Fungsi dan cara mengaturnya.

Menetapkan fungsi berarti menetapkan aturan (hukum) dengan bantuan yang, menurut nilai yang diberikan dari variabel independen, seseorang harus menemukan nilai fungsi yang sesuai. Mari kita lihat beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi.

cara tabel. Cukup umum, ini terdiri dari pengaturan tabel nilai argumen individu dan nilai fungsi yang sesuai. Metode pendefinisian fungsi ini digunakan jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan berhingga diskrit.

Dengan metode tabular untuk menentukan suatu fungsi, dimungkinkan untuk menghitung nilai fungsi yang tidak terkandung dalam tabel secara kira-kira, sesuai dengan nilai tengah argumen. Untuk melakukan ini, gunakan metode interpolasi.

Keuntungan dari cara tabel untuk menentukan suatu fungsi adalah memungkinkan untuk menentukan nilai spesifik tertentu sekaligus, tanpa pengukuran atau perhitungan tambahan. Namun, dalam beberapa kasus, tabel tidak mendefinisikan fungsi sepenuhnya, tetapi hanya untuk beberapa nilai argumen dan tidak memberikan representasi visual tentang sifat perubahan fungsi tergantung pada perubahan argumen.

cara grafis. Grafik fungsi y = f(x) adalah himpunan semua titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan yang diberikan.

Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi tidak selalu memungkinkan untuk secara akurat menentukan nilai numerik argumen. Namun, ini memiliki keunggulan besar dibandingkan metode lain - visibilitas. Dalam teknik dan fisika, metode grafis untuk pengaturan fungsi sering digunakan, dan grafik adalah satu-satunya cara yang tersedia untuk ini.

Agar penugasan grafis suatu fungsi menjadi cukup benar dari sudut pandang matematis, perlu untuk menunjukkan konstruksi geometrik yang tepat dari grafik, yang, paling sering, diberikan oleh persamaan. Ini mengarah ke cara berikut untuk mendefinisikan suatu fungsi.

cara analitis. Paling sering, hukum yang menetapkan hubungan antara argumen dan fungsi ditentukan melalui rumus. Cara mendefinisikan fungsi ini disebut analitis.

Metode ini memungkinkan setiap nilai numerik dari argumen x untuk menemukan nilai numerik yang sesuai dari fungsi y secara tepat atau dengan akurasi tertentu.

Jika hubungan antara x dan y diberikan oleh rumus yang diselesaikan sehubungan dengan y, yaitu. memiliki bentuk y = f(x), maka kita katakan bahwa fungsi x diberikan secara eksplisit.

Jika nilai x dan y dihubungkan oleh suatu persamaan berbentuk F(x,y) = 0, yaitu. rumus tidak diperbolehkan sehubungan dengan y, yang berarti bahwa fungsi y = f(x) didefinisikan secara implisit.

Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan rumus yang berbeda di bagian yang berbeda dari area tugasnya.

Metode analitik adalah cara yang paling umum untuk mendefinisikan fungsi. Kekompakan, keringkasan, kemampuan untuk menghitung nilai fungsi untuk nilai argumen yang berubah-ubah dari domain definisi, kemampuan untuk menerapkan peralatan analisis matematis ke fungsi yang diberikan adalah keuntungan utama dari metode analitik untuk mendefinisikan suatu fungsi. Kerugiannya termasuk kurangnya visibilitas, yang dikompensasi oleh kemampuan untuk membuat grafik dan kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang terkadang sangat rumit.

cara lisan. Metode ini terdiri dari fakta bahwa ketergantungan fungsional dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh 1: fungsi E(x) adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Secara umum, E(x) = [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Dengan kata lain, jika x = r + q, di mana r adalah bilangan bulat (mungkin negatif) dan q termasuk dalam interval = r. Fungsi E(x) = [x] konstan pada interval = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) - bagian pecahan dari suatu bilangan. Lebih tepatnya, y =(x) = x - [x], di mana [x] adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x. Jika x adalah bilangan arbitrer, maka dinyatakan sebagai x = r + q (r = [x]), di mana r adalah bilangan bulat dan q terletak pada interval . = 2[" class="link_thumb"> 7 Fungsi yang ditentukan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f(x)x;x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2 = 47 [-0,23] = - 1 x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. \u003d 2 ["\u003e x, x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-; +), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, notasi [x] digunakan. \u003d 2 \u003d 47 [ - 0,23] \u003d - 1 "\u003e x, x, bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut disebut bagian bilangan bulat dari nomor. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2 [" title="(!LANG: Fungsi yang didefinisikan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f (x) x; x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat D (f) = (-;+), E (f) = Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat x, gunakan notasi [ x ].= 2 ["> title="Fungsi yang ditentukan oleh kondisi: f (x) adalah bilangan bulat; f(x)x;x; f + 1 > x,x, bagian bilangan bulat disebut bagian bilangan bulat. D (f) \u003d (-;+), E (f) \u003d Z (kumpulan bilangan bulat) Untuk bagian bilangan bulat dari bilangan x, digunakan notasi [ x ]. = 2["> !}

Dari semua metode di atas untuk menentukan suatu fungsi, metode analitik memberikan peluang terbesar untuk menggunakan peralatan analisis matematis, dan metode grafik memiliki kejelasan terbesar. Itulah sebabnya analisis matematis didasarkan pada sintesis mendalam dari metode analitik dan geometrik. Studi fungsi yang diberikan secara analitik jauh lebih mudah dan menjadi jelas jika kita mempertimbangkan grafik fungsi-fungsi ini secara paralel.

X y=x

Ahli matematika hebat - Dirichlet In profesor di Berlin, dari Universitas Göttingen 1855. Karya utama pada teori bilangan dan analisis matematis. Di bidang analisis matematika, Dirichlet untuk pertama kalinya secara akurat merumuskan dan mempelajari konsep konvergensi bersyarat dari suatu deret, menetapkan kriteria untuk konvergensi deret (yang disebut kriteria Dirichlet, 1862), dan (1829) memberikan bukti yang tepat tentang kemungkinan perluasan suatu fungsi menjadi deret Fourier yang memiliki jumlah maksima dan minima berhingga. Karya-karya penting Dirichlet dikhususkan untuk mekanika dan fisika matematika (prinsip Dirichlet dalam teori fungsi harmonik). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () matematikawan Jerman, anggota koresponden asing. Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg (c), anggota Royal Society of London (1855), Akademi Ilmu Pengetahuan Paris (1854), Akademi Ilmu Pengetahuan Berlin. Dirichlet membuktikan teorema tentang keberadaan bilangan prima yang tak terhingga banyaknya dalam setiap deret aritmatika bilangan bulat, suku pertama dan selisihnya adalah bilangan koprima dan mempelajari (1837) hukum distribusi bilangan prima dalam deret aritmatika, sehubungan dengan yang ia perkenalkan deret fungsional dari bentuk khusus ( disebut deret Dirichlet).

Definisi analitis dari suatu fungsi

Fungsi %%y = f(x), x \in X%% diberikan dengan cara analitis yang eksplisit, jika diberikan rumus yang menunjukkan urutan operasi matematika yang harus dilakukan dengan argumen %%x%% untuk mendapatkan nilai %%f(x)%% dari fungsi ini.

Contoh

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Jadi, misalnya, dalam fisika, dengan gerak lurus yang dipercepat beraturan, kecepatan suatu benda ditentukan oleh rumus t%% ditulis sebagai: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Fungsi yang Ditetapkan Sepotong

Terkadang fungsi yang dipertimbangkan dapat didefinisikan oleh beberapa rumus yang beroperasi di bagian berbeda dari domain definisinya, di mana argumen fungsi berubah. Contoh: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Fungsi semacam ini kadang-kadang disebut unsur atau sepotong demi sepotong. Contoh dari fungsi tersebut adalah %%y = |x|%%

Lingkup fungsi

Jika fungsi ditentukan dengan cara analitis eksplisit menggunakan rumus, tetapi cakupan fungsi dalam bentuk himpunan %%D%% tidak ditentukan, maka dengan %%D%% kita akan selalu berarti himpunan nilai dari argumen %%x%% yang membuat rumus ini masuk akal . Jadi untuk fungsi %%y = x^2%%, domain definisi adalah himpunan %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, karena argumen %%x% % dapat mengambil nilai apa pun pada nomor baris. Dan untuk fungsi %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domain definisi adalah himpunan nilai %%x%% yang memenuhi pertidaksamaan %%1 - x^2 > 0%%, m.e. %%D = (-1, 1)%%.

Manfaat Definisi Fungsi Analitik Eksplisit

Perhatikan bahwa cara analitis eksplisit untuk menentukan suatu fungsi cukup ringkas (rumus, sebagai aturan, membutuhkan sedikit ruang), mudah direproduksi (rumus mudah ditulis), dan paling disesuaikan untuk melakukan operasi dan transformasi matematika pada fungsi.

Beberapa dari operasi ini - aljabar (penjumlahan, perkalian, dll.) - sudah dikenal dari kursus matematika sekolah, yang lain (pembedaan, integrasi) akan dipelajari di masa depan. Namun, metode ini tidak selalu jelas, karena sifat ketergantungan fungsi pada argumen tidak selalu jelas, dan terkadang perhitungan rumit diperlukan untuk menemukan nilai fungsi (jika perlu).

Spesifikasi fungsi implisit

Fungsi %%y = f(x)%% didefinisikan dengan cara analitis implisit, jika relasi $$F(x,y) = 0 diberikan, ~~~~~~~~~~(1)$$ menghubungkan nilai fungsi %%y%% dan argumen %% x%%. Jika diberikan nilai argumen, maka untuk menemukan nilai %%y%% yang sesuai dengan nilai tertentu %%x%%, perlu untuk menyelesaikan persamaan %%(1)%% sehubungan dengan %%y%% pada nilai tertentu %%x%%.

Diberikan nilai %%x%%, persamaan %%(1)%% mungkin tidak memiliki solusi atau lebih dari satu solusi. Dalam kasus pertama, nilai yang ditentukan %%x%% tidak berada dalam cakupan fungsi implisit, dan dalam kasus kedua ditentukan fungsi multinilai, yang memiliki lebih dari satu nilai untuk nilai argumen yang diberikan.

Perhatikan bahwa jika persamaan %%(1)%% dapat diselesaikan secara eksplisit sehubungan dengan %%y = f(x)%%, maka kita memperoleh fungsi yang sama, tetapi sudah didefinisikan dengan cara analitis eksplisit. Jadi, persamaan %%x + y^5 - 1 = 0%%

dan persamaan %%y = \sqrt(1 - x)%% mendefinisikan fungsi yang sama.

Definisi fungsi parametrik

Ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% tidak diberikan secara langsung, melainkan ketergantungan dari kedua variabel %%x%% dan %%y%% pada beberapa variabel tambahan ketiga %%t%% diberikan dalam bentuk

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$mereka membicarakan parametrik metode pengaturan fungsi;

maka variabel bantu %%t%% disebut parameter.

Jika memungkinkan untuk mengecualikan parameter %%t%% dari persamaan %%(2)%%, maka parameter tersebut menjadi fungsi yang diberikan oleh ketergantungan analitik eksplisit atau implisit dari %%y%% pada %%x%% . Misalnya, dari relasi $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ kecuali untuk parameter % %t%% kita mendapatkan ketergantungan %%y = 2 x + 2%%, yang menetapkan garis lurus pada bidang %%xOy%%.

cara grafis

Contoh definisi grafis dari suatu fungsi

Contoh di atas menunjukkan bahwa cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi sesuai dengan gambar grafis, yang dapat dianggap sebagai bentuk yang nyaman dan visual untuk menggambarkan suatu fungsi. Terkadang digunakan cara grafis mendefinisikan fungsi ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% diberikan oleh sebuah garis pada bidang %%xOy%%. Namun, untuk semua kejelasannya, ia kehilangan akurasi, karena nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai hanya dapat diperoleh dari grafik secara kira-kira. Kesalahan yang dihasilkan tergantung pada skala dan akurasi pengukuran absis dan ordinat dari titik-titik individu grafik. Di masa depan, kami akan menetapkan grafik fungsi hanya peran menggambarkan perilaku fungsi dan oleh karena itu kami akan membatasi diri untuk membangun "sketsa" grafik yang mencerminkan fitur utama fungsi.

Cara tabel

Catatan cara tabel penetapan fungsi, ketika beberapa nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai ditempatkan dalam tabel dalam urutan tertentu. Ini adalah bagaimana tabel terkenal fungsi trigonometri, tabel logaritma, dll dibangun. Dalam bentuk tabel, hubungan antara besaran yang diukur dalam studi eksperimental, pengamatan, dan tes biasanya disajikan.

Kerugian dari metode ini adalah ketidakmungkinan untuk secara langsung menentukan nilai fungsi untuk nilai argumen yang tidak termasuk dalam tabel. Jika ada keyakinan bahwa nilai argumen yang tidak disajikan dalam tabel termasuk dalam domain fungsi yang dipertimbangkan, maka nilai fungsi yang sesuai dapat dihitung kira-kira menggunakan interpolasi dan ekstrapolasi.

Contoh

Cara algoritmik dan verbal untuk menentukan fungsi

Fungsinya bisa diatur algoritmik(atau terprogram) dengan cara yang banyak digunakan dalam perhitungan komputer.

Akhirnya, dapat dicatat deskriptif(atau lisan) cara menentukan suatu fungsi, ketika aturan untuk mencocokkan nilai-nilai fungsi dengan nilai-nilai argumen dinyatakan dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi %%[x] = m~\forall (x \in . Namun, dan ini penting untuk ditekankan, seiring berkembangnya informasi tentang analisis, operasi lain akan ditambahkan ke nomornya, pertama-tama, bagian ke batas, yang pembaca sudah akrab dari Bab I.

Dengan demikian, isi lengkap dari istilah "ekspresi analitis" atau "rumus" hanya akan terungkap secara bertahap.

2° Pernyataan kedua berkaitan dengan domain definisi suatu fungsi dengan ekspresi atau rumus analitik.

Setiap ekspresi analitik yang mengandung argumen x memiliki, sehingga dapat dikatakan, ruang lingkup alami: itu adalah himpunan semua nilai x yang mempertahankan maknanya, yaitu, memiliki nilai nyata yang terdefinisi dengan baik. Mari kita jelaskan ini dengan contoh sederhana.

Jadi, untuk sebuah ekspresi, area seperti itu akan menjadi seluruh himpunan bilangan real. Untuk sebuah ekspresi, area ini akan direduksi menjadi interval tertutup di mana nilainya tidak lagi menjadi nyata. Sebaliknya, ekspresi harus memasukkan celah terbuka sebagai ruang lingkup alaminya, karena pada akhirnya penyebutnya menjadi 0. Terkadang rentang nilai yang maknanya dipertahankan ekspresi terdiri dari celah yang tersebar: untuk ini akan ada celah untuk - celah, dll.

Sebagai contoh terakhir, pertimbangkan jumlah deret geometri tak hingga

Jika kemudian, seperti yang kita ketahui, batas ini ada dan memiliki nilai . Untuk , limitnya sama atau tidak ada sama sekali. Jadi, untuk ekspresi analitik di atas, ruang lingkup alami akan menjadi interval terbuka

Dalam presentasi berikut, kita harus mempertimbangkan ekspresi analitik yang lebih kompleks dan lebih umum, dan kita akan lebih dari sekali mempelajari sifat-sifat fungsi yang diberikan oleh ekspresi serupa di seluruh wilayah di mana ia mempertahankan makna, yaitu, studi tentang perangkat analitik itu sendiri.

Namun, keadaan lain juga mungkin, yang kami anggap perlu untuk menarik perhatian pembaca terlebih dahulu. Mari kita bayangkan bahwa beberapa pertanyaan tertentu, di mana variabel x pada dasarnya terbatas pada kisaran X, mengarah pada pertimbangan fungsi yang mengakui ekspresi analitik. Meskipun mungkin saja ungkapan ini masuk akal di luar wilayah X, tentu saja tidak mungkin untuk melampauinya. Di sini ekspresi analitis memainkan peran pembantu dan bawahan.

Misalnya, jika, menyelidiki jatuh bebas dari titik berat dari ketinggian di atas permukaan bumi, kami menggunakan rumus

Tidak masuk akal untuk mempertimbangkan nilai negatif t atau nilai lebih besar dari untuk, karena mudah dilihat, di , titik sudah akan jatuh ke tanah. Dan ini terlepas dari kenyataan bahwa ekspresi itu sendiri - mempertahankan maknanya untuk semua nyata.

3° Mungkin saja suatu fungsi tidak didefinisikan oleh rumus yang sama untuk semua nilai argumen, tetapi untuk beberapa dengan satu rumus dan untuk yang lain oleh yang lain. Contoh fungsi di antaranya adalah fungsi yang didefinisikan oleh tiga rumus berikut:

dan terakhir jika .

Kami juga menyebutkan fungsi Dirichlet (P. G. Lejeune-Dinchlet), yang didefinisikan sebagai berikut:

Akhirnya, bersama dengan Kronecker (L. Kroneckcf) kita akan mempertimbangkan fungsi, yang disebutnya "signum" dan dilambangkan dengan