Pertimbangkan sebuah bidang Q dalam ruang.Posisinya sepenuhnya ditentukan dengan menentukan vektor N tegak lurus terhadap bidang ini dan beberapa titik tetap yang terletak pada bidang Q. Vektor N yang tegak lurus bidang Q disebut vektor normal bidang ini. Jika kita menyatakan dengan A, B dan C proyeksi dari vektor normal N, maka

Mari kita turunkan persamaan bidang Q yang melalui titik tertentu dan memiliki vektor normal yang diberikan . Untuk melakukan ini, pertimbangkan sebuah vektor yang menghubungkan sebuah titik dengan titik sembarang pada bidang Q (Gbr. 81).

Untuk sembarang posisi titik M pada bidang Q, vektor MXM tegak lurus terhadap vektor normal N bidang Q. Oleh karena itu, hasil kali skalar Mari kita tulis produk skalar dalam bentuk proyeksi. Karena , dan vektor , maka

dan karenanya

Kami telah menunjukkan bahwa koordinat setiap titik pada bidang Q memenuhi persamaan (4). Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat titik-titik yang tidak terletak pada bidang Q tidak memenuhi persamaan ini (dalam kasus terakhir, ). Oleh karena itu, kita telah memperoleh persamaan yang diperlukan untuk bidang Q. Persamaan (4) disebut persamaan bidang yang melalui titik tertentu. Ini adalah derajat pertama relatif terhadap koordinat saat ini

Jadi, kami telah menunjukkan bahwa setiap bidang sesuai dengan persamaan derajat pertama sehubungan dengan koordinat saat ini.

Contoh 1. Tulis persamaan bidang yang melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap vektor.

Keputusan. Di Sini . Berdasarkan rumus (4), kita peroleh

atau, setelah penyederhanaan,

Dengan memberikan koefisien A, B dan C dari persamaan (4) nilai yang berbeda, kita dapat memperoleh persamaan untuk setiap bidang yang melalui titik . Himpunan bidang yang melalui suatu titik tertentu disebut sekumpulan bidang. Persamaan (4), di mana koefisien A, B dan C dapat mengambil nilai apa pun, disebut persamaan kumpulan bidang.

Contoh 2. Tulis persamaan untuk bidang yang melalui tiga titik, (Gbr. 82).

Keputusan. Mari kita tulis persamaan untuk sekumpulan bidang yang melalui sebuah titik

adalah persamaan umum bidang dalam ruang

Vektor bidang normal

Vektor normal suatu bidang adalah vektor tak nol yang ortogonal terhadap setiap vektor yang terletak pada bidang tersebut.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik dengan vektor normal yang diberikan

adalah persamaan bidang yang melalui titik M0 dengan vektor normal yang diberikan

Vektor arah pesawat

Dua buah vektor tak segaris sejajar bidang disebut vektor arah bidang

Persamaan bidang parametrik

– persamaan parametrik bidang dalam bentuk vektor

adalah persamaan parametrik bidang dalam koordinat

Persamaan bidang melalui suatu titik tertentu dan vektor dua arah

-titik pasti

hanya sebuah titik lol

koplanar, jadi hasil kali campurannya adalah 0.

Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu

– persamaan bidang melalui tiga titik

Persamaan bidang dalam segmen

- persamaan bidang dalam segmen

Bukti

Untuk membuktikannya, kami menggunakan fakta bahwa pesawat kami melewati A, B, C, dan vektor normal

Mari kita substitusikan koordinat titik dan vektor n ke dalam persamaan bidang dengan vektor normal

Bagi semuanya dengan dan dapatkan

Begitu seterusnya.

Persamaan bidang normal

adalah sudut antara sapi dan vektor normal terhadap bidang, yang keluar dari O.

adalah sudut antara oy dan vektor normal terhadap bidang, keluar dari O.

adalah sudut antara oz dan vektor normal ke bidang, keluar dari O.

adalah jarak dari titik asal koordinat ke bidang.

Bukti atau omong kosong semacam itu

Tandanya berlawanan D.

Demikian pula untuk cosinus lainnya. Akhir.

Jarak dari titik ke bidang

Titik S, bidang

adalah jarak orientasi dari titik S ke bidang

Jika , maka S dan O terletak pada sisi bidang yang berlawanan

Jika , maka S dan O terletak pada sisi yang sama

Kalikan dengan n

Susunan bersama dua garis dalam ruang

Sudut antar bidang

Pada perpotongan tersebut terbentuk dua pasang sudut dihedral vertikal, yang terkecil disebut sudut antar bidang

Garis lurus dalam ruang

Sebuah garis dalam ruang dapat diberikan sebagai

Persimpangan dua pesawat:

Persamaan parametrik garis lurus

- persamaan parametrik garis lurus dalam bentuk vektor

adalah persamaan parametrik garis lurus dalam koordinat

Persamaan Kanonik

adalah persamaan kanonik garis lurus.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu

– persamaan kanonik garis lurus dalam bentuk vektor;

Susunan bersama dua garis dalam ruang

Susunan timbal balik antara garis lurus dan bidang dalam ruang

Sudut antara garis dan bidang

Jarak titik ke garis dalam ruang

a adalah vektor arah garis lurus kita.

adalah titik sewenang-wenang milik garis yang diberikan

- titik yang kita cari jaraknya.

Jarak antara dua garis yang berpotongan

Jarak antara dua garis sejajar

M1 - titik milik baris pertama

M2 adalah titik milik garis kedua

Kurva dan permukaan orde kedua

Elips adalah himpunan titik-titik pada bidang datar, jumlah jarak dari dua titik tertentu (fokus) adalah nilai konstan.

Persamaan kanonik dari elips

Mari kita ganti dengan

Dibagi dengan

Properti Elips

Persimpangan dengan sumbu koordinat

Simetri tentang

1. Asal usul

Elips adalah kurva yang terletak di bagian terbatas dari sebuah pesawat

Elips dapat diperoleh dari lingkaran dengan meregangkan atau meremasnya

Persamaan parametrik elips:

- direktur

Hiperbola

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada bidang yang modulus perbedaan jaraknya ke 2 titik tertentu (fokus) adalah nilai konstan (2a)

Kami melakukan semuanya sama seperti dengan elips, kami dapatkan

Ubah dengan

Dibagi dengan

Sifat-sifat hiperbola

;

- direktur

asimtot

Asimtot adalah garis lurus yang mendekati kurva tanpa batas, surut hingga tak terhingga.

Parabola

properti parabot

Hubungan antara elips, hiperbola, dan parabola.

Hubungan antara kurva ini memiliki penjelasan aljabar: semuanya diberikan oleh persamaan derajat kedua. Dalam sistem koordinat apa pun, persamaan kurva ini memiliki bentuk: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, di mana a, b, c, d, e, f adalah bilangan

Mengubah Sistem Koordinat Kartesius Persegi Panjang

Terjemahan paralel dari sistem koordinat

–O' dalam sistem koordinat lama

– koordinat titik dalam sistem koordinat lama

– koordinat titik dalam sistem koordinat baru

Koordinat titik dalam sistem koordinat baru.

Putar dalam Sistem Koordinat Cartesian

– sistem koordinat baru

Matriks transisi dari basis lama ke basis baru

- (di bawah kolom pertama Saya’ , di bawah detik j’ ) matriks transisi dari basis Saya,j menjadi dasar Saya’ ,j’

Kasus umum

1 pilihan

1. Rotasi sistem koordinat

pilihan 2

1. Rotasi sistem koordinat

   Terjemahan paralel dari asalnya

Persamaan umum garis orde kedua dan reduksinya ke bentuk kanonik

adalah bentuk umum dari persamaan kurva orde kedua

Klasifikasi kurva orde kedua

Elipsoida

Penampang melintang dari ellipsoid

- elips

- elips

Elipsoid revolusi

Ellipsoid revolusi adalah spheroid oblate atau prolate, tergantung pada apa yang kita putar.

Hiperboloid satu pita

Bagian dari hiperboloid satu jalur

– hiperbola dengan sumbu nyata oy

adalah hiperbola dengan sumbu x nyata

Ternyata elips untuk setiap h. Begitu seterusnya.

Hiperboloid revolusi jalur tunggal

Sebuah hiperboloid satu-lembar revolusi dapat diperoleh dengan memutar hiperbola di sekitar sumbu imajinernya.

Hiperboloid dua lembar

Bagian dari hiperboloid dua-lembar

- hiperbola dengan tindakan. sumbuoz

adalah hiperbola dengan sumbu nyata oz

Kerucut

- sepasang garis berpotongan

- sepasang garis berpotongan

Parabola berbentuk elips

- parabola

- parabola

Rotasi

Jika , maka paraboloid elips adalah permukaan revolusi yang dibentuk oleh rotasi parabola terhadap sumbu simetrinya.

Paraboloid hiperbolik

Parabola

- parabola

h>0 hiperbola dengan sumbu nyata sejajar dengan x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Di bawah silinder yang kami maksud adalah permukaan yang akan diperoleh ketika garis lurus bergerak dalam ruang, yang tidak berubah arahnya, jika garis lurus bergerak relatif terhadap oz, maka persamaan silinder adalah persamaan penampang bidang senang.

Silinder elips

silinder hiperbolik

silinder parabola

Generator bujursangkar dari permukaan orde kedua

Garis-garis yang terletak sepenuhnya di permukaan disebut generator bujursangkar dari permukaan.

Permukaan revolusi

Persetan kamu lol

Menampilkan

dengan menampilkan Sebut saja aturan yang menurutnya setiap elemen himpunan A dikaitkan dengan satu atau lebih elemen himpunan B. Jika masing-masing diberi satu elemen dari himpunan B, maka pemetaannya disebut jelas, sebaliknya ambigu.

Transformasi himpunan disebut pemetaan satu-satu dari himpunan ke dirinya sendiri

Injeksi

Injeksi atau pemetaan satu-ke-satu dari himpunan A ke himpunan B

(elemen yang berbeda dari a sesuai dengan elemen yang berbeda dari B) misalnya y=x^2

surjeksi

Surjeksi atau pemetaan himpunan A ke himpunan B

Untuk setiap B, setidaknya ada satu A (misalnya, sinus)

Setiap elemen himpunan B hanya sesuai dengan satu elemen himpunan A. (misalnya, y=x)

Pada artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan normal pesawat. Mari kita berikan contoh membangun persamaan normal bidang menurut sudut kemiringan vektor normal bidang dari sumbu Sapi, Oy, Ozo dan berdasarkan jarak r dari asal ke pesawat. Mari kita sajikan metode untuk mereduksi persamaan umum garis lurus ke bentuk normal. Pertimbangkan contoh numerik.

Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian diberikan dalam ruang. Kemudian persamaan normal bidang Ω diwakili oleh rumus berikut:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

di mana r jarak dari asal ke pesawat Ω , sebuah α,β,γ adalah sudut antara vektor satuan n, ortogonal terhadap bidang Ω dan sumbu koordinat Sapi, Oy, Ozo, masing-masing (Gbr.1). (Jika sebuah r>0, maka vektor n diarahkan ke pesawat Ω , jika bidang melewati titik asal, maka arah vektor n dipilih secara sewenang-wenang).

Kami menurunkan rumus (1). Biarkan sistem koordinat persegi panjang Cartesian dan bidang diberikan dalam ruang Ω (Gbr.1). Tarik garis melalui titik asal Q, tegak lurus bidang Ω , dan titik potong dilambangkan dengan R. Pada baris ini, kami memilih vektor satuan n, dengan arah yang bertepatan dengan vektor . (Jika titik-titik HAI dan R cocok, lalu arahnya n dapat diambil sewenang-wenang).

Kami mengungkapkan persamaan pesawat Ω melalui parameter berikut: panjang segmen dan sudut kemiringan α, β, γ antara vektor n dan kapak Sapi, Oy, Ozo, masing-masing.

Karena vektor n adalah vektor satuan, maka proyeksinya ke Sapi, Oy, Ozo akan memiliki koordinat berikut:

Hasil kali titik dari vektor n dan memiliki bentuk sebagai berikut:

Mengingat bahwa n={cosα, cos, cosγ}, , kita akan mendapatkan:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Kami telah memperoleh persamaan normal pesawat Ω . Persamaan (7) (atau (1)) disebut juga persamaan bidang ternormalisasi. vektor n ditelepon vektor normal pesawat.

Seperti disebutkan di atas, nomor r pada persamaan (1) menunjukkan jarak pesawat dari titik asal. Oleh karena itu, dengan persamaan normal bidang, mudah untuk menentukan jarak bidang dari titik asal. Untuk memeriksa apakah persamaan bidang yang diberikan adalah persamaan dalam bentuk normal, Anda perlu memeriksa panjang vektor normal bidang ini dan tanda bilangan r, yaitu jika | n=1 dan r>0, maka persamaan ini merupakan persamaan normal (dinormalisasi) bidang.

Contoh 1. Diberikan persamaan bidang berikut:

Tentukan panjang vektor n:

Karena persamaan (1) dan (8) harus menentukan garis lurus yang sama (Proposisi 2 artikel "Persamaan Umum bidang"), maka ada angka seperti itu t, Apa

Sederhanakan ekspresi dan temukan t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Penyebut pada (11) berbeda dengan nol, karena setidaknya salah satu koefisien A, B, C tidak sama dengan nol (jika tidak (8) tidak akan mewakili persamaan garis lurus).

Cari tahu apa tandanya? t. Mari kita perhatikan persamaan keempat dalam (9). Sebagai r adalah jarak dari titik asal ke bidang, maka r 0. Kemudian produk tD harus memiliki tanda negatif. Itu. tanda t pada (11) harus berlawanan dengan tanda D.

Substitusi ke (1) bukannya cos, cos, cos dan r nilai dari (9), kita dapatkan tAx+tBy+tCz+tD=0. Itu. untuk membawa persamaan umum bidang ke bentuk normal, Anda perlu mengalikan persamaan yang diberikan dengan faktor (11). Faktor (11) disebut faktor normalisasi.

Contoh 2. Persamaan umum bidang diberikan

Sebagai D>0, lalu tanda tangani t negatif:

Perhatikan bahwa angka adalah jarak dari titik asal ke garis lurus (12).

Posisi bidang dalam ruang akan ditentukan sepenuhnya jika kita mengatur jaraknya dari titik asal O, yaitu panjang OT tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke bidang, dan vektor satuan n° tegak lurus bidang. dan diarahkan dari titik asal O ke bidang (Gbr. 110).

Ketika titik M bergerak sepanjang bidang, maka vektor jari-jarinya berubah sehingga selalu terikat oleh suatu kondisi. Mari kita lihat apa kondisi ini. Jelas, untuk setiap titik yang terletak di pesawat, kami memiliki:

Kondisi ini hanya berlaku untuk titik-titik pada bidang; itu dilanggar jika titik M terletak di luar bidang. Jadi, persamaan (1) menyatakan suatu sifat yang umum untuk semua titik pada bidang dan hanya untuk mereka. Menurut 7 Bab. 11 kami memiliki:

dan, oleh karena itu, persamaan (1) dapat ditulis ulang sebagai:

Persamaan (D) menyatakan kondisi di mana titik ) terletak pada bidang tertentu, dan disebut persamaan normal bidang ini. Vektor radius dari titik sembarang M pada bidang disebut vektor radius arus.

Persamaan (1) bidang tersebut ditulis dalam bentuk vektor. Beralih ke koordinat dan menempatkan asal koordinat pada asal vektor - titik O, kami mencatat bahwa proyeksi vektor satuan pada sumbu koordinat adalah kosinus dari sudut yang disusun oleh sumbu dengan vektor ini, dan proyeksi vektor radius titik M

adalah koordinat titik , yaitu kita memiliki:

Persamaan (D) masuk ke koordinat satu:

Saat menerjemahkan persamaan vektor (Г) bidang ke dalam persamaan koordinat (2), kami menggunakan rumus (15) 9 Ch. 11 menyatakan produk skalar dalam hal proyeksi vektor. Persamaan (2) menyatakan kondisi di mana titik M(x, y, z) terletak pada bidang tertentu, dan disebut persamaan normal bidang ini dalam bentuk koordinat. Persamaan yang dihasilkan (2) adalah derajat pertama sehubungan dengan , yaitu, setiap bidang dapat diwakili oleh persamaan derajat pertama sehubungan dengan koordinat saat ini.

Perhatikan bahwa persamaan turunan (1") dan (2) tetap valid bahkan ketika , yaitu, bidang yang diberikan melewati titik asal. Dalam hal ini, salah satu dari dua vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang dan berbeda satu arah dengan arah lainnya.

Komentar. Persamaan normal bidang (2) dapat diturunkan tanpa menggunakan metode vektor.

Ambil bidang sembarang dan tarik garis lurus I melalui titik asal koordinat yang tegak lurus terhadapnya. Tetapkan arah positif pada garis ini dari titik asal ke bidang (jika bidang yang dipilih melewati titik asal, maka arah mana pun pada garis dapat diambil).

Posisi bidang ini dalam ruang sepenuhnya ditentukan oleh jaraknya dari titik asal, yaitu, panjang segmen sumbu l dari titik asal ke titik perpotongan dengan bidang (pada Gambar 111 - segmen) dan sudut antara bidang sumbu dan sumbu koordinat. Ketika sebuah titik bergerak sepanjang bidang dengan koordinatnya, koordinatnya berubah sedemikian rupa sehingga mereka selalu terikat oleh beberapa kondisi. Mari kita lihat apa kondisi ini.

Mari kita membangun pada Gambar. 111 koordinat polyline OPSM dari titik sewenang-wenang M dari pesawat. Mari kita ambil proyeksi garis putus-putus ini ke sumbu-l. Perhatikan bahwa proyeksi garis putus-putus sama dengan proyeksi segmen penutupnya (Bab I, 3), kita dapatkan.

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan untuk pesawat?
Saling mengatur pesawat. tugas

Geometri spasial tidak jauh lebih rumit daripada geometri "datar", dan penerbangan kami di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk memahami topik, seseorang harus memiliki pemahaman yang baik tentang vektor, selain itu, diinginkan untuk terbiasa dengan geometri bidang - akan ada banyak kesamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna dengan lebih baik. Dalam serangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang. Tapi sekarang Batman telah keluar dari TV layar datar dan diluncurkan dari Baikonur Cosmodrome.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang dapat digambarkan sebagai jajaran genjang, yang memberi kesan ruang:

Pesawatnya tidak terbatas, tetapi kita hanya memiliki kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajaran genjang, oval atau bahkan awan juga digambar. Untuk alasan teknis, lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara ini dan dalam posisi ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat diatur dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di luar angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Notasi: merupakan kebiasaan untuk menunjuk pesawat dalam huruf Yunani kecil, tampaknya agar tidak membingungkan mereka dengan langsung di pesawat atau dengan lurus di luar angkasa. Saya sudah terbiasa menggunakan surat. Dalam gambar, itu adalah huruf "sigma", dan bukan lubang sama sekali. Meski, pesawat berlubang, tentu sangat lucu.

Dalam beberapa kasus, akan lebih mudah untuk menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk pesawat cukup populer - sesuai dengan poin milik mereka, misalnya, dll. Seringkali huruf diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan pesawat dengan sosok geometris lainnya.

Untuk pembaca yang berpengalaman, saya akan memberikan menu pintasan:

• Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan dua vektor?
• Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan vektor normal?

dan kami tidak akan merana dalam penantian panjang:

Persamaan umum dari pesawat

Persamaan umum bidang memiliki bentuk , di mana koefisien secara bersamaan tidak nol.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis afinitas ruang (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor). Untuk mempermudah, kita akan mengasumsikan bahwa semua kejadian terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Dan sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial. Tidak apa-apa jika Anda memilikinya buruk, sekarang kami akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan latihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka tidak sama dengan nol, bidang memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya, seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa pesawat terus berlanjut tanpa batas ke segala arah, dan kita hanya memiliki kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Pertimbangkan persamaan pesawat yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Pikirkan tentang ini: "Z" SELALU, untuk setiap nilai "X" dan "Y" sama dengan nol. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang, secara formal persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari mana terlihat jelas bahwa kami tidak peduli, apa nilai "x" dan "y", penting bahwa "z" sama dengan nol.

Demikian pula:
adalah persamaan bidang koordinat ;
adalah persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalah, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya dalam paragraf kami berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk: . Bagaimana memahaminya? "X" adalah SELALU, untuk setiap nilai "y" dan "z" sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui sebuah titik.

Demikian pula:
- persamaan bidang, yang sejajar dengan bidang koordinat;
- persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Tambahkan anggota: . Persamaan dapat ditulis ulang seperti ini: , yaitu, "Z" bisa apa saja. Apa artinya? "X" dan "Y" dihubungkan oleh rasio yang menarik garis lurus tertentu di pesawat (Anda akan mengenali persamaan garis lurus pada bidang?). Karena Z dapat berupa apa saja, baris ini "direplikasi" pada ketinggian berapa pun. Dengan demikian, persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Demikian pula:
- persamaan bidang, yang sejajar dengan sumbu koordinat;
- persamaan bidang, yang sejajar dengan sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, "proporsionalitas langsung" klasik:. Gambar garis lurus pada bidang dan gandakan secara mental ke atas dan ke bawah (karena "z" adalah sembarang). Kesimpulan: bidang yang diberikan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyimpulkan ulasan: persamaan pesawat melewati asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa titik memenuhi persamaan yang diberikan.

Dan, akhirnya, kasus yang ditunjukkan pada gambar: - pesawat berteman dengan semua sumbu koordinat, sementara itu selalu "memotong" segitiga yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Pertidaksamaan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi, perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linier pada bidang karena banyak hal akan serupa. Paragraf akan menjadi gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materinya cukup langka dalam praktik.

Jika persamaan mendefinisikan sebuah bidang, maka pertidaksamaan
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaan tidak ketat (dua terakhir dalam daftar), maka solusi pertidaksamaan, selain setengah ruang, termasuk bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan dari pesawat .

Keputusan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Sangat jelas bahwa vektor-vektornya adalah collinear:

Pertama, kami menghapus vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk menemukan vektor satuan, Anda perlu setiap koordinat vektor dibagi panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal dalam bentuk dan cari panjangnya:

Menurut di atas:

Menjawab:

Periksa: , yang diperlukan untuk memeriksa.

Pembaca yang telah mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat, mungkin memperhatikan bahwa koordinat vektor satuan persis dengan arah cosinus vektor:

Mari kita menyimpang dari masalah yang dibongkar: ketika Anda diberi vektor bukan nol arbitrer, dan dengan syarat itu diperlukan untuk menemukan cosinus arahnya (lihat tugas terakhir dari pelajaran Hasil kali titik dari vektor), maka Anda, pada kenyataannya, juga menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor yang diberikan. Bahkan, dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk menemukan vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kami menemukan penangkapan vektor normal, sekarang kami akan menjawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara menulis persamaan bidang dengan menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan sebuah titik dikenal dengan baik oleh target anak panah. Harap regangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sewenang-wenang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelas, melalui titik ini, Anda dapat menggambar satu bidang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui sebuah titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus: