Pertimbangkan bidang profil proyeksi. Proyeksi pada dua bidang tegak lurus biasanya menentukan posisi gambar dan memungkinkan untuk mengetahui dimensi dan bentuk sebenarnya. Tetapi ada kalanya dua proyeksi tidak cukup. Kemudian terapkan konstruksi proyeksi ketiga.
Bidang proyeksi ketiga dilakukan sehingga tegak lurus terhadap kedua bidang proyeksi secara bersamaan (Gbr. 15). Bidang ketiga disebut Profil.
Dalam konstruksi seperti itu, garis umum bidang horizontal dan frontal disebut sumbu X , garis umum bidang horizontal dan bidang profil - sumbu pada , dan garis lurus bersama bidang frontal dan profil - sumbu z . Dot HAI, yang termasuk dalam ketiga bidang, disebut titik asal.
Gambar 15a menunjukkan intinya TETAPI dan tiga proyeksinya. Proyeksi ke bidang profil ( sebuah) disebut proyeksi profil dan menunjukkan sebuah.
Untuk mendapatkan diagram titik A, yang terdiri dari tiga proyeksi sebuah, sebuah, perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua bidang di sepanjang sumbu y (Gbr. 15b) dan menggabungkan semua bidang ini dengan bidang proyeksi frontal. Bidang horizontal harus diputar terhadap sumbu X, dan bidang profil dekat sumbu z dalam arah yang ditunjukkan oleh panah pada Gambar 15.
Gambar 16 menunjukkan posisi proyeksi A A dan sebuah poin TETAPI, diperoleh sebagai hasil dari menggabungkan ketiga bidang dengan bidang gambar.
Akibat pemotongan tersebut, sumbu y terjadi pada diagram di dua tempat yang berbeda. Pada bidang horizontal (Gbr. 16), dibutuhkan posisi vertikal (tegak lurus terhadap sumbu X), dan pada bidang profil - horizontal (tegak lurus terhadap sumbu z).
Gambar 16 menunjukkan tiga proyeksi A A dan sebuah poin A memiliki posisi yang ditentukan secara ketat pada diagram dan tunduk pada kondisi yang jelas:
sebuah dan sebuah harus selalu terletak pada satu garis lurus vertikal yang tegak lurus terhadap sumbu X;
sebuah dan sebuah harus selalu terletak pada garis horizontal yang sama tegak lurus terhadap sumbu z;
3) ketika ditarik melalui proyeksi horizontal dan garis horizontal, tetapi melalui proyeksi profil sebuah- garis lurus vertikal, garis yang dibangun tentu akan berpotongan pada garis-bagi sudut antara sumbu proyeksi, karena gambar Oa pada sebuah 0 sebuah n adalah persegi.
Saat membangun tiga proyeksi suatu titik, perlu untuk memeriksa pemenuhan ketiga kondisi untuk setiap titik.
Koordinat titik
Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga bilangan yang disebut koordinat. Setiap koordinat sesuai dengan jarak suatu titik dari beberapa bidang proyeksi.
Jarak titik TETAPI ke bidang profil adalah koordinat X, di mana X = A A(Gbr. 15), jarak ke bidang frontal - dengan koordinat y, dan y = A A, dan jarak ke bidang horizontal adalah koordinat z, di mana z = A A.
Pada Gambar 15, titik A menempati lebar kotak persegi panjang, dan pengukuran kotak ini sesuai dengan koordinat titik ini, yaitu masing-masing koordinat disajikan pada Gambar 15 empat kali, yaitu:
x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;
y = а́А = а y = a x a = a z a˝;
z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.
Pada diagram (Gbr. 16), koordinat x dan z muncul tiga kali:
x \u003d a z a \u003d Oa x \u003d a y a,
z = a x á = Oa z = a y a˝.
Semua segmen yang sesuai dengan koordinat X(atau z) sejajar satu sama lain. Koordinat pada diwakili dua kali oleh sumbu vertikal:
y \u003d Oa y \u003d a x a
dan dua kali - terletak secara horizontal:
y \u003d Oa y \u003d a z a˝.
Perbedaan ini muncul karena fakta bahwa sumbu y hadir pada diagram di dua posisi yang berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa posisi setiap proyeksi ditentukan pada diagram hanya dengan dua koordinat, yaitu:
1) horisontal - koordinat X dan pada,
2) frontal - koordinat x dan z,
3) profil - koordinat pada dan z.
Menggunakan koordinat x, y dan z, Anda dapat membuat proyeksi suatu titik pada diagram.
Jika titik A diberikan oleh koordinat, catatannya didefinisikan sebagai berikut: A ( X; y; z).
Saat membuat proyeksi titik TETAPI kondisi berikut harus diperiksa:
1) proyeksi horizontal dan frontal sebuah dan sebuah X X;
2) proyeksi frontal dan profil sebuah dan sebuah harus terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena mereka memiliki koordinat yang sama z;
3) proyeksi horizontal dan juga dihapus dari sumbu X, seperti proyeksi profil sebuah jauh dari sumbu z, karena proyeksi a′ dan a˝ memiliki koordinat yang sama pada.
Jika titik terletak pada salah satu bidang proyeksi, maka salah satu koordinatnya sama dengan nol.
Ketika sebuah titik terletak pada sumbu proyeksi, kedua koordinatnya adalah nol.
Jika sebuah titik terletak di titik asal, ketiga koordinatnya adalah nol.
Proyeksi garis lurus
Dua titik diperlukan untuk menentukan garis. Sebuah titik didefinisikan oleh dua proyeksi pada bidang horizontal dan frontal, yaitu, garis lurus ditentukan dengan menggunakan proyeksi dua titiknya pada bidang horizontal dan frontal.
Gambar 17 menunjukkan proyeksi ( sebuah dan a, b dan b) dua poin TETAPI dan B. Dengan bantuan mereka, posisi beberapa garis lurus AB. Saat menghubungkan proyeksi nama yang sama dari titik-titik ini (mis. sebuah dan b, a dan b) Anda bisa mendapatkan proyeksi ab dan ab langsung AB
Gambar 18 menunjukkan proyeksi kedua titik, dan Gambar 19 menunjukkan proyeksi garis lurus yang melewatinya.
Jika proyeksi garis lurus ditentukan oleh proyeksi dua titiknya, maka mereka dilambangkan dengan dua huruf Latin yang berdekatan yang sesuai dengan penunjukan proyeksi titik yang diambil pada garis lurus: dengan guratan untuk menunjukkan proyeksi frontal dari garis lurus atau tanpa goresan - untuk proyeksi horizontal.
Jika kita mempertimbangkan bukan titik individu dari garis lurus, tetapi proyeksinya secara keseluruhan, maka proyeksi ini ditunjukkan dengan angka.
Jika beberapa titik Dengan terletak pada garis lurus AB, proyeksinya dan berada pada proyeksi garis yang sama ab dan ab. Gambar 19 mengilustrasikan situasi ini.
Jejak lurus
jejak lurus- ini adalah titik perpotongannya dengan beberapa bidang atau permukaan (Gbr. 20).
Trek horizontal lurus beberapa titik disebut H di mana garis bertemu bidang horizontal, dan frontal- dot V, di mana garis lurus ini bertemu dengan bidang frontal (Gbr. 20).
Gambar 21a menunjukkan jejak horizontal garis lurus, dan jejak frontalnya, pada Gambar 21b.
Terkadang jejak profil garis lurus juga dipertimbangkan, W- titik perpotongan garis lurus dengan bidang profil.
Jejak horizontal ada di bidang horizontal, yaitu proyeksi horizontalnya h bertepatan dengan jejak ini, dan frontal h terletak pada sumbu x. Jejak frontal terletak di bidang frontal, sehingga proyeksi frontalnya bertepatan dengannya, dan horizontal v terletak pada sumbu x.
Jadi, H = h, dan V= v Oleh karena itu, untuk menunjukkan jejak garis lurus, huruf dapat digunakan h dan v.
Berbagai posisi garis
Garis lurus disebut posisi umum langsung, jika tidak sejajar atau tegak lurus terhadap salah satu bidang proyeksi. Proyeksi garis pada posisi umum juga tidak sejajar atau tegak lurus terhadap sumbu proyeksi.
Garis lurus yang sejajar dengan salah satu bidang proyeksi (tegak lurus dengan salah satu sumbu). Gambar 22 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang horizontal (tegak lurus terhadap sumbu z), merupakan garis lurus mendatar; Gambar 23 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang frontal (tegak lurus sumbu) pada), adalah garis lurus depan; Gambar 24 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang profil (tegak lurus sumbu) X), adalah profil garis lurus. Terlepas dari kenyataan bahwa masing-masing garis ini membentuk sudut siku-siku dengan salah satu sumbu, mereka tidak memotongnya, tetapi hanya memotongnya.
Karena fakta bahwa garis horizontal (Gbr. 22) sejajar dengan bidang horizontal, proyeksi frontal dan profilnya akan sejajar dengan sumbu yang menentukan bidang horizontal, yaitu sumbu X dan pada. Oleh karena itu proyeksi ab|| X dan ab˝|| pada z. Proyeksi horizontal ab dapat mengambil posisi apapun pada diagram.
Pada proyeksi garis depan (Gbr. 23) ab|| x dan ab˝ || z, yaitu tegak lurus terhadap sumbu pada, dan oleh karena itu dalam hal ini proyeksi frontal ab garis dapat mengambil posisi apa pun.
Pada garis profil (Gbr. 24) ab|| y, ab|| z, dan keduanya tegak lurus terhadap sumbu x. Proyeksi ab˝ dapat ditempatkan pada diagram dengan cara apapun.
Saat mempertimbangkan bidang yang memproyeksikan garis horizontal ke bidang frontal (Gbr. 22), Anda dapat melihat bahwa ia juga memproyeksikan garis ini ke bidang profil, yaitu, bidang yang memproyeksikan garis ke dua bidang proyeksi sekaligus - frontal dan profil. Untuk alasan ini disebut pesawat proyeksi ganda. Dengan cara yang sama, untuk garis depan (Gbr. 23), bidang proyeksi ganda memproyeksikannya ke bidang proyeksi horizontal dan profil, dan untuk profil (Gbr. 23) - ke bidang proyeksi horizontal dan frontal .
Dua proyeksi tidak dapat menentukan garis lurus. Dua proyeksi 1 dan satu profil garis lurus (Gbr. 25) tanpa menentukan proyeksi dua titik dari garis lurus ini pada mereka tidak akan menentukan posisi garis lurus ini di ruang angkasa.
Dalam sebuah bidang yang tegak lurus terhadap dua bidang simetri tertentu, mungkin terdapat banyak sekali garis yang data pada diagram 1 dan satu adalah proyeksi mereka.
Jika suatu titik berada pada suatu garis, maka proyeksinya dalam semua kasus terletak pada proyeksi dengan nama yang sama pada garis ini. Situasi sebaliknya tidak selalu benar untuk garis profil. Pada proyeksinya, Anda dapat secara sewenang-wenang menunjukkan proyeksi titik tertentu dan tidak yakin bahwa titik ini terletak pada garis tertentu.
Dalam ketiga kasus khusus (Gbr. 22, 23 dan 24), posisi garis lurus terhadap bidang proyeksi adalah segmen sewenang-wenangnya AB, diambil pada masing-masing garis lurus, diproyeksikan ke salah satu bidang proyeksi tanpa distorsi, yaitu ke bidang yang sejajar. Segmen garis AB garis lurus horizontal (Gbr. 22) memberikan proyeksi seukuran aslinya ke bidang horizontal ( ab = AB); segmen garis AB garis lurus frontal (Gbr. 23) - dalam ukuran penuh pada bidang bidang frontal V ( ab = AB) dan segmen AB profil garis lurus (Gbr. 24) - dalam ukuran penuh pada bidang profil W (ab˝\u003d AB), yaitu dimungkinkan untuk mengukur ukuran sebenarnya dari segmen pada gambar.
Dengan kata lain, dengan bantuan diagram, seseorang dapat menentukan dimensi alami dari sudut yang dibentuk oleh garis yang ditinjau dengan bidang proyeksi.
Sudut yang dibentuk garis lurus dengan bidang mendatar H, biasanya dilambangkan dengan huruf , dengan bidang depan - huruf , dengan bidang profil - huruf .
Garis lurus mana pun yang dipertimbangkan tidak memiliki jejak pada bidang yang sejajar dengannya, yaitu, garis lurus horizontal tidak memiliki jejak horizontal (Gbr. 22), garis lurus frontal tidak memiliki jejak frontal (Gbr. 23), dan profil garis lurus tidak memiliki jejak profil (Gbr. 24).
Pertimbangkan proyeksi titik ke dua bidang, di mana kami mengambil dua bidang tegak lurus (Gbr. 4), yang akan kami sebut frontal dan bidang horizontal. Garis perpotongan bidang-bidang ini disebut sumbu proyeksi. Kami memproyeksikan satu titik A ke bidang yang dipertimbangkan menggunakan proyeksi datar. Untuk melakukan ini, perlu untuk menurunkan tegak lurus Aa dan A dari titik yang diberikan ke bidang yang dipertimbangkan.
Proyeksi pada bidang mendatar disebut tampilan rencana poin TETAPI, dan proyeksi sebuah? pada bidang frontal disebut proyeksi depan.
Titik-titik yang akan diproyeksikan dalam geometri deskriptif biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital. A, B, C. Huruf kecil digunakan untuk menunjukkan proyeksi horizontal titik. a, b, c... Proyeksi frontal ditunjukkan dalam huruf kecil dengan goresan di bagian atas a?, b?, c?…
Penunjukan titik dengan angka Romawi I, II, ... juga digunakan, dan untuk proyeksinya - dengan angka Arab 1, 2 ... dan 1?, 2? ...
Ketika bidang horizontal diputar 90°, dapat diperoleh gambar di mana kedua bidang berada pada bidang yang sama (Gbr. 5). Gambar ini disebut plot titik.
Melalui garis tegak lurus ah dan ah? menggambar sebuah pesawat (Gbr. 4). Bidang yang dihasilkan tegak lurus terhadap bidang frontal dan horizontal karena mengandung tegak lurus terhadap bidang-bidang tersebut. Oleh karena itu, bidang ini tegak lurus terhadap garis perpotongan bidang-bidang tersebut. Garis lurus yang dihasilkan memotong bidang horizontal dalam garis lurus A A x, dan bidang frontal - dalam garis lurus Hah? X. Lurus aah dan Hah? x tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang. Yaitu Aaah? adalah persegi panjang.
Saat menggabungkan bidang proyeksi horizontal dan frontal sebuah dan sebuah? akan terletak pada satu tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang, karena ketika bidang horizontal berputar, tegak lurus segmen A A x dan Hah? x tidak rusak.
Kami mendapatkannya di diagram proyeksi sebuah dan sebuah? beberapa titik TETAPI selalu terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu perpotongan bidang.
Dua proyeksi a dan sebuah? dari beberapa titik A dapat secara unik menentukan posisinya dalam ruang (Gbr. 4). Hal ini ditegaskan oleh fakta bahwa ketika membangun tegak lurus dari proyeksi a ke bidang horizontal, itu akan melewati titik A. Demikian pula, tegak lurus dari proyeksi sebuah? ke bidang frontal akan melewati titik TETAPI, yaitu titik TETAPI terletak pada dua garis tertentu secara bersamaan. Titik A adalah titik persimpangan mereka, yaitu pasti.
Perhatikan persegi panjang aaa X sebuah?(Gbr. 5), yang pernyataan berikut ini benar:
1) Jarak titik TETAPI dari bidang frontal sama dengan jarak proyeksi horizontal a dari sumbu perpotongan bidang, mis.
ah? = A A X;
2) jarak titik TETAPI dari bidang proyeksi horizontal sama dengan jarak proyeksi frontalnya sebuah? dari sumbu perpotongan bidang, mis.
ah = Hah? X.
Dengan kata lain, bahkan tanpa titik itu sendiri pada plot, hanya dengan menggunakan dua proyeksinya, Anda dapat mengetahui pada jarak berapa dari masing-masing bidang proyeksi titik ini berada.
Perpotongan dua bidang proyeksi membagi ruang menjadi empat bagian, yang disebut perempat(Gbr. 6).
Sumbu perpotongan bidang membagi bidang horizontal menjadi dua bagian - bagian depan dan belakang, dan bidang bagian depan menjadi bagian atas dan bawah. Bagian atas bidang frontal dan bagian anterior bidang horizontal dianggap sebagai batas kuarter pertama.
Setelah menerima diagram, bidang horizontal berputar dan bertepatan dengan bidang frontal (Gbr. 7). Dalam hal ini, bagian depan bidang horizontal akan bertepatan dengan bagian bawah bidang frontal, dan bagian belakang bidang horizontal dengan bagian atas bidang frontal.
Gambar 8-11 menunjukkan titik A, B, C, D, yang terletak di tempat yang berbeda. Titik A berada pada kuarter pertama, titik B pada kuarter kedua, titik C pada kuarter ketiga, dan titik D pada kuarter keempat.
Ketika poin terletak di kuartal pertama atau keempat dari mereka proyeksi horizontal terletak di bagian depan bidang horizontal, dan pada diagram mereka akan terletak di bawah sumbu perpotongan bidang. Ketika sebuah titik terletak di kuartal kedua atau ketiga, proyeksi horizontalnya akan terletak di belakang bidang horizontal, dan pada plot itu akan berada di atas sumbu perpotongan bidang.
Proyeksi depan titik-titik yang terletak di perempat pertama atau kedua akan terletak di bagian atas bidang frontal, dan pada diagram mereka akan terletak di atas sumbu perpotongan bidang. Ketika sebuah titik terletak di kuartal ketiga atau keempat, proyeksi frontalnya berada di bawah sumbu perpotongan bidang.
Paling sering, dalam konstruksi nyata, sosok itu ditempatkan di kuartal pertama ruang.
Dalam beberapa kasus tertentu, titik ( E) mungkin terletak pada bidang horizontal (Gbr. 12). Dalam hal ini, proyeksi horizontal e dan titik itu sendiri akan bertepatan. Proyeksi frontal dari titik seperti itu akan berada pada sumbu perpotongan bidang.
Dalam kasus di mana titik Ke terletak di bidang frontal (Gbr. 13), proyeksi horizontalnya k terletak pada sumbu perpotongan bidang, dan frontal k? menunjukkan lokasi sebenarnya dari titik tersebut.
Untuk titik-titik tersebut, tanda bahwa ia terletak pada salah satu bidang proyeksi adalah bahwa salah satu proyeksinya berada pada sumbu perpotongan bidang-bidang tersebut.
Jika sebuah titik terletak pada sumbu perpotongan bidang proyeksi, titik itu dan kedua proyeksinya bertepatan.
Jika suatu titik tidak terletak pada bidang proyeksi, maka disebut titik posisi umum. Berikut ini, jika tidak ada tanda khusus, titik yang dipertimbangkan adalah titik pada posisi umum.
2. Kurangnya sumbu proyeksi
Untuk menjelaskan cara memperoleh proyeksi model suatu titik pada bidang proyeksi tegak lurus (Gbr. 4), perlu diambil selembar kertas tebal berbentuk persegi panjang memanjang. Itu perlu ditekuk di antara proyeksi. Garis lipatan akan menggambarkan sumbu perpotongan bidang. Jika setelah itu potongan kertas yang bengkok diluruskan lagi, kita mendapatkan diagram yang mirip dengan yang ditunjukkan pada gambar.
Menggabungkan dua bidang proyeksi dengan bidang gambar, Anda tidak dapat menunjukkan garis lipatan, yaitu, jangan menggambar sumbu perpotongan bidang pada diagram.
Saat membuat diagram, Anda harus selalu menempatkan proyeksi sebuah dan sebuah? titik A pada satu garis vertikal (Gbr. 14), yang tegak lurus terhadap sumbu perpotongan bidang. Oleh karena itu, bahkan jika posisi sumbu perpotongan bidang tetap tidak ditentukan, tetapi arahnya ditentukan, sumbu perpotongan bidang hanya dapat tegak lurus terhadap garis lurus pada diagram. ah?.
Jika tidak ada sumbu proyeksi pada diagram titik, seperti pada gambar pertama 14 a, Anda dapat membayangkan posisi titik ini dalam ruang. Untuk melakukan ini, gambarlah di sembarang tempat yang tegak lurus dengan garis ah? sumbu proyeksi, seperti pada gambar kedua (Gbr. 14) dan tekuk gambar di sepanjang sumbu ini. Jika kita mengembalikan tegak lurus pada titik-titik sebuah dan sebuah? sebelum mereka berpotongan, Anda bisa mendapatkan poin TETAPI. Saat mengubah posisi sumbu proyeksi, posisi titik yang berbeda relatif terhadap bidang proyeksi diperoleh, tetapi ketidakpastian posisi sumbu proyeksi tidak mempengaruhi posisi relatif beberapa titik atau angka dalam ruang.
3. Proyeksi suatu titik ke tiga bidang proyeksi
Pertimbangkan bidang profil proyeksi. Proyeksi pada dua bidang tegak lurus biasanya menentukan posisi gambar dan memungkinkan untuk mengetahui dimensi dan bentuk sebenarnya. Tetapi ada kalanya dua proyeksi tidak cukup. Kemudian terapkan konstruksi proyeksi ketiga.
Bidang proyeksi ketiga dilakukan sehingga tegak lurus terhadap kedua bidang proyeksi secara bersamaan (Gbr. 15). Bidang ketiga disebut Profil.
Dalam konstruksi seperti itu, garis umum bidang horizontal dan frontal disebut sumbu X , garis umum bidang horizontal dan bidang profil - sumbu pada , dan garis lurus bersama bidang frontal dan profil - sumbu z . Dot HAI, yang termasuk dalam ketiga bidang, disebut titik asal.
Gambar 15a menunjukkan intinya TETAPI dan tiga proyeksinya. Proyeksi ke bidang profil ( sebuah??) disebut proyeksi profil dan menunjukkan sebuah??.
Untuk mendapatkan diagram titik A, yang terdiri dari tiga proyeksi sebuah, sebuah, perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua bidang di sepanjang sumbu y (Gbr. 15b) dan menggabungkan semua bidang ini dengan bidang proyeksi frontal. Bidang horizontal harus diputar terhadap sumbu X, dan bidang profil dekat sumbu z dalam arah yang ditunjukkan oleh panah pada Gambar 15.
Gambar 16 menunjukkan posisi proyeksi hah? dan sebuah?? poin TETAPI, diperoleh sebagai hasil dari menggabungkan ketiga bidang dengan bidang gambar.
Akibat pemotongan tersebut, sumbu y terjadi pada diagram di dua tempat yang berbeda. Pada bidang horizontal (Gbr. 16), dibutuhkan posisi vertikal (tegak lurus terhadap sumbu X), dan pada bidang profil - horizontal (tegak lurus terhadap sumbu z).
Gambar 16 menunjukkan tiga proyeksi hah? dan sebuah?? poin A memiliki posisi yang ditentukan secara ketat pada diagram dan tunduk pada kondisi yang jelas:
sebuah dan sebuah? harus selalu terletak pada satu garis lurus vertikal yang tegak lurus terhadap sumbu X;
sebuah? dan sebuah?? harus selalu terletak pada garis horizontal yang sama tegak lurus terhadap sumbu z;
3) ketika ditarik melalui proyeksi horizontal dan garis horizontal, tetapi melalui proyeksi profil sebuah??- garis lurus vertikal, garis yang dibangun tentu akan berpotongan pada garis-bagi sudut antara sumbu proyeksi, karena gambar Oa pada sebuah 0 sebuah n adalah persegi.
Saat membangun tiga proyeksi suatu titik, perlu untuk memeriksa pemenuhan ketiga kondisi untuk setiap titik.
4. Koordinat titik
Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan menggunakan tiga bilangan yang disebut koordinat. Setiap koordinat sesuai dengan jarak suatu titik dari beberapa bidang proyeksi.
Jarak titik TETAPI ke bidang profil adalah koordinat X, di mana X = Hah?(Gbr. 15), jarak ke bidang frontal - dengan koordinat y, dan y = Hah?, dan jarak ke bidang horizontal adalah koordinat z, di mana z = A A.
Pada Gambar 15, titik A menempati lebar kotak persegi panjang, dan pengukuran kotak ini sesuai dengan koordinat titik ini, yaitu masing-masing koordinat disajikan pada Gambar 15 empat kali, yaitu:
x \u003d a? A \u003d Oa x \u003d a y a \u003d a z a?;
y \u003d a? A \u003d Oa y \u003d a x a \u003d a z a?;
z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.
Pada diagram (Gbr. 16), koordinat x dan z muncul tiga kali:
x \u003d a z a? \u003d Oa x \u003d a y a,
z = axa? = Oa z = a y a?.
Semua segmen yang sesuai dengan koordinat X(atau z) sejajar satu sama lain. Koordinat pada diwakili dua kali oleh sumbu vertikal:
y \u003d Oa y \u003d a x a
dan dua kali - terletak secara horizontal:
y \u003d Oa y \u003d a z a?.
Perbedaan ini muncul karena fakta bahwa sumbu y hadir pada diagram di dua posisi yang berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa posisi setiap proyeksi ditentukan pada diagram hanya dengan dua koordinat, yaitu:
1) horisontal - koordinat X dan pada,
2) frontal - koordinat x dan z,
3) profil - koordinat pada dan z.
Menggunakan koordinat x, y dan z, Anda dapat membuat proyeksi suatu titik pada diagram.
Jika titik A diberikan oleh koordinat, catatannya didefinisikan sebagai berikut: A ( X; y; z).
Saat membuat proyeksi titik TETAPI kondisi berikut harus diperiksa:
1) proyeksi horizontal dan frontal sebuah dan sebuah? X X;
2) proyeksi frontal dan profil sebuah? dan sebuah? harus terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena mereka memiliki koordinat yang sama z;
3) proyeksi horizontal dan juga dihapus dari sumbu X, seperti proyeksi profil sebuah jauh dari sumbu z, sejak proyeksi ah? dan ya? memiliki koordinat yang sama pada.
Jika titik terletak pada salah satu bidang proyeksi, maka salah satu koordinatnya sama dengan nol.
Ketika sebuah titik terletak pada sumbu proyeksi, kedua koordinatnya adalah nol.
Jika sebuah titik terletak di titik asal, ketiga koordinatnya adalah nol.
Posisi suatu titik dalam ruang dapat ditentukan dengan dua proyeksi ortogonalnya, misalnya horizontal dan frontal, frontal dan profil. Kombinasi dari dua proyeksi ortogonal memungkinkan Anda untuk mengetahui nilai semua koordinat suatu titik, membangun proyeksi ketiga, menentukan oktan di mana ia berada. Mari kita pertimbangkan beberapa tugas khas dari kursus geometri deskriptif.
Menurut gambar kompleks yang diberikan dari titik A dan B, perlu:
Mari kita tentukan dulu koordinat titik A, yang dapat ditulis dalam bentuk A (x, y, z). Proyeksi horizontal titik A adalah titik A ", yang memiliki koordinat x, y. Gambarlah dari titik A" tegak lurus terhadap sumbu x, y dan temukan masing-masing A x, A y. Koordinat x untuk titik A sama dengan panjang ruas A x O dengan tanda tambah, karena A x terletak pada daerah nilai sumbu x positif. Dengan mempertimbangkan skala gambar, kami menemukan x \u003d 10. Koordinat y sama dengan panjang segmen A y O dengan tanda minus, karena t. A y terletak di wilayah nilai sumbu y negatif . Mengingat skala gambar, y = -30. Proyeksi frontal titik A - titik A"" memiliki koordinat x dan z. Mari kita jatuhkan tegak lurus dari A"" ke sumbu z dan temukan A z . Koordinat z titik A sama dengan panjang segmen A z O dengan tanda minus, karena A z terletak di daerah nilai negatif sumbu z. Mengingat skala gambar, z = -10. Jadi, koordinat titik A adalah (10, -30, -10).
Koordinat titik B dapat ditulis sebagai B (x, y, z). Pertimbangkan proyeksi horizontal titik B - titik B. "Karena terletak pada sumbu x, maka B x \u003d B" dan koordinat B y \u003d 0. Absis x titik B sama dengan panjang segmen B x O dengan tanda plus. Mempertimbangkan skala gambar, x = 30. Proyeksi frontal titik B - titik B˝ memiliki koordinat x, z. Gambarlah garis tegak lurus dari B"" ke sumbu z, sehingga menemukan B z . Aplikasi z titik B sama dengan panjang segmen B z O dengan tanda minus, karena B z terletak di wilayah nilai negatif sumbu z. Dengan mempertimbangkan skala gambar, kami menentukan nilai z = -20. Jadi koordinat B adalah (30, 0, -20). Semua konstruksi yang diperlukan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Konstruksi proyeksi titik
Titik A dan B pada bidang P 3 memiliki koordinat sebagai berikut: A""" (y, z); B""" (y, z). Dalam hal ini, A"" dan A""" terletak pada tegak lurus yang sama terhadap sumbu z, karena keduanya memiliki koordinat z yang sama. Dengan cara yang sama, B"" dan B""" terletak pada tegak lurus yang sama ke sumbu z. Untuk menemukan proyeksi profil t.A, kami menyisihkan sepanjang sumbu y nilai koordinat yang sesuai yang ditemukan sebelumnya. Pada gambar, ini dilakukan dengan menggunakan busur lingkaran dengan jari-jari A y O. Setelah itu, kita menggambar tegak lurus dari A y ke perpotongan dengan tegak lurus yang dipulihkan dari titik A "" ke sumbu z. Titik potong kedua tegak lurus ini menentukan posisi A""".
Titik B""" terletak pada sumbu z, karena koordinat y dari titik ini adalah nol. Untuk mencari proyeksi profil titik B pada soal ini, hanya perlu menggambar garis tegak lurus dari B"" ke z -sumbu.Titik perpotongan tegak lurus ini dengan sumbu z adalah B """.
Menentukan posisi titik dalam ruang
Secara visual membayangkan tata ruang yang terdiri dari bidang proyeksi P 1, P 2 dan P 3, lokasi oktan, serta urutan transformasi tata letak menjadi diagram, Anda dapat langsung menentukan bahwa t A terletak di oktan III, dan t.B terletak pada bidang P2 .
Pilihan lain untuk memecahkan masalah ini adalah metode pengecualian. Misalnya koordinat titik A adalah (10, -30, -10). Absis x positif memungkinkan untuk menilai bahwa titik tersebut terletak di empat oktan pertama. Sebuah y-ordinat negatif menunjukkan bahwa titik tersebut berada di oktan kedua atau ketiga. Akhirnya, penerapan negatif z menunjukkan bahwa titik A berada di oktan ketiga. Alasan yang diberikan diilustrasikan dengan jelas oleh tabel berikut.
| Oktan | Tanda koordinat | ||
| x | kamu | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Koordinat titik B (30, 0, -20). Karena ordinat t.B sama dengan nol, titik ini terletak pada bidang proyeksi 2 . Absis positif dan aplikasi negatif dari titik B menunjukkan bahwa itu terletak di perbatasan oktan ketiga dan keempat.
Konstruksi gambar visual titik-titik dalam sistem bidang P 1, P 2, P 3
Menggunakan proyeksi isometrik frontal, kami membangun tata ruang oktan ketiga. Ini adalah segitiga siku-siku, yang wajahnya adalah bidang P1, P2, P3, dan sudut (-y0x) adalah 45 . Dalam sistem ini, segmen sepanjang sumbu x, y, z akan diplot dalam ukuran penuh tanpa distorsi.
Konstruksi gambar visual titik A (10, -30, -10) akan dimulai dengan proyeksi horizontal A ". Setelah menyisihkan koordinat yang sesuai di sepanjang absis dan ordinat, kami menemukan titik A x dan A y. perpotongan tegak lurus yang direstorasi dari A x dan A y masing-masing ke sumbu x dan y menentukan posisi titik A". Menempatkan dari A" sejajar dengan sumbu z menuju nilai negatifnya segmen AA", yang panjangnya sama dengan 10, kami menemukan posisi titik A.
Gambar visual titik B (30, 0, -20) dibangun dengan cara yang sama - di bidang P 2, koordinat yang sesuai harus disisihkan di sepanjang sumbu x dan z. Perpotongan garis tegak lurus yang direkonstruksi dari B x dan B z akan menentukan posisi titik B.
Garis bantu multidrawing
Dalam gambar yang ditunjukkan pada gambar. 4.7, sebuah, sumbu proyeksi ditarik, dan gambar saling berhubungan oleh jalur komunikasi. Proyeksi horizontal dan profil dihubungkan oleh jalur komunikasi menggunakan busur yang dipusatkan pada suatu titik HAI persimpangan sumbu. Namun, dalam praktiknya, implementasi lain dari gambar terintegrasi juga digunakan.
Pada gambar tanpa sumbu, gambar juga ditempatkan dalam hubungan proyeksi. Namun, proyeksi ketiga dapat ditempatkan lebih dekat atau lebih jauh. Misalnya, proyeksi profil dapat ditempatkan ke kanan (Gbr. 4.7, b, II) atau ke kiri (Gbr. 4.7, b, aku). Ini penting untuk menghemat ruang dan kemudahan ukuran.
Beras. 4.7.
Jika dalam gambar yang dibuat menurut sistem tanpa sumbu diperlukan untuk menggambar garis komunikasi antara tampak atas dan tampak kiri, maka digunakan garis lurus bantu dari gambar kompleks. Untuk melakukan ini, kira-kira pada tingkat tampilan atas dan sedikit ke kanan, garis lurus ditarik pada sudut 45 ° ke bingkai gambar (Gbr. 4.8, sebuah). Ini disebut garis bantu dari gambar kompleks. Prosedur untuk membuat gambar menggunakan garis lurus ini ditunjukkan pada gambar. 4.8, b, c.
Jika tiga pandangan telah dibangun (Gbr. 4.8, d), maka posisi garis bantu tidak dapat dipilih secara sembarangan. Pertama, Anda perlu menemukan titik yang akan dilaluinya. Untuk melakukan ini, cukup melanjutkan sampai persimpangan timbal balik sumbu simetri proyeksi horizontal dan profil dan melalui titik yang dihasilkan k menggambar segmen garis lurus pada sudut 45 ° (Gbr. 4.8, d). Jika tidak ada sumbu simetri, maka lanjutkan sampai perpotongan di titik k 1 proyeksi horizontal dan profil dari setiap wajah yang diproyeksikan sebagai garis lurus (Gbr. 4.8, d).
Beras. 4.8.
Kebutuhan untuk menggambar garis komunikasi, dan, akibatnya, garis lurus tambahan, muncul ketika membuat proyeksi yang hilang dan ketika melakukan gambar di mana perlu untuk menentukan proyeksi titik untuk memperjelas proyeksi elemen individu dari bagian tersebut.
Contoh penggunaan garis bantu diberikan dalam paragraf berikutnya.
Proyeksi suatu titik yang terletak pada permukaan suatu benda
Untuk membangun proyeksi elemen individu dari suatu bagian dengan benar saat membuat gambar, perlu untuk dapat menemukan proyeksi titik individu pada semua gambar gambar. Misalnya, sulit untuk menggambar proyeksi horizontal dari bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 4.9 tanpa menggunakan proyeksi titik individu ( A, B, C, D, E dan sebagainya.). Kemampuan untuk menemukan semua proyeksi titik, tepi, wajah juga diperlukan untuk menciptakan kembali dalam imajinasi bentuk suatu objek sesuai dengan gambar datarnya dalam gambar, serta untuk memeriksa kebenaran gambar yang telah selesai.
Beras. 4.9.
Mari kita pertimbangkan cara menemukan proyeksi kedua dan ketiga dari suatu titik yang diberikan pada permukaan suatu benda.
Jika satu proyeksi suatu titik diberikan dalam menggambar suatu objek, maka pertama-tama perlu untuk menemukan proyeksi permukaan tempat titik ini berada. Kemudian pilih salah satu dari dua metode yang dijelaskan di bawah ini untuk memecahkan masalah.
Cara pertama
Metode ini digunakan ketika setidaknya salah satu proyeksi menunjukkan permukaan yang diberikan sebagai garis.
pada gambar. 4.10, sebuah sebuah silinder diperlihatkan, pada proyeksi depan yang proyeksinya diatur sebuah" poin TETAPI, berbaring di bagian yang terlihat dari permukaannya (proyeksi yang diberikan ditandai dengan lingkaran berwarna ganda). Untuk menemukan proyeksi horizontal suatu titik TETAPI, mereka berpendapat sebagai berikut: titiknya terletak di permukaan silinder, yang proyeksi horizontalnya adalah lingkaran. Ini berarti proyeksi suatu titik yang terletak pada permukaan ini juga akan terletak pada lingkaran. Gambarlah garis komunikasi dan tandai titik yang diinginkan pada perpotongannya dengan lingkaran sebuah. proyeksi ketiga sebuah"
Beras. 4.10.
Jika titik PADA, berbaring di dasar atas silinder, diberikan oleh proyeksi horizontalnya b, kemudian garis komunikasi ditarik ke persimpangan dengan segmen garis lurus yang menggambarkan proyeksi frontal dan profil alas atas silinder.
pada gambar. 4.10, b menunjukkan detail – penekanan. Untuk membuat proyeksi suatu titik TETAPI, diberikan oleh proyeksi horizontalnya sebuah, temukan dua proyeksi lain dari wajah bagian atas (di mana letak titiknya TETAPI) dan, menggambar garis sambungan ke persimpangan dengan segmen garis yang menggambarkan wajah ini, tentukan proyeksi - titik yang diinginkan sebuah" dan sebuah". Dot PADA terletak di sisi kiri wajah vertikal, yang berarti bahwa proyeksinya juga akan terletak pada proyeksi wajah ini. Jadi dari titik tertentu b" menggambar garis komunikasi (seperti yang ditunjukkan oleh panah) sampai mereka bertemu dengan segmen garis yang menggambarkan wajah ini. proyeksi depan dengan" poin DENGAN, berbaring di wajah miring (dalam ruang), ditemukan pada garis yang menggambarkan wajah ini, dan profil dengan"- di persimpangan garis koneksi, karena proyeksi profil wajah ini bukan garis, tetapi gambar. Konstruksi proyeksi titik D ditunjukkan oleh panah.
Cara kedua
Metode ini digunakan ketika metode pertama tidak dapat digunakan. Maka Anda harus melakukan ini:
- menggambar melalui proyeksi yang diberikan dari titik proyeksi garis bantu yang terletak di permukaan yang diberikan;
- temukan proyeksi kedua dari garis ini;
- ke proyeksi garis yang ditemukan, transfer proyeksi titik yang diberikan (ini akan menentukan proyeksi kedua titik);
- temukan proyeksi ketiga (jika diperlukan) di persimpangan jalur komunikasi.
pada gambar. 4.10, proyeksi frontal diberikan sebuah" poin TETAPI, berbaring di bagian yang terlihat dari permukaan kerucut. Untuk menemukan proyeksi horizontal melalui suatu titik sebuah" melakukan proyeksi frontal dari garis lurus bantu yang melewati titik TETAPI dan bagian atas kerucut. Dapatkan poin V adalah proyeksi titik temu garis yang ditarik dengan alas kerucut. Memiliki proyeksi frontal dari titik-titik yang terletak pada garis lurus, seseorang dapat menemukan proyeksi horizontalnya. Proyeksi horizontal s bagian atas kerucut diketahui. Dot b terletak pada keliling alasnya. Segmen garis ditarik melalui titik-titik ini dan sebuah titik ditransfer ke sana (seperti yang ditunjukkan oleh panah). sebuah", mendapatkan poin sebuah. Proyeksi ketiga sebuah" poin TETAPI terletak di persimpangan jalan.
Masalah yang sama dapat diselesaikan secara berbeda (Gbr. 4.10, G).
Sebagai garis bantu yang melalui suatu titik TETAPI, mereka tidak mengambil garis lurus, seperti dalam kasus pertama, tetapi sebuah lingkaran. Lingkaran ini terbentuk jika pada titik TETAPI memotong kerucut dengan bidang yang sejajar dengan alas, seperti yang ditunjukkan pada representasi visual. Proyeksi frontal lingkaran ini akan digambarkan sebagai segmen garis lurus, karena bidang lingkaran tegak lurus dengan bidang proyeksi frontal. Proyeksi horizontal sebuah lingkaran memiliki diameter yang sama dengan panjang segmen ini. Menggambarkan lingkaran dengan diameter yang ditentukan, menggambar dari sebuah titik sebuah" garis koneksi ke persimpangan dengan lingkaran bantu, karena proyeksi horizontal sebuah poin TETAPI terletak pada garis bantu, yaitu pada lingkaran yang dibangun. proyeksi ketiga sebagai" poin TETAPI ditemukan di persimpangan jalur komunikasi.
Dengan cara yang sama, Anda dapat menemukan proyeksi titik yang terletak di permukaan, misalnya, piramida. Perbedaannya adalah ketika dilintasi bidang mendatar, bukan lingkaran yang terbentuk, melainkan bangun yang mirip alasnya.
Dengan proyeksi persegi panjang, sistem bidang proyeksi terdiri dari dua bidang proyeksi yang saling tegak lurus (Gbr. 2.1). Satu setuju untuk ditempatkan secara horizontal, dan yang lainnya secara vertikal.
Bidang proyeksi yang terletak mendatar disebut bidang proyeksi horizontal dan menunjukkan sch, dan bidang yang tegak lurus terhadapnya bidang proyeksi frontall 2 . Sistem bidang proyeksi itu sendiri dilambangkan hal / hal 2. Biasanya menggunakan ekspresi yang disingkat: plane L[, pesawat terbang n 2 . Garis perpotongan bidang sch dan ke 2 ditelepon sumbu proyeksiOH. Ini membagi setiap bidang proyeksi menjadi dua bagian - lantai. Bidang proyeksi horizontal memiliki lantai anterior dan posterior, sedangkan bidang frontal memiliki lantai atas dan bawah.
pesawat terbang sch dan hal 2 membagi ruang menjadi empat bagian yang disebut perempat dan dilambangkan dengan angka Romawi I, II, III dan IV (lihat Gambar 2.1). Kuartal pertama disebut bagian ruang yang dibatasi oleh bidang proyeksi horizontal berongga frontal atas dan berongga depan. Untuk sisa ruang, definisinya mirip dengan definisi sebelumnya.
Semua gambar teknik adalah gambar yang dibangun pada bidang yang sama. pada gambar. 2.1 sistem bidang proyeksi adalah spasial. Untuk berpindah ke gambar pada bidang yang sama, kami sepakat untuk menggabungkan bidang proyeksi. Biasanya pesawat hal 2 dibiarkan tak bergerak, dan pesawat P putar ke arah yang ditunjukkan oleh panah (lihat Gambar 2.1), di sekitar sumbu OH pada sudut 90 ° hingga sejajar dengan bidang n 2 . Dengan belokan seperti itu, lantai depan bidang horizontal turun, dan lantai belakang naik. Setelah penyelarasan, pesawat memiliki bentuk yang digambarkan
perempuan pada gambar. 2.2. Dipercayai bahwa bidang proyeksi tidak tembus pandang dan pengamat selalu berada di kuarter pertama. pada gambar. 2.2, penunjukan bidang yang tidak terlihat setelah penyelarasan diambil dalam tanda kurung, seperti biasa untuk menyorot gambar yang tidak terlihat dalam gambar.
Titik yang diproyeksikan dapat berada di seperempat ruang atau pada bidang proyeksi apa pun. Dalam semua kasus, untuk membuat proyeksi, garis proyeksi ditarik melaluinya dan titik pertemuannya ditemukan dengan bidang 711 dan 712, yang merupakan proyeksi.
Perhatikan proyeksi suatu titik yang terletak pada kuarter pertama. Sistem bidang proyeksi 711/712 dan titik TETAPI(Gbr. 2.3). Dua GARIS lurus ditarik melaluinya, tegak lurus terhadap BIDANG 71) DAN 71 2. Salah satunya akan memotong bidang 711 di titik TETAPI ", ditelepon proyeksi horizontal titik A, dan yang lainnya adalah bidang 712 di titik TETAPI ", ditelepon proyeksi frontal titik A.
Memproyeksikan garis A A" dan A A" tentukan bidang proyeksi a. Itu tegak lurus terhadap bidang Kip 2, karena melewati tegak lurus ke mereka dan memotong bidang proyeksi sepanjang garis lurus A "Ah dan A" A x. Sumbu proyeksi OH tegak lurus bidang oc, sebagai garis perpotongan dua bidang 71| dan 71 2 tegak lurus terhadap bidang ketiga (a), dan karenanya terhadap setiap garis yang terletak di dalamnya. Secara khusus, 0X1A "A x dan 0X1A "Ax.
Saat menggabungkan pesawat, segmen Sebuah "Ah, datar ke 2, tetap stasioner, dan segmen A "A x bersama-sama dengan bidang 71) akan diputar di sekitar sumbu OH sampai sejajar dengan bidang 71 2 . Tampilan bidang proyeksi gabungan bersama dengan proyeksi suatu titik TETAPI ditunjukkan pada gambar. 2.4, sebuah. Setelah menyelaraskan titik A", Ax dan A" terletak pada satu garis lurus yang tegak lurus terhadap sumbu OH. Ini menyiratkan bahwa dua proyeksi dari titik yang sama
terletak pada satu tegak lurus yang sama terhadap sumbu proyeksi. Garis tegak lurus yang menghubungkan dua proyeksi dari titik yang sama disebut garis proyeksi.
Gambar pada gambar. 2.4, sebuah dapat sangat disederhanakan. Penunjukan bidang proyeksi gabungan dalam gambar tidak ditandai dan persegi panjang yang membatasi bidang proyeksi tidak digambarkan, karena bidang tidak terbatas. Gambar titik yang disederhanakan TETAPI(Gbr. 2.4, b) disebut juga diagram(Dari Perancis ?murni - menggambar).
Ditampilkan pada gambar. 2.3 segi empat AE4 "A X A" adalah persegi panjang dan sisi-sisinya yang berhadapan sama besar dan sejajar. Oleh karena itu, jarak dari titik TETAPI sampai ke pesawat P, diukur dengan segmen A A", dalam gambar ditentukan oleh segmen Sebuah "Ah. Segmen A "Ax = AA" memungkinkan Anda untuk menilai jarak dari suatu titik TETAPI sampai ke pesawat ke 2 . Dengan demikian, menggambar suatu titik memberikan gambaran lengkap tentang lokasinya relatif terhadap bidang proyeksi. Misalnya, menurut gambar (lihat Gambar 2.4, b) dapat dikatakan bahwa intinya TETAPI terletak di kuartal pertama dan dikeluarkan dari pesawat hal 2 ke jarak yang lebih pendek daripada dari pesawat ts b karena A "A x Sebuah "Ah.
Mari kita beralih ke memproyeksikan titik di ruang kedua, ketiga dan keempat.
Saat memproyeksikan titik PADA, terletak di kuartal kedua (Gbr. 2.5), setelah menggabungkan bidang, kedua proyeksinya akan berada di atas sumbu OH.
Proyeksi horizontal titik C, diberikan pada kuartal ketiga (Gbr. 2.6), terletak di atas sumbu OH, dan bagian depan lebih rendah.
Titik D digambarkan pada gambar. 2,7 terletak di kuarter keempat. Setelah menggabungkan bidang proyeksi, kedua proyeksinya akan berada di bawah sumbu OH.
Membandingkan gambar titik-titik yang terletak di berbagai tempat (lihat Gambar 2.4-2.7), Anda dapat melihat bahwa masing-masing dicirikan oleh lokasi proyeksinya sendiri relatif terhadap sumbu proyeksi OH.
Dalam kasus tertentu, titik yang diproyeksikan mungkin terletak pada bidang proyeksi. Kemudian salah satu proyeksinya bertepatan dengan titik itu sendiri, dan yang lainnya akan ditempatkan pada sumbu proyeksi. Misalnya, untuk suatu titik E, berbaring di pesawat sch(Gbr. 2.8), proyeksi horizontal bertepatan dengan titik itu sendiri, dan proyeksi frontal pada sumbu OH. Pada intinya E, terletak di pesawat ke 2(Gbr. 2.9), proyeksi horizontal pada sumbu OH, dan bagian depan bertepatan dengan titik itu sendiri.
