Sekarang mari kita kembali ke tugas kita - untuk menemukan percepatan yang dengannya tubuh bergerak dalam lingkaran dengan kecepatan konstan dalam nilai absolut.

Percepatan, seperti yang diketahui, ditentukan oleh rumus

di mana adalah kecepatan tubuh pada saat awal waktu, dan kecepatannya setelah periode waktu . Dalam kasus kami, modul kecepatan dan sama satu sama lain.

Misalkan benda bergerak sepanjang lingkaran dengan jari-jari dan pada suatu saat benda itu berada di titik A (Gbr. 67).

Berapakah percepatan pada titik ini? Kecepatan di titik ini diarahkan secara tangensial ke lingkaran di titik A. Setelah sedetik, benda berada di titik B, dan kecepatannya sekarang adalah

diarahkan secara tangensial ke lingkaran di titik B. Kecepatan modulo dan 10 adalah sama (panjang panah dan sama).

Kami ingin mencari percepatan di titik A lingkaran (percepatan sesaat). Oleh karena itu, kita harus mengambil titik A dan B berdekatan satu sama lain, begitu dekat sehingga busur, seolah-olah, berkontraksi menjadi sebuah titik.

Mari kita cari tahu bagaimana percepatan ini diarahkan.

Mari kita tarik jari-jari dari pusat O lingkaran ke titik A dan B. Jari-jari lingkaran tegak lurus terhadap garis singgung di titik kontak, oleh karena itu, jari-jari dan tegak lurus terhadap vektor dan Untuk mengetahui arah garis vektor percepatan, Anda perlu menemukan vektor yang sama dengan perbedaan vektor dan arahnya adalah arah percepatan vektor. Kita telah mengetahui cara mengurangkan vektor (lihat 6). Untuk menemukan perbedaannya, kami mengatur vektor sehingga mereka berasal dari satu titik (Gbr. 68), dan menghubungkan ujungnya dengan mengarahkan panah dari yang dikurangi ke yang dikurangi (dari ujung vektor ke ujung vektor. Vektor adalah perbedaan dari vektor, oleh karena itu, percepatan diarahkan sepanjang vektor, apa yang dapat dikatakan tentang arah ini?

Segitiga (lihat Gambar 68) adalah sama kaki. Sudut di simpul A sama dengan sudut antara jari-jari dan (Gbr. 67), karena keduanya dibentuk oleh sisi yang saling tegak lurus. Titik A dan B saling berdekatan, sehingga sudutnya sangat kecil (mendekati nol). Setiap sudut pada alas segitiga dekat dengan sudut siku-siku, karena jumlah sudut segitiga sama dengan dua sudut siku-siku. Ini berarti bahwa vektor

tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Oleh karena itu, percepatan tegak lurus terhadap kecepatan. Tetapi kecepatannya menyinggung lingkaran di titik A, dan garis singgungnya tegak lurus dengan jari-jari. Ini berarti bahwa percepatan diarahkan sepanjang jari-jari menuju pusat lingkaran. Oleh karena itu disebut percepatan sentripetal.

Ketika sebuah benda bergerak beraturan sepanjang lingkaran, percepatan di setiap titik tegak lurus terhadap kecepatan gerakan dan diarahkan ke pusat lingkaran.

Fitur menarik dari akselerasi ketika bergerak sepanjang lingkaran dengan kecepatan modulo konstan ditunjukkan pada Gambar 69.

Sekarang mari kita cari modulus percepatan sentripetal. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari nilai absolut dari besaran.Dari Gambar 68, dapat dilihat bahwa modulus selisih vektor sama dengan panjang segmen. Karena sudutnya sangat kecil, segmen sedikit berbeda dari busur lingkaran (ditunjukkan oleh garis putus-putus) yang berpusat di titik A. Jari-jari lingkaran ini secara numerik sama dengan Tetapi, seperti yang kita ketahui (lihat 24), panjang busur seperti itu adalah Oleh karena itu, nilai mutlak percepatan adalah . Tetapi kecepatan sudut Jadi

Percepatan benda yang bergerak sepanjang lingkaran adalah produk dari kecepatan liniernya dan kecepatan sudut dari putaran jari-jari yang ditarik ke arah tubuh.

Lebih mudah untuk mewakili rumus percepatan sentripetal dalam bentuk sedemikian rupa sehingga mencakup nilai jari-jari lingkaran di mana tubuh bergerak. Karena kecepatan sudut dan linier dihubungkan oleh hubungan ( - jari-jari lingkaran), maka, dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam rumus, kita mendapatkan:

Namun karena itu, rumus percepatan sentripetal juga dapat ditulis sebagai berikut:

Dalam gerak melingkar beraturan, sebuah benda bergerak dengan

percepatan, yang diarahkan sepanjang jari-jari ke pusat lingkaran dan yang modulusnya ditentukan oleh ekspresi

Oleh karena itu, kebalikannya juga benar: jika diketahui bahwa kecepatan tubuh sama dan percepatan tubuh di semua titik tegak lurus terhadap vektor kecepatannya dan sama dengan nilai absolut, maka dapat dikatakan bahwa benda seperti itu bergerak dalam lingkaran, yang jari-jarinya ditentukan oleh rumus

Ini berarti bahwa jika kita mengetahui kecepatan awal benda dan nilai mutlak percepatan sentripetalnya, kita dapat menggambar lingkaran di mana benda akan bergerak dan menemukan posisinya setiap saat (posisi awal benda tentu saja harus , diketahui). Dengan demikian, masalah utama mekanik akan terpecahkan.

Ingatlah bahwa kita tertarik pada percepatan selama gerak beraturan sepanjang lingkaran karena setiap gerak sepanjang lintasan lengkung adalah gerak sepanjang busur lingkaran dengan jari-jari yang berbeda.

Sekarang kita dapat mengatakan bahwa dengan gerakan seragam pada setiap titik lintasan lengkung, benda bergerak dengan percepatan yang diarahkan ke pusat lingkaran di mana lintasan yang diberikan adalah bagian di dekat titik ini. Nilai numerik percepatan tergantung pada kecepatan tubuh pada titik ini dan pada jari-jari lingkaran yang sesuai. Gambar 70 menunjukkan beberapa lintasan kompleks dan menunjukkan vektor percepatan sentripetal di berbagai titik lintasan.

Tugas. Pesawat, meninggalkan puncak, bergerak sepanjang busur, yang di bagian bawahnya adalah busur lingkaran dengan jari-jari 500 m (Gbr. 71). Hitung percepatan pesawat pada titik nadirnya jika kecepatannya 800 km/jam dan bandingkan nilai ini dengan percepatan gravitasi.

4. Sebuah roda gerinda dengan jari-jari 10 cm melakukan 1 putaran dalam waktu 0,2 detik selama putaran. Hitunglah kecepatan titik-titik terjauh dari sumbu rotasi.

5. Sebuah mobil bergerak pada suatu putaran jalan dengan radius 100 m dengan kecepatan 54 km/jam. Berapakah percepatan sentripetal mobil tersebut?

6. Periode revolusi kapal-satelit pertama "Vostok" mengelilingi Bumi adalah 90 menit. Ketinggian rata-rata pesawat ruang angkasa di atas Bumi dapat dianggap sama dengan 320 km. Jari-jari bumi adalah 6.400 km. Hitung kecepatan kapal.

7. Berapakah kelajuan mobil jika roda-rodanya berjari-jari 30 cm melakukan 10 putaran dalam 1 sekon?

8. Dua katrol, yang jari-jarinya dihubungkan oleh sabuk tak berujung. Periode putaran katrol yang berjari-jari lebih kecil adalah 0,5 sekon. Berapa kecepatan di mana titik-titik sabuk bergerak? Berapakah periode putaran katrol kedua?

9. Bulan bergerak mengelilingi Bumi pada jarak 385.000 km darinya, membuat satu revolusi dalam 27,3 hari. Hitung percepatan sentripetal Bulan.

Dalam kajian gerak dalam fisika, konsep lintasan memegang peranan penting. Dialah yang sangat menentukan jenis gerakan objek dan, sebagai hasilnya, jenis formula yang menggambarkan gerakan ini. Salah satu lintasan gerak yang umum adalah lingkaran. Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan apa itu percepatan sentripetal ketika bergerak dalam lingkaran.

Konsep percepatan penuh

Sebelum mengkarakterisasi percepatan sentripetal saat bergerak sepanjang lingkaran, mari kita pertimbangkan konsep percepatan total. Di bawahnya, diasumsikan kuantitas fisik, yang secara bersamaan menggambarkan perubahan nilai vektor absolut dan kecepatan. Dalam bentuk matematika, definisi ini terlihat seperti ini:

Percepatan adalah turunan total dari kecepatan terhadap waktu.

Seperti diketahui, kecepatan v¯ benda pada setiap titik lintasan adalah tangensial. Fakta ini memungkinkan kita untuk merepresentasikannya sebagai produk dari modul v dan vektor tangen satuan u¯, yaitu:

Maka percepatan total dapat dihitung sebagai berikut:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Nilai a¯ adalah jumlah vektor dua suku. Suku pertama diarahkan secara tangensial (sebagai kecepatan benda) dan disebut percepatan tangensial. Ini menentukan tingkat perubahan modulus kecepatan. Suku kedua adalah percepatan normal. Kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci nanti di artikel.

Ekspresi di atas untuk komponen percepatan normal an¯ dapat ditulis secara eksplisit:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Di sini dl adalah lintasan yang ditempuh benda sepanjang lintasan dalam waktu dt, re¯ adalah vektor satuan yang diarahkan ke pusat kelengkungan lintasan, r adalah jari-jari kelengkungan ini. Rumus yang dihasilkan mengarah ke beberapa fitur penting dari komponen an¯ dari percepatan total:

• Nilai an¯ meningkat seiring dengan kuadrat kecepatan dan menurun berbanding terbalik dengan jari-jari, yang membedakannya dari komponen tangensial. Yang terakhir tidak sama dengan nol hanya dalam kasus perubahan modulus kecepatan.
• Percepatan normal selalu mengarah ke pusat kelengkungan, oleh karena itu disebut sentripetal.

Jadi, syarat utama keberadaan besaran bukan nol an¯ adalah kelengkungan lintasan. Jika kelengkungan tersebut tidak ada (perpindahan bujursangkar), maka an¯ = 0, karena r->∞.

Percepatan sentripetal pada gerak melingkar

Lingkaran adalah garis geometris, yang semua titiknya berada pada jarak yang sama dari beberapa titik. Yang terakhir disebut pusat lingkaran, dan jarak yang disebutkan adalah jari-jarinya. Jika kecepatan tubuh selama rotasi tidak berubah dalam nilai absolut, maka mereka berbicara tentang gerakan variabel seragam dalam lingkaran. Percepatan sentripetal dalam hal ini mudah dihitung menggunakan salah satu dari dua rumus di bawah ini:

Dimana adalah kecepatan sudut, diukur dalam radian per detik (rad/s). Persamaan kedua diperoleh berkat rumus hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linier:

Gaya sentripetal dan sentrifugal

Dengan gerakan seragam benda sepanjang lingkaran, percepatan sentripetal terjadi karena aksi gaya sentripetal yang sesuai. Vektornya selalu mengarah ke pusat lingkaran.

Sifat kekuatan ini bisa sangat beragam. Sebagai contoh, ketika seseorang memutar sebuah batu yang diikatkan pada seutas tali, maka pada lintasannya batu itu ditahan oleh gaya tarik tali. Contoh lain dari aksi gaya sentripetal adalah interaksi gravitasi antara Matahari dan planet-planet. Hal inilah yang membuat semua planet dan asteroid bergerak dalam orbit melingkar. Gaya sentripetal tidak dapat mengubah energi kinetik benda, karena diarahkan tegak lurus terhadap kecepatannya.

Setiap orang dapat memperhatikan fakta bahwa saat memutar mobil, misalnya, ke kiri, penumpang ditekan ke tepi kanan interior kendaraan. Proses ini merupakan hasil dari aksi gaya sentrifugal dari gerak rotasi. Faktanya, gaya ini tidak nyata, karena ini disebabkan oleh sifat inersia tubuh dan keinginannya untuk bergerak di sepanjang jalan yang lurus.

Gaya sentrifugal dan gaya sentripetal sama besarnya dan berlawanan arah. Jika ini tidak terjadi, maka lintasan melingkar tubuh akan dilanggar. Jika kita memperhatikan hukum kedua Newton, maka dapat dikatakan bahwa selama gerak rotasi, percepatan sentrifugal sama dengan sentripetal.

Aslamazov L.G. Gerak melingkar // Kvant. - 1972. - No. 9. - S. 51-57.

Dengan persetujuan khusus dengan dewan redaksi dan editor jurnal "Kvant"

Untuk menggambarkan gerak dalam lingkaran, bersama dengan kecepatan linier, konsep kecepatan sudut diperkenalkan. Jika suatu titik bergerak sepanjang lingkaran dalam waktu t menggambarkan busur, ukuran sudut yang , maka kecepatan sudut.

Kecepatan sudut berhubungan dengan kecepatan linier dengan hubungan = r, di mana r- jari-jari lingkaran di mana titik itu bergerak (Gbr. 1). Konsep kecepatan sudut sangat cocok untuk menggambarkan rotasi benda tegar di sekitar sumbu. Meskipun kecepatan linier titik-titik yang terletak pada jarak yang berbeda dari sumbu tidak akan sama, kecepatan sudutnya akan sama, dan kita dapat berbicara tentang kecepatan sudut rotasi benda secara keseluruhan.

Tugas 1. Radius Disk r menggelinding tanpa tergelincir pada bidang horizontal. Kecepatan pusat piringan adalah konstan dan sama dengan p. Dengan kecepatan sudut berapakah piringan berputar dalam kasus ini?

Setiap titik piringan berpartisipasi dalam dua gerakan - dalam gerakan translasi dengan kecepatan n bersama-sama dengan pusat piringan dan dalam gerakan rotasi di sekitar pusat dengan kecepatan sudut tertentu .

Untuk mencari , kita menggunakan ketiadaan slip, yaitu fakta bahwa pada setiap momen waktu, kecepatan titik piringan yang bersentuhan dengan bidang adalah nol. Ini berarti bahwa untuk titik TETAPI(Gbr. 2) kecepatan gerak translasi p sama besar dan berlawanan arah dengan kecepatan linier gerak rotasi vr = · r. Dari sini kita langsung mendapatkan.

Tugas 2. Temukan titik kecepatan PADA, Dengan dan D disk yang sama (Gbr. 3).

Pertimbangkan dulu intinya PADA. Kecepatan linier gerakan rotasinya diarahkan vertikal ke atas dan sama dengan , yaitu, besarnya sama dengan kecepatan gerak translasi, yang, bagaimanapun, diarahkan secara horizontal. Menambahkan dua kecepatan ini secara vektor, kami menemukan bahwa kecepatan yang dihasilkan B besarnya sama dan membentuk sudut 45º dengan cakrawala. Pada intinya Dengan kecepatan rotasi dan translasi diarahkan dalam arah yang sama. Kecepatan yang dihasilkan C sama dengan 2υ n dan diarahkan secara horizontal. Demikian pula, kecepatan suatu titik ditemukan D(Lihat Gambar. 3).

Bahkan dalam kasus ketika kecepatan suatu titik yang bergerak sepanjang lingkaran tidak berubah besarnya, titik tersebut memiliki beberapa percepatan, karena arah vektor kecepatan berubah. Percepatan ini disebut sentripetal. Arahnya menuju pusat lingkaran dan sama dengan ( R adalah jari-jari lingkaran, dan adalah kecepatan sudut dan linier titik tersebut).

Jika kecepatan suatu titik yang bergerak sepanjang lingkaran berubah tidak hanya dalam arah, tetapi juga besarnya, maka bersama dengan percepatan sentripetal, ada juga yang disebut tangensial percepatan. Ini diarahkan secara tangensial ke lingkaran dan sama dengan rasio (Δυ adalah perubahan kecepatan terhadap waktu t).

Tugas 3. Temukan Percepatan Poin TETAPI, PADA, Dengan dan D radius disk r menggelinding tanpa tergelincir pada bidang horizontal. Kecepatan pusat disk adalah konstan dan sama dengan p (Gbr. 3).

Dalam sistem koordinat yang berhubungan dengan pusat piringan, piringan berotasi dengan kecepatan sudut , dan bidang bergerak maju dengan kecepatan p. Oleh karena itu, tidak ada selip antara piringan dan bidang, . Kecepatan gerak translasi p tidak berubah, oleh karena itu kecepatan sudut rotasi piringan adalah konstan dan titik-titik piringan hanya memiliki percepatan sentripetal yang diarahkan ke pusat piringan. Karena sistem koordinat bergerak tanpa percepatan (dengan kecepatan konstan p), maka dalam sistem koordinat tetap, percepatan titik-titik disk akan sama.

Sekarang mari kita beralih ke masalah tentang dinamika gerak rotasi. Mari kita pertimbangkan kasus yang paling sederhana, ketika gerakan sepanjang lingkaran terjadi dengan kecepatan konstan. Karena percepatan benda diarahkan ke pusat, maka jumlah vektor dari semua gaya yang diterapkan pada benda juga harus diarahkan ke pusat, dan menurut hukum kedua Newton.

Harus diingat bahwa ruas kanan persamaan ini hanya mencakup gaya nyata yang bekerja pada benda tertentu dari benda lain. Tidak gaya sentripetal tidak terjadi ketika bergerak dalam lingkaran. Istilah ini digunakan hanya untuk menunjukkan resultan gaya yang diterapkan pada benda yang bergerak dalam lingkaran. Tentang gaya sentrifugal, maka itu muncul hanya ketika menggambarkan gerak sepanjang lingkaran dalam sistem koordinat non-inersia (berputar). Di sini kita tidak akan menggunakan konsep gaya sentripetal dan gaya sentrifugal sama sekali.

Tugas 4. Tentukan jari-jari kelengkungan jalan terkecil yang dapat dilalui mobil dengan kecepatan = 70 km/jam dan koefisien gesekan ban pada jalan tersebut k =0,3.

R = m g, gaya reaksi jalan N dan gaya gesekan F tr antara ban mobil dan jalan. Angkatan R dan N diarahkan vertikal dan sama besarnya: P = N. Gaya gesekan yang mencegah mobil tergelincir ("penyaradan") diarahkan ke pusat belokan dan memberikan percepatan sentripetal: . Nilai maksimum gaya gesekan F trmaks = k· N = k· m g, oleh karena itu, nilai minimum jari-jari lingkaran, di mana masih mungkin untuk bergerak dengan kecepatan , ditentukan dari persamaan . Dari sini (m).

Kekuatan reaksi jalan N ketika mobil bergerak dalam lingkaran, itu tidak melewati pusat gravitasi mobil. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa momennya relatif terhadap pusat gravitasi harus mengimbangi momen gesekan yang cenderung menjungkirbalikkan mobil. Besarnya gaya gesekan semakin besar, semakin besar kecepatan mobil. Pada kecepatan tertentu, momen gaya gesek akan melebihi momen gaya reaksi dan mobil akan terbalik.

Tugas 5. Pada kecepatan berapa sebuah mobil bergerak sepanjang busur lingkaran dengan jari-jari R= 130 m, dapatkah terbalik? Pusat gravitasi kendaraan berada pada ketinggian h= 1 m di atas jalan, lebar lintasan kendaraan aku= 1,5 m (Gbr. 4).

Pada saat mobil terbalik, sebagai gaya reaksi jalan N, dan gaya gesekan F mp terpasang ke roda "luar". Ketika sebuah mobil bergerak melingkar dengan kecepatan , gaya gesekan bekerja padanya. Gaya ini menciptakan momen tentang pusat gravitasi kendaraan. Momen maksimum gaya reaksi jalan N = m g relatif terhadap pusat gravitasi adalah (pada saat terbalik, gaya reaksi melewati roda luar). Menyamakan momen-momen ini, kami menemukan persamaan untuk kecepatan maksimum di mana mobil tidak akan terbalik:

Dari mana 30 m/s 110 km/jam.

Agar mobil dapat bergerak dengan kecepatan seperti itu, diperlukan koefisien gesekan (lihat masalah sebelumnya).

Situasi serupa terjadi saat membelokkan sepeda motor atau sepeda. Gaya gesek yang menimbulkan percepatan sentripetal mempunyai momen terhadap pusat gravitasi yang cenderung menjungkirbalikkan sepeda motor. Oleh karena itu, untuk mengimbangi momen ini dengan momen gaya reaksi jalan, pengendara sepeda motor bersandar ke arah belokan (Gbr. 5).

Tugas 6. Seorang pengendara sepeda motor menempuh jalan mendatar dengan kecepatan = 70 km/jam, berbelok dengan jari-jari R\u003d 100 m Pada sudut berapa ke cakrawala dia harus miring agar tidak jatuh?

Gaya gesekan antara sepeda motor dan jalan, karena memberikan percepatan sentripetal kepada pengendara sepeda motor. Kekuatan reaksi jalan N = m g. Kondisi kesetaraan momen gaya gesekan dan gaya reaksi relatif terhadap pusat gravitasi memberikan persamaan: F tp aku sinα = N· aku karena , dimana aku- jarak OA dari pusat gravitasi ke jalur sepeda motor (lihat gambar 5).

Mengganti di sini nilainya F tp dan N, temukan sesuatu atau . Perhatikan bahwa resultan gaya N dan F tp pada sudut kemiringan ini sepeda motor melewati pusat gravitasi, yang memastikan bahwa momen gaya total sama dengan nol N dan F tp

Untuk meningkatkan kecepatan gerakan di sepanjang pembulatan jalan, bagian jalan di belokan dibuat miring. Pada saat yang sama, selain gaya gesekan, gaya reaksi jalan juga berperan dalam penciptaan percepatan sentripetal.

Tugas 7. Dengan kecepatan maksimum mobil dapat bergerak sepanjang lintasan miring dengan sudut kemiringan dengan jari-jari kelengkungan R dan koefisien gesekan ban di jalan k?

Gaya gravitasi bekerja pada mobil m g, gaya reaksi N, diarahkan tegak lurus terhadap bidang lintasan, dan gaya gesekan F tp diarahkan di sepanjang trek (Gbr. 6).

Karena kita tidak tertarik pada kasus ini, momen gaya yang bekerja pada mobil, kita telah menarik semua gaya yang diterapkan pada pusat gravitasi mobil. Jumlah vektor semua gaya harus diarahkan ke pusat lingkaran di mana mobil bergerak, dan memberikan percepatan sentripetal padanya. Oleh karena itu, jumlah proyeksi gaya pada arah ke pusat (arah horizontal) adalah , yaitu

Jumlah proyeksi semua gaya pada arah vertikal adalah nol:

N karena - m g – F t p sinα = 0.

Mensubstitusikan ke dalam persamaan ini nilai maksimum yang mungkin dari gaya gesekan F tp = k N dan tidak termasuk kekuatan N, tentukan kecepatan maksimum , yang masih memungkinkan untuk bergerak di sepanjang trek seperti itu. Ekspresi ini selalu lebih besar dari nilai yang sesuai dengan jalan horizontal.

Setelah berurusan dengan dinamika rotasi, mari beralih ke masalah gerak rotasi pada bidang vertikal.

Tugas 8. mobil massal m= 1,5 t bergerak dengan kecepatan = 70 km/jam di sepanjang jalan yang ditunjukkan pada Gambar 7. Ruas jalan AB dan Matahari dapat dianggap busur lingkaran dengan jari-jari R= 200 m saling bersentuhan di suatu titik PADA. Tentukan gaya tekanan mobil di jalan dalam poin TETAPI dan Dengan. Bagaimana gaya tekanan berubah ketika sebuah mobil melewati suatu titik? PADA?

Pada intinya TETAPI gravitasi bekerja pada mobil R = m g dan gaya reaksi jalan tidak ada. Jumlah vektor gaya-gaya ini harus diarahkan ke pusat lingkaran, yaitu vertikal ke bawah, dan menciptakan percepatan sentripetal: , dari mana (H). Gaya tekanan mobil di jalan sama besarnya dan berlawanan arah dengan gaya reaksi. Pada intinya Dengan jumlah vektor gaya-gaya diarahkan vertikal ke atas: dan (H). Jadi, pada titik TETAPI gaya tekanan lebih kecil dari gaya gravitasi, dan pada suatu titik Dengan- lagi.

Pada intinya PADA mobil bergerak dari bagian jalan yang cembung ke bagian jalan yang cekung (atau sebaliknya). Saat mengemudi di bagian cembung, proyeksi gravitasi ke arah pusat harus melebihi gaya reaksi jalan catatan 1 , dan . Saat mengemudi di bagian jalan yang cekung, sebaliknya, gaya reaksi jalan N B 2 mengungguli proyeksi gravitasi: .

Dari persamaan ini kita peroleh bahwa ketika melewati titik PADA gaya tekanan mobil di jalan berubah secara tiba-tiba dengan nilai 6·10 3 N. Tentu saja, beban kejut seperti itu bekerja secara merusak baik di mobil maupun di jalan. Oleh karena itu, jalan dan jembatan selalu berusaha agar kelengkungannya berubah dengan mulus.

Ketika sebuah mobil bergerak di sepanjang lingkaran dengan kecepatan konstan, jumlah proyeksi semua gaya pada arah yang bersinggungan dengan lingkaran harus sama dengan nol. Dalam kasus kami, komponen tangensial gravitasi diseimbangkan oleh gaya gesekan antara roda mobil dan jalan.

Besarnya gaya gesekan dikendalikan oleh torsi yang diterapkan pada roda oleh motor. Momen ini cenderung menyebabkan roda tergelincir relatif terhadap jalan. Oleh karena itu, gaya gesekan muncul yang mencegah selip dan sebanding dengan momen yang diterapkan. Nilai maksimum gaya gesekan adalah k N, di mana k adalah koefisien gesekan antara ban mobil dan jalan, N- kekuatan tekanan di jalan. Ketika mobil bergerak ke bawah, gaya gesekan berperan sebagai gaya pengereman, dan ketika bergerak ke atas, sebaliknya, berperan sebagai gaya traksi.

Tugas 9. Massa kendaraan m= 0,5 t, bergerak dengan kecepatan = 200 km/jam, membuat "lingkaran mati" dengan radius R= 100 m (Gbr. 8). Tentukan gaya tekanan mobil di jalan di bagian atas lingkaran TETAPI; pada intinya PADA, vektor radius yang membentuk sudut = 30º dengan vertikal; pada intinya Dengan dimana kecepatan mobil diarahkan secara vertikal. Mungkinkah sebuah mobil bergerak sepanjang putaran dengan kecepatan konstan seperti itu dengan koefisien gesekan ban di jalan? k = 0,5?

Di bagian atas lingkaran, gaya gravitasi dan gaya reaksi jalan tidak ada diarahkan vertikal ke bawah. Jumlah gaya-gaya ini menciptakan percepatan sentripetal: . Jadi N.

Gaya tekanan mobil di jalan sama besarnya dan berlawanan arah dengan gaya tidak ada.

Pada intinya PADA percepatan sentripetal dibuat oleh jumlah gaya reaksi dan proyeksi gravitasi pada arah menuju pusat: . Dari sini N.

Sangat mudah untuk melihat itu NB > tidak ada; dengan meningkatnya sudut , gaya reaksi jalan meningkat.

Pada intinya Dengan kekuatan reaksi H; percepatan sentripetal pada titik ini hanya diciptakan oleh gaya reaksi, dan gravitasi diarahkan secara tangensial. Saat bergerak di sepanjang bagian bawah loop, gaya reaksi juga akan melebihi nilai maksimum Gaya reaksi H ada di titik D. Berarti , dengan demikian, adalah nilai minimum gaya reaksi.

Kecepatan mobil akan konstan jika komponen tangensial gravitasi tidak melebihi gaya gesekan maksimum k N di semua titik dalam loop. Kondisi ini tentu terpenuhi jika nilai minimum melebihi nilai maksimum komponen tangensial dari gaya berat. Dalam kasus kami, nilai maksimum ini sama dengan m g(tercapai pada titik Dengan), dan kondisi dipenuhi untuk k= 0,5, = 200 km/jam, R= 100m

Jadi, dalam kasus kami, pergerakan mobil di sepanjang "loop mati" dengan kecepatan konstan dimungkinkan.

Pertimbangkan sekarang pergerakan mobil di sepanjang "loop mati" dengan mesin mati. Seperti yang telah dicatat, biasanya momen gaya gesek berlawanan dengan momen yang diterapkan pada roda oleh motor. Ketika mobil bergerak dengan mesin mati, momen ini tidak ada, dan gaya gesekan antara roda mobil dan jalan dapat diabaikan.

Kecepatan mobil tidak lagi konstan - komponen tangensial gravitasi memperlambat atau mempercepat pergerakan mobil di sepanjang "lingkaran mati". Percepatan sentripetal juga akan berubah. Itu dibuat, seperti biasa, oleh gaya reaksi yang dihasilkan dari jalan dan proyeksi gravitasi pada arah menuju pusat lingkaran.

Tugas 10. Berapakah kecepatan minimum yang harus dimiliki mobil di dasar lingkaran? D(lihat Gambar 8) untuk membuatnya dengan mesin mati? Berapakah gaya tekanan mobil di jalan pada titik tersebut? PADA? radius lingkaran R= 100 m, berat kendaraan m= 0,5 t.

Mari kita lihat berapa kecepatan minimum yang dapat dimiliki mobil di bagian atas lingkaran TETAPI untuk terus bergerak di sekitar lingkaran?

Percepatan sentripetal pada titik itu di jalan dibuat oleh jumlah gaya gravitasi dan gaya reaksi jalan . Semakin rendah kecepatan mobil, semakin rendah gaya reaksi. tidak ada. Dengan nilai, kekuatan ini menghilang. Pada kecepatan yang lebih rendah, gravitasi akan melebihi nilai yang dibutuhkan untuk menciptakan percepatan sentripetal, dan mobil akan terangkat dari jalan. Pada kecepatan, gaya reaksi jalan menghilang hanya di bagian atas putaran. Memang, kecepatan mobil di bagian lain dari loop akan lebih besar, dan karena mudah untuk melihat dari solusi masalah sebelumnya, gaya reaksi jalan juga akan lebih besar daripada di titik. TETAPI. Oleh karena itu, jika mobil di bagian atas lingkaran memiliki kecepatan , maka mobil tersebut tidak akan meninggalkan lingkaran di mana pun.

Sekarang kita tentukan berapa kecepatan yang seharusnya dimiliki mobil di bagian bawah lingkaran D ke puncak lingkaran TETAPI kecepatannya. Untuk mencari kecepatan D Anda dapat menggunakan hukum kekekalan energi, seolah-olah mobil hanya bergerak di bawah pengaruh gravitasi. Faktanya adalah bahwa gaya reaksi jalan pada setiap momen diarahkan tegak lurus terhadap pergerakan mobil, dan, oleh karena itu, usahanya adalah nol (ingat bahwa usaha A = F·Δ s cos , di mana adalah sudut antara gaya F dan arah gerakan s). Gaya gesekan antara roda mobil dan jalan saat mengemudi dengan mesin mati dapat diabaikan. Oleh karena itu, jumlah energi potensial dan kinetik mobil saat mengemudi dengan mesin mati tidak berubah.

Mari kita samakan nilai energi mobil di titik-titik TETAPI dan D. Dalam hal ini, kita akan menghitung ketinggian dari level titik D, yaitu, energi potensial mobil pada titik ini akan dianggap sama dengan nol. Kemudian kita mendapatkan

Mengganti di sini nilai untuk kecepatan yang diinginkan D, kita menemukan: 70 m/s 260 km/jam.

Jika mobil memasuki putaran pada kecepatan ini, mobil akan dapat menyelesaikannya dengan mesin mati.

Sekarang mari kita tentukan dengan gaya apa mobil akan menekan jalan pada titik tersebut PADA. Kecepatan kendaraan di titik PADA sekali lagi mudah untuk menemukan dari hukum kekekalan energi:

Mengganti nilai di sini, kami menemukan bahwa kecepatan .

Menggunakan solusi dari masalah sebelumnya, untuk kecepatan tertentu, kami menemukan gaya tekanan di titik B:

Demikian pula, Anda dapat menemukan gaya tekanan di titik lain dari "loop mati".

Latihan

1. Tentukan kecepatan sudut satelit Bumi buatan yang berputar pada orbit melingkar dengan periode revolusi T= 88 menit Temukan kecepatan linier satelit ini, jika diketahui bahwa orbitnya terletak pada jarak R= 200 km dari permukaan bumi.

2. Jari-jari cakram R ditempatkan di antara dua batang paralel. Rel bergerak dengan kecepatan 1 dan 2. Tentukan kecepatan sudut cakram dan kecepatan pusatnya. Tidak ada selip.

3. Disk menggelinding pada permukaan horizontal tanpa tergelincir. Tunjukkan bahwa ujung-ujung vektor kecepatan dari titik-titik diameter vertikal berada pada garis lurus yang sama.

4. Pesawat bergerak melingkar dengan kecepatan horizontal konstan = 700 km/jam. Tentukan Radius R lingkaran ini jika badan pesawat dimiringkan dengan sudut = 5 °.

5. Beban massal m\u003d 100 g, tergantung pada seutas benang aku= 1 m, berputar beraturan melingkar pada bidang horizontal. Tentukan periode rotasi beban jika, selama rotasinya, benang dibelokkan secara vertikal dengan sudut = 30°. Tentukan juga tegangan utasnya.

6. Mobil bergerak dengan kecepatan = 80 km/jam sepanjang permukaan dalam silinder vertikal berjari-jari R= 10 m dalam lingkaran mendatar. Berapakah koefisien gesekan minimum antara ban mobil dan permukaan silinder yang mungkin?

7. Beban massa m ditangguhkan dari utas yang tidak dapat diperpanjang, tegangan maksimum yang mungkin adalah 1,5 m g. Pada sudut maksimum berapakah benang dapat dibelokkan dari vertikal sehingga benang tidak putus selama pemindahan beban selanjutnya? Berapakah tegangan benang pada saat benang membentuk sudut /2 dengan vertikal?

jawaban

I. Kecepatan sudut satelit Bumi buatan 0,071 rad/s. Kecepatan linier satelit = · R. di mana R adalah jari-jari orbit. Mengganti di sini R = R 3 + h, di mana R 3 6400 km, kami menemukan 467 km/s.

2. Dua kasus dimungkinkan di sini (Gbr. 1). Jika kecepatan sudut piringan adalah , dan kecepatan pusatnya adalah , maka kecepatan titik-titik yang bersentuhan dengan rel masing-masing akan sama dengan

dalam kasus a) 1 = + R, 2 = - R;

dalam kasus b) 1 = + R, 2 = R – υ.

(Kami berasumsi untuk kepastian bahwa 1 > 2). Memecahkan sistem ini, kami menemukan:

sebuah)

b)

3. Kecepatan titik mana pun M berbaring di segmen OV(lihat Gambar 2) ditemukan dengan rumus M = υ + ω· rM, di mana rM- jarak dari titik M ke tengah disk HAI. Untuk titik mana pun N milik segmen OA, kami memiliki: N = υ – ω· rN, di mana r N- jarak dari titik N ke pusat. Dilambangkan dengan jarak dari sembarang titik diameter VA ke titik TETAPI kontak disk dengan pesawat. Maka jelas bahwa rM = ρ – R dan r N = R – ρ = –(ρ – R). di mana R adalah radius disk. Oleh karena itu, kecepatan setiap titik pada diameter VA ditemukan dengan rumus: ρ = + (ρ – R). Karena piringan menggelinding tanpa slip, maka untuk kecepatan diperoleh = · . Dari sini dapat disimpulkan bahwa ujung-ujung vektor kecepatan berada pada garis lurus yang berasal dari titik TETAPI dan condong ke diameter VA pada sudut yang sebanding dengan kecepatan sudut rotasi piringan .

Pernyataan terbukti memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa pergerakan kompleks titik-titik yang terletak pada diameter VA, dapat dianggap pada saat tertentu sebagai rotasi sederhana di sekitar titik tetap TETAPI dengan kecepatan sudut sama dengan kecepatan sudut rotasi di sekitar pusat piringan. Memang, pada setiap saat kecepatan titik-titik ini diarahkan tegak lurus terhadap diameter VA, dan besarnya sama dengan hasil kali dan jarak ke titik TETAPI.

Ternyata pernyataan ini benar untuk setiap titik pada disk. Selain itu, itu adalah aturan umum. Dengan setiap gerakan benda kaku, setiap saat ada sumbu di mana tubuh hanya berputar - sumbu rotasi sesaat.

4. Pesawat dipengaruhi (lihat Gambar 3) oleh gravitasi R = m g dan kekuatan angkat N, diarahkan tegak lurus terhadap bidang sayap (karena pesawat bergerak dengan kecepatan konstan, gaya dorong dan gaya hambat keseimbangan udara satu sama lain). Gaya resultan R

6. Mobil dipengaruhi (Gbr. 5) oleh gravitasi R = m g, gaya reaksi dari sisi silinder N dan gaya gesekan F tp Karena mobil bergerak dalam lingkaran horizontal, gaya R dan F tp saling menyeimbangkan, dan gaya N menghasilkan percepatan sentripetal. Nilai maksimum gaya gesekan terkait dengan gaya reaksi N perbandingan: F tp = k N. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan: , dari mana nilai minimum koefisien gesekan ditemukan

7. Beban akan bergerak dalam radius lingkaran aku(Gbr. 6). Percepatan sentripetal beban (υ - kecepatan beban) dibuat oleh perbedaan nilai gaya tegangan ulir T dan proyeksi gravitasi m g arah benang: . Jadi , di mana adalah sudut yang dibentuk oleh ulir dengan vertikal. Saat beban turun, kecepatannya akan meningkat dan sudut akan berkurang. Ketegangan ulir akan menjadi maksimum pada sudut = 0 (pada saat ulir vertikal): . Kecepatan maksimum beban 0 ditemukan dari sudut , di mana ulir dibelokkan, dari hukum kekekalan energi:

Dengan menggunakan rasio ini, untuk nilai maksimum tegangan ulir, kami memperoleh rumus: T maks = m g(3 – 2 karena ). Sesuai tugas T mx = 2m g. Menyamakan ekspresi ini, kami menemukan cos = 0,5 dan, oleh karena itu, = 60 °.

Sekarang mari kita tentukan tegangan benang di . Kecepatan beban pada saat ini juga ditemukan dari hukum kekekalan energi:

Substitusikan nilai 1 ke dalam rumus gaya tarik, kita dapatkan: