Sangat sering, pembilang dan penyebut pecahan adalah ekspresi aljabar yang pertama-tama harus didekomposisi menjadi faktor-faktor, dan kemudian, menemukan yang sama di antara mereka, membagi pembilang dan penyebut menjadi mereka, yaitu, mengurangi pecahan. Seluruh bab dari buku teks tentang aljabar di kelas 7 dikhususkan untuk tugas memfaktorkan polinomial. Pemfaktoran bisa dilakukan 3 cara, serta kombinasi dari metode ini.

1. Penerapan rumus perkalian yang disingkat

Seperti yang diketahui kalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan. Setidaknya ada 7 (tujuh) kasus umum perkalian polinomial yang termasuk dalam konsep. Sebagai contoh,

Tabel 1. Faktorisasi dengan cara ke-1

2. Keluarkan faktor persekutuan dari kurung

Metode ini didasarkan pada penerapan hukum distributif perkalian. Sebagai contoh,

Kami membagi setiap istilah dari ekspresi asli dengan faktor yang kami keluarkan, dan pada saat yang sama kami mendapatkan ekspresi dalam tanda kurung (yaitu, hasil membagi apa yang kami ambil tetap dalam tanda kurung). Pertama-tama, Anda perlu tentukan pengali dengan benar, yang harus diberi tanda kurung.

Polinomial dalam tanda kurung juga bisa menjadi faktor persekutuan:

Saat melakukan tugas "memfaktorkan", seseorang harus sangat berhati-hati dengan tanda-tanda saat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Untuk mengubah tanda setiap istilah dalam tanda kurung (b-a), kita keluarkan faktor persekutuannya -1 , sedangkan setiap suku dalam kurung dibagi -1: (b - a) = - (a - b) .

Jika ekspresi dalam tanda kurung dikuadratkan (atau pangkat genap), maka angka di dalam kurung dapat ditukar benar-benar gratis, karena minus yang dikeluarkan dari kurung masih akan berubah menjadi plus saat dikalikan: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 dll…

3. Metode pengelompokan

Terkadang tidak semua istilah dalam ekspresi memiliki faktor yang sama, tetapi hanya beberapa. Kemudian Anda dapat mencoba istilah grup dalam tanda kurung sehingga beberapa faktor dapat diambil dari masing-masing. Metode pengelompokan adalah kurung ganda dari faktor persekutuan.

4. Menggunakan beberapa metode sekaligus

Terkadang Anda perlu menerapkan bukan hanya satu, tetapi beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor sekaligus.

Ini adalah sinopsis tentang topik tersebut. "Faktorisasi". Pilih langkah selanjutnya:

• Pergi ke abstrak berikutnya:

Untuk memfaktorkan, perlu menyederhanakan ekspresi. Hal ini diperlukan agar dapat lebih dikurangi. Dekomposisi polinomial masuk akal ketika derajatnya tidak lebih rendah dari yang kedua. Sebuah polinomial dengan derajat pertama disebut linier.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Artikel ini akan mengungkapkan semua konsep dekomposisi, landasan teoretis, dan metode untuk memfaktorkan polinomial.

Teori

Teorema 1

Bila suatu polinomial berderajat n berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , direpresentasikan sebagai perkalian dengan faktor konstanta dengan derajat tertinggi a n dan n faktor linier (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , maka P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , di mana x i , i = 1 , 2 , … , n - ini adalah akar dari polinomial.

Teorema ini dimaksudkan untuk akar kompleks tipe x i , i = 1 , 2 , … , n dan untuk koefisien kompleks a k , k = 0, 1 , 2 , … , n . Ini adalah dasar dari dekomposisi apa pun.

Jika koefisien berbentuk a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n adalah bilangan real, maka akar kompleks akan muncul pada pasangan konjugasi. Misalnya, akar x 1 dan x 2 berhubungan dengan polinomial berbentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 dianggap konjugat kompleks, maka akar-akar lainnya real, maka kita mendapatkan bahwa polinomial berbentuk P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, dimana x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Komentar

Akar polinomial dapat diulang. Pertimbangkan bukti teorema aljabar, konsekuensi dari teorema Bezout.

Teorema dasar aljabar

Teorema 2

Setiap polinomial dengan derajat n memiliki setidaknya satu akar.

teorema Bezout

Setelah membagi polinomial bentuk P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 pada (x - s) , maka kita dapatkan sisanya, yang sama dengan polinomial di titik s , maka kita dapatkan

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , di mana Q n - 1 (x) adalah polinomial dengan derajat n - 1 .

Akibat wajar dari teorema Bezout

Ketika akar polinomial P n (x) dianggap s , maka P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . Akibat wajar ini cukup bila digunakan untuk menggambarkan solusi.

Faktorisasi trinomial persegi

Trinomial persegi berbentuk a x 2 + b x + c dapat difaktorkan menjadi faktor linier. maka kita mendapatkan bahwa a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , di mana x 1 dan x 2 adalah akar (kompleks atau nyata).

Ini menunjukkan bahwa ekspansi itu sendiri berkurang untuk menyelesaikan persamaan kuadrat nanti.

Contoh 1

Faktorkan trinomial persegi.

Keputusan

Kita perlu mencari akar-akar persamaan 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan nilai diskriminan sesuai dengan rumus, lalu kita mendapatkan D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. Oleh karena itu kita memiliki itu

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Dari sini kita peroleh bahwa 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Untuk melakukan pemeriksaan, Anda harus membuka tanda kurung. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Setelah verifikasi, kami tiba di ekspresi asli. Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa ekspansi itu benar.

Contoh 2

Faktorkan trinomial persegi berbentuk 3 x 2 - 7 x - 11 .

Keputusan

Kami mendapatkan bahwa perlu untuk menghitung persamaan kuadrat yang dihasilkan dari bentuk 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Untuk mencari akar, Anda perlu menentukan nilai diskriminan. Kami mengerti

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816

Dari sini kita peroleh bahwa 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Contoh 3

Faktorkan polinomial 2 x 2 + 1.

Keputusan

Sekarang Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat 2 x 2 + 1 = 0 dan temukan akar-akarnya. Kami mengerti

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Akar ini disebut konjugat kompleks, yang berarti bahwa dekomposisi itu sendiri dapat direpresentasikan sebagai 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Contoh 4

Perluas trinomial persegi x 2 + 1 3 x + 1 .

Keputusan

Pertama, Anda perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk x 2 + 1 3 x + 1 = 0 dan temukan akar-akarnya.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

Setelah mendapatkan akarnya, kami menulis

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Komentar

Jika nilai diskriminan negatif, maka polinomial akan tetap polinomial orde dua. Oleh karena itu, kita tidak akan menguraikannya menjadi faktor linier.

Metode untuk memfaktorkan polinomial derajat lebih tinggi dari yang kedua

Dekomposisi mengasumsikan metode universal. Kebanyakan dari semua kasus didasarkan pada akibat wajar dari teorema Bezout. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih nilai akar x 1 dan menurunkan derajatnya dengan membagi polinomial dengan 1 dengan membaginya dengan (x - x 1) . Polinomial yang dihasilkan perlu menemukan akar x 2 , dan proses pencarian bersifat siklis sampai kita mendapatkan dekomposisi lengkap.

Jika akarnya tidak ditemukan, maka metode faktorisasi lain digunakan: pengelompokan, istilah tambahan. Topik ini mengasumsikan solusi persamaan dengan pangkat yang lebih tinggi dan koefisien bilangan bulat.

Keluarkan faktor persekutuan dari kurung

Perhatikan kasus ketika suku bebas sama dengan nol, maka bentuk polinomialnya menjadi P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1x .

Dapat dilihat bahwa akar dari polinomial tersebut akan sama dengan x 1 \u003d 0, maka Anda dapat merepresentasikan polinomial tersebut dalam bentuk ekspresi P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . + a 1)

Metode ini dianggap menghilangkan faktor persekutuan dari kurung.

Contoh 5

Faktorkan polinomial derajat ketiga 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Keputusan

Kita melihat bahwa x 1 \u003d 0 adalah akar dari polinomial yang diberikan, maka kita dapat mengurung x dari seluruh ekspresi. Kita mendapatkan:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Mari kita lanjutkan mencari akar-akar trinomial kuadrat 4 x 2 + 8 x - 1. Mari kita cari diskriminan dan akarnya:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Maka berikut ini

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Untuk memulainya, mari kita pertimbangkan metode ekspansi yang mengandung koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , dimana koefisien pangkat tertinggi adalah 1 .

Ketika polinomial memiliki akar bilangan bulat, maka mereka dianggap sebagai pembagi dari istilah bebas.

Contoh 6

Perluas ekspresi f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Keputusan

Pertimbangkan apakah ada akar bilangan bulat. Penting untuk menuliskan pembagi angka - 18. Kita peroleh bahwa ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Oleh karena itu polinomial ini memiliki akar bilangan bulat. Anda dapat memeriksa sesuai dengan skema Horner. Ini sangat nyaman dan memungkinkan Anda untuk dengan cepat mendapatkan koefisien ekspansi polinomial:

Oleh karena itu x \u003d 2 dan x \u003d - 3 adalah akar dari polinomial asli, yang dapat direpresentasikan sebagai produk dalam bentuk:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kami beralih ke dekomposisi trinomial persegi dalam bentuk x 2 + 2 x + 3 .

Karena diskriminan negatif, berarti tidak ada akar real.

Menjawab: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Komentar

Diperbolehkan untuk menggunakan pemilihan akar dan pembagian polinomial dengan polinomial alih-alih skema Horner. Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan perluasan polinomial yang mengandung koefisien bilangan bulat dalam bentuk P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , yang tertinggi tidak sama dengan satu.

Kasus ini berlaku untuk pecahan rasional pecahan.

Contoh 7

Faktorkan f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk mengubah variabel y = 2 x , seseorang harus lulus ke polinomial dengan koefisien sama dengan 1 pada tingkat tertinggi. Anda harus mulai dengan mengalikan ekspresi dengan 4 . Kami mengerti

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Ketika fungsi yang dihasilkan dari bentuk g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 memiliki akar bilangan bulat, maka temuannya adalah salah satu pembagi dari suku bebas. Entri akan terlihat seperti:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Mari kita lanjutkan ke perhitungan fungsi g (y) pada titik-titik ini untuk mendapatkan nol sebagai hasilnya. Kami mengerti

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Kami mendapatkan bahwa y \u003d - 5 adalah akar dari persamaan bentuk y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, yang berarti bahwa x \u003d y 2 \u003d - 5 2 adalah akar dari fungsi aslinya.

Contoh 8

Perlu untuk membagi dengan kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 dengan x + 5 2.

Keputusan

Kami menulis dan mendapatkan:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Memeriksa pembagi akan memakan banyak waktu, sehingga lebih menguntungkan untuk mengambil faktorisasi dari trinomial kuadrat yang dihasilkan dari bentuk x 2 + 7 x + 3. Dengan menyamakan ke nol, kami menemukan diskriminan.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Oleh karena itu berikut ini

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Trik buatan saat memfaktorkan polinomial

Akar rasional tidak melekat pada semua polinomial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan metode khusus untuk menemukan faktor. Tetapi tidak semua polinomial dapat didekomposisi atau direpresentasikan sebagai produk.

Metode pengelompokan

Ada kasus-kasus di mana dimungkinkan untuk mengelompokkan suku-suku polinomial untuk menemukan faktor persekutuan dan mengeluarkannya dari tanda kurung.

Contoh 9

Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Keputusan

Karena koefisiennya adalah bilangan bulat, maka akar-akarnya dapat diduga juga bilangan bulat. Untuk memeriksa, kami mengambil nilai 1 , - 1 , 2 dan - 2 untuk menghitung nilai polinomial pada titik-titik ini. Kami mengerti

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 0

Ini menunjukkan bahwa tidak ada akar, perlu menggunakan metode dekomposisi dan solusi yang berbeda.

Pengelompokan diperlukan:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Setelah mengelompokkan polinomial asli, perlu untuk menyatakannya sebagai produk dari dua trinomial persegi. Untuk melakukan ini, kita perlu memfaktorkan. kita mengerti itu

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Komentar

Kesederhanaan pengelompokan tidak berarti cukup mudah untuk memilih istilah. Tidak ada cara pasti untuk menyelesaikannya, oleh karena itu perlu menggunakan teorema dan aturan khusus.

Contoh 10

Faktorkan polinomial x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Keputusan

Polinomial yang diberikan tidak memiliki akar bilangan bulat. Istilah-istilah tersebut harus dikelompokkan. Kami mengerti

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Setelah memfaktorkan, kita mendapatkan itu

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Menggunakan perkalian disingkat dan rumus binomial Newton untuk memfaktorkan polinomial

Penampilan seringkali tidak selalu menjelaskan cara mana yang digunakan selama dekomposisi. Setelah transformasi dibuat, Anda dapat membuat garis yang terdiri dari segitiga Pascal, atau disebut binomial Newton.

Contoh 11

Faktorkan polinomial x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk mengubah ekspresi ke bentuk

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Urutan koefisien jumlah dalam tanda kurung ditunjukkan oleh ekspresi x + 1 4 .

Jadi kita memiliki x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

Setelah menerapkan perbedaan kuadrat, kita mendapatkan

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Perhatikan ekspresi yang ada di dalam kurung kedua. Jelas bahwa tidak ada kuda di sana, jadi rumus selisih kuadrat harus diterapkan lagi. Kami mendapatkan ekspresi seperti

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Contoh 12

Faktorkan x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Keputusan

Mari kita ubah ekspresinya. Kami mengerti

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Hal ini diperlukan untuk menerapkan rumus untuk perkalian singkat dari selisih kubus. Kita mendapatkan:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Metode untuk mengganti variabel saat memfaktorkan polinomial

Saat mengubah variabel, derajatnya dikurangi dan polinomialnya difaktorkan.

Contoh 13

Faktorkan polinomial berbentuk x 6 + 5 x 3 + 6 .

Keputusan

Dengan syarat tersebut, jelas bahwa perlu dilakukan penggantian y = x 3 . Kita mendapatkan:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Akar persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah y = - 2 dan y = - 3, maka

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Hal ini diperlukan untuk menerapkan rumus untuk perkalian singkat dari jumlah kubus. Kami mendapatkan ekspresi dari formulir:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Artinya, kami telah memperoleh ekspansi yang diinginkan.

Kasus-kasus yang dibahas di atas akan membantu dalam mempertimbangkan dan memfaktorkan polinomial dalam berbagai cara.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Konsep "polinomial" dan "faktorisasi polinomial" dalam aljabar sangat umum, karena Anda perlu mengetahuinya agar dapat dengan mudah melakukan perhitungan dengan bilangan multi-nilai yang besar. Artikel ini akan menjelaskan beberapa metode dekomposisi. Semuanya cukup mudah digunakan, Anda hanya perlu memilih yang tepat untuk setiap kasus.

Konsep polinomial

Polinomial adalah jumlah dari monomial, yaitu ekspresi yang hanya berisi operasi perkalian.

Misalnya, 2 * x * y adalah monomial, tetapi 2 * x * y + 25 adalah polinomial, yang terdiri dari 2 monomial: 2 * x * y dan 25. Polinomial semacam itu disebut binomial.

Kadang-kadang, untuk kenyamanan memecahkan contoh dengan nilai multinilai, ekspresi harus diubah, misalnya, didekomposisi menjadi sejumlah faktor tertentu, yaitu, angka atau ekspresi di mana operasi perkalian dilakukan. Ada beberapa cara untuk memfaktorkan polinomial. Layak untuk mempertimbangkannya mulai dari yang paling primitif, yang digunakan bahkan di kelas utama.

Pengelompokan (entri umum)

Rumus untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor dengan metode pengelompokan secara umum terlihat seperti ini:

ac + bd + bc + iklan = (ac + bc) + (iklan + bd)

Penting untuk mengelompokkan monomial sehingga faktor umum muncul di setiap kelompok. Dalam kurung pertama, ini adalah faktor c, dan di kurung kedua - d. Ini harus dilakukan untuk kemudian mengeluarkannya dari braket, sehingga menyederhanakan perhitungan.

Algoritma dekomposisi pada contoh tertentu

Contoh paling sederhana dari memfaktorkan polinomial menjadi faktor-faktor menggunakan metode pengelompokan diberikan di bawah ini:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Di kurung pertama, Anda perlu mengambil suku dengan faktor a, yang akan menjadi umum, dan yang kedua - dengan faktor b. Perhatikan tanda + dan - pada ekspresi yang sudah selesai. Kami menempatkan sebelum monomial tanda yang ada di ekspresi awal. Artinya, Anda harus bekerja bukan dengan ekspresi 25a, tetapi dengan ekspresi -25. Tanda minus, seolah-olah, "direkatkan" pada ekspresi di belakangnya dan selalu memperhitungkannya dalam perhitungan.

Pada langkah selanjutnya, Anda perlu mengeluarkan faktor, yang umum, dari braket. Itulah gunanya pengelompokan. Mengeluarkannya dari kurung berarti menuliskan di depan kurung (menghilangkan tanda perkalian) semua faktor yang diulang persis di semua suku yang ada di dalam kurung. Jika tidak ada 2, tetapi 3 atau lebih suku dalam kurung, faktor persekutuan harus ada di masing-masingnya, jika tidak maka tidak dapat dikeluarkan dari kurung.

Dalam kasus kami, hanya 2 istilah dalam tanda kurung. Pengganda keseluruhan segera terlihat. Tanda kurung pertama adalah a, yang kedua adalah b. Di sini Anda perlu memperhatikan koefisien digital. Dalam kurung pertama, kedua koefisien (10 dan 25) adalah kelipatan dari 5. Ini berarti bahwa tidak hanya a, tetapi juga 5a yang dapat dikurung. Sebelum kurung, tulis 5a, lalu bagi setiap suku dalam kurung dengan faktor persekutuan yang dikeluarkan, dan tulis juga hasil bagi dalam kurung, jangan lupa tanda + dan -. Lakukan hal yang sama dengan kurung kedua , keluarkan 7b, karena 14 dan 35 kelipatan 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ternyata 2 istilah: 5a (2c - 5) dan 7b (2c - 5). Masing-masing mengandung faktor persekutuan (seluruh ekspresi dalam kurung di sini adalah sama, yang berarti merupakan faktor persekutuan): 2c - 5. Itu juga harus dikeluarkan dari kurung, yaitu, suku 5a dan 7b tetap di braket kedua:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Jadi ekspresi lengkapnya adalah:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

Jadi, polinomial 10ac + 14bc - 25a - 35b diuraikan menjadi 2 faktor: (2c - 5) dan (5a + 7b). Tanda perkalian di antara mereka dapat dihilangkan saat menulis

Terkadang ada ekspresi dari jenis ini: 5a 2 + 50a 3, di sini Anda tidak hanya dapat mengurung a atau 5a, tetapi bahkan 5a 2. Anda harus selalu mencoba untuk mengambil faktor persekutuan terbesar yang mungkin dari kurung. Dalam kasus kami, jika kami membagi setiap suku dengan faktor persekutuan, kami mendapatkan:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(saat menghitung hasil bagi beberapa pangkat dengan basis yang sama, basis dipertahankan, dan eksponen dikurangi). Jadi, satu tetap berada di dalam kurung (dalam hal apapun jangan lupa untuk menulis satu jika Anda mengambil salah satu suku seluruhnya dari kurung) dan hasil bagi pembagian: 10a. Ternyata:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Rumus persegi

Untuk memudahkan perhitungan, beberapa rumus telah diturunkan. Mereka disebut rumus perkalian tereduksi dan cukup sering digunakan. Rumus ini membantu memfaktorkan polinomial yang mengandung pangkat. Ini adalah cara lain yang ampuh untuk memfaktorkan. Jadi inilah mereka:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - rumus, yang disebut "kuadrat dari jumlah", karena sebagai hasil dari ekspansi ke kuadrat, jumlah angka yang diapit dalam tanda kurung diambil, yaitu, nilai jumlah ini dikalikan dengan dirinya sendiri 2 kali, yang berarti itu adalah pengganda.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - rumus kuadrat selisihnya, mirip dengan yang sebelumnya. Hasilnya adalah perbedaan yang diapit dalam tanda kurung, yang terkandung dalam kekuatan kuadrat.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ini adalah rumus untuk selisih kuadrat, karena awalnya polinomial terdiri dari 2 kuadrat angka atau ekspresi di mana pengurangan dilakukan. Ini mungkin yang paling umum digunakan dari ketiganya.

Contoh untuk menghitung dengan rumus kuadrat

Perhitungan pada mereka dibuat cukup sederhana. Sebagai contoh:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - gunakan rumus "kuadrat jumlah".
2. 25x 2 adalah kuadrat dari 5x. 20xy adalah dua kali hasil kali 2*(5x*2y), dan 4y 2 adalah kuadrat dari 2y.
3. Jadi 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Polinomial ini didekomposisi menjadi 2 faktor (faktornya sama, sehingga ditulis sebagai ekspresi dengan pangkat dua).

Operasi sesuai dengan rumus kuadrat selisih dilakukan dengan cara yang sama. Yang tersisa adalah perbedaan rumus kuadrat. Contoh untuk rumus ini sangat mudah untuk diidentifikasi dan ditemukan di antara ekspresi lainnya. Sebagai contoh:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). Sejak 25a 2 \u003d (5a) 2, dan 400 \u003d 20 2
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). Sejak 36x 2 \u003d (6x) 2, dan 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). Karena 169b 2 = (13b) 2

Adalah penting bahwa setiap suku adalah kuadrat dari beberapa ekspresi. Kemudian polinomial ini difaktorkan dengan rumus selisih kuadrat. Untuk ini, tidak perlu kekuatan kedua di atas angka. Ada polinomial yang mengandung pangkat besar, tetapi masih cocok untuk rumus ini.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Dalam contoh ini, a 8 dapat direpresentasikan sebagai (a 4) 2 , yaitu kuadrat dari ekspresi tertentu. 25 adalah 5 2 dan 10a adalah 4 - ini adalah produk ganda dari istilah 2*a 4 *5. Artinya, ekspresi ini, meskipun ada derajat dengan eksponen besar, dapat didekomposisi menjadi 2 faktor untuk bekerja dengannya nanti.

Rumus kubus

Rumus yang sama ada untuk memfaktorkan polinomial yang mengandung kubus. Mereka sedikit lebih rumit daripada yang memiliki kotak:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- rumus ini disebut jumlah kubus, karena dalam bentuk awalnya polinomial adalah jumlah dari dua ekspresi atau angka yang dimasukkan ke dalam kubus.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) - rumus identik dengan yang sebelumnya dilambangkan sebagai perbedaan kubus.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - jumlah kubus, sebagai hasil perhitungan, jumlah angka atau ekspresi diperoleh, diapit dalam tanda kurung dan dikalikan dengan dirinya sendiri 3 kali, yaitu terletak di kubus
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - rumus, dikompilasi dengan analogi dengan yang sebelumnya dengan perubahan hanya pada beberapa tanda operasi matematika (plus dan minus), disebut "kubus perbedaan".

Dua rumus terakhir praktis tidak digunakan untuk tujuan memfaktorkan polinomial, karena mereka kompleks, dan sangat jarang menemukan polinomial yang sepenuhnya sesuai dengan struktur seperti itu sehingga mereka dapat diuraikan menurut rumus ini. Tetapi Anda masih perlu mengetahuinya, karena mereka akan diperlukan untuk tindakan dalam arah yang berlawanan - saat membuka tanda kurung.

Contoh rumus kubus

Pertimbangkan sebuah contoh: 64a 3 8b 3 = (4a) 3 (2b) 3 = (4a 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Kami telah mengambil bilangan prima yang cukup di sini, sehingga Anda dapat langsung melihat bahwa 64a 3 adalah (4a) 3 dan 8b 3 adalah (2b) 3 . Jadi, polinomial ini diperluas dengan rumus selisih kubus menjadi 2 faktor. Tindakan pada rumus jumlah kubus dilakukan dengan analogi.

Penting untuk dipahami bahwa tidak semua polinomial dapat didekomposisi setidaknya dengan salah satu cara. Tetapi ada ekspresi seperti itu yang mengandung kekuatan lebih besar dari bujur sangkar atau kubus, tetapi mereka juga dapat diperluas menjadi bentuk perkalian yang disingkat. Contoh: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 5x 4 y + 25y 2).

Contoh ini berisi sebanyak 12 derajat. Tetapi bahkan dapat difaktorkan menggunakan rumus jumlah pangkat tiga. Untuk melakukan ini, Anda perlu merepresentasikan x 12 sebagai (x 4) 3, yaitu, sebagai kubus dari beberapa ekspresi. Sekarang, alih-alih a, Anda harus menggantinya ke dalam rumus. Nah, ekspresi 125y 3 adalah pangkat tiga dari 5y. Langkah selanjutnya adalah menulis rumus dan melakukan perhitungan.

Pada awalnya, atau jika ragu, Anda selalu dapat memeriksa dengan perkalian terbalik. Anda hanya perlu membuka tanda kurung di ekspresi yang dihasilkan dan melakukan tindakan dengan istilah yang serupa. Metode ini berlaku untuk semua metode pengurangan yang terdaftar: baik untuk bekerja dengan faktor umum dan pengelompokan, dan untuk operasi pada rumus pangkat tiga dan kuadrat.

8 contoh faktorisasi polinomial diberikan. Mereka termasuk contoh penyelesaian persamaan kuadrat dan bikuadrat, contoh polinomial rekursif, dan contoh menemukan akar bilangan bulat dari polinomial derajat ketiga dan keempat.

1. Contoh dengan solusi persamaan kuadrat

Contoh 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Keputusan

Keluarkan x 2 untuk tanda kurung:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Akar persamaan:
, .

.

Menjawab

Contoh 1.2

Memfaktorkan polinomial derajat tiga:
x 3 + 6x2 + 9x.

Keputusan

Kami mengambil x dari tanda kurung:
.
Kami memecahkan persamaan kuadrat x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminannya adalah .
Karena diskriminan sama dengan nol, akar-akar persamaannya adalah kelipatan: ;
.

Dari sini kita memperoleh dekomposisi polinomial menjadi faktor-faktor:
.

Menjawab

Contoh 1.3

Memfaktorkan polinomial derajat lima:
x 5 - 2x4 + 10x3.

Keputusan

Keluarkan x 3 untuk tanda kurung:
.
Kami memecahkan persamaan kuadrat x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminannya adalah .
Karena diskriminan kurang dari nol, akar persamaannya kompleks: ;
, .

Faktorisasi polinomial berbentuk:
.

Jika kita tertarik untuk memfaktorkan dengan koefisien real, maka:
.

Menjawab

Contoh memfaktorkan polinomial menggunakan rumus

Contoh dengan polinomial biquadratic

Contoh 2.1

Faktorkan polinomial biquadratic:
x 4 + x 2 - 20.

Keputusan

Terapkan rumus:
sebuah 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
sebuah 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Menjawab

Contoh 2.2

Memfaktorkan polinomial yang direduksi menjadi biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Keputusan

Terapkan rumus:
sebuah 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
sebuah 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Menjawab

Contoh 2.3 dengan polinomial rekursif

Memfaktorkan polinomial rekursif:
.

Keputusan

Polinomial rekursif memiliki derajat ganjil. Oleh karena itu memiliki akar x = - 1 . Kami membagi polinomial dengan x - (-1) = x + 1. Hasilnya, kita mendapatkan:
.
Kami melakukan substitusi:
, ;
;


;
.

Menjawab

Contoh Pemfaktoran Polinomial dengan Akar Bilangan Bulat

Contoh 3.1

Memfaktorkan polinomial:
.

Keputusan

Misalkan persamaan

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Jadi, kami telah menemukan tiga akar:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Karena polinomial asli adalah dari tingkat ketiga, ia memiliki tidak lebih dari tiga akar. Karena kami telah menemukan tiga akar, mereka sederhana. Kemudian
.

Menjawab

Contoh 3.2

Memfaktorkan polinomial:
.

Keputusan

Misalkan persamaan

memiliki setidaknya satu akar bilangan bulat. Maka itu adalah pembagi dari bilangan tersebut 2 (anggota tanpa x ). Artinya, seluruh akar dapat menjadi salah satu angka:
-2, -1, 1, 2 .
Substitusikan nilai-nilai ini satu per satu:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
Jika kita berasumsi bahwa persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka itu adalah pembagi bilangan tersebut 2 (anggota tanpa x ). Artinya, seluruh akar dapat menjadi salah satu angka:
1, 2, -1, -2 .
Substitusi x = -1 :
.

Jadi kami telah menemukan akar lain x 2 = -1 . Mungkin saja, seperti dalam kasus sebelumnya, untuk membagi polinomial dengan , tetapi kita akan mengelompokkan suku-sukunya:
.

Karena persamaan x 2 + 2 = 0 tidak memiliki akar real, maka faktorisasi polinomial memiliki bentuk.

Kita sudah tahu bagaimana menggunakan sebagian faktorisasi perbedaan derajat - ketika mempelajari topik "Perbedaan Kuadrat" dan "Perbedaan Kubus", kami belajar untuk merepresentasikan sebagai produk perbedaan ekspresi yang dapat direpresentasikan sebagai kuadrat atau sebagai kubus dari beberapa ekspresi atau angka.

Rumus perkalian yang disingkat

Menurut rumus perkalian disingkat:

perbedaan kuadrat dapat direpresentasikan sebagai produk dari perbedaan dua angka atau ekspresi dengan jumlah mereka

Selisih kubus dapat dinyatakan sebagai hasil kali selisih dua bilangan dengan kuadrat jumlah yang tidak lengkap

Transisi ke perbedaan ekspresi dalam 4 kekuatan

Berdasarkan rumus selisih kuadrat, mari kita coba memfaktorkan ekspresi $a^4-b^4$

Ingat bagaimana pangkat dinaikkan menjadi pangkat - untuk ini, basisnya tetap sama, dan eksponennya dikalikan, yaitu $((a^n))^m=a^(n*m)$

Kemudian Anda dapat membayangkan:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

Jadi ekspresi kita dapat direpresentasikan sebagai $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

Sekarang di kurung pertama kita kembali mendapatkan selisih angka, yang berarti kita dapat memfaktorkan lagi sebagai produk dari selisih dua angka atau ekspresi dengan jumlah mereka: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$.

Sekarang kita menghitung hasil kali kurung kedua dan ketiga menggunakan aturan perkalian polinomial - kita mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menjumlahkan hasilnya. Untuk melakukannya, pertama kalikan suku pertama dari polinomial pertama - $a$ - dengan suku pertama dan kedua dari suku kedua (dengan $a^2$ dan $b^2$), mis. kita peroleh $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, lalu kita kalikan suku kedua dari polinomial pertama -$b$- dengan suku pertama dan kedua dari polinomial kedua (dengan $a^2$ dan $b^2$), itu. dapatkan $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ dan jumlahkan ekspresi yang dihasilkan

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Kami menulis perbedaan monomial tingkat ke-4, dengan mempertimbangkan produk yang dihitung:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\kanan)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Transisi ke perbedaan ekspresi dalam kekuatan ke-6

Berdasarkan rumus selisih kuadrat, mari kita coba memfaktorkan ekspresi $a^6-b^6$

Ingat bagaimana pangkat dinaikkan menjadi pangkat - untuk ini, basisnya tetap sama, dan eksponennya dikalikan, yaitu $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

Kemudian Anda dapat membayangkan:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

Jadi ekspresi kita dapat direpresentasikan sebagai $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$

Pada kurung pertama kita mendapatkan selisih pangkat tiga monomial, pada kurung kedua jumlah pangkat tiga monomial, sekarang kita dapat memfaktorkan lagi selisih pangkat tiga monomial sebagai hasil kali selisih dua bilangan dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlah tersebut $a^3-b^3=\left(a-b\kanan)( a^2+ab+b^2)$

Ekspresi aslinya mengambil bentuk

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

Kami menghitung produk dari kurung kedua dan ketiga menggunakan aturan untuk produk polinomial - kami mengalikan setiap suku dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menambahkan hasilnya.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Kami menulis perbedaan monomial tingkat ke-6, dengan mempertimbangkan produk yang dihitung:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Memfaktorkan selisih daya

Mari kita analisis rumus selisih kubus, selisih $4$ derajat, selisih $6$ derajat

Kami melihat bahwa dalam setiap ekspansi ini ada beberapa analogi, generalisasi yang kami dapatkan:

Contoh 1

Faktorkan $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

Keputusan: Pertama, kami mewakili setiap monomial sebagai beberapa monomial dengan pangkat 5:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

Kami menggunakan rumus perbedaan daya

Gambar 1.