Rumus penjumlahan memungkinkan Anda untuk menyatakan sin(2*a), cos(2*a), dan tg(a) dalam bentuk fungsi trigonometri sudut a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Mari kita tetapkan a = b dalam rumus ini. Hasilnya, kami memperoleh identitas berikut:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Identitas ini disebut rumus sudut ganda. Pertimbangkan beberapa contoh penerapan rumus sudut ganda.

Contoh 1 Tentukan nilai sin(2*a) dengan mengetahui bahwa cos(a) = -0,8 dan a adalah sudut seperempat ke-3. Keputusan:

Pertama kita hitung sin(a). Karena sudut a adalah seperempat ketiga, sinus pada kuartal ketiga akan negatif:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

Menurut rumus sinus sudut ganda, kita memiliki:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

Jawaban: sin(2*a) = 0,96.

Contoh 2 Sederhanakan ekspresi sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Keputusan:

Mari kita singkirkan sin(a)*cos(a) dari tanda kurung. Kita mendapatkan:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Sekarang kita menggunakan rumus sudut ganda:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*dosa(4*a).

Jawaban: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Menggunakan rumus sudut ganda, Anda bisa mendapatkan ekspresi berikut:

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Terkadang ketika memecahkan contoh, sangat nyaman untuk menggunakan rumus ini. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 3 Sederhanakan ekspresi (1-cos(a))/(1+cos(a)). Keputusan:

Mari kita terapkan rumus yang ditulis di atas untuk ekspresi (1-cos(a)) dan (1+cos(a)). Untuk melakukan ini, pertama-tama kita nyatakan sudut a dalam bentuk produk berikut 2*(a/2).

Sebagai hasil dari transformasi, kita mendapatkan:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Menggunakan definisi tangen, kami memiliki:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Jawaban: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Pertanyaan yang paling sering diajukan

Apakah mungkin untuk membuat segel pada dokumen sesuai dengan sampel yang disediakan? Menjawab Iya itu mungkin. Kirim salinan pindaian atau foto berkualitas baik ke alamat email kami, dan kami akan membuat duplikat yang diperlukan.

Apa jenis pembayaran yang Anda terima? Menjawab Anda dapat membayar dokumen pada saat diterima oleh kurir, setelah Anda memeriksa kebenaran pengisian dan kualitas ijazah. Ini juga dapat dilakukan di kantor perusahaan pos yang menawarkan layanan pengiriman uang tunai.
Semua syarat pengiriman dan pembayaran dokumen dijelaskan di bagian "Pembayaran dan Pengiriman". Kami juga siap mendengarkan saran Anda mengenai syarat pengiriman dan pembayaran dokumen.

Bisakah saya yakin bahwa setelah melakukan pemesanan Anda tidak akan hilang dengan uang saya? Menjawab Kami memiliki pengalaman yang cukup panjang di bidang produksi ijazah. Kami memiliki beberapa situs yang terus diperbarui. Spesialis kami bekerja di berbagai bagian negara, menghasilkan lebih dari 10 dokumen sehari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu banyak orang memecahkan masalah pekerjaan mereka atau pindah ke pekerjaan dengan gaji lebih tinggi. Kami telah mendapatkan kepercayaan dan pengakuan di antara pelanggan kami, jadi sama sekali tidak ada alasan bagi kami untuk melakukannya. Selain itu, tidak mungkin melakukannya secara fisik: Anda membayar pesanan Anda pada saat menerimanya di tangan Anda, tidak ada pembayaran di muka.

Bisakah saya memesan ijazah dari universitas mana pun? Menjawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja di bidang ini selama hampir 12 tahun. Selama ini, database dokumen yang hampir lengkap diterbitkan oleh hampir semua universitas di tanah air dan untuk tahun penerbitan yang berbeda telah terbentuk. Yang Anda butuhkan hanyalah memilih universitas, spesialisasi, dokumen, dan mengisi formulir pemesanan.

Apa yang harus saya lakukan jika saya menemukan kesalahan ketik dan kesalahan dalam dokumen? Menjawab Saat menerima dokumen dari kurir atau perusahaan pos kami, kami menyarankan Anda untuk memeriksa semua detail dengan cermat. Jika ditemukan kesalahan ketik, kesalahan atau ketidaktepatan, Anda berhak untuk tidak mengambil ijazah, dan Anda harus menunjukkan kekurangan yang ditemukan secara pribadi kepada kurir atau secara tertulis dengan mengirimkan email.
Sesegera mungkin, kami akan memperbaiki dokumen dan mengirimkannya kembali ke alamat yang ditentukan. Tentu saja, pengiriman akan dibayar oleh perusahaan kami.
Untuk menghindari kesalahpahaman seperti itu, sebelum mengisi formulir asli, kami mengirim tata letak dokumen mendatang ke email pelanggan untuk verifikasi dan persetujuan versi final. Sebelum mengirimkan dokumen melalui kurir atau pos, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam sinar ultraviolet) sehingga Anda memiliki gambaran visual tentang apa yang akan Anda dapatkan pada akhirnya.

Apa yang perlu Anda lakukan untuk memesan ijazah dari perusahaan Anda? Menjawab Untuk memesan dokumen (sertifikat, diploma, sertifikat akademik, dll.), Anda harus mengisi formulir pemesanan online di situs web kami atau memberikan email Anda sehingga kami mengirimkan formulir kuesioner, yang perlu Anda isi dan kirimkan kembali kepada kami.
Jika Anda tidak tahu apa yang harus ditunjukkan di kolom formulir pemesanan/kuesioner, biarkan kosong. Oleh karena itu, kami akan mengklarifikasi semua informasi yang hilang melalui telepon.

Ulasan Terbaru

Torywild:

Saya memutuskan untuk membeli ijazah dari perusahaan Anda ketika saya pindah ke kota lain, tetapi saya tidak dapat menemukan ijazah saya di antara barang-barang saya. Tanpa dia, saya tidak akan dipekerjakan untuk pekerjaan dengan gaji yang baik. Konsultan Anda meyakinkan saya bahwa informasi ini tidak diungkapkan, dan tidak ada yang akan membedakan dokumen dari aslinya. Keraguan tidak hilang, tetapi saya harus mengambil kesempatan. Saya suka bahwa tidak ada pembayaran di muka yang diperlukan. Secara umum, saya menerima ijazah saya tepat waktu dan saya tidak tertipu. Terima kasih!

Oksana Ivanovna:

Ketika ijazah saya dicuri, saya sangat marah. Lagi pula, saya dipecat pada waktu itu, dan sekarang hampir tidak mungkin untuk menemukan pekerjaan yang baik tanpa ijazah pendidikan tinggi. Untungnya, seorang tetangga menyarankan untuk menghubungi organisasi Anda. Saya skeptis pada awalnya, tetapi memutuskan untuk mengambil kesempatan. Saya menelepon manajer perusahaan dan menjelaskan situasi saya. Dan aku beruntung! Mereka melakukan semuanya dengan segera, dan yang paling penting, mereka berjanji untuk tidak membocorkan rahasia saya. Saya khawatir nanti fakta pembelian ijazah saya tidak akan muncul ke permukaan.

Masha Kutenkova:

Terima kasih atas kerjamu! Memesan diploma pada tahun 1991. Ketika mereka mulai mengumpulkan dokumen, ternyata hanya ada sedikit pengalaman, dan kertas yang mengkonfirmasi pendidikan juga diperlukan. Saya tidak memilikinya, dan bos mengetahui hal ini, dan dia sendiri merekomendasikan perusahaan Anda (Anda tahu, saya seorang karyawan, tidak seperti itu). Pada dokumen itu, dia menunjukkan detailnya kepada saya - mereka mengatakan, pada tahun berapa tinta atau tinta digunakan, ketebalan tanda tangan, dll. Terima kasih atas ketelitian dan kualitasnya!

LenOK:

Setelah membaca cerita tentang pemecatan memalukan dari karyawan yang ijazahnya dicetak pada printer berwarna, saya pergi untuk mendaftar ke universitas. Sayangnya, tidak ada anggaran, tidak ada uang untuk belajar dan membayar sesi, saya harus mengambil risiko. Meskipun saya sangat senang bahwa saya mengenal perusahaan Anda. Meskipun saya tidak dipekerjakan dengan ijazah Anda, karena kegagalan blok praktis, ini bukan salah Anda. Segera setelah saya menemukan tempat baru - segera untuk Anda, tanpa penundaan!

Jerry Terry:

Melihat dengan rasa malu rekan saya keluar dari pekerjaan karena ijazah palsu, sangat menakutkan untuk mengikuti teladannya. Jika bukan karena ayah baptis yang memesan dari Anda, saya tidak akan mengambil risiko itu. Dia meyakinkan saya bahwa semuanya berjalan lancar di sini, dan nama saya akan ada di mana-mana jika diperlukan. Saya punya 4 hari untuk semuanya. Terima kasih atas kecepatannya - kami melakukannya dalam 3, dan juga berhasil mempelajari dengan cermat cara memalsukan dokumen, tetapi formulir Anda tidak cocok dengan yang palsu, yang berarti itu akan sesuai dengan aslinya.

Andrei:

Saya tidak akan pernah berpikir bahwa saya harus membeli ijazah. Sepulang sekolah, putrinya berangkat ke Polandia untuk bekerja, ketika dia kembali setelah 5 tahun, dia ingin mendapatkan pekerjaan sebagai perancang busana di rumah mode lokal. Tanpa ijazah, tidak ada yang mau membawanya bekerja. Dia mengerti bahwa jika dia tidak mendapatkan pekerjaan ini, dia akan pergi lagi. Saya menjelajahi Internet di malam hari, dan di pagi hari saya sudah berada di kantor dengan dokumen putri saya. Seminggu kemudian, dia membawa ijazahnya, dan dia akhirnya tetap bekerja di kotanya pada posisi yang diinginkan. Anda tidak tahu betapa bersyukurnya saya!

Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!

Rumus sudut ganda memungkinkan untuk menyatakan fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen) dari sudut ` 2\alpha` dalam kaitannya dengan fungsi sudut `\alpha` ini.

Daftar di bawah ini adalah rumus dasar sudut ganda yang paling umum digunakan dalam trigonometri. Ada tiga dari mereka untuk kosinus, semuanya setara dan sama pentingnya.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alfa-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`

Identitas berikut menyatakan semua fungsi trigonometri sudut `2\alpha` dalam bentuk fungsi tangen dan kotangen dari sudut `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Rumus untuk kosinus dan sinus dari sudut ganda berlaku untuk setiap sudut `\alfa`. Rumus untuk tangen sudut ganda berlaku untuk `\alpha` yang `tg \ 2\alpha` didefinisikan, yaitu, untuk ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \di Z`. Demikian pula, untuk kotangen, mereka berlaku untuk `\alpha` di mana `ctg \ 2\alpha` didefinisikan, yaitu, untuk ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Bukti rumus sudut ganda

Semua rumus sudut rangkap diturunkan dari rumus jumlah dan selisih sudut fungsi trigonometri.

Mari kita ambil dua rumus untuk jumlah sudut sinus dan cosinus:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` and `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Ambil `\beta=\alpha`, lalu `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, mirip dengan `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, yang dan membuktikan rumus sudut ganda untuk sinus dan cosinus.

Dua persamaan lainnya untuk cosinus ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` dan `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` direduksi menjadi apa yang telah dibuktikan jika kita ganti 1 di dalamnya menjadi `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Jadi `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` dan ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Untuk membuktikan rumus tangen sudut ganda dan kotangen, kita menggunakan definisi fungsi-fungsi ini. Tulis `tg \ 2\alpha` dan `ctg \ 2\alpha` sebagai `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` dan `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Menerapkan rumus sudut ganda yang sudah terbukti untuk sinus dan kosinus, kita mendapatkan `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` dan `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\ \alpha)`.

Dalam kasus garis singgung, kita membagi pembilang dan penyebut pecahan terakhir dengan `cos^2 \alpha`, untuk kotangen, sebaliknya, dengan `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alfa)(1-tg^2\alfa)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.

Kami juga menyarankan menonton video untuk mengkonsolidasikan materi teoretis dengan lebih baik:

Contoh penggunaan rumus dalam memecahkan masalah

Rumus sudut ganda dalam banyak kasus digunakan untuk mengubah ekspresi trigonometri. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus, bagaimana Anda dapat menerapkannya dalam praktik saat memecahkan masalah tertentu.

Contoh 1. Periksa validitas identitas sudut ganda untuk `\alpha=30^\circ`.

Keputusan. Rumus kami menggunakan dua sudut `\alpha` dan `2\alpha`. Nilai sudut pertama diberikan dalam kondisi, yang kedua akan menjadi `2\alpha=60^\circ` masing-masing. Kami juga mengetahui nilai numerik untuk semua fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Mari kita tuliskan:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` dan

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

Maka kita akan memiliki

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ persegi 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

Yang membuktikan validitas persamaan untuk sudut yang diberikan dalam kondisi.

Contoh 2. Nyatakan `sin \frac (2\alpha)3` dalam bentuk fungsi trigonometri sudut `\frac (\alpha)6`.

Keputusan. Kami menulis sudut sinus sebagai berikut ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Kemudian, dengan menerapkan rumus sudut ganda dua kali, kita dapat menyelesaikan masalah kita.

Pertama, kita menggunakan persamaan sinus sudut ganda: `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, sekarang kita terapkan rumus untuk sinus dan cosinus lagi masing-masing. Hasilnya, kita mendapatkan:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Menjawab. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Rumus Sudut Tiga

Rumus ini, mirip dengan rumus sebelumnya, memungkinkan untuk menyatakan fungsi sudut ` 3\alpha` dalam kaitannya dengan fungsi sudut `\alpha` ini.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Anda dapat membuktikannya menggunakan persamaan jumlah dan selisih sudut, serta rumus sudut ganda yang terkenal.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Dalam rumus yang dihasilkan, ganti `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` dengan `1-sin^2\alpha` dan dapatkan `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Juga untuk kosinus dari sudut rangkap tiga:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Mengganti `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` dengan `1-cos^2\alpha` dalam persamaan terakhir, kita mendapatkan `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.

Menggunakan identitas terbukti untuk sinus dan cosinus, seseorang dapat membuktikan tangen dan kotangen:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alfa)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

Untuk membuktikan rumus sudut ` 4\alpha`, Anda dapat menyatakannya sebagai ` 2 \cdot 2\alpha` dan mencoba rumus sudut ganda dua kali.

Untuk menurunkan persamaan yang serupa untuk sudut `5\alpha`, Anda dapat menuliskannya sebagai `3\alpha + 2\alpha` dan menerapkan identitas jumlah dan selisih sudut dan sudut rangkap dua dan rangkap tiga.

Demikian pula, semua rumus untuk banyak sudut lainnya diturunkan, sehingga jarang diperlukan dalam praktik.

Dalam trigonometri, banyak rumus lebih mudah disimpulkan daripada dihafal. Kosinus sudut ganda adalah rumus yang luar biasa! Ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan rumus reduksi dan rumus setengah sudut.

Jadi, kita membutuhkan kosinus sudut ganda dan satuan trigonometri:

Mereka bahkan serupa: dalam rumus kosinus sudut ganda - perbedaan antara kuadrat kosinus dan sinus, dan dalam unit trigonometri - jumlah mereka. Jika kita nyatakan kosinus dari satuan trigonometri:

dan substitusikan ke dalam kosinus sudut ganda, kita dapatkan:

Ini adalah rumus lain untuk kosinus sudut ganda:

Rumus ini adalah kunci untuk mendapatkan rumus reduksi:

Jadi, rumus untuk menurunkan derajat sinus adalah:

Jika di dalamnya sudut alfa diganti dengan setengah sudut alfa menjadi dua, dan sudut ganda dua alfa diganti dengan sudut alfa, maka kita mendapatkan rumus untuk setengah sudut sinus:

Sekarang, dari unit trigonometri, kami menyatakan sinus:

Substitusikan ekspresi ini ke dalam rumus kosinus sudut ganda:

Kami mendapat rumus lain untuk kosinus sudut ganda:

Rumus ini adalah kunci untuk menemukan pengurangan kosinus dan rumus setengah sudut untuk kosinus.

Jadi, rumus untuk menurunkan derajat kosinus adalah:

Jika kita mengganti dengan /2 di dalamnya, dan 2α dengan , maka kita mendapatkan rumus untuk argumen setengah untuk kosinus:

Karena tangen adalah rasio sinus terhadap cosinus, rumus untuk tangen adalah:

Cotangen adalah perbandingan cosinus dengan sinus. Jadi rumus kotangennya adalah:

Tentu saja, dalam proses penyederhanaan ekspresi trigonometri, tidak ada gunanya menurunkan rumus setengah sudut atau menurunkan derajat setiap saat. Jauh lebih mudah untuk meletakkan selembar formula di depan Anda. Dan penyederhanaan akan maju lebih cepat, dan memori visual akan menyala untuk menghafal.

Tetapi masih layak untuk menurunkan formula ini beberapa kali. Maka Anda akan benar-benar yakin bahwa selama ujian, ketika tidak ada cara untuk menggunakan lembar contekan, Anda dapat dengan mudah mendapatkannya jika diperlukan.

Rumus sudut ganda digunakan untuk menyatakan sinus, cosinus, tangen, kotangen dari suatu sudut dengan nilai 2 menggunakan fungsi trigonometri sudut . Artikel ini akan memperkenalkan semua rumus sudut ganda dengan bukti. Contoh penerapan formula akan dipertimbangkan. Di bagian akhir, rumus untuk sudut rangkap tiga, empat kali lipat akan ditampilkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Daftar rumus sudut ganda

Untuk mengonversi rumus sudut ganda, ingatlah bahwa sudut dalam trigonometri memiliki bentuk notasi n , di mana n adalah bilangan asli, nilai ekspresi ditulis tanpa tanda kurung. Dengan demikian, sin n dianggap memiliki arti yang sama dengan sin (n ) . Dengan notasi sin n kita memiliki notasi yang sama (sin ) n . Penggunaan notasi berlaku untuk semua fungsi trigonometri dengan pangkat n.

Berikut ini adalah rumus sudut rangkap:

sin 2 = 2 sin α cos cos 2 = cos 2 - sin 2 , cos 2 = 1 - 2 sin 2 , cos 2 = 2 cos 2 - 1 t g 2 = 2 t g α 1 - t g 2 c t g 2 - c t g 2 - 1 2 c t g

Perhatikan bahwa rumus sin dan cos ini berlaku untuk semua nilai sudut . Rumus untuk tangen sudut ganda berlaku untuk nilai apa pun, di mana t g 2 masuk akal, yaitu, ≠ 4 + 2 · z, z adalah bilangan bulat apa pun. Kotangen sudut ganda ada untuk sembarang , di mana c t g 2 didefinisikan pada ≠ 2 · z .

Kosinus sudut ganda memiliki notasi rangkap tiga dari sudut ganda. Semuanya dapat diterapkan.

Bukti rumus sudut ganda

Pembuktian rumus berasal dari rumus penjumlahan. Kami menerapkan rumus untuk sinus jumlah:

sin (α + β) = sin cos + cos sin dan cosinus dari jumlah cos (α + ) = cos α cos - sin sin . Misalkan = , maka diperoleh

sin (α + α) = sin cos + cos sin = 2 sin α cos dan cos (α + ) = cos α cos - sin α sin = cos 2 - sin2α

Dengan demikian, rumus untuk sinus dan cosinus dari sudut ganda sin 2 \u003d 2 sin cos dan cos 2 α \u003d cos 2 - sin 2 terbukti.

Rumus yang tersisa cos 2 \u003d 1 - 2 sin 2 dan cos 2 α \u003d 2 cos 2 - 1 mengarah ke bentuk cos 2 \u003d cos 2 \u003d cos 2 - sin 2 , saat mengganti 1 dengan jumlah kuadrat dengan identitas dasarnya sin 2 + cos 2 = 1 . Kita dapatkan bahwa sin 2 + cos 2 = 1. Jadi 1 - 2 sin 2 \u003d sin 2 + cos 2 - 2 sin 2 α \u003d cos 2 - sin 2 dan 2 cos 2 - 1 \u003d 2 cos 2 - (sin 2 α + cos 2 ) \u003d cos 2 - sin 2 .

Untuk membuktikan rumus sudut ganda tangen dan kotangen, kami menerapkan persamaan t g 2 \u003d sin 2 cos 2 dan c t g 2 \u003d cos 2 sin 2 . Setelah transformasi, kita mendapatkan bahwa t g 2 \u003d sin 2 cos 2 α \u003d 2 sin cos cos 2 - sin 2 dan c t g 2 α \u003d cos 2 sin 2 \u003d cos 2 - sin 2 2 · sin · cos . Bagilah ekspresi dengan cos 2 di mana cos 2 0 dengan nilai apa pun ketika t g didefinisikan. Bagilah ekspresi lain dengan sin 2 , di mana sin 2 0 dengan nilai apa pun dari , ketika c t g 2 masuk akal. Untuk membuktikan rumus sudut ganda untuk tangen dan kotangen, kita substitusikan dan dapatkan: