206. Kita tahu (n. 175) bahwa jika A (Gbr. 203 atau 204) dipotong oleh dua paralel KL dan BC, maka rasio dua segmen di satu sisi sudut ini sama dengan rasio dua yang bersesuaian segmen di sisi lain (mis., AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL, dll.). Tetapi kami melihat bahwa kami memiliki lebih banyak segmen di paralel itu sendiri, yaitu KL dan BC. Timbul pertanyaan apakah mungkin untuk memilih dua segmen AL, LC dan AC yang terletak pada sisi yang sama dari sudut A kita sehingga rasionya sama dengan rasio segmen KL dan BC.

Untuk tujuan ini, pertama-tama kita mentransfer segmen KL ke jalur BC, yang untuk itu kita perlu membangun LD || AB; maka BD = KL. Kemudian, daripada ruas KL dan BC, kita dapat mempertimbangkan ruas BD dan BC, yang terletak pada sisi CB dari sudut C. Karena C ternyata berpotongan dengan dua garis sejajar, yaitu garis AB dan LD , kemudian, menerapkan 175 ke sudut C, kami menemukan

BD/BC = AL/AC atau KL/BC = AL/AC.

Masalah teratasi: kami berhasil menemukan dua segmen AL dan AC di sisi AC sehingga rasionya = KL/BC. Mengetahui juga bahwa AK/AB = AL/AC, kita sekarang dapat menulis persamaan:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Mempertimbangkan persamaan ini, kita sampai pada kesimpulan bahwa mereka menghubungkan sisi-sisi dari dua segitiga yang diperoleh, yaitu AKL dan ABC. Sebuah pertanyaan baru muncul: apakah sudut-sudut dari segitiga-segitiga ini terhubung dengan cara tertentu?

Jawaban untuk pertanyaan terakhir mudah ditemukan: A segitiga kita memiliki kesamaan, K = B, untuk paralel KL dan BC dan garis potong AB, dan L = C, untuk paralel yang sama, tetapi dengan AC sekan.

Kita dapat memindahkan AKL (Bab 203) ke tempat lain, atau, yang sama, membuat A"K"L" baru yang sama dengan AKL; sisi dan sudutnya masing-masing akan sama dengan sisi dan sudut AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", A = A", K = K", L = L".

Kemudian kita dapatkan A"K"L", yang memiliki hubungan yang sama dengan ABC sebagai AKL:
1) segitiga-segitiga ini memiliki sudut yang sama: A" = A, K" = B, L" = C;
2) untuk sisi kita memiliki proporsi:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Perlu dicatat bahwa kedua sisi dari setiap hubungan tidak secara tidak sengaja terhubung menjadi satu hubungan - Anda tidak dapat, misalnya, menulis A "L" / AB \u003d A "K" / BC \u003d K "L" / AC. Seseorang harus dapat menemukan pihak-pihak yang seharusnya menjadi anggota dari satu hubungan. Cara termudah untuk melakukannya adalah dengan sudut-sudut segitiga: Anda dapat melihat bahwa sisi-sisi dari setiap relasi dalam persamaan (1) terletak pada segitiga-segitiga yang berhadapan dengan sudut yang sama (A"K" melawan L dan AB melawan sudut yang sama C, dll. .). Merupakan kebiasaan untuk menyebut sisi-sisi yang berfungsi sebagai anggota dari relasi yang sama serupa (sisi A "K" mirip dengan sisi AB, A "L" - ke AC dan K "L" - ke BC), dan sisi-sisi yang serupa terletak dalam segitiga kami terhadap sudut yang sama.

Kesetaraan (1) dapat dibaca dalam istilah yang disingkat:

Sisi-sisi segitiga A"K"L" sebanding dengan sisi-sisi yang sebangun ABC.

Yang dimaksud dengan "sebanding" adalah: perbandingan satu pasang sisi sebangun segitiga A"K"L" dan ABC sama dengan perbandingan pasangan lainnya dan sama dengan perbandingan pasangan ketiga.

Segitiga yang memiliki dua fitur yang ditemukan di atas disebut sebangun. Untuk menunjukkan kesamaan segitiga, tanda ~ digunakan. Kami mendapatkan: AKL ~ ABC dan juga A"K"L" ~ ABC.

Anda sekarang dapat menginstal:

Dua segitiga disebut sebangun jika sudut-sudut yang satu sama besar berpasangan dengan sudut-sudut yang lain dan sisi-sisinya yang sebangun sebanding.

Komentar. Mari kita ambil dari persamaan (1) hanya satu, misalnya, A"K"/AB = A"L"/AC. Menerapkan properti item 178 di sini, kita mendapatkan: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, mis. perbandingan dua sisi suatu segitiga sama dengan perbandingan dua sisi sebangun dari segitiga lain yang sebangun dengan yang pertama.

207. Tanda utama kesamaan segitiga. Menurut paragraf sebelumnya, kita dapat membuat kumpulan segitiga yang tak terhitung banyaknya yang mirip dengan yang diberikan: untuk ini kita perlu memotong segitiga yang diberikan dengan berbagai garis yang sejajar dengan salah satu sisinya, dan kemudian, jika Anda suka, pindahkan setiap segitiga yang dihasilkan ke tempat lain di pesawat. Dalam semua segitiga yang dihasilkan, sudut-sudutnya tetap tidak berubah, dan rasio sisi mana pun dari satu sisi dengan sisi yang sama dari sisi yang diberikan (skala keserupaan) berubah. Oleh karena itu, muncul pemikiran apakah persamaan dua segitiga tidak cukup hanya persamaan sudutnya saja.

Mari kita bangun 2 segitiga: ABC dan DEF (Grafik 205) sehingga A = E dan B = D. Kemudian, pertama-tama, kita temukan bahwa C = F (karena jumlah sudut setiap segitiga = 2d).

Kami membebankan DEF pada ABC sehingga, misalnya, titik E sampai ke titik A. Kemudian, dengan memutar di sekitar titik ini, karena persamaan E = A, ED dan EF masing-masing sepanjang AB dan AC; sisi DF harus menempati posisi KL sedemikian sehingga AKL = D = B dan ALK = F = C, yaitu, sehingga KL || BC, karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar diperoleh.

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa DEF dapat diperoleh dengan membangun bagian sebelumnya dan, akibatnya, bahwa DEF ~ ABC. Jadi jika dua sudut dari satu segitiga adalah sama, masing-masing, dengan dua sudut yang lain, maka segitiga-segitiga ini sebangun.

208. Tugas. Bangun proporsional keempat dengan tiga segmen yang diberikan.

Misalkan segmen a, b dan c diberikan (Grafik 206); itu diperlukan untuk membangun segmen ke-4 x, sehingga proporsi a/b = c/x terjadi.

Kami membangun dua garis sewenang-wenang AB dan CD berpotongan di titik O dan menyisihkan dari titik O di salah satu dari mereka segmen dari hubungan pertama: OA = a, OB = b (dimungkinkan dalam satu atau arah yang berbeda dari titik O) dan pada garis yang lain diketahui ruas dari relasi kedua OC = c. Kemudian kami menghubungkan dengan garis lurus ujung-ujung segmen yang berfungsi sebagai anggota sebelumnya dari proporsi kami (jika salah satunya tidak diketahui, maka kami harus menghubungkan ujung segmen yang berfungsi sebagai anggota berikutnya dari proporsi ini); kita mendapatkan garis AC yang menghubungkan ujung-ujung segmen a dan c. Kemudian melalui titik B kita buat garis BD || AC. Kemudian kita akan mengajarkan OBD ~ OAC (∠O = O, sebagai vertikal dan C = D, sebagai persilangan internal, yang cukup menurut paragraf sebelumnya untuk kesamaan segitiga kita). Oleh karena itu kami memiliki (n. 206) proporsionalitas sisi yang sama:

OA/OB = OC/OD atau a/b = c/OD,

maka segmen yang diinginkan x = OD.

Jika diperlukan untuk memenuhi proporsi x/c = a/b, maka perlu menghubungkan titik B dan C dan membangun AL || BD; maka segmen OL akan menjadi yang diinginkan.

Komentar . Jika kita membangun segmen x sedemikian rupa sehingga, misalnya, proporsi x/c = a/b terpenuhi, maka segmen lain x" tidak akan memenuhi proporsi ini; jika x"> x, maka x"/c > x>c dan, maka x"/c > a/b jika x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Tanda-tanda kesamaan segitiga lainnya. 1) Jika dua sisi dari satu segitiga sebanding dengan dua sisi yang lain dan sudut di antara mereka sama, maka kedua segitiga ini sebangun.

Misalkan ABC (Bab 207); mari kita ambil segmen sembarang ED dan buat, menurut butir 208, segmen x sehingga terjadi proporsi x/AC = ED/AB. Akhirnya, kami membangun EDF sehingga satu sisinya adalah segmen ED, sisi lainnya adalah segmen EF = x, dan, akhirnya, E = A. Maka EDF dan ABC berhubungan sebagai berikut:

1) E = A dan 2) EF/AC = ED/AB.

Apakah segitiga-segitiga ini sebangun?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita hanya perlu mencatat bahwa kita dapat membuat segitiga yang sama dengan EDF dengan cara yang berbeda dan lebih sederhana. Untuk melakukan ini, kami menyisihkan segmen AK = ED di sisi AB dan membangun KL || SM; maka AKL ~ ABC (Bag. 197) dan, akibatnya, AL/AC = AK/AB.

Karena AK = ED dan karena hanya ada satu cara (keterangan 208) untuk memenuhi proporsi x/AC = ED/AB, kita menyimpulkan dari sini bahwa EF = AL dan bahwa AKL = EDF. Oleh karena itu, EDF dapat ditumpangkan dengan AKL dan karenanya EDF ~ ABC. Ini membenarkan tanda proporsionalitas, yang ditetapkan di awal paragraf ini.

2) Jika tiga sisi dari suatu segitiga sebanding dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga ini sebangun.

Misalkan ABC (Bab 207); mari kita ambil segmen ED dan, sesuai dengan item 208, buat dua segmen lain x dan y sehingga proporsinya terjadi: x/AC = ED/AB dan y/BC = ED/AB. Mari kita buat segitiga EDF (EF = x, DF = y) dengan diketahui tiga sisi ED, x dan y.

Maka EDF dan ABC berhubungan sebagai berikut:

1) EF/AC = ED/AB dan 2) DF/BC = ED/AB

atau, singkatnya:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Apakah segitiga-segitiga ini sebangun?

Untuk mengatasi masalah ini, kami mencatat bahwa adalah mungkin untuk membangun segitiga sama dengan EDF dengan cara yang berbeda dan lebih sederhana.

Untuk melakukan ini, kami menyisihkan segmen AK = ED di sisi AB dan membangun KL || SM; kemudian (Bag. 206) kita mendapatkan AKL ~ ABC dan, akibatnya,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Karena ruas AK = ED dan karena, sesuai dengan pernyataan nomor 208, hanya satu ruas yang dapat dibangun yang memenuhi proporsi x/AC = ED/AB, kita simpulkan bahwa AL = EF; kita juga menemukan bahwa KL = DF, sehingga EDF = AKL, dan dengan superposisi kita dapat menggabungkan EDF dengan AKL (kadang-kadang, mungkin perlu untuk memutar EDF ke sisi lain). Oleh karena itu, EDF ~ ABC.

Ini membenarkan tanda yang dinyatakan.

Dengan cara yang sama, seseorang dapat menemukan beberapa tanda kesamaan lagi, baik untuk segitiga pada umumnya maupun untuk setiap segitiga khusus. Sebagai contoh, jika sisi miring dan kaki segitiga siku-siku sebanding dengan sisi miring dan kaki segitiga lainnya, maka segitiga-segitiga ini sebangun. Penjelasan keabsahannya didasarkan pada: 1) pada keterangan butir 208 dan 2) pada tanda persamaan pada segitiga siku-siku (butir 74, tanda 4).

Komentar . Dalam beberapa masalah berikut, Anda harus menemukan rasio segmen yang diukur dengan beberapa unit. Jika, misalnya, segmen x = 7½ lin. lajang dan ruas y = 3/10 lin. lajang (satuan liniernya sama), maka untuk mencari perbandingan ruas x terhadap ruas y, ruas x harus dinyatakan sebagai bilangan, dengan mengambil ruas y sebagai satuannya. Jika y = 3/10 lin. unit, lalu lin. lajang = 10/3 * y dan karenanya

x = (7½ * 10/3)y, dari mana x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

yaitu, untuk menempatkan rasio segmen yang diukur dengan satu unit apa pun, perlu untuk menemukan rasio angka yang mengekspresikan segmen kami, dan rasio angka, seperti yang diketahui dari aritmatika, ditemukan dengan membagi.

210. Latihan.

1. Diberikan 2 segitiga siku-siku; sudut lancip salah satunya = 41°, dan sudut lancip yang lain = 49°. Cari tahu apakah segitiga ini sebangun.

2. Diketahui ABC dan KLM (Bab 208) sehingga B = M dan AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm. dan MK = 10 dm. Apakah segitiga-segitiga ini sebangun? Jika sebangun, maka hitunglah sisi AC dengan mengetahui bahwa sisi KL = 5½ dm.

3. Diketahui ABC dan KLM (gambar 208) sehingga AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . Apakah segitiga-segitiga ini sebangun? Bagaimana Anda bisa menemukan kesamaan di sini?

4. Pada segitiga ABC dan KLM diberikan : AB = 16 dm., AC = 8 dm., BC = 20 dm., KL = 5 dm., MK = 10 dm. dan ML = 12 dm. Apakah segitiga-segitiga ini sebangun? Jika tidak sebangun, bagaimana cara mengubah sisi ML agar segitiga-segitiga itu sebangun?

5. Diberikan 2 segitiga yang sebangun, salah satu sisinya masing-masing sama besar. 10, 14 dan 16 dm. dan sisi yang lebih besar dari yang lain = 20 dm. Temukan 2 sisi lain dari segitiga kedua.

6. Diberikan sebuah segitiga. Dengan menggunakan metode butir 206, buatlah segitiga lain yang serupa dengan yang diberikan sehingga setiap rasio sisi segitiga baru dengan sisi yang sama dari yang kedua adalah = .
Buat konstruksi yang sama jika rasio di atas harus 2½.

211. Perbandingan tinggi dan luas segitiga sebangun. Misalkan ABC ~ DEF (Grafik 209). Oleh karena itu, kita memiliki: A = D, B (∠ABC) = E (∠DEF) dan C = F (1) dan

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Mari kita bangun tinggi BM dan EN dalam segitiga kita, menjatuhkan tegak lurus ke sisi yang sama; kita akan menyebut ketinggian ini serupa. Kemudian ABM ~ DEN, karena mereka memiliki A = D berdasarkan persamaan (1) dan AMB = DNE sebagai sudut siku-siku (BM AC dan EN DF), dan ini cukup untuk membuat segitiga kita sebangun (207) dan dari kesamaannya kita peroleh:

Berdasarkan persamaan (2), kita dapat melanjutkan persamaan terakhir:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

yaitu, perbandingan tinggi segitiga yang sebangun sama dengan perbandingan sisi-sisi yang sebangun.

Dari serangkaian rasio sama terakhir, mari kita perhatikan proporsinya.

(Perbandingan ketinggian yang sama = rasio alas).

212. Dalam paragraf 209 ditunjukkan bagaimana menemukan rasio dua segmen yang diukur dengan unit yang sama. Hal yang sama berlaku untuk menemukan rasio dua area yang diukur dengan satuan kuadrat yang sama: rasio ini ditemukan dengan membagi angka yang menyatakan area kami.

Dalam paragraf ini, dan dalam banyak kasus selanjutnya, di bawah notasi, misalnya, AB, kita akan memahami bilangan yang menyatakan segmen AB dalam satuan linier apa pun, dan di bawah penunjukan "luas ABC" kita akan memahami bilangan yang menyatakan luas ABC dalam satuan persegi. Saat menganalisis satu pertanyaan, semua segmen akan dianggap diukur dengan unit linier yang sama, dan semua area - dengan unit kuadrat yang sesuai.

Kita tahu (n. 201) bahwa untuk mengukur luas segitiga dalam satuan persegi, perlu untuk mengukur alas dan tingginya dengan satuan linier yang sesuai dan mengambil setengah produk dari angka yang dihasilkan.
Sekarang, dengan menggunakan notasi sesuai dengan kondisi di atas, kita dapatkan untuk ABC dan DEF (Gbr. 209)
daerah ABC = (AC * BM) / 2 dan luas DEF = (DF * EN) / 2.

Temukan rasio luas segitiga kami dengan membagi

yaitu perbandingan luas dua segitiga sama dengan hasil kali perbandingan alasnya dan perbandingan tingginya.

Mari kita sekarang memperhitungkan bahwa kita berhadapan dengan segitiga sebangun - kita menganggap bahwa ABC ~ DEF.

Kemudian dari paragraf sebelumnya kita memiliki:

Mengganti dalam rumus yang menyatakan rasio luas segitiga, rasio tinggi dengan rasio alas sama dengannya, kita mendapatkan:

Kita juga dapat mengatakan bahwa rasio ini = (AB/DE) 2 . Jadi,

perbandingan luas segitiga-segitiga yang sebangun sama dengan kuadrat perbandingan sisi-sisinya yang sebangun.

Hasil ini sesuai dengan yang ditemukan pada 160 (Latihan 5, 6 dan 7).

Sebuah latihan. Temukan rasio luas segitiga sebangun yang diberikan dalam paragraf 210 (Latihan 2, 3, 5 dan 6).

213. Perbandingan luas segitiga yang sama besar sudutnya. Misalkan ABC dan DEF (Ch. 210) kita memiliki A = D, dan sudut-sudut lainnya tidak sama. Maka segitiga kita tidak sebangun. Kami, seperti pada paragraf sebelumnya, membangun tinggi BM dan EN dari segitiga-segitiga ini dan menemukan dengan membagi rasio area mereka

BM/EN = AB/DE (2)

Namun sekarang sudah tidak mungkin lagi untuk mengganti perbandingan tinggi (BM / EN) dengan perbandingan alas (AC / DF), karena segitiga-segitiga ini tidak sebangun. Menggunakan (2) dari (1) kita memiliki:

yaitu, rasio luas dua segitiga yang memiliki sudut yang sama sama dengan produk dari rasio sisi-sisi yang membentuk sudut-sudut ini.

Sebuah latihan. Diberikan segitiga; bangun segitiga lain sehingga salah satu sudutnya tidak berubah, dan sisi-sisi yang membentuk sudut ini bertambah satu kali 2 kali dan sisi lainnya bertambah 3 kali lipat. Bagaimana luasnya akan bertambah? Jawaban yang mudah ditemukan dengan perhitungan diinginkan untuk menghitung secara geometris.

252. Konsep kesamaan segitiga juga meluas ke poligon. Biarkan poligon ABCDE (Bab 245) diberikan; lakukan konstruksi seperti pada butir 206. Buatlah diagonal AC dan AD dan, dengan memilih beberapa titik K pada sisi AB antara titik A dan B atau di luar ruas AB, buatlah KL || BC sampai memotong diagonal AC, maka LM || CD ke persimpangan dengan AD dan akhirnya MN || DE ke persimpangan dengan AE. Kemudian kita mendapatkan poligon AKLMN, yang terkait dengan ABCD dengan dependensi berikut:

1) Sudut satu poligon berpasangan dengan sudut yang lain: sudut A mereka memiliki kesamaan, K = B (sesuai), KLM = BCD, karena KLA = BCA dan ALM = ACD, dll.

2) Sisi-sisi sebangun dari poligon-poligon ini sebanding, yaitu perbandingan satu pasang sisi sebangun sama dengan perbandingan pasangan lainnya, sama dengan perbandingan pasangan ketiga, dst.

Sisi-sisi yang "serupa" di sini harus dipahami dengan cara yang agak berbeda dari pada segitiga: di sini kita menganggap sebagai sisi-sisi yang sama sisi-sisi yang diapit di antara sudut-sudut yang sama, misalnya BC dan KL.

Keabsahan proporsionalitas ini terlihat sebagai berikut:

AKL ~ ABC, maka AK/AB = KL/BC = AL/AC
ALM ~ ACD, maka AL/AC = LM/CD = AM/AD
AMN ~ ADE, maka AM/AD = MN/DE = AN/AE

Kita melihat bahwa di antara tiga rasio pertama yang sama dan di antara tiga rasio kedua yang sama, ada satu AL/AC yang identik; juga tiga relasi terakhir terhubung dengan relasi sebelumnya AM/AD. Oleh karena itu, melewatkan rasio diagonal, kita mendapatkan:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

Semua ini tetap, karena mudah dilihat, juga berlaku untuk poligon dengan jumlah sisi yang lebih banyak daripada kita.

Jika kita memindahkan poligon AKLMN ke tempat lain di pesawat, maka 2 hubungan di atas poligon ini dengan ABCDE akan tetap berlaku; poligon seperti itu disebut serupa. Jadi, Dua poligon disebut sebangun jika sudut-sudut yang satu sama besar berpasangan dengan sudut-sudut yang lain dan jika sisi-sisinya yang sebangun sebanding.

Oleh karena itu kita tahu bagaimana membangun poligon seperti ini. Kami telah membangun AKLMN ~ ABCDE.

Kita juga melihat bahwa dalam poligon ABCDE dan AKLMN diagonal dibangun dari simpul masing-masing, dan dua baris segitiga serupa diperoleh: AKL ~ ABC, ALM ~ ACD dan AMN ~ ADE - segitiga ini terletak sama di kedua poligon.

Timbul pertanyaan apakah properti yang terakhir akan tetap valid jika kita membangun poligon seperti yang diberikan dengan cara lain selain yang kita gunakan di sini.

253. Biarkan poligon A"B"C"D"E" entah bagaimana dibangun mirip dengan poligon ABCDE (Bab 246), yaitu, sehingga

A" = A, B" = B, C" = C, D" = ∠D, E" = E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Pertanyaan akhir paragraf sebelumnya setara dengan yang lain: apakah mungkin untuk membawa dua poligon ini ke posisi sehingga, misalnya, titik A "bertepatan dengan A, dan simpul yang tersisa terletak berpasangan pada garis menuju dari titik yang sama ini, dan sehingga sisi-sisinya yang serupa atau sejajar, atau sisi satu poligon akan ditempatkan di sisi yang lain.

Mari kita selesaikan masalah ini. Untuk melakukan ini, kami menyisihkan segmen AK = A"B" di sisi AB dari titik A dan, dengan menggunakan paragraf sebelumnya, buat poligon AKLMN ~ ABCDE.

Masih harus dilihat apakah poligon A"B"C"D"E" dapat bertepatan dengan AKLMN ketika ditumpangkan.

Kami memiliki: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2) dan dengan mempertimbangkan bahwa AK = A"B", kita dengan mudah memperoleh KL = B"C", LM = C"D", dll., yaitu semua sisi poligon A "B" C"D"E" dan AKLMN berpasang-pasangan sama. Mari kita letakkan poligon A"B"C"D"E" pada AKLMN sehingga A" masuk ke A dan sisi A"B" berimpit dengan AK (kita bangun AK = A"B"); maka, karena persamaan sudut B" dan K, sisi B"C" akan sepanjang KL, karena persamaan sisi KL dan B"C", titik C" akan jatuh ke L, dll.

Jadi, A"B"C"D"E" bertepatan dengan AKLMN, dan oleh karena itu, jika kita membangun diagonal A"C" dan A"D", kita mendapatkan serangkaian segitiga yang sebangun dan terletak sama dengan ABC, ACD , dll. .

Oleh karena itu, kami menyimpulkan: Jika kita membangun diagonal dari simpul yang sesuai dalam poligon yang sama, kita mendapatkan 2 baris segitiga yang sebangun dan berjarak sama.

Sangat mudah untuk melihat validitas kesimpulan sebaliknya: jika, A"B"C" ~ ABC, A"C"D" ~ ACD dan A"D"E" ~ ADE, maka poligon A "B"C"D "E" ~ poligon ABCDE. Maka A"B"C" = AKL, A"C"D" = ALM dan A"D"E" = AMN, yang menunjukkan persamaan poligon A"B"C"D"E" dan AKLMN dan karenanya kesamaan dari A"B"C"D"E" dan ABCDE.

254. Posisi (dua simpul yang bersesuaian bergabung pada satu titik, simpul yang tersisa terletak berpasangan pada garis yang melewati titik ini, dan sisi yang serupa sejajar) di mana kami telah berhasil membawa dua poligon serupa adalah kasus khusus dari kasus lain yang lebih umum posisi dua poligon serupa.

Misalkan KLMN ~ ABCD (Bab 247). Ambil sembarang titik S dan hubungkan ke semua simpul A, B, C dan D dari poligon pertama. Kami akan mencoba membangun poligon yang sama dengan poligon KLMN sehingga simpulnya terletak pada garis SA, SB, SC dan SD dan sisi-sisinya sejajar dengan sisi-sisi poligon ABCD.

Untuk melakukan ini, kami menyisihkan segmen AP = KL pada sisi AB (kami berasumsi bahwa KL dan AB adalah sisi yang sama) dan membangun PB" || AS (titik P dan garis PB" tidak diberikan dalam gambar). Melalui titik B", di mana SB memotong PB", kita membangun B"A" || AB. Kemudian A"B" = AP = KL, lalu kita bangun B"C" || BC, melalui titik C", di mana B"C" berpotongan dengan SC, gambar C"D" || CD dan titik D", di mana C"D" berpotongan dengan SD, sambungkan dengan A". Dapatkan poligon A"B"C "D", yang, seperti yang akan kita lihat sebentar lagi, mirip dengan poligon ABCD.

Sejak A"B" || AB, lalu SA"B" ~ SAB, dari mana

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Sejak B"C" || SM, lalu SB"C" ~ SBC, dari mana

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Sejak C"D" || CD, lalu SC"D" ~ SCD, dari mana

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa SA "/SA \u003d SD" / SD, dan oleh karena itu SA "D" ~ SAD, karena dua sisi satu sebanding dengan dua sisi yang lain dan sudut di antara mereka adalah sama (∠S umum), - A "D " || AD dan

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Dari persamaan hubungan (1), (2), (3) dan (4) kita dengan mudah memperoleh:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Selain itu, A" = A, B" = B, dll., sebagai sudut dengan sisi sejajar. Oleh karena itu, A"B"C"D" ~ ABCD.

Selanjutnya, mudah untuk melihat bahwa KLMN = A"B"C"D". Memang, K = A, tetapi A = A", maka K = A"; juga L = B", dll. - sudut poligon kita sama. Selain itu, dari kesamaan KLMN ~ ABCD kita mendapatkan:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Membandingkan rasio yang sama ini dengan persamaan (5) dan mengingat bahwa A"B" = KL, kita menemukan: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Sekarang mudah, seperti yang kita lakukan di atas, untuk melihat bahwa KLMN, ketika ditumpangkan, akan sejajar dengan A"B"C"D". Oleh karena itu, kami berhasil menempatkan poligon serupa ini pada posisi sedemikian rupa sehingga simpulnya terletak berpasangan pada garis yang melewati titik S dan sisi-sisinya yang serupa sejajar, itulah yang kami perjuangkan.

Kami juga mencatat bahwa simpul yang sesuai dalam poligon kami mengikuti satu sama lain dalam arah yang sama (lihat panah di dekat poligon ABCD, KLMN dan A "B" C "D") - searah jarum jam.

Jika simpul dari satu poligon, yang berkorespondensi dengan simpul berurutan dari poligon lain, saling mengikuti dalam arah yang berlawanan dengan bagaimana mereka berada di poligon lain, maka kita akan dapat menempatkan poligon kita sehingga simpul yang bersesuaian terletak di sisi yang berlawanan dari titik S (lihat Gambar 248).

Titik S, di mana garis yang menghubungkan pasangan simpul yang bersesuaian dari poligon bertemu, disebut pusat kesamaan; dalam kasus pertama (gambar 247), ketika kedua simpul yang sesuai (misalnya, A dan A ") terletak di sisi yang sama dari S, pusat kesamaan disebut eksternal, dan di kedua (gambar 248), ketika yang sesuai titik-titik terletak pada sisi yang berlawanan dari titik S, pusat kesamaan disebut internal ... Jika poligon serupa disusun sehingga mereka memiliki pusat kesamaan, maka mereka dikatakan lokasi yang sama.

255. Jika kita diberi poligon ABCD (Bab 247 atau 248), - kita akan menyebut poligon ini asli, - kita dapat, dengan memilih titik S, mendapatkan gambarnya yang mirip dengan itu pada skala apa pun, - nama ini adalah disebut rasio setiap segmen gambar dengan segmen yang sesuai di aslinya (dalam poligon yang diberikan). Hubungan ini disebut juga koefisien kesamaan- mari kita nyatakan dengan k. Sejauh ini, bagi kami, koefisien kesamaan adalah rasio sisi gambar dengan sisi aslinya, yaitu.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

Di masa mendatang, kami akan memperluas konsep ini ke rasio dua segmen gambar dan aslinya yang mirip satu sama lain.

Dari persamaan (1), (2), (3) dan (4) paragraf sebelumnya, kita peroleh:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

yaitu rasio jarak dari pusat kesamaan dari simpul yang sesuai dari gambar dan asli = koefisien kesamaan.

Di bawah nama gambar (datar) yang kami maksud adalah sekumpulan titik dan garis bidang. Poligon ABCD - ada gambar. Kami menambahkan satu titik lagi (dipilih secara acak) E - kami mendapatkan gambar baru yang terdiri dari poligon ABCD dan titik E, - kami menemukan gambar titik E. Untuk melakukan ini, kami membuat garis lurus SE dan plot segmen SE di atasnya sehingga SE "/SE \u003d k (segmen seperti itu mudah dibuat menggunakan item 214); kita dapat menunda segmen ini ke arah SE (Gbr. 247); atau ke arah yang berlawanan (Gbr. 248).Titik E yang dihasilkan "adalah bayangan dari titik E - dengan kata lain, titik E" dan E adalah titik-titik yang bersesuaian dalam dua gambar kita yang serupa dan ditempatkan serupa.

Menghubungkan titik E, misalnya, dengan B dan titik E" dengan B" (B dan B" juga merupakan titik yang sesuai), kami memperoleh dua segmen yang sesuai BE dan B"E".

Sangat mudah untuk melihat bahwa SBE ~ SB"E" (karena BSE = B"SE dan sisi-sisi yang membentuk sudut-sudut ini sebanding: SB"/SB = k dan SE"/SE = k, maka SB " / SB = SE "/ SE), berikut ini:

1) B"E" || BE dan 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

yaitu segmen yang sesuai satu sama lain dalam gambar dan aslinya 1) sejajar satu sama lain dan 2) rasionya sama dengan koefisien kesamaan .

Ini menyiratkan kemungkinan konstruksi berikut untuk menemukan titik yang sesuai dengan titik yang diberikan dalam aslinya, jika kita sudah memiliki satu pasangan titik yang sesuai dan pusat kesamaan diketahui: mari kita memiliki pasangan titik yang sesuai B dan B " dan diperlukan untuk menemukan titik yang sesuai dengan titik E, - kita membangun garis SE dan BE dan melalui B "kita membangun garis yang sejajar dengan BE, titik potongnya E" dengan SE dan memberikan titik yang diinginkan.

256. Mari kita membangun untuk sembarang gambar, satu titik di antaranya adalah A (Gbr. 249), gambarnya, mengambil dua titik sembarang S 1 dan S 2 sebagai pusat kesamaan eksternal dan angka k 1 dan k 2 sebagai koefisien kesamaan. Misalkan titik A sesuai dengan titik A" pada gambar pertama, dan titik A"" sesuai dengan titik yang sama pada gambar kedua.

Kami juga menambahkan pada gambar ini beberapa titik B yang terletak pada garis S 1 S 2 ; maka titik B ini sesuai pada gambar pertama dengan titik B" dan pada gambar kedua dengan titik B"", apalagi titik B" dan B"" harus terletak pada garis yang sama S 1 S 2 dan garis AB, A"B " dan A""B "" harus sejajar dan berarah sama.

Kemudian kita memiliki:

A"B"/AB = k 1 dan A""B""/AB = k 2 .

Dari sini kita menemukan:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Hubungkan titik A" dan A"", cari titik potong S 3 garis A""A" dan S 2 S 1 . Kemudian dari persamaan segitiga S 3 A"B" dan S 2 A""B"" kita menemukan:

Dengan menghubungkan titik A" dan A"", kita menemukan titik potong S 3 dari garis A""A" dan S 2 S 1 . Kemudian dari persamaan segitiga S 3 A"B" dan S 2 A""B"" kita menemukan:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

yaitu, titik S 2 harus membagi ruas B "B" secara eksternal dengan perbandingan yang sama dengan bilangan yang diberikan k 1 / k 2. Kita tahu (n. 217) bahwa hanya ada satu titik yang membagi ruas B yang diberikan " B "" dalam hal ini secara eksternal. Jika kita mengambil titik C lain dari gambar ini dan membangun bayangannya C" dan C"", kemudian, dengan menghubungkan titik C" dan C"" dan mengambil titik persimpangan, kita kembali menyebutnya S 3 , garis C "C"" dengan garis S 1 S 2 , kita mendapatkan bahwa S 3 B"C" ~ S 3 B""C"" (B""C"" || BC dan B"C" || BC, oleh karena itu B"" C"" || B"C"), dari mana kita menemukan lagi bahwa S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , yaitu, titik baru S 3 bertepatan dengan titik lama. Oleh karena itu, S 3 adalah pusat kesamaan angka (A"B"C"...) dan (A""B""C""...) dan, selain itu, eksternal, karena arah yang sesuai titik-titik yang saling mengikuti pada kedua gambar adalah sama.Dari sini kita menyimpulkan bahwa angka-angka (A"B"C"...) dan (A""B""C""...) juga memiliki pusat eksternal kesamaan dan terletak pada garis yang sama dengan pusat S 1 dan S 2 .

Jika salah satu pusat kemiripan S1 diambil secara eksternal, dan S2 lainnya adalah internal (Gbr. 250), maka arah segmen yang sesuai adalah sebagai berikut: A"B" sama dengan arah AB, tetapi A" "B"" berlawanan dengan arah AB, - oleh karena itu, arah A ""B"" kembali ke A"B" dan S3 adalah pusat kesamaan internal dari gambar (A"B"...) dan (A ""B""...).

Jika kita mengambil kedua pusat kesamaan sebagai internal (misalnya, S 2 dan S 3 pada Gambar. 250), maka mudah untuk melihat bahwa pusat kesamaan ketiga akan menjadi eksternal. Jadi, secara umum:

Jika tiga angka terletak secara berpasangan, maka tiga pusat kesamaan terletak pada satu garis lurus, dan ketiganya adalah eksternal, atau dua di antaranya internal, dan satu eksternal.

257. .
Mari kita memiliki dua poligon serupa ABCDEF dan A"B"C"D"E"F" (Bab 251). Mari kita sebut koefisien kesamaan melalui k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k, dst.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

Menambahkan persamaan ini di bagian dan mengambil faktor k di bagian kedua dari braket, kita mendapatkan:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

yaitu, rasio keliling segitiga-segitiga yang sebangun sama dengan rasio sisi-sisi yang sebangun (atau sama dengan koefisien keserupaan).

Kami memilih dua simpul yang sesuai, misalnya, A dan A", dan membangun diagonal yang melewatinya. Kemudian kita tahu: 1) (dari item 253) ABC ~ A"B"C", ACD ~ A" C "D", dst. 2) (dari butir 212) Perbandingan luas segitiga sebangun sama dengan kuadrat perbandingan sisi-sisinya yang sebangun, oleh karena itu,

persegi A"B"C" / persegi ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; persegi A"C"D" / persegi ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2, dll.,

persegi A"B"C" = k 2 pl. ABC; pl. A"C"D" = k 2 pl. ACD;
persegi A"D"E" = k 2 persegi ADE ...

Menambahkan persamaan ini di bagian dan menempatkan faktor persekutuan k 2 di bagian kedua dari braket, kita mendapatkan:

persegi A"B"C" + pl. A"C"D" + A"D"E" + ... = k 2 (pl. ABC + pl. ACD + pl. ADE + .. .),

persegi A"B"C"D"E"F" / hal. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

yaitu, rasio area poligon serupa sama dengan kuadrat rasio sisi-sisinya yang serupa (atau sama dengan kuadrat koefisien kesamaan).

258. Dua poligon beraturan dengan nama yang sama selalu serupa. Faktanya, sudut-sudut poligon dengan nama yang sama adalah sama (n. 248), dan karena semua sisi masing-masing adalah sama satu sama lain, jelaslah bahwa rasio sisi mana pun dari satu sisi ke sisi mana pun dari lainnya adalah bilangan tetap.

Jika kita menuliskan poligon beraturan dalam lingkaran (Gbr. 252) dan membuat garis singgung lingkaran melalui titik tengah busur yang dikontrak oleh sisi-sisinya, maka kita mendapatkan poligon beraturan dengan nama yang sama yang dijelaskan di sekitar lingkaran ini. Tidak sulit untuk mengetahui (kami serahkan kepada mereka yang menginginkannya) bahwa dua poligon beraturan yang dihasilkan terletak serupa, dan pusat lingkaran berfungsi sebagai pusat kesamaan eksternal, - eksternal karena setiap pasangan titik yang bersesuaian (untuk contoh, A dan A ") terletak pada arah yang sama dari pusat (jika poligon memiliki jumlah sisi yang genap, maka pusat lingkaran juga dapat dianggap sebagai pusat kesamaan internal, hanya perlu mengasumsikan bahwa , misalnya, titik A sesuai dengan titik A "").

259. Latihan.

1. Sisi satu segi lima berturut-turut adalah 12, 14, 10, 8 dan 16 dm. Hitunglah sisi segilima lain yang serupa dengan segi lima jika kelilingnya = 80 dm.

2. Jumlah luas dua poligon yang sebangun adalah 250 meter persegi. dm., dan perbandingan dua sisi yang sebangun = . Hitung luas masing-masing.

3. Tunjukkan bahwa jika sebuah poligon beraturan dengan jumlah sisi ganjil dalam lingkaran dan garis singgung lingkaran dibangun pada simpulnya, maka poligon berbatas akan diperoleh, terletak sama dengan yang tertulis - pusat lingkaran berfungsi sebagai pusat kesamaan internal mereka.

4. Diberikan sebuah segitiga; bangun segitiga lain, yang terletak serupa dengan yang pertama, sehingga pusat gravitasi yang pertama berfungsi sebagai pusat kesamaan internal dan koefisien kesamaan = . Gunakan ini untuk mengetahui bagaimana titik ketinggian, pusat gravitasi, dan pusat lingkaran berbatas segitiga ini berada.

5. Sebuah persegi tertulis dalam segitiga ini.

Biarkan ABC menjadi segitiga yang diberikan (Bab 253) dan DEFK persegi yang diinginkan. Mari kita bangun MNPQ persegi lain sehingga satu sisi MQ terletak di sisi AC segitiga dan titik N terletak di sisi AB. Sangat mudah untuk melihat bahwa persegi MNPQ terletak serupa dengan persegi DEFK yang diinginkan dan pusat kesamaan luarnya adalah titik A; maka titik F terletak pada garis AP. Setelah menemukan titik F, bujur sangkar yang diinginkan mudah dibuat.

6. Diberikan sudut dan titik di dalamnya. Temukan titik di satu sisi sudut yang berjarak sama dari titik yang diberikan dan dari sisi lainnya.

Masalahnya diselesaikan dengan cara yang sama.

7. Bangun segitiga berdasarkan ketinggiannya.

Mudah diperoleh, dengan menyebut sisi-sisi segitiga melalui a, b dan c dan tinggi yang sesuai melalui h a , h b dan h c , hubungan berikut:

ah a = bh b = ch c , dari mana a: b = h b: h a dan b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Sangat mudah untuk membangun segmen x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - konstruksi proporsional ke-4), setelah itu kita membangun segitiga dengan sisi h b , h a dan x. Segitiga ini mirip dengan yang diinginkan, karena a: h: c = h b: h a: x; itu tetap membangun segitiga yang mirip dengan yang baru saja dibangun sehingga salah satu tingginya sama dengan yang diberikan.

BAB VIII.

PROPORSIONALITAS GARIS. KESAMAAN ANGKA.

93. KONSTRUKSI ANGKA SEPERTI.

1. Konstruksi segitiga sebangun.

Kita sudah tahu bahwa untuk membangun segitiga yang serupa dengan yang diberikan, cukup menggambar garis sejajar dengan sisi segitiga dari beberapa titik yang diambil di sisi segitiga. Kami mendapatkan segitiga yang mirip dengan yang ini (Gbr. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konstruksi poligon serupa.

Untuk membuat poligon yang mirip dengan yang diberikan, kita dapat melanjutkan sebagai berikut: kita membagi poligon yang diberikan menjadi segitiga dengan diagonal yang ditarik dari salah satu simpulnya (Gbr. 383). Pada beberapa sisi dari poligon ABCDE yang diberikan, misalnya pada sisi AE, kita ambil beberapa titik E" dan menarik garis sejajar dengan sisi ED hingga berpotongan dengan diagonal AD, misalnya pada titik D".

Dari titik D" tarik garis sejajar sisi DC sampai memotong diagonal AC di titik C". Dari titik C" tarik garis yang sejajar dengan sisi CB hingga berpotongan dengan sisi AB di titik B". Poligon yang dihasilkan AB"C"D"E" mirip dengan poligon ABCDE yang diberikan.

Keabsahan pernyataan ini dibuktikan secara independen.

Jika diperlukan untuk membangun poligon yang serupa dengan yang diberikan dengan koefisien kesamaan yang ditentukan, maka titik awal E" diambil masing-masing pada sisi AE atau kelanjutannya, sesuai dengan koefisien kesamaan yang diberikan.

3. Pengambilan gambar denah kavling tanah.

a) Pengambilan gambar rencana dilakukan dengan menggunakan alat khusus yang disebut gelas kimia(pengembangan 384).

Menzula adalah papan persegi yang diletakkan di atas tripod. Saat menggambar denah, papan dibawa ke posisi horizontal, yang diperiksa menggunakan level. Untuk menggambar garis lurus ke arah yang diinginkan, digunakan alidade yang dilengkapi dengan dioptri. Setiap diopter memiliki slot di mana rambut diregangkan, yang memungkinkan Anda untuk mengarahkan alidade secara akurat ke arah yang benar. Selembar kertas putih diikat ke skala dengan kancing, di mana denah digambar.

Untuk menghilangkan denah dari petak tanah ABCDE, beberapa titik O dipilih di dalam petak sehingga semua puncak petak tanah terlihat darinya (Gbr. 385).

Dengan bantuan garpu dengan garis tegak lurus (Gbr. 386), skala diatur sehingga titik O, yang ditandai pada selembar kertas, jatuh terhadap titik O yang dipilih di lokasi.

Kemudian, dari titik O pada selembar kertas yang ditempelkan pada gelas kimia, digambar sinar dengan alidade ke arah titik A, B, C, D dan E; mengukur jarak
OA, OB, OS, OD dan OE dan berbaring di sinar ini di segmen skala yang diterima
OA", OB", OS, OD" dan OE".

Titik A, B, C, D, dan E terhubung. Ternyata poligon A "B" C "D" E, yang merupakan denah sebidang tanah yang diberikan dalam skala yang diterima.

Metode pemotretan skala yang dijelaskan oleh kami disebut polar.

Ada cara lain untuk memotret pesawat dengan skala, yang dapat Anda baca di panduan khusus untuk pemotretan skala.

Pada setiap denah, skala biasanya diberikan untuk menentukan dimensi sebenarnya dari area yang dipindahkan, serta areanya.

Rencana tersebut juga menunjukkan arah mata angin.

Kerja praktek.

a) Buatlah model skala yang paling sederhana di bengkel sekolah dan gunakan untuk membuat rencana sebidang tanah kecil.

b) Survei denah sebidang tanah dapat dilakukan dengan bantuan astrolabe.

Misalkan perlu untuk menghapus rencana plot tanah ABCDE. Mari kita ambil salah satu simpul bagian, misalnya A, sebagai simpul awal dan gunakan astrolab untuk mengukur sudut di simpul A, mis.
/ 1, / 2, / 3 (pengembangan 387).

Kemudian, dengan menggunakan rantai pengukur, kami mengukur jarak AE, AD, AC dan AB. Bergantung pada ukuran plot dan ukuran lembar kertas tempat rencana diterapkan, skala untuk menggambar rencana dipilih.

Di titik A, yang diambil sebagai titik sudut poligon, kami membangun tiga sudut, masing-masing sama dengan / 1, / 2 dan / 3; kemudian, pada skala yang dipilih di sisi sudut-sudut ini dari titik A "lepaskan segmen A "E", A "D", A "C" dan A "B". Menghubungkan titik A "dan E", E "dan D", D "dan C, C" dan B", B" dan A", kita mendapatkan poligon A"B"C"D"E", mirip dengan poligon ABCDE. Ini akan menjadi denah petak tanah ini, digambar dalam skala yang dipilih.

Ketika memecahkan banyak masalah konstruksi, metode kesamaan digunakan, yang intinya adalah sebagai berikut: pertama, gambar yang mirip dengan yang diberikan dibangun, kemudian angka ini meningkat (menurun) dalam rasio yang diperlukan (mis., Angka serupa adalah dibangun) yang memenuhi kondisi masalah.

Proses belajar bagaimana menerapkan kesamaan untuk memecahkan masalah bangunan harus dibagi menjadi empat tahap: persiapan, pengantar, pembentukan keterampilan, peningkatan keterampilan. Setiap tahap memiliki tujuan didaktiknya sendiri, yang dicapai ketika siswa menyelesaikan tugas yang dirancang khusus.

Tujuan didaktik dari tahap persiapan adalah untuk membentuk keterampilan siswa: untuk menyoroti data yang menentukan bentuk gambar, banyak pasangan gambar yang mirip satu sama lain; membangun gambar sesuai dengan data yang mendefinisikan bentuk; pindah dari gambar yang dibangun ke yang diinginkan.

Setelah mempelajari tanda pertama kesamaan segitiga, kita dapat mengusulkan himpunan berikut: tugas:

Bangun segitiga dengan dua sudut. Berapa banyak solusi yang dimiliki masalah? Unsur apa yang menentukan bentuk segitiga yang dibangun?

Beri nama segitiga sebangun pada Gambar 35.

Unsur-unsur segitiga berikut diketahui: a) sudut 75 dan 25; b) tinggi 1,5 cm; c) sudut 75 dan 25, tinggi 1,5 cm Manakah dari data berikut yang menentukan satu-satunya gambar pada Gambar 35?

Sudut apa yang menentukan bentuk segitiga pada Gambar 35?

Apakah mungkin untuk menentukan dimensi salah satu segitiga pada Gambar 35 jika data berikut diketahui: a) sudut di dasar segitiga; b) tinggi segitiga; c) sisi dan sudut di alas?

Apakah segitiga ABC dan ABC serupa pada Gambar 36 jika ACAC? jika mereka serupa, berapakah koefisien kesamaan mereka?

Himpunan tugas yang diberikan kepada siswa setelah mempelajari tanda ke-2 dan ke-3 dari kesamaan segitiga disusun dengan cara yang serupa. Namun, ketika berpindah dari fitur ini ke fitur berikutnya, pertanyaannya menjadi agak lebih rumit, yaitu: lokasi segitiga pada gambar berubah, menjauh dari standar, himpunan elemen yang mendefinisikan satu-satunya gambar bervariasi. tugas, misalnya, dapat berupa:

1. Apakah segitiga ABC dan ABC sebangun jika:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB=3cm, BC=5cm, CA=7cm, AB=4.5cm, BC=7.5cm, CA=10.5cm;

d) AB=1.7cm, BC=3cm, SA=4.2cm, AB=34cm, BC=60cm, SA=84cm.

2. Pada segitiga ABC dengan sudut lancip C, tinggi AE dan BD digambar (Gbr. 37). Buktikan bahwa ABC mirip dengan EDC.

3. Buktikan bahwa keliling segitiga-segitiga yang sebangun berhubungan sebagai sisi-sisi yang bersesuaian.

Tujuan didaktis tahap pengenalan adalah menjelaskan kepada siswa struktur proses konstruksi dengan metode kesamaan.

Penjelasannya dimulai dari masalah.

Tugas. Bangun sebuah segitiga yang diketahui memiliki dua sudut dan dan sebuah garis bagi dengan panjang d yang ditarik dari titik sudut ketiga.

Menganalisis tugas dengan siswa, guru menawarkan tugas - pertanyaan, jawabannya dicatat secara singkat di papan tulis. Pertanyaan mungkin:

1. Data apa yang menentukan bentuk segitiga yang diinginkan?

2. Data apa yang menentukan dimensi segitiga yang diinginkan?

3. Berapa banyak segitiga yang dapat dibangun dengan dua sudut? Apa yang akan menjadi bentuk konstruksi dari semua segitiga yang dibangun?

4. Segmen apa yang harus digambar dalam segitiga yang mirip dengan yang diinginkan?

5. Bagaimana membangun segitiga yang diinginkan?

Jawaban atas pertanyaan disertai dengan gambar tangan di papan tulis (Gbr. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) buatlah garis bagi sudut C pada segitiga ABC,

c) membangun N=d, NCD;

d) tarik garis lurus melalui titik N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - yang diinginkan: A=, B= (karena ABC ABC dengan 1 fitur) dan CN=d oleh konstruksi. Tujuan didaktis dari pentas yang membentuk kemampuan untuk memecahkan masalah dari jenis yang sedang dibahas, sudah jelas dari namanya. Bentuk kegiatan utama pada tahap ini adalah pencarian individu. Diakhiri dengan percakapan singkat.

Berikut adalah beberapa contoh tugas yang dapat diajukan pada tahap ini.

Tugas. Sebuah titik F diberikan di dalam sudut AOB. Buatlah sebuah titik M di sisi OA, sama jauhnya dari F dan dari sisi OB

Keputusan.

1. Analisis. Mari kita beralih ke Gambar 39. Biarkan titik M dibangun, maka MF=MP. Artinya titik M yang diinginkan adalah pusat lingkaran berjari-jari MF dengan pusat M, menyentuh sisi OB di titik P.

Jika kita mengambil sembarang titik M pada OA dan menjatuhkan MP pada CB dan menemukan F perpotongan lingkaran dengan pusat M berjari-jari MP dengan garis OF, maka MFP akan serupa dengan MFP. Dari sini mengikuti konstruksi yang diperlukan.

2. Konstruksi. Kami menggambar OF, ambil titik sewenang-wenang M pada CA dan turunkan MP ke CB. Kami menggambar lingkaran dengan jari-jari MP berpusat di titik M. Biarkan F menjadi titik potong lingkaran ini dengan OF. Kami menggambar FM dan kemudian kami menggambar garis lurus melalui titik FFM. Titik M dari perpotongan garis ini dengan OA adalah titik yang diperlukan.

3. Bukti. Hal ini terlihat dari analisis yang dilakukan.

4. Penelitian. Masalahnya memiliki 2 solusi. Ini mengikuti dari fakta bahwa lingkaran berpotongan dengan OF di 2 titik.

Tugas. Buatlah segitiga dengan 2 sudut dan keliling.

Keputusan.

1. Analisis. Membiarkan dan diberikan sudut dan P menjadi keliling segitiga yang diinginkan (Gbr. 40). Mari kita asumsikan bahwa segitiga yang diinginkan dibangun, kemudian jika kita mempertimbangkan ABC yang serupa dengan segitiga yang diinginkan, rasio keliling P ABC dengan keliling P ABC sama dengan rasio sisi AC dan AC.

2. Konstruksi. Mari kita membangun ABC mirip dengan yang diinginkan. Pada sinar AB, sisihkan ruas AD=P dan AD=P, kemudian hubungkan titik D dan C, dan tarik garis DC melalui titik D. Misalkan C adalah titik potong garis dengan sinar AC. Gambarlah garis CB melalui titik C dan tunjukkan titik potong garis ini dengan AD, maka ABC adalah yang diperlukan.

3. Bukti. Jelas, ACD mirip dengan ACD, oleh karena itu. Rasio aspek sama dengan rasio keliling ABC dan ABC yang serupa, oleh karena itu keliling ABC \u003d P, oleh karena itu, ABC adalah yang diinginkan.

4. Penelitian. Karena jumlah dari setiap dua sudut segitiga<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Tugas. Diberikan AOB dan titik M, terletak di daerah bagian dalam dari sudut ini. Buatlah lingkaran yang melalui titik A dan menyentuh sisi-sisi sudut AOB.

Keputusan.

1. Analisis. Misalkan AOB diberikan dan titik M, terletak di daerah bagian dalam dari sudut (Gbr. 41).

Mari menggambar lingkaran lain yang menyentuh sisi AOB. Biarkan M menjadi titik potong lingkaran dengan garis lurus OM dan perhatikan OMN dan OMN (N dan N pusat lingkaran dan).

Segitiga ini sebangun pada dua sudut, sehingga konstruksi lingkaran yang diinginkan dapat dilakukan sebagai berikut:

2. Konstruksi. Karena pusat lingkaran yang diinginkan terletak pada garis-bagi AOB, kita menggambar garis-bagi sudut. Selanjutnya, kita ambil titik N di sini dan buat lingkaran dengan pusat N menyentuh AOB. Kemudian kami menggambar garis SM dan dilambangkan dengan M - titik perpotongan garis dengan lingkaran (ada dua titik seperti itu - M dan M - kami mengambil salah satunya). Kita tarik garis MN dan garisnya melalui titik M. Maka N adalah perpotongan garis dengan garis bagi sudut dan merupakan pusat lingkaran yang diinginkan, dan jari-jarinya sama dengan MN. Mari kita selesaikan.

3. Bukti. Secara konstruksi, lingkaran serupa, O adalah pusat kesamaan. Ini mengikuti dari kesamaan segitiga OMN dan OMN, oleh karena itu, karena lingkaran menyentuh sisi-sisi sudut, maka lingkaran juga akan menyentuh sisi-sisi sudut.

4. Penelitian. Masalah memiliki dua solusi, karena OM berpotongan dengan lingkaran di dua titik M dan M, yang masing-masing bersesuaian dengan lingkarannya sendiri yang melalui titik M dan menyentuh sisi-sisi AOB.

Tujuan didaktik dari tahap yang meningkatkan kemampuan untuk memecahkan masalah jenis yang dipertimbangkan di atas adalah transfer keterampilan yang terbentuk ke masalah yang lebih kompleks, khususnya untuk situasi berikut: sosok yang diinginkan menempati posisi tertentu dalam kaitannya dengan poin yang diberikan atau garis, sedangkan penghapusan salah satu kondisi masalah mengarah ke sistem angka yang sama atau homotetik. Mari kita beri contoh tugas seperti itu.

Tugas. Tulislah sebuah bujur sangkar dalam segitiga tertentu sehingga dua simpulnya terletak di satu sisi segitiga, dan dua lainnya terletak di dua sisi lainnya.

Tugas yang sesuai dengan tujuan tahap ini dikeluarkan dari tugas tingkat wajib. Oleh karena itu, mereka hanya ditawarkan kepada siswa yang berprestasi. Pada tahap ini, perhatian utama diberikan pada aktivitas pencarian individu siswa.

Sebagai aturan, dua segitiga dianggap serupa jika memiliki bentuk yang sama, meskipun ukurannya berbeda, diputar atau bahkan terbalik.

Representasi matematis dari dua segitiga sebangun A 1 B 1 C 1 dan A 2 B 2 C 2 yang ditunjukkan pada gambar ditulis sebagai berikut:

A 1 B 1 C 1 ~ A 2 B 2 C 2

Dua segitiga sebangun jika:

1. Setiap sudut dari satu segitiga sama dengan sudut yang bersesuaian dengan segitiga lainnya:
A 1 = A 2 , B 1 = B 2 dan C1 = C2

2. Perbandingan sisi-sisi segitiga yang satu dengan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga lainnya adalah sama besar:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Hubungan dua sisi segitiga yang satu dengan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga lainnya sama besar dan pada waktu yang sama
sudut antara sisi-sisi ini sama besar:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ dan $\angle A_1 = \angle A_2$
atau
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ dan $\angle B_1 = \angle B_2$
atau
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ dan $\angle C_1 = \angle C_2$

Segitiga sebangun tidak boleh bingung dengan segitiga yang sama. Segitiga yang kongruen memiliki panjang sisi yang bersesuaian. Jadi untuk segitiga sama kaki:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Dari sini dapat disimpulkan bahwa semua segitiga yang sama adalah sebangun. Namun, tidak semua segitiga yang sebangun adalah sama.

Meskipun notasi di atas menunjukkan bahwa untuk mengetahui apakah dua segitiga sebangun atau tidak, kita perlu mengetahui nilai ketiga sudut atau panjang ketiga sisi setiap segitiga, untuk menyelesaikan masalah dengan segitiga sebangun, itu cukup untuk mengetahui tiga nilai dari atas untuk setiap segitiga. Nilai-nilai ini dapat dalam berbagai kombinasi:

1) tiga sudut dari setiap segitiga (panjang sisi segitiga tidak perlu diketahui).

Atau minimal 2 sudut dari satu segitiga harus sama dengan 2 sudut dari segitiga lainnya.
Karena jika 2 sudut sama besar, maka sudut ketiga juga sama (Nilai sudut ketiga adalah 180 - sudut1 - sudut2)

2) panjang sisi masing-masing segitiga (tidak perlu diketahui besar sudutnya);

3) panjang kedua sisinya dan besar sudut di antaranya.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan solusi dari beberapa masalah dengan segitiga sebangun. Pertama, kita akan melihat masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan di atas secara langsung, dan kemudian kita akan membahas beberapa masalah praktis yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode segitiga sebangun.

Soal praktis dengan segitiga sebangun

Contoh 1: Tunjukkan bahwa dua segitiga pada gambar di bawah ini sebangun.

Keputusan:
Karena panjang sisi kedua segitiga diketahui, aturan kedua dapat diterapkan di sini:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Contoh #2: Tunjukkan bahwa dua segitiga yang diberikan sebangun dan tentukan panjang sisi-sisinya! PQ dan PR.

Keputusan:
A = P dan B = Q, C = R(karena C = 180 - A - B dan R = 180 - P - Q)

Dari sini dapat disimpulkan bahwa segitiga ABC dan PQR sebangun. Karena itu:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Panah kanan PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ dan
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Panah Kanan PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Contoh #3: Tentukan panjang AB dalam segitiga ini.

Keputusan:

ABC = ADE, ACB = AED dan A umum => segitiga ABC dan ADE mirip.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Panah Kanan 2\times AB = AB + 4 \Panah Kanan AB = 4$

Contoh #4: Tentukan panjang IKLAN(x) sosok geometris pada gambar.

Segitiga ABC dan CDE sebangun karena AB || DE dan mereka memiliki sudut atas C yang sama.
Kita melihat bahwa satu segitiga adalah versi skala dari yang lain. Namun, kita perlu membuktikannya secara matematis.

AB || DE, CD || AC dan SM || UE
BAC = EDC dan ABC = DEC

Berdasarkan hal tersebut di atas dan dengan mempertimbangkan adanya sudut yang sama C, kita dapat menyatakan bahwa segitiga ABC dan CDE sebangun.

Karena itu:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = $23,57
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Contoh praktis

Contoh #5: Pabrik menggunakan sabuk konveyor miring untuk mengangkut produk dari level 1 ke level 2, yaitu 3 meter di atas level 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Konveyor miring diservis dari satu ujung ke tingkat 1 dan dari ujung lainnya ke stasiun kerja yang terletak pada jarak 8 meter dari titik operasi tingkat 1.

Pabrik ingin meningkatkan konveyor untuk mengakses level baru, yaitu 9 meter di atas level 1, dengan tetap mempertahankan sudut konveyor.

Tentukan jarak yang Anda perlukan untuk menyiapkan stasiun kerja baru untuk memastikan bahwa konveyor bekerja di ujung barunya di level 2. Hitung juga jarak tambahan yang akan ditempuh produk saat pindah ke level baru.

Keputusan:

Pertama, mari beri label setiap titik persimpangan dengan huruf tertentu, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Berdasarkan alasan yang diberikan di atas dalam contoh sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa segitiga ABC dan ADE sebangun. Karena itu,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Panah Kanan AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 juta$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Dengan demikian, titik baru harus dipasang pada jarak 16 meter dari titik yang ada.

Dan karena strukturnya terdiri dari segitiga siku-siku, kita dapat menghitung jarak perjalanan produk sebagai berikut:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Demikian pula, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
yang merupakan jarak yang ditempuh produk saat mencapai level yang ada.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Ini adalah jarak ekstra yang harus ditempuh suatu produk untuk mencapai tingkat yang baru.

Contoh #6: Steve ingin mengunjungi temannya yang baru saja pindah ke rumah baru. Peta jalan menuju rumah Steve dan temannya, beserta jarak yang diketahui Steve, ditunjukkan pada gambar. Bantu Steve sampai ke rumah temannya dengan cara terpendek.

Keputusan:

Peta jalan dapat direpresentasikan secara geometris dalam bentuk berikut, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Kita melihat bahwa segitiga ABC dan CDE sebangun, oleh karena itu:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Pernyataan tugas menyatakan bahwa:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km dan DE = 5 km

Dengan menggunakan informasi ini, kita dapat menghitung jarak berikut:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve bisa sampai ke rumah temannya menggunakan rute berikut:

A -> B -> C -> E -> G, jarak totalnya adalah 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, jarak totalnya adalah 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, jarak totalnya adalah 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, jarak totalnya adalah 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Oleh karena itu, rute #3 adalah yang terpendek dan dapat ditawarkan kepada Steve.

Contoh 7:
Trisha ingin mengukur ketinggian rumah, tetapi dia tidak memiliki alat yang tepat. Dia memperhatikan bahwa sebatang pohon tumbuh di depan rumah dan memutuskan untuk menggunakan akal dan pengetahuannya tentang geometri yang diperoleh di sekolah untuk menentukan ketinggian bangunan. Dia mengukur jarak dari pohon ke rumah, hasilnya adalah 30 m. Kemudian dia berdiri di depan pohon dan mulai mundur sampai ujung atas bangunan terlihat di atas puncak pohon. Trisha menandai tempat itu dan mengukur jarak dari tempat itu ke pohon. Jarak ini adalah 5 m.

Tinggi pohon adalah 2,8 m, dan tinggi mata Trisha adalah 1,6 m. Bantu Trisha menentukan tinggi bangunan.

Keputusan:

Representasi geometris dari masalah ditunjukkan pada gambar.

Pertama kita menggunakan kesejajaran segitiga ABC dan ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \kali AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Selanjutnya kita dapat menggunakan persamaan segitiga ACB dan AFG atau ADE dan AFG. Mari kita pilih opsi pertama.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Panah Kanan H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 juta$