Memecahkan sistem persamaan nonlinier dan transendental.

Sistem persamaan nonlinier dan transendental. Solusi persamaan dalam bentuk numerik.

Metode numerik untuk memecahkan masalah

Radio Fisika dan Elektronika

(Tutorial)

Voronezh 2009

Buku teks disiapkan di Departemen Elektronika Fisika

Fakultas Universitas Negeri Voronezh.

Metode untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan analisis otomatis sirkuit elektronik dipertimbangkan. Konsep dasar teori graf diuraikan. Sebuah formulasi matriks-topologi hukum Kirchhoff diberikan. Metode topologi matriks yang paling terkenal dijelaskan: metode potensial nodal, metode arus loop, metode model diskrit, metode hybrid, metode variabel keadaan.

1. Perkiraan karakteristik nonlinier. Interpolasi. 6

1.1. Polinomial Newton dan Lagrange 6

1.2. Interpolasi Spline 8

1.3. Kuadrat Terkecil 9

2. Sistem persamaan aljabar 28

2.1. Sistem persamaan linier. metode Gauss. 28

2.2. Sistem persamaan yang jarang. faktorisasi LU. 36

2.3. Memecahkan persamaan non-linier 37

2.4. Sistem Penyelesaian Persamaan Nonlinier 40

2.5. persamaan diferensial. 44

2. Metode untuk mencari ekstrem. Optimasi. 28

2.1. Metode Pencarian Ekstrim. 36

2.2. Pencarian pasif 28

2.3. Pencarian berurutan 36

2.4. Optimasi multidimensi 37

Referensi 47

Perkiraan karakteristik nonlinier. Interpolasi.

1.1. Polinomial Newton dan Lagrange.

Ketika memecahkan banyak masalah, menjadi perlu untuk mengganti fungsi f, yang informasinya tidak lengkap atau bentuknya terlalu kompleks, dengan fungsi F yang lebih sederhana dan lebih nyaman, dekat dalam satu atau lain hal ke f, memberikan perkiraannya perwakilan. Untuk aproksimasi (perkiraan), digunakan fungsi F yang termasuk dalam kelas tertentu, misalnya polinomial aljabar dengan derajat tertentu. Ada banyak varian yang berbeda dari masalah aproksimasi fungsi, tergantung pada fungsi f mana yang didekati, fungsi F mana yang digunakan untuk aproksimasi, bagaimana kedekatan f dan F dipahami, dan seterusnya.

Salah satu metode untuk membangun fungsi aproksimasi adalah interpolasi, ketika diperlukan bahwa pada titik-titik tertentu (simpul interpolasi) nilai-nilai fungsi asli f dan fungsi aproksimasi F bertepatan. Dalam kasus yang lebih umum, nilai-nilai dari turunan pada titik-titik tertentu harus bertepatan.

Interpolasi fungsi digunakan untuk menggantikan fungsi yang sulit dihitung dengan fungsi lain yang lebih mudah dihitung; untuk perkiraan pemulihan suatu fungsi dari nilainya pada titik-titik individual; untuk diferensiasi numerik dan integrasi fungsi; untuk solusi numerik dari persamaan nonlinier dan diferensial, dll.

Masalah interpolasi yang paling sederhana adalah sebagai berikut. Untuk beberapa fungsi pada segmen, nilai n + 1 diberikan pada titik , yang disebut simpul interpolasi. Di mana . Diperlukan untuk membangun fungsi interpolasi F(x) yang mengambil nilai yang sama pada simpul interpolasi sebagai f(x):

F(x 0) \u003d f (x 0), F (x 1) \u003d f (x 1), ..., F (x n) \u003d f (x n)

Secara geometris, ini berarti menemukan kurva dengan tipe tertentu yang melalui sistem titik tertentu (x i , y i), i = 0,1,…,n.

Jika nilai argumen melampaui wilayah, maka mereka berbicara tentang ekstrapolasi - kelanjutan fungsi di luar wilayah definisinya.

Paling sering, fungsi F(x) dibangun sebagai polinomial aljabar. Ada beberapa representasi polinomial interpolasi aljabar.

Salah satu metode interpolasi fungsi yang mengambil nilai pada titik adalah konstruksi polinomial Lagrange, yang memiliki bentuk sebagai berikut:

Derajat polinomial interpolasi yang melalui n+1 simpul interpolasi adalah n.

Ini mengikuti dari bentuk polinomial Lagrange bahwa menambahkan titik simpul baru menyebabkan perubahan pada semua anggota polinomial. Ini adalah ketidaknyamanan rumus Lagrange. Tetapi metode Lagrange berisi jumlah minimum operasi aritmatika.

Untuk membangun polinomial Lagrange dengan derajat yang meningkat, skema iteratif berikut (skema Aitken) dapat diterapkan.

Polinomial yang melalui dua titik (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Polinomial melewati tiga titik (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n) dapat dinyatakan dalam polinomial L ij dan L jk:

Polinomial untuk empat titik (x i , y i) , (x j , y j) , (x k , y k) , (x l , y l) dibangun dari polinomial L ijk dan L jkl:

Proses berlanjut sampai diperoleh polinomial yang melalui n titik tertentu.

Algoritma untuk menghitung nilai polinomial Lagrange pada titik XX, yang mengimplementasikan skema Aitken, dapat ditulis menggunakan operator:

untuk (int i=0;i

untuk (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

akan menganggapnya sebagai kesalahan - deklarasi ulang variabel,

variabel i sudah dideklarasikan

untuk (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

di mana larik F adalah nilai tengah dari polinomial Lagrange. Awalnya, F[I] harus disetel sama dengan y i . Setelah menjalankan loop, F[N] adalah nilai polinomial Lagrange derajat N pada titik XX.

Bentuk lain dari representasi polinomial interpolasi adalah rumus Newton. Membiarkan menjadi node interpolasi yang berjarak sama; i=0,1,…,n ; - langkah interpolasi.

Rumus interpolasi pertama Newton, yang digunakan untuk interpolasi maju, adalah:

Ini disebut perbedaan (terhingga) dari orde ke-i. Mereka didefinisikan seperti ini:

Argumen yang dinormalisasi.

Pada , rumus interpolasi Newton berubah menjadi deret Taylor.

Rumus interpolasi ke-2 Newton digunakan untuk menginterpolasi "mundur":

Di entri terakhir, alih-alih perbedaan (disebut perbedaan "maju"), perbedaan "mundur" digunakan:

Dalam kasus node dengan jarak yang tidak sama, yang disebut. perbedaan yang terbagi

Dalam hal ini, polinomial interpolasi dalam bentuk Newton memiliki bentuk

Berbeda dengan rumus Lagrange, penambahan pasangan nilai baru. (x n +1 , y n +1) direduksi di sini untuk menambahkan satu suku baru. Oleh karena itu, jumlah node interpolasi dapat dengan mudah ditingkatkan tanpa mengulang seluruh perhitungan. Ini memungkinkan Anda untuk mengevaluasi keakuratan interpolasi. Namun, rumus Newton membutuhkan lebih banyak aritmatika daripada rumus Lagrange.

Untuk n=1, kita mendapatkan rumus interpolasi linier:

Untuk n=2 kita akan memiliki rumus interpolasi parabola:

Saat menginterpolasi fungsi, polinomial aljabar derajat tinggi jarang digunakan karena biaya komputasi yang signifikan dan kesalahan besar dalam menghitung nilai.

Dalam praktiknya, interpolasi linier sepotong-sepotong atau parabola parabola paling sering digunakan.

Dengan interpolasi linier sepotong-sepotong, fungsi f(x) pada interval (i=0,1,…,n-1) didekati dengan segmen garis lurus

Algoritma perhitungan yang mengimplementasikan interpolasi linier sepotong-sepotong dapat ditulis menggunakan operator:

untuk (int i=0;i

jika ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Menggunakan loop pertama, kami mencari di mana titik yang diinginkan berada.

Dalam interpolasi parabola piecewise, polinomial dibangun menggunakan 3 titik nodal yang paling dekat dengan nilai argumen yang diberikan.

Algoritma perhitungan yang mengimplementasikan interpolasi parabola piecewise dapat ditulis menggunakan operator:

untuk (int i=0;i

y0=Fy; Untuk i=0, elemen tidak ada!

x0=Fx; Sama

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Penggunaan interpolasi tidak selalu dianjurkan. Saat memproses data eksperimen, diinginkan untuk memuluskan fungsi. Perkiraan ketergantungan eksperimental dengan metode kuadrat terkecil berasal dari persyaratan meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata

Koefisien polinomial aproksimasi ditemukan dari solusi sistem persamaan linier m + 1, yang disebut. persamaan "normal" , k=0,1,…,m

Selain polinomial aljabar, polinomial trigonometri banyak digunakan untuk memperkirakan fungsi.

(lihat "analisis harmonik numerik").

Splines adalah alat yang efektif untuk mendekati suatu fungsi. Spline membutuhkan kebetulan nilai dan turunannya pada titik nodal dengan fungsi interpolasi f(x) dan turunannya hingga orde tertentu. Namun, konstruksi splines dalam beberapa kasus membutuhkan biaya komputasi yang signifikan.

1 | | | | | | | | | | | |

Seringkali diperlukan ekspresi analitik untuk karakteristik tegangan arus elemen non-linier. Ekspresi ini hanya dapat mewakili CVC, karena hukum fisika yang mengatur hubungan antara tegangan dan arus dalam perangkat nonlinier tidak dinyatakan secara analitis.

Tugas representasi analitik perkiraan dari suatu fungsi, yang diberikan secara grafis atau oleh tabel nilai, dalam batas-batas perubahan yang diberikan dalam argumennya (variabel independen) disebut pendekatan. Dalam hal ini, pertama, pilihan dibuat dari fungsi aproksimasi, yaitu, fungsi yang dengannya ketergantungan yang diberikan direpresentasikan secara kira-kira, dan, kedua, pilihan kriteria untuk menilai "kedekatan" ketergantungan ini dan fungsi aproksimasi dia.

Sebagai fungsi aproksimasi, paling sering, polinomial aljabar, beberapa fungsi pecahan rasional, eksponensial dan transendental atau satu set fungsi linier (segmen garis lurus) digunakan.

Kami berasumsi bahwa CVC dari elemen nonlinier saya= menyenangkan (u) diberikan secara grafis, yaitu didefinisikan pada setiap titik interval umin≤dan≤U maks, dan merupakan fungsi kontinu bernilai tunggal dari variabel dan. Maka masalah representasi analitik dari karakteristik tegangan-arus dapat dianggap sebagai masalah aproksimasi fungsi yang diberikan (х) dengan fungsi aproksimasi yang dipilih f(x).

Pada kedekatan yang mendekati f(x) dan didekati ( X) fungsi atau, dengan kata lain, kesalahan aproksimasi, biasanya dinilai dengan nilai absolut terbesar dari perbedaan antara fungsi-fungsi ini dalam interval aproksimasi sebuah≤ X≤ b, yaitu dalam ukuran

=maks f(x)- ξ( x)│

Seringkali, kriteria kedekatan dipilih sebagai nilai kuadrat rata-rata dari perbedaan antara fungsi-fungsi yang ditunjukkan dalam interval aproksimasi.

Terkadang, di bawah kedekatan dua fungsi f( x) dan ( x) memahami kebetulan pada titik tertentu

x= Ho fungsi itu sendiri dan P+ 1 turunannya.

Cara paling umum untuk memperkirakan fungsi analitik ke yang diberikan adalah interpolasi(metode titik yang dipilih) ketika fungsi f( x) dan ( x) pada titik-titik yang dipilih (di kejahatan interpolasi) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Kesalahan aproksimasi dapat dicapai semakin kecil, semakin besar jumlah parameter variabel yang termasuk dalam fungsi aproksimasi, misalnya, semakin tinggi derajat polinomial aproksimasi atau semakin besar jumlah segmen garis yang berisi fungsi putus-linier aproksimasi . Pada saat yang sama, tentu saja, volume perhitungan bertambah, baik dalam memecahkan masalah aproksimasi maupun dalam analisis rangkaian nonlinier selanjutnya. Kesederhanaan analisis ini, bersama dengan fitur dari fungsi yang didekati dalam interval aproksimasi, adalah salah satu kriteria terpenting ketika memilih jenis fungsi aproksimasi.

Dalam masalah mendekati karakteristik tegangan arus perangkat elektronik dan semikonduktor, biasanya tidak perlu berjuang untuk akurasi tinggi reproduksi mereka karena penyebaran yang signifikan dalam karakteristik perangkat dari sampel ke sampel dan pengaruh signifikan dari faktor destabilisasi pada mereka. , misalnya, suhu dalam perangkat semikonduktor. Dalam kebanyakan kasus, cukup "dengan benar" mereproduksi karakter rata-rata umum dari ketergantungan saya= f(kamu) dalam interval kerjanya. Agar dapat menghitung secara analitik rangkaian dengan elemen non-linier, perlu memiliki ekspresi matematika untuk karakteristik elemen. Karakteristik ini sendiri biasanya bersifat eksperimental, yaitu diperoleh sebagai hasil pengukuran elemen yang sesuai, dan kemudian data referensi (khas) dibentuk atas dasar ini. Prosedur untuk deskripsi matematis dari beberapa fungsi yang diberikan dalam matematika disebut aproksimasi dari fungsi ini. Ada beberapa jenis aproksimasi: berdasarkan titik yang dipilih, oleh Taylor, oleh Chebyshev, dll. Pada akhirnya, perlu untuk mendapatkan ekspresi matematis yang, dengan beberapa persyaratan yang diberikan, memenuhi fungsi aproksimasi asli.

Pertimbangkan metode paling sederhana: metode titik atau simpul yang dipilih dari interpolasi oleh polinomial pangkat.

Penting untuk menentukan koefisien polinomial. Untuk ini, pilih (n+1) titik pada fungsi yang diberikan dan sistem persamaan dikompilasi:

Dari sistem ini, koefisien ditemukan a 0, a 1 , a 2 , …, a n.

Pada titik yang dipilih, fungsi aproksimasi akan bertepatan dengan yang asli, di titik lain akan berbeda (kuat atau tidak - tergantung pada polinomial daya).

Anda dapat menggunakan polinomial eksponensial:

Metode kedua: Metode pendekatan Taylor . Dalam hal ini, satu titik dipilih di mana fungsi aslinya akan bertepatan dengan yang mendekati, tetapi kondisi tambahan diatur sehingga turunannya juga bertepatan pada titik ini.

Perkiraan Butterworth: polinomial paling sederhana dipilih:

Dalam hal ini, Anda dapat menentukan deviasi maksimum ε di ujung jangkauan.

Perkiraan menurut Chebyshev: adalah hukum pangkat, ia menetapkan kecocokan di beberapa titik dan meminimalkan deviasi maksimum dari fungsi yang mendekati dari yang asli. Dalam teori aproksimasi fungsi, terbukti bahwa simpangan mutlak terbesar dari polinomial f(x) derajat P dari fungsi kontinu ( X) akan seminimal mungkin jika dalam interval aproksimasi sebuah≤ X≤ b perbedaan

f( x) - ξ( X) tidak kurang dari n + 2 kali mengambil batas maksimum bergantian secara berurutan f(x) - ξ( X) = L > 0 dan terkecil f(x) - ξ( X) = -L nilai (kriteria Chebyshev).

Dalam banyak masalah yang diterapkan, aproksimasi polinomial dengan kriteria kedekatan akar-rata-rata-kuadrat digunakan, ketika parameter dari fungsi aproksimasi f(x) dipilih dari kondisi minimasi dalam interval aproksimasi sebuah≤ X≤ b deviasi fungsi kuadrat f(x) dari fungsi kontinu yang diberikan ( X), yaitu dari kondisi:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= menit (7)

Sesuai dengan aturan untuk menemukan ekstrem, solusi dari masalah direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier, yang dibentuk sebagai hasil dari menyamakan dengan nol turunan parsial pertama dari fungsi Λ untuk masing-masing koefisien yang diperlukan sebuah k mendekati polinomial f(x), yaitu persamaan

d da 0=0; d da 1=0; d da 2=0, . . . , d da n=0. (8)

Terbukti bahwa sistem persamaan ini juga memiliki solusi yang unik. Dalam kasus yang paling sederhana, ditemukan secara analitis, dan dalam kasus umum, secara numerik.

Chebyshev menetapkan bahwa persamaan berikut harus berlaku untuk deviasi maksimum:

Dalam praktik rekayasa, yang disebut pendekatan linier sepotong-sepotong adalah deskripsi kurva yang diberikan oleh segmen garis lurus.

Dalam setiap bagian linier dari karakteristik tegangan arus, semua metode untuk menganalisis osilasi dalam rangkaian listrik linier dapat diterapkan. Jelas bahwa semakin besar jumlah bagian linier yang dibagi menjadi karakteristik tegangan arus yang diberikan, semakin akurat dapat didekati dan semakin besar jumlah perhitungan dalam analisis osilasi dalam rangkaian.

Dalam banyak masalah yang diterapkan dari analisis osilasi dalam rangkaian resistif non-linier, karakteristik volt-ampere yang diperkirakan dalam interval pendekatan diwakili dengan akurasi yang cukup oleh dua atau tiga segmen garis lurus.

Perkiraan karakteristik arus-tegangan seperti itu dalam banyak kasus memberikan hasil yang cukup memuaskan dari analisis osilasi dalam rangkaian resistif non-linier dengan efek magnitudo "kecil" pada elemen non-linier, yaitu ketika nilai sesaat dari arus dalam elemen non-linier berubah dalam batas maksimum yang diijinkan dari Saya= 0 sampai Saya = saya maksimal

Pendekatan Fungsi Nonlinier

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Karena interval pemisahan fungsi adalah sama, kami menghitung koefisien kemiringan berikut dari bagian yang sesuai dari fungsi yang didekati:

1. Blok penyusun untuk membentuk segmen dari fungsi aproksimasi

Pembentukan fungsi waktu

Ubah interval:

Waktu mulai ulang siklik: T = 1s

Sekarang mari kita memodelkan fungsinya:

Perkiraan

Gambar 3.1 - Skema untuk menyelesaikan persamaan

Gambar 3.2 - Blok diagram pembentukan fungsi non-linier

Dengan demikian, ruas kiri persamaan secara otomatis terbentuk. Dalam hal ini, secara konvensional dianggap bahwa turunan tertinggi x// diketahui, karena anggota ruas kanan persamaan diketahui dan dapat dihubungkan ke input Y1 (Gambar 3.1). Penguat operasional U3 bertindak sebagai inverter sinyal +x. Untuk mensimulasikan x//, perlu untuk memasukkan satu lagi penguat subsuming ke dalam rangkaian, ke input yang perlu menerapkan sinyal yang mensimulasikan sisi kanan persamaan (3.2).

Skala semua variabel dihitung, dengan mempertimbangkan bahwa nilai maksimum variabel mesin di belakang nilai absolut adalah 10 V:

Mx = 10 / xmaks; Mx/ = 10 / x/maks; Mx// = 10 / x //maks;

Saya = 10 / ymax. (3.3)

Skala waktunya adalah Mt = T / tmax = 1, karena simulasi masalah dilakukan secara real time.

Koefisien transmisi dihitung untuk setiap masukan dari penguat integrasi.

Untuk penguat U1, koefisien transfer berada di belakang rumus:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Untuk penguat U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3.5)

dan untuk penguat U3:

K31 = 1. (3.6)

Tegangan dari kondisi awal dihitung dengan menggunakan rumus:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Sisi kanan persamaan (3.2) diwakili oleh fungsi non-linier, yang diberikan oleh pendekatan linier. Dalam hal ini, perlu untuk memeriksa bahwa kesalahan perkiraan tidak melebihi nilai yang ditentukan. Diagram blok pembentukan fungsi nonlinier ditunjukkan pada Gambar 3.2.

Deskripsi diagram sirkuit

Satuan pembangkitan fungsi waktu (F) dibuat dalam bentuk satu (membentuk t) atau dua penguat integrasi seri (membentuk t2) dengan kondisi awal nol.

Dalam hal ini, ketika sinyal U diterapkan pada input integrator pertama, pada outputnya kita dapatkan:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Pengaturan K11E=1, kita mendapatkan u1(t)= t.

Pada output dari integrator kedua kita mendapatkan:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

Pengaturan K11K21E/2 = 1, kita mendapatkan u2(t)= t2.

Blok untuk membentuk segmen dari fungsi pendekatan diimplementasikan dalam bentuk blok dioda fungsi nonlinier (DBNF), nilai input yang merupakan fungsi waktu t atau t2. Prosedur untuk menghitung dan membangun DBNF diberikan dalam.

Penambah (SAD) segmen dari fungsi pendekatan diimplementasikan sebagai penguat akhir diferensial.

Kondisi awal untuk integrator dari rangkaian pemodelan diperkenalkan menggunakan node dengan struktur variabel (Gambar 3.3). Skema ini dapat bekerja dalam dua mode:

a) integrasi - dengan posisi kunci K di posisi 1. Dalam hal ini, sinyal awal rangkaian dijelaskan dengan cukup akurat oleh persamaan integrator ideal:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Mode ini digunakan saat memodelkan tugas. Untuk memeriksa kebenaran pilihan parameter R dan C integrator, periksa nilai tegangan awal integrator sebagai fungsi waktu dan waktu integrasi yang berguna dalam kesalahan yang diizinkan?

Nilai tegangan awal integrator

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

selama waktu simulasi T ketika mengintegrasikan sinyal input E menggunakan op-amp dengan gain Ky tanpa loop umpan balik, tidak boleh melebihi nilai variabel mesin (10 V).

Waktu integrasi

Ti \u003d 2RC (Ku + 1)?

untuk parameter rangkaian yang dipilih tidak boleh kurang dari waktu simulasi T.

b) pengaturan kondisi awal diimplementasikan ketika kunci K diatur ke posisi 2. Mode ini digunakan saat menyiapkan rangkaian pemodelan untuk proses solusi. Dalam hal ini, sinyal awal rangkaian dijelaskan oleh persamaan:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

di mana u0(t) adalah nilai kondisi awal.

Untuk mengurangi waktu pembentukan kondisi awal dan memastikan operasi yang andal, parameter rangkaian harus memenuhi kondisi: R1C1 = R2C.

Bangun skema perhitungan lengkap. Dalam hal ini, konvensi yang diberikan dalam sub-bagian 3.1 harus digunakan.

Menggunakan kapasitas input dan sumber data, buat diagram skematik dari blok B1 dan B2 dan hubungkan ke blok PC.

(Perhatikan bagian tambahan tertanggal 06/04/2017 di akhir artikel.)

Akuntansi dan kontrol! Mereka yang berusia di atas 40 harus mengingat dengan baik slogan ini dari era pembangunan sosialisme dan komunisme di negara kita.

Tetapi tanpa akuntansi yang mapan, tidak mungkin negara, wilayah, perusahaan, atau rumah tangga berfungsi secara efektif dalam formasi sosial-ekonomi masyarakat mana pun! Untuk penyusunan prakiraan dan rencana kegiatan dan pengembangan diperlukan data awal. Ke mana harus membawa mereka? Hanya satu dapat diandalkan sumbernya adalah milikmu data akuntansi statistik periode waktu sebelumnya.

Untuk memperhitungkan hasil kegiatan mereka, mengumpulkan dan mencatat informasi, memproses dan menganalisis data, menerapkan hasil analisis untuk membuat keputusan yang tepat di masa depan, menurut pemahaman saya, setiap orang waras harus. Ini tidak lain adalah akumulasi dan penggunaan rasional dari pengalaman hidup seseorang. Jika Anda tidak menyimpan catatan data penting, maka setelah jangka waktu tertentu Anda akan melupakannya dan, mulai menangani masalah ini lagi, Anda akan kembali melakukan kesalahan yang sama seperti yang Anda lakukan saat pertama kali melakukannya.

"Saya ingat bahwa 5 tahun yang lalu kami membuat hingga 1000 buah produk seperti itu per bulan, dan sekarang kami hampir tidak dapat mengumpulkan bahkan 700!" Kami membuka statistik dan melihat bahwa 5 tahun yang lalu, bahkan 500 buah tidak dibuat ...

“Berapa satu kilometer biaya mobil Anda, dengan mempertimbangkan semua biaya?" Kami membuka statistik - 6 rubel / km. Perjalanan ke tempat kerja - 107 rubel. Lebih murah daripada taksi (180 rubel) lebih dari satu setengah kali. Dan ada kalanya taksi lebih murah ...

“Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk membuat struktur logam untuk menara komunikasi sudut setinggi 50 m?” Kami membuka statistik - dan dalam 5 menit jawabannya sudah siap ...

“Berapa biaya untuk merenovasi kamar di apartemen?” Kami mengumpulkan catatan lama, membuat penyesuaian untuk inflasi selama beberapa tahun terakhir, memperhitungkan bahwa terakhir kali kami membeli bahan 10% lebih murah dari harga pasar dan - kami sudah tahu perkiraan biaya ...

Mencatat aktivitas profesional Anda, Anda akan selalu siap menjawab pertanyaan bos: "Kapan!!!???". Menyimpan catatan rumah tangga memudahkan untuk merencanakan pembelian besar, liburan, dan pengeluaran lainnya di masa depan dengan mengambil tindakan yang tepat untuk mendapatkan uang tambahan atau mengurangi pengeluaran yang tidak penting hari ini.

Pada artikel ini, saya akan menggunakan contoh sederhana untuk menunjukkan bagaimana data statistik yang dikumpulkan dapat diproses di Excel untuk digunakan lebih lanjut dalam peramalan periode mendatang.

Perkiraan di Excel data statistik dengan fungsi analitik.

Tempat produksi memproduksi struktur logam bangunan dari lembaran dan produk logam profil. Situs bekerja dengan stabil, pesanan memiliki jenis yang sama, jumlah pekerja sedikit berfluktuasi. Ada data tentang keluaran produk selama 12 bulan sebelumnya dan jumlah logam canai yang diproses selama periode waktu ini menurut kelompok: lembaran, balok I, saluran, sudut, pipa bundar, bagian persegi panjang, produk canai bulat. Setelah analisis awal dari data awal, muncul asumsi bahwa total output bulanan struktur logam secara signifikan tergantung pada jumlah sudut dalam pesanan. Mari kita periksa asumsi ini.

Pertama-tama, beberapa kata tentang aproksimasi. Kami akan mencari hukum - fungsi analitik, yaitu, fungsi yang diberikan oleh persamaan yang lebih baik daripada yang lain menggambarkan ketergantungan total output struktur logam pada jumlah batang sudut dalam urutan lengkap. Ini adalah aproksimasi, dan persamaan yang ditemukan disebut fungsi aproksimasi untuk fungsi asli, yang diberikan dalam bentuk tabel.

1. Kami menyalakan Excel dan menempatkan tabel dengan data statistik di lembar.

2. Selanjutnya, kami membangun dan memformat plot pencar, di mana kami menetapkan nilai argumen di sepanjang sumbu X - jumlah sudut yang diproses dalam ton. Pada sumbu Y, kami memplot nilai fungsi asli - total output struktur logam per bulan, diberikan oleh tabel.

3. "Arahkan" mouse ke salah satu titik pada grafik dan klik kanan untuk memanggil menu konteks (seperti yang dikatakan salah satu teman baik saya, ketika bekerja di program yang tidak dikenal, ketika Anda tidak tahu apa yang harus dilakukan, benar -klik lebih sering ...). Di menu tarik-turun, pilih "Tambahkan garis tren ...".

4. Di jendela "Garis tren" yang muncul, pada tab "Jenis", pilih "Linear".

6. Sebuah garis lurus muncul pada grafik, mendekati ketergantungan tabel kita.

Selain garis itu sendiri, kami melihat persamaan garis ini dan, yang paling penting, kami melihat nilai parameter R 2 - besarnya keandalan aproksimasi! Semakin dekat nilainya dengan 1, semakin akurat fungsi yang dipilih mendekati data tabular!

7. Kami membangun garis tren menggunakan aproksimasi daya, logaritmik, eksponensial, dan polinomial dengan cara yang sama seperti kami membangun garis tren linier.

Polinomial tingkat kedua terbaik dari semua fungsi yang dipilih mendekati data kami, ia memiliki koefisien keandalan maksimum R 2 .

Namun, saya ingin memperingatkan Anda! Jika Anda mengambil polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, Anda mungkin akan mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, tetapi kurvanya akan terlihat rumit…. Penting untuk dipahami di sini bahwa kita mencari fungsi yang memiliki arti fisik. Apa artinya ini? Ini berarti bahwa kita memerlukan fungsi aproksimasi yang akan memberikan hasil yang memadai tidak hanya dalam kisaran nilai X yang dipertimbangkan, tetapi juga di luarnya, yaitu akan menjawab pertanyaan: “Apa yang akan menjadi keluaran struktur logam jika jumlah sudut diproses per bulan kurang dari 45 dan lebih dari 168 ton! Oleh karena itu, saya tidak menyarankan untuk terbawa oleh polinomial derajat tinggi, dan memilih parabola (polinomial derajat kedua) dengan hati-hati!

Jadi, kita perlu memilih fungsi yang tidak hanya menginterpolasi data tabular dengan baik dalam rentang nilai X=45…168, tetapi juga memungkinkan ekstrapolasi yang memadai di luar rentang ini. Saya memilih dalam hal ini fungsi logaritmik, meskipun Anda dapat memilih yang linier, sebagai yang paling sederhana. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, ketika memilih aproksimasi linier di excel, kesalahannya akan lebih besar daripada ketika memilih yang logaritmik, tetapi tidak banyak.

8. Kami menghapus semua garis tren dari bidang grafik, kecuali untuk fungsi logaritmik. Untuk melakukan ini, klik kanan pada baris yang tidak perlu dan pilih "Hapus" di menu konteks tarik-turun.

9. Terakhir, kami menambahkan bilah kesalahan ke titik data tabular. Untuk melakukan ini, klik kanan pada salah satu titik pada grafik dan pilih "Format seri data ..." di menu konteks dan konfigurasikan data pada tab "Y-errors" seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah.

10. Kemudian kami klik kanan pada salah satu baris rentang kesalahan, pilih "Format bilah kesalahan ..." di menu konteks dan di jendela "Format bilah kesalahan" pada tab "Tampilan", sesuaikan warna dan ketebalan dari garis.

Objek bagan lainnya diformat dengan cara yang sama.unggul!

Hasil akhir dari grafik disajikan pada tangkapan layar berikut.

Hasil.

Hasil dari semua tindakan sebelumnya adalah rumus yang dihasilkan untuk fungsi aproksimasi y=-172.01*ln (x)+1188.2. Mengetahuinya, dan jumlah sudut dalam rangkaian pekerjaan bulanan, dimungkinkan dengan tingkat probabilitas tinggi (± 4% - lihat bilah kesalahan) untuk memprediksi total produksi struktur logam untuk bulan itu! Misalnya, jika ada 140 ton sudut dalam rencana bulanan, maka total output, semua hal lain dianggap sama, kemungkinan besar akan menjadi 338 ± 14 ton.

Untuk meningkatkan keandalan aproksimasi, harus ada banyak data statistik. Dua belas pasang nilai tidak cukup.

Dari latihan saya akan mengatakan bahwa menemukan fungsi aproksimasi dengan koefisien reliabilitas R 2 >0,87 harus dianggap sebagai hasil yang baik. Hasil yang sangat baik - pada R 2 >0.94.

Dalam praktiknya, mungkin sulit untuk memilih satu faktor penentu yang paling penting (dalam contoh kami, massa sudut yang didaur ulang dalam sebulan), tetapi jika Anda mencoba, Anda selalu dapat menemukannya di setiap tugas tertentu! Tentu saja, total output per bulan sangat bergantung pada ratusan faktor, yang memerlukan masukan tenaga kerja yang signifikan dari penentu tarif dan spesialis lainnya untuk diperhitungkan. Hanya hasilnya yang masih merupakan perkiraan! Jadi apakah layak untuk menanggung biaya ketika ada pemodelan matematika yang jauh lebih murah!

Dalam artikel ini, saya hanya menyentuh puncak gunung es yang disebut pengumpulan, pemrosesan, dan penggunaan praktis data statistik. Apakah saya berhasil atau tidak, saya membangkitkan minat Anda pada topik ini, saya berharap dapat belajar dari komentar dan peringkat artikel di mesin pencari.

Masalah aproksimasi fungsi satu variabel yang disinggung memiliki aplikasi praktis yang luas di berbagai bidang kehidupan. Tetapi solusi dari masalah pendekatan fungsi memiliki aplikasi yang jauh lebih besar beberapa independen variabel…. Baca tentang ini dan lebih banyak lagi di posting blog berikut.

Langganan untuk pengumuman artikel di jendela yang terletak di akhir setiap artikel atau di jendela di bagian atas halaman.

Jangan lupa Konfirmasi berlangganan dengan mengklik tautan dalam surat yang akan datang kepada Anda di surat yang ditentukan (mungkin datang dalam folder « Spam » )!!!

Saya akan membaca komentar Anda dengan penuh minat, para pembaca yang budiman! Menulis!

P.S. (06/04/2017)

Penggantian data tabular yang sangat akurat dan indah dengan persamaan sederhana.

Anda tidak puas dengan akurasi aproksimasi yang diperoleh (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Apakah dimensi ekspresi dan bentuk garis mendekati polinomial derajat tinggi tidak enak dipandang?

Lihat halaman " " untuk hasil yang lebih akurat dan ringkas dalam menyesuaikan data tabular Anda dan untuk mempelajari teknik sederhana untuk memecahkan masalah aproksimasi presisi tinggi dengan fungsi satu variabel.

Saat menggunakan algoritme tindakan yang diusulkan, ditemukan fungsi yang sangat ringkas yang memberikan akurasi perkiraan tertinggi: R 2 =0.9963!!!

Karakteristik elemen non-linier nyata, yang biasanya ditentukan dengan bantuan studi eksperimental, memiliki bentuk yang kompleks dan disajikan dalam bentuk tabel atau grafik. Pada saat yang sama, untuk analisis dan perhitungan sirkuit, representasi analitis dari karakteristik diperlukan, mis. representasi dalam bentuk fungsi yang agak sederhana. Proses menyusun ekspresi analitik untuk karakteristik yang disajikan secara grafis atau tabel disebut perkiraan.

Pendekatan memecahkan masalah berikut:

1. Menentukan area aproksimasi, yang bergantung pada jangkauan sinyal input.

2. Menentukan akurasi aproksimasi. Jelas bahwa aproksimasi memberikan representasi perkiraan dari karakteristik dalam bentuk beberapa ekspresi analitis. Oleh karena itu, perlu dilakukan kuantifikasi derajat aproksimasi dari fungsi aproksimasi terhadap karakteristik yang ditentukan secara eksperimen. Paling umum digunakan:

indikator aproksimasi seragam - fungsi aproksimasi tidak boleh berbeda dari fungsi yang diberikan lebih dari angka tertentu , mis.

;

indikator perkiraan kuadrat rata-rata - fungsi perkiraan tidak boleh berbeda dari fungsi yang diberikan dalam perkiraan kuadrat rata-rata lebih dari angka tertentu, mis.

;

aproksimasi nodal (interpolasi) - fungsi aproksimasi harus bertepatan dengan fungsi yang diberikan di beberapa titik yang dipilih.

Ada berbagai metode pendekatan. Paling sering, untuk aproksimasi karakteristik I–V, aproksimasi dengan polinomial pangkat dan aproksimasi linier sepotong-sepotong digunakan, lebih jarang - aproksimasi menggunakan fungsi eksponensial, trigonometri atau khusus (Bessel, Hermite, dll.).

7.2.1. Perkiraan dengan polinomial pangkat

Karakteristik tegangan arus nonlinier di sekitar titik operasi diwakili oleh sejumlah suku terhingga dalam deret Taylor:

Jumlah suku dalam deret ditentukan oleh akurasi perkiraan yang diperlukan. Semakin banyak suku dalam deret tersebut, semakin akurat aproksimasinya. Dalam praktiknya, akurasi yang diperlukan dicapai dengan menggunakan pendekatan dengan polinomial derajat kedua dan ketiga. Kemungkinan - ini adalah angka yang ditentukan secara sederhana dari grafik VAC, yang diilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh.

Untuk mendekati yang ditunjukkan pada Gambar. 7.1, CVC di sekitar titik operasi dengan polinomial pangkat dua, yaitu. polinomial bentuk

Mari kita pilih area aproksimasi dari 0,2 V hingga 0,6 V. Untuk menyelesaikan masalah, perlu menentukan tiga koefisien . Oleh karena itu, kami membatasi diri pada tiga titik nodal (di tengah dan pada batas rentang yang dipilih), di mana kami menyusun sistem tiga persamaan:

Beras. 7.1. Perkiraan karakteristik IV transistor

Memecahkan sistem persamaan, kami menentukan , , . Oleh karena itu, ekspresi analitik yang menggambarkan kurva I–V memiliki bentuk

Perhatikan bahwa aproksimasi dengan polinomial pangkat terutama digunakan untuk menggambarkan fragmen karakteristik individu. Dengan penyimpangan yang signifikan dari sinyal input dari titik operasi, akurasi perkiraan dapat menurun secara signifikan.

Jika CVC tidak ditentukan secara grafis, tetapi oleh beberapa fungsi analitik dan menjadi perlu untuk mewakilinya sebagai polinomial pangkat, maka koefisien dihitung menggunakan rumus terkenal

.

Sangat mudah untuk melihat itu adalah kemiringan I–V pada titik operasi. Nilai kecuraman pada dasarnya tergantung pada posisi titik operasi.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mewakili karakteristik dengan deret Maclaurin

7.2.2. Pendekatan linier sepotong-sepotong

Jika sinyal input bervariasi besarnya pada rentang yang besar, maka karakteristik I-V dapat didekati dengan garis putus-putus yang terdiri dari beberapa segmen garis lurus. pada gambar. 7.1b menunjukkan karakteristik tegangan arus dari transistor, didekati dengan tiga segmen garis.

Rumus matematika dari perkiraan CVC

Jenis pendekatan ini dikaitkan dengan dua parameter penting dari elemen non-linier: tegangan awal karakteristik dan kecuramannya. Untuk meningkatkan akurasi aproksimasi, tambah jumlah segmen garis. Namun, ini memperumit rumus matematika CVC.