Untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan dengan cepat dan berhasil, Anda harus mulai dengan aturan dan contoh paling sederhana. Pertama-tama, Anda perlu mempelajari cara menyelesaikan persamaan, di sebelah kiri adalah perbedaan, jumlah, hasil bagi, atau produk dari beberapa angka dengan satu yang tidak diketahui, dan di sebelah kanan adalah angka lain. Dengan kata lain, dalam persamaan ini ada satu suku yang tidak diketahui dan baik itu minuend dengan subtrahend, atau yang habis dibagi dengan pembagi, dll. Tentang persamaan jenis inilah yang akan kami bicarakan dengan Anda.

Artikel ini dikhususkan untuk aturan dasar yang memungkinkan Anda menemukan faktor, istilah yang tidak diketahui, dll. Kami akan segera menjelaskan semua ketentuan teoretis dengan contoh spesifik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Menemukan istilah yang tidak diketahui

Katakanlah kita memiliki sejumlah bola dalam dua vas, katakanlah 9 . Kita tahu bahwa ada 4 kelereng di vas kedua. Bagaimana menemukan kuantitas di detik? Mari kita tulis masalah ini dalam bentuk matematika, yang menunjukkan bilangan yang akan ditemukan sebagai x. Menurut keadaan semula, bilangan ini digabung dengan 4 membentuk 9, sehingga kita dapat menulis persamaan 4 + x = 9. Di sebelah kiri, kami mendapat jumlah dengan satu istilah yang tidak diketahui, di sebelah kanan, nilai jumlah ini. Bagaimana menemukan x? Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan aturan:

Definisi 1

Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, kurangi yang diketahui dari jumlah.

Dalam hal ini, kami memberikan arti pengurangan yang merupakan kebalikan dari penambahan. Dengan kata lain, ada hubungan tertentu antara operasi penjumlahan dan pengurangan, yang dapat dinyatakan dalam bentuk literal sebagai berikut: jika a + b \u003d c, maka c - a \u003d b dan c - b \u003d a, dan sebaliknya, dari ekspresi c - a \u003d b dan c b = a kita dapat menyimpulkan bahwa a + b = c .

Mengetahui aturan ini, kita dapat menemukan satu istilah yang tidak diketahui menggunakan diketahui dan jumlah. Istilah mana yang kita ketahui, yang pertama atau yang kedua, tidak penting dalam kasus ini. Mari kita lihat bagaimana menerapkan aturan ini dalam praktik.

Contoh 1

Mari kita ambil persamaan yang kita dapatkan di atas: 4 + x = 9. Menurut aturan, kita perlu mengurangi dari jumlah yang diketahui, sama dengan 9, suku yang diketahui, sama dengan 4. Kurangi satu bilangan asli dari yang lain: 9 - 4 = 5 . Kami mendapat istilah yang kami butuhkan, sama dengan 5.

Biasanya, solusi untuk persamaan tersebut ditulis sebagai berikut:

1. Persamaan asli ditulis terlebih dahulu.
2. Selanjutnya, kita tuliskan persamaan yang didapat setelah kita menerapkan aturan untuk menghitung suku yang tidak diketahui.
3. Setelah itu, kami menulis persamaan yang ternyata setelah semua tindakan dengan angka.

Bentuk penulisan ini diperlukan untuk menggambarkan penggantian berturut-turut dari persamaan asli dengan persamaan yang setara dan untuk menampilkan proses pencarian akar. Solusi untuk persamaan sederhana kami di atas akan ditulis dengan benar sebagai:

4 + x = 9 , x = 9 4 , x = 5 .

Kami dapat memeriksa kebenaran jawaban yang diterima. Mari kita substitusikan apa yang kita dapatkan ke dalam persamaan asli dan lihat apakah persamaan numerik yang benar keluar dari persamaan tersebut. Substitusikan 5 ke 4 + x = 9 dan dapatkan: 4 + 5 = 9 . Persamaan 9 = 9 benar, artinya suku yang tidak diketahui ditemukan dengan benar. Jika persamaan ternyata salah, maka kita harus kembali ke solusi dan memeriksa ulang, karena ini adalah tanda kesalahan. Sebagai aturan, paling sering ini adalah kesalahan komputasi atau penerapan aturan yang salah.

Menemukan subtrahend atau minuend yang tidak diketahui

Seperti yang kami sebutkan di paragraf pertama, ada hubungan tertentu antara proses penambahan dan pengurangan. Dengan bantuannya, Anda dapat merumuskan aturan yang akan membantu Anda menemukan minuend yang tidak diketahui ketika kita mengetahui perbedaan dan pengurangan, atau pengurangan yang tidak diketahui melalui minuend atau perbedaan. Kami menulis dua aturan ini secara bergantian dan menunjukkan bagaimana menerapkannya untuk memecahkan masalah.

Definisi 2

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, tambahkan minuend ke perbedaan.

Contoh 2

Misalnya, kita memiliki persamaan x - 6 = 10 . Dikurangi tidak diketahui. Menurut aturan, kita perlu menambahkan 6 yang dikurangi dengan perbedaan 10, kita mendapatkan 16. Artinya, minuend asli adalah enam belas. Mari kita tulis solusinya secara keseluruhan:

x 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Mari kita periksa hasilnya dengan menambahkan angka yang dihasilkan ke persamaan asli: 16 - 6 = 10. Kesetaraan 16 - 16 akan benar, yang berarti bahwa kami telah menghitung semuanya dengan benar.

Definisi 3

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, kurangi selisihnya dengan minuend.

Contoh 3

Mari kita gunakan aturan untuk menyelesaikan persamaan 10 - x = 8 . Kami tidak tahu apa yang dikurangkan, jadi kami perlu mengurangi selisihnya dengan 10, mis. 10 - 8 = 2. Oleh karena itu, pengurangan yang diperlukan sama dengan dua. Inilah seluruh entri solusi:

10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .

Mari kita periksa kebenarannya dengan mengganti deuce dalam persamaan aslinya. Mari kita dapatkan persamaan yang benar 10 - 2 = 8 dan pastikan nilai yang kita temukan benar.

Sebelum beralih ke aturan lain, kami mencatat bahwa ada aturan untuk mentransfer istilah apa pun dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan tanda terbalik. Semua aturan di atas sepenuhnya konsisten dengannya.

Menemukan pengganda yang tidak diketahui

Mari kita lihat dua persamaan: x 2 = 20 dan 3 x = 12. Dalam keduanya, kita mengetahui nilai produk dan salah satu faktornya, kita perlu menemukan yang kedua. Untuk melakukan ini, kita perlu menggunakan aturan lain.

Definisi 4

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktor yang diketahui.

Aturan ini didasarkan pada pengertian yang merupakan kebalikan dari perkalian. Terdapat hubungan antara perkalian dan pembagian berikut: a b = c jika a dan b tidak sama dengan 0, c: a = b, c: b = c dan sebaliknya.

Contoh 4

Hitung faktor yang tidak diketahui dalam persamaan pertama dengan membagi hasil bagi 20 yang diketahui dengan faktor 2 yang diketahui. Kami melakukan pembagian bilangan asli dan mendapatkan 10. Mari kita tuliskan urutan persamaan:

x 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .

Kami mengganti sepuluh dalam persamaan asli dan kami mendapatkan 2 10 \u003d 20. Nilai pengali yang tidak diketahui dilakukan dengan benar.

Mari kita klarifikasi bahwa jika salah satu faktornya nol, aturan ini tidak dapat diterapkan. Jadi, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x 0 = 11 dengan bantuannya. Notasi ini tidak masuk akal karena solusinya adalah membagi 11 dengan 0 , dan pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Kami berbicara tentang kasus-kasus seperti itu secara lebih rinci dalam artikel yang ditujukan untuk persamaan linier.

Ketika kita menerapkan aturan ini, kita pada dasarnya membagi kedua sisi persamaan dengan faktor yang berbeda dari 0 . Ada aturan terpisah yang dengannya pembagian semacam itu dapat dilakukan, dan itu tidak akan mempengaruhi akar persamaan, dan apa yang kami tulis dalam paragraf ini sepenuhnya konsisten dengannya.

Menemukan dividen atau pembagi yang tidak diketahui

Kasus lain yang perlu kita pertimbangkan adalah menemukan pembagian yang tidak diketahui jika kita mengetahui pembagi dan hasil bagi, dan juga menemukan pembagi ketika hasil bagi dan hasil bagi diketahui. Kita dapat merumuskan aturan ini dengan bantuan hubungan antara perkalian dan pembagian yang telah disebutkan di sini.

Definisi 5

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, kalikan pembagi dengan hasil bagi.

Mari kita lihat bagaimana aturan ini berlaku.

Contoh 5

Mari kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan x: 3 = 5 . Kami mengalikan hasil bagi yang diketahui dan pembagi yang diketahui di antara kita sendiri dan mendapatkan 15, yang akan menjadi pembagian yang kita butuhkan.

Berikut adalah ringkasan dari seluruh solusi:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

Cek menunjukkan bahwa kami menghitung semuanya dengan benar, karena ketika membagi 15 dengan 3, ternyata benar-benar 5. Kesetaraan numerik yang benar adalah bukti dari keputusan yang benar.

Aturan ini dapat diartikan sebagai mengalikan ruas kanan dan kiri persamaan dengan bilangan yang sama selain 0. Transformasi ini tidak mempengaruhi akar persamaan dengan cara apapun.

Mari kita beralih ke aturan berikutnya.

Definisi 6

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu membagi dividen dengan hasil bagi.

Contoh 6

Mari kita ambil contoh sederhana - Persamaan 21: x = 3 . Untuk menyelesaikannya, kami membagi 21 yang diketahui habis dibagi dengan hasil bagi 3 dan mendapatkan 7. Ini akan menjadi pembagi yang diinginkan. Sekarang kita membuat keputusan dengan benar:

21:x=3, x=21:3, x=7.

Mari kita pastikan hasilnya benar dengan mensubstitusikan tujuh ke persamaan awal. 21:7 = 3, jadi akar persamaan dihitung dengan benar.

Penting untuk dicatat bahwa aturan ini hanya berlaku jika hasil bagi bukan nol, jika tidak, kita harus membaginya dengan 0 lagi. Jika hasil bagi adalah nol, dua opsi dimungkinkan. Jika dividen juga nol dan persamaannya terlihat seperti 0: x \u003d 0, maka nilai variabelnya adalah apa saja, yaitu, persamaan ini memiliki jumlah akar yang tak terbatas. Tetapi persamaan dengan hasil bagi sama dengan 0, dengan dividen selain 0, tidak akan memiliki solusi, karena tidak ada nilai pembagi seperti itu. Contohnya adalah persamaan 5: x = 0, yang tidak memiliki akar.

Penerapan aturan yang konsisten

Seringkali dalam praktiknya ada masalah yang lebih kompleks di mana aturan untuk menemukan istilah, pengurangan, pengurangan, faktor, dividen, dan hasil bagi harus diterapkan secara berurutan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 7

Kami memiliki persamaan seperti 3 x + 1 = 7 . Kami menghitung suku yang tidak diketahui 3 x , mengurangkan satu dari 7. Kami berakhir dengan 3 · x = 7 1 , kemudian 3 · x = 6 . Persamaan ini sangat mudah dipecahkan: bagi 6 dengan 3 dan dapatkan akar persamaan aslinya.

Berikut ini adalah singkatan untuk menyelesaikan persamaan lain (2 x 7): 3 5 = 2:

(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7 ) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x 7 = 21 , 2 x = 21 + 7 , 2 x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Tingkat pertama

Persamaan linear. Panduan Lengkap (2019)

Apa itu "persamaan linier"

atau secara lisan - tiga orang teman masing-masing diberi apel, berdasarkan fakta bahwa Vasya memiliki semua apel.

Dan sekarang Anda telah memutuskan persamaan linier
Sekarang mari kita beri istilah ini definisi matematika.

Persamaan Linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya adalah. Ini terlihat seperti ini:

Dimana dan adalah sembarang bilangan dan

Untuk kasus kami dengan Vasya dan apel, kami akan menulis:

- "Jika Vasya memberi ketiga temannya jumlah apel yang sama, dia tidak akan memiliki apel yang tersisa"

Persamaan linear "tersembunyi", atau pentingnya transformasi identik

Terlepas dari kenyataan bahwa pada pandangan pertama semuanya sangat sederhana, ketika menyelesaikan persamaan, Anda harus berhati-hati, karena persamaan linier tidak hanya disebut persamaan bentuk, tetapi juga persamaan apa pun yang direduksi menjadi bentuk ini dengan transformasi dan penyederhanaan. Sebagai contoh:

Kami melihat bahwa itu di sebelah kanan, yang, secara teori, sudah menunjukkan bahwa persamaan itu tidak linier. Selain itu, jika kita membuka kurung, kita akan mendapatkan dua suku lagi yang akan menjadi, tapi jangan langsung menyimpulkan! Sebelum menilai apakah persamaan tersebut linier, perlu dilakukan semua transformasi dan dengan demikian menyederhanakan contoh aslinya. Dalam hal ini, transformasi dapat mengubah tampilan, tetapi bukan inti dari persamaan.

Dengan kata lain, transformasi ini harus identik atau setara. Hanya ada dua transformasi seperti itu, tetapi mereka memainkan peran yang sangat, SANGAT penting dalam memecahkan masalah. Mari kita pertimbangkan kedua transformasi pada contoh konkret.

Pindah ke kiri - kanan.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:

Kembali di sekolah dasar, kami diberitahu: "dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan." Apa ekspresi dengan x di sebelah kanan? Benar, tidak bagaimana tidak. Dan ini penting, karena jika pertanyaan yang tampaknya sederhana ini disalahpahami, jawaban yang salah akan keluar. Dan apa ekspresi dengan x di sebelah kiri? Benar, .

Sekarang kita telah berurusan dengan ini, kita mentransfer semua istilah dengan yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan, mengingat bahwa jika tidak ada tanda di depan angka, misalnya, maka angkanya positif, itu adalah, didahului dengan tanda " ".

Terharu? Apa yang kamu dapatkan?

Semua yang masih harus dilakukan adalah membawa istilah yang sama. Kami menyajikan:

Jadi, kami telah berhasil menguraikan transformasi identik pertama, meskipun saya yakin Anda sudah mengetahuinya dan secara aktif menggunakannya tanpa saya. Hal utama - jangan lupa tentang tanda-tanda angka dan ubah menjadi kebalikannya saat mentransfer melalui tanda sama dengan!

Perkalian-pembagian.

Mari kita mulai segera dengan sebuah contoh

Kami melihat dan berpikir: apa yang tidak kami sukai dalam contoh ini? Yang tidak diketahui ada di satu bagian, yang diketahui ada di bagian lain, tetapi ada sesuatu yang menghentikan kita ... Dan ini adalah sesuatu - empat, karena jika tidak ada, semuanya akan sempurna - x sama dengan angka - persis seperti yang kita butuhkan!

Bagaimana Anda bisa menyingkirkannya? Kami tidak dapat mentransfer ke kanan, karena dengan demikian kami perlu mentransfer seluruh pengganda (kami tidak dapat mengambilnya dan merobeknya), dan mentransfer seluruh pengganda juga tidak masuk akal ...

Saatnya untuk mengingat tentang pembagian, sehubungan dengan itu kami akan membagi semuanya menjadi! Semua - ini berarti sisi kiri dan kanan. Jadi dan hanya begitu! Apa yang kita dapatkan?

Inilah jawabannya.

Sekarang mari kita lihat contoh lain:

Tebak apa yang harus dilakukan dalam kasus ini? Itu benar, kalikan bagian kiri dan kanan dengan! Apa jawaban yang Anda dapatkan? Benar. .

Tentunya Anda sudah tahu segalanya tentang transformasi identik. Pertimbangkan bahwa kami baru saja menyegarkan pengetahuan ini dalam ingatan Anda dan inilah saatnya untuk sesuatu yang lebih - Misalnya, untuk memecahkan contoh besar kami:

Seperti yang kami katakan sebelumnya, melihatnya, Anda tidak dapat mengatakan bahwa persamaan ini linier, tetapi kami perlu membuka tanda kurung dan melakukan transformasi yang identik. Jadi mari kita mulai!

Untuk memulainya, kita mengingat rumus untuk perkalian yang disingkat, khususnya, kuadrat dari jumlah dan kuadrat dari selisihnya. Jika Anda tidak ingat apa itu dan bagaimana tanda kurung dibuka, saya sangat menyarankan untuk membaca topiknya, karena keterampilan ini akan berguna bagi Anda saat menyelesaikan hampir semua contoh yang ditemukan dalam ujian.
Terungkap? Membandingkan:

Sekarang saatnya untuk membawa istilah seperti. Apakah Anda ingat bagaimana kami diberitahu di kelas dasar yang sama "kami tidak menaruh lalat dengan irisan daging"? Di sini saya mengingatkan Anda tentang ini. Kami menambahkan semuanya secara terpisah - faktor yang memiliki, faktor yang memiliki, dan faktor lain yang tidak memiliki yang tidak diketahui. Saat Anda membawa suku yang sama, pindahkan semua yang tidak diketahui ke kiri, dan semua yang diketahui ke kanan. Apa yang kamu dapatkan?

Seperti yang Anda lihat, kotak-x telah menghilang, dan kami melihat yang benar-benar biasa persamaan linier. Tetap hanya untuk menemukan!

Dan akhirnya, saya akan mengatakan satu hal lagi yang sangat penting tentang transformasi identik - transformasi identik tidak hanya berlaku untuk persamaan linier, tetapi juga untuk kuadrat, pecahan rasional, dan lainnya. Anda hanya perlu ingat bahwa ketika mentransfer faktor melalui tanda sama dengan, kami mengubah tanda menjadi kebalikannya, dan ketika membagi atau mengalikan dengan beberapa angka, kami mengalikan / membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang sama.

Apa lagi yang Anda ambil dari contoh ini? Bahwa dengan melihat suatu persamaan tidak selalu mungkin untuk menentukan secara langsung dan akurat apakah persamaan tersebut linier atau tidak. Anda harus terlebih dahulu menyederhanakan ekspresi, dan baru kemudian menilai apa itu.

Persamaan linear. Contoh.

Berikut adalah beberapa contoh lagi untuk Anda praktikkan sendiri - tentukan apakah persamaannya linier dan jika ya, temukan akarnya:

Jawaban:

1. Adalah.

2. Tidak.

Mari kita buka tanda kurung dan berikan istilah serupa:

Mari kita membuat transformasi yang identik - kita membagi bagian kiri dan kanan menjadi:

Kita melihat bahwa persamaan tersebut tidak linier, sehingga tidak perlu dicari akar-akarnya.

3. Adalah.

Mari kita buat transformasi yang identik - kalikan bagian kiri dan kanan dengan untuk menghilangkan penyebutnya.

Pikirkan mengapa begitu penting untuk? Jika Anda tahu jawaban untuk pertanyaan ini, kami beralih ke penyelesaian persamaan lebih lanjut, jika tidak, pastikan untuk melihat topik agar tidak membuat kesalahan dalam contoh yang lebih kompleks. By the way, seperti yang Anda lihat, situasi di mana tidak mungkin. Mengapa?
Jadi mari kita lanjutkan dan atur ulang persamaannya:

Jika Anda mengatasi semuanya tanpa kesulitan, mari kita bicara tentang persamaan linier dengan dua variabel.

Persamaan Linier dengan Dua Variabel

Sekarang mari kita beralih ke yang sedikit lebih rumit - persamaan linier dengan dua variabel.

Persamaan linear dengan dua variabel terlihat seperti:

Dimana, dan adalah setiap nomor dan.

Seperti yang Anda lihat, satu-satunya perbedaan adalah bahwa satu variabel lagi ditambahkan ke persamaan. Jadi semuanya sama - tidak ada x kuadrat, tidak ada pembagian dengan variabel, dll. dll.

Apa contoh hidup untuk memberi Anda ... Mari kita sama Vasya. Misalkan dia memutuskan bahwa dia akan memberikan masing-masing dari 3 temannya jumlah apel yang sama, dan menyimpan apel untuk dirinya sendiri. Berapa banyak apel yang harus dibeli Vasya jika dia memberi masing-masing temannya sebuah apel? Bagaimana dengan? Bagaimana jika oleh?

Ketergantungan jumlah apel yang akan diterima setiap orang pada jumlah apel yang perlu dibeli akan dinyatakan dengan persamaan:

• - jumlah apel yang akan diterima seseorang (, atau, atau);
• - jumlah apel yang akan diambil Vasya untuk dirinya sendiri;
• - berapa banyak apel yang perlu dibeli Vasya, dengan mempertimbangkan jumlah apel per orang.

Memecahkan masalah ini, kita mendapatkan bahwa jika Vasya memberi satu teman sebuah apel, maka dia perlu membeli potongan, jika dia memberi apel - dan seterusnya.

Dan secara umum. Kami memiliki dua variabel. Mengapa tidak memplot ketergantungan ini pada grafik? Kami membangun dan menandai nilai kami, yaitu, poin, dengan koordinat, dan!

Seperti yang Anda lihat, dan saling bergantung secara linier, maka nama persamaan - “ linier».

Kami abstrak dari apel dan mempertimbangkan persamaan grafis yang berbeda. Perhatikan baik-baik dua grafik yang dibangun - garis lurus dan parabola, yang diberikan oleh fungsi arbitrer:

Temukan dan tandai titik yang sesuai pada kedua gambar.
Apa yang kamu dapatkan?

Anda dapat melihatnya pada grafik fungsi pertama sendiri sesuai satu, yaitu, dan bergantung satu sama lain secara linier, yang tidak dapat dikatakan tentang fungsi kedua. Tentu saja, Anda dapat menolak bahwa pada grafik kedua, x juga sesuai dengan - , tetapi ini hanya satu titik, yaitu kasus khusus, karena Anda masih dapat menemukan satu yang sesuai dengan lebih dari satu. Dan grafik yang dibangun tidak menyerupai garis dengan cara apa pun, tetapi merupakan parabola.

Saya ulangi, sekali lagi: grafik persamaan linier harus berupa garis LURUS.

Dengan fakta bahwa persamaan tersebut tidak akan linier, jika kita melangkah sejauh mana pun - ini dapat dimengerti dengan menggunakan contoh parabola, meskipun untuk Anda sendiri Anda dapat membuat beberapa grafik yang lebih sederhana, misalnya atau. Tapi saya jamin - tidak satupun dari mereka akan menjadi GARIS LURUS.

Tidak percaya? Bangun lalu bandingkan dengan yang saya dapatkan:

Dan apa yang terjadi jika kita membagi sesuatu dengan, misalnya, beberapa angka? Apakah akan ada ketergantungan linier dan? Kami tidak akan berdebat, tetapi kami akan membangun! Sebagai contoh, mari kita plot grafik fungsi.

Entah bagaimana itu tidak terlihat seperti garis lurus yang dibangun ... karenanya, persamaannya tidak linier.
Mari kita rangkum:

1. Persamaan Linier - adalah persamaan aljabar yang derajat total polinomial penyusunnya sama.
2. Persamaan Linier dengan satu variabel terlihat seperti:
   , di mana dan adalah sembarang angka;
   Persamaan Linier dengan dua variabel:
   , di mana, dan adalah bilangan apa saja.
3. Tidak selalu mungkin untuk menentukan apakah suatu persamaan linier atau tidak. Terkadang, untuk memahami hal ini, Anda perlu melakukan transformasi yang identik, memindahkan suku-suku serupa ke kiri / kanan, tidak lupa mengubah tanda, atau mengalikan / membagi kedua bagian persamaan dengan angka yang sama.

PERSAMAAN LINEAR. SINGKAT TENTANG UTAMA

1. Persamaan linier

Ini adalah persamaan aljabar di mana derajat total polinomial penyusunnya sama.

2. Persamaan linier dengan satu variabel seperti:

Di mana dan adalah nomor apa saja;

3. Persamaan linier dengan dua variabel seperti:

Dimana, dan adalah bilangan apa saja.

4. Transformasi identitas

Untuk menentukan apakah persamaan tersebut linier atau tidak, perlu dilakukan transformasi yang identik:

• pindah ke kiri/kanan seperti istilah, tidak lupa mengubah tanda;
• mengalikan/membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.

Jalan panjang untuk mengembangkan keterampilan menyelesaikan persamaan dimulai dengan memecahkan persamaan pertama dan relatif sederhana. Yang kami maksud dengan persamaan seperti itu adalah persamaan, yang di ruas kirinya merupakan jumlah, selisih, hasil kali atau hasil bagi dua bilangan, yang salah satunya tidak diketahui, dan di ruas kanan ada bilangan. Artinya, persamaan ini mengandung istilah yang tidak diketahui, minuend, subtrahend, pengali, dividen, atau pembagi. Solusi dari persamaan tersebut akan dibahas dalam artikel ini.

Di sini kami akan memberikan aturan yang memungkinkan kami menemukan istilah yang tidak diketahui, pengganda, dll. Selain itu, kami akan segera mempertimbangkan penerapan aturan ini dalam praktik, memecahkan persamaan karakteristik.

Navigasi halaman.

Jadi, kami mengganti angka 5 alih-alih x dalam persamaan asli 3 + x = 8, kami mendapatkan 3 + 5 = 8 - persamaan ini benar, oleh karena itu, kami menemukan istilah yang tidak diketahui dengan benar. Jika selama pemeriksaan kami menerima persamaan numerik yang salah, maka ini akan menunjukkan kepada kami bahwa kami salah menyelesaikan persamaan. Alasan utama untuk ini mungkin karena penerapan aturan yang salah, atau kesalahan komputasi.

Bagaimana menemukan minuend yang tidak diketahui, subtrahend?

Hubungan antara penjumlahan dan pengurangan angka, yang telah kami sebutkan di paragraf sebelumnya, memungkinkan kami untuk mendapatkan aturan untuk menemukan ujung yang tidak diketahui melalui pengurangan dan perbedaan yang diketahui, serta aturan untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui melalui ujung yang diketahui. dan perbedaan. Kami akan merumuskannya secara bergantian, dan segera memberikan solusi dari persamaan yang sesuai.

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

Misalnya, perhatikan persamaan x−2=5 . Ini berisi minuend yang tidak diketahui. Aturan di atas memberi tahu kita bahwa untuk menemukannya, kita harus menambahkan pengurangan yang diketahui 2 ke perbedaan yang diketahui 5, kita memiliki 5+2=7. Jadi, minuend yang dibutuhkan sama dengan tujuh.

Jika Anda menghilangkan penjelasan, maka solusinya ditulis sebagai berikut:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Untuk pengendalian diri, kami akan melakukan pemeriksaan. Kami mengganti yang ditemukan dikurangi ke dalam persamaan asli, dan kami memperoleh kesetaraan numerik 7−2=5. Itu benar, oleh karena itu, kita dapat yakin bahwa kita telah menentukan dengan benar nilai minuend yang tidak diketahui.

Anda dapat melanjutkan untuk menemukan subtrahend yang tidak diketahui. Itu ditemukan dengan menambahkan sesuai dengan aturan berikut: untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi perbedaan dari minuend.

Kami memecahkan persamaan bentuk 9−x=4 menggunakan aturan tertulis. Dalam persamaan ini, yang tidak diketahui adalah pengurangan. Untuk menemukannya, kita perlu mengurangi perbedaan yang diketahui 4 dari pengurangan yang diketahui 9 , kita memiliki 9−4=5 . Jadi, pengurangan yang diperlukan sama dengan lima.

Berikut adalah versi singkat dari solusi untuk persamaan ini:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Tetap hanya untuk memeriksa kebenaran subtrahend yang ditemukan. Mari kita periksa, di mana kita mengganti nilai yang ditemukan 5 alih-alih x ke dalam persamaan asli, dan kita mendapatkan persamaan numerik 9−5=4. Itu benar, oleh karena itu nilai pengurangan yang kami temukan adalah benar.

Dan sebelum beralih ke aturan berikutnya, kami mencatat bahwa di kelas 6, aturan untuk menyelesaikan persamaan dipertimbangkan, yang memungkinkan Anda untuk mentransfer istilah apa pun dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan. Jadi, semua aturan yang dipertimbangkan di atas untuk menemukan istilah yang tidak diketahui, dikurangi dan dikurangkan, sepenuhnya konsisten dengannya.

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu ...

Mari kita lihat persamaan x 3=12 dan 2 y=6 . Di dalamnya, bilangan yang tidak diketahui adalah faktor di sisi kiri, dan produk dan faktor kedua diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda dapat menggunakan aturan berikut: untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktor yang diketahui.

Aturan ini didasarkan pada fakta bahwa kami memberi arti pembagian angka yang berlawanan dengan arti perkalian. Artinya, ada hubungan antara perkalian dan pembagian: dari persamaan a b=c , di mana a≠0 dan b≠0, maka c:a=b dan c:b=c , dan sebaliknya.

Sebagai contoh, mari kita cari faktor yang tidak diketahui dari persamaan x·3=12 . Menurut aturan, kita perlu membagi hasil kali 12 yang diketahui dengan faktor 3 yang diketahui. Ayo lakukan : 12:3=4 . Jadi faktor yang tidak diketahui adalah 4 .

Secara singkat, solusi persamaan ditulis sebagai barisan persamaan:
x3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Juga diinginkan untuk memeriksa hasilnya: kami mengganti nilai yang ditemukan alih-alih huruf dalam persamaan asli, kami mendapatkan 4 3 \u003d 12 - persamaan numerik yang benar, jadi kami menemukan nilai faktor yang tidak diketahui dengan benar.

Dan satu hal lagi: bertindak sesuai dengan aturan yang dipelajari, kami benar-benar melakukan pembagian kedua bagian persamaan dengan pengali yang diketahui bukan nol. Di kelas 6, akan dikatakan bahwa kedua bagian persamaan dapat dikalikan dan dibagi dengan angka bukan nol yang sama, ini tidak mempengaruhi akar persamaan.

Bagaimana menemukan dividen yang tidak diketahui, pembagi?

Sebagai bagian dari topik kita, masih mencari tahu bagaimana menemukan dividen yang tidak diketahui dengan pembagi dan hasil bagi yang diketahui, serta bagaimana menemukan pembagi yang tidak diketahui dengan dividen dan hasil bagi yang diketahui. Hubungan antara perkalian dan pembagian yang telah disebutkan di paragraf sebelumnya memungkinkan Anda untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini.

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi.

Mari kita pertimbangkan penerapannya dengan sebuah contoh. Selesaikan persamaan x:5=9 . Untuk menemukan pembagian yang tidak diketahui dari persamaan ini, perlu, menurut aturan, untuk mengalikan hasil bagi yang diketahui 9 dengan pembagi yang diketahui 5, yaitu, kami melakukan perkalian bilangan asli: 9 5 \u003d 45. Jadi, dividen yang diinginkan adalah 45.

Mari kita tunjukkan notasi singkat dari solusinya:
x:5=9 ,
x=9 5 ,
x=45 .

Cek mengkonfirmasi bahwa nilai dividen yang tidak diketahui ditemukan dengan benar. Memang, ketika mensubstitusikan angka 45 ke persamaan asli dan bukan variabel x, itu berubah menjadi persamaan numerik yang benar 45:5=9.

Perhatikan bahwa aturan yang dianalisis dapat ditafsirkan sebagai perkalian kedua bagian persamaan dengan pembagi yang diketahui. Transformasi seperti itu tidak mempengaruhi akar persamaan.

Mari kita beralih ke aturan untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui: untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, bagilah dividen dengan hasil bagi.

Pertimbangkan sebuah contoh. Temukan pembagi yang tidak diketahui dari persamaan 18:x=3 . Untuk melakukan ini, kita perlu membagi dividen yang diketahui 18 dengan hasil bagi yang diketahui 3, kita memiliki 18:3=6. Jadi, pembagi yang dibutuhkan sama dengan enam.

Solusinya juga dapat dirumuskan sebagai berikut:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Mari kita periksa hasil ini untuk keandalan: 18:6=3 adalah persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, akar persamaan ditemukan dengan benar.

Jelas bahwa aturan ini hanya dapat diterapkan ketika hasil bagi berbeda dari nol, agar tidak mengalami pembagian dengan nol. Ketika hasil bagi adalah nol, dua kasus yang mungkin. Jika dalam hal ini dividen sama dengan nol, yaitu persamaan memiliki bentuk 0:x=0 , maka persamaan ini memenuhi nilai pembagi yang bukan nol. Dengan kata lain, akar dari persamaan tersebut adalah bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol. Jika, ketika hasil bagi sama dengan nol, dividen berbeda dari nol, maka untuk setiap nilai pembagi, persamaan asli tidak berubah menjadi persamaan numerik yang benar, yaitu persamaan tidak memiliki akar. Sebagai ilustrasi, kami menyajikan persamaan 5:x=0 , tidak memiliki solusi.

Aturan Berbagi

Penerapan aturan yang konsisten untuk menemukan suku yang tidak diketahui, minuend, pengurangan, pengali, dividen, dan pembagi memungkinkan penyelesaian persamaan dengan variabel tunggal dengan bentuk yang lebih kompleks. Mari kita tangani ini dengan sebuah contoh.

Perhatikan persamaan 3 x+1=7 . Pertama, kita dapat menemukan suku yang tidak diketahui 3 x , untuk ini kita perlu mengurangi suku yang diketahui 1 dari jumlah 7, kita mendapatkan 3 x=7−1 dan kemudian 3 x=6 . Sekarang tinggal mencari faktor yang tidak diketahui dengan membagi hasil kali 6 dengan faktor yang diketahui 3 , kita mendapatkan x=6:3 , dari mana x=2 . Jadi akar persamaan asli ditemukan.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami menyajikan solusi singkat dari persamaan lain (2·x−7):3−5=2 .
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7 ,
2x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Bibliografi.

• Matematika.. kelas 4. Prok. untuk pendidikan umum institusi. Pada jam 2, Bagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dan lainnya] - edisi ke-8. - M.: Pendidikan, 2011. - 112 hal.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• Matematika: studi. untuk 5 sel. pendidikan umum institusi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Edisi ke-21, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 hal.: sakit. ISBN 5-346-00699-0.

Persamaan adalah salah satu topik yang paling sulit untuk dikuasai, tetapi cukup kuat untuk menyelesaikan sebagian besar masalah.

Dengan bantuan persamaan, berbagai proses yang terjadi di alam dijelaskan. Persamaan banyak digunakan dalam ilmu-ilmu lain: dalam ekonomi, fisika, biologi dan kimia.

Dalam pelajaran ini, kita akan mencoba memahami inti dari persamaan paling sederhana, belajar bagaimana mengekspresikan yang tidak diketahui dan menyelesaikan beberapa persamaan. Saat Anda mempelajari materi baru, persamaan akan menjadi lebih kompleks, jadi memahami dasar-dasarnya sangat penting.

Keterampilan Awal Isi pelajaran

Apa itu persamaan?

Persamaan adalah persamaan yang berisi variabel yang nilainya ingin dicari. Nilai ini harus sedemikian rupa sehingga ketika disubstitusikan ke persamaan asli, persamaan numerik yang benar diperoleh.

Misalnya, ekspresi 2 + 2 = 4 adalah persamaan. Saat menghitung sisi kiri, persamaan numerik yang benar diperoleh 4 = 4 .

Tapi persamaan 2 + x= 4 adalah persamaan karena mengandung variabel x, yang nilainya dapat ditemukan. Nilainya harus sedemikian rupa sehingga ketika nilai ini disubstitusikan ke dalam persamaan asli, persamaan numerik yang benar diperoleh.

Dengan kata lain, kita perlu menemukan nilai di mana tanda sama dengan akan membenarkan lokasinya - sisi kiri harus sama dengan sisi kanan.

Persamaan 2+ x= 4 adalah dasar. Nilai variabel x sama dengan angka 2. Nilai lainnya tidak akan sama

Angka 2 dikatakan akar atau solusi persamaan 2 + x = 4

Akar atau solusi persamaan adalah nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan numerik yang benar.

Mungkin ada beberapa akar atau tidak ada sama sekali. selesaikan persamaannya berarti menemukan akarnya atau membuktikan bahwa tidak ada akarnya.

Variabel dalam persamaan juga dikenal sebagai tidak dikenal. Anda bebas menyebutnya apa pun yang Anda suka. Ini adalah sinonim.

Catatan. Ungkapan "memecahkan persamaan" berbicara untuk dirinya sendiri. Memecahkan persamaan berarti “menyamakan” suatu persamaan—menjadikannya seimbang sehingga ruas kiri sama dengan ruas kanan.

Nyatakan satu dalam istilah yang lain

Studi tentang persamaan secara tradisional dimulai dengan belajar mengungkapkan satu angka yang termasuk dalam persamaan dalam hal sejumlah angka lainnya. Jangan merusak tradisi ini dan melakukan hal yang sama.

Perhatikan ungkapan berikut:

8 + 2

Ekspresi ini adalah jumlah dari angka 8 dan 2. Nilai dari ekspresi ini adalah 10

8 + 2 = 10

Kami mendapat kesetaraan. Sekarang Anda dapat menyatakan bilangan apa pun dari persamaan ini dalam bentuk bilangan lain yang termasuk dalam persamaan yang sama. Sebagai contoh, mari kita nyatakan angka 2.

Untuk mengungkapkan angka 2, Anda perlu mengajukan pertanyaan: "apa yang perlu dilakukan dengan angka 10 dan 8 untuk mendapatkan angka 2." Jelas bahwa untuk mendapatkan angka 2, Anda harus mengurangi angka 8 dari angka 10.

Jadi kita lakukan. Kami menuliskan angka 2 dan melalui tanda sama dengan kami mengatakan bahwa untuk mendapatkan angka 2 ini, kami mengurangi angka 8 dari angka 10:

2 = 10 − 8

Kami menyatakan angka 2 dari persamaan 8 + 2 = 10 . Seperti yang Anda lihat dari contoh, tidak ada yang rumit tentang ini.

Saat memecahkan persamaan, khususnya ketika mengekspresikan satu angka dalam bentuk yang lain, akan lebih mudah untuk mengganti tanda sama dengan kata " ada" . Ini harus dilakukan secara mental, dan bukan dalam ekspresi itu sendiri.

Jadi, dengan menyatakan angka 2 dari persamaan 8 + 2 = 10, kita mendapatkan persamaan 2 = 10 8 . Persamaan ini dapat dibaca seperti ini:

2 ada 10 − 8

Artinya, tanda = diganti dengan kata "adalah". Selain itu, persamaan 2 = 10 8 dapat diterjemahkan dari bahasa matematika ke dalam bahasa manusia yang lengkap. Maka dapat dibaca seperti ini:

Nomor 2 ada perbedaan antara 10 dan 8

Nomor 2 ada perbedaan antara angka 10 dan angka 8.

Tetapi kami akan membatasi diri untuk mengganti tanda sama dengan kata "adalah", dan kemudian kami tidak akan selalu melakukan ini. Ekspresi dasar dapat dipahami tanpa menerjemahkan bahasa matematika ke dalam bahasa manusia.

Mari kita kembalikan persamaan yang dihasilkan 2 = 10 8 ke keadaan semula:

8 + 2 = 10

Mari kita nyatakan angka 8. Apa yang harus dilakukan dengan sisa angka untuk mendapatkan angka 8? Itu benar, Anda harus mengurangi angka 2 dari angka 10

8 = 10 − 2

Mari kita kembalikan persamaan yang dihasilkan 8 = 10 2 ke keadaan semula:

8 + 2 = 10

Kali ini kita akan menyatakan angka 10. Tapi ternyata angka sepuluh tidak perlu diungkapkan, karena sudah dinyatakan. Cukup menukar bagian kiri dan kanan, lalu kita mendapatkan apa yang kita butuhkan:

10 = 8 + 2

Contoh 2. Pertimbangkan persamaan 8 2 = 6

Kami mengungkapkan angka 8 dari persamaan ini.Untuk mengekspresikan angka 8, dua angka lainnya harus ditambahkan:

8 = 6 + 2

Mari kita kembalikan persamaan yang dihasilkan 8 = 6 + 2 ke keadaan semula:

8 − 2 = 6

Kami menyatakan angka 2 dari persamaan ini. Untuk menyatakan angka 2, kami perlu mengurangi 6 dari 8

2 = 8 − 6

Contoh 3. Perhatikan persamaan 3 × 2 = 6

Nyatakan angka 3. Untuk mengekspresikan angka 3, Anda harus membagi 6 dengan 2

Mari kita kembalikan persamaan yang dihasilkan ke keadaan semula:

3 x 2 = 6

Mari kita nyatakan angka 2 dari persamaan ini.Untuk mengekspresikan angka 2, Anda harus membagi 3 dengan 6

Contoh 4. Pertimbangkan persamaannya

Kami mengungkapkan angka 15 dari persamaan ini. Untuk mengungkapkan angka 15, Anda perlu mengalikan angka 3 dan 5

15 = 3 x 5

Mari kita kembalikan persamaan yang dihasilkan 15 = 3 × 5 ke keadaan semula:

Kami mengungkapkan angka 5 dari persamaan ini.Untuk mengekspresikan angka 5, Anda harus membagi 15 dengan 3

Aturan untuk menemukan yang tidak diketahui

Pertimbangkan beberapa aturan untuk menemukan yang tidak diketahui. Mungkin mereka akrab bagi Anda, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulanginya lagi. Di masa depan, mereka dapat dilupakan, karena kita akan belajar menyelesaikan persamaan tanpa menerapkan aturan ini.

Mari kita kembali ke contoh pertama, yang kita bahas pada topik sebelumnya, di mana dalam persamaan 8 + 2 = 10 diperlukan untuk menyatakan angka 2.

Dalam persamaan 8 + 2 = 10, angka 8 dan 2 adalah suku, dan angka 10 adalah jumlah.

Untuk mengekspresikan nomor 2, kami melakukan hal berikut:

2 = 10 − 8

Artinya, kurangi 8 dari jumlah 10.

Sekarang bayangkan bahwa dalam persamaan 8 + 2 = 10, alih-alih angka 2, ada variabel x

8 + x = 10

Dalam hal ini, persamaan 8 + 2 = 10 menjadi persamaan 8 + x= 10 , dan variabel x istilah yang tidak diketahui

Tugas kita adalah menemukan suku yang tidak diketahui ini, yaitu menyelesaikan persamaan 8 + x= 10 . Untuk menemukan istilah yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, kurangi suku yang diketahui dari jumlah.

Yang pada dasarnya adalah apa yang kami lakukan ketika kami menyatakan keduanya dalam persamaan 8 + 2 = 10. Untuk menyatakan suku 2, kita kurangi suku lain 8 dari jumlah 10

2 = 10 − 8

Dan sekarang untuk menemukan istilah yang tidak diketahui x, kita harus mengurangi suku yang diketahui 8 dari jumlah 10:

x = 10 − 8

Jika Anda menghitung sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan, maka Anda dapat mengetahui variabel apa yang sama dengan x

x = 2

Kami telah memecahkan persamaan. Nilai variabel x sama dengan 2 . Untuk memeriksa nilai variabel x dikirim ke persamaan asli 8 + x= 10 dan substitusikan x. Hal ini diinginkan untuk melakukan ini dengan persamaan yang diselesaikan, karena Anda tidak dapat memastikan bahwa persamaan tersebut diselesaikan dengan benar:

Hasil dari

Aturan yang sama akan berlaku jika istilah yang tidak diketahui adalah angka pertama 8.

x + 2 = 10

Dalam persamaan ini x adalah istilah yang tidak diketahui, 2 adalah istilah yang diketahui, 10 adalah jumlah. Untuk menemukan istilah yang tidak diketahui x, Anda perlu mengurangi suku yang diketahui 2 dari jumlah 10

x = 10 − 2

x = 8

Mari kita kembali ke contoh kedua dari topik sebelumnya, dimana pada persamaan 8 2 = 6 diharuskan untuk menyatakan angka 8.

Pada persamaan 8 2 = 6, angka 8 adalah minuend, angka 2 adalah pengurangan, angka 6 adalah selisih

Untuk mengungkapkan angka 8, kami melakukan hal berikut:

8 = 6 + 2

Artinya, jumlahkan selisih 6 dan hasil pengurangan 2.

Sekarang bayangkan bahwa dalam persamaan 8 2 = 6, bukannya angka 8, ada variabel x

x − 2 = 6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran yang disebut minuend yang tidak diketahui

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 8 dalam persamaan 8 2 = 6. Untuk menyatakan minuend 8, kami menambahkan pengurangan 2 ke selisih 6.

Dan sekarang, untuk menemukan minuend yang tidak diketahui x, kita harus menambahkan pengurangan 2 ke selisih 6

x = 6 + 2

Jika Anda menghitung sisi kanan, maka Anda dapat mengetahui variabel apa yang sama dengan x

x = 8

Sekarang bayangkan bahwa dalam persamaan 8 2 = 6, alih-alih angka 2, ada variabel x

8 − x = 6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pengurangan yang tidak diketahui

Untuk menemukan subtrahend yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangi selisihnya dengan minuend.

Inilah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 2 dalam persamaan 8 2 = 6. Untuk mengungkapkan angka 2, kami mengurangi selisih 6 dari pengurangan 8.

Dan sekarang, untuk menemukan subtrahend yang tidak diketahui x, Anda perlu lagi mengurangi selisih 6 dari pengurangan 8

x = 8 − 6

Hitung sisi kanan dan temukan nilainya x

x = 2

Mari kita kembali ke contoh ketiga dari topik sebelumnya, dimana pada persamaan 3 × 2 = 6 kita mencoba untuk menyatakan angka 3.

Dalam persamaan 3 × 2 = 6, angka 3 adalah perkalian, angka 2 adalah perkalian, angka 6 adalah hasil kali

Untuk mengungkapkan angka 3, kami melakukan hal berikut:

Yaitu, bagi produk dari 6 dengan faktor 2.

Sekarang bayangkan bahwa dalam persamaan 3 × 2 = 6, alih-alih angka 3, ada variabel x

x×2=6

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran perkalian yang tidak diketahui.

Untuk menemukan pengali yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan perkalian yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktornya.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 3 dari persamaan 3 × 2 = 6. Kami membagi produk dari 6 dengan faktor 2.

Dan sekarang untuk menemukan pengganda yang tidak diketahui x, Anda harus membagi hasil kali 6 dengan faktor 2.

Perhitungan sisi kanan memungkinkan kita untuk menemukan nilai variabel x

x = 3

Aturan yang sama berlaku jika variabel x terletak bukan pengali, bukan pengali. Bayangkan dalam persamaan 3 × 2 = 6, bukannya angka 2, ada variabel x .

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pengganda tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, hal yang sama diberikan untuk menemukan pengali yang tidak diketahui, yaitu, membagi produk dengan faktor yang diketahui:

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan perkalian.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 2 dari persamaan 3 × 2 = 6. Kemudian, untuk mendapatkan angka 2, kita membagi hasil kali 6 dengan perkalian 3.

Dan sekarang untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x kita bagi hasil kali 6 dengan pengali 3.

Menghitung sisi kanan persamaan memungkinkan Anda untuk mengetahui apa x sama dengan

x = 2

Pengganda dan pengali bersama-sama disebut faktor. Karena aturan untuk mencari perkalian dan faktor adalah sama, kita dapat merumuskan aturan umum untuk mencari faktor yang tidak diketahui:

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktor yang diketahui.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan 9 × x= 18 . Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi produk 18 dengan faktor yang diketahui 9

Ayo selesaikan persamaannya x× 3 = 27 . Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi produk 27 dengan faktor yang diketahui 3

Mari kita kembali ke contoh keempat dari topik sebelumnya, di mana dalam persamaan diharuskan untuk menyatakan angka 15. Dalam persamaan ini, angka 15 adalah hasil bagi, angka 5 adalah pembagi, angka 3 adalah hasil bagi.

Untuk mengungkapkan angka 15, kami melakukan hal berikut:

15 = 3 x 5

Yaitu, kalikan hasil bagi 3 dengan pembagi 5.

Sekarang bayangkan bahwa dalam persamaan, alih-alih angka 15, ada variabel x

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran dividen tidak diketahui.

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi.

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 15 dari persamaan. Untuk menyatakan bilangan 15, kita telah mengalikan hasil bagi 3 dengan pembagi 5.

Dan sekarang, untuk menemukan dividen yang tidak diketahui x, Anda perlu mengalikan hasil bagi 3 dengan pembagi 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Sekarang bayangkan bahwa dalam kesetaraan, alih-alih angka 5, ada variabel x .

Dalam hal ini, variabel x mengambil peran pembagi yang tidak diketahui.

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, aturan berikut disediakan:

Itulah yang kami lakukan ketika kami menyatakan angka 5 dari persamaan. Untuk menyatakan angka 5, kami membagi dividen 15 dengan hasil bagi 3.

Dan sekarang untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi dividen 15 dengan hasil bagi 3

Mari kita hitung sisi kanan persamaan yang dihasilkan. Jadi kami mencari tahu apa variabelnya sama dengan x .

x = 5

Jadi, untuk menemukan yang tidak diketahui, kami mempelajari aturan berikut:

• Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangi suku yang diketahui dari jumlah;
• Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya;
• Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangi selisih dari minuend;
• Untuk menemukan perkalian yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan faktornya;
• Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan perkalian;
• Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi;
• Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, Anda perlu membagi dividen dengan hasil bagi.

Komponen

Komponen yang akan kita sebut angka dan variabel termasuk dalam persamaan

Jadi, komponen penjumlahan adalah ketentuan dan jumlah

Komponen pengurangan adalah Angka yang dikurangi, pengurang dan perbedaan

Komponen perkalian adalah perkalian, faktor dan kerja

Komponen pembagian adalah dividen, pembagi, dan hasil bagi.

Bergantung pada komponen mana yang kita hadapi, aturan yang sesuai untuk menemukan yang tidak diketahui akan diterapkan. Kami telah mempelajari aturan-aturan ini dalam topik sebelumnya. Saat memecahkan persamaan, diinginkan untuk mengetahui aturan-aturan ini dengan hati.

Contoh 1. Temukan akar persamaan 45+ x = 60

45 - istilah, x adalah istilah yang tidak diketahui, 60 adalah jumlah. Kita berurusan dengan komponen tambahan. Kami ingat bahwa untuk menemukan suku yang tidak diketahui, Anda perlu mengurangi suku yang diketahui dari jumlah:

x = 60 − 45

Hitung sisi kanan, dapatkan nilainya x sama dengan 15

x = 15

Jadi akar persamaannya adalah 45 + x= 60 sama dengan 15.

Paling sering, istilah yang tidak diketahui harus direduksi menjadi bentuk yang dapat diekspresikan.

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Di sini, tidak seperti contoh sebelumnya, suku yang tidak diketahui tidak dapat segera dinyatakan, karena mengandung koefisien 2. Tugas kita adalah membawa persamaan ini ke bentuk yang memungkinkan untuk menyatakan x

Dalam contoh ini, kita berurusan dengan komponen penjumlahan - suku dan jumlah. 2 x adalah suku pertama, 4 adalah suku kedua, 8 adalah jumlah.

Dalam hal ini, istilah 2 x mengandung variabel x. Setelah menemukan nilai variabel x istilah 2 x akan mengambil bentuk yang berbeda. Oleh karena itu, istilah 2 x dapat sepenuhnya diambil untuk istilah yang tidak diketahui:

Sekarang kami menerapkan aturan untuk menemukan istilah yang tidak diketahui. Kurangi suku yang diketahui dari jumlah:

Mari kita hitung ruas kanan persamaan yang dihasilkan:

Kami memiliki persamaan baru. Sekarang kita berurusan dengan komponen perkalian: multiplicand, multiplier, dan product. 2 - pengganda, x- pengganda, 4 - produk

Pada saat yang sama, variabel x bukan hanya faktor, tetapi faktor yang tidak diketahui

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui ini, Anda perlu membagi produk dengan perkalian:

Hitung sisi kanan, dapatkan nilai variabelnya x

Untuk memeriksa akar yang ditemukan, kirimkan ke persamaan asli dan gantikan x

Contoh 3. selesaikan persamaannya 3x+ 9x+ 16x= 56

Ekspresikan yang tidak diketahui x itu dilarang. Pertama, Anda perlu membawa persamaan ini ke bentuk yang dapat diekspresikan.

Kami menyajikan di sisi kiri persamaan ini:

Kita berurusan dengan komponen perkalian. 28 - pengganda, x- pengganda, 56 - produk. Di mana x merupakan faktor yang tidak diketahui. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, Anda perlu membagi produk dengan perkalian:

Dari sini x adalah 2

Persamaan Setara

Pada contoh sebelumnya, saat menyelesaikan persamaan 3x + 9x + 16x = 56 , kami telah diberikan seperti istilah di sisi kiri persamaan. Hasilnya adalah persamaan baru 28 x= 56 . persamaan lama 3x + 9x + 16x = 56 dan persamaan baru yang dihasilkan 28 x= 56 disebut persamaan setara karena akarnya sama.

Persamaan dikatakan ekuivalen jika akar-akarnya sama.

Mari kita periksa. Untuk persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami menemukan akar sama dengan 2 . Substitusikan akar ini terlebih dahulu ke dalam persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 , dan kemudian ke Persamaan 28 x= 56 , yang dihasilkan dari pengurangan suku-suku serupa di ruas kiri persamaan sebelumnya. Kita harus mendapatkan persamaan numerik yang benar

Menurut urutan operasi, perkalian dilakukan terlebih dahulu:

Substitusi akar 2 ke persamaan kedua 28 x= 56

Kita lihat bahwa kedua persamaan memiliki akar yang sama. Jadi persamaan 3x+ 9x+ 16x= 6 dan 28 x= 56 memang ekuivalen.

Untuk menyelesaikan persamaan 3x+ 9x+ 16x= 56 kami telah menggunakan salah satu — pengurangan istilah serupa. Transformasi identitas yang benar dari persamaan memungkinkan kita untuk mendapatkan persamaan setara 28 x= 56 , yang lebih mudah diselesaikan.

Dari transformasi identik, saat ini kita hanya dapat mengurangi pecahan, membawa suku sejenis, mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung, dan juga kurung terbuka. Ada transformasi lain yang harus Anda waspadai. Tetapi untuk gambaran umum tentang transformasi persamaan yang identik, topik yang telah kita pelajari sudah cukup.

Pertimbangkan beberapa transformasi yang memungkinkan kita untuk mendapatkan persamaan yang setara

Jika Anda menambahkan angka yang sama ke kedua sisi persamaan, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.

dan sama:

Jika angka yang sama dikurangkan dari kedua sisi persamaan, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Dengan kata lain, akar persamaan tidak berubah jika bilangan yang sama ditambahkan (atau dikurangi dari kedua ruas) persamaan.

Contoh 1. selesaikan persamaannya

Kurangi angka 10 dari kedua sisi persamaan

Punya Persamaan 5 x= 10 . Kita berurusan dengan komponen perkalian. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi produk 10 dengan faktor 5 yang diketahui.

dan ganti sebagai gantinya x menemukan nilai 2

Kami mendapatkan nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan Persamaan kami mengurangi angka 10 dari kedua sisi persamaan. Hasilnya adalah persamaan yang setara. Akar persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 2

Contoh 2. Selesaikan Persamaan 4( x+ 3) = 16

Kurangi angka 12 dari kedua sisi persamaan

Sisi kiri akan menjadi 4 x, dan di sebelah kanan angka 4

Punya Persamaan 4 x= 4 . Kita berurusan dengan komponen perkalian. Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui x, Anda perlu membagi produk 4 dengan faktor yang diketahui 4

Mari kita kembali ke persamaan awal 4( x+ 3) = 16 dan gantikan sebagai gantinya x menemukan nilai 1

Kami mendapatkan nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan persamaan 4( x+ 3) = 16 kita telah mengurangi angka 12 dari kedua ruas persamaan. Sebagai hasilnya, kami memperoleh persamaan setara 4 x= 4 . Akar persamaan ini, serta persamaan 4( x+ 3) = 16 juga sama dengan 1

Contoh 3. selesaikan persamaannya

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kiri persamaan:

Mari kita tambahkan angka 8 ke kedua sisi persamaan

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian persamaan:

Sisi kiri akan menjadi 2 x, dan di sebelah kanan angka 9

Dalam persamaan yang dihasilkan 2 x= 9 kita nyatakan suku yang tidak diketahui x

Kembali ke persamaan awal dan ganti sebagai gantinya x menemukan nilai 4,5

Kami mendapatkan nomor yang benar. Jadi persamaannya benar.

Memecahkan Persamaan kami menambahkan angka 8 ke kedua sisi persamaan, sebagai hasilnya, kami mendapatkan persamaan yang setara. Akar persamaan ini, seperti persamaan juga sama dengan 4,5

Aturan berikutnya, yang memungkinkan Anda untuk mendapatkan persamaan yang setara, adalah sebagai berikut

Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan.

Artinya, akar persamaan tidak akan berubah jika kita memindahkan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan mengubah tandanya. Properti ini adalah salah satu yang paling penting dan salah satu yang paling sering digunakan dalam memecahkan persamaan.

Perhatikan persamaan berikut:

Akar persamaan ini adalah 2. Substitusikan ke x akar ini dan periksa apakah persamaan numerik yang benar diperoleh

Ternyata kesetaraan yang benar. Jadi angka 2 benar-benar akar persamaan.

Sekarang mari kita coba bereksperimen dengan suku-suku persamaan ini, memindahkannya dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tanda.

Misalnya, suku 3 x terletak di sisi kiri persamaan. Mari kita pindahkan ke sisi kanan, ubah tandanya menjadi sebaliknya:

Ternyata persamaan 12 = 9x − 3x . di sisi kanan persamaan ini:

x merupakan faktor yang tidak diketahui. Mari kita temukan faktor yang diketahui ini:

Dari sini x= 2 . Seperti yang Anda lihat, akar persamaan tidak berubah. Jadi persamaan 12 + 3 x = 9x dan 12 = 9x − 3x setara.

Sebenarnya, transformasi ini adalah metode yang disederhanakan dari transformasi sebelumnya, di mana angka yang sama ditambahkan (atau dikurangkan) ke kedua sisi persamaan.

Kami mengatakan bahwa dalam persamaan 12 + 3 x = 9x istilah 3 x dipindahkan ke sisi kanan dengan mengubah tanda. Pada kenyataannya, hal berikut terjadi: istilah 3 dikurangi dari kedua sisi persamaan x

Kemudian istilah serupa diberikan di sisi kiri dan persamaan diperoleh 12 = 9x − 3x. Kemudian diberikan suku-suku serupa lagi, tetapi di ruas kanan, dan diperoleh persamaan 12 = 6 x.

Tetapi apa yang disebut "transfer" lebih nyaman untuk persamaan seperti itu, itulah sebabnya ia menjadi begitu luas. Saat memecahkan persamaan, kita akan sering menggunakan transformasi khusus ini.

Persamaan 12 + 3 juga setara x= 9x dan 3x - 9x= −12 . Kali ini dalam persamaan 12 + 3 x= 9x suku 12 dipindahkan ke ruas kanan, dan suku 9 x ke kiri. Jangan lupa bahwa tanda-tanda persyaratan ini diubah selama transfer

Aturan berikutnya, yang memungkinkan Anda untuk mendapatkan persamaan yang setara, adalah sebagai berikut:

Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan angka yang sama yang tidak sama dengan nol, maka persamaan yang setara dengan yang diberikan akan diperoleh.

Dengan kata lain, akar-akar persamaan tidak berubah jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. Tindakan ini sering digunakan saat Anda perlu menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi pecahan.

Pertama, perhatikan contoh di mana kedua sisi persamaan akan dikalikan dengan angka yang sama.

Contoh 1. selesaikan persamaannya

Saat menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi pecahan, pertama-tama biasakan untuk menyederhanakan persamaan ini.

Dalam hal ini, kita hanya berurusan dengan persamaan seperti itu. Untuk menyederhanakan persamaan ini, kedua ruas dapat dikalikan dengan 8:

Kami ingat bahwa untuk , Anda perlu mengalikan pembilang dari pecahan tertentu dengan angka ini. Kami memiliki dua pecahan dan masing-masing dikalikan dengan angka 8. Tugas kita adalah mengalikan pembilang pecahan dengan angka 8 ini

Sekarang hal yang paling menarik terjadi. Pembilang dan penyebut kedua pecahan mengandung faktor 8, yang dapat dikurangi dengan 8. Ini akan memungkinkan kita untuk menghilangkan ekspresi pecahan:

Akibatnya, persamaan paling sederhana tetap

Nah, mudah ditebak bahwa akar dari persamaan ini adalah 4

x menemukan nilai 4

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Saat menyelesaikan persamaan ini, kami mengalikan kedua bagian dengan 8. Hasilnya, kami mendapatkan persamaan. Akar persamaan ini, seperti persamaannya, adalah 4. Jadi persamaan ini ekuivalen.

Pengganda yang digunakan untuk mengalikan kedua bagian persamaan biasanya ditulis sebelum bagian persamaan, dan bukan setelahnya. Jadi, memecahkan persamaan, kami mengalikan kedua bagian dengan faktor 8 dan mendapatkan entri berikut:

Dari sini, akar persamaan tidak berubah, tetapi jika kita melakukan ini saat di sekolah, kita akan berkomentar, karena dalam aljabar adalah kebiasaan untuk menulis faktor sebelum ekspresi yang digunakan untuk mengalikannya. Oleh karena itu, mengalikan kedua ruas persamaan dengan faktor 8 diinginkan untuk ditulis ulang sebagai berikut:

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Di ruas kiri, faktor 15 bisa dikurangi 15, dan di ruas kanan, faktor 15 dan 5 bisa dikurangi 5

Mari kita buka tanda kurung di sisi kanan persamaan:

Ayo pindah istilahnya x dari ruas kiri persamaan ke ruas kanan dengan mengubah tandanya. Dan suku 15 dari ruas kanan persamaan akan dipindahkan ke ruas kiri, lagi-lagi mengubah tandanya:

Kami membawa istilah serupa di kedua bagian, kami dapatkan

Kita berurusan dengan komponen perkalian. Variabel x

Kembali ke persamaan awal dan ganti sebagai gantinya x menemukan nilai 5

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar. Saat menyelesaikan persamaan ini, kami mengalikan kedua ruas dengan 15. Selanjutnya, melakukan transformasi identik, kami memperoleh persamaan 10 = 2 x. Akar persamaan ini, seperti persamaan sama dengan 5 . Jadi persamaan-persamaan ini ekuivalen.

Contoh 3. selesaikan persamaannya

Di sisi kiri, dua kali lipat dapat dikurangi, dan sisi kanan akan sama dengan 18

Persamaan paling sederhana tetap ada. Kita berurusan dengan komponen perkalian. Variabel x merupakan faktor yang tidak diketahui. Mari kita temukan faktor yang diketahui ini:

Mari kita kembali ke persamaan awal dan menggantikannya x menemukan nilai 9

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Contoh 4. selesaikan persamaannya

Kalikan kedua ruas persamaan dengan 6

Buka tanda kurung di sisi kiri persamaan. Di ruas kanan, faktor 6 dapat dinaikkan menjadi pembilangnya:

Kami mengurangi di kedua bagian persamaan apa yang dapat dikurangi:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kami menggunakan istilah transfer. Istilah yang mengandung yang tidak diketahui x, kami mengelompokkan di sisi kiri persamaan, dan istilah bebas dari yang tidak diketahui - di sebelah kanan:

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian:

Sekarang mari kita cari nilai variabelnya x. Untuk melakukan ini, kami membagi produk 28 dengan faktor yang diketahui 7

Dari sini x= 4.

Kembali ke persamaan awal dan ganti sebagai gantinya x menemukan nilai 4

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Contoh 5. selesaikan persamaannya

Mari kita buka tanda kurung di kedua bagian persamaan jika memungkinkan:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan 15

Mari kita buka tanda kurung di kedua bagian persamaan:

Mari kita kurangi di kedua bagian persamaan, apa yang bisa dikurangi:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Mari kita buka tanda kurung jika memungkinkan:

Kami menggunakan istilah transfer. Suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui dikelompokkan di ruas kiri persamaan, dan suku-suku yang bebas dari yang tidak diketahui dikelompokkan di ruas kanan. Jangan lupa bahwa selama transfer, persyaratan berubah tandanya menjadi sebaliknya:

Kami menyajikan istilah serupa di kedua bagian persamaan:

Mari kita cari nilainya x

Dalam jawaban yang dihasilkan, Anda dapat memilih seluruh bagian:

Mari kita kembali ke persamaan awal dan menggantikannya x nilai yang ditemukan

Ternyata menjadi ekspresi yang agak rumit. Mari kita gunakan variabel. Kami menempatkan sisi kiri persamaan dalam variabel A, dan ruas kanan persamaan menjadi variabel B

Tugas kita adalah memastikan bahwa sisi kiri sama dengan sisi kanan. Dengan kata lain, buktikan persamaan A = B

Temukan nilai ekspresi dalam variabel A.

Nilai variabel TETAPI sama. Sekarang mari kita cari nilai variabelnya B. Artinya, nilai sisi kanan persamaan kita. Jika sama dengan , maka persamaan akan diselesaikan dengan benar

Kita melihat bahwa nilai variabel B, serta nilai variabel A adalah . Artinya ruas kiri sama dengan ruas kanan. Dari sini kita menyimpulkan bahwa persamaan diselesaikan dengan benar.

Sekarang mari kita coba untuk tidak mengalikan kedua ruas persamaan dengan angka yang sama, tetapi membaginya.

Perhatikan persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Kami menyelesaikannya dengan cara biasa: kami mengelompokkan istilah yang mengandung yang tidak diketahui di sisi kiri persamaan, dan istilah yang bebas dari yang tidak diketahui di sebelah kanan. Selanjutnya, melakukan transformasi identik yang diketahui, kami menemukan nilainya x

Gantikan nilai yang ditemukan 2 sebagai ganti x ke persamaan awal:

Sekarang mari kita coba pisahkan semua suku persamaan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 dengan beberapa angka Kami mencatat bahwa semua istilah persamaan ini memiliki faktor umum 2. Kami membagi setiap istilah dengan itu:

Mari kita kurangi di setiap istilah:

Mari kita tulis ulang apa yang tersisa:

Kami memecahkan persamaan ini menggunakan transformasi identik yang diketahui:

Kami mendapatkan akar 2 . Jadi persamaan 15x+ 7x+ 7 = 35x - 20x+ 21 dan 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 setara.

Membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang sama memungkinkan Anda untuk membebaskan yang tidak diketahui dari koefisien. Pada contoh sebelumnya, ketika kita mendapatkan persamaan 7 x= 14 , kita perlu membagi produk 14 dengan faktor 7. Tetapi jika kita membebaskan yang tidak diketahui dari koefisien 7 di sisi kiri, akarnya akan segera ditemukan. Untuk melakukan ini, cukup membagi kedua bagian dengan 7

Kami juga akan sering menggunakan metode ini.

Kalikan dengan minus satu

Jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan minus satu, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan tersebut.

Aturan ini mengikuti fakta bahwa dari mengalikan (atau membagi) kedua bagian persamaan dengan angka yang sama, akar persamaan ini tidak berubah. Ini berarti bahwa akar tidak akan berubah jika kedua bagiannya dikalikan dengan 1.

Aturan ini memungkinkan Anda untuk mengubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan. Untuk apa? Sekali lagi, untuk mendapatkan persamaan setara yang lebih mudah untuk dipecahkan.

Pertimbangkan persamaannya. Apa akar dari persamaan ini?

Mari kita tambahkan angka 5 ke kedua sisi persamaan

Berikut adalah istilah serupa:

Dan sekarang mari kita ingat tentang. Apa sisi kiri persamaan. Ini adalah produk dari minus satu dan variabel x

Artinya, minus di depan variabel x tidak merujuk ke variabel itu sendiri x, tetapi ke unit, yang tidak kita lihat, karena biasanya tidak menuliskan koefisien 1. Ini berarti bahwa persamaan sebenarnya terlihat seperti ini:

Kita berurusan dengan komponen perkalian. Mencari X, Anda perlu membagi produk 5 dengan faktor yang diketahui 1 .

atau bagi kedua ruas persamaan dengan 1, yang lebih mudah

Jadi akar persamaannya adalah 5. Untuk mengeceknya, kita substitusikan ke persamaan awal. Jangan lupa bahwa dalam persamaan asli, minus di depan variabel x mengacu pada unit yang tidak terlihat

Ternyata persamaan numerik yang benar. Jadi persamaannya benar.

Sekarang mari kita coba mengalikan kedua ruas persamaan dengan minus satu:

Setelah membuka tanda kurung, ekspresi terbentuk di sisi kiri, dan sisi kanan akan sama dengan 10

Akar persamaan ini, seperti persamaan, adalah 5

Jadi persamaannya ekuivalen.

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Dalam persamaan ini, semua komponen negatif. Lebih mudah bekerja dengan komponen positif daripada dengan komponen negatif, jadi mari kita ubah tanda semua komponen yang termasuk dalam persamaan . Untuk melakukannya, kalikan kedua ruas persamaan ini dengan 1.

Jelaslah bahwa setelah dikalikan dengan 1, bilangan apa pun akan berubah tandanya menjadi kebalikannya. Oleh karena itu, prosedur mengalikan dengan 1 dan membuka kurung tidak dijelaskan secara rinci, tetapi komponen persamaan dengan tanda yang berlawanan segera ditulis.

Jadi, mengalikan persamaan dengan 1 dapat ditulis secara rinci sebagai berikut:

atau Anda bisa mengubah tanda-tanda semua komponen:

Ini akan menjadi sama, tetapi perbedaannya adalah kita akan menghemat waktu.

Jadi, mengalikan kedua ruas persamaan dengan 1, kita mendapatkan persamaan. Mari kita selesaikan persamaan ini. Kurangi angka 4 dari kedua bagian dan bagi kedua bagian dengan 3

Ketika akar ditemukan, variabel biasanya ditulis di sisi kiri, dan nilainya di sebelah kanan, yang kami lakukan.

Contoh 3. selesaikan persamaannya

Kalikan kedua ruas persamaan dengan 1. Kemudian semua komponen akan berubah tandanya menjadi kebalikannya:

Kurangi 2 dari kedua sisi persamaan yang dihasilkan x dan tambahkan istilah seperti:

Kami menambahkan kesatuan ke kedua bagian persamaan dan memberikan istilah yang sama:

Menyamakan dengan Nol

Baru-baru ini, kita mengetahui bahwa jika dalam suatu persamaan kita memindahkan suatu suku dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah tandanya, kita memperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.

Dan apa yang akan terjadi jika kita mentransfer dari satu bagian ke bagian lain bukan satu istilah, tetapi semua persyaratan? Itu benar, di bagian di mana semua istilah diambil, nol akan tetap ada. Dengan kata lain, tidak akan ada yang tersisa.

Mari kita ambil persamaan sebagai contoh. Kami memecahkan persamaan ini, seperti biasa - kami mengelompokkan suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui di satu bagian, dan membiarkan suku-suku numeriknya bebas dari yang tidak diketahui di bagian lain. Selanjutnya, melakukan transformasi identik yang diketahui, kami menemukan nilai variabel x

Sekarang mari kita coba menyelesaikan persamaan yang sama dengan menyamakan semua komponennya menjadi nol. Untuk melakukan ini, kami mentransfer semua persyaratan dari sisi kanan ke kiri, mengubah tanda:

Berikut adalah istilah serupa di sisi kiri:

Mari kita tambahkan 77 ke kedua bagian, dan bagi kedua bagian dengan 7

Sebuah alternatif untuk aturan untuk menemukan yang tidak diketahui

Jelas, mengetahui tentang transformasi persamaan yang identik, seseorang tidak dapat menghafal aturan untuk menemukan yang tidak diketahui.

Misalnya, untuk menemukan yang tidak diketahui dalam persamaan, kami membagi produk 10 dengan faktor yang diketahui 2

Tetapi jika dalam persamaan kedua bagian dibagi 2, akarnya langsung ditemukan. Di ruas kiri persamaan, faktor 2 pada pembilang dan faktor 2 pada penyebut akan dikurangi 2. Dan ruas kanan akan sama dengan 5

Kami memecahkan persamaan bentuk dengan mengekspresikan istilah yang tidak diketahui:

Tetapi Anda dapat menggunakan transformasi identik yang telah kita pelajari hari ini. Dalam persamaan, suku 4 dapat dipindahkan ke ruas kanan dengan mengubah tanda:

Di sisi kiri persamaan, dua deuces akan berkurang. Ruas kanan akan sama dengan 2. Oleh karena itu .

Atau Anda bisa mengurangi 4 dari kedua sisi persamaan, maka Anda akan mendapatkan yang berikut:

Dalam kasus persamaan bentuk, lebih mudah untuk membagi produk dengan faktor yang diketahui. Mari kita bandingkan kedua solusi:

Solusi pertama jauh lebih pendek dan lebih rapi. Solusi kedua dapat dipersingkat secara signifikan jika Anda melakukan pembagian di kepala Anda.

Namun, Anda perlu mengetahui kedua metode tersebut dan baru kemudian menggunakan yang paling Anda sukai.

Ketika ada beberapa akar

Suatu persamaan dapat memiliki banyak akar. Misal persamaan x(x + 9) = 0 memiliki dua akar: 0 dan 9 .

Dalam persamaan x(x + 9) = 0 itu perlu untuk menemukan nilai seperti itu x yang ruas kirinya sama dengan nol. Sisi kiri persamaan ini berisi ekspresi x dan (x + 9), yang merupakan faktor. Dari hukum produk, kita tahu bahwa produk sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol (baik faktor pertama atau kedua).

Artinya, dalam persamaan x(x + 9) = 0 persamaan akan dicapai jika x akan menjadi nol atau (x + 9) akan menjadi nol.

x= 0 atau x + 9 = 0

Menyamakan kedua ekspresi ini menjadi nol, kita dapat menemukan akar persamaan x(x + 9) = 0 . Akar pertama, seperti dapat dilihat dari contoh, segera ditemukan. Untuk menemukan akar kedua, Anda perlu menyelesaikan persamaan dasar x+ 9 = 0 . Mudah ditebak bahwa akar dari persamaan ini adalah 9. Pemeriksaan menunjukkan bahwa root sudah benar:

−9 + 9 = 0

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Persamaan ini memiliki dua akar: 1 dan 2. Ruas kiri persamaan adalah produk dari ekspresi ( x 1) dan ( x 2) . Dan hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol (atau faktor ( x 1) atau faktor ( x − 2) ).

Ayo temukan x di mana ekspresi ( x 1) atau ( x 2) menghilang:

Kami mengganti nilai yang ditemukan secara bergantian menjadi persamaan asli dan memastikan bahwa dengan nilai-nilai ini sisi kiri sama dengan nol:

Ketika ada banyak akar tak terhingga

Suatu persamaan dapat memiliki banyak akar tak terhingga. Artinya, dengan mensubstitusi bilangan apa pun ke dalam persamaan seperti itu, kita mendapatkan persamaan numerik yang benar.

Contoh 1. selesaikan persamaannya

Akar persamaan ini adalah bilangan apa saja. Jika Anda membuka tanda kurung di sisi kiri persamaan dan membawa suku-suku serupa, maka Anda mendapatkan persamaan 14 \u003d 14. Kesetaraan ini akan diperoleh untuk setiap x

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Akar persamaan ini adalah bilangan apa saja. Jika Anda membuka tanda kurung di sisi kiri persamaan, Anda mendapatkan persamaan 10x + 12 = 10x + 12. Kesetaraan ini akan diperoleh untuk setiap x

Ketika tidak ada akar

Itu juga terjadi bahwa persamaan tidak memiliki solusi sama sekali, yaitu tidak memiliki akar. Misalnya, persamaan tidak memiliki akar, karena untuk nilai apa pun x, ruas kiri persamaan tidak akan sama dengan ruas kanan. Misalnya, biarkan . Maka persamaan akan berbentuk sebagai berikut:

Contoh 2. selesaikan persamaannya

Mari kita perluas tanda kurung di sisi kiri persamaan:

Berikut adalah istilah serupa:

Kita melihat bahwa ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. Dan itu akan berlaku untuk nilai apa pun kamu. Misalnya, mari kamu = 3 .

Persamaan Surat

Persamaan tidak hanya dapat berisi angka dengan variabel, tetapi juga huruf.

Misalnya, rumus untuk menemukan kecepatan adalah persamaan literal:

Persamaan ini menggambarkan kecepatan tubuh dalam gerakan dipercepat seragam.

Keterampilan yang berguna adalah kemampuan untuk mengekspresikan komponen apa pun yang termasuk dalam persamaan huruf. Misalnya, untuk menentukan jarak dari suatu persamaan, Anda perlu menyatakan variabel s .

Kalikan kedua ruas persamaan dengan t

Variabel di sebelah kanan t dikurangi dengan t

Dalam persamaan yang dihasilkan, bagian kiri dan kanan dipertukarkan:

Kami telah memperoleh rumus untuk mencari jarak, yang telah kami pelajari sebelumnya.

Mari kita coba menentukan waktu dari persamaan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengekspresikan variabel t .

Kalikan kedua ruas persamaan dengan t

Variabel di sebelah kanan t dikurangi dengan t dan tulis ulang apa yang tersisa:

Dalam persamaan yang dihasilkan v × t = s bagi kedua bagian menjadi v

Variabel di sebelah kiri v dikurangi dengan v dan tulis ulang apa yang tersisa:

Kami telah memperoleh rumus untuk menentukan waktu, yang telah kami pelajari sebelumnya.

Asumsikan bahwa kecepatan kereta api adalah 50 km/jam

v= 50 km/jam

Dan jaraknya adalah 100 km

s= 100 km

Maka surat itu akan mengambil bentuk berikut:

Dari persamaan ini Anda dapat menemukan waktu. Untuk melakukan ini, Anda harus dapat mengekspresikan variabel t. Anda dapat menggunakan aturan untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui dengan membagi dividen dengan hasil bagi dan dengan demikian menentukan nilai variabel t

atau Anda dapat menggunakan transformasi yang identik. Pertama kalikan kedua ruas persamaan dengan t

Kemudian bagi kedua bagian dengan 50

Contoh 2 x

Kurangi dari kedua sisi persamaan sebuah

Bagilah kedua ruas persamaan dengan b

a + bx = c, maka kami akan memiliki solusi yang sudah jadi. Itu akan cukup untuk mengganti nilai-nilai yang diperlukan ke dalamnya. Nilai-nilai yang akan diganti dengan huruf a, b, c ditelepon parameter. Dan persamaan bentuk a + bx = c ditelepon persamaan dengan parameter. Tergantung pada parameternya, root akan berubah.

Selesaikan persamaan 2 + 4 x= 10 . Itu terlihat seperti persamaan literal a + bx = c. Alih-alih melakukan transformasi yang identik, kita dapat menggunakan solusi yang sudah jadi. Mari kita bandingkan kedua solusi:

Kami melihat bahwa solusi kedua jauh lebih sederhana dan lebih pendek.

Untuk solusi yang sudah jadi, Anda perlu membuat komentar kecil. Parameter b tidak boleh nol (b 0), karena pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Contoh 3. Diberikan persamaan literal. Nyatakan dari persamaan ini x

Mari kita buka tanda kurung di kedua bagian persamaan

Kami menggunakan istilah transfer. Parameter yang berisi variabel x, kami mengelompokkan di sisi kiri persamaan, dan parameter bebas dari variabel ini - di sebelah kanan.

Di sisi kiri, kami menghilangkan faktornya x

Bagilah kedua bagian menjadi ekspresi a-b

Pada ruas kiri, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan a-b. Jadi variabel akhirnya dinyatakan x

Sekarang, jika kita menemukan persamaan bentuk a(x c) = b(x + d), maka kami akan memiliki solusi yang sudah jadi. Itu akan cukup untuk mengganti nilai-nilai yang diperlukan ke dalamnya.

Misalkan kita diberikan persamaan 4(x - 3) = 2(x+ 4) . Sepertinya persamaan a(x c) = b(x + d). Kami menyelesaikannya dengan dua cara: menggunakan transformasi yang identik dan menggunakan solusi yang sudah jadi:

Untuk kenyamanan, kami mengekstrak dari persamaan 4(x - 3) = 2(x+ 4) nilai parameter sebuah, b, c, d . Ini akan memungkinkan kita untuk tidak membuat kesalahan saat mengganti:

Seperti pada contoh sebelumnya, penyebut di sini tidak boleh sama dengan nol ( a - b 0) . Jika kita menemukan persamaan bentuk a(x c) = b(x + d) dimana parameternya sebuah dan b adalah sama, kita dapat mengatakan tanpa menyelesaikannya bahwa persamaan ini tidak memiliki akar, karena perbedaan bilangan identik adalah nol.

Misalnya persamaan 2(x 3) = 2(x + 4) adalah persamaan bentuk a(x c) = b(x + d). Dalam persamaan 2(x 3) = 2(x + 4) pilihan sebuah dan b sama. Jika kita mulai menyelesaikannya, maka kita akan sampai pada kesimpulan bahwa ruas kiri tidak akan sama dengan ruas kanan:

Contoh 4. Diberikan persamaan literal. Nyatakan dari persamaan ini x

Kami membawa sisi kiri persamaan ke penyebut yang sama:

Kalikan kedua ruas dengan sebuah

Di sisi kiri x keluarkan dari kurung

Kami membagi kedua bagian dengan ekspresi (1 sebuah)

Persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui

Persamaan yang dibahas dalam pelajaran ini disebut persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui.

Jika persamaan diberikan ke tingkat pertama, tidak mengandung pembagian dengan yang tidak diketahui, dan juga tidak mengandung akar dari yang tidak diketahui, maka itu bisa disebut linier. Kami belum mempelajari derajat dan akar, jadi agar tidak memperumit hidup kami, kami akan memahami kata "linier" sebagai "sederhana".

Sebagian besar persamaan yang diselesaikan dalam pelajaran ini akhirnya direduksi menjadi persamaan paling sederhana di mana produk harus dibagi dengan faktor yang diketahui. Misalnya, persamaan 2( x+ 3) = 16 . Mari kita selesaikan.

Mari kita buka tanda kurung di sisi kiri persamaan, kita mendapatkan 2 x+ 6 = 16. Mari pindahkan suku 6 ke ruas kanan dengan mengubah tandanya. Maka kita mendapatkan 2 x= 16 6. Hitung ruas kanan, kita peroleh 2 x= 10. Untuk menemukan x, kita bagi produk 10 dengan faktor 2. Oleh karena itu x = 5.

Persamaan 2( x+ 3) = 16 linier. Direduksi menjadi persamaan 2 x= 10 , untuk menemukan akar yang diperlukan untuk membagi produk dengan faktor yang diketahui. Persamaan sederhana ini disebut persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Kata "kanonik" identik dengan kata "sederhana" atau "normal".

Persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik disebut persamaan bentuk kapak = b.

Persamaan kami 2 x= 10 adalah persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui dalam bentuk kanonik. Persamaan ini memiliki derajat pertama, satu tidak diketahui, tidak mengandung pembagian dengan yang tidak diketahui dan tidak mengandung akar dari yang tidak diketahui, dan disajikan dalam bentuk kanonik, yaitu, dalam bentuk paling sederhana di mana mudah untuk menentukan nilai x. Alih-alih parameter sebuah dan b persamaan kita berisi angka 2 dan 10. Tetapi persamaan serupa dapat berisi angka lain: positif, negatif, atau sama dengan nol.

Jika dalam persamaan linier sebuah= 0 dan b= 0 , maka persamaan tersebut memiliki banyak akar tak terhingga. Memang, jika sebuah adalah nol dan b sama dengan nol, maka persamaan linier kapak= b mengambil bentuk 0 x= 0 . Untuk nilai berapa pun x ruas kiri akan sama dengan ruas kanan.

Jika dalam persamaan linier sebuah= 0 dan b 0, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar. Memang, jika sebuah adalah nol dan b sama dengan beberapa angka bukan nol, katakanlah angka 5, maka persamaannya kapak = b mengambil bentuk 0 x= 5 . Sisi kiri akan menjadi nol dan sisi kanan lima. Dan nol tidak sama dengan lima.

Jika dalam persamaan linier sebuah 0 , dan b sama dengan bilangan apa pun, maka persamaan memiliki satu akar. Itu ditentukan dengan membagi parameter b per parameter sebuah

Memang, jika sebuah sama dengan beberapa angka bukan nol, katakanlah angka 3, dan b sama dengan beberapa angka, katakanlah angka 6, maka persamaan tersebut akan berbentuk .
Dari sini.

Ada bentuk lain dari penulisan persamaan linier derajat pertama dengan satu yang tidak diketahui. Ini terlihat seperti ini: kapak b= 0 . Ini adalah persamaan yang sama dengan kapak = b

Apakah Anda menyukai pelajarannya?
Bergabunglah dengan grup Vkontakte baru kami dan mulai menerima pemberitahuan tentang pelajaran baru