Newton Leibniz adalah seorang filsuf Jerman yang lahir pada 1 Juli 1646. Selain filsafat, ia terpesona oleh ilmu-ilmu eksakta. Dia membedakan dirinya dalam logika, matematika, mekanik, fisika, sejarah, diplomasi, dan mekanik. Newton juga dianggap sebagai penemu, sekaligus ahli bahasa. Dia adalah pendiri dan orang pertama yang dapat mengepalai Akademi Ilmu Pengetahuan di Berlin. Leibniz mengambil tempat kehormatan di Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis sebagai anggota asing.
Prestasi ilmiah paling penting dari Leibniz dianggap:
Pembuatan analisis matematis. Kalkulus adalah diferensial dan integral, yang didasarkan pada infinitesimals.
Dengan bantuannya, dasar logika matematika diletakkan.
Ilmu kombinatorik.
Sistem bilangan biner dengan angka 0 dan 1. Sekarang semua teknologi modern didasarkan pada mereka.
Bagi psikologi, ada kontribusi yang sangat penting, seperti konsep persepsi kecil yang tidak disadari. Selain itu, doktrin kehidupan mental bawah sadar muncul.
Dia mengungkapkan hukum kekekalan energi dan memperkenalkan konsep tenaga kerja.
Newton dianggap sebagai finalis filsafat abad ke-17. Dia menjadi nenek moyang sistem baru dan memberinya nama - monadologi. Selain prestasi dalam filsafat, ia mampu mengidentifikasi doktrin sintesis dan analisis. Leibniz merumuskannya sebagai hukum akal yang cukup. Dia mencatat, semua ini tidak hanya dimulai dari pemikiran dan logika, tetapi juga dari keberadaan dan ontologi. Filsuf dapat dikreditkan dengan kepenulisan formulasi modern dari hukum identitas. Dialah yang membawa ke dunia pemahaman tentang istilah "model".
Dalam tulisannya, Leibniz menulis tentang keragaman kemungkinan simulasi mesin di otak manusia. Ternyata, ia memiliki sejumlah besar fungsi. Ilmuwan inilah yang pertama kali memaparkan dunia pada gagasan bahwa beberapa jenis energi dapat ditransfer ke yang lain. Studi-studi ini telah memberikan kontribusi besar bagi fisika. Tentu saja, karya terpenting dan terkenal dalam hidupnya adalah formulanya. Mereka menyebutnya rumus Newton-Leibniz.
rumus newton leibniz
Biarkan beberapa fungsi kontinu f diberikan pada beberapa segmen sumbu Ox. Kami berasumsi bahwa fungsi ini tidak mengubah tandanya pada seluruh interval.
Jika f adalah fungsi kontinu dan non-negatif pada segmen tertentu, dan F adalah beberapa antiturunannya pada segmen ini, maka luas trapesium lengkung S sama dengan pertambahan antiturunan pada segmen ini.
Teorema ini dapat ditulis dalam rumus berikut:
S = F(b) – F(a)
Integral fungsi f(x) dari a ke b akan sama dengan S. Di sini dan di bawah, untuk menyatakan integral tertentu dari beberapa fungsi f(x), dengan batas integrasi dari a ke b, kita akan menggunakan notasi berikut (a;b)∫f( x). Di bawah ini adalah contoh tampilannya.
Jadi kita bisa menyamakan kedua hasil ini. Didapatkan: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), asalkan F adalah antiturunan untuk fungsi f pada . Rumus ini disebut rumus Newton-Leibniz. Ini akan benar untuk setiap fungsi kontinu f pada interval.
Rumus Newton-Leibniz digunakan untuk menghitung integral. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh 1: hitung integralnya. Kami menemukan antiturunan untuk integran x2. Salah satu antiturunannya adalah fungsi (x3)/3.
Sekarang kita menggunakan rumus Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Jawaban: (-1;2)∫x2dx = 3.
Contoh 2: hitung integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Temukan antiturunan untuk integral dan sin(x). Salah satu antiturunannya adalah fungsi –cos(x). Mari kita gunakan rumus Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Jawaban: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Kadang-kadang, untuk kesederhanaan dan kemudahan notasi, kenaikan fungsi F pada segmen (F(b)-F(a)) ditulis sebagai berikut:
Menggunakan notasi ini untuk kenaikan, rumus Newton-Leibniz dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Seperti disebutkan di atas, ini hanyalah singkatan untuk kemudahan merekam, tidak ada lagi yang terpengaruh oleh rekaman ini. Notasi ini dan rumus (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) akan setara.
Rumus ini masih digunakan oleh sejumlah besar ilmuwan dan kalkulator. Dengan bantuannya, Leibniz membawa perkembangan ke banyak ilmu.
Biarkan beberapa fungsi kontinu f diberikan pada beberapa segmen sumbu Ox. Kami berasumsi bahwa fungsi ini tidak mengubah tandanya pada seluruh interval.
Jika f adalah fungsi kontinu dan non-negatif pada segmen tertentu, dan F adalah beberapa antiturunannya pada segmen ini, maka luas trapesium lengkung S sama dengan pertambahan antiturunan pada segmen ini.
Teorema ini dapat ditulis dalam rumus berikut:
S = F(b) - F(a)
Integral fungsi f(x) dari a ke b akan sama dengan S. Di sini dan di bawah, untuk menyatakan integral tertentu dari beberapa fungsi f(x), dengan batas integrasi dari a ke b, kita akan menggunakan notasi berikut (a;b)∫f( x). Di bawah ini adalah contoh tampilannya.
rumus Newton-Leibniz
Jadi kita bisa menyamakan kedua hasil ini. Didapatkan: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), asalkan F adalah antiturunan untuk fungsi f pada . Rumus ini disebut rumus Newton-Leibniz. Ini akan benar untuk setiap fungsi kontinu f pada interval.
Rumus Newton-Leibniz digunakan untuk menghitung integral. Mari kita lihat beberapa contoh:
Contoh 1: menghitung integral. Temukan antiturunan untuk integran x 2 . Salah satu antiturunannya adalah fungsi (x 3)/3.
Sekarang kita menggunakan rumus Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Jawaban: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Contoh 2: hitung integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Temukan antiturunan untuk integral dan sin(x). Salah satu antiturunannya adalah fungsi -cos(x). Mari kita gunakan rumus Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Jawaban: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Kadang-kadang, untuk kesederhanaan dan kemudahan notasi, kenaikan fungsi F pada segmen (F(b)-F(a)) ditulis sebagai berikut:
Menggunakan notasi ini untuk kenaikan, rumus Newton-Leibniz dapat ditulis ulang sebagai berikut:
Seperti disebutkan di atas, ini hanyalah singkatan untuk kemudahan merekam, tidak ada lagi yang terpengaruh oleh rekaman ini. Notasi ini dan rumus (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) akan setara.
integral tertentu dari fungsi kontinu f(x) pada selang berhingga [ sebuah, b] (di mana ) adalah pertambahan beberapa antiturunannya pada segmen ini. (Secara umum, pemahaman akan terasa lebih mudah jika Anda mengulangi topik integral tak tentu) Dalam hal ini, notasi
Seperti dapat dilihat pada grafik di bawah ini (kenaikan fungsi antiturunan ditunjukkan oleh ), Integral tentu bisa positif atau negatif.(Dihitung sebagai selisih antara nilai antiturunan di batas atas dan nilainya di batas bawah, yaitu sebagai F(b) - F(sebuah)).
angka sebuah dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas integrasi, dan interval [ sebuah, b] adalah segmen integrasi.
Jadi, jika F(x) adalah beberapa fungsi antiturunan untuk f(x), maka menurut definisi
(38)
Persamaan (38) disebut rumus Newton-Leibniz . Perbedaan F(b) – F(sebuah) secara singkat ditulis seperti ini:
Oleh karena itu, rumus Newton-Leibniz akan ditulis sebagai berikut:
(39)
Mari kita buktikan bahwa integral tertentu tidak bergantung pada antiturunan integran mana yang diambil saat menghitungnya. Biarlah F(x) dan F( X) adalah antiturunan arbitrer dari integran. Karena ini adalah antiturunan dari fungsi yang sama, mereka berbeda dengan suku yang konstan: ( X) = F(x) + C. Jadi
Dengan demikian, ditetapkan bahwa pada segmen [ sebuah, b] kenaikan semua antiturunan fungsi f(x) cocok.
Jadi, untuk menghitung integral tertentu, perlu untuk menemukan antiturunan dari integran, yaitu. Pertama, Anda perlu menemukan integral tak tentu. Konstan Dengan dikeluarkan dari perhitungan selanjutnya. Kemudian diterapkan rumus Newton-Leibniz: nilai batas atas disubstitusikan ke dalam fungsi antiturunan b , selanjutnya - nilai batas bawah sebuah dan hitung selisihnya F(b) - F(a) . Jumlah yang dihasilkan akan menjadi integral tertentu..
Pada sebuah = b diterima menurut definisi
Contoh 1
Keputusan. Mari kita cari integral tak tentu terlebih dahulu:
Menerapkan rumus Newton-Leibniz ke antiturunan
(pada Dengan= 0), kita peroleh
Namun, ketika menghitung integral tertentu, lebih baik tidak mencari antiturunan secara terpisah, tetapi segera tulis integral dalam bentuk (39).
Contoh 2 Hitung integral tertentu
Keputusan. Menggunakan rumus
Sifat-sifat Integral Pasti
Teorema 2.Nilai integral tentu tidak tergantung pada penunjukan variabel integrasi, yaitu
(40)
Biarlah F(x) adalah antiturunan untuk f(x). Untuk f(t) antiturunannya adalah fungsi yang sama F(t), di mana variabel independen dilambangkan secara berbeda. Karena itu,
Berdasarkan rumus (39), persamaan terakhir berarti persamaan integralnya
Teorema 3.Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu, yaitu
(41)
Teorema 4.Integral tentu dari jumlah aljabar dari sejumlah fungsi berhingga sama dengan jumlah aljabar dari integral tertentu dari fungsi-fungsi ini, yaitu
(42)
Teorema 5.Jika segmen integrasi dibagi menjadi beberapa bagian, maka integral tertentu seluruh segmen sama dengan jumlah integral tertentu atas bagian-bagiannya, yaitu jika
(43)
Teorema 6.Ketika mengatur ulang batas-batas integrasi, nilai mutlak integral tertentu tidak berubah, tetapi hanya tandanya yang berubah, yaitu
(44)
Teorema 7(teorema nilai rata-rata). Integral tertentu sama dengan produk dari panjang segmen integrasi dan nilai integran di beberapa titik di dalamnya, yaitu
(45)
Teorema 8.Jika batas integral atas lebih besar dari batas bawah dan integralnya tidak negatif (positif), maka integral tentu juga non-negatif (positif), yaitu jika
Teorema 9.Jika batas atas integrasi lebih besar dari batas bawah dan fungsi dan kontinu, maka pertidaksamaan
dapat diintegrasikan istilah demi istilah, yaitu
(46)
Sifat-sifat integral tertentu memungkinkan kita untuk menyederhanakan perhitungan integral secara langsung.
Contoh 5 Hitung integral tertentu
Menggunakan Teorema 4 dan 3, dan ketika menemukan antiturunan - integral tabular (7) dan (6), kita peroleh
Integral tentu dengan batas atas variabel
Biarlah f(x) kontinu pada ruas [ sebuah, b] fungsi, dan F(x) adalah prototipenya. Perhatikan integral tertentu
(47)
dan melalui t variabel integrasi dilambangkan agar tidak membingungkannya dengan batas atas. Ketika itu berubah X integral tertentu (47) juga berubah, yaitu, itu adalah fungsi dari batas atas integrasi X, yang dilambangkan dengan F(X), yaitu
(48)
Mari kita buktikan bahwa fungsi F(X) adalah antiturunan untuk f(x) = f(t). Memang, membedakan F(X), kita mendapatkan
sebagai F(x) adalah antiturunan untuk f(x), sebuah F(sebuah) adalah nilai konstan.
Fungsi F(X) adalah salah satu himpunan antiturunan tak berhingga untuk f(x), yaitu yang x = sebuah pergi ke nol. Pernyataan ini diperoleh jika dalam persamaan (48) kita menempatkan x = sebuah dan gunakan Teorema 1 dari bagian sebelumnya.
Perhitungan integral tertentu dengan metode integrasi bagian dan metode perubahan variabel
dimana, menurut definisi, F(x) adalah antiturunan untuk f(x). Jika dalam integral kita membuat perubahan variabel
maka, sesuai dengan rumus (16), kita dapat menulis
Dalam ekspresi ini
fungsi antiturunan untuk
Memang, turunannya, menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, adalah sama dengan
Biarkan dan menjadi nilai variabel t, yang fungsinya
mengambil masing-masing nilai sebuah dan b, yaitu
Tetapi, menurut rumus Newton-Leibniz, perbedaannya F(b) – F(sebuah) ada
Solusi dari masalah yang diterapkan direduksi menjadi perhitungan integral, tetapi tidak selalu mungkin untuk melakukan ini secara akurat. Terkadang kita perlu mengetahui nilai integral tertentu dengan tingkat akurasi tertentu, misalnya hingga seperseribu.
Ada tugas ketika akan diperlukan untuk menemukan nilai perkiraan integral tertentu dengan akurasi yang diperlukan, maka integrasi numerik digunakan seperti metode Simposn, trapesium, persegi panjang. Tidak semua kasus memungkinkan kita untuk menghitungnya dengan akurasi tertentu.
Artikel ini membahas penerapan rumus Newton-Leibniz. Hal ini diperlukan untuk perhitungan yang tepat dari integral tertentu. Contoh rinci akan diberikan, perubahan variabel dalam integral tertentu akan dipertimbangkan, dan kita akan menemukan nilai integral tertentu ketika diintegralkan dengan bagian.
Yandex.RTB R-A-339285-1
rumus Newton-Leibniz
Definisi 1Ketika fungsi y = y (x) kontinu dari segmen [ a ; b ], dan F (x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi segmen ini, maka rumus Newton-Leibniz dianggap adil. Mari kita tuliskan seperti ini a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Rumus ini dianggap rumus dasar kalkulus integral.
Untuk membuktikan rumus ini, perlu digunakan konsep integral dengan batas atas variabel yang tersedia.
Ketika fungsi y = f (x) kontinu dari segmen [ a ; b ] , maka nilai argumen x a ; b , dan integralnya berbentuk a x f (t) d t dan dianggap sebagai fungsi dari batas atas. Perlu untuk menerima notasi fungsi yang berbentuk a x f (t) d t = (x) , kontinu, dan bentuk pertidaksamaan a x f (t) d t " = " (x) = f (x) berlaku untuk itu.
Kami memperbaiki bahwa kenaikan fungsi (x) sesuai dengan kenaikan argumen x , perlu untuk menggunakan properti utama kelima dari integral tertentu dan memperoleh
(x + ∆ x) - x = a x + x f (t) d t - a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + x - x = f(c) x
dimana nilai c x ; x + x .
Kami memperbaiki persamaan dalam bentuk (x + x) - (x) x = f (c) . Dengan mendefinisikan turunan dari suatu fungsi, perlu melewati batas sebagai x → 0, maka kita mendapatkan rumus bentuk yang terletak di [ a ; b ] Jika tidak, ekspresi dapat ditulis
F (x) = (x) + C = a x f (t) d t + C , dimana nilai C konstan.
Mari kita hitung F (a) menggunakan sifat pertama integral tertentu. Kemudian kita mendapatkan itu
F (a) = (a) + C = a a f (t) d t + C = 0 + C = C , maka C = F (a) . Hasilnya berlaku saat menghitung F (b) dan kita mendapatkan:
F (b) = (b) + C = a b f (t) d t + C = a b f (t) d t + F (a) , dengan kata lain, F (b) = a b f (t) d t + F ( a) . Persamaan membuktikan rumus Newton-Leibniz a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Kenaikan fungsi diambil sebagai F x a b = F (b) - F (a) . Dengan bantuan notasi, rumus Newton-Leibniz menjadi a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Untuk menerapkan rumus tersebut, perlu diketahui salah satu antiturunan y = F (x) dari integral y = f (x) dari segmen [ a ; b ] , hitung kenaikan antiturunan dari segmen ini. Perhatikan beberapa contoh perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz.
Contoh 1
Hitung integral tentu 1 3 x 2 d x menggunakan rumus Newton-Leibniz.
Keputusan
Pertimbangkan bahwa integral dari bentuk y = x 2 kontinu dari interval [ 1 ; 3 ] , maka dan dapat diintegralkan pada segmen ini. Menurut tabel integral tak tentu, kita melihat bahwa fungsi y \u003d x 2 memiliki himpunan antiturunan untuk semua nilai riil x, yang berarti bahwa x 1; 3 akan ditulis sebagai F (x) = x 2 d x = x 3 3 + C . Perlu untuk mengambil antiturunan dengan C \u003d 0, maka kita mendapatkan bahwa F (x) \u003d x 3 3.
Mari kita gunakan rumus Newton-Leibniz dan dapatkan bahwa perhitungan integral tentu akan berbentuk 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Menjawab: 1 3 x 2 d x = 26 3
Contoh 2
Hitung integral tentu - 1 2 x · e x 2 + 1 d x menggunakan rumus Newton-Leibniz.
Keputusan
Fungsi yang diberikan adalah kontinu dari segmen [ - 1 ; 2 ], yang berarti dapat diintegrasikan di dalamnya. Perlu dicari nilai integral tak tentu x e x 2 + 1 d x menggunakan metode penjumlahan di bawah tanda diferensial, maka diperoleh x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.
Oleh karena itu kita memiliki himpunan antiturunan dari fungsi y = x · e x 2 + 1 , yang valid untuk semua x , x - 1 ; 2.
Hal ini diperlukan untuk mengambil antiturunan pada C = 0 dan menerapkan rumus Newton-Leibniz. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk
- 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Menjawab:- 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Contoh 3
Hitung integral - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x dan - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Keputusan
Segmen - 4; - 1 2 mengatakan bahwa fungsi di bawah tanda integral kontinu, yang berarti dapat diintegralkan. Dari sini kita menemukan himpunan antiturunan dari fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 . Kami mengerti
4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 x d x + 2 x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Perlu untuk mengambil antiturunan F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, kemudian, dengan menerapkan rumus Newton-Leibniz, kami memperoleh integral, yang kami hitung:
- 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Kami melakukan transisi ke perhitungan integral kedua.
Dari segmen [ - 1 ; 1 ] kita memiliki bahwa integran dianggap tak terbatas, karena lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + , maka dari sini diperoleh kondisi yang diperlukan untuk keterintegralan dari segmen. Maka F (x) = 2 x 2 - 2 x bukan antiturunan untuk y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; 1 ] , karena titik O termasuk dalam segmen, tetapi tidak termasuk dalam domain definisi. Artinya terdapat integral tentu Riemann dan Newton-Leibniz untuk fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; satu ] .
Jawaban: - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, ada integral tertentu Riemann dan Newton-Leibniz untuk fungsi y = 4 x 3 + 2 x 2 dari interval [ - 1 ; satu ] .
Sebelum menggunakan rumus Newton-Leibniz, Anda perlu mengetahui secara pasti tentang keberadaan integral tertentu.
Perubahan variabel dalam integral tertentu
Ketika fungsi y = f (x) didefinisikan dan kontinu dari segmen [ a ; b ] , maka himpunan yang ada [ a ; b ] dianggap sebagai jangkauan fungsi x = g (z) yang didefinisikan pada interval ; dengan turunan kontinu yang ada, dimana g (α) = a dan g = b , maka diperoleh a b f (x) d x = ∫ f (g (z)) g " (z) d z .
Rumus ini digunakan jika diperlukan untuk menghitung integral a b f (x) d x , dimana integral tak tentu berbentuk f (x) d x , kita menghitungnya menggunakan metode substitusi.
Contoh 4
Hitung integral tentu dari bentuk 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Keputusan
Integral dianggap kontinu pada interval integrasi, yang berarti bahwa integral tertentu ada. Berikan notasi bahwa 2 x - 9 = z x = g (z) = z 2 + 9 2 . Nilai x \u003d 9 berarti z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, dan untuk x \u003d 18 kita dapatkan z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, lalu g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g = g 3 3 = 18 . Substitusikan nilai yang diperoleh ke dalam rumus a b f (x) d x = α β f (g (z)) g”(z) d z, diperoleh bahwa
9 18 1 x 2 x - 9 d x = 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = 3 3 3 2 z 2 + 9 hari
Menurut tabel integral tak tentu, kita memiliki bahwa salah satu antiturunan dari fungsi 2 z 2 + 9 bernilai 2 3 a r c t g z 3 . Kemudian, dengan menerapkan rumus Newton-Leibniz, kita peroleh bahwa
3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 3 - 4 = 18
Pencarian dapat dilakukan tanpa menggunakan rumus a b f (x) d x = α β f (g (z)) g " (z) d z .
Jika metode penggantian menggunakan integral bentuk 1 x 2 x - 9 d x , maka diperoleh hasil 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Dari sini kita akan melakukan perhitungan menggunakan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Kami mengerti
9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 3 - 4 \u003d 18
Hasilnya cocok.
Jawaban: 9 18 2 x 2 x - 9 d x = 18
Integrasi dengan bagian dalam perhitungan integral tertentu
Jika pada segmen [ a ; b ] fungsi u (x) dan v (x) didefinisikan dan kontinu, maka turunan orde pertama mereka v " (x) u (x) dapat diintegralkan, jadi dari interval ini untuk fungsi yang dapat diintegralkan u " (x) v ( x) persamaan a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u " (x) v (x) d x benar.
Rumus dapat digunakan maka perlu menghitung integral a b f (x) d x , dan f (x) d x perlu dicari dengan menggunakan integral bagian.
Contoh 5
Hitung integral tentu - 2 3 2 x · sin x 3 + 6 d x .
Keputusan
Fungsi x sin x 3 + 6 dapat diintegralkan pada segmen - 2; 3 2 , jadi kontinu.
Misalkan u (x) \u003d x, lalu d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + 6 d x, dan d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, dan v (x) = - 3 cos 3 + 6 . Dari rumus a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - a b u " (x) v (x) d x kita peroleh
- 2 3 2 x sin x 3 + 6 d x = - 3 x cos x 3 + 6 - 2 3 2 - - 2 3 2 - 3 cos x 3 + 6 d x \u003d \u003d - 3 3 2 cos π 2 + 6 - - 3 - 2 cos - 6 + 6 + 9 sin x 3 + 6 - 2 3 2 \u003d 9 4 - 3 2 + 9 sin 2 + 6 - sin - 6 + 6 = 9 4 - 3 2 + 9 3 2 = 3 4 + 9 3 2
Solusi dari contoh dapat dilakukan dengan cara lain.
Temukan himpunan antiturunan dari fungsi x sin x 3 + 6 menggunakan integrasi dengan bagian menggunakan rumus Newton-Leibniz:
x sin x x 3 + 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + 6 d x d u = d x , v = - 3 cos x 3 + 6 = = - 3 cos x 3 + 6 + 3 cos x 3 + 6 d x = = - 3 x cos x 3 + 6 + 9 sin x 3 + 6 + C ⇒ ∫ - 2 3 2 x sin x 3 + 6 d x = - 3 cos x 3 + 6 + 9 sincos x 3 + 6 - - - 3 - 2 cos - 6 + 6 + 9 sin - 6 + 6 = = 9 4 + 9 3 2 - 3 2 - 0 = 3 4 + 9 3 2
Jawaban: x sin x x 3 + 6 d x = 3 4 + 9 3 2
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
1 dari 30
Presentasi dengan topik: rumus Newton-Leibniz
geser nomor 1
Deskripsi slide:
geser nomor 2
Deskripsi slide:
geser nomor 3
Deskripsi slide:
geser nomor 4
Deskripsi slide:
Newton dan Leibniz Dari dokumen yang masih ada, sejarawan sains menemukan bahwa Newton menemukan kalkulus diferensial dan integral pada awal 1665-1666, tetapi tidak mempublikasikannya hingga 1704. Leibniz mengembangkan versi analisisnya secara independen (sejak 1675), meskipun dorongan awal pemikirannya mungkin berasal dari desas-desus bahwa Newton telah memiliki kalkulus seperti itu, serta berkat percakapan ilmiah di Inggris dan korespondensi dengan Newton. Tidak seperti Newton, Leibniz segera menerbitkan versinya, dan kemudian, bersama dengan Jacob dan Johann Bernoulli, secara luas mempromosikan penemuan penting ini ke seluruh Eropa. Sebagian besar ilmuwan di Benua Eropa tidak ragu bahwa Leibniz telah menemukan analisis.
geser nomor 5
Deskripsi slide:
Mengindahkan bujukan teman-teman yang mengimbau patriotismenya, Newton dalam buku ke-2 "Principles" (1687) mengatakan: Dalam surat yang saya tukar sekitar sepuluh tahun yang lalu dengan seorang ahli matematika yang sangat terampil, Tuan metode untuk menentukan maxima dan minima , menggambar garis singgung dan memecahkan pertanyaan serupa, sama-sama berlaku untuk istilah rasional dan irasional, dan saya menyembunyikan metode dengan mengatur ulang huruf-huruf kalimat berikut: "ketika diberikan persamaan yang berisi sejumlah besaran saat ini, temukan fluksi dan kembali". Suami yang paling terkenal menjawab saya bahwa dia juga menyerang metode seperti itu dan mengomunikasikan kepada saya metodenya, yang ternyata hampir tidak berbeda dari saya, dan kemudian hanya dalam istilah dan formula.
geser nomor 6
Deskripsi slide:
Pada tahun 1693, ketika Newton akhirnya menerbitkan ringkasan pertama dari versi analisisnya, dia bertukar surat persahabatan dengan Leibniz. Newton berkata: Wallis kami telah melampirkan "Aljabar" -nya, yang baru saja muncul, beberapa surat yang saya tulis kepada Anda di waktu saya. Pada saat yang sama, dia menuntut saya agar saya secara terbuka menyatakan metode yang saya sembunyikan dari Anda saat itu dengan mengatur ulang huruf-hurufnya; Saya membuatnya sesingkat mungkin. Saya harap saya tidak menulis apa pun yang tidak menyenangkan bagi Anda, tetapi jika ini terjadi, beri tahu saya, karena teman-teman saya lebih saya sayangi daripada penemuan matematika.
geser nomor 7
Deskripsi slide:
Setelah munculnya publikasi rinci pertama analisis Newtonian (suplemen matematika untuk "Optik", 1704), tinjauan anonim muncul di jurnal Leibniz "Acta eruditorum" dengan kiasan ofensif ke Newton. Tinjauan tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa penulis kalkulus baru adalah Leibniz. Leibniz sendiri dengan keras membantah bahwa ulasan itu ditulis olehnya, tetapi sejarawan telah dapat menemukan konsep yang ditulis dalam tulisan tangannya. Newton mengabaikan artikel Leibniz, tetapi murid-muridnya menanggapi dengan marah, setelah itu perang prioritas pan-Eropa pecah, "pertengkaran paling memalukan dalam seluruh sejarah matematika."
geser nomor 8
Deskripsi slide:
Pada tanggal 31 Januari 1713, Royal Society menerima surat dari Leibniz yang berisi bahasa damai: dia setuju bahwa Newton datang untuk menganalisis sendiri, "pada prinsip-prinsip umum seperti kita." Newton yang marah menuntut pembentukan komisi internasional untuk memperjelas prioritas. Komisi itu tidak memakan banyak waktu: satu setengah bulan kemudian, setelah mempelajari korespondensi Newton dengan Oldenburg dan dokumen lainnya, komisi itu dengan suara bulat mengakui prioritas Newton, apalagi, dalam kata-kata yang menghina Leibniz kali ini. Keputusan komisi dicetak dalam prosiding Serikat dengan semua dokumen pendukung terlampir.
geser nomor 9
Deskripsi slide:
Sebagai tanggapan, dari musim panas 1713 Eropa dibanjiri dengan pamflet anonim yang membela prioritas Leibniz dan menegaskan bahwa "Newton mengambil kehormatan yang dimiliki orang lain untuk dirinya sendiri." Pamflet juga menuduh Newton mencuri hasil Hooke dan Flamsteed. Teman-teman Newton, pada bagian mereka, menuduh Leibniz sendiri melakukan plagiarisme; menurut mereka, selama tinggal di London (1676), Leibniz berkenalan dengan karya-karya dan surat-surat Newton yang tidak diterbitkan di Royal Society, setelah itu Leibniz menerbitkan ide-ide yang diungkapkan di sana dan menjadikannya miliknya.Perang tidak melemah sampai Desember 1716, ketika kepala biara Conti memberi tahu Newton: "Leibniz sudah mati - perselisihan selesai
geser nomor 10
Deskripsi slide:
geser nomor 11
Deskripsi slide:
geser nomor 12
Deskripsi slide:
Tetapkan nilai arbitrer x € (a.b) dan tentukan fungsi baru. Ini didefinisikan untuk semua nilai x € (a.b) , karena kita tahu bahwa jika ada integral dari pada (a,b) , maka ada juga merupakan integral dari pada (a ,b) , di mana Ingat bahwa kita mengasumsikan dengan definisi
geser nomor 13
Deskripsi slide:
geser nomor 14
Deskripsi slide:
Jadi F kontinu pada (a,b) apakah memiliki diskontinuitas atau tidak; penting bahwa dapat diintegralkan pada (a,b) Gambar tersebut menunjukkan grafik . Luas gambar variabel aABx sama dengan F (X) Pertambahannya F (X+h)-F(x) sama dengan luas gambar xBC(x+h) , yang karena Keterbatasan , jelas cenderung nol sebagai h → 0, terlepas dari apakah x akan menjadi titik kontinuitas atau diskontinuitas misalnya titik x-d
geser nomor 15
Deskripsi slide:
geser nomor 16
Deskripsi slide:
geser nomor 17
Deskripsi slide:
Melewati limit sebagai h→0 menunjukkan adanya turunan dari F pada titik dan validitas persamaan. Untuk x=a,b, kita berbicara tentang turunan kanan dan kiri, masing-masing. Jika fungsi kontinu pada (a,b) , maka berdasarkan persamaan di atas, fungsi yang bersesuaian memiliki turunan yang sama dengan Oleh karena itu, fungsi F(x) adalah antiturunan untuk (a,b)
geser nomor 18
Deskripsi slide:
Kami telah membuktikan bahwa fungsi kontinu arbitrer pada segmen (a,b) memiliki antiturunan pada segmen ini yang ditentukan oleh kesetaraan. Ini membuktikan adanya antiturunan untuk setiap fungsi kontinu pada suatu interval. Sekarang biarkan ada antiturunan sewenang-wenang dari fungsi (x) pada (a,b) . Kita tahu bahwa Dimana C adalah suatu konstanta. Asumsikan dalam persamaan ini x=a dan dengan memperhitungkan bahwa F(a)=0 kita mendapatkan (a)=C Jadi, Tetapi
geser nomor 19
Deskripsi slide:
geser nomor 20
Deskripsi slide:
Integral Integral suatu fungsi adalah analog alami dari jumlah suatu barisan. Menurut teorema dasar analisis, integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi. Proses menemukan integral disebut integrasi.Ada beberapa definisi yang berbeda dari operasi integrasi, berbeda dalam rincian teknis. Namun, semuanya kompatibel, yaitu, dua metode integrasi apa pun, jika dapat diterapkan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama.
geser nomor 21
Deskripsi slide:
geser nomor 22
Deskripsi slide:
Sejarah Tanda-tanda integral dari turunan dx pertama kali digunakan oleh Leibniz pada akhir abad ke-17. Simbol integral dibentuk dari huruf S - singkatan dari kata lat. summa (jumlah). Integral di zaman kuno Integrasi dapat ditelusuri kembali ke Mesir kuno, sekitar 1800 SM. e., Papirus Matematika Moskow menunjukkan pengetahuan tentang rumus volume piramida terpotong. Metode pertama yang diketahui untuk menghitung integral adalah metode habis-habisan oleh Eudoxus (c. 370 SM), yang mencoba mencari luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa bagian yang luas atau volumenya sudah diketahui. Metode ini diambil dan dikembangkan oleh Archimedes, dan digunakan untuk menghitung luas parabola dan memperkirakan luas lingkaran. Metode serupa dikembangkan secara independen di Cina pada abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakannya untuk menemukan luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan oleh Ju Chongshi untuk mencari volume bola.
geser nomor 23
Deskripsi slide:
Signifikansi historis dan makna filosofis rumus Newton-Leibniz Salah satu alat penelitian terpenting dari seri ini adalah rumus Newton-Leibniz, dan metode di baliknya untuk menemukan fungsi antiturunan dengan mengintegrasikan turunannya. Signifikansi historis dari rumus tersebut adalah dalam penggunaan jumlah yang sangat kecil dan dalam jawaban yang benar-benar tepat untuk pertanyaan yang diajukan. Keuntungan menggunakan metode ini untuk memecahkan masalah matematika, fisika dan ilmu alam lainnya, misalnya, masalah klasik mengkuadratkan lingkaran - membangun persegi dengan ukuran yang sama dengan lingkaran tertentu, sudah diketahui. Makna filosofis - dalam kemungkinan memperoleh informasi tentang keseluruhan dari bagian yang sangat kecil, yang disebutkan sebelumnya - diwujudkan dengan jelas dalam kedokteran dan biologi, contohnya adalah keberhasilan rekayasa genetika dalam kloning - penciptaan makhluk hidup yang saling mirip. . Sejarah tetap menjadi pengecualian langka dalam daftar ilmu yang telah menggunakan rumus Newton-Leibniz. Ketidakmungkinan menyajikan informasi dari sumber sejarah dalam bentuk angka - argumen rumus - adalah tradisional. Dengan demikian, hingga saat ini, makna filosofis dari rumusan tersebut tidak sepenuhnya filosofis, karena hanya diwujudkan dalam pengetahuan ilmu alam, meninggalkan pengetahuan sosial dan kemanusiaan tanpa alat yang begitu kuat. Meskipun, jika seseorang menganut ciri-ciri tradisional pengetahuan sosial dan kemanusiaan, kelemahannya, boleh dikatakan, maka itu ada pada kasusnya.
geser nomor 24
Deskripsi slide:
Tetapi analisis ilmiah lebih lanjut di zaman kita memberikan gambaran baru yang berbeda tentang proses yang sedang berlangsung. Pandangan atomistik yang sekarang dominan dalam sains menguraikan materi menjadi sekelompok partikel kecil atau pusat-pusat kekuatan yang terletak secara teratur yang berada dalam berbagai gerakan abadi. Demikian pula, materi penembus eter terus-menerus tereksitasi dan berosilasi dalam gelombang. Semua gerakan materi dan eter ini berada dalam hubungan yang paling dekat dan berkelanjutan dengan ruang dunia, yang tidak terbatas bagi kita. Representasi seperti itu, yang tidak dapat diakses oleh imajinasi konkret kita, mengikuti data fisika.
geser nomor 25
Deskripsi slide:
Bahkan arus mistik dan magis harus memperhitungkan posisi ini, meskipun mereka dapat, dengan memberikan arti yang berbeda pada konsep waktu, benar-benar menghancurkan signifikansi fakta ini dalam pandangan dunia secara umum. Jadi, selama pertanyaan itu menyangkut fenomena yang dirasakan oleh indra, bahkan bidang filsafat dan agama ini, yang paling jauh dari pengetahuan pasti, harus memperhitungkan fakta yang terbukti secara ilmiah, karena mereka harus memperhitungkan fakta dua kali dua adalah empat di daerah yang tunduk pada indera dan pikiran.
geser nomor 26
Deskripsi slide:
Pada saat yang sama, jumlah pengetahuan yang dikumpulkan oleh umat manusia sudah cukup untuk mematahkan tradisi ini. Memang, tidak perlu dengan cara Pythagoras untuk mencari korespondensi digital untuk pernyataan "Peter saya mengunjungi Venesia selama Kedutaan Besar" dan "Peter saya tidak berada di Venesia selama Kedutaan Besar", ketika ekspresi ini sendiri dapat dengan mudah melayani sebagai argumen dari aljabar logika George Boole. Hasil dari setiap penelitian sejarah pada dasarnya adalah seperangkat argumen semacam itu. Dengan demikian, menurut hemat saya, dapat dibenarkan untuk menggunakan seperangkat studi sejarah sebagai fungsi integral, yang disajikan dalam bentuk argumen aljabar logika, dengan tujuan untuk memperoleh rekonstruksi yang paling mungkin dari peristiwa sejarah yang diteliti sebagai anti turunan. Ada banyak tantangan di sepanjang jalan. Secara khusus: representasi studi sejarah tertentu - turunan dari peristiwa yang direkonstruksi - dalam bentuk serangkaian ekspresi logis - operasinya jelas lebih rumit daripada, misalnya, katalog elektronik arsip perpustakaan sederhana. Namun, terobosan informasi pada akhir abad ke-20 - awal abad ke-21 (tingkat integrasi basis elemen yang sangat tinggi dan peningkatan kekuatan informasi) membuat pemenuhan tugas semacam itu cukup nyata.
geser nomor 27
Deskripsi slide:
Mengingat hal tersebut di atas, pada tahap ini, analisis historis adalah analisis matematis dengan teori probabilitas dan aljabar logika, dan fungsi antiturunan yang diinginkan adalah probabilitas suatu peristiwa sejarah, yang secara umum cukup konsisten dan genap. melengkapi gagasan sains pada tahap sekarang ini, karena penggantian konsep esensi dengan konsep fungsi – hal utama dalam pemahaman sains di zaman modern – dilengkapi dengan penilaian fungsi ini. Akibatnya, signifikansi historis modern dari formula ini adalah kemungkinan mewujudkan mimpi Leibniz "tentang waktu ketika, alih-alih perselisihan tanpa akhir, dua filsuf, seperti dua ahli matematika, akan mengambil pena di tangan mereka dan, duduk di meja, menggantikan perselisihan dengan perhitungan". Setiap kesimpulan penelitian sejarah memiliki hak untuk eksis, mencerminkan peristiwa nyata dan melengkapi gambaran sejarah yang bersifat informasional. Bahaya degenerasi ilmu sejarah menjadi sekumpulan frase-pernyataan tak berwarna - akibat penerapan metode yang diusulkan, tidak lebih dari bahaya degenerasi musik menjadi sekumpulan suara, dan melukis menjadi sekumpulan warna di tahap perkembangan manusia saat ini. Ini adalah bagaimana saya melihat makna filosofis baru dari rumus Newton-Leibniz, yang diberikan untuk pertama kalinya pada akhir abad ke-17 - awal abad ke-18.
geser nomor 28
Deskripsi slide:
Faktanya, formula, mengingat kekhasan persepsi simbol matematika oleh pembawa pengetahuan sosial dan kemanusiaan, yang diekspresikan dalam ketakutan panik oleh pembawa representasi apa pun dari tanda-tanda tersebut, akan diberikan dalam bentuk verbal: integral tertentu turunan suatu fungsi adalah antiturunan dari fungsi tersebut. Beberapa perbedaan formal antara contoh yang diberikan dari masalah kuadrat lingkaran dan contoh pendidikan dan matematika biasa menghitung area yang terletak di bawah kurva sewenang-wenang dalam sistem koordinat Cartesian, tentu saja, tidak mengubah esensi.
slide nomor 29
Deskripsi slide:
SASTRA YANG DIGUNAKAN: 1. Brodsky I.A. Bekerja dalam empat volume. T.3. SPb., 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosfer dan noosfer. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Pengantar filsafat. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Evolusi konsep ilmu pengetahuan. M., 1980. 5. Descartes, Rene. Refleksi Filsafat Primitif. SPb., 1995. 6. Karpov G.M. Kedutaan Besar Peter I. Kaliningrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Filosofi: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Bab yang dipilih dari sejarah matematika. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Kursus singkat matematika tingkat tinggi. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Esai tentang sejarah matematika. M., 2004 Sumber daya Internet http://ru.wikipedia.org
geser nomor 30
Deskripsi slide:
