20. Studi bertingkat tentang sudut polihedral, sifat-sifat sudut datar dari sudut trihedral dan sudut polihedral.

Sebuah tingkat dasar:

Atanasyan

Mempertimbangkan hanya sudut dihedral.

Pogorelov

Pertama mempertimbangkan sudut dihedral dan kemudian segera trihedral dan polihedral.

Perhatikan tiga sinar a, b, c, yang datang dari satu titik dan terletak pada bidang yang sama. Sudut segitiga (abc) adalah bangun datar yang terdiri dari tiga sudut datar (ab), (bc) dan (ac) (Gbr. 400). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut trihedral, dan sisi-sisinya disebut tepi. Sudut persekutuan dari sudut-sudut datar disebut sudut sudut trihedral. Sudut dihedral yang dibentuk oleh permukaan sudut trihedral disebut sudut dihedral dari sudut trihedral.

Konsep sudut polihedral diperkenalkan dengan cara yang sama (Gbr. 401).

gambar 400 dan gambar 401

P tingkat profil(A.D. Aleksndrov, A.L. Verner, V.I. Ryzhikh):

Meninggalkan definisi dan studi sudut polihedral sewenang-wenang ke 31, sekarang kita akan mempertimbangkan yang paling sederhana - sudut trihedral. Jika dalam stereometri sudut dihedral dapat dianggap sebagai analog dari sudut bidang, maka sudut trihedral dapat dianggap sebagai analog dari segitiga bidang, dan dalam paragraf berikut kita akan melihat bagaimana mereka secara alami terkait dengan segitiga bola.

Anda dapat membangun (dan karenanya secara konstruktif mendefinisikan) sudut trihedral sebagai berikut. Mari kita ambil tiga sinar a, b, c, yang memiliki asal O yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama (Gbr. 150). Sinar-sinar tersebut merupakan sisi-sisi dari tiga sudut bidang cembung: sudut dengan sisi b, c, sudut dengan sisi a, c, dan sudut dengan sisi a, b. Gabungan ketiga sudut ini , , disebut sudut trihedral Oabc (atau, singkatnya, sudut trihedral O). Sinar a, b, c disebut tepi sudut segitiga Oabc, dan sudut bidang , , disebut wajah. Titik O disebut titik sudut segitiga.

Catatan 3. Adalah mungkin untuk mendefinisikan sudut trihedral dengan permukaan tidak cembung (Gbr. 151), tetapi kita tidak akan mempertimbangkan sudut trihedral tersebut.

Untuk setiap tepi sudut trihedral, sudut dihedral yang sesuai ditentukan, sedemikian rupa sehingga tepinya berisi tepi yang sesuai dari sudut trihedral, dan yang wajahnya berisi wajah sudut trihedral yang berdekatan dengan tepi ini.

Nilai sudut dihedral dari sudut trihedral Oabc di tepi a, b, c masing-masing akan dilambangkan dengan a^, b^, c^ (huruf besar tepat di atas huruf).

Tiga wajah , , dari sudut segitiga Oabc dan tiga sudut dihedralnya di tepi a, b, c, serta nilai α, β, dan a^, b^, c^ akan menjadi disebut elemen sudut segitiga. (Ingatlah bahwa unsur-unsur segitiga datar adalah sisi-sisinya dan sudut-sudutnya.)

Tugas kita adalah mengekspresikan beberapa elemen dari sudut trihedral dalam hal elemen lainnya, yaitu, untuk membangun "trigonometri" dari sudut trihedral.

1) Mari kita mulai dengan derivasi analog dari teorema kosinus. Pertama, perhatikan sudut segitiga Oabc, yang memiliki setidaknya dua wajah, misalnya, dan adalah sudut lancip. Mari kita ambil titik C pada tepi c dan menggambar darinya, pada permukaan dan , tegak lurus CB dan CA ke tepi c sampai mereka berpotongan dengan tepi a dan b di titik A dan B (Gbr. 152). Kami menyatakan jarak AB dari segitiga OAB dan CAB menggunakan teorema kosinus.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) dan AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua, kita peroleh:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). Karena segitiga OSV dan OSA berbentuk persegi panjang, lalu AC 2 -AC 2 \u003d OS 2 dan OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

Oleh karena itu, dari (1) dan (2) diperoleh bahwa OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

itu.

Tetapi
,
,
,
. Jadi

(3) adalah analog dari teorema kosinus untuk sudut trihedral rumus kosinus.

Kedua sisi dan adalah sudut tumpul.

Salah satu sudut dan , misalnya , adalah lancip, dan yang lainnya -tumpul.

Setidaknya 1 dari sudut atau benar.

Tanda persamaan sudut segitiga sama dengan tanda-tanda persamaan segitiga. Tetapi ada perbedaan: misalnya, dua sudut trihedral adalah sama jika sudut dihedral mereka masing-masing sama. Ingatlah bahwa dua segitiga bidang yang sudut-sudutnya bersesuaian sama besar. Dan untuk sudut trihedral, kondisi serupa tidak mengarah pada kesamaan, tetapi pada kesetaraan.

Sudut trihedral memiliki sudut yang luar biasa Properti yang disebut dualitas. Jika dalam sembarang teorema pada sudut trihedral Oabc kita mengganti besaran a, b, c dengan -α, -β, -γ dan, sebaliknya, mengganti , , dengan π-a^, π-b^ , -c^, sekali lagi kita mendapatkan pernyataan yang benar tentang sudut trihedral, yang merupakan rangkap dari teorema aslinya. Benar, jika penggantian seperti itu dilakukan dalam teorema sinus, maka kita kembali ke teorema sinus (itu ganda dengan dirinya sendiri). Tetapi jika kita melakukan ini dalam teorema kosinus (3), maka kita mendapatkan rumus baru

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Mengapa dualitas seperti itu terjadi akan menjadi jelas jika, untuk sudut trihedral, kita membangun sudut trihedral gandanya, yang ujung-ujungnya tegak lurus dengan permukaan sudut aslinya (lihat Bagian 33.3 dan Gambar 356).

Beberapa permukaan yang paling sederhana adalah sudut polihedral. Mereka terdiri dari sudut-sudut biasa (sekarang kita akan sering menyebut sudut-sudut seperti itu sebagai sudut datar), seperti halnya garis putus-putus tertutup yang terdiri dari segmen-segmen. Yaitu, definisi berikut diberikan:

Sudut polihedral adalah bangun datar yang dibentuk oleh sudut-sudut datar sehingga memenuhi syarat-syarat berikut:

1) Tidak ada dua sudut yang memiliki titik-titik persekutuan selain titik-titik persekutuan atau seluruh sisinya.

2) Masing-masing sudut ini memiliki sisi yang sama dengan satu dan hanya satu sudut lainnya.

3) Dari setiap sudut ke setiap sudut, Anda dapat menelusuri sudut-sudut yang memiliki sisi yang sama.

4) Tidak ada dua sudut dengan sisi yang sama terletak pada bidang yang sama (Gbr. 324).

Dalam kondisi ini, sudut-sudut bidang yang membentuk sudut polihedral disebut sisinya, dan sisi-sisinya disebut tepinya.

Sudut dihedral juga cocok dengan definisi ini. Itu terdiri dari dua sudut datar yang dikembangkan. Setiap titik pada tepinya dapat dianggap sebagai simpulnya, dan titik ini membagi tepi menjadi dua tepi yang konvergen pada simpul tersebut. Tetapi mengingat ketidakpastian posisi simpul ini, sudut dihedral dikeluarkan dari jumlah sudut polihedral.

P

konsep sudut polihedral penting, khususnya, dalam studi polihedra - dalam teori polihedra. Struktur polihedron dicirikan oleh komposisi wajah apa dan bagaimana mereka bertemu di simpul, yaitu, jenis sudut polihedral apa yang ada.

Pertimbangkan sudut polihedral dari polihedral yang berbeda.

Perhatikan bahwa permukaan sudut polihedral juga dapat berupa sudut tidak cembung.

1 Tanggal05.09.14

Geometri Subjek

Kelas 11

Topik pelajaran: Konsep sudut polihedral. sudut segitiga.

Tujuan Pelajaran:

memperkenalkan konsep: "sudut trihedral", "sudut polihedral", "polihedron";

untuk memperkenalkan siswa dengan elemen-elemen sudut trihedral dan polihedral, polihedron, serta definisi sudut polihedral cembung dan sifat-sifat sudut datar dari sudut polihedral;

untuk terus mengembangkan representasi spasial dan imajinasi spasial, serta pemikiran logis siswa.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi.

Menyapa siswa, memeriksa kesiapan kelas untuk pelajaran, mengatur perhatian siswa, mengungkapkan tujuan umum pelajaran dan rencananya.

2. Pembentukan konsep dan metode tindakan baru.

Tugas: Untuk memastikan persepsi, pemahaman dan menghafal materi yang dipelajari oleh siswa. Untuk memastikan bahwa siswa menguasai metodologi untuk mereproduksi materi yang dipelajari, untuk mempromosikan pemahaman filosofis tentang konsep, hukum, aturan, formula yang diasimilasi. Untuk membangun kebenaran dan kesadaran materi yang dipelajari oleh siswa, untuk mengidentifikasi kesenjangan dalam pemahaman utama, untuk melakukan koreksi. Untuk memastikan bahwa siswa menghubungkan pengalaman subjektif mereka dengan tanda-tanda pengetahuan ilmiah.

Biarkan tiga sinar diberikansebuah, b dans titik awal yang samaHAI (Gbr. 1.1). Ketiga sinar ini tidak selalu terletak pada bidang yang sama. Pada gambar 1.2, sinarb dandengan berbaring di pesawatR, sinarsebuah tidak terletak di pesawat ini.

sinarsebuah, b dandengan pasangan menentukan tiga sudut datar yang dibedakan oleh busur (Gbr. 1.3).

Perhatikan gambar yang terdiri dari tiga sudut yang ditunjukkan di atas dan bagian ruang yang dibatasi oleh sudut datar ini. Angka spasial ini disebutsudut segitiga (Gbr. 2).

sinarsebuah, b dan dengan ditelepontepi sudut segitiga, dan sudut: = AOC, = AOB,

= Dewan Komisaris , membatasi sudut trihedral, - itswajah. Sudut-sudut ini membentukpermukaan trihedral. DotHAI ditelepontitik sudut segitiga. Sebuah sudut trihedral dapat dilambangkan sebagai berikut: OABC

Setelah memeriksa dengan cermat semua sudut polihedral yang ditunjukkan pada Gambar 3, kita dapat menyimpulkan bahwa masing-masing sudut polihedral memiliki jumlah tepi dan permukaan yang sama:

4 wajah dan satu simpul;

sudut lima sisi memiliki 5 tepi, 5 wajah dan satu simpul;

• 
  sudut heksagonal memiliki 6 tepi, 6 wajah dan satu simpul, dll.

Sudut polihedral adalah cembung dan tidak cembung.

Bayangkan bahwa kita mengambil empat sinar dengan asal yang sama, seperti pada Gambar 4. Dalam hal ini, kita dapatkansudut polihedral tidak cembung.

Definisi 1. Sudut polihedral disebut sudut cembung,jika diaterletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya.

Dengan kata lain, sudut polihedral cembung selalu dapat ditempatkan oleh salah satu wajahnya pada suatu bidang. Anda dapat melihat bahwa dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 4, ini tidak selalu memungkinkan. Sudut tetrahedral yang ditunjukkan pada Gambar 4 tidak cembung.

Perhatikan bahwa dalam tutorial kami, jika kami mengatakan "sudut polihedral", yang kami maksud adalah cembung. Jika sudut polihedral yang dipertimbangkan tidak cembung, ini akan dibahas secara terpisah.

Sifat Sudut Bidang dari Sudut Polihedral

Teorema 1.Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.

Teorema 2.Jumlah nilai semua sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360°.

3. Aplikasi. Pembentukan keterampilan dan kemampuan.

Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa menerapkan pengetahuan dan metode tindakan yang mereka butuhkan untuk SW, untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk mengidentifikasi cara individu menerapkan apa yang telah mereka pelajari.

6. Tahap informasi tentang pekerjaan rumah.

Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa memahami tujuan, isi dan metode mengerjakan pekerjaan rumah.

1(1.1, 1.2) hal.4, no.9.

7. Menyimpulkan pelajaran.

Tujuan: Untuk memberikan penilaian kualitatif terhadap pekerjaan siswa kelas dan individu.

8. Tahap refleksi.

Tugas: Untuk memulai refleksi siswa pada penilaian diri dari kegiatan mereka. Untuk memastikan bahwa siswa mempelajari prinsip-prinsip pengaturan diri dan kerjasama.

Percakapan di:

Apa yang menurut Anda menarik dalam pelajaran?

Apa yang tidak jelas?

Apa yang harus diperhatikan guru dalam pelajaran selanjutnya?

Bagaimana Anda menilai pekerjaan Anda di kelas?

sudut segitiga

sudut segitiga.

sudut segitiga- ini adalah bagian dari ruang yang dibatasi oleh tiga sudut datar dengan titik yang sama dan sisi yang sama berpasangan yang tidak terletak pada bidang yang sama. Titik persekutuan O dari sudut-sudut ini disebut titik sudut segitiga. Sisi sudut disebut tepi, sudut datar di titik sudut segitiga disebut wajah. Masing-masing dari tiga pasang wajah sudut trihedral membentuk sudut dihedral (dibatasi oleh wajah ketiga yang tidak termasuk dalam pasangan; jika perlu, pembatasan ini dihilangkan secara alami, menghasilkan setengah bidang yang diperlukan yang membentuk seluruh dihedral. sudut tanpa batasan). Jika Anda menempatkan titik sudut segitiga di tengah bola, sebuah segitiga bola yang dibatasi olehnya terbentuk di permukaannya, yang sisi-sisinya sama dengan sudut bidang dari sudut segitiga, dan sudut-sudut pada sudut dihedralnya .

Pertidaksamaan segitiga untuk sudut segitiga

Setiap sudut datar dari suatu sudut trihedral lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.

Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga

Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga kurang dari 360 derajat.

Bukti

Biarkan OABC menjadi sudut trihedral yang diberikan. Perhatikan sudut segitiga dengan titik sudut A yang dibentuk oleh permukaan ABO, ACO dan sudut BAC. Mari kita tulis pertidaksamaannya:

Demikian pula, untuk sudut trihedral yang tersisa dengan simpul B dan C:

Menambahkan pertidaksamaan ini dan dengan mempertimbangkan bahwa jumlah sudut segitiga ABC adalah 180°, kita peroleh

Karena itu:

Teorema kosinus untuk sudut segitiga

Teorema kosinus pertama untuk sudut trihedral

Teorema cosinus kedua untuk sudut trihedral
di mana , , adalah sudut-sudut bidang, A, B, C adalah sudut-sudut dihedral yang disusun oleh bidang-bidang sudut dan , dan , dan .

Bukti Teorema Cosinus Kedua untuk sudut trihedral

Biarkan OABC menjadi sudut trihedral yang diberikan. Mari kita turunkan tegak lurus dari titik interior sudut trihedral ke wajahnya dan mendapatkan sudut trihedral kutub baru (dua dari yang diberikan). Sudut datar dari satu sudut trihedral melengkapi sudut dihedral yang lain, dan sudut dihedral dari satu sudut melengkapi sudut datar lainnya hingga 180 derajat. Itu. sudut bidang sudut kutub masing-masing sama dengan: 180 - A; 180 - B; 180 - C, dan dihedral - 180 - ; 180-β; 180-γ

Mari kita tulis teorema kosinus pertama untuk itu

dan setelah penyederhanaan kita mendapatkan:

Teorema sinus untuk sudut segitiga

Dimana , , adalah sudut bidang dari sudut trihedral; A, B, C - sudut dihedral yang berlawanan.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa itu "Sudut segitiga" di kamus lain:

Bagian dari ruang yang dibatasi oleh piramida segitiga tak terbatas (lihat gambar). Wajah piramida ini disebut wajah T. u., puncaknya adalah puncak T. u. Tulang rusuk membentuk ... ... Ensiklopedia Besar Soviet

sudut segitiga- Sosok spasial yang dibentuk oleh tiga sinar yang memancar dari satu titik dan tidak terletak pada bidang yang sama. Topik teknik secara umum… Buku Pegangan Penerjemah Teknis

Lihat sudut padat. * * * SUDUT TRIHEDRAL SUDUT TRIHEDRAL, lihat Sudut solid (lihat Sudut solid) … kamus ensiklopedis kamus ensiklopedis

Bagian dari ruang yang dibatasi oleh segerombolan kerucut tertentu. permukaan (Gbr. 1); khususnya, sudut trihedral (Gbr. 2) dan polihedral (Gbr. 3) masing-masing dibatasi. tiga dan lebih wajah datar konvergen di bagian atas T. di. Nilai T. pada. sama dengan hubungan ... ... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis

bersegi tiga- oh, oh. 1) Memiliki tiga wajah. Berkas segitiga. bayonet T. 2) matematika. Dibentuk oleh perpotongan tiga muka yang melalui satu titik. Sudut segitiga / nny ... Kamus banyak ekspresi

Sebuah segitiga bola siku-siku dengan sisi miring c, kaki a dan b dan sudut siku-siku C. Teorema Pythagoras bola adalah teorema yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi persegi panjang ... Wikipedia

Dengan simpul persekutuan dan sisi persekutuan berpasangan yang tidak terletak pada bidang yang sama. Titik persekutuan O dari sudut-sudut ini disebut titik sudut segitiga. Sisi sudut disebut tepi, sudut datar di titik sudut segitiga disebut wajah. Masing-masing dari tiga pasang wajah sudut trihedral membentuk sudut dihedral (dibatasi oleh wajah ketiga yang tidak termasuk dalam pasangan; jika perlu, pembatasan ini dihilangkan secara alami, menghasilkan setengah bidang yang diperlukan yang membentuk seluruh dihedral. sudut tanpa batasan). Jika kita menempatkan titik sudut segitiga di tengah bola, sebuah segitiga bola yang dibatasi olehnya terbentuk di permukaannya, yang sisi-sisinya sama dengan sudut bidang sudut segitiga, dan sudut-sudut pada sudut dihedralnya. .

Pertidaksamaan segitiga untuk sudut segitiga

Setiap sudut datar dari suatu sudut trihedral lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.

Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga

Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga kurang dari 360 derajat.

Bukti

Biarkan OABC menjadi sudut trihedral tertentu (lihat Gambar. 1). Perhatikan sudut segitiga dengan titik sudut A yang dibentuk oleh permukaan ABO, ACO dan sudut BAC. Mari kita tulis pertidaksamaannya:

Demikian pula, untuk sudut trihedral yang tersisa dengan simpul B dan C:

Menambahkan pertidaksamaan ini dan dengan mempertimbangkan bahwa jumlah sudut segitiga ABC adalah 180°, kita peroleh

Karena itu:

Teorema kosinus untuk sudut segitiga

Misalkan sudut trihedral diberikan (lihat Gambar 2), α, , - sudut datarnya, A, B, C - sudut dihedral yang disusun oleh bidang sudut dan , dan , dan .

Teorema kosinus pertama untuk sudut trihedral: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

Teorema kosinus kedua untuk sudut trihedral: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

Bukti Teorema Cosinus Kedua untuk Sudut Trihedral

Biarkan OABC menjadi sudut trihedral yang diberikan. Mari kita turunkan tegak lurus dari titik interior sudut trihedral ke wajahnya dan mendapatkan sudut trihedral kutub baru (dua dari yang diberikan). Sudut datar dari satu sudut trihedral melengkapi sudut dihedral yang lain, dan sudut dihedral dari satu sudut melengkapi sudut datar lainnya hingga 180 derajat. Artinya, sudut bidang sudut kutub masing-masing sama: 180 - A; 180 - B; 180 - C, dan dihedral - 180 - ; 180-β; 180-γ

Mari kita tulis teorema kosinus pertama untuk itu

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

dan setelah penyederhanaan kita mendapatkan:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Teorema sinus untuk sudut segitiga

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, di mana , , adalah sudut bidang dari sudut trihedral; A, B, C - sudut dihedral yang berlawanan (lihat Gambar 2).

Lihat juga

Tulis ulasan pada artikel "Sudut trihedral"

Kutipan yang mencirikan sudut trihedral

- Tanam. Duduklah sayang, duduklah. Pakai mantelmu, Antonov.
Juncker adalah Rostov. Dia memegang yang lain dengan satu tangan, pucat, dan rahang bawahnya gemetar karena demam. Mereka menempatkannya di Matvevna, di pistol tempat perwira yang mati itu dibaringkan. Ada darah di mantel berjajar, di mana celana dan tangan Rostov kotor.
- Apa, kamu terluka, sayangku? - kata Tushin, mendekati pistol tempat Rostov duduk.
- Tidak, kaget.
- Mengapa ada darah di tempat tidur? tanya Tushin.
"Ini seorang perwira, Yang Mulia, dia berdarah," jawab prajurit artileri, menyeka darah dengan lengan mantelnya dan seolah-olah meminta maaf atas ketidakmurnian di mana pistol itu berada.
Dengan paksa, dengan bantuan infanteri, mereka mengambil senjata ke atas gunung, dan setelah mencapai desa Guntersdorf, mereka berhenti. Hari sudah sangat gelap sehingga dengan sepuluh langkah tidak mungkin untuk membedakan seragam para prajurit, dan pertempuran mulai mereda. Tiba-tiba, di dekat sisi kanan, teriakan dan tembakan terdengar lagi. Dari bidikan sudah bersinar dalam gelap. Ini adalah serangan terakhir Prancis, yang dijawab oleh tentara yang menetap di rumah-rumah desa. Sekali lagi semuanya bergegas keluar dari desa, tetapi senjata Tushin tidak bisa bergerak, dan penembak, Tushin dan kadet, saling memandang diam-diam, menunggu nasib mereka. Baku tembak mulai mereda, dan tentara yang bersemangat keluar dari sisi jalan.
- Tsel, Petrov? salah satu bertanya.
- Ditanya, saudara, panas. Sekarang mereka tidak akan muncul, kata yang lain.
- Tidak ada yang bisa dilihat. Bagaimana mereka menggorengnya! tidak terlihat; kegelapan, saudara-saudara. Apakah ada minuman?
Prancis dipukul mundur untuk terakhir kalinya. Dan lagi, dalam kegelapan total, senjata Tushin, seolah-olah dikelilingi oleh kerangka infanteri yang mengaum, bergerak ke suatu tempat ke depan.
Dalam kegelapan, seolah-olah sungai suram yang tak terlihat mengalir, semua dalam satu arah, bersenandung dengan bisikan, suara dan suara kuku dan roda. Dalam gemuruh umum, karena semua suara lainnya, erangan dan suara orang-orang yang terluka dalam kegelapan malam paling jelas dari semuanya. Erangan mereka sepertinya memenuhi semua kegelapan yang mengelilingi pasukan ini. Erangan mereka dan kegelapan malam itu adalah satu dan sama. Setelah beberapa saat, ada keributan di kerumunan yang bergerak. Seseorang mengendarai dengan pengiring kuda putih dan mengatakan sesuatu saat mengemudi. Apa katamu? dimana sekarang? Tetap, apa? Terima kasih, kan? - Pertanyaan serakah terdengar dari semua sisi, dan seluruh massa yang bergerak mulai menekan dirinya sendiri (jelas bahwa yang depan berhenti), dan desas-desus menyebar bahwa mereka diperintahkan untuk berhenti. Semua orang berhenti saat mereka berjalan, di tengah jalan berlumpur.
Lampu menyala dan suaranya menjadi lebih keras. Kapten Tushin, setelah memberi perintah kepada kompi, mengirim salah satu prajurit untuk mencari ruang ganti atau dokter untuk kadet, dan duduk di dekat api yang diletakkan di jalan oleh para prajurit. Rostov juga menyeret dirinya ke dalam api. Demam menggigil karena rasa sakit, dingin dan lembab mengguncang seluruh tubuhnya. Tidur tak tertahankan mendorongnya, tetapi dia tidak bisa tidur karena rasa sakit yang luar biasa di lengannya yang sakit dan keluar dari posisi. Dia menutup matanya, atau melihat ke api, yang baginya tampak sangat merah, lalu pada sosok Tushin yang bungkuk dan lemah, yang duduk di sampingnya dengan gaya Turki. Mata Tushin yang besar, baik, dan cerdas mengarahkannya dengan simpati dan kasih sayang. Dia melihat bahwa Tushin menginginkan dengan sepenuh hati dan tidak dapat membantunya dengan cara apa pun.

Mari kita perhatikan tiga sinar a, b, c, yang memancar dari titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama. Sudut trihedral (abc) adalah bangun datar yang terdiri dari "tiga sudut datar (ab), (bc) dan (ac) (Gbr. 2). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut trihedral, dan sisi-sisinya adalah tepi, sudut simpul persekutuan dari sudut-sudut datar disebut Sudut dihedral yang dibentuk oleh muka-muka sudut segitiga disebut sudut dihedral dari sudut trihedral.

Konsep sudut polihedral didefinisikan dengan cara yang sama (Gbr. 3).

polihedron

Dalam stereometri, sosok di ruang angkasa, yang disebut benda, dipelajari. Secara visual, tubuh (geometris) harus dibayangkan sebagai bagian dari ruang yang ditempati oleh tubuh fisik dan dibatasi oleh permukaan.

Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar (Gbr. 4). Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron cembung disebut wajah. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpulnya disebut simpul polihedron.

Mari kita jelaskan apa yang dikatakan pada contoh kubus yang sudah dikenal (Gbr. 5). Kubus adalah polihedron cembung. Permukaannya terdiri dari enam kotak: ABCD, BEFC, .... Mereka adalah wajahnya. Sisi-sisi kubus adalah sisi-sisi persegi berikut: AB, BC, BE, .... Simpul kubus adalah simpul bujur sangkar: A, B, C, D, E, .... Kubus memiliki enam wajah, dua belas tepi dan delapan simpul.

Polihedra paling sederhana - prisma dan piramida, yang akan menjadi objek utama penelitian kami - kami akan memberikan definisi yang, pada dasarnya, tidak menggunakan konsep benda. Mereka akan didefinisikan sebagai figur geometris dengan indikasi semua titik ruang milik mereka. Konsep tubuh geometris dan permukaannya dalam kasus umum akan diberikan nanti.