Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.
Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Masalah aljabar dengan parameter, nilai 9–11
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"
1. Lingkaran angka dalam hidup.
2. Definisi lingkaran numerik.
3. Tampilan umum dan panjang lingkaran numerik.
4. Lokasi titik-titik utama lingkaran.
Lingkaran angka dan kehidupan
Dalam kehidupan nyata, gerak melingkar adalah hal biasa. Misalnya, kompetisi bersepeda yang menyelesaikan putaran tertentu melawan waktu atau kompetisi mobil balap yang harus menyelesaikan putaran paling banyak dalam waktu tertentu.
Pertimbangkan contoh spesifik…
Seorang pelari berlari melingkar sepanjang 400 meter. Atlet mulai dari titik A (gbr. 1) dan bergerak berlawanan arah jarum jam. Di mana dia akan berada di 200 m, 800 m, 1500 m? Dan di mana menggambar garis finis jika pelari harus berlari 4195 m? 
Keputusan:
Setelah 200 m, pelari akan berada di titik C. Karena ia akan berlari tepat setengah jarak.
Setelah berlari 800 m, pelari akan melakukan tepat dua putaran dan berakhir di titik A.
1500m adalah 3 putaran 400m (1200m) dan 300m lagi, yaitu $\frac(3)(4)$ dari lintasan, menyelesaikan jarak ini di titik D.
Di mana pelari kita setelah berlari 4195 m? 10 putaran adalah 4000m, 195m masih harus dijalankan, yang berjarak 5m kurang dari setengah jarak. Jadi garis finis akan berada di titik K yang terletak di dekat titik C.
Pengertian lingkaran bilangan
Ingat!adalah lingkaran satuan yang titik-titiknya bersesuaian dengan bilangan real tertentu. lingkaran satuan disebut lingkaran berjari-jari 1.
Tampilan umum dari lingkaran angka
1) Radius lingkaran diambil sebagai satuan ukuran.
2) Horisontal diameter dilambangkan AC, dengan A menjadi titik paling kanan. Vertikal diameter ditunjuk BD, dengan B menjadi titik tertinggi.
Diameter AC dan BD membagi lingkaran menjadi empat bagian:
babak pertama adalah busur AB.
kuarter kedua- busur SM.
kuarter ketiga- CD busur.
kuarter keempat- busur DA.
3) titik pangkal lingkaran angka - titik A.
Menghitung dari titik A berlawanan arah jarum jam disebut arah positif. Menghitung dari titik A searah jarum jam disebut arah negatif.
Panjang lingkaran bilangan
Panjang lingkaran numerik dihitung dengan rumus:$L = 2 * R = 2 * 1 = 2 $.
Karena ini adalah lingkaran satuan, maka $R = 1$.
Jika kita mengambil $π 3,14$, maka keliling L dapat dinyatakan sebagai angka:
$2 2 * 3,14 = $6,28.
Panjang setiap kuartal adalah: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$.
Lokasi titik-titik utama lingkaran
Poin utama pada lingkaran dan namanya ditunjukkan pada gambar:
Masing-masing dari empat perempat lingkaran numerik dibagi menjadi tiga bagian yang sama. Di dekat masing-masing dari dua belas poin yang diperoleh, sebuah nomor tertulis yang sesuai dengannya.
Pernyataan berikut ini benar untuk lingkaran bilangan:Jika sebuah titik $M$ dari lingkaran bilangan bersesuaian dengan suatu bilangan $t$ , maka titik tersebut juga sesuai dengan bilangan berbentuk $t+2π *k$, di mana $k$ adalah bilangan bulat. $M(t) = M(t+2π*k)$.
Pertimbangkan sebuah contoh.
Dalam lingkaran satuan, busur AB dibagi oleh titik M menjadi dua bagian yang sama, dan oleh titik K dan P menjadi tiga bagian yang sama. Berapa panjang busur: AM, MB, AK, KR, RB, AR, KM?
Panjang busur $AB =\frac(π)(2)$. Membaginya menjadi dua bagian yang sama dengan titik M, kita mendapatkan dua busur, masing-masing panjangnya $\frac(π)(4)$. Oleh karena itu $AM =MV=\frac(π)(4)$.
Busur AB dibagi menjadi tiga bagian yang sama dengan titik K dan P. Panjang setiap bagian yang dihasilkan sama dengan $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, yaitu $\frac(π )(6) $. Jadi, $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$.
Busur terdiri dari dua busur AK dan panjangnya - $\frac(π)(6)$. Jadi $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$.
Tetap menghitung panjang busur KM. Busur ini diperoleh dari busur AM dengan menghilangkan busur AK. Jadi, $KM = AM – AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$.
Tugas:
Temukan titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan angka yang diberikan:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$.
Keputusan:
Titik A sesuai dengan angka $2π$, karena melewati lingkaran dengan panjang $2π$, mis. tepat satu lingkaran, kita kembali sampai ke titik A.
Angka $\frac(7π)(2)$ sesuai dengan titik D, karena $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, mis. bergerak ke arah positif, Anda harus melewati seluruh lingkaran dan juga jalur dengan panjang $\frac(3π)(2)$, yang akan berakhir di titik D.
Titik M sesuai dengan bilangan $\frac(π)(4)$, karena bergerak ke arah positif, Anda harus melalui jalur setengah busur AB dengan panjang $\frac(π)(2)$, yang akan berakhir di titik M.
Angka $-\frac(3π)(2)$ sesuai dengan titik B, karena bergerak ke arah negatif dari titik A, Anda harus melalui jalur dengan panjang $\frac(3π)(2)$, yang akan berakhir di titik B.
Contoh.
Temukan titik pada lingkaran angka:
a) $21\frac(π)(4)$;
b) $-37\frac(π)(6)$.
Keputusan:
Mari kita gunakan rumus: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 slide) kita dapatkan:
a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, maka angka $\frac(21π)(4)$ sesuai dengan angka yang sama dengan angka $\frac(5)(4π)$ - pertengahan kuartal ketiga.
b) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π )(6)$. Oleh karena itu, angka $-\frac(37π)(6)$ sesuai dengan angka yang sama dengan angka $-\frac(1)(6π)$. Sama seperti $\frac(11π)(6)$.
Contoh.
Temukan semua angka t yang sesuai dengan titik-titik pada lingkaran angka yang termasuk dalam busur yang diberikan:
a) WA;
b.MK.
Keputusan:
a) Busur BA adalah busur yang berawal di titik B dan berakhir di titik A, yang bergerak sepanjang lingkaran berlawanan arah jarum jam. Titik B masing-masing sama dengan $\frac(π)(2)$, dan titik A sama dengan $2π$. Oleh karena itu, untuk titik t kita memiliki: $\frac(π)(2) t 2π$. Tetapi menurut rumus pada slide 8, angka $\frac(π)(2)$ dan $2π$ sesuai dengan angka dalam bentuk $\frac(π)(2)+2π*k$ dan $2π+2π *k$, masing-masing.
$\frac(π)(2) +2π*k t ≤ 2π +2π*k$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
b) Busur MK adalah busur yang berawal di titik M dan berakhir di titik K. Titik M berturut-turut sama dengan $-\frac(3π)(4)$, dan titik K sama dengan ke $\frac(π)(4)$.
Jadi untuk titik t kita punya:
$\frac(-3π)(4) t \frac(π)(4)$.
Menurut rumus pada slide 8, angka $-\frac(3π)(4)$ dan $\frac(π)(4)$ sesuai dengan angka dalam bentuk: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ dan $\ frac(π)(4)+2π*k$ berturut-turut.
Kemudian nomor kami t mengambil nilai:
$-\frac(3π)(4)+2π*k t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
Tugas untuk solusi independen
1) Pada lingkaran satuan, busur BC dibagi oleh titik T menjadi dua bagian yang sama, dan oleh titik K dan P menjadi tiga bagian yang sama. Berapa panjang busur: BT, TS, VC, CR, RS, BP, CT?
2) Temukan titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan angka yang diberikan:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$.
3) Temukan semua angka t, yang pada lingkaran angka sesuai dengan titik-titik milik busur yang diberikan:
a) AB;
b) AC;
c) PM, di mana P adalah titik tengah busur AB dan titik M adalah titik tengah DA.
3) nomor
mari kita cocokkan titiknya.
Lingkaran satuan dengan korespondensi yang ditetapkan akan disebut
lingkaran angka.
Ini adalah model geometrik kedua untuk himpunan real
angka. Model pertama - garis bilangan - siswa sudah tahu. Ada
analogi: untuk garis bilangan, aturan korespondensi (dari angka ke titik)
hampir sama persis. Tetapi ada juga perbedaan mendasar - sumbernya
kesulitan utama dalam bekerja dengan lingkaran angka: pada garis lurus, masing-masing
titik sesuai satu-satunya nomor, pada lingkaran tidak. Jika sebuah
lingkaran sesuai dengan angka, maka itu sesuai dengan semua
nomor formulir
Di mana panjang lingkaran satuan, dan merupakan bilangan bulat
Beras. satu
angka yang menunjukkan jumlah putaran penuh lingkaran dalam satu arah atau lainnya
samping.
Momen ini sulit bagi siswa. Mereka harus ditawarkan
memahami esensi dari tugas nyata:
Lintasan lari stadion panjangnya 400m, pelari berjarak 100m
dari titik awal. Jalan apa yang dia ambil? Jika dia baru saja mulai berlari, maka
berlari 100 m; jika Anda berhasil menjalankan satu putaran, maka - (
Dua lingkaran - () ; jika kamu bisa lari
lingkaran, maka jalannya adalah (
) . Sekarang Anda dapat membandingkan
hasil yang diperoleh dengan ekspresi
Contoh 1 Angka apa yang sesuai dengan titik?
lingkaran angka
Keputusan. Karena panjang seluruh lingkaran
Itu adalah panjang seperempatnya
Oleh karena itu, untuk semua bilangan berbentuk
Demikian pula, ditetapkan nomor mana yang sesuai dengan poin
disebut masing-masing yang pertama, kedua, ketiga,
perempat keempat dari lingkaran angka.
Semua trigonometri sekolah didasarkan pada model numerik
lingkaran. Pengalaman menunjukkan bahwa kekurangan dengan model ini juga
pengenalan fungsi trigonometri yang tergesa-gesa tidak memungkinkan untuk membuat
dasar yang kuat untuk asimilasi materi yang sukses. Oleh karena itu, tidak
Anda perlu bergegas, dan luangkan waktu untuk mempertimbangkan hal-hal berikut:
lima jenis masalah yang berbeda dengan lingkaran angka.
Jenis tugas pertama. Menemukan titik pada lingkaran numerik,
sesuai dengan angka yang diberikan, dinyatakan dalam pecahan angka
Contoh 2
angka
Keputusan. Mari kita membagi busur
menjadi dua dengan satu titik menjadi tiga bagian yang sama -
titik-titik
(Gbr. 2). Kemudian
Jadi nomornya
Poin yang sesuai
nomor
Contoh
3.
pada
numerik
lingkaran
poin,
nomor yang sesuai:
Keputusan. Kami akan membangun
a) Menunda busur
(panjangnya
) Lima kali
dari titik
ke arah negatif
mendapatkan poin
b) Menunda busur
(panjangnya
) tujuh kali dari
ke arah positif, kita mendapatkan titik yang memisahkan
bagian ketiga dari busur
Ini akan sesuai dengan nomor
c) Menunda busur
(panjangnya
) lima kali dari titik
positif
arah, kita mendapatkan poin
Memisahkan bagian ketiga dari busur. Dia dan
akan cocok dengan nomor
(pengalaman menunjukkan bahwa lebih baik menunda bukan
lima kali lipat
Dan 10 kali
Setelah contoh ini, adalah tepat untuk memberikan dua tata letak utama numerik
lingkaran: pada yang pertama (Gbr. 3) semua perempat dibagi dua, di
yang kedua (Gbr. 4) - menjadi tiga bagian yang sama. Tata letak ini berguna untuk dimiliki di kantor
matematika.
Beras. 2
Beras. 3 Beras. 4
Pastikan untuk mendiskusikan dengan siswa pertanyaan: apa yang akan terjadi jika
masing-masing tata letak bergerak tidak positif, tetapi negatif
arah? Pada tata letak pertama, poin yang dipilih harus ditetapkan
"nama" lainnya: masing-masing
dll.; pada tata letak kedua:
Jenis tugas kedua. Menemukan titik pada lingkaran numerik,
sesuai dengan angka yang diberikan, tidak dinyatakan dalam pecahan angka
Contoh 4 Temukan titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan
nomor 1; 2; 3; -5.
Keputusan.
Di sini kita harus mengandalkan fakta bahwa
Oleh karena itu poin 1
terletak di busur
lebih dekat ke intinya
Poin 2 dan 3 ada di busur, yang pertama adalah
Yang kedua lebih dekat ke (Gbr. 5).
Mari kita lihat lebih dekat
untuk menemukan titik yang sesuai dengan angka - 5.
Bergerak dari satu titik
ke arah negatif, yaitu searah jarum jam
Beras. 5
anak panah. Jika kita pergi ke arah ini to the point
Mendapatkan
Ini berarti bahwa titik yang sesuai dengan angka - 5 berada
sedikit ke kanan titik
(lihat gbr.5).
Jenis tugas ketiga. Persiapan catatan analitis (ganda
pertidaksamaan) untuk busur lingkaran numerik.
Faktanya, kami bertindak berdasarkan
rencana yang sama yang digunakan dalam 5-8
kelas untuk mempelajari garis bilangan:
pertama-tama temukan titik dengan angka, lalu dengan
titik - angka, lalu gunakan ganda
ketidaksetaraan untuk menulis kesenjangan pada
nomor baris.
Pertimbangkan, misalnya, sebuah open
Di mana bagian tengah yang pertama?
seperempat lingkaran bilangan, dan
- tengahnya
kuartal kedua (Gbr. 6).
Ketidaksetaraan yang mencirikan busur, mis. mewakili
Model analitis busur diusulkan untuk dikompilasi dalam dua tahap. Pada yang pertama
panggung merupakan inti catatan analitis(ini adalah hal utama yang harus diikuti
mengajar siswa) untuk busur tertentu
Pada yang kedua
panggung membuat catatan umum:
Jika kita berbicara tentang arc
Kemudian, saat menulis kernel, Anda perlu mempertimbangkan bahwa
() terletak di dalam busur, dan karena itu Anda harus pindah ke awal busur
ke arah negatif. Oleh karena itu, inti dari notasi analitik dari busur
memiliki bentuk
Beras. 6
Istilah "kernel analitis"
catatan busur", "catatan analitis
busur" tidak diterima secara umum,
pertimbangan.
Keempat
tugas.
Temuan
Kartesius
koordinat
titik lingkaran angka, pusat
yang digabungkan dengan awal sistem
koordinat.
Mari kita pertimbangkan satu poin yang agak halus, sampai sekarang
praktis tidak disebutkan dalam buku pelajaran sekolah saat ini.
Mulai mempelajari model "lingkaran numerik pada koordinat
pesawat", guru harus menyadari dengan jelas kesulitan apa yang menunggu
siswa di sini. Kesulitan-kesulitan ini terkait dengan fakta bahwa dalam studi ini
model dari anak sekolah diharuskan memiliki level yang cukup tinggi
budaya matematika, karena mereka harus bekerja secara bersamaan dalam
dua sistem koordinat - dalam "kurvilinear", ketika informasi tentang
posisi titik diambil sepanjang lingkaran (bilangan
sesuai dengan
titik lingkaran
(); adalah "koordinat lengkung" dari titik tersebut), dan dalam
Sistem koordinat persegi panjang Cartesian (pada titik
Suka setiap poin
bidang koordinat, ada absis dan ordinat). Tugas guru adalah membantu
anak sekolah dalam mengatasi kesulitan alam tersebut. Sayangnya,
biasanya di buku pelajaran sekolah mereka tidak memperhatikan hal ini dan dari awal
pelajaran pertama menggunakan catatan
Tidak mempertimbangkan bahwa surat di
dalam pikiran anak sekolah jelas terkait dengan absis di Cartesian
sistem koordinat persegi panjang, dan bukan dengan panjang yang ditempuh sepanjang numerik
lingkaran jalan. Oleh karena itu, ketika bekerja dengan lingkaran angka, seseorang tidak boleh
menggunakan simbol
Beras. 7
Mari kembali ke jenis tugas keempat. Ini tentang pindah dari menulis
catatan
(), yaitu dari koordinat lengkung ke kartesius.
Mari kita gabungkan lingkaran bilangan dengan sistem persegi panjang Cartesian
koordinat seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 7. Kemudian titik
akan memiliki
koordinat berikut:
() () () (). Sangat penting
Ajarkan siswa untuk menentukan koordinat semua titik yang
ditandai pada dua layout utama (lihat Gbr.3,4). Untuk poin
Semuanya bermuara pada
mempertimbangkan segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi miring
Kakinya sama
Jadi koordinatnya
). Hal yang sama berlaku untuk poin.
Tetapi satu-satunya perbedaan adalah Anda harus memperhitungkannya
absis dan tanda ordinat. Secara khusus:
Apa yang harus diingat siswa? Hanya modul absis dan
ordinat di titik tengah semua perempat adalah sama
Dan mereka harus tahu tanda-tandanya
tentukan untuk setiap titik langsung dari gambar.
Untuk poin
Semuanya bermuara pada mempertimbangkan persegi panjang
segitiga dengan hipotenusa 1 dan sudut
(Gbr. 9). Kemudian kateter
sudut berlawanan
Akan sama
bersebelahan
√
Cara,
koordinat titik
Hal yang sama berlaku untuk intinya
hanya kaki yang "berubah tempat", dan karena itu
Beras. delapan
Beras. sembilan
kita mendapatkan
). Ini adalah artinya
(sampai tanda-tanda) dan akan menjadi
"melayani" semua titik dari tata letak kedua (lihat Gambar 4), kecuali untuk poin
sebagai absis dan ordinat. Cara mengingat yang disarankan: "mana yang lebih pendek,
; dimana lebih panjang
Contoh 5 Cari koordinat titik
(lihat Gbr.4).
Keputusan. Dot
Lebih dekat ke sumbu vertikal daripada ke
mendatar, yaitu modulus absisnya lebih kecil dari modulus ordinatnya.
Jadi modulus absisnya adalah
Modul ordinatnya adalah
tanda di keduanya
kasus negatif (kuartal ketiga). Kesimpulan: titik
Memiliki koordinat
Dalam jenis masalah keempat, koordinat Cartesian dari semua
poin yang disajikan pada tata letak pertama dan kedua disebutkan
Sebenarnya, dalam pelaksanaan tugas jenis ini, kami mempersiapkan siswa untuk
perhitungan nilai fungsi trigonometri. Jika semuanya ada di sini
berhasil dengan cukup andal, lalu transisi ke tingkat abstraksi yang baru
(ordinat - sinus, absis - kosinus) akan lebih menyakitkan daripada
Jenis keempat mencakup tugas-tugas jenis ini: untuk suatu titik
menemukan tanda-tanda koordinat kartesius
Keputusan tersebut seharusnya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa: nomor
titik pertandingan
Kuartal keempat artinya.
Jenis tugas kelima. Menemukan titik pada lingkaran numerik dengan
koordinat yang diberikan.
Contoh 6 Temukan titik dengan ordinat pada lingkaran angka
tuliskan angka apa yang sesuai dengan mereka.
Keputusan. Lurus
Melintasi lingkaran angka di titik
(Gbr. 11). Dengan bantuan tata letak kedua (lihat Gambar 4), kami menetapkan intinya
sesuai dengan nomor
Jadi dia
cocok dengan semua nomor formulir
sesuai dengan nomor
Dan itu berarti
semua nomor formulir
Menjawab:
Contoh 7 Temukan di numerik
titik lingkaran dengan absis
tuliskan angka apa yang sesuai dengan mereka.
Keputusan.
Lurus
√
memotong lingkaran bilangan di titik-titik
- di tengah kuartal kedua dan ketiga (Gbr. 10). Dengan bantuan yang pertama
tata letak atur titik itu
sesuai dengan nomor
Dan itu berarti semua orang
nomor formulir
sesuai dengan nomor
Dan itu berarti semua orang
nomor formulir
Menjawab:
Anda harus menunjukkan opsi kedua.
catat jawabannya misalnya 7. Lagi pula, intinya
sesuai dengan nomor
Itu. semua nomor formulir
kita mendapatkan:
Beras. sepuluh
Gbr.11
Tekankan pentingnya yang tak terbantahkan
jenis tugas kelima. Bahkan, kami mengajar
anak sekolah
keputusan
protozoa
persamaan trigonometri: pada contoh 6
ini tentang persamaan
Dan dalam contoh
- tentang persamaan
pemahaman tentang esensi materi penting untuk diajarkan
anak sekolah memecahkan persamaan jenis
sepanjang lingkaran bilangan
jangan terburu-buru ke dalam formula
Pengalaman menunjukkan bahwa jika tahap pertama (mengerjakan
lingkaran numerik) tidak berhasil cukup andal, maka tahap kedua
(mengerjakan rumus) dirasakan oleh anak sekolah secara formal, bahwa,
Secara alami, itu harus diatasi.
Mirip dengan contoh 6 dan 7 harus ditemukan pada lingkaran angka
poin dengan semua ordinat "utama" dan absis
Sebagai mata pelajaran khusus, adalah tepat untuk memilih hal-hal berikut:
Catatan 1. Dalam istilah propaedeutic, persiapan
mengerjakan topik "Panjang lingkaran" dalam pelajaran geometri kelas 9. Penting
nasihat: sistem latihan harus mencakup tugas-tugas dari jenis yang diusulkan
di bawah. Lingkaran satuan dibagi menjadi empat bagian yang sama dengan titik
busur dibagi dua oleh satu titik dan busur dibagi dua oleh titik
menjadi tiga bagian yang sama (Gbr. 12). Berapa panjang busur
(diasumsikan bahwa keliling lingkaran dilakukan secara positif
arah)?
Beras. 12
Jenis tugas kelima termasuk bekerja dengan kondisi seperti
cara
ke
keputusan
protozoa
ketidaksetaraan trigonometri, kami juga "cocok" secara bertahap.
lima pelajaran dan hanya di pelajaran keenam definisi sinus dan
cosinus sebagai koordinat titik pada lingkaran numerik. Di mana
disarankan untuk menyelesaikan semua jenis masalah dengan anak sekolah lagi, tetapi dengan
menggunakan notasi yang diperkenalkan, menawarkan untuk melakukan seperti itu
misalnya, tugas: menghitung
selesaikan persamaannya
ketidaksamaan
dll. Kami menekankan bahwa dalam pelajaran pertama
trigonometri persamaan trigonometri sederhana dan pertidaksamaan
tidak sasaran pelatihan, tetapi digunakan sebagai fasilitas untuk
menguasai hal utama - definisi sinus dan kosinus sebagai koordinat titik
lingkaran angka.
Biarkan nomornya
titik pertandingan
lingkaran angka. Maka absisnya
ditelepon cosinus suatu bilangan
dan dilambangkan
Dan ordinatnya disebut sinus suatu bilangan
dan ditandai. (Gbr. 13).
Dari definisi ini seseorang dapat segera
atur tanda sinus dan cosinus sesuai dengan
perempat: untuk sinus
Untuk kosinus
Dedikasikan seluruh pelajaran untuk ini (sebagaimana adanya
diterima) hampir tidak sesuai. Jangan lakukan itu
paksa anak sekolah untuk menghafal tanda-tanda ini: mekanik apa pun
menghafal, menghafal adalah teknik kekerasan yang siswa,
Pada artikel ini, kami akan menganalisis dengan sangat rinci definisi lingkaran numerik, mencari tahu properti utamanya dan mengatur angka 1,2,3, dll. Tentang cara menandai angka lain pada lingkaran (misalnya, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) mengerti .
Lingkaran angka sebut lingkaran dengan jari-jari satuan, yang titik-titiknya sesuai dengan diatur menurut aturan sebagai berikut:
1) Titik asal berada di titik paling kanan lingkaran;
2) Berlawanan arah jarum jam - arah positif; searah jarum jam - negatif;
3) Jika kita plot jarak \(t\) pada lingkaran ke arah positif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(t\);
4) Jika kita plot jarak \(t\) pada lingkaran dalam arah negatif, maka kita akan sampai ke titik dengan nilai \(–t\).
Mengapa lingkaran disebut bilangan?
Karena ada nomornya. Dalam hal ini, lingkaran mirip dengan sumbu angka - pada lingkaran, serta pada sumbu, untuk setiap angka ada titik tertentu.
Mengapa tahu apa itu lingkaran angka?
Dengan bantuan lingkaran numerik, nilai sinus, cosinus, garis singgung, dan kotangen ditentukan. Oleh karena itu, untuk mengetahui trigonometri dan lulus ujian dengan poin 60+, sangat penting untuk memahami apa itu lingkaran angka dan bagaimana menempatkan titik di atasnya.
Apa arti kata "... dari radius satuan ..." dalam definisi?
Ini berarti jari-jari lingkaran ini adalah \(1\). Dan jika kita membuat lingkaran seperti itu yang berpusat di titik asal, maka lingkaran itu akan berpotongan dengan sumbu di titik \(1\) dan \(-1\).
Tidak perlu menggambarnya kecil, Anda dapat mengubah "ukuran" divisi di sepanjang sumbu, maka gambar akan lebih besar (lihat di bawah).
Mengapa radiusnya tepat satu? Lebih mudah, karena dalam hal ini, saat menghitung keliling menggunakan rumus \(l=2πR\), kita mendapatkan:
Panjang lingkaran bilangan adalah \(2π\) atau kira-kira \(6,28\).
Dan apa yang dimaksud dengan "... titik-titik yang sesuai dengan bilangan real"?
Seperti disebutkan di atas, pada lingkaran angka untuk bilangan real apa pun, pasti akan ada "tempatnya" - titik yang sesuai dengan angka ini.
Mengapa menentukan asal dan arah pada lingkaran bilangan?
Tujuan utama dari lingkaran angka adalah untuk secara unik menentukan titiknya untuk setiap angka. Tetapi bagaimana Anda bisa menentukan di mana harus mengakhiri jika Anda tidak tahu harus menghitung dari mana dan ke mana harus bergerak?
Di sini penting untuk tidak membingungkan titik asal pada garis koordinat dan lingkaran angka - ini adalah dua sistem referensi yang berbeda! Juga, jangan bingung \(1\) pada sumbu \(x\) dan \(0\) pada lingkaran - ini adalah titik pada objek yang berbeda.
Poin apa yang sesuai dengan angka \(1\), \(2\), dll?
Ingat, kita berasumsi bahwa jari-jari lingkaran bilangan adalah \(1\)? Ini akan menjadi segmen tunggal kami (dengan analogi dengan sumbu angka), yang akan kami tempatkan pada lingkaran.
Untuk menandai titik pada lingkaran angka yang sesuai dengan angka 1, Anda harus melakukan perjalanan dari 0 jarak yang sama dengan jari-jari ke arah positif.
Untuk menandai sebuah titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka \(2\), Anda harus menempuh jarak yang sama dengan dua jari-jari dari titik asal, sehingga \(3\) adalah jarak yang sama dengan tiga jari-jari, dst.
Melihat gambar ini, Anda mungkin memiliki 2 pertanyaan:
1. Apa yang akan terjadi ketika lingkaran "berakhir" (yaitu kita membuat lingkaran penuh)?
Jawaban: ayo pergi ke babak kedua! Dan ketika yang kedua selesai, kita akan pergi ke yang ketiga dan seterusnya. Oleh karena itu, jumlah angka yang tak terbatas dapat diterapkan pada lingkaran.
2. Dimana angka negatifnya?
Jawaban: di sana! Mereka juga dapat diatur, menghitung dari nol jumlah jari-jari yang diperlukan, tetapi sekarang dalam arah negatif.
Sayangnya, sulit untuk menentukan bilangan bulat pada lingkaran bilangan. Ini disebabkan oleh fakta bahwa panjang lingkaran numerik tidak akan menjadi bilangan bulat: \ (2π \). Dan di tempat yang paling nyaman (di titik persimpangan dengan sumbu) juga tidak akan ada bilangan bulat, tetapi pecahan
Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.
Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi
Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.
Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.
Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.
Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:
- Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.
Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:
- Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
- Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
- Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
- Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.
Pengungkapan kepada pihak ketiga
Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.
Pengecualian:
- Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
- Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.
Perlindungan informasi pribadi
Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.
Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan
Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.
Kami mempersembahkan kepada Anda pelajaran video tentang topik "Lingkaran Numerik". Definisi diberikan tentang apa itu sinus, cosinus, tangen, kotangen, dan fungsi kamu= dosa x, kamu= karena x, kamu= tg x, kamu= ctg x untuk setiap argumen numerik. Kami mempertimbangkan tugas standar untuk korespondensi antara angka dan titik dalam lingkaran nomor satuan untuk menemukan satu titik untuk setiap angka, dan, sebaliknya, untuk menemukan untuk setiap titik satu set angka yang sesuai dengannya.
Topik: Unsur-unsur teori fungsi trigonometri
Pelajaran: Lingkaran Angka
Tujuan langsung kami adalah untuk mendefinisikan fungsi trigonometri: sinus, kosinus, garis singgung, kotangens-
Argumen numerik dapat diplot pada garis koordinat atau pada lingkaran.
Lingkaran seperti itu disebut lingkaran numerik atau satuan, karena. untuk kenyamanan, ambil lingkaran dengan
Misalnya, diberi titik, tandai pada garis koordinat
dan terus lingkaran angka.
Ketika bekerja dengan lingkaran angka, disepakati bahwa gerakan berlawanan arah jarum jam adalah arah positif, gerakan searah jarum jam adalah negatif.
Tugas umum - Anda perlu menentukan koordinat titik tertentu, atau, sebaliknya, menemukan titik dengan koordinatnya.
Garis koordinat membentuk korespondensi satu-satu antara titik dan angka. Misalnya, angka sesuai dengan titik A dengan koordinat
Setiap titik B dengan koordinat hanya dicirikan oleh satu angka - jarak dari 0 ke diambil dengan tanda plus atau minus.
Pada lingkaran bilangan, korespondensi satu-satu hanya bekerja dalam satu arah.
Misalnya, ada titik B pada lingkaran koordinat (Gbr. 2), panjang busurnya adalah 1, mis. titik ini sesuai dengan 1.
Diberikan sebuah lingkaran, maka keliling lingkaran Jika maka adalah panjang lingkaran satuan.
Jika kita menambahkan , kita mendapatkan titik B yang sama, lebih - kita juga mendapatkan titik B, kurangi - juga titik B.
Perhatikan titik B: panjang busur =1, maka angka-angka tersebut mencirikan titik B pada lingkaran angka.
Dengan demikian, angka 1 sesuai dengan satu-satunya titik lingkaran numerik - titik B, dan titik B sesuai dengan kumpulan titik yang tak terhitung jumlahnya. 
.
Berikut ini berlaku untuk lingkaran bilangan:
Jika T M lingkaran angka sesuai dengan angka maka itu juga sesuai dengan angka bentuk
Anda dapat membuat putaran penuh sebanyak mungkin di sekitar lingkaran angka ke arah positif atau negatif yang Anda suka - intinya sama. Oleh karena itu, persamaan trigonometri memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.
Misalnya, diberikan titik D. Berapa angka yang sesuai dengannya?
Kami mengukur busur.
himpunan semua bilangan yang bersesuaian dengan titik D.
Pertimbangkan poin utama pada lingkaran angka.
Panjang seluruh lingkaran.
Itu. catatan himpunan koordinat bisa berbeda .
Pertimbangkan tugas-tugas khas pada lingkaran angka.
1. Diberikan: . Temukan: titik pada lingkaran angka.
Kami memilih seluruh bagian:
Penting untuk menemukan m. pada lingkaran angka. 
, kemudian 
.
Set ini juga termasuk titik.
2. Diberikan: . Temukan: titik pada lingkaran angka.
Perlu menemukan t.
m. juga milik set ini.
Memecahkan masalah standar pada korespondensi antara angka dan titik pada lingkaran angka, kami menemukan bahwa adalah mungkin untuk menemukan satu titik untuk setiap angka, dan adalah mungkin untuk menemukan untuk setiap titik satu set angka yang dicirikan oleh yang diberikan titik.
Mari bagi busur menjadi tiga bagian yang sama dan tandai titik M dan N.
Mari kita cari semua koordinat titik-titik ini.
 |
Jadi, tujuan kami adalah untuk mendefinisikan fungsi trigonometri. Untuk melakukan ini, kita perlu mempelajari cara mengatur argumen fungsi. Kami mempertimbangkan titik-titik lingkaran satuan dan memecahkan dua masalah tipikal - untuk menemukan titik pada lingkaran angka dan menuliskan semua koordinat titik lingkaran satuan.
1. Mordkovich A.G. dan lain-lain.Aljabar kelas 9: Proc. Untuk pendidikan umum Institusi - edisi ke-4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 hal.: sakit.
2. Mordkovich A.G. et al Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.
3. Yu.N. Makarychev, Aljabar. Kelas 9: buku teks untuk siswa pendidikan umum. institusi / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Edisi ke-7, Pdt. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Aljabar. Kelas 9 edisi ke-16. - M., 2011. - 287 hal.
5. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-12, terhapus. — M.: 2010. — 224 hal.: sakit.
6. Aljabar. Kelas 9 Pada 2 jam Bagian 2. Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina dan lainnya; Ed. A.G. Mordkovich. - Edisi ke-12, Pdt. — M.: 2010.-223 hal.: sakit.
Mordkovich A.G. et al Aljabar Kelas 9: Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 hal.: sakit.
№№ 531; 536; 537; 541; 552.
