Penelitian fungsi.

1) D(y) - Domain definisi: himpunan semua nilai variabel x. di mana ekspresi aljabar f(x) dan g(x) masuk akal.

Jika fungsi diberikan oleh rumus, maka domain definisi terdiri dari semua nilai variabel independen yang rumusnya masuk akal.

2) Sifat-sifat fungsi: genap/ganjil, periodisitas:

aneh dan bahkan disebut fungsi yang grafiknya simetris terhadap perubahan tanda argumen.

fungsi ganjil- fungsi yang mengubah nilai menjadi kebalikannya ketika tanda variabel bebas berubah (simetris terhadap pusat koordinat).

fungsi genap- fungsi yang tidak berubah nilainya ketika tanda variabel bebas berubah (simetris terhadap sumbu y).

Bukan fungsi genap atau ganjil (fungsi umum) adalah fungsi yang tidak memiliki simetri. Kategori ini mencakup fungsi yang tidak termasuk dalam 2 kategori sebelumnya.

Fungsi yang tidak termasuk dalam salah satu kategori di atas disebut tidak genap maupun ganjil(atau fungsi generik).

Fungsi ganjil

Sebuah kekuatan aneh di mana adalah bilangan bulat arbitrer.

Fungsi genap

Kekuatan genap di mana adalah bilangan bulat arbitrer.

Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya pada beberapa interval reguler argumen, yaitu, tidak mengubah nilainya ketika beberapa angka bukan nol tetap ditambahkan ke argumen ( Titik fungsi) di seluruh domain definisi.

3) Nol (akar) dari suatu fungsi adalah titik-titik di mana ia menghilang.

Mencari titik potong grafik dengan sumbu Oy. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung nilainya f(0). Temukan juga titik potong grafik dengan sumbu Sapi, mengapa menemukan akar persamaan f(x) = 0 (atau pastikan tidak ada akar).

Titik potong grafik dengan sumbu disebut fungsi nol. Untuk menemukan nol dari fungsi tersebut, Anda perlu menyelesaikan persamaan, yaitu, temukan nilai x tersebut, yang fungsinya hilang.

4) Interval keteguhan tanda, tanda di dalamnya.

Interval di mana fungsi f(x) mempertahankan tandanya.

Interval keteguhan adalah interval di setiap titik di mana fungsinya positif atau negatif.

DI ATAS sumbu x.

DI BAWAH sumbu.

5) Kontinuitas (titik diskontinuitas, karakter diskontinuitas, asimtot).

fungsi kontinu- fungsi tanpa "melompat", yaitu, di mana perubahan kecil dalam argumen menyebabkan perubahan kecil dalam nilai fungsi.

Breakpoint yang dapat dilepas

Jika limit fungsi ada, tetapi fungsi tidak didefinisikan pada titik ini, atau batas tidak cocok dengan nilai fungsi pada titik ini:

,

maka titik tersebut disebut titik istirahat fungsi (dalam analisis kompleks, titik tunggal yang dapat dilepas).

Jika kita "memperbaiki" fungsi pada titik diskontinuitas yang dapat dilepas dan menempatkan , maka kita mendapatkan fungsi yang kontinu pada titik ini. Operasi semacam itu pada suatu fungsi disebut memperluas fungsi menjadi kontinu atau perpanjangan fungsi dengan kontinuitas, yang membenarkan nama titik, sebagai poin sekali pakai celah.

Titik diskontinuitas jenis pertama dan kedua

Jika fungsi memiliki diskontinuitas pada titik tertentu (yaitu, limit fungsi pada titik tertentu tidak ada atau tidak bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu), maka untuk fungsi numerik ada dua opsi yang mungkin. terkait dengan keberadaan fungsi numerik batas sepihak:

jika kedua batas satu sisi ada dan terbatas, maka titik seperti itu disebut titik putus jenis pertama. Titik diskontinuitas yang dapat dilepas adalah titik diskontinuitas jenis pertama;

jika setidaknya salah satu dari batas satu sisi tidak ada atau bukan nilai yang terbatas, maka titik seperti itu disebut titik putus jenis kedua.

asimtot - lurus, yang memiliki properti bahwa jarak dari titik kurva ke ini lurus cenderung nol saat titik bergerak sepanjang cabang hingga tak terhingga.

vertikal

Asimtot vertikal - garis batas .

Sebagai aturan, ketika menentukan asimtot vertikal, mereka tidak mencari satu batas, tetapi dua yang satu sisi (kiri dan kanan). Hal ini dilakukan untuk menentukan bagaimana fungsi berperilaku ketika mendekati asimtot vertikal dari arah yang berbeda. Sebagai contoh:

Horisontal

asimtot horisontal - lurus spesies, tunduk pada keberadaan membatasi

.

miring

Asimtot miring - lurus spesies, tunduk pada keberadaan batas

Catatan: Suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari dua asimtot miring (horizontal).

Catatan: jika setidaknya salah satu dari dua batas yang disebutkan di atas tidak ada (atau sama dengan ), maka asimtot miring di (atau ) tidak ada.

jika pada butir 2.), maka , dan limit ditemukan dengan rumus asimtot horizontal, .

6) Menemukan interval monoton. Menemukan interval monotonisitas suatu fungsi f(x) (yaitu, interval kenaikan dan penurunan). Ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunan f(x). Untuk melakukan ini, temukan turunannya f(x) dan selesaikan pertidaksamaan f(x)0. Pada interval di mana pertidaksamaan ini dipenuhi, fungsi f(x) meningkat. Di mana ketidaksetaraan terbalik berlaku f(x)0, fungsi f(x) menurun.

Menemukan ekstrem lokal. Setelah menemukan interval monotonisitas, kita dapat segera menentukan titik ekstrem lokal di mana kenaikan diganti dengan penurunan, ada maxima lokal, dan di mana penurunan diganti dengan kenaikan, minimum lokal. Hitung nilai fungsi pada titik-titik tersebut. Jika suatu fungsi memiliki titik kritis yang bukan merupakan titik ekstrem lokal, maka berguna untuk menghitung nilai fungsi pada titik-titik ini juga.

Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi y = f(x) pada segmen(kelanjutan)

1. Cari turunan dari suatu fungsi: f(x). 2. Temukan titik di mana turunannya adalah nol: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Tentukan kepemilikan poin X 1 ,X 2 , … segmen [ sebuah; b]: biarlah x 1sebuah;b, sebuah x 2sebuah;b . 4. Temukan nilai fungsi pada titik yang dipilih dan di ujung segmen: f(x 1), f(x 2),..., f(x sebuah),f(x b), 5. Pemilihan nilai fungsi terbesar dan terkecil dari yang ditemukan. Komentar. Jika pada selang [ sebuah; b] ada titik diskontinuitas, maka perlu untuk menghitung batas satu sisi di dalamnya, dan kemudian memperhitungkan nilainya dalam memilih nilai fungsi terbesar dan terkecil.

7) Menemukan interval kecembungan dan kecekungan. Ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunan kedua f(x). Temukan titik belok di persimpangan interval cembung dan cekung. Hitung nilai fungsi pada titik belok. Jika fungsi memiliki titik kontinuitas lain (selain titik belok) di mana turunan kedua sama dengan 0 atau tidak ada, maka pada titik ini juga berguna untuk menghitung nilai fungsi. Temuan f(x), kita menyelesaikan pertidaksamaan f(x)0. Pada setiap interval solusi, fungsinya akan cembung ke bawah. Memecahkan ketidaksetaraan terbalik f(x)0, kami menemukan interval di mana fungsi tersebut cembung ke atas (yaitu, cekung). Kami mendefinisikan titik belok sebagai titik di mana fungsi mengubah arah kecembungan (dan kontinu).

Titik belok fungsi- ini adalah titik di mana fungsi kontinu dan ketika melewati fungsi tersebut mengubah arah kecembungan.

Kondisi keberadaan

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan titik belok: jika fungsi tersebut terdiferensialkan dua kali di beberapa lingkungan titik tertusuk , maka .

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.

Grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.

Misalnya, fungsi y=x^2 genap. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Oleh karena itu, f(x) = f(-x). Dengan demikian, kedua kondisi dipenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik tersebut simetris terhadap sumbu y.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.

Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y=x^3 ganjil. Mari kita periksa. Domain definisi adalah seluruh sumbu numerik, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Jadi f(x) = -f(x). Jadi, kedua kondisi terpenuhi untuk kita, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y=x^3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y=x^3 adalah simetris terhadap titik asal.

bahkan, jika untuk semua \(x\) dari domainnya benar: \(f(-x)=f(x)\) .

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu \(y\):

Contoh: fungsi \(f(x)=x^2+\cos x\) genap, karena \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Fungsi \(f(x)\) disebut aneh, jika untuk semua \(x\) dari domainnya benar: \(f(-x)=-f(x)\) .

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap asal:

Contoh: fungsi \(f(x)=x^3+x\) ganjil karena \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Fungsi yang tidak genap maupun ganjil disebut fungsi generik. Fungsi seperti itu selalu dapat direpresentasikan secara unik sebagai jumlah dari fungsi genap dan ganjil.

Misalnya, fungsi \(f(x)=x^2-x\) adalah jumlah dari fungsi genap \(f_1=x^2\) dan fungsi ganjil \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Beberapa properti:

1) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi dengan paritas yang sama adalah fungsi genap.

2) Hasil kali dan hasil bagi dua fungsi yang berbeda paritasnya adalah fungsi ganjil.

3) Jumlah dan selisih fungsi genap adalah fungsi genap.

4) Jumlah dan selisih fungsi ganjil adalah fungsi ganjil.

5) Jika \(f(x)\) adalah fungsi genap, maka persamaan \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) memiliki akar unik jika dan hanya jika, ketika \(x =0\) .

6) Jika \(f(x)\) adalah fungsi genap atau ganjil, dan persamaan \(f(x)=0\) memiliki akar \(x=b\) , maka persamaan ini harus memiliki detik akar \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Suatu fungsi \(f(x)\) disebut periodik pada \(X\) jika untuk suatu bilangan \(T\ne 0\) kita memiliki \(f(x)=f(x+ T) \) , di mana \(x, x+T\in X\) . \(T\) terkecil, yang persamaan ini berlaku, disebut periode (dasar) utama dari fungsi tersebut.

Suatu fungsi periodik memiliki bilangan berapa pun dalam bentuk \(nT\) , di mana \(n\in \mathbb(Z)\) juga merupakan periode.

Contoh: setiap fungsi trigonometri adalah periodik;
untuk fungsi \(f(x)=\sin x\) dan \(f(x)=\cos x\) periode utamanya adalah \(2\pi\) , untuk fungsi \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) dan \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) periode utamanya adalah \(\pi\) .

Untuk memplot fungsi periodik, Anda dapat memplot grafiknya pada sembarang segmen dengan panjang \(T\) (periode utama); maka grafik seluruh fungsi diselesaikan dengan menggeser bagian yang dibangun dengan bilangan bulat periode ke kanan dan ke kiri:

\(\blacktriangleright\) Domain \(D(f)\) dari fungsi \(f(x)\) adalah himpunan yang terdiri dari semua nilai argumen \(x\) yang fungsinya masuk akal (didefinisikan).

Contoh: fungsi \(f(x)=\sqrt x+1\) memiliki domain definisi: \(x\in

Tugas 1 #6364

Tingkat tugas: Sama dengan Ujian Negara Bersatu

Untuk apa nilai parameter \(a\) persamaan

punya solusi unik?

Perhatikan bahwa karena \(x^2\) dan \(\cos x\) adalah fungsi genap, jika persamaan memiliki akar \(x_0\) , persamaan juga akan memiliki akar \(-x_0\) .
Memang, biarkan \(x_0\) menjadi akar, yaitu persamaan \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Baik. Pengganti \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Jadi, jika \(x_0\ne 0\) , maka persamaan tersebut akan memiliki setidaknya dua akar. Oleh karena itu, \(x_0=0\) . Kemudian:

Kami mendapat dua nilai parameter \(a\) . Perhatikan bahwa kita telah menggunakan fakta bahwa \(x=0\) adalah persis akar dari persamaan aslinya. Tapi kami tidak pernah menggunakan fakta bahwa dia adalah satu-satunya. Oleh karena itu, perlu untuk mengganti nilai parameter \(a\) yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dan memeriksa \(a\) akar \(x=0\) mana yang memang unik.

1) Jika \(a=0\) , maka persamaan akan berbentuk \(2x^2=0\) . Jelas, persamaan ini hanya memiliki satu akar \(x=0\) . Oleh karena itu, nilai \(a=0\) cocok untuk kita.

2) Jika \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , maka persamaannya berbentuk \ Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk \ Sebagai \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), kemudian \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Oleh karena itu, nilai ruas kanan persamaan (*) termasuk dalam interval \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Karena \(x^2\geqslant 0\) , maka ruas kiri persamaan (*) lebih besar dari atau sama dengan \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Jadi, persamaan (*) hanya dapat berlaku jika kedua ruas persamaan sama dengan \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Dan ini berarti bahwa \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Oleh karena itu, nilai \(a=-\mathrm(tg)\,1\) cocok untuk kita.

Menjawab:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tugas 2 #3923

Tingkat tugas: Sama dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , untuk masing-masing grafik fungsi \

simetris tentang asal.

Jika grafik suatu fungsi simetris terhadap titik asal, maka fungsi tersebut ganjil, yaitu \(f(-x)=-f(x)\) berlaku untuk sembarang \(x\) dari fungsi domain. Jadi, diperlukan untuk menemukan nilai parameter yang \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(sejajar)\]

Persamaan terakhir harus berlaku untuk semua \(x\) dari domain \(f(x)\) , maka \(\sin(2\pi a)=0 \Panah kanan a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Menjawab:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tugas 3 #3069

Tingkat tugas: Sama dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , untuk masing-masing persamaan \ memiliki 4 solusi, di mana \(f\) adalah fungsi periodik genap dengan periode \(T=\dfrac(16)3\) didefinisikan pada seluruh garis nyata , dan \(f(x)=ax^2\) untuk \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tugas dari pelanggan)

Karena \(f(x)\) adalah fungsi genap, grafiknya simetris terhadap sumbu y, oleh karena itu, ketika \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Jadi, pada \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), dan ini adalah segmen dengan panjang \(\dfrac(16)3\) , fungsi \(f(x)=ax^2\) .

1) Biarkan \(a>0\) . Maka grafik fungsi \(f(x)\) akan terlihat seperti ini:


Kemudian, agar persamaan memiliki 4 solusi, diperlukan graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) melalui titik \(A\) :


Karena itu, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(selaras) \end(berkumpul)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( berkumpul)\benar.\] Karena \(a>0\) , maka \(a=\dfrac(18)(23)\) baik-baik saja.

2) Biarkan \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Kita memerlukan graf \(g(x)\) untuk melewati titik \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(sejajar) \end(berkumpul)\kanan.\] Sejak<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Kasus di mana \(a=0\) tidak cocok, karena \(f(x)=0\) untuk semua \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) dan The persamaan hanya akan memiliki 1 akar.

Menjawab:

\(a\di \kiri\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\kanan\)\)

Tugas 4 #3072

Tingkat tugas: Sama dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai \(a\) , untuk masing-masing persamaan \

memiliki setidaknya satu akar.

(Tugas dari pelanggan)

Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk \ dan pertimbangkan dua fungsi: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) dan \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Fungsi \(g(x)\) genap, memiliki titik minimum \(x=0\) (dan \(g(0)=49\) ).
Fungsi \(f(x)\) untuk \(x>0\) menurun, dan untuk \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Memang, untuk \(x>0\) modul kedua mengembang secara positif (\(|x|=x\) ), oleh karena itu, terlepas dari bagaimana modul pertama mengembang, \(f(x)\) akan sama dengan \ ( kx+A\) , di mana \(A\) adalah ekspresi dari \(a\) , dan \(k\) sama dengan \(-9\) atau \(-3\) . Untuk \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Cari nilai \(f\) pada titik maksimum: \

Agar persamaan memiliki setidaknya satu solusi, grafik fungsi \(f\) dan \(g\) harus memiliki setidaknya satu titik potong. Oleh karena itu, Anda membutuhkan: \ \\]

Menjawab:

\(a\di \(-7\)\cup\)

Tugas 5 #3912

Tingkat tugas: Sama dengan Ujian Negara Bersatu

Temukan semua nilai parameter \(a\) , untuk masing-masing persamaan \

memiliki enam solusi yang berbeda.

Mari kita buat substitusi \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Maka persamaan akan berbentuk \ Kami secara bertahap akan menulis kondisi di mana persamaan asli akan memiliki enam solusi.
Perhatikan bahwa persamaan kuadrat \((*)\) dapat memiliki paling banyak dua solusi. Persamaan kubik \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) tidak boleh memiliki lebih dari tiga solusi. Oleh karena itu, jika persamaan \((*)\) memiliki dua solusi yang berbeda (positif!, karena \(t\) harus lebih besar dari nol) \(t_1\) dan \(t_2\) , maka, setelah membuat kebalikannya substitusi, kita peroleh: \[\left[\begin(berkumpul)\begin(sejajar) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(selaras)\end(berkumpul)\kanan.\] Karena setiap bilangan positif dapat direpresentasikan sebagai \(\sqrt2\) sampai tingkat tertentu, misalnya, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), maka persamaan pertama dari himpunan akan ditulis ulang dalam bentuk \ Seperti yang telah kami katakan, setiap persamaan kubik tidak memiliki lebih dari tiga solusi, oleh karena itu, setiap persamaan dari himpunan tidak akan memiliki lebih dari tiga solusi. Ini berarti bahwa seluruh himpunan tidak akan memiliki lebih dari enam solusi.
Ini berarti bahwa agar persamaan asli memiliki enam solusi, persamaan kuadrat \((*)\) harus memiliki dua solusi yang berbeda, dan setiap persamaan kubik yang dihasilkan (dari himpunan) harus memiliki tiga solusi yang berbeda (dan bukan satu solusi dari satu persamaan harus bertepatan dengan yang mana - atau dengan keputusan yang kedua!)
Jelas, jika persamaan kuadrat \((*)\) memiliki satu solusi, maka kita tidak akan mendapatkan enam solusi untuk persamaan aslinya.

Dengan demikian, rencana solusi menjadi jelas. Mari kita tuliskan syarat-syarat yang harus dipenuhi poin demi poin.

1) Agar persamaan \((*)\) memiliki dua solusi yang berbeda, diskriminannya harus positif: \

2) Kami juga membutuhkan kedua akar untuk menjadi positif (karena \(t>0\) ). Jika hasil kali dua akar positif dan jumlah keduanya positif, maka akar-akar itu sendiri akan positif. Oleh karena itu, Anda membutuhkan: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Jadi, kami telah menyediakan dua akar positif yang berbeda \(t_1\) dan \(t_2\) .

3) Mari kita lihat persamaan ini \ Untuk apa \(t\) akan ada tiga solusi berbeda?
Pertimbangkan fungsi \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Dapat dikalikan: \ Oleh karena itu, nolnya adalah: \(x=-1;2\) .
Jika kita mencari turunan \(f"(x)=3x^2-6x\) , maka kita mendapatkan dua titik ekstrim \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Oleh karena itu, grafiknya terlihat seperti ini:


Kita melihat bahwa sembarang garis horizontal \(y=k\) , di mana \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) memiliki tiga solusi yang berbeda, perlu \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Dengan demikian, Anda membutuhkan: \[\begin(kasus) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Perhatikan juga bahwa jika bilangan \(t_1\) dan \(t_2\) berbeda, maka bilangan \(\log_(\sqrt2)t_1\) dan \(\log_(\sqrt2)t_2\) akan berbeda, jadi persamaannya \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) dan \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) akan memiliki akar yang berbeda.
Sistem \((**)\) dapat ditulis ulang seperti ini: \[\begin(kasus) 1

Jadi, kita telah menentukan bahwa kedua akar persamaan \((*)\) harus terletak pada interval \((1;4)\) . Bagaimana cara menulis kondisi ini?
Kami tidak akan secara eksplisit menuliskan akarnya.
Pertimbangkan fungsi \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafiknya adalah parabola dengan cabang ke atas, yang memiliki dua titik perpotongan dengan sumbu absis (kondisi ini kami tulis di paragraf 1). Bagaimana seharusnya grafiknya sehingga titik potong dengan sumbu absis berada dalam interval \((1;4)\) ? Jadi:


Pertama, nilai \(g(1)\) dan \(g(4)\) fungsi pada titik \(1\) dan \(4\) harus positif, dan kedua, simpul dari parabola \(t_0\ ) juga harus berada dalam interval \((1;4)\) . Oleh karena itu, sistem dapat ditulis: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) selalu memiliki setidaknya satu root \(x=0\) . Jadi, untuk memenuhi kondisi masalah, perlu persamaan \

memiliki empat akar bukan nol yang berbeda, mewakili bersama dengan \(x=0\) suatu deret aritmatika.

Perhatikan bahwa fungsi \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) genap, jadi jika \(x_0\) adalah akar dari persamaan \((* )\ ) , maka \(-x_0\) juga akan menjadi root-nya. Maka akar persamaan ini harus berupa bilangan yang diurutkan dalam urutan menaik: \(-2d, -d, d, 2d\) (kemudian \(d>0\) ). Kemudian kelima bilangan tersebut akan membentuk barisan aritmatika (dengan selisih \(d\) ).

Agar akar-akar ini menjadi bilangan \(-2d, -d, d, 2d\) , maka bilangan \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) harus menjadi akar dari persamaan \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Maka dengan teorema Vieta:

Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk \ dan pertimbangkan dua fungsi: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) dan \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Fungsi \(g(x)\) memiliki titik maksimum \(x=0\) (dan \(g_(\text(atas))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Turunan nol: \(x=0\) . Untuk \(x<0\) имеем: \(g">0\) , untuk \(x>0\) : \(g"<0\) .
Fungsi \(f(x)\) untuk \(x>0\) meningkat, dan untuk \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Memang, untuk \(x>0\) modul pertama mengembang secara positif (\(|x|=x\) ), oleh karena itu, terlepas dari bagaimana modul kedua mengembang, \(f(x)\) akan sama dengan \ ( kx+A\) , di mana \(A\) adalah ekspresi dari \(a\) , dan \(k\) adalah \(13-10=3\) atau \(13+10=23\) . Untuk \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Mari kita cari nilai \(f\) pada titik minimum: \

Agar persamaan memiliki setidaknya satu solusi, grafik fungsi \(f\) dan \(g\) harus memiliki setidaknya satu titik potong. Oleh karena itu, Anda membutuhkan: \ Memecahkan rangkaian sistem ini, kami mendapatkan jawabannya: \\]

Menjawab:

\(a\di \(-2\)\cup\)

Kemerataan dan keanehan suatu fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan kemerataan menempati bagian yang mengesankan dari pelajaran matematika di sekolah. Ini sangat menentukan sifat perilaku fungsi dan sangat memudahkan pembangunan grafik yang sesuai.

Mari kita mendefinisikan paritas fungsi. Secara umum, fungsi yang diteliti dianggap bahkan jika untuk nilai yang berlawanan dari variabel independen (x) yang terletak di domainnya, nilai y (fungsi) yang sesuai adalah sama.

Mari kita berikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang didefinisikan dalam domain D. Ini akan menjadi genap jika untuk setiap titik x terletak di domain definisi:

• -x (berlawanan titik) juga terletak pada ruang lingkup yang diberikan,

• f(-x) = f(x).

Dari definisi di atas, berikut kondisi yang diperlukan untuk domain definisi fungsi tersebut, yaitu, simetri terhadap titik O, yang merupakan titik asal koordinat, karena jika beberapa titik b terdapat dalam domain definisi suatu fungsi genap, maka titik yang sesuai - b juga terletak di domain ini. Oleh karena itu, dari uraian di atas dapat ditarik kesimpulan: suatu fungsi genap memiliki bentuk yang simetris terhadap sumbu ordinat (Oy).

Bagaimana cara menentukan paritas suatu fungsi dalam praktik?

Biarkan diberikan menggunakan rumus h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang mengikuti langsung dari definisi, pertama-tama kita mempelajari domain definisinya. Jelas, itu didefinisikan untuk semua nilai argumen, yaitu, kondisi pertama terpenuhi.

Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan argumen (x) dengan nilai kebalikannya (-x).
Kita mendapatkan:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Karena penjumlahan memenuhi hukum komutatif (perpindahan), jelaslah bahwa h(-x) = h(x) dan ketergantungan fungsional yang diberikan genap.

Mari kita periksa kemerataan fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapatkan h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil minus, sebagai hasilnya, kami memiliki
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Oleh karena itu h(x) ganjil.

Omong-omong, harus diingat bahwa ada fungsi yang tidak dapat diklasifikasikan menurut kriteria ini, mereka tidak disebut genap atau ganjil.

Fungsi genap memiliki sejumlah properti yang menarik:

• sebagai hasil dari penambahan fungsi yang serupa, diperoleh yang genap;
• sebagai hasil dari pengurangan fungsi-fungsi tersebut, diperoleh yang genap;
• genap, juga genap;
• sebagai hasil dari mengalikan dua fungsi seperti itu, diperoleh yang genap;
• sebagai hasil perkalian dari fungsi ganjil dan genap, diperoleh yang ganjil;
• sebagai hasil dari pembagian fungsi ganjil dan genap, diperoleh yang ganjil;
• turunan dari fungsi tersebut ganjil;
• Jika kita mengkuadratkan fungsi ganjil, kita mendapatkan fungsi genap.

Paritas suatu fungsi dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, di mana ruas kiri persamaan adalah fungsi genap, cukup untuk menemukan solusinya untuk nilai variabel non-negatif. Akar persamaan yang diperoleh harus digabungkan dengan bilangan yang berlawanan. Salah satunya adalah tunduk pada verifikasi.

Hal yang sama berhasil digunakan untuk menyelesaikan masalah non-standar dengan parameter.

Misalnya, apakah ada nilai untuk parameter a yang membuat persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 memiliki tiga akar?

Jika kita memperhitungkan bahwa variabel memasuki persamaan dalam pangkat genap, maka jelas bahwa mengganti x dengan -x tidak akan mengubah persamaan yang diberikan. Oleh karena itu, jika suatu bilangan adalah akarnya, maka bilangan kebalikannya juga demikian. Kesimpulannya jelas: akar persamaan, selain nol, termasuk dalam himpunan solusinya dalam "pasangan".

Jelas bahwa angka 0 itu sendiri tidak, yaitu, jumlah akar dari persamaan semacam itu hanya bisa genap dan, tentu saja, untuk nilai parameter apa pun tidak dapat memiliki tiga akar.

Tetapi jumlah akar persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 bisa ganjil, dan untuk nilai parameter apa pun. Memang, mudah untuk memeriksa bahwa himpunan akar persamaan yang diberikan berisi solusi dalam "berpasangan". Mari kita periksa apakah 0 adalah root. Dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan, kita mendapatkan 2=2. Jadi, selain "berpasangan" 0 juga merupakan akar, yang membuktikan bilangan ganjil mereka.

fungsi nol
Nol dari fungsi adalah nilai X, di mana fungsi menjadi 0, yaitu, f(x)=0.

Nol adalah titik potong grafik fungsi dengan sumbu Oh.

Paritas fungsi
Suatu fungsi dipanggil bahkan jika untuk sembarang X dari domain definisi, persamaan f(-x) = f(x)

Fungsi genap simetris terhadap sumbu OU

Fungsi ganjil
Suatu fungsi disebut ganjil jika untuk sembarang X dari domain definisi, persamaan f(-x) = -f(x) dipenuhi.

Fungsi ganjil adalah simetris terhadap asal.
Fungsi yang tidak genap maupun ganjil disebut fungsi umum.

Fungsi Peningkatan
Fungsi f(x) disebut meningkat jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar, mis. x 2 >x 1 → f(x 2)> f(x 1)

Fungsi penurunan
Fungsi f(x) disebut menurun jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil, yaitu. x 2 >x 1 → f(x 2)
Interval di mana fungsi hanya berkurang atau hanya meningkat disebut interval monoton. Fungsi f(x) memiliki 3 interval monotonisitas:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Temukan interval monotonisitas menggunakan layanan Interval fungsi naik dan turun

Maksimum lokal
Dot x 0 disebut titik maksimum lokal jika untuk sembarang X dari lingkungan suatu titik x 0 pertidaksamaan berikut berlaku: f(x 0) > f(x)

Minimum lokal
Dot x 0 disebut titik minimum lokal jika untuk sembarang X dari lingkungan suatu titik x 0 ketidaksamaan berikut berlaku: f(x 0)< f(x).

Titik maksimum lokal dan titik minimum lokal disebut titik ekstrim lokal.

x 1 , x 2 - titik ekstrem lokal.

Fungsi Periodisitas
Fungsi f(x) disebut periodik, dengan periode T, jika untuk apapun X f(x+T) = f(x) .

Interval konstan
Interval di mana fungsinya hanya positif atau negatif saja disebut interval tanda konstan.

f(x)>0 untuk x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Kontinuitas fungsi
Fungsi f(x) disebut kontinu di titik x 0 jika limit fungsi sebagai x → x 0 sama dengan nilai fungsi di titik ini, yaitu .

titik istirahat
Titik-titik di mana kondisi kontinuitas dilanggar disebut titik-titik diskontinuitas fungsi.

x0- titik putus.

Skema umum untuk memplot fungsi

1. Temukan domain dari fungsi D(y).
2. Temukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.
3. Selidiki fungsi genap atau ganjil.
4. Selidiki fungsi untuk periodisitas.
5. Temukan interval monotonisitas dan titik ekstrem dari fungsi tersebut.
6. Temukan interval kecembungan dan titik belok dari fungsi tersebut.
7. Temukan asimtot dari fungsi tersebut.
8. Berdasarkan hasil penelitian, buatlah grafiknya.

Contoh: Jelajahi fungsi dan buat grafiknya: y = x 3 - 3x
8) Berdasarkan hasil penelitian, kami akan membuat grafik fungsi: