logaritma dari suatu bilangan disebut eksponen ke mana bilangan lain harus dinaikkan, disebut dasar logaritma untuk mendapatkan nomor yang diberikan. Misalnya, logaritma bilangan 100 hingga basis 10 adalah 2. Dengan kata lain, 10 harus dikuadratkan untuk mendapatkan bilangan 100 (10 2 = 100). Jika sebuah n- nomor tertentu, b- yayasan dan aku adalah logaritma, maka bl = n. Nomor n disebut juga antilogaritma basa b angka aku. Misalnya, antilogaritma dari 2 ke basis 10 adalah 100. Ini dapat ditulis sebagai log b n = aku dan antilog b l = n.

Sifat-sifat utama logaritma:

Bilangan positif apa pun selain satu dapat menjadi basis logaritma, tetapi sayangnya ternyata jika b dan n adalah bilangan rasional, maka dalam kasus yang jarang ada bilangan rasional seperti itu aku, Apa bl = n. Namun, seseorang dapat menentukan bilangan irasional aku, misalnya, sehingga 10 aku= 2; itu bilangan irasional aku dapat didekati dengan bilangan rasional dengan akurasi yang diperlukan. Ternyata dalam contoh ini aku kira-kira 0,3010, dan nilai perkiraan logaritma basis 10 dari 2 ini dapat ditemukan dalam tabel empat digit logaritma desimal. Logaritma basis 10 (atau logaritma desimal) sering digunakan dalam perhitungan sehingga disebut biasa logaritma dan ditulis sebagai log2 = 0,3010 atau log2 = 0,3010, menghilangkan indikasi eksplisit dari basis logaritma. logaritma dasar e, bilangan transendental yang kira-kira sama dengan 2,71828, disebut alami logaritma. Mereka ditemukan terutama dalam karya-karya tentang analisis matematika dan aplikasinya ke berbagai ilmu pengetahuan. Logaritma natural juga ditulis tanpa secara eksplisit menunjukkan basis, tetapi menggunakan notasi khusus ln: misalnya, ln2 = 0,6931, karena e 0,6931 = 2.

Menggunakan tabel logaritma biasa.

Logaritma biasa dari suatu angka adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan 10 untuk mendapatkan angka yang diberikan. Karena 10 0 = 1, 10 1 = 10 dan 10 2 = 100, kita langsung mendapatkan bahwa log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, dan seterusnya. untuk meningkatkan pangkat bilangan bulat 10. Demikian pula, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 dan karenanya log0.1 = -1, log0.01 = -2, dan seterusnya. untuk semua pangkat bilangan bulat negatif 10. Logaritma biasa dari bilangan yang tersisa diapit di antara logaritma pangkat bilangan bulat terdekat dari 10; log2 harus antara 0 dan 1, log20 antara 1 dan 2, dan log0.2 antara -1 dan 0. Jadi, logaritma memiliki dua bagian, bilangan bulat dan desimal antara 0 dan 1. Bagian bilangan bulat disebut ciri logaritma dan ditentukan oleh bilangan itu sendiri, bagian pecahan disebut mantissa dan dapat ditemukan dari tabel. Juga, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritma dari 2 adalah 0,3010, jadi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Demikian pula, log0.2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Dengan mengurangkan, kita mendapatkan log0.2 = -0,6990. Namun, lebih mudah untuk merepresentasikan log0.2 sebagai 0,3010 - 1 atau sebagai 9,3010 - 10; aturan umum juga dapat dirumuskan: semua angka yang diperoleh dari angka tertentu dengan mengalikan dengan kekuatan 10 memiliki mantissa yang sama sama dengan mantissa dari angka yang diberikan. Di sebagian besar tabel, mantissa angka mulai dari 1 hingga 10 diberikan, karena mantissa dari semua angka lainnya dapat diperoleh dari yang diberikan dalam tabel.

Sebagian besar tabel memberikan logaritma dengan empat atau lima tempat desimal, meskipun ada tabel tujuh digit dan tabel dengan lebih banyak tempat desimal. Mempelajari cara menggunakan tabel seperti itu paling mudah dengan contoh. Untuk menemukan log3.59, pertama-tama, kami mencatat bahwa angka 3.59 berada di antara 10 0 dan 10 1, jadi karakteristiknya adalah 0. Kami menemukan angka 35 (di sebelah kiri) dalam tabel dan bergerak sepanjang baris ke kolom yang memiliki angka 9 di atas; perpotongan kolom dan baris 35 ini adalah 5551, jadi log3,59 = 0,5551. Untuk menemukan mantissa angka dengan empat angka penting, Anda perlu menggunakan interpolasi. Dalam beberapa tabel, interpolasi difasilitasi oleh bagian proporsional yang diberikan dalam sembilan kolom terakhir di sisi kanan setiap halaman tabel. Temukan sekarang log736.4; bilangan 736,4 terletak di antara 10 2 dan 10 3, sehingga sifat logaritmanya adalah 2. Pada tabel kita menemukan baris di sebelah kirinya adalah 73 dan kolom 6. Pada perpotongan baris ini dan kolom ini adalah bilangan 8669. Di antara bagian-bagian linier kita menemukan kolom 4 Di persimpangan baris 73 dan kolom 4 adalah angka 2. Menambahkan 2 ke 8669, kita mendapatkan mantissa - itu sama dengan 8671. Jadi, log736.4 = 2.8671.

logaritma natural.

Tabel dan sifat-sifat logaritma natural mirip dengan tabel dan sifat-sifat logaritma biasa. Perbedaan utama antara keduanya adalah bahwa bagian bilangan bulat dari logaritma natural tidak signifikan dalam menentukan posisi titik desimal, dan oleh karena itu perbedaan antara mantissa dan karakteristik tidak memainkan peran khusus. Logaritma natural bilangan 5.432; 54,32 dan 543,2 berturut-turut adalah 1,6923; 3.9949 dan 6.2975. Hubungan antara logaritma ini menjadi jelas jika kita mempertimbangkan perbedaan di antara mereka: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; angka terakhir tidak lain adalah logaritma natural dari angka 10 (ditulis seperti ini: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; angka terakhir adalah 2ln10. Tapi 543.2 \u003d 10ґ54.32 \u003d 10 2 5.432. Jadi, dengan logaritma natural dari bilangan yang diberikan sebuah Anda dapat menemukan logaritma bilangan asli, sama dengan produk dari nomor tersebut sebuah sampai tingkat apapun n nomor 10 jika k ln sebuah tambahkan ln10 dikalikan n, yaitu ln( sebuahґ10n) = log sebuah + n ln10 = ln sebuah + 2,3026n. Misalnya, ln0.005432 = ln(5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155. Oleh karena itu, tabel logaritma natural, seperti tabel logaritma biasa, biasanya hanya berisi logaritma angka dari 1 hingga 10. Dalam sistem logaritma natural, seseorang dapat berbicara tentang antilogaritma, tetapi lebih sering berbicara tentang fungsi eksponensial atau eksponensial. . Jika sebuah x= ln kamu, kemudian kamu = mantan, dan kamu disebut eksponen x(untuk kenyamanan pengaturan huruf tipografi, mereka sering menulis kamu=exp x). Eksponen memainkan peran antilogaritma dari nomor x.

Dengan bantuan tabel desimal dan logaritma natural, Anda dapat membuat tabel logaritma dalam basis apa pun selain 10 dan e. Jika log b a = x, kemudian b x = sebuah, dan karenanya log c b x= log c a atau x catatan c b= log c a, atau x= log c a/catatan c b= log b a. Oleh karena itu, menggunakan rumus inversi ini dari tabel logaritma ke basis c Anda dapat membuat tabel logaritma di basis lain mana pun b. Pengganda 1/log c b ditelepon modul transisi dari tanah c ke pangkalan b. Tidak ada yang mencegah, misalnya, menggunakan rumus inversi, atau transisi dari satu sistem logaritma ke sistem lainnya, untuk menemukan logaritma natural dari tabel logaritma biasa atau membuat transisi terbalik. Misalnya, log105.432 = log e 5.432/log e 10 \u003d 1.6923 / 2.3026 \u003d 1.6923´0.4343 \u003d 0.7350. Bilangan 0,4343, yang dengannya logaritma natural dari suatu bilangan tertentu harus dikalikan untuk memperoleh logaritma biasa, adalah modulus transisi ke sistem logaritma biasa.

Meja khusus.

Logaritma awalnya diciptakan untuk menggunakan log propertinya ab= log sebuah+log b dan log sebuah/b= log sebuah-catatan b, ubah produk menjadi jumlah, dan hasil bagi menjadi perbedaan. Dengan kata lain, jika log sebuah dan log b diketahui, maka dengan bantuan penjumlahan dan pengurangan kita dapat dengan mudah mencari logaritma hasil kali dan hasil bagi. Dalam astronomi, bagaimanapun, seringkali untuk nilai-nilai yang diberikan dari log sebuah dan log b perlu menemukan log( sebuah + b) atau log( sebuah – b). Tentu saja, pertama-tama orang dapat menemukan dari tabel logaritma sebuah dan b, kemudian lakukan penambahan atau pengurangan yang ditentukan dan, sekali lagi mengacu pada tabel, temukan logaritma yang diperlukan, tetapi prosedur seperti itu akan membutuhkan tiga perjalanan ke tabel. Z. Leonelli pada tahun 1802 menerbitkan tabel yang disebut. logaritma Gauss- logaritma penambahan jumlah dan perbedaan - yang memungkinkan untuk membatasi satu akses ke tabel.

Pada tahun 1624, I. Kepler mengusulkan tabel logaritma proporsional, yaitu logaritma bilangan sebuah/x, di mana sebuah adalah beberapa konstanta positif. Tabel ini digunakan terutama oleh para astronom dan navigator.

Logaritma proporsional di sebuah= 1 disebut logaritma dan digunakan dalam perhitungan ketika seseorang harus berurusan dengan produk dan hasil bagi. Logaritma suatu bilangan n sama dengan logaritma timbal balik; itu. colog n= log1/ n= -log n. Jika log2 = 0,3010, maka colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Keuntungan menggunakan logaritma adalah ketika menghitung nilai logaritma dari ekspresi bentuk pq/r jumlah rangkap tiga dari log desimal positif p+log q+ colog r lebih mudah ditemukan daripada jumlah campuran dan selisih log p+log q-catatan r.

Cerita.

Prinsip yang mendasari setiap sistem logaritma telah dikenal sejak lama dan dapat ditelusuri kembali ke matematika Babilonia kuno (sekitar 2000 SM). Pada masa itu, interpolasi antara nilai tabular pangkat bilangan bulat positif digunakan untuk menghitung bunga majemuk. Jauh kemudian, Archimedes (287–212 SM) menggunakan pangkat 108 untuk menemukan batas atas jumlah butir pasir yang dibutuhkan untuk memenuhi seluruh alam semesta yang diketahui pada saat itu. Archimedes menarik perhatian pada properti eksponen yang mendasari efektivitas logaritma: produk dari kekuatan sesuai dengan jumlah eksponen. Pada akhir Abad Pertengahan dan awal New Age, matematikawan semakin mulai merujuk pada hubungan antara deret geometri dan aritmatika. M. Stiefel dalam esainya Aritmatika bilangan bulat(1544) memberikan tabel kekuatan positif dan negatif dari nomor 2:

Stiefel memperhatikan bahwa jumlah dua angka di baris pertama (baris eksponen) sama dengan eksponen dua, yang sesuai dengan produk dari dua angka yang sesuai di baris bawah (baris eksponen). Berkaitan dengan tabel ini, Stiefel merumuskan empat aturan yang setara dengan empat aturan modern untuk operasi pangkat atau empat aturan untuk operasi logaritma: jumlah di baris atas sesuai dengan produk di baris bawah; pengurangan di baris atas sesuai dengan pembagian di baris bawah; perkalian di baris atas sesuai dengan eksponensial di baris bawah; pembagian di baris atas sesuai dengan ekstraksi akar di baris bawah.

Rupanya, aturan yang mirip dengan aturan Stiefel membuat J. Naper secara formal memperkenalkan sistem logaritma pertama dalam esainya. Deskripsi tabel logaritma yang menakjubkan, diterbitkan pada tahun 1614. Tetapi pikiran Napier telah disibukkan dengan masalah mengubah produk menjadi jumlah sejak lebih dari sepuluh tahun sebelum publikasi karyanya, Napier menerima berita dari Denmark bahwa di observatorium Tycho Brahe asistennya memiliki metode untuk mengubah karya dalam jumlah. Metode yang disebutkan dalam komunikasi Napier didasarkan pada penggunaan rumus trigonometri jenis

oleh karena itu, tabel Napier sebagian besar terdiri dari logaritma fungsi trigonometri. Meskipun konsep basis tidak secara eksplisit dimasukkan dalam definisi yang diusulkan oleh Napier, peran yang setara dengan basis sistem logaritma dalam sistemnya dimainkan oleh angka (1 - 10 -7)ґ10 7, kira-kira sama dengan 1/ e.

Terlepas dari Neuper dan hampir bersamaan dengannya, sebuah sistem logaritma, dengan tipe yang sangat mirip, ditemukan dan diterbitkan oleh J. Bürgi di Praha, yang diterbitkan pada tahun 1620. Tabel deret aritmatika dan geometrik. Ini adalah tabel antilogaritma di basis (1 + 10 –4) 10 4 , perkiraan yang cukup baik dari nomor e.

Dalam sistem Napier, logaritma dari angka 10 7 diambil sebagai nol, dan saat angka berkurang, logaritma meningkat. Ketika G. Briggs (1561-1631) mengunjungi Napier, keduanya sepakat bahwa akan lebih mudah menggunakan angka 10 sebagai basis dan menganggap logaritma kesatuan sama dengan nol. Kemudian, seiring bertambahnya angka, logaritma mereka akan meningkat. Jadi, kami mendapatkan sistem modern logaritma desimal, tabel yang diterbitkan Briggs dalam esainya aritmatika logaritma(1620). logaritma dasar e, meskipun tidak seperti yang diperkenalkan oleh Napier, sering disebut sebagai Napier's. Istilah "karakteristik" dan "mantissa" diusulkan oleh Briggs.

Logaritma pertama, karena alasan historis, menggunakan aproksimasi untuk angka 1/ e dan e. Agak kemudian, gagasan logaritma natural mulai dikaitkan dengan studi area di bawah hiperbola xy= 1 (Gbr. 1). Pada abad ke-17 ditunjukkan bahwa area yang dibatasi oleh kurva ini, sumbu x dan ordinat x= 1 dan x = sebuah(pada Gambar 1 area ini ditutupi dengan titik-titik yang lebih tebal dan lebih jarang) peningkatan deret aritmatika ketika sebuah meningkat secara eksponensial. Ketergantungan inilah yang muncul dalam aturan untuk tindakan pada eksponen dan logaritma. Ini memberi alasan untuk menyebut logaritma Napier "logaritma hiperbolik".

fungsi logaritma.

Ada suatu masa ketika logaritma dianggap semata-mata sebagai alat perhitungan, tetapi pada abad ke-18, terutama karena karya Euler, konsep fungsi logaritma terbentuk. Grafik fungsi seperti itu kamu= ln x, yang ordinatnya meningkat dalam deret aritmatika, sedangkan absis meningkat dalam deret geometri, ditunjukkan pada Gambar. 2, sebuah. Grafik fungsi invers, atau eksponensial (eksponensial) y = e x, yang ordinatnya meningkat secara eksponensial, dan absisnya meningkatkan aritmatika, masing-masing disajikan pada Gambar. 2, b. (Kurva kamu= log x dan kamu = 10x bentuknya mirip kurva kamu= ln x dan kamu = mantan.) Definisi alternatif dari fungsi logaritma juga telah diusulkan, misalnya,

kpi ; dan, demikian pula, logaritma natural dari -1 adalah bilangan kompleks dalam bentuk (2 k + 1)pi, di mana k adalah bilangan bulat. Pernyataan serupa juga berlaku untuk logaritma umum atau sistem logaritma lainnya. Selain itu, definisi logaritma dapat digeneralisasi menggunakan identitas Euler untuk memasukkan logaritma kompleks dari bilangan kompleks.

Definisi alternatif dari fungsi logaritma disediakan oleh analisis fungsional. Jika sebuah f(x) adalah fungsi kontinu dari bilangan real x, yang memiliki tiga sifat berikut: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (kamu) + f (v), kemudian f(x) didefinisikan sebagai logaritma bilangan x dengan alasan b. Definisi ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan definisi yang diberikan di awal artikel ini.

Aplikasi.

Logaritma awalnya hanya digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, dan aplikasi ini masih menjadi salah satu yang paling penting. Perhitungan produk, hasil bagi, kekuatan dan akar difasilitasi tidak hanya oleh ketersediaan luas tabel logaritma yang diterbitkan, tetapi juga dengan menggunakan apa yang disebut. aturan geser - alat komputasi, yang prinsipnya didasarkan pada sifat-sifat logaritma. Penggaris dilengkapi dengan skala logaritmik, mis. jarak dari nomor 1 ke nomor apapun x dipilih sama dengan log x; dengan menggeser satu skala relatif terhadap yang lain, dimungkinkan untuk memplot jumlah atau perbedaan logaritma, yang memungkinkan untuk membaca produk atau sebagian dari angka yang sesuai langsung dari skala. Untuk mengambil keuntungan dari penyajian angka dalam bentuk logaritmik memungkinkan apa yang disebut. kertas logaritmik untuk ploting (kertas dengan skala logaritmik tercetak di sepanjang kedua sumbu koordinat). Jika fungsi memenuhi hukum pangkat dalam bentuk y = kx n, maka grafik logaritmanya terlihat seperti garis lurus, karena catatan kamu= log k + n catatan x adalah persamaan linier terhadap log kamu dan log x. Sebaliknya, jika grafik logaritmik dari beberapa ketergantungan fungsional berbentuk garis lurus, maka ketergantungan ini adalah hukum pangkat. Kertas semi-log (di mana sumbu y pada skala logaritmik dan absis pada skala seragam) berguna ketika fungsi eksponensial perlu diidentifikasi. persamaan bentuk y = kb rx terjadi setiap kali kuantitas, seperti populasi, bahan radioaktif, atau saldo bank, menurun atau meningkat pada tingkat yang sebanding dengan populasi saat ini, bahan radioaktif, atau uang. Jika ketergantungan seperti itu diterapkan pada kertas semi-logaritmik, maka grafiknya akan terlihat seperti garis lurus.

Fungsi logaritma muncul sehubungan dengan berbagai bentuk alami. Bunga dalam perbungaan bunga matahari berbaris dalam spiral logaritmik, cangkang moluska berputar Nautilus, tanduk domba gunung dan paruh burung beo. Semua bentuk alami ini adalah contoh dari kurva yang dikenal sebagai spiral logaritmik, karena dalam koordinat kutub persamaannya adalah r = ae bq, atau ln r= ln sebuah + bq. Kurva seperti itu digambarkan oleh titik bergerak, jarak dari kutub yang tumbuh secara eksponensial, dan sudut yang dijelaskan oleh vektor jari-jarinya tumbuh aritmatika. Di mana-mana kurva seperti itu, dan akibatnya dari fungsi logaritmik, diilustrasikan dengan baik oleh fakta bahwa itu terjadi di daerah yang jauh dan sangat berbeda seperti kontur cam eksentrik dan lintasan serangga tertentu yang terbang menuju cahaya.

sering ambil nomor e = 2,718281828 . Logaritma dalam basis ini disebut alami. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma natural, biasanya beroperasi dengan tanda akun, tapi tidak catatan; sedangkan nomor 2,718281828 , mendefinisikan dasar, tidak menunjukkan.

Dengan kata lain, kata-katanya akan terlihat seperti: logaritma natural angka X adalah eksponen ke mana bilangan tersebut akan dinaikkan e, Untuk memperoleh x.

Jadi, ln(7.389...)= 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e= 1 karena e 1 =e, dan logaritma natural dari satu sama dengan nol, karena e 0 = 1.

Nomornya sendiri e mendefinisikan limit barisan berbatas monoton

menghitung itu e = 2,7182818284... .

Cukup sering, untuk memperbaiki nomor dalam memori, digit nomor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tanggal yang beredar. Kecepatan mengingat sembilan digit pertama dari suatu angka e setelah titik desimal akan bertambah jika Anda perhatikan bahwa tahun 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Sampai saat ini, ada tabel logaritma natural yang cukup lengkap.

grafik log alami(fungsi y=di x) adalah konsekuensi dari plot eksponen sebagai bayangan cermin terhadap garis lurus y = x dan terlihat seperti:

Logaritma natural dapat ditemukan untuk setiap bilangan real positif sebuah sebagai area di bawah kurva kamu = 1/x dari 1 sebelum sebuah.

Sifat dasar dari rumusan ini, yang cocok dengan banyak rumus lain yang melibatkan logaritma natural, adalah alasan pembentukan nama "alami".

Jika kita menganalisis logaritma natural, sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka ia bertindak fungsi terbalik ke fungsi eksponensial, yang direduksi menjadi identitas:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma natural mengubah perkalian menjadi penjumlahan, pembagian menjadi pengurangan:

ln(xy) = ln(x) + ln(kamu)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma dapat ditemukan untuk setiap basis positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya didefinisikan dalam logaritma natural.

Setelah dianalisis grafik log alami, kami mendapatkan bahwa itu ada untuk nilai positif dari variabel x. Secara monoton meningkat pada domain definisinya.

Pada x → 0 limit dari logaritma natural adalah minus tak terhingga ( -∞ ).Pada x → +∞ limit dari logaritma natural adalah ditambah tak hingga ( + ∞ ). Pada umumnya x logaritma meningkat agak lambat. Fungsi daya apa pun x a dengan eksponen positif sebuah meningkat lebih cepat dari logaritma. Logaritma natural adalah fungsi yang naik secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem.

Penggunaan logaritma natural sangat rasional dalam perjalanan matematika yang lebih tinggi. Jadi, penggunaan logaritma lebih mudah untuk menemukan jawaban persamaan di mana yang tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma natural dalam perhitungan memungkinkan untuk sangat memfasilitasi sejumlah besar rumus matematika. logaritma dasar e hadir dalam memecahkan sejumlah besar masalah fisik dan secara alami termasuk dalam deskripsi matematis dari proses kimia, biologi, dan proses individu lainnya. Jadi, logaritma digunakan untuk menghitung konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menghitung waktu peluruhan dalam memecahkan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran utama dalam banyak bagian matematika dan ilmu praktis, mereka terpaksa di bidang keuangan untuk memecahkan sejumlah besar masalah, termasuk dalam perhitungan bunga majemuk.

logaritma natural

Grafik fungsi logaritma natural. Fungsi secara perlahan mendekati tak terhingga positif sebagai x dan dengan cepat mendekati tak terhingga negatif ketika x cenderung 0 ("lambat" dan "cepat" dibandingkan dengan fungsi daya apa pun dari x).

logaritma natural adalah logaritma dasar , di mana e adalah konstanta irasional yang sama dengan kira-kira 2.718281 828 . Logaritma natural biasanya dilambangkan sebagai ln( x), catatan e (x) atau terkadang hanya log( x) jika dasar e tersirat.

Logaritma natural dari suatu bilangan x(ditulis sebagai log(x)) adalah eksponen yang ingin Anda naikkan angkanya e, Untuk memperoleh x. Sebagai contoh, ln(7.389...) sama dengan 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e (ln(e)) sama dengan 1 karena e 1 = e, dan logaritma natural 1 ( log(1)) adalah 0 karena e 0 = 1.

Logaritma natural dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real positif sebuah sebagai area di bawah kurva kamu = 1/x dari 1 sampai sebuah. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak rumus lain yang menggunakan logaritma natural, telah menyebabkan nama "alami". Definisi ini dapat diperluas ke bilangan kompleks, yang akan dibahas di bawah ini.

Jika kita menganggap logaritma natural sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka itu adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial, yang mengarah ke identitas:

Seperti semua logaritma, logaritma natural memetakan perkalian ke penjumlahan:

Jadi, fungsi logaritma adalah isomorfisme dari grup bilangan real positif terhadap perkalian dengan grup bilangan real dengan penambahan, yang dapat direpresentasikan sebagai fungsi:

Logaritma dapat didefinisikan untuk sembarang basis positif selain 1, bukan hanya e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstan, dan biasanya didefinisikan dalam logaritma natural. Logaritma berguna untuk memecahkan persamaan di mana yang tidak diketahui hadir sebagai eksponen. Misalnya, logaritma digunakan untuk menemukan konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menemukan waktu peluruhan dalam menyelesaikan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika dan ilmu terapan, digunakan di bidang keuangan untuk memecahkan banyak masalah, termasuk menemukan bunga majemuk.

Cerita

Penyebutan pertama dari logaritma natural dibuat oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, meskipun guru matematika John Spydell menyusun tabel logaritma natural pada tahun 1619. Sebelumnya, itu disebut logaritma hiperbolik karena sesuai dengan area di bawah hiperbola. Kadang-kadang disebut logaritma Napier, meskipun arti asli dari istilah ini agak berbeda.

Konvensi Notasi

Logaritma natural biasanya dilambangkan dengan "ln( x)", logaritma basis 10 melalui "lg( x)", dan merupakan kebiasaan untuk menunjukkan alasan lain secara eksplisit dengan simbol "log".

Dalam banyak makalah tentang matematika diskrit, sibernetika, ilmu komputer, penulis menggunakan notasi “log( x)" untuk logaritma ke basis 2, tetapi konvensi ini tidak diterima secara universal dan memerlukan klarifikasi, baik dalam daftar notasi yang digunakan atau (jika tidak ada daftar tersebut) dengan catatan kaki atau komentar pada penggunaan pertama.

Tanda kurung di sekitar argumen logaritma (jika ini tidak menyebabkan pembacaan rumus yang salah) biasanya dihilangkan, dan ketika menaikkan logaritma ke pangkat, eksponen dikaitkan langsung dengan tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistem Anglo-Amerika

Matematikawan, ahli statistik, dan beberapa insinyur biasanya menggunakan salah satu dari "log( x)", atau "ln( x)" , dan untuk menyatakan logaritma ke basis 10 - "log 10 ( x)».

Beberapa insinyur, ahli biologi, dan profesional lainnya selalu menulis "ln( x)" (atau kadang-kadang "log e ( x)") ketika mereka berarti logaritma natural, dan notasi "log( x)" berarti log 10 ( x).

catatan e adalah logaritma "alami" karena muncul secara otomatis dan sangat sering muncul dalam matematika. Misalnya, pertimbangkan masalah turunan dari fungsi logaritmik:

Jika dasar b sama dengan e, maka turunannya hanya 1/ x, dan kapan x= 1 turunan ini sama dengan 1. Pembenaran lain yang basisnya e logaritma adalah yang paling alami, adalah bahwa ia dapat didefinisikan secara sederhana dalam bentuk integral sederhana atau deret Taylor, yang tidak dapat dikatakan tentang logaritma lain.

Pembuktian lebih lanjut kealamian tidak terhubung dengan nomor. Jadi, misalnya, ada beberapa deret sederhana dengan logaritma natural. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekade sampai Newton dan Leibniz mengembangkan kalkulus diferensial dan integral.

Definisi

Secara resmi ln( sebuah) dapat didefinisikan sebagai luas daerah di bawah kurva dari grafik 1/ x dari 1 sampai sebuah, yaitu sebagai integral:

Ini memang logaritma karena memenuhi sifat dasar logaritma:

Hal ini dapat dibuktikan dengan asumsi sebagai berikut:

Nilai numerik

Untuk menghitung nilai numerik dari logaritma natural suatu bilangan, Anda dapat menggunakan ekspansinya dalam deret Taylor dalam bentuk:

Untuk mendapatkan tingkat konvergensi terbaik, Anda dapat menggunakan identitas berikut:

dengan ketentuan kamu = (x−1)/(x+1) dan x > 0.

Untuk ln( x), di mana x> 1, semakin dekat nilainya x ke 1, semakin cepat tingkat konvergensi. Identitas yang terkait dengan logaritma dapat digunakan untuk mencapai tujuan:

Metode ini digunakan bahkan sebelum munculnya kalkulator, di mana tabel numerik digunakan dan manipulasi serupa dengan yang dijelaskan di atas dilakukan.

Akurasi tinggi

Untuk menghitung logaritma natural dengan presisi banyak digit, deret Taylor tidak efisien karena konvergensinya lambat. Alternatifnya adalah menggunakan metode Newton untuk membalikkan ke fungsi eksponensial, yang deretnya lebih cepat konvergen.

Alternatif untuk akurasi perhitungan yang sangat tinggi adalah rumus:

di mana M menunjukkan mean aritmatika-geometris dari 1 dan 4/s, dan

m dipilih sehingga p tanda akurasi tercapai. (Dalam kebanyakan kasus, nilai 8 untuk m sudah cukup.) Memang, jika metode ini digunakan, inversi Newton dari logaritma natural dapat diterapkan untuk menghitung fungsi eksponensial secara efisien. (Konstanta ln 2 dan pi dapat dihitung sebelumnya dengan akurasi yang diinginkan menggunakan salah satu deret konvergen cepat yang diketahui.)

Kompleksitas komputasi

Kompleksitas komputasi logaritma natural (menggunakan mean aritmatika-geometris) adalah O( M(n) ln n). Di Sini n adalah jumlah digit presisi yang logaritma naturalnya akan dievaluasi, dan M(n) adalah kompleksitas komputasi dari mengalikan dua n-digit angka.

pecahan lanjutan

Meskipun tidak ada pecahan lanjutan yang sederhana untuk mewakili logaritma, beberapa pecahan lanjutan yang digeneralisasi dapat digunakan, termasuk:

Logaritma kompleks

Fungsi eksponensial dapat diperluas ke fungsi yang memberikan bentuk bilangan kompleks e x untuk bilangan kompleks sembarang x, saat menggunakan deret tak hingga dengan kompleks x. Fungsi eksponensial ini dapat dibalik untuk membentuk logaritma kompleks yang akan memiliki sebagian besar sifat-sifat logaritma biasa. Namun, ada dua kesulitan: tidak ada x, untuk itu e x= 0, dan ternyata e 2pi = 1 = e 0 . Karena sifat perkalian berlaku untuk fungsi eksponensial kompleks, maka e z = e z+2npi untuk semua kompleks z dan utuh n.

Logaritma tidak dapat didefinisikan pada seluruh bidang kompleks, dan meskipun demikian itu multinilai - setiap logaritma kompleks dapat diganti dengan logaritma "ekuivalen" dengan menambahkan kelipatan bilangan bulat dari 2 pi. Logaritma kompleks hanya dapat bernilai tunggal pada sepotong bidang kompleks. Misalnya ln saya = 1/2 pi atau 5/2 pi atau 3/2 pi, dll., dan meskipun saya 4 = 1.4log saya dapat didefinisikan sebagai 2 pi, atau 10 pi atau -6 pi, dll.

Lihat juga

• John Napier - penemu logaritma

Catatan

1. Matematika untuk kimia fisik. - 3 - Pers Akademik, 2005. - Hal. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Ekstrak halaman 9
2. J J O "Connor dan EF Robertson Nomor e. Arsip Sejarah Matematika MacTutor (September 2001). diarsipkan
3. Cajori Florian Sejarah Matematika, edisi ke-5. - Toko Buku AMS, 1991. - Hal. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Menaksir Integral menggunakan Polinomial . Diarsipkan dari versi asli pada 12 Februari 2012.

1.1. Menentukan derajat eksponen bilangan bulat

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N \u003d X * X * ... * X - N kali

1.2. derajat nol.

Menurut definisi, biasanya diasumsikan bahwa pangkat nol dari bilangan apa pun sama dengan 1:

1.3. derajat negatif.

X-N = 1/XN

1.4. Eksponen pecahan, akar.

X 1/N = Akar ke-N dari X.

Contoh: X 1/2 = X.

1.5. Rumus untuk menambahkan kekuatan.

X (N+M) = X N * X M

1.6 Rumus pengurangan derajat.

X (N-M) = X N / X M

1.7. Rumus perkalian kekuatan.

XN*M = (XN)M

1.8. Rumus untuk menaikkan pecahan menjadi pangkat.

(X/Y)N = XN /YN

2. Nomor e.

Nilai bilangan e sama dengan limit berikut:

E = lim(1+1/N), sebagai N → .

Dengan ketelitian 17 digit, angka e adalah 2.71828182845904512.

3. Persamaan Euler.

Persamaan ini menghubungkan lima angka yang memainkan peran khusus dalam matematika: 0, 1, angka e, angka pi, unit imajiner.

E(i*pi) + 1 = 0

4. Fungsi eksponensial exp (x)

exp(x) = e x

5. Turunan dari fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki sifat yang luar biasa: turunan dari suatu fungsi sama dengan fungsi eksponensial itu sendiri:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritma.

6.1. Definisi fungsi logaritma

Jika x = b y , maka logaritma adalah fungsi

Y = Logb(x).

Logaritma menunjukkan sejauh mana perlu untuk menaikkan angka - dasar logaritma (b) untuk mendapatkan angka yang diberikan (X). Fungsi logaritma didefinisikan untuk X lebih besar dari nol.

Contoh: Log 10 (100) = 2.

6.2. logaritma desimal

Ini adalah logaritma ke basis 10:

Y = Log 10 (x) .

Dilambangkan Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Contoh penggunaan logaritma desimal adalah desibel.

6.3. Desibel

Item disorot pada halaman terpisah Decibel

6.4. logaritma biner

Ini adalah logaritma basis 2:

Y = Log2(x).

Dilambangkan dengan Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. logaritma natural

Ini adalah logaritma ke basis e:

Y = log(x) .

Dilambangkan dengan Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Logaritma natural adalah kebalikan dari fungsi eksponensial exp(X).

6.6. poin karakteristik

Loga(1) = 0
Log a(a) = 1

6.7. Rumus untuk logaritma produk

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Rumus untuk logaritma hasil bagi

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Rumus logaritma daya

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Rumus untuk mengonversi ke logaritma dengan basis yang berbeda

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Contoh:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Rumus yang berguna dalam kehidupan

Seringkali ada masalah mengubah volume menjadi luas atau panjang, dan masalah kebalikannya adalah mengubah luas menjadi volume. Misalnya papan dijual dalam kubus (meter kubik), dan kita perlu menghitung berapa luas dinding yang dapat dilapisi dengan papan yang terdapat dalam volume tertentu, lihat perhitungan papan, berapa banyak papan dalam kubus. Atau, jika dimensi dinding diketahui, perlu untuk menghitung jumlah batu bata, lihat perhitungan batu bata.

Diperbolehkan untuk menggunakan materi situs asalkan tautan aktif ke sumber ditetapkan.

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil nomor dari garis bawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan kekuatan yang Anda miliki untuk meningkatkan dua untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Logaritma ke basis a dari argumen x adalah pangkat di mana angka a harus dinaikkan untuk mendapatkan angka x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya adalah apa yang sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga log 2 64 = 6 karena 2 6 = 64 .

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi mari kita tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba cari log 2 5 . Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menentukan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka-angka seperti itu disebut irasional: angka-angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung di mana dasarnya dan di mana argumennya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah pangkalan yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada murid-murid saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat oleh eksponen rasional, yang definisi logaritma dikurangi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun masih merupakan satu unit. Karena itu, pertanyaan “kepada apa seseorang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b x > 0 , a > 0 , a 1 .

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 \u003d -1, karena 0,5 = 2 1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ dari logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun masalah. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik ikut bermain, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan kemungkinan basis terkecil lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik untuk menyingkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata irasional, ini akan terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 5 b = 5 2 b = 2 ;

2. Menerima jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 2b = 6 b = 3 ;
3. Menerima jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 b = 0 ;
3. Menerima tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Sebuah catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Sangat sederhana - hanya menguraikannya menjadi faktor prima. Jika paling sedikit ada dua faktor yang berbeda dalam pemuaian, bilangan tersebut bukanlah pangkat eksak.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari bilangan tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; empat belas .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan merupakan pangkat eksak karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat yang tepat;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan gelar yang pasti;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan sebutan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Sebutan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika Anda melihat frasa seperti "Temukan lg 0,01" di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika notasi ini tidak biasa bagi Anda, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga benar untuk desimal.

logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki notasi sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini adalah logaritma natural.

Logaritma natural dari x adalah logaritma basis e, mis. kekuatan yang nomor e harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi yang nomor e? Ini adalah bilangan irasional, nilai pastinya tidak dapat ditemukan dan ditulis. Ini hanya angka pertama:
e = 2.718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.