Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.
Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:
Elemen pertama dari urutan;
Elemen kelima dari urutan;
- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.
Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:
Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:
1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.
Misalnya, Seseorang memutuskan untuk mengambil manajemen waktu pribadi, dan untuk memulainya, menghitung selama seminggu berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:
Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.
2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.
Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung dalam bentuk rumus.
Misalnya, jika , maka
Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.
Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:
Jika, misalnya, 
, kemudian
Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.
3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan bernomor n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.
Misalnya, perhatikan urutannya 
, 
Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:
Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.
Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.
Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.
Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.
Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.
Misalnya, 2; 5; delapan; sebelas;...
Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.
Misalnya, 2; -satu; -4; -7;...
Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.
Misalnya, 2;2;2;2;...
Properti utama dari deret aritmatika:
Mari kita lihat gambarnya.
Kami melihat itu
, dan pada saat yang sama
Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:
.
Bagi kedua ruas persamaan dengan 2:
Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:
Apalagi sejak
, dan pada saat yang sama
, kemudian
, dan karenanya
Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
rumus anggota ke.
Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:
dan akhirnya
Kita punya rumus suku ke-n.
PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.
Jumlah n anggota barisan aritmatika.
Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:
Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .
Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:
Mari kita pasangkan:
Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.
Kita mendapatkan:
Jadi, jumlah n anggota barisan aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:
Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.
1 . Barisan tersebut diberikan oleh rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.
Mari kita buktikan bahwa selisih dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.
Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota yang berdekatan dari barisan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstan. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.
2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...
a) Tentukan 31 suku dari deret tersebut.
b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.
sebuah) Kami melihat bahwa ;
Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.
Secara umum 
Dalam kasus kami 
, Itu sebabnya 
Jika setiap bilangan asli n cocok dengan bilangan asli sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa diberikan urutan nomor :
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah , . . . .
Jadi, barisan numerik adalah fungsi dari argumen alami.
Nomor sebuah 1 ditelepon anggota pertama dari urutan , nomor sebuah 2 — anggota kedua dari urutan , nomor sebuah 3 — ketiga dll. Nomor sebuah ditelepon anggota urutan ke-n , dan bilangan asli n — nomornya .
Dari dua anggota tetangga sebuah dan sebuah +1 urutan anggota sebuah +1 ditelepon setelah (menuju sebuah ), sebuah sebuah — sebelumnya (menuju sebuah +1 ).
Untuk menentukan urutan, Anda harus menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota urutan dengan nomor apa pun.
Seringkali urutan diberikan dengan rumus suku ke-n , yaitu, rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota urutan berdasarkan nomornya.
Sebagai contoh,
urutan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus
sebuah= 2n- 1,
dan urutan bolak-balik 1 dan -1 - rumus
b n = (-1)n +1 . ◄
Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu, formula yang mengungkapkan setiap anggota dari urutan, dimulai dengan beberapa, melalui anggota sebelumnya (satu atau lebih).
Sebagai contoh,
jika sebuah 1 = 1 , sebuah sebuah +1 = sebuah + 5
sebuah 1 = 1,
sebuah 2 = sebuah 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
sebuah 3 = sebuah 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
sebuah 4 = sebuah 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
sebuah 5 = sebuah 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Jika sebuah sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh anggota pertama dari urutan numerik ditetapkan sebagai berikut:
sebuah 1 = 1,
sebuah 2 = 1,
sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,
sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,
sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,
sebuah 6 = sebuah 4 + sebuah 5 = 3 + 5 = 8,
sebuah 7 = sebuah 5 + sebuah 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Urutan bisa terakhir dan tak berujung .
Urutannya disebut terakhir jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak berujung jika memiliki banyak anggota yang tak terhingga.
Sebagai contoh,
barisan bilangan asli dua angka:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
terakhir.
Urutan bilangan prima:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
tak berujung. ◄
Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih besar dari yang sebelumnya.
Urutannya disebut memudar , jika masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, lebih kecil dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . adalah urutan menaik;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . adalah barisan menurun. ◄
Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang dengan bertambahnya jumlah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, disebut urutan monoton .
Urutan monoton, khususnya, adalah urutan yang meningkat dan urutan yang menurun.
Deret aritmatika
Deret aritmatika urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, yang ditambahkan nomor yang sama.
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . , sebuah, . . .
adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:
sebuah +1 = sebuah + d,
di mana d - beberapa nomor.
Jadi, perbedaan antara anggota berikutnya dan anggota sebelumnya dari deret aritmatika yang diberikan selalu konstan:
sebuah 2 - sebuah 1 = sebuah 3 - sebuah 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = d.
Nomor d ditelepon perbedaan barisan aritmatika.
Untuk menentukan barisan aritmatika, cukup dengan menentukan suku pertama dan selisihnya.
Sebagai contoh,
jika sebuah 1 = 3, d = 4 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:
sebuah 1 =3,
sebuah 2 = sebuah 1 + d = 3 + 4 = 7,
sebuah 3 = sebuah 2 + d= 7 + 4 = 11,
sebuah 4 = sebuah 3 + d= 11 + 4 = 15,
sebuah 5 = sebuah 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama sebuah 1 dan perbedaan d dia n
sebuah = sebuah 1 + (n- 1)d.
Sebagai contoh,
tentukan suku ke tigapuluh suatu deret aritmatika
1, 4, 7, 10, . . .
sebuah 1 =1, d = 3,
30 = sebuah 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
sebuah n-1 = sebuah 1 + (n- 2)d,
sebuah= sebuah 1 + (n- 1)d,
sebuah +1 = sebuah 1 + dan,
maka jelas
| sebuah=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.
Bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua lainnya.
Sebagai contoh,
sebuah = 2n- 7 , adalah barisan aritmatika.
Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:
sebuah = 2n- 7,
sebuah n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Karena itu,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = sebuah,
|
| 2
| 2
|
◄
Perhatikan bahwa n -Anggota deret aritmatika dapat ditemukan tidak hanya melalui sebuah 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k
sebuah = sebuah k + (n- k)d.
Sebagai contoh,
untuk sebuah 5 bisa ditulis
sebuah 5 = sebuah 1 + 4d,
sebuah 5 = sebuah 2 + 3d,
sebuah 5 = sebuah 3 + 2d,
sebuah 5 = sebuah 4 + d. ◄
sebuah = sebuah n-k + kd,
sebuah = sebuah n+k - kd,
maka jelas
| sebuah=
| sebuah n-k
+ a n+k
|
| 2
|
setiap anggota deret aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan setengah jumlah anggota deret aritmatika ini yang berjarak sama darinya.
Selain itu, untuk setiap deret aritmatika, persamaannya adalah benar:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Sebagai contoh,
dalam deret aritmatika
1) sebuah 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (sebuah 9 + sebuah 11 )/2;
2) 28 = 10 = sebuah 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sebagai
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a1+a2+a3+ . . .+ sebuah,
pertama n anggota deret aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrem dengan jumlah suku:
Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa jika perlu untuk menjumlahkan persyaratan
sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,
maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:
Sebagai contoh,
dalam deret aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Jika suatu deret aritmatika diberikan, maka besarannya sebuah 1 , sebuah, d, n danS n dihubungkan oleh dua rumus:
Oleh karena itu, jika nilai tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Barisan aritmatika adalah barisan monoton. Di mana:
- jika d > 0 , maka meningkat;
- jika d < 0 , maka menurun;
- jika d = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.
Kemajuan geometris
deret geometri urutan disebut, setiap istilah yang, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, dikalikan dengan angka yang sama.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
adalah deret geometri jika untuk sembarang bilangan asli n kondisi terpenuhi:
b n +1 = b n · q,
di mana q ≠ 0 - beberapa nomor.
Jadi, rasio suku berikutnya dari deret geometri ini dengan yang sebelumnya adalah bilangan konstan:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nomor q ditelepon penyebut barisan geometri.
Untuk menentukan barisan geometri, cukup tentukan suku pertama dan penyebutnya.
Sebagai contoh,
jika b 1 = 1, q = -3 , maka lima suku pertama barisan tersebut ditemukan sebagai berikut:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 dan penyebut q dia n suku -th dapat ditemukan dengan rumus:
b n = b 1 · q n -1 .
Sebagai contoh,
tentukan suku ketujuh suatu deret geometri 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
maka jelas
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata geometrik (proporsional) dari anggota sebelumnya dan selanjutnya.
Karena kebalikannya juga benar, maka pernyataan berikut berlaku:
bilangan a, b dan c adalah anggota berurutan dari beberapa deret ukur jika dan hanya jika kuadrat salah satunya sama dengan produk dari dua lainnya, yaitu, salah satu angka adalah rata-rata geometrik dari dua lainnya.
Sebagai contoh,
mari kita buktikan bahwa urutan yang diberikan oleh rumus b n= -3 2 n , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Karena itu,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
yang membuktikan pernyataan yang diperlukan. ◄
Perhatikan bahwa n Suku ke deret geometri tidak hanya dapat ditemukan melalui b 1 , tetapi juga istilah sebelumnya b k , yang cukup untuk menggunakan rumus
b n = b k · q n - k.
Sebagai contoh,
untuk b 5 bisa ditulis
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
maka jelas
b n 2 = b n - k· b n + k
kuadrat dari setiap anggota deret geometri, mulai dari yang kedua, sama dengan produk dari anggota deret ini yang berjarak sama darinya.
Selain itu, untuk setiap deret geometri, persamaannya benar:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ aku.
Sebagai contoh,
secara eksponensial
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sebagai
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
pertama n anggota barisan geometri dengan penyebut q ≠ 0 dihitung dengan rumus:
Dan kapan q = 1 - menurut rumus
S n= n.b. 1
Perhatikan bahwa jika kita perlu menjumlahkan suku-sukunya
b k, b k +1 , . . . , b n,
maka rumus yang digunakan :
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Sebagai contoh,
secara eksponensial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Jika deret geometri diberikan, maka besarannya b 1 , b n, q, n dan S n dihubungkan oleh dua rumus:
Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus-rumus ini yang digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.
Untuk barisan geometri dengan suku pertama b 1 dan penyebut q berikut terjadi sifat monoton :
- progresi meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
b 1 > 0 dan q> 1;
b 1 < 0 dan 0 < q< 1;
- Sebuah kemajuan menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:
b 1 > 0 dan 0 < q< 1;
b 1 < 0 dan q> 1.
Jika sebuah q< 0 , maka deret geometrinya adalah bolak-balik tanda: suku-sukunya yang bernomor ganjil bertanda sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku bernomor genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.
Produk pertama n suku-suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Sebagai contoh,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Deret geometri menurun tanpa batas
Deret geometri menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya kurang dari 1 , yaitu
|q| < 1 .
Perhatikan bahwa deret geometri menurun tak terhingga mungkin bukan deret menurun. Ini sesuai dengan kasusnya
1 < q< 0 .
Dengan penyebut seperti itu, barisannya adalah bolak-balik tanda. Sebagai contoh,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Jumlah dari deret geometri yang semakin menurun sebutkan bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan pertama n hal perkembangan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas n . Bilangan ini selalu berhingga dan dinyatakan dengan rumus
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Sebagai contoh,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Hubungan deret aritmatika dan deret geometri
Deret aritmatika dan geometri sangat erat hubungannya. Mari kita pertimbangkan dua contoh saja.
sebuah 1 , sebuah 2 , sebuah 3 , . . . d , kemudian
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Sebagai contoh,
1, 3, 5, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan 2 dan
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . adalah barisan geometri dengan penyebut q , kemudian
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan log aq .
Sebagai contoh,
2, 12, 72, . . . adalah barisan geometri dengan penyebut 6 dan
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — deret aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄
Apa inti dari rumus tersebut?
Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap DENGAN NOMORNYA" n" .
Tentu saja, Anda perlu tahu istilah pertama sebuah 1 dan perbedaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, Anda tidak dapat menuliskan perkembangan tertentu.
Tidaklah cukup untuk menghafal (atau menipu) rumus ini. Penting untuk mengasimilasi esensinya dan menerapkan formula dalam berbagai masalah. Ya, dan jangan lupa di waktu yang tepat ya…) Bagaimana tidak lupa- Aku tidak tahu. Dan di sini bagaimana cara mengingat Jika perlu, saya akan memberi Anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran sampai akhir.)
Jadi, mari kita berurusan dengan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.
Apa itu rumus secara umum - kita bayangkan.) Apa itu deret aritmatika, nomor anggota, perbedaan perkembangan - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Lihatlah jika Anda belum membacanya. Semuanya sederhana di sana. Masih mencari tahu apa anggota ke-n.
Kemajuan secara umum dapat ditulis sebagai serangkaian angka:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1- menunjukkan suku pertama dari deret aritmatika, sebuah 3- anggota ketiga sebuah 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita tertarik dengan suku kelima, misalkan kita bekerja dengan sebuah 5, jika seratus dua puluh - dari 120.
Bagaimana mendefinisikan secara umum setiap anggota deret aritmatika, s setiap nomor? Sangat sederhana! Seperti ini:
sebuah
Itulah apa itu anggota ke-n dari deret aritmatika. Di bawah huruf n semua nomor anggota disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Dan apa yang diberikan catatan seperti itu kepada kita? Bayangkan saja, alih-alih angka, mereka menulis surat ...
Notasi ini memberi kita alat yang ampuh untuk bekerja dengan progresi aritmatika. Menggunakan notasi sebuah, kita dapat dengan cepat menemukan setiap anggota setiap perkembangan aritmatika. Dan banyak tugas yang harus diselesaikan secara bertahap. Anda akan melihat lebih jauh.
Dalam rumus anggota ke-n dari deret aritmatika:
| a n = a 1 + (n-1)d |
sebuah 1- anggota pertama dari perkembangan aritmatika;
n- nomor anggota.
Rumus tersebut menghubungkan parameter kunci dari setiap perkembangan: sebuah ; sebuah 1 ; d dan n. Di sekitar parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.
Rumus suku ke-n juga dapat digunakan untuk menulis progresi tertentu. Misalnya, dalam masalah dapat dikatakan bahwa perkembangan diberikan oleh kondisi:
a n = 5 + (n-1) 2.
Masalah seperti itu bahkan bisa membingungkan ... Tidak ada seri, tidak ada perbedaan ... Tapi, membandingkan kondisi dengan rumus, mudah untuk mengetahui bahwa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.
Dan itu bisa lebih marah!) Jika kita mengambil kondisi yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurung dan berikan yang serupa? Kami mendapatkan formula baru:
an = 3 + 2n.
Ini Hanya tidak umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Beberapa orang berpikir bahwa suku pertama adalah tiga. Meskipun pada kenyataannya anggota pertama adalah lima ... Sedikit lebih rendah kami akan bekerja dengan formula yang dimodifikasi.
Dalam tugas untuk kemajuan, ada notasi lain - n+1. Ini adalah, Anda dapat menebaknya, istilah "n ditambah yang pertama" dari perkembangan. Artinya sederhana dan tidak berbahaya.) Ini adalah anggota perkembangan, yang jumlahnya lebih besar dari angka n per satu. Misalnya, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk sebuah suku kelima, maka n+1 akan menjadi anggota keenam. Dll.
Paling sering sebutan n+1 terjadi dalam rumus rekursif. Jangan takut dengan kata yang mengerikan ini!) Ini hanyalah cara untuk mengekspresikan suku dari deret aritmatika melalui yang sebelumnya. Misalkan kita diberikan deret aritmatika dalam bentuk ini, menggunakan rumus berulang:
a n+1 = a n +3
a2 = a1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Yang keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - hingga yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana cara menghitung segera, ucapkan suku kedua puluh, 20? Tapi tidak mungkin!) Meskipun suku ke-19 tidak diketahui, suku ke-20 tidak dapat dihitung. Inilah perbedaan mendasar antara rumus rekursif dan rumus suku ke-n. Rekursif hanya bekerja melalui sebelumnya suku, dan rumus suku ke-n - melalui pertama dan mengizinkan langsung temukan anggota mana pun dengan nomornya. Tidak menghitung seluruh rangkaian angka secara berurutan.
Dalam deret aritmatika, rumus rekursif dapat dengan mudah diubah menjadi rumus biasa. Hitung sepasang suku berurutan, hitung selisihnya d, temukan, jika perlu, suku pertama sebuah 1, tulis rumus dalam bentuk biasa, dan kerjakan. Di GIA, tugas seperti itu sering ditemukan.
Penerapan rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.
Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung dari rumus tersebut. Di akhir pelajaran sebelumnya ada masalah:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Soal ini dapat diselesaikan tanpa rumus apapun, hanya berdasarkan arti dari deret aritmatika. Tambah, ya tambah... Satu atau dua jam.)
Dan menurut rumusnya, solusinya akan memakan waktu kurang dari satu menit. Anda dapat mengatur waktunya.) Kami memutuskan.
Kondisi menyediakan semua data untuk menggunakan rumus: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Masih harus dilihat apa n. Tidak masalah! Kita perlu menemukan 121. Di sini kami menulis:
Mohon perhatian! Alih-alih indeks n angka tertentu muncul: 121. Yang cukup logis.) Kami tertarik pada anggota deret aritmatika nomor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi milik kita n. Ini dia artinya n= 121 selanjutnya kita substitusikan ke dalam rumus, dalam kurung. Substitusikan semua angka dalam rumus dan hitung:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Itu saja. Secepatnya seseorang dapat menemukan lima ratus sepuluh anggota, dan seribu tiga, apa saja. Kami menempatkan sebagai gantinya n nomor yang diinginkan dalam indeks surat " sebuah" dan dalam tanda kurung, dan kami pertimbangkan.
Biarkan saya mengingatkan Anda esensinya: formula ini memungkinkan Anda untuk menemukan setiap suku dari barisan aritmatika DENGAN NOMORNYA" n" .
Mari selesaikan masalah dengan lebih cerdas. Katakanlah kita memiliki masalah berikut:
Tentukan suku pertama barisan aritmatika (a n) jika a 17 = -2; d=-0,5.
Jika Anda mengalami kesulitan, saya akan menyarankan langkah pertama. Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika! Ya ya. Tulis tangan, tepat di buku catatan Anda:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Dan sekarang, dengan melihat huruf-huruf dalam rumus, kami memahami data apa yang kami miliki dan apa yang hilang? Tersedia d=-0,5, ada anggota ketujuh belas ... Semuanya? Jika Anda berpikir itu saja, maka Anda tidak dapat menyelesaikan masalah, ya ...
Kami juga memiliki nomor n! dalam kondisi a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah nilai anggota ketujuh belas (-2) dan nomornya (17). Itu. n=17."Sepele" ini sering melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "sepele", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Meskipun ... dan tanpa kepala juga.)
Sekarang kita bisa dengan bodohnya mengganti data kita ke dalam rumus:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Oh ya, 17 kita tahu itu -2. Oke, mari kita masukkan ke dalam:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Itu, pada dasarnya, adalah semua. Tetap mengungkapkan suku pertama deret aritmatika dari rumus, dan menghitung. Anda mendapatkan jawabannya: a1 = 6.
Teknik seperti itu - menulis formula dan hanya mengganti data yang diketahui - banyak membantu dalam tugas-tugas sederhana. Yah, tentu saja, Anda harus dapat mengekspresikan variabel dari rumus, tetapi apa yang harus dilakukan!? Tanpa keterampilan ini, matematika tidak dapat dipelajari sama sekali ...
Masalah populer lainnya:
Tentukan selisih dari barisan aritmatika (a n) jika a 1 =2; a 15 = 12.
Apa yang kita lakukan? Anda akan terkejut, kami menulis rumusnya!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Pertimbangkan apa yang kita ketahui: a 1 = 2; a 15 = 12; dan (sorotan khusus!) n=15. Jangan ragu untuk mengganti formula:
12=2 + (15-1)d
Mari kita lakukan aritmatika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ini adalah jawaban yang benar.
Jadi, tugas a n , a 1 dan d diputuskan. Masih belajar bagaimana menemukan nomornya:
Bilangan 99 adalah anggota deret aritmatika (a n), di mana a 1 = 12; d=3. Temukan nomor anggota ini.
Kami mengganti jumlah yang diketahui ke dalam rumus suku ke-n:
a n = 12 + (n-1) 3
Sekilas, ada dua besaran yang tidak diketahui di sini: sebuah n dan n. Tetapi sebuah adalah beberapa anggota perkembangan dengan nomor n... Dan anggota perkembangan ini yang kita kenal! Ini 99. Kami tidak tahu nomornya. n, jadi nomor ini juga perlu ditemukan. Substitusikan suku perkembangan 99 ke dalam rumus:
99 = 12 + (n-1) 3
Kami mengungkapkan dari rumus n, kami pikir. Kami mendapatkan jawabannya: n=30.
Dan sekarang masalah pada topik yang sama, tetapi lebih kreatif):
Tentukan apakah bilangan 117 merupakan anggota barisan aritmatika (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Mari kita menulis rumus lagi. Apa, tidak ada pilihan? Hm... Kenapa kita butuh mata?) Apakah kita melihat anggota pertama dari progresi? Kami melihat. Ini adalah -3.6. Anda dapat dengan aman menulis: a 1 \u003d -3.6. Perbedaan d dapat ditentukan dari seri? Sangat mudah jika Anda tahu apa perbedaan dari deret aritmatika:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Ya, kami melakukan hal yang paling sederhana. Masih berurusan dengan nomor yang tidak dikenal n dan bilangan 117 yang tidak bisa dipahami. Pada soal sebelumnya, paling tidak diketahui bahwa yang diberikan adalah suku dari barisan tersebut. Tapi di sini kita bahkan tidak tahu itu ... Bagaimana menjadi!? Nah, bagaimana menjadi, bagaimana menjadi ... Nyalakan kemampuan kreatif Anda!)
Kami memperkirakan bahwa 117 adalah, setelah semua, anggota kemajuan kami. Dengan nomor tak dikenal n. Dan, seperti pada soal sebelumnya, mari kita coba mencari nomor ini. Itu. kami menulis rumus (ya-ya!)) dan mengganti nomor kami:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Sekali lagi kami ungkapkan dari rumusn, kami menghitung dan mendapatkan:
Ups! Nomornya ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan bilangan pecahan dalam progresi tidak bisa. Kesimpulan apa yang kita tarik? Ya! Nomor 117 tidak anggota kemajuan kami. Itu adalah suatu tempat antara 101 dan 102 anggota. Jika jumlahnya ternyata alami, mis. bilangan bulat positif, maka nomor tersebut akan menjadi anggota perkembangan dengan nomor yang ditemukan. Dan dalam kasus kami, jawaban untuk masalahnya adalah: tidak.
Tugas berdasarkan versi nyata GIA:
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:
a n \u003d -4 + 6.8n
Tentukan suku pertama dan suku kesepuluh dari deret tersebut.
Di sini perkembangan diatur dengan cara yang tidak biasa. Semacam formula ... Itu terjadi.) Namun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga rumus anggota ke-n dari deret aritmatika! Dia juga mengizinkan temukan anggota perkembangan dengan nomornya.
Kami mencari anggota pertama. Yang berpikir. bahwa suku pertama dikurangi empat, adalah kesalahan fatal!) Karena rumus dalam soal dimodifikasi. Suku pertama dari barisan aritmatika di dalamnya tersembunyi. Tidak ada, kita akan menemukannya sekarang.)
Sama seperti pada tugas sebelumnya, kami mengganti n=1 ke dalam rumus ini:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Di Sini! Suku pertama adalah 2,8, bukan -4!
Demikian pula, kami mencari suku kesepuluh:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Itu saja.
Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca hingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)
Misalkan, dalam situasi pertempuran yang sulit dari GIA atau Ujian Negara Terpadu, Anda lupa rumus yang berguna dari anggota ke-n dari perkembangan aritmatika. Sesuatu muncul dalam pikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Apakah n di sana, atau n+1, atau t-1... Bagaimana menjadi!?
Tenang! Rumus ini mudah diturunkan. Tidak terlalu ketat, tapi pasti cukup untuk kepercayaan diri dan keputusan yang tepat!) Sebagai kesimpulan, cukup untuk mengingat arti dasar dari deret aritmatika dan memiliki beberapa menit waktu. Anda hanya perlu menggambar. Untuk kejelasan.
Kami menggambar sumbu numerik dan menandai yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dst. anggota. Dan perhatikan perbedaannya d antar anggota. Seperti ini:
Kami melihat gambar dan berpikir: apa yang sama dengan suku kedua? Kedua satu d:
sebuah 2 = a 1 + 1 d
Apa istilah ketiga? Ketiga suku sama dengan suku pertama ditambah dua d.
sebuah 3 = a 1 + 2 d
Apakah kamu mendapatkannya? Saya tidak menempatkan beberapa kata dalam huruf tebal untuk apa-apa. Oke, satu langkah lagi.)
Apa istilah keempat? Keempat suku sama dengan suku pertama ditambah tiga d.
sebuah 4 = a 1 + 3 d
Saatnya menyadari bahwa jumlah kesenjangan, yaitu. d, selalu satu kurang dari jumlah anggota yang Anda cari n. Artinya, sampai nomor n, jumlah celah akan n-1. Jadi, rumusnya adalah (tidak ada opsi!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Secara umum, gambar visual sangat membantu dalam memecahkan banyak masalah dalam matematika. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sulit untuk menggambar, maka ... hanya rumus!) Selain itu, rumus suku ke-n memungkinkan Anda untuk menghubungkan seluruh gudang senjata matematika yang kuat ke solusi - persamaan, ketidaksetaraan, sistem, dll. Anda tidak dapat menempatkan gambar dalam persamaan ...
Tugas untuk keputusan independen.
Untuk pemanasan:
1. Dalam deret aritmatika (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Temukan 3 .
Petunjuk: sesuai dengan gambar, masalahnya diselesaikan dalam 20 detik ... Menurut rumus, ternyata lebih sulit. Tetapi untuk menguasai rumus, itu lebih berguna.) Dalam Bagian 555, masalah ini diselesaikan baik dengan gambar maupun dengan rumus. Rasakan perbedaan nya!)
Dan ini bukan lagi pemanasan.)
2. Dalam deret aritmatika (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Carilah 3 .
Apa, keengganan untuk menggambar?) Masih! Lebih enak di rumus ya...
3. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Temukan suku keseratus dua puluh lima dari deret ini.
Dalam tugas ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tapi menghitung sampai suku ke seratus dua puluh lima... Tidak semua orang bisa melakukan hal seperti itu.) Tapi rumus suku ke-n ada dalam kekuatan semua orang!
4. Diberikan barisan aritmatika (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Tentukan jumlah suku positif terkecil dari deret tersebut.
5. Sesuai dengan kondisi tugas 4, temukan jumlah anggota positif terkecil dan negatif terbesar dari perkembangan.
6. Hasil kali suku kelima dan kedua belas dari suatu deret aritmatika meningkat adalah -2,5, dan jumlah suku ketiga dan kesebelas adalah nol. Temukan 14 .
Bukan tugas termudah, ya ...) Di sini metode "di jari" tidak akan berfungsi. Anda harus menulis rumus dan menyelesaikan persamaan.
Jawaban (berantakan):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Telah terjadi? Itu bagus!)
Tidak semuanya berhasil? Itu terjadi. Omong-omong, dalam tugas terakhir ada satu poin halus. Perhatian saat membaca masalah akan diperlukan. Dan logika.
Solusi untuk semua masalah ini dibahas secara rinci di Bagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk memecahkan masalah apa pun untuk rumus suku ke-n - semuanya dilukis. Menyarankan.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Deret aritmatika dan geometrik
Informasi teoretis
Informasi teoretis
Deret aritmatika |
Kemajuan geometris |
|
Definisi |
Deret aritmatika sebuah urutan disebut, setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambah dengan nomor yang sama d (d- perbedaan perkembangan) |
deret geometri b n disebut barisan bilangan bukan nol, setiap suku yang dimulai dari yang kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama q (q- penyebut kemajuan) |
Rumus berulang |
Untuk alam apa pun n |
Untuk alam apa pun n |
rumus suku ke-n |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 q n - 1, b n 0 |
| properti karakteristik |  |
|
| Jumlah n suku pertama |  |
 |
Contoh tugas dengan komentar
Latihan 1
Dalam barisan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2
Menurut rumus suku ke-n:
22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 hari
Dengan kondisi:
sebuah 1= -6, jadi 22= -6 + 21d.
Perbedaan progresi perlu dicari:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Menjawab : 22 = -48.
Tugas 2
Tentukan suku kelima dari deret geometri: -3; 6;....
Cara pertama (menggunakan rumus suku-n)
Menurut rumus anggota ke-n dari deret geometri:
b 5 \u003d b 1 q 5 - 1 = b 1 q 4.
Sebagai b 1 = -3,
Cara ke-2 (menggunakan rumus rekursif)
Karena penyebut dari barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : b 5 = -48.
Tugas 3
Dalam barisan aritmatika ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Tentukan suku ke tujuh puluh lima dari deret ini.
Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristik memiliki bentuk 
.
Karena itu:
.
Substitusikan data ke dalam rumus:
Jawaban: 95.
Tugas 4
Dalam barisan aritmatika ( a n ) a n= 3n - 4. Temukan jumlah tujuh belas suku pertama.
Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika, digunakan dua rumus:
.
Manakah dari mereka yang lebih nyaman untuk diterapkan dalam kasus ini?
Dengan syarat, rumus anggota ke-n dari perkembangan asli diketahui ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Dapat ditemukan segera dan sebuah 1, dan 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kami menggunakan rumus pertama.
Jawaban: 368.
Tugas 5
Dalam deret aritmatika sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.
Menurut rumus suku ke-n:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21 hari.
Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, maka 22= -6 + 21d. Perbedaan progresi perlu dicari:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : 22 = -48.
Tugas 6
Beberapa suku berurutan dari barisan geometri dicatat:
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x .
Saat memecahkan, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n b n \u003d b 1 q n - 1 untuk deret geometri. Anggota pertama dari perkembangan. Untuk menemukan penyebut dari perkembangan q, Anda perlu mengambil salah satu dari suku-suku dari perkembangan ini dan membaginya dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, Anda dapat mengambil dan membagi dengan. Kami mendapatkan q \u003d 3. Alih-alih n, kami mengganti 3 dalam rumus, karena perlu untuk menemukan suku ketiga dari deret geometri yang diberikan.
Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kami mendapatkan:
.
Menjawab : .
Tugas 7
Dari deret aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilih salah satu yang memenuhi syarat 27 > 9:
Karena kondisi yang ditentukan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari progresi, kami mengganti 27 alih-alih n di masing-masing dari empat progresi. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:
.
Jawaban: 4.
Tugas 8
Dalam deret aritmatika sebuah 1= 3, d = -1.5. Tentukan nilai n terbesar yang dimiliki pertidaksamaan sebuah > -6.
Kalkulator daring.
Solusi deret aritmatika.
Diketahui: a n , d, n
Temukan: a 1
Program matematika ini menemukan \(a_1\) dari deret aritmatika berdasarkan angka yang ditentukan pengguna \(a_n, d \) dan \(n \).
Angka \(a_n\) dan \(d \) dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan. Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan sebagai pecahan desimal (\(2.5 \)) dan sebagai pecahan biasa (\(-5\frac(2)(7) \)).
Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses menemukan solusi.
Kalkulator online ini dapat berguna untuk siswa sekolah menengah dalam mempersiapkan ujian dan ujian, ketika menguji pengetahuan sebelum Unified State Examination, dan bagi orang tua untuk mengontrol solusi dari banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan memasukkan angka, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.
Aturan untuk memasukkan angka
Angka \(a_n\) dan \(d \) dapat ditentukan tidak hanya sebagai bilangan bulat, tetapi juga sebagai pecahan.
Angka \(n\) hanya dapat berupa bilangan bulat positif.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Bagian bilangan bulat dan pecahan dalam pecahan desimal dapat dipisahkan dengan titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti 2,5 atau seperti 2,5
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Memasukkan:
Hasil: \(-\frac(2)(3) \)
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Memasukkan:
Hasil: \(-1\frac(2)(3) \)
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Urutan numerik
Dalam praktik sehari-hari, penomoran berbagai benda sering digunakan untuk menunjukkan urutan penempatannya. Misalnya, rumah-rumah di setiap jalan diberi nomor. Di perpustakaan, langganan pembaca diberi nomor dan kemudian diatur dalam urutan nomor yang ditetapkan dalam lemari arsip khusus.
Di bank tabungan, dengan nomor rekening pribadi deposan, Anda dapat dengan mudah menemukan rekening ini dan melihat jenis simpanan yang dimilikinya. Biarkan ada setoran a1 rubel di akun No. 1, setoran a2 rubel di akun No. 2, dll. Ternyata urutan numerik
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
di mana N adalah jumlah semua akun. Di sini, setiap bilangan asli n dari 1 hingga N diberi nomor a n .
Matematika juga belajar urutan nomor tak terbatas:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Angka 1 disebut anggota pertama dari urutan, nomor a 2 - anggota kedua dari urutan, nomor a 3 - anggota ketiga dari urutan dll.
Bilangan a n disebut anggota urutan ke-n (n), dan bilangan asli n adalah nomor.
Misalnya, dalam barisan kuadrat bilangan asli 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... dan 1 = 1 adalah anggota pertama dari barisan; dan n = n 2 adalah anggota ke-n dari barisan; a n+1 = (n + 1) 2 adalah anggota (n + 1) ke-(en ditambah yang pertama) dari barisan. Seringkali urutan dapat ditentukan dengan rumus anggota ke-n. Misalnya, rumus \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) memberikan urutan \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \titik,\frac(1)(n) , \titik \)
Deret aritmatika
Panjang satu tahun adalah sekitar 365 hari. Nilai yang lebih akurat adalah \(365\frac(1)(4) \) hari, jadi setiap empat tahun kesalahan satu hari terakumulasi.
Untuk menjelaskan kesalahan ini, satu hari ditambahkan ke setiap tahun keempat, dan tahun yang diperpanjang disebut tahun kabisat.
Misalnya, pada milenium ketiga, tahun kabisat adalah 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
Dalam urutan ini, setiap anggota, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan angka yang sama 4. Urutan seperti itu disebut deret aritmatika.
Definisi.
Barisan bilangan a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... disebut deret aritmatika, jika untuk semua natural n persamaan
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
di mana d adalah suatu bilangan.
Dari rumus ini dapat disimpulkan bahwa a n+1 - a n = d. Bilangan d disebut selisih deret aritmatika.
Dengan definisi deret aritmatika, kita memiliki:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
di mana
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), di mana \(n>1 \)
Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua anggota yang berdekatan dengannya. Ini menjelaskan nama perkembangan "aritmatika".
Perhatikan bahwa jika a 1 dan d diberikan, maka suku sisa dari barisan aritmatika dapat dihitung dengan menggunakan rumus rekursif a n+1 = a n + d. Dengan cara ini, tidak sulit untuk menghitung beberapa suku pertama dari perkembangan, namun, misalnya, untuk 100, banyak perhitungan sudah diperlukan. Biasanya, rumus suku ke-n digunakan untuk ini. Menurut definisi barisan aritmatika
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
dll.
Umumnya,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
karena anggota ke-n suatu deret aritmatika diperoleh dari anggota pertama dengan menjumlahkan (n-1) dikalikan bilangan d.
Rumus ini disebut rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
Mari kita cari jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100.
Kami menulis jumlah ini dalam dua cara:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Kami menambahkan persamaan ini istilah demi istilah:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ada 100 istilah dalam jumlah ini.
Jadi, 2S = 101 * 100, dari mana S = 101 * 50 = 5050.
Pertimbangkan sekarang perkembangan aritmatika sewenang-wenang
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Misalkan S n adalah jumlah dari n suku pertama dari deret ini:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Kemudian jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika adalah
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Karena \(a_n=a_1+(n-1)d \), kemudian mengganti n dalam rumus ini, kita mendapatkan rumus lain untuk mencari jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
