarga tertentu) (lihat Gambar 166). Grafik setiap antiturunan (kurva) disebut kurva integral.

Apakah setiap fungsi memiliki integral tak tentu?

Ada teorema yang menyatakan bahwa "setiap fungsi kontinu pada (a;b) memiliki antiturunan pada interval ini", dan, akibatnya, integral tak tentu.

Kami mencatat sejumlah sifat integral tak tentu yang mengikuti dari definisinya.

1. Diferensial integral tak tentu sama dengan integran, dan turunan integral tak tentu sama dengan integran:

d(∫ (x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ (x)dx) "=ƒ(x).

Memang, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d (x) dx

(∫ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Berkat properti ini, kebenaran integrasi diverifikasi oleh diferensiasi. Misalnya persamaan

(3x 2 + 4) dx=x t + 4x+C

benar, karena (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Integral tak tentu dari diferensial beberapa fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta arbitrer:

dF(x)=F(x)+C.

Betulkah,

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral:

0 adalah konstanta.

Betulkah,

(letakkan C 1 / a \u003d C.)

4. Integral tak tentu dari jumlah aljabar dari sejumlah fungsi kontinu adalah sama dengan jumlah aljabar integral dari suku-suku fungsi:

Misalkan F"(x)=ƒ(x) dan G"(x)=g(x). Kemudian

di mana C 1 ±C 2 \u003d C.

5. (Invarians dari rumus integrasi).

Jika sebuah , di mana u=φ(x) adalah fungsi arbitrer yang memiliki turunan kontinu.

Misalkan x adalah variabel bebas, (x) fungsi kontinu dan F(x) antiturunannya. Kemudian

Mari kita tentukan u=φ(x), di mana (x) adalah fungsi terdiferensiasi kontinu. Pertimbangkan fungsi kompleks F(u)=F(φ(x)). Karena invarian dari bentuk diferensial pertama dari fungsi tersebut (lihat hal. 160), kita mendapatkan

Dari sini▼

Dengan demikian, rumus integral tak tentu tetap berlaku terlepas dari apakah variabel integrasi merupakan variabel bebas atau fungsi apa pun yang memiliki turunan kontinu.

Jadi, dari rumus dengan mengganti x dengan u (u=φ(x)) kita mendapatkan

Secara khusus,

Contoh 29.1. Temukan integralnya

di mana C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Contoh 29.2. Temukan Solusi integral:

• 29.3. Tabel integral tak tentu dasar

Mengambil keuntungan dari fakta bahwa integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi, seseorang dapat memperoleh tabel integral dasar dengan membalik rumus yang sesuai dari kalkulus diferensial (tabel diferensial) dan menggunakan sifat-sifat integral tak tentu.

Misalnya, sebagai

d(sin u)=cos u . du,

Turunan dari sejumlah rumus tabel akan diberikan ketika mempertimbangkan metode utama integrasi.

Integral dalam tabel di bawah ini disebut integral tabular. Mereka harus diketahui dengan hati. Dalam kalkulus integral tidak ada aturan sederhana dan universal untuk menemukan antiturunan dari fungsi dasar, seperti dalam kalkulus diferensial. Metode untuk menemukan antiturunan (yaitu, mengintegrasikan fungsi) direduksi menjadi metode indikasi yang membawa integral tertentu (yang diinginkan) ke tabel. Oleh karena itu, perlu mengetahui integral tabular dan mampu mengenalinya.

Perhatikan bahwa dalam tabel integral dasar, variabel integrasi dan dapat menyatakan variabel bebas dan fungsi dari variabel bebas (menurut sifat invarian dari rumus integrasi).

Validitas rumus di bawah ini dapat dibuktikan dengan mengambil diferensial di ruas kanan, yang akan sama dengan integran ruas kiri rumus.

Mari kita buktikan, misalnya, validitas rumus 2. Fungsi 1/u didefinisikan dan kontinu untuk semua nilai u bukan nol.

Jika u > 0, maka ln|u|=lnu, maka Jadi

Jika kamu<0, то ln|u|=ln(-u). НоCara

Jadi rumus 2 benar. Demikian pula, mari kita periksa rumus 15:

Tabel integral dasar

Teman-teman! Kami mengundang Anda untuk berdiskusi. Jika Anda memiliki pendapat, tulis kepada kami di komentar.

Tugas utama kalkulus diferensial adalah untuk menemukan turunan f'(x) atau diferensial df=f'(x)dx fungsi f(x). Dalam kalkulus integral, masalah invers diselesaikan. Sesuai dengan fungsi yang diberikan f(x) diperlukan untuk menemukan fungsi seperti itu F(x), Apa F'(x)=f(x) atau dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx.

Dengan demikian, tugas pokok kalkulus integral adalah fungsi pemulihan F(x) oleh turunan (diferensial) yang diketahui dari fungsi ini. Kalkulus integral memiliki banyak aplikasi dalam geometri, mekanika, fisika dan teknologi. Ini memberikan metode umum untuk menemukan area, volume, pusat gravitasi, dll.

Definisi. FungsiF(x), , disebut antiturunan dari fungsif(x) pada himpunan X jika terdiferensialkan untuk sembarang danF'(x)=f(x) ataudF(x)=f(x)dx.

Dalil. Setiap kontinu pada segmen [sebuah;b] fungsif(x) memiliki antiturunan pada segmen iniF(x).

Dalil. Jika sebuahF1 (x) danF2 (x) adalah dua antiturunan berbeda dari fungsi yang samaf(x) pada himpunan x, maka mereka berbeda satu sama lain dengan istilah konstan, yaituF2 (x)=F1x)+C, di mana C adalah konstanta.

Integral tak tentu, sifat-sifatnya.

Definisi. AgregatF(x)+C dari semua antiturunanf(x) pada himpunan X disebut integral tak tentu dan dinotasikan:

- (1)

Dalam rumus (1) f(x)dx ditelepon integral,f(x) adalah integran, x adalah variabel integrasi, sebuah C adalah konstanta integrasi.

Perhatikan sifat-sifat integral tak tentu yang mengikuti definisinya.

1. Turunan integral tak tentu sama dengan integran, diferensial integral tak tentu sama dengan integran:

dan .

2. Integral tak tentu dari diferensial beberapa fungsi sama dengan jumlah fungsi ini dan konstanta arbitrer:

3. Faktor konstanta a (a≠0) dapat dikeluarkan dari tanda integral tak tentu:

4. Integral tak tentu jumlah aljabar sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah aljabar integral fungsi-fungsi berikut:

5. Jika sebuahF(x) adalah antiturunan dari fungsif(x), maka:

6 (invarian rumus integrasi). Rumus integrasi apa pun mempertahankan bentuknya jika variabel integrasi diganti dengan fungsi terdiferensiasi apa pun dari variabel ini:

di manau adalah fungsi yang dapat diturunkan.

Tabel integral tak tentu.

Ayo bawa aturan dasar untuk mengintegrasikan fungsi.

Ayo bawa tabel integral tak tentu dasar.(Perhatikan bahwa di sini, seperti dalam kalkulus diferensial, huruf kamu dapat disebut sebagai variabel bebas (kamu =x), dan fungsi dari variabel bebas (kamu =kamu(x)).)

(n≠-1). (a>0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Integral 1 - 17 disebut datar.

Beberapa rumus tabel integral di atas, yang tidak memiliki analog dalam tabel turunan, diverifikasi dengan membedakan ruas kanannya.

Perubahan variabel dan integrasi dengan bagian-bagian dalam integral tak tentu.

Integrasi dengan substitusi (perubahan variabel). Biarkan diperlukan untuk menghitung integral

, yang tidak berbentuk tabel. Inti dari metode substitusi adalah bahwa dalam integral variabel X ganti variabel t sesuai dengan rumus x=φ(t), di mana dx=φ'(t)dt.

Dalil. Biarkan fungsinyax=φ(t) terdefinisi dan terdiferensialkan pada suatu himpunan T dan misalkan X adalah himpunan nilai dari fungsi ini di mana fungsi tersebut didefinisikanf(x). Maka jika pada himpunan X fungsi tersebutf(

Artikel ini membahas secara rinci tentang sifat-sifat utama integral tertentu. Mereka dibuktikan dengan menggunakan konsep integral Riemann dan Darboux. Perhitungan integral tertentu lolos, berkat 5 properti. Sisanya digunakan untuk mengevaluasi berbagai ekspresi.

Sebelum beralih ke sifat-sifat utama integral tertentu, perlu dipastikan bahwa a tidak melebihi b .

Sifat-sifat dasar integral tertentu

Definisi 1

Fungsi y \u003d f (x) , yang ditentukan untuk x \u003d a, mirip dengan persamaan yang adil a a f (x) d x \u003d 0.

Bukti 1

Dari sini kita melihat bahwa nilai integral dengan batas bertepatan sama dengan nol. Ini adalah konsekuensi dari integral Riemann, karena setiap integral menjumlahkan untuk setiap partisi pada interval [ a ; a ] dan setiap pilihan titik i sama dengan nol, karena x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , sehingga diperoleh limit fungsi integral adalah nol.

Definisi 2

Untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada interval [ a ; b ] , kondisi a b f (x) d x = - b a f (x) d x terpenuhi.

Bukti 2

Dengan kata lain, jika Anda mengubah batas atas dan bawah integrasi di tempat, maka nilai integral akan mengubah nilai sebaliknya. Properti ini diambil dari integral Riemann. Namun, penomoran pembagian segmen dimulai dari titik x = b.

Definisi 3

a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± a b g (x) d x digunakan untuk fungsi integral bertipe y = f (x) dan y = g (x) yang didefinisikan pada interval [ a ; b] .

Bukti 3

Tulis jumlah integral dari fungsi y = f (x) ± g (x) untuk partisi menjadi segmen dengan pilihan titik yang diberikan i: = i = 1 n f i ± g ζ i x i - x i - 1 = = i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = f ± σ g

di mana f dan g adalah jumlah integral dari fungsi y = f (x) dan y = g (x) untuk membagi segmen. Setelah melewati limit di = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 kita peroleh bahwa lim → 0 σ = lim → 0 f ± g = lim → 0 g ± lim → 0 g .

Dari definisi Riemann, ekspresi ini setara.

Definisi 4

Mengambil faktor konstan dari tanda integral tertentu. Fungsi yang dapat diintegralkan dari interval [ a ; b ] dengan nilai sembarang k memiliki pertidaksamaan valid berbentuk a b k · f (x) d x = k · a b f (x) d x .

Bukti 4

Pembuktian sifat integral tertentu mirip dengan pembuktian sebelumnya:

= i = 1 n k f i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f lim → 0 = lim λ → 0 (k f) = k lim → 0 f ⇒ a b k f (x) d x = k a b f (x) d x

Definisi 5

Jika suatu fungsi berbentuk y = f (x) dapat diintegralkan pada interval x dengan a x , b x , kita peroleh a b f (x) d x = a c f (x) d x + c b f (x) d x .

Bukti 5

Properti dianggap sah untuk c a ; b , untuk c a dan c b . Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama dengan sifat-sifat sebelumnya.

Definisi 6

Ketika suatu fungsi memiliki kemampuan untuk diintegralkan dari segmen [ a ; b ] , maka ini layak untuk setiap segmen internal c ; d a; b.

Bukti 6

Buktinya didasarkan pada properti Darboux: jika poin ditambahkan ke partisi segmen yang ada, maka jumlah Darboux yang lebih rendah tidak akan berkurang, dan yang atas tidak akan bertambah.

Definisi 7

Ketika suatu fungsi dapat diintegralkan pada [ a ; b ] dari f (x) 0 f (x) 0 untuk setiap nilai x a ; b , maka diperoleh a b f (x) d x 0 a b f (x) 0 .

Properti dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi integral Riemann: setiap jumlah integral untuk setiap pilihan titik partisi segmen dan titik i dengan kondisi bahwa f (x) 0 f (x) 0 non-negatif.

Bukti 7

Jika fungsi y = f (x) dan y = g (x) dapat diintegralkan pada segmen [ a ; b ] , maka pertidaksamaan berikut dianggap sah:

a b f (x) d x a b g (x) d x , f (x) g (x) x a ; b a b f (x) d x a b g (x) d x , f (x) g (x) x a ; b

Berkat pernyataan tersebut, kita tahu bahwa integrasi dapat diterima. Akibat wajar ini akan digunakan dalam pembuktian properti lainnya.

Definisi 8

Untuk fungsi yang dapat diintegralkan y = f (x) dari segmen [ a ; b ] kita memiliki pertidaksamaan yang valid dalam bentuk a b f (x) d x a b f (x) d x .

Bukti 8

Kami memiliki bahwa - f (x) f (x) f (x) . Dari sifat sebelumnya, diperoleh bahwa pertidaksamaan dapat diintegralkan suku demi suku dan sesuai dengan pertidaksamaan berbentuk - a b f (x) d x a b f (x) d x a b f (x) d x . Pertidaksamaan ganda ini dapat ditulis dalam bentuk lain: a b f (x) d x a b f (x) d x .

Definisi 9

Ketika fungsi y = f (x) dan y = g (x) diintegrasikan dari segmen [ a ; b ] untuk g (x) 0 untuk setiap x a ; b , kita memperoleh pertidaksamaan dalam bentuk m ∫ a b g (x) d x ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M a b g (x) d x , di mana m = m i n x ∈ a ; b f (x) dan M = m a x x a ; bf(x) .

Bukti 9

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama. M dan m dianggap sebagai nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = f (x) yang didefinisikan dari segmen [ a ; b ] , maka m f (x) M . Pertidaksamaan rangkap harus dikalikan dengan fungsi y = g (x) , yang akan memberikan nilai pertidaksamaan rangkap dalam bentuk m g (x) f (x) g (x) M g (x) . Hal ini diperlukan untuk mengintegrasikannya pada segmen [ a ; b ] , maka diperoleh asersi yang akan dibuktikan.

Konsekuensi: Untuk g (x) = 1, pertidaksamaan menjadi m b - a a b f (x) d x M (b - a) .

Rumus rata-rata pertama

Definisi 10

Untuk y = f (x) integral pada interval [ a ; b ] dengan m = m i n x a ; b f (x) dan M = m a x x a ; b f(x) ada bilangan ∈ m ; M , yang sesuai dengan a b f (x) d x = · b - a .

Konsekuensi: Ketika fungsi y = f (x) kontinu dari segmen [ a ; b] , maka ada bilangan seperti itu c a ; b , yang memenuhi persamaan a b f (x) d x = f (c) b - a .

Rumus pertama dari nilai rata-rata dalam bentuk umum

Definisi 11

Ketika fungsi y = f (x) dan y = g (x) dapat diintegralkan dari segmen [ a ; b ] dengan m = m i n x a ; b f (x) dan M = m a x x a ; b f (x) , dan g (x) > 0 untuk setiap nilai x a ; b. Oleh karena itu kita memiliki bahwa ada nomor m ; M , yang memenuhi persamaan a b f (x) g (x) d x = · a b g (x) d x .

Rumus nilai rata-rata kedua

Definisi 12

Ketika fungsi y = f (x) dapat diintegralkan dari segmen [ a ; b ] , dan y = g (x) monoton, maka ada bilangan yang c a ; b , di mana kita memperoleh persamaan bentuk yang adil a b f (x) g (x) d x = g (a) a c f (x) d x + g (b) c b f (x) d x

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pada artikel ini, kami mencantumkan sifat-sifat utama integral tertentu. Sebagian besar sifat-sifat ini dibuktikan berdasarkan konsep integral tertentu Riemann dan Darboux.

Perhitungan integral tentu sangat sering dilakukan dengan menggunakan lima sifat pertama, jadi kami akan merujuknya jika perlu. Sifat-sifat yang tersisa dari integral tertentu terutama digunakan untuk mengevaluasi berbagai ekspresi.

Sebelum melanjutkan ke sifat dasar integral tertentu, kita setuju bahwa a tidak melebihi b .

Untuk fungsi y = f(x) , didefinisikan untuk x = a , persamaannya benar.

Artinya, nilai integral tertentu dengan batas integrasi yang sama adalah nol. Properti ini merupakan konsekuensi dari definisi integral Riemann, karena dalam hal ini setiap jumlah integral untuk setiap partisi interval dan setiap pilihan titik sama dengan nol, karena, oleh karena itu, batas jumlah integral adalah nol.

Untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada suatu segmen, kita memiliki .

Dengan kata lain, ketika batas atas dan bawah integrasi dibalik, nilai integral tertentu dibalik. Sifat integral tertentu ini juga mengikuti konsep integral Riemann, hanya saja penomoran partisi suatu ruas harus dimulai dari titik x = b.

untuk fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada suatu interval.

Bukti.

Kami menulis jumlah integral dari fungsi untuk partisi segmen tertentu dan pilihan titik yang diberikan:

di mana dan adalah jumlah integral dari fungsi y = f(x) dan y = g(x) untuk partisi segmen tertentu.

Melewati batas di kita peroleh bahwa, menurut definisi integral Riemann, ekuivalen dengan penegasan sifat yang dibuktikan.

Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu. Yaitu, untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan pada segmen y = f(x) dan bilangan arbitrer k, persamaan .

Bukti dari sifat integral tertentu ini benar-benar mirip dengan yang sebelumnya:


Misalkan fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval X , dan lalu .

Properti ini berlaku untuk keduanya dan untuk atau .

Pembuktian dapat dilakukan berdasarkan sifat-sifat integral tertentu sebelumnya.

Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada suatu segmen, maka fungsi tersebut juga dapat diintegralkan pada setiap segmen internal.

Buktinya didasarkan pada properti jumlah Darboux: jika poin baru ditambahkan ke partisi segmen yang ada, maka jumlah Darboux yang lebih rendah tidak akan berkurang, dan yang atas tidak akan bertambah.

Jika fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada interval dan untuk sembarang nilai argumen , maka .

Sifat ini dibuktikan melalui definisi integral Riemann: setiap jumlah integral untuk setiap pilihan titik pemisah segmen dan titik di akan menjadi non-negatif (tidak positif).

Konsekuensi.

Untuk fungsi y = f(x) dan y = g(x) yang dapat diintegralkan pada suatu interval, pertidaksamaan berikut berlaku:


Pernyataan ini berarti bahwa integrasi pertidaksamaan dapat diterima. Kita akan menggunakan akibat wajar ini untuk membuktikan sifat-sifat berikut.

Biarkan fungsi y = f(x) integral pada segmen , maka pertidaksamaan .

Bukti.

Jelas bahwa . Dalam properti sebelumnya, kami menemukan bahwa pertidaksamaan dapat diintegrasikan istilah demi istilah, oleh karena itu, itu benar . Pertidaksamaan ganda ini dapat ditulis sebagai .

Misalkan fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada interval dan untuk sembarang nilai argumen , maka , di mana dan .

Pembuktian dilakukan dengan cara yang sama. Karena m dan M adalah nilai terkecil dan terbesar dari fungsi y = f(x) pada ruas , maka . Mengalikan pertidaksamaan ganda dengan fungsi non-negatif y = g(x) membawa kita ke pertidaksamaan ganda berikut. Mengintegrasikannya pada segmen , kita sampai pada pernyataan yang harus dibuktikan.

Konsekuensi.

Jika kita ambil g(x) = 1 , maka pertidaksamaan berbentuk .

Rumus pertama untuk rata-rata.

Biarkan fungsi y = f(x) dapat diintegralkan pada segmen , dan , maka terdapat suatu bilangan sedemikian rupa sehingga .

Konsekuensi.

Jika fungsi y = f(x) kontinu pada ruas , maka ada bilangan sedemikian sehingga .

Rumus pertama dari nilai rata-rata dalam bentuk umum.

Biarkan fungsi y = f(x) dan y = g(x) dapat diintegralkan pada interval , dan , dan g(x) > 0 untuk setiap nilai argumen . Kemudian ada bilangan sedemikian rupa sehingga .

Rumus kedua untuk rata-rata.

Jika pada suatu ruas fungsi y = f(x) dapat diintegralkan dan y = g(x) monoton, maka terdapat bilangan sedemikian rupa sehingga persamaan .