Pada bagian sebelumnya, dikhususkan untuk analisis makna geometris dari integral tertentu, kami memperoleh sejumlah rumus untuk menghitung luas trapesium lengkung:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan tak-negatif y = f (x) pada ruas [ a ; b] ,
S (G) = - a b f (x) d x untuk fungsi kontinu dan non-positif y = f (x) pada segmen [ a ; b] .
Rumus ini berlaku untuk memecahkan masalah yang relatif sederhana. Bahkan, kita sering harus bekerja dengan bentuk yang lebih kompleks. Dalam hal ini, kami akan mencurahkan bagian ini untuk analisis algoritme untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh fungsi dalam bentuk eksplisit, mis. seperti y = f(x) atau x = g(y) .
DalilBiarkan fungsi y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) didefinisikan dan kontinu pada segmen [ a ; b ] , dan f 1 (x) f 2 (x) untuk setiap nilai x dari [ a ; b] . Kemudian rumus untuk menghitung luas bangun dibatasi oleh garis x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) dan y \u003d f 2 (x) akan terlihat seperti S ( G) \u003d a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Rumus serupa akan berlaku untuk luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) dan x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bukti
Kami akan menganalisis tiga kasus yang rumusnya akan valid.
Dalam kasus pertama, dengan mempertimbangkan sifat aditif area, jumlah area gambar asli G dan trapesium lengkung G 1 sama dengan luas gambar G 2 . Ini berarti bahwa
Jadi, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = a b f 2 (x) d x - a b f 1 (x) d x = a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Kita dapat melakukan transisi terakhir menggunakan sifat ketiga integral tertentu.
Dalam kasus kedua, persamaan benar: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = a b f 2 (x) d x + - a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Ilustrasi grafis akan terlihat seperti:
Jika kedua fungsi non-positif, kita mendapatkan: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - a b f 2 (x) d x - - a b f 1 (x) d x = a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Ilustrasi grafis akan terlihat seperti:
Mari kita beralih ke pertimbangan kasus umum ketika y = f 1 (x) dan y = f 2 (x) berpotongan dengan sumbu O x .
Kami akan menyatakan titik potong sebagai x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Titik-titik ini memecah segmen [ a ; b] menjadi n bagian x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , dimana = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Karena itu,
S (G) = i = 1 n S (G i) = i = 1 n x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Kita dapat membuat transisi terakhir menggunakan sifat kelima integral tertentu.
Mari kita ilustrasikan kasus umum pada grafik.
Rumus S (G) = a b f 2 (x) - f 1 (x) d x dapat dianggap terbukti.
Dan sekarang mari kita beralih ke analisis contoh penghitungan luas angka yang dibatasi oleh garis y \u003d f (x) dan x \u003d g (y) .
Mempertimbangkan salah satu contoh, kita akan mulai dengan konstruksi grafik. Gambar akan memungkinkan kita untuk merepresentasikan bentuk kompleks sebagai kombinasi dari bentuk yang lebih sederhana. Jika Anda mengalami kesulitan dalam merencanakan grafik dan gambar di atasnya, Anda dapat mempelajari bagian fungsi dasar dasar, transformasi geometrik grafik fungsi, serta membuat plot saat memeriksa suatu fungsi.
Contoh 1
Penting untuk menentukan luas gambar, yang dibatasi oleh parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 dan garis lurus y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Keputusan
Mari kita plot garis pada grafik dalam sistem koordinat Cartesian.
Pada interval [ 1 ; 4] grafik parabola y = - x 2 + 6 x - 5 terletak di atas garis lurus y = - 1 3 x - 1 2 . Berkenaan dengan hal tersebut, untuk memperoleh jawabannya, kita menggunakan rumus yang diperoleh sebelumnya, serta cara menghitung integral tertentu dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz:
S (G) = 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Jawaban: S (G) = 13
Mari kita lihat contoh yang lebih kompleks.
Contoh 2
Perlu untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh garis y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Keputusan
Dalam hal ini, kita hanya memiliki satu garis lurus yang sejajar dengan sumbu x. Ini adalah x = 7 . Ini mengharuskan kita untuk menemukan sendiri batas integrasi kedua.
Mari kita buat grafik dan letakkan di atasnya garis-garis yang diberikan dalam kondisi masalah.
Memiliki grafik di depan mata kita, kita dapat dengan mudah menentukan bahwa batas bawah integrasi akan menjadi absis dari titik potong grafik dengan garis lurus y \u003d x dan semi-parabola y \u003d x + 2. Untuk menemukan absis, kami menggunakan persamaan:
y = x + 2 O DZ: x - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 O D G
Ternyata absis titik potong tersebut adalah x = 2.
Kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa dalam contoh umum dalam gambar, garis y = x + 2 , y = x berpotongan di titik (2 ; 2) , jadi perhitungan terperinci seperti itu mungkin tampak berlebihan. Kami telah memberikan solusi terperinci di sini hanya karena dalam kasus yang lebih kompleks solusinya mungkin tidak begitu jelas. Ini berarti bahwa lebih baik untuk selalu menghitung koordinat perpotongan garis secara analitis.
Pada interval [ 2 ; 7 ] grafik fungsi y = x terletak di atas grafik fungsi y = x + 2 . Terapkan rumus untuk menghitung luas:
S (G) = 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Jawaban: S (G) = 59 6
Contoh 3
Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh grafik fungsi y \u003d 1 x dan y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Keputusan
Mari kita menggambar garis pada grafik.
Mari kita tentukan batas-batas integrasi. Untuk melakukan ini, kami menentukan koordinat titik perpotongan garis dengan menyamakan ekspresi 1 x dan - x 2 + 4 x - 2 . Asalkan x tidak sama dengan nol, persamaan 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 menjadi setara dengan persamaan derajat ketiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 dengan koefisien bilangan bulat . Anda dapat menyegarkan kembali memori algoritme untuk menyelesaikan persamaan tersebut dengan merujuk ke bagian “Solusi persamaan kubik”.
Akar persamaan ini adalah x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Membagi ekspresi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dengan binomial x - 1, kita mendapatkan: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kita dapat menemukan akar yang tersisa dari persamaan x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 - 0. 3
Kami telah menemukan interval x 1; 3 + 13 2 , di mana G diapit di atas garis biru dan di bawah garis merah. Ini membantu kami menentukan luas gambar:
S (G) = 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Jawaban: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Contoh 4
Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh kurva y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 dan sumbu x.
Keputusan
Mari kita menempatkan semua garis pada grafik. Kita dapat memperoleh grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dari grafik y = log 2 x jika kita menempatkannya secara simetris terhadap sumbu x dan memindahkannya ke atas satu satuan. Persamaan sumbu x y \u003d 0.
Mari kita menunjukkan titik-titik persimpangan garis.
Seperti dapat dilihat dari gambar, grafik fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d 0 berpotongan di titik (0; 0) . Ini karena x \u003d 0 adalah satu-satunya akar nyata dari persamaan x 3 \u003d 0.
x = 2 adalah satu - satunya akar persamaan - log 2 x + 1 = 0 , sehingga grafik fungsi y = - log 2 x + 1 dan y = 0 berpotongan di titik (2 ; 0).
x = 1 adalah satu-satunya akar persamaan x 3 = - log 2 x + 1 . Dalam hal ini, grafik fungsi y \u003d x 3 dan y \u003d - log 2 x + 1 berpotongan di titik (1; 1) . Pernyataan terakhir mungkin tidak jelas, tetapi persamaan x 3 \u003d - log 2 x + 1 tidak dapat memiliki lebih dari satu root, karena fungsi y \u003d x 3 sangat meningkat, dan fungsi y \u003d - log 2 x + 1 sangat menurun.
Langkah selanjutnya melibatkan beberapa opsi.
Opsi nomor 1
Kita dapat menyatakan gambar G sebagai jumlah dari dua trapesium lengkung yang terletak di atas sumbu absis, yang pertama terletak di bawah garis tengah pada segmen x 0; 1 , dan yang kedua berada di bawah garis merah pada ruas x 1 ; 2. Artinya luasnya akan sama dengan S (G) = 0 1 x 3 d x + 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opsi nomor 2
Angka G dapat direpresentasikan sebagai selisih dua angka, yang pertama terletak di atas sumbu x dan di bawah garis biru pada ruas x 0; 2 , dan yang kedua berada di antara garis merah dan biru pada ruas x 1 ; 2. Ini memungkinkan kita untuk menemukan area seperti ini:
S (G) = 0 2 x 3 d x - 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Dalam hal ini, untuk mencari luasnya, Anda harus menggunakan rumus berbentuk S (G) \u003d c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktanya, garis yang mengikat bentuk dapat direpresentasikan sebagai fungsi dari argumen y.
Selesaikan persamaan y = x 3 dan - log 2 x + 1 terhadap x:
y = x 3 x = y 3 y = - log 2 x + 1 log 2 x = 1 - y x = 2 1 - y
Kami mendapatkan area yang dibutuhkan:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Jawaban: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Contoh 5
Penting untuk menghitung luas gambar, yang dibatasi oleh garis y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Keputusan
Gambarlah garis pada grafik dengan garis merah, yang diberikan oleh fungsi y = x . Gambar garis y = - 1 2 x + 4 dengan warna biru, dan tandai garis y = 2 3 x - 3 dengan warna hitam.
Perhatikan titik potongnya.
Tentukan titik potong grafik fungsi y = x dan y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x 0 x = - 1 2 x + 4 2 x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i adalah solusi persamaan x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 x 2 = 4 adalah solusi persamaan (4 ; 2) titik potong i y = x dan y = - 1 2 x + 4
Tentukan titik potong grafik fungsi y = x dan y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x 0 x = 2 3 x - 3 2 x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Periksa: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 x 1 \u003d 9 adalah solusi dari persamaan (9; 3) titik dan perpotongan y = x dan y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 x 2 = 9 4 bukan solusi persamaan
Tentukan titik potong garis y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 - 3 x + 24 = 4 x - 18 7 x = 42 x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 (6 1) titik potong y = - 1 2 x + 4 dan y = 2 3 x - 3
Metode nomor 1
Kami mewakili area gambar yang diinginkan sebagai jumlah dari area angka individu.
Maka luas gambar tersebut adalah :
S (G) = 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode nomor 2
Luas bangun semula dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua bangun lainnya.
Kemudian kami memecahkan persamaan garis untuk x, dan hanya setelah itu kami menerapkan rumus untuk menghitung luas gambar.
y = x x = y 2 garis merah y = 2 3 x - 3 x = 3 2 y + 9 2 garis hitam y = - 1 2 x + 4 x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i
Jadi luasnya adalah:
S (G) = 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 1 2 7 2 y - 7 2 d y + 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Seperti yang Anda lihat, nilainya cocok.
Jawaban: S (G) = 11 3
Hasil
Untuk menemukan luas bangun yang dibatasi oleh garis-garis tertentu, kita perlu menggambar garis pada bidang, menemukan titik potongnya, dan menerapkan rumus untuk mencari luas. Di bagian ini, kami telah meninjau opsi paling umum untuk tugas.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter
integral tertentu. Bagaimana cara menghitung luas suatu bangun?
Kami sekarang beralih ke pertimbangan aplikasi kalkulus integral. Dalam pelajaran ini, kita akan menganalisis tugas yang khas dan paling umum. Cara menggunakan integral tertentu untuk menghitung luas bangun datar. Akhirnya, mereka yang mencari makna dalam matematika yang lebih tinggi - semoga mereka menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan pondok musim panas dengan fungsi dasar dan menemukan luasnya menggunakan integral tertentu.
Untuk berhasil menguasai materi, Anda harus:
1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Jadi, orang bodoh harus membaca pelajarannya terlebih dahulu Bukan.
2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Anda dapat menjalin hubungan persahabatan yang hangat dengan integral tertentu di halaman integral tertentu. Contoh solusi.
Faktanya, untuk menemukan luas bangun, Anda tidak perlu banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Tugas "menghitung luas menggunakan integral tertentu" selalu melibatkan konstruksi gambar, jadi pengetahuan dan keterampilan menggambar Anda akan menjadi masalah yang jauh lebih relevan. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan grafik fungsi dasar utama, dan, setidaknya, untuk dapat membangun garis lurus, parabola, dan hiperbola. Ini dapat dilakukan (banyak yang membutuhkannya) dengan bantuan materi metodologis dan artikel tentang transformasi geometris grafik.
Sebenarnya, semua orang sudah familiar dengan masalah mencari luas menggunakan integral tertentu sejak sekolah, dan kami akan maju sedikit dari kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak ada sama sekali, tetapi kenyataannya adalah bahwa masalah terjadi pada 99 kasus dari 100, ketika seorang siswa disiksa oleh menara yang dibenci dengan antusias menguasai mata pelajaran matematika yang lebih tinggi.
Materi workshop ini disajikan secara sederhana, detail dan minim teori.
Mari kita mulai dengan trapesium lengkung.
Trapesium lengkung disebut bangun datar dibatasi oleh sumbu , garis lurus , dan grafik fungsi kontinu pada segmen yang tidak berubah tanda pada interval ini. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang absis:
Kemudian luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral tertentu (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik. Pada pelajaran integral tertentu. Contoh solusi Saya mengatakan bahwa integral tertentu adalah bilangan. Dan sekarang saatnya untuk menyatakan fakta berguna lainnya. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah luas.
Yaitu, integral tertentu (jika ada) secara geometris sesuai dengan luas beberapa gambar. Sebagai contoh, pertimbangkan integral tertentu . Integral mendefinisikan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambar), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Momen pertama dan terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar. Selain itu, gambarnya harus dibuat BAIK.
Saat membuat cetak biru, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama lebih baik untuk membangun semua garis (jika ada) dan hanya setelah- parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Grafik fungsi lebih menguntungkan untuk dibangun poin demi poin, dengan teknik konstruksi titik dapat ditemukan di bahan referensi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna dalam kaitannya dengan pelajaran kita - cara membuat parabola dengan cepat.
Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan bahwa persamaan mendefinisikan sumbu):
Saya tidak akan menetas trapesium lengkung, jelas area apa yang sedang kita bicarakan di sini. Solusinya terus seperti ini:
Pada segmen tersebut terdapat grafik fungsi di atas sumbu, Itu sebabnya:
Menjawab:
Siapa yang kesulitan menghitung integral tentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz? 
, lihat kuliah integral tertentu. Contoh solusi.
Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, sepertinya itu benar. Cukup jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, kesalahan dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan gambar yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak benar.
Contoh 2
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , dan sumbu
Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.
Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah as?
Contoh 3
Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis dan sumbu koordinat.
Keputusan: Mari kita membuat gambar: 
Jika trapesium lengkung terletak di bawah as(atau setidaknya tidak lebih tinggi diberikan sumbu), maka luasnya dapat ditemukan dengan rumus:
Pada kasus ini: 
Perhatian! Jangan bingung antara dua jenis tugas:
1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris, maka itu bisa negatif.
2) Jika Anda diminta untuk mencari luas bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.
Dalam praktiknya, paling sering gambar tersebut terletak di setengah bidang atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari masalah sekolah yang paling sederhana, kami beralih ke contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .
Keputusan: Pertama, Anda harus menyelesaikan gambar. Secara umum, ketika membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita cari titik potong parabola dan garis. Hal ini dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:
Oleh karena itu, batas bawah integrasi , batas atas integrasi .
Cara terbaik adalah untuk tidak menggunakan metode ini jika memungkinkan..
Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas-batas integrasi ditemukan seolah-olah "sendiri". Teknik konstruksi poin demi poin untuk berbagai bagan dibahas secara rinci dalam bantuan Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar. Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas terkadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (dapat berupa pecahan atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.
Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk membangun garis lurus terlebih dahulu dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar: 
Saya ulangi bahwa dengan konstruksi titik, batas integrasi paling sering ditemukan "secara otomatis".
Dan sekarang rumus kerjanya: Jika ada beberapa fungsi kontinu pada interval lebih besar dari atau sama beberapa fungsi kontinu, maka luas gambar yang dibatasi oleh grafik fungsi dan garis lurus ini, dapat ditemukan dengan rumus: 
Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, itu penting bagan mana yang DI ATAS(relatif terhadap grafik lain), dan yang BAWAH.
Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, jelas bahwa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh karena itu perlu untuk mengurangi dari
Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:
Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
Sebenarnya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung di setengah bidang bawah (lihat contoh sederhana No. 3) adalah kasus khusus dari rumus 
. Karena sumbu diberikan oleh persamaan , dan grafik fungsi terletak tidak lebih tinggi sumbu, maka 
Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi independen
Contoh 5
Contoh 6
Hitunglah luas bangun yang dibatasi oleh garis , .
Dalam menyelesaikan soal menghitung luas menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambar dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kurangnya perhatian ... menemukan area gambar yang salah, begitulah pelayanmu yang patuh mengacau beberapa kali. Berikut adalah kasus kehidupan nyata:
Contoh 7
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .
Keputusan: Mari kita membuat gambar terlebih dahulu: 
...Eh, gambarnya keluar omong kosong, tapi semuanya tampak terbaca.
Gambar yang luasnya perlu kita cari diarsir dengan warna biru.(perhatikan baik-baik kondisinya - bagaimana angkanya terbatas!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, "kesalahan" sering terjadi, sehingga Anda perlu menemukan area gambar yang diarsir dengan warna hijau!
Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu. Betulkah:
1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;
2) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.
Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:
Menjawab:
Mari kita beralih ke satu tugas yang lebih bermakna.
Contoh 8
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis,
Mari kita sajikan persamaan dalam bentuk "sekolah", dan lakukan gambar titik demi titik: 
Dapat dilihat dari gambar bahwa batas atas kita adalah “baik”: .
Tapi apa batas bawahnya? Jelas bahwa ini bukan bilangan bulat, tapi apa? Mungkin ? Tapi di mana jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja hasilnya seperti itu. Atau akar. Bagaimana jika kita tidak mendapatkan grafik yang benar sama sekali?
Dalam kasus seperti itu, seseorang harus menghabiskan waktu tambahan dan memperbaiki batas integrasi secara analitis.
Mari kita cari titik potong garis dan parabola.
Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan: 
,
Betulkah, .
Solusi selanjutnya sepele, yang utama jangan bingung dalam pergantian dan tanda, perhitungan di sini bukan yang termudah.
Di segmen 
, sesuai dengan rumus yang sesuai: 
Menjawab: 
Nah, sebagai penutup pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sulit.
Contoh 9
Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , ,
Keputusan: Gambarlah sosok ini dalam gambar. 
Sial, saya lupa menandatangani jadwal, dan mengulang gambar, maaf, bukan hotz. Bukan menggambar, singkatnya, hari ini adalah hari =)
Untuk konstruksi titik demi titik, perlu diketahui kenampakan sinusoidal (dan secara umum berguna untuk mengetahui grafik dari semua fungsi dasar), serta beberapa nilai sinus, mereka dapat ditemukan di tabel trigonometri. Dalam beberapa kasus (seperti dalam kasus ini), diperbolehkan untuk membuat gambar skema, di mana grafik dan batas integrasi pada prinsipnya harus ditampilkan dengan benar.
Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini, mereka mengikuti langsung dari kondisi: - "x" berubah dari nol menjadi "pi". Kami membuat keputusan lebih lanjut:
Pada segmen, grafik fungsi terletak di atas sumbu, oleh karena itu:
Menghitung luas suatu bangun Ini mungkin salah satu masalah yang paling sulit dalam teori area. Dalam geometri sekolah, mereka diajarkan untuk mencari luas bangun-bangun geometri dasar seperti misalnya segitiga, belah ketupat, persegi panjang, trapesium, lingkaran, dan lain-lain. Namun, kita sering kali harus berurusan dengan perhitungan luas bangun-bangun yang lebih kompleks. Dalam memecahkan masalah seperti itu sangat mudah untuk menggunakan kalkulus integral.
Definisi.
Trapesium lengkung beberapa gambar G disebut, dibatasi oleh garis y = f(x), y = 0, x = a dan x = b, dan fungsi f(x) kontinu pada ruas [a; b] dan tidak mengubah tandanya di atasnya (Gbr. 1). Luas trapesium lengkung dapat dilambangkan dengan S(G).
Integral tentu a b f(x)dx untuk fungsi f(x), yang kontinu dan tak-negatif pada ruas [a; b], dan merupakan luas trapesium lengkung yang sesuai.
Artinya, untuk menemukan luas gambar G, dibatasi oleh garis y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a dan x \u003d b, perlu untuk menghitung integral tertentu a b f (x) dx.
Dengan demikian, S(G) = a b f(x)dx.
Jika fungsi y = f(x) tidak positif pada [a; b], maka luas trapesium lengkung dapat dicari dengan rumus S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Contoh 1
Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Keputusan.
Garis-garis yang diberikan membentuk gambar ABC, yang ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 2.
Luas yang diinginkan sama dengan selisih antara luas trapesium lengkung DACE dan bujur sangkar DABE.
Dengan menggunakan rumus S = a b f(x)dx = S(b) – S(a), kita cari limit integrasinya. Untuk melakukan ini, kami memecahkan sistem dua persamaan:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Jadi, kami memiliki x 1 \u003d 1 - batas bawah dan x \u003d 2 - batas atas.
Jadi, S = S DACE - S DABE = 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (satuan persegi).
Jawaban: 11/4 persegi. unit
Contoh 2
Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x; y = 2; x = 9.
Keputusan.
Garis-garis yang diberikan membentuk bangun ABC, yang dibatasi dari atas oleh grafik fungsi
y \u003d x, dan dari bawah grafik fungsi y \u003d 2. Gambar yang dihasilkan ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 3.
Luas yang diinginkan sama dengan S = a b (√x - 2). Mari kita cari batas integrasi: b = 9, untuk menemukan a, kita selesaikan sistem dua persamaan:
(y = x,
(y = 2.
Jadi, kita memiliki bahwa x = 4 = a adalah batas bawah.
Jadi, S = 4 9 (√x – 2)dx = 4 9 x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (satuan persegi).
Jawaban: S = 2 2/3 m². unit
Contoh 3
Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x 0.
Keputusan.
Mari kita plot fungsi y \u003d x 3 - 4x untuk x 0. Untuk melakukan ini, kita cari turunan y ':
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 pada = ±2/√3 1.1 adalah titik kritis.
Jika kita menggambar titik-titik kritis pada sumbu nyata dan menempatkan tanda-tanda turunannya, kita mendapatkan bahwa fungsi menurun dari nol menjadi 2/√3 dan meningkat dari 2/√3 hingga plus tak hingga. Maka x = 2/√3 adalah titik minimum, nilai minimum dari fungsi y adalah min = -16/(3√3) -3.
Mari kita tentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat:
jika x \u003d 0, maka y \u003d 0, yang berarti bahwa A (0; 0) adalah titik perpotongan dengan sumbu Oy;
jika y \u003d 0, maka x 3 - 4x \u003d 0 atau x (x 2 - 4) \u003d 0, atau x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, dari mana x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (tidak cocok, karena x 0).
Titik A(0; 0) dan B(2; 0) adalah titik potong grafik dengan sumbu Ox.
Garis-garis yang diberikan membentuk gambar OAB, yang ditunjukkan dengan menetas pada Nasi. 4.
Karena fungsi y \u003d x 3 - 4x mengambil (0; 2) nilai negatif, maka
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Kami memiliki: 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, dari mana S \u003d 4 meter persegi. unit
Jawaban: S = 4 persegi. unit
Contoh 4
Temukan luas gambar yang dibatasi oleh parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, garis lurus x \u003d 0, y \u003d 0 dan garis singgung parabola ini pada titik dengan absis x 0 \u003d 2.
Keputusan.
Pertama, kita buat persamaan garis singgung parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 pada titik dengan absis x₀ \u003d 2.
Karena turunan y' = 4x - 2, maka untuk x 0 = 2 diperoleh k = y'(2) = 6.
Tentukan ordinat titik sentuh: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Oleh karena itu, persamaan tangen memiliki bentuk: y - 5 \u003d 6 (x - 2) atau y \u003d 6x - 7.
Mari kita membangun sosok yang dibatasi oleh garis:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Titik perpotongan dengan sumbu koordinat: A(0; 1) - dengan sumbu Oy; dengan sumbu Ox - tidak ada titik potong, karena persamaan 2x 2 - 2x + 1 = 0 tidak memiliki solusi (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, yaitu, titik parabola titik B memiliki koordinat B (1/2; 1/2).
Jadi, sosok yang luasnya akan ditentukan ditunjukkan dengan menetaskan Nasi. 5.
Kami memiliki: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Tentukan koordinat titik D dari kondisi:
6x - 7 = 0, mis. x \u003d 7/6, lalu DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Kami mencari luas segitiga DBC menggunakan rumus S ADBC = 1/2 · DC · BC. Dengan demikian,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 persegi. unit
S OABC = 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (satuan persegi).
Akhirnya kita mendapatkan: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (satuan persegi).
Jawaban: S = 1 1/4 sq. unit
Kami telah meninjau contoh mencari luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis yang diberikan. Untuk berhasil memecahkan masalah seperti itu, Anda harus dapat membangun garis dan grafik fungsi pada bidang, menemukan titik persimpangan garis, menerapkan rumus untuk menemukan area, yang menyiratkan kemampuan dan keterampilan untuk menghitung integral tertentu.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Definisi. Selisih F (b) - F (a) disebut integral dari fungsi f (x) pada ruas [ a ; b ] dan dilambangkan sebagai berikut: = F (b) - F (a) - rumus Newton-Leibniz.
Arti geometris integral.
Luas trapesium lengkung yang dibatasi oleh grafik positif kontinu pada interval [ a ; b ] dari fungsi f (x), sumbu Ox dan garis lurus x=a dan x=b:
Menghitung luas menggunakan integral.
1. Luas gambar yang dibatasi oleh grafik negatif kontinu pada interval [ a ; b ] dari fungsi f (x), sumbu Ox dan garis lurus x=a dan x=b:
2. Luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f (x), dan garis lurus x \u003d a, x \u003d b:
3. Luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f (x) dan:
4. Luas bangun yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f(x) dan sumbu Ox:
Tugas dan tes dengan topik "Integral. Menghitung luas menggunakan integral"
- Integral
Pelajaran: 4 Tugas: 13 Tes: 1
- Menghitung luas menggunakan integral - Antiturunan dan integral Kelas 11
Pelajaran: 1 Tugas: 10 Kuis: 1
- anti turunan - Antiturunan dan integral Kelas 11
Pelajaran: 1 Tugas: 11 Tes: 1
- Planimetri: menghitung panjang dan luas
Tugas: 7
- Perhitungan dan transformasi - Persiapan untuk ujian matematika
Tugas: 10
Sebelum Anda mulai menghitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis yang diberikan, coba gambarkan bangun tersebut dalam sistem koordinat. Ini akan sangat memudahkan pemecahan masalah.
Mempelajari materi teoretis pada topik ini memberi Anda kesempatan untuk menguasai konsep antiturunan dan integral, mempelajari hubungan di antara mereka, menguasai teknik kalkulus integral yang paling sederhana, mempelajari cara menerapkan integral untuk menghitung luas bangun yang dibatasi oleh fungsi grafik.
Contoh.
1. Hitung integralnya
Keputusan:
Menjawab: 0.
2. Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis
sebuah) f(x) = 2 X – X 2 dan sumbu x
Keputusan: Grafik fungsi f (x) \u003d 2x - x 2 parabola. Puncak: (1; 1).
Menjawab:(satuan persegi).
