Tidak ada batasan pada pengaturan bersama garis potong dalam teorema (benar untuk garis berpotongan dan garis paralel). Juga tidak masalah di mana segmen garis berada pada garis potong.

Bukti dalam kasus garis sejajar

Mari kita menggambar garis BC. Sudut ABC dan BCD sama dengan persilangan dalam yang terletak di bawah garis sejajar AB dan CD dan garis potong BC, dan sudut ACB dan CBD sama dengan persilangan dalam yang terletak di bawah garis sejajar AC dan BD dan garis potong BC. Kemudian, menurut kriteria kedua untuk persamaan segitiga, segitiga ABC dan DCB adalah kongruen. Ini menyiratkan bahwa AC = BD dan AB = CD. ■

Juga ada teorema segmen proporsional:

Garis sejajar memotong segmen proporsional di garis potong: $$

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Teorema Thales adalah kasus khusus dari teorema segmen proporsional, karena segmen yang sama dapat dianggap segmen proporsional dengan koefisien proporsionalitas sama dengan 1.

Teorema terbalik

Jika dalam teorema Thales segmen yang sama dimulai dari titik (formulasi ini sering digunakan dalam literatur sekolah), maka teorema kebalikannya juga akan menjadi benar. Untuk garis potong yang berpotongan, dirumuskan sebagai berikut:

Jadi (lihat Gambar.) dari fakta bahwa $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ maka langsung $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Jika garis potong sejajar, maka perlu untuk meminta kesetaraan segmen pada kedua garis potong di antara mereka sendiri, jika tidak, pernyataan ini menjadi salah (contoh tandingannya adalah trapesium yang berpotongan dengan garis yang melewati titik tengah alas).

Variasi dan Generalisasi

Pernyataan berikut adalah ganda untuk lemma Sollertinsky:

Teorema Thales masih digunakan sampai sekarang dalam navigasi maritim sebagai aturan bahwa tabrakan antara kapal yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak dapat dihindari jika kapal terus menuju satu sama lain. Di luar literatur berbahasa Rusia, teorema Thales kadang-kadang disebut teorema lain dari planimetri, yaitu, pernyataan bahwa sudut tertulis berdasarkan diameter lingkaran adalah siku-siku. Penemuan teorema ini memang dikaitkan dengan Thales, sebagaimana dibuktikan oleh Proclus. Tulis ulasan tentang artikel "Teorema Thales" literatur Atanasyan L. S. dan lainnya. Geometri 7-9. - Ed. ke-3. - M.: Pencerahan, 1992. Catatan Lihat juga Teorema Thales tentang sudut berdasarkan diameter lingkaran Kutipan yang mencirikan Teorema Thales "Saya tidak berpikir apa-apa, saya hanya tidak mengerti ... - Tunggu, Sonya, kamu akan mengerti segalanya. Lihat orang macam apa dia. Jangan memikirkan hal-hal buruk tentang saya atau dia. “Saya tidak memikirkan hal-hal buruk tentang siapa pun: Saya mencintai semua orang dan merasa kasihan pada semua orang. Tapi apa yang harus saya lakukan? Sonya tidak menyerah pada nada lembut yang digunakan Natasha untuk menyapanya. Semakin lembut dan semakin mencari ekspresi Natasha, semakin serius dan tegas wajah Sonya. "Natasha," katanya, "kamu memintaku untuk tidak berbicara denganmu, aku tidak melakukannya, sekarang kamu sendiri yang memulai. Natasha, aku tidak percaya padanya. Mengapa rahasia ini? - Lagi lagi! sela Natasya. - Natasha, aku mengkhawatirkanmu. - Apa yang harus ditakuti? "Aku takut kamu akan menghancurkan dirimu sendiri," kata Sonya tegas, dirinya sendiri takut dengan apa yang dia katakan. Wajah Natasha kembali menunjukkan kemarahan. “Dan saya akan menghancurkan, saya akan menghancurkan, saya akan menghancurkan diri saya sendiri secepat mungkin. Bukan urusanmu. Bukan untukmu, tapi bagiku itu akan buruk. Tinggalkan, tinggalkan aku. Aku membencimu. - Natasha! Sonya berteriak ketakutan. - Aku benci itu, aku benci itu! Dan kamu adalah musuhku selamanya! Natasha berlari keluar kamar. Natasha tidak berbicara dengan Sonya lagi dan menghindarinya. Dengan ekspresi yang sama dari keterkejutan dan kriminalitas, dia mondar-mandir di kamar, pertama-tama mengambil pekerjaan ini dan kemudian pekerjaan lain dan segera meninggalkannya. Tidak peduli seberapa sulitnya bagi Sonya, dia tetap memperhatikan temannya. Menjelang hari penghitungan seharusnya kembali, Sonya memperhatikan bahwa Natasha telah duduk sepanjang pagi di jendela ruang tamu, seolah menunggu sesuatu dan bahwa dia telah membuat semacam tanda kepada orang militer yang lewat, yang dikira Sonya sebagai Anatole. Sonya mulai mengamati temannya dengan lebih penuh perhatian dan memperhatikan bahwa Natasha berada dalam keadaan yang aneh dan tidak wajar sepanjang waktu makan siang dan malam (dia menjawab dengan tidak tepat pertanyaan yang diajukan kepadanya, memulai dan tidak menyelesaikan frasa, menertawakan semuanya). Setelah minum teh, Sonya melihat seorang pelayan yang pemalu menunggunya di depan pintu Natasha. Dia membiarkannya, dan, menguping di pintu, mengetahui bahwa surat itu telah diserahkan lagi. Dan tiba-tiba menjadi jelas bagi Sonya bahwa Natasha punya semacam rencana buruk untuk malam ini. Sonya mengetuk pintunya. Natasha tidak mengizinkannya masuk. “Dia akan lari bersamanya! pikir Sonya. Dia mampu melakukan apa saja. Hari ini ada sesuatu yang sangat menyedihkan dan tegas di wajahnya. Dia menangis, mengucapkan selamat tinggal kepada pamannya, kenang Sonya. Ya, itu benar, dia berlari bersamanya - tetapi apa yang harus saya lakukan? pikir Sonya, sekarang mengingat tanda-tanda yang dengan jelas membuktikan mengapa Natasha memiliki semacam niat buruk. "Tidak ada hitungannya. Apa yang harus aku lakukan, tulis surat kepada Kuragin, menuntut penjelasan darinya? Tapi siapa yang menyuruhnya menjawab? Tulis surat kepada Pierre, seperti yang diminta Pangeran Andrei jika terjadi kecelakaan? ... Tapi mungkin, sebenarnya, dia sudah menolak Bolkonsky (dia mengirim surat kepada Putri Mary kemarin). Tidak ada paman!” Tampaknya mengerikan bagi Sonya untuk memberi tahu Marya Dmitrievna, yang sangat percaya pada Natasha. Tapi dengan satu atau lain cara, pikir Sonya, berdiri di koridor gelap: sekarang atau tidak pernah tiba saatnya untuk membuktikan bahwa aku mengingat perbuatan baik keluarga mereka dan mencintai Nicolas. Tidak, saya tidak akan tidur setidaknya selama tiga malam, tetapi saya tidak akan meninggalkan koridor ini dan tidak akan membiarkannya masuk dengan paksa, dan tidak akan membiarkan rasa malu menimpa keluarga mereka, ”pikirnya. Anatole baru-baru ini pindah ke Dolokhov. Rencana penculikan Rostova telah dipikirkan dan disiapkan oleh Dolokhov selama beberapa hari, dan pada hari ketika Sonya, setelah mendengar Natasha di pintu, memutuskan untuk melindunginya, rencana ini harus dilaksanakan. Natasha berjanji akan pergi ke Kuragin di teras belakang pada pukul sepuluh malam. Kuragin seharusnya menempatkannya dalam troika yang telah disiapkan dan membawanya sejauh 60 mil dari Moskow ke desa Kamenka, di mana seorang pendeta yang dipangkas disiapkan, yang seharusnya menikahi mereka. Di Kamenka, sebuah persiapan sudah siap, yang seharusnya membawa mereka ke jalan Varshavskaya, dan di sana mereka seharusnya berpacu ke luar negeri melalui pos. Anatole memiliki paspor, dan perjalanan darat, dan sepuluh ribu uang diambil dari saudara perempuannya, dan sepuluh ribu dipinjam melalui Dolokhov. Dua saksi—Khvostikov, mantan juru tulis yang biasa dimainkan oleh Dolokhov dan Makarin, pensiunan prajurit berkuda, pria yang baik hati dan lemah yang sangat mencintai Kuragin—duduk di ruang pertama untuk minum teh. Di kantor besar Dolokhov, didekorasi dari dinding ke langit-langit dengan karpet Persia, kulit beruang, dan senjata, Dolokhov duduk di beshmet keliling dan sepatu bot di depan sebuah biro terbuka yang di atasnya diletakkan uang kertas dan uang. Anatole, dengan seragamnya yang tidak dikancing, berjalan dari ruangan tempat para saksi duduk, melalui ruang kerja ke ruang belakang, tempat bujang Prancisnya dan yang lainnya sedang mengemasi barang-barang terakhir. Dolokhov menghitung uang dan menuliskannya. "Yah," katanya, "Khvostikov harus diberi dua ribu. - Baiklah, biarkan aku, - kata Anatole. - Makarka (itulah yang mereka sebut Makarina), yang ini tanpa pamrih untukmu melalui api dan ke dalam air. Nah, skornya sudah berakhir, - kata Dolokhov, menunjukkan padanya sebuah catatan. - Jadi? "Ya, tentu saja, begitulah," kata Anatole, tampaknya tidak mendengarkan Dolokhov dan dengan senyum yang tidak meninggalkan wajahnya, melihat ke depan.

Tentang paralel dan garis potong.

Di luar literatur berbahasa Rusia, teorema Thales kadang-kadang disebut teorema lain dari planimetri, yaitu, pernyataan bahwa sudut tertulis berdasarkan diameter lingkaran adalah siku-siku. Penemuan teorema ini memang dikaitkan dengan Thales, sebagaimana dibuktikan oleh Proclus.

Susunan kata

Jika pada salah satu dari dua garis lurus beberapa segmen yang sama diletakkan secara berurutan dan garis paralel ditarik melalui ujungnya, memotong garis lurus kedua, maka mereka akan memotong segmen yang sama pada garis lurus kedua.

Formulasi yang lebih umum, juga disebut teorema segmen proporsional

Garis sejajar memotong segmen proporsional di garis potong:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Perkataan

• Tidak ada batasan pada pengaturan bersama garis potong dalam teorema (benar untuk garis berpotongan dan garis paralel). Juga tidak masalah di mana segmen garis berada pada garis potong.

• Teorema Thales adalah kasus khusus dari teorema segmen proporsional, karena segmen yang sama dapat dianggap segmen proporsional dengan koefisien proporsionalitas sama dengan 1.

Bukti dalam kasus garis potong

Pertimbangkan varian dengan pasangan segmen yang tidak terhubung: biarkan sudut berpotongan dengan garis lurus A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) dan dimana A B = C D (\displaystyle AB=CD).

1. Lewati titik-titik A (\gaya tampilan A) dan C (\gaya tampilan C) garis lurus yang sejajar dengan sisi lain sudut tersebut. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) dan C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Menurut properti jajaran genjang: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) dan C D 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. segitiga A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) dan C D D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) adalah sama berdasarkan kriteria kedua untuk persamaan segitiga

Bukti dalam kasus garis sejajar

Mari menggambar garis lurus SM. sudut ABC dan BCD sama dengan persilangan internal yang terletak pada garis sejajar AB dan CD dan garis potong SM, dan sudut ACB dan CBD sama dengan persilangan internal yang terletak pada garis sejajar AC dan BD dan garis potong SM. Kemudian, menurut kriteria kedua untuk persamaan segitiga, segitiga ABC dan DCB adalah sama. Oleh karena itu berikut ini AC = BD dan AB = CD. ■

Variasi dan Generalisasi

Teorema terbalik

Jika dalam teorema Thales segmen yang sama dimulai dari titik (formulasi ini sering digunakan dalam literatur sekolah), maka teorema kebalikannya juga akan menjadi benar. Untuk garis potong yang berpotongan, dirumuskan sebagai berikut:

Jadi (lihat Gambar.) dari fakta bahwa C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ltitik ), berikut ini A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Jika garis potong sejajar, maka perlu untuk meminta kesetaraan segmen pada kedua garis potong di antara mereka sendiri, jika tidak, pernyataan ini menjadi salah (contoh tandingannya adalah trapesium yang berpotongan dengan garis yang melewati titik tengah alas).

Teorema ini digunakan dalam navigasi: tabrakan kapal yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak dapat dihindari jika arah dari satu kapal ke kapal lainnya dipertahankan.

Lemma dari Sollertinsky

Pernyataan berikut adalah ganda untuk lemma Sollertinsky:

Biarlah f (\gaya tampilan f)- korespondensi proyektif antara titik-titik garis l (\gaya tampilan l) dan langsung m (\gaya tampilan m). Kemudian himpunan garis X f (X) (\displaystyle Xf(X)) akan menjadi himpunan garis singgung untuk beberapa

Rencana:

pengantar

• 1 Teorema terbalik
• 2 Teorema Thales dalam budaya
• 3 Fakta Menarik
Catatan

pengantar

Ini adalah teorema garis sejajar. Untuk sudut berdasarkan diameter, lihat teorema lain.

teorema Thales- salah satu teorema planimetri.

Tidak ada batasan pada pengaturan bersama garis potong dalam teorema (benar untuk garis berpotongan dan garis paralel). Juga tidak masalah di mana segmen garis berada pada garis potong.

Bukti dalam kasus garis potong

Bukti teorema Thales

Pertimbangkan varian dengan pasangan segmen yang tidak terhubung: biarkan sudut berpotongan dengan garis lurus AA 1 | | BB 1 | | CC 1 | | DD 1 dan dimana AB = CD .

Bukti dalam kasus garis sejajar

Mari kita menggambar garis BC. Sudut ABC dan BCD sama dengan persilangan dalam yang terletak di bawah garis sejajar AB dan CD dan garis potong BC, dan sudut ACB dan CBD sama dengan persilangan dalam yang terletak di bawah garis sejajar AC dan BD dan garis potong BC. Kemudian, menurut kriteria pertama untuk persamaan segitiga, segitiga ABC dan DCB adalah kongruen. Ini menyiratkan bahwa AC = BD dan AB = CD.

Juga ada teorema Thales umum:

Garis sejajar memotong segmen proporsional di garis potong:

Teorema Thales adalah kasus khusus dari teorema Thales umum, karena segmen yang sama dapat dianggap segmen proporsional dengan koefisien proporsionalitas sama dengan 1.

1. Teorema terbalik

Jika dalam teorema Thales segmen yang sama dimulai dari titik (formulasi ini sering digunakan dalam literatur sekolah), maka teorema kebalikannya juga akan menjadi benar. Untuk garis potong yang berpotongan, dirumuskan sebagai berikut:

Dalam teorema Thales terbalik, penting bahwa segmen yang sama dimulai dari simpul

Jadi (lihat Gambar.) dari apa yang mengikuti bahwa garis .

Jika garis potong sejajar, maka perlu untuk meminta kesetaraan segmen pada kedua garis potong di antara mereka sendiri, jika tidak, pernyataan ini menjadi salah (contoh tandingannya adalah trapesium yang berpotongan dengan garis yang melewati titik tengah alas).

2. Teorema Thales dalam budaya

Grup musik Argentina Les Luthiers ( Orang Spanyol) menyajikan lagu yang didedikasikan untuk teorema. Klip video untuk lagu ini memberikan bukti teorema langsung untuk interval proporsional.

3. Fakta menarik

• Teorema Thales masih digunakan sampai sekarang dalam navigasi maritim sebagai aturan bahwa tabrakan antara kapal yang bergerak dengan kecepatan konstan tidak dapat dihindari jika kapal terus menuju satu sama lain.
• Di luar literatur berbahasa Rusia, teorema Thales kadang-kadang disebut teorema lain dari planimetri, yaitu, pernyataan bahwa sudut tertulis berdasarkan diameter lingkaran adalah siku-siku. Penemuan teorema ini memang dikaitkan dengan Thales, sebagaimana dibuktikan oleh Proclus.
• Thales memahami dasar-dasar geometri di Mesir.

Catatan

1. El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
2. 3. Perjalanan ke Mesir / Rumah / Sastra dan Filsafat Kuno. Thales dari Miletus - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

unduh
Abstrak ini didasarkan pada artikel dari Wikipedia Rusia. Sinkronisasi selesai pada 16/07/11 23:06:34
Abstrak serupa:

Makam ini kecil, tetapi kemuliaan di atasnya sangat besar.
Di dalamnya, sebelum Anda, Thales yang berpikiran banyak tersembunyi.

Prasasti di makam Thales of Miletus

Bayangkan gambar seperti itu. 600 SM Mesir. Di depan Anda adalah piramida Mesir yang besar. Untuk mengejutkan firaun dan tetap menjadi favoritnya, Anda perlu mengukur ketinggian piramida ini. Anda memiliki ... tidak ada yang Anda inginkan. Anda bisa jatuh dalam keputusasaan, atau Anda bisa melakukan apa Thales dari Miletus: gunakan teorema kesamaan segitiga. Ya, ternyata semuanya cukup sederhana. Thales dari Miletus menunggu sampai panjang bayangannya dan tingginya bertepatan, dan kemudian, menggunakan teorema kesamaan segitiga, menemukan panjang bayangan piramida, yang, karenanya, sama dengan bayangan yang dilemparkan oleh piramida.

Siapa ini Thales dari Miletus? Seorang pria yang mendapatkan ketenaran sebagai salah satu dari "tujuh orang bijak" kuno? Thales of Miletus adalah seorang filsuf Yunani kuno yang unggul dalam astronomi, serta matematika dan fisika. Tahun-tahun hidupnya telah ditetapkan hanya kira-kira: 625-645 SM

Di antara bukti pengetahuan Thales tentang astronomi adalah sebagai berikut. 28 Mei 585 SM prediksi gerhana matahari oleh Miletus membantu mengakhiri perang antara Lydia dan Media yang sudah berlangsung selama 6 tahun. Fenomena ini begitu menakutkan Media sehingga mereka menyetujui kondisi yang tidak menguntungkan untuk berdamai dengan Lydia.

Legenda yang mencirikan Thales sebagai orang yang banyak akal cukup dikenal luas. Thales sering mendengar komentar tidak menyenangkan tentang kemiskinannya. Suatu ketika dia memutuskan untuk membuktikan bahwa para filsuf dapat, jika mereka mau, hidup dalam kelimpahan. Bahkan di musim dingin, Thales, dengan mengamati bintang-bintang, memutuskan bahwa akan ada panen zaitun yang baik di musim panas. Kemudian dia menyewa mesin pengepres minyak di Miletus dan Chios. Harganya cukup murah, karena di musim dingin praktis tidak ada permintaan untuk mereka. Ketika buah zaitun menghasilkan panen yang melimpah, Thales mulai menyewakan mesin pemeras minyaknya. Sejumlah besar uang yang dikumpulkan dengan metode ini dianggap sebagai bukti bahwa para filsuf dapat memperoleh dengan pikiran mereka, tetapi panggilan mereka lebih tinggi daripada masalah duniawi semacam itu. Omong-omong, legenda ini diulangi oleh Aristoteles sendiri.

Adapun geometri, banyak dari "penemuannya" dipinjam dari orang Mesir. Namun transfer pengetahuan ke Yunani ini dianggap sebagai salah satu keunggulan utama Thales of Miletus.

Pencapaian Thales adalah rumusan dan bukti sebagai berikut: teorema:

• sudut vertikal sama;
• segitiga sama sisi adalah segitiga yang sisi dan dua sudut yang berdekatan masing-masing sama besar;
• sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama;
• diameter membagi dua lingkaran;
• Sudut bertulisan berdasarkan diameter adalah sudut siku-siku.

Teorema lain dinamai Thales, yang berguna dalam memecahkan masalah geometris. Ada bentuk umum dan khusus, teorema terbalik, kata-katanya mungkin juga sedikit berbeda tergantung pada sumbernya, tetapi makna semuanya tetap sama. Mari kita pertimbangkan teorema ini.

Jika garis-garis sejajar memotong sisi-sisi suatu sudut dan memotong segmen-segmen yang sama pada salah satu sisinya, maka mereka memotong segmen-segmen yang sama pada sisi lainnya.

Misalkan titik A 1, A 2, A 3 adalah titik potong garis sejajar dengan salah satu sisi sudutnya, dan B 1, B 2, B 3 adalah titik potong garis sejajar dengan sisi lainnya sudut. Perlu dibuktikan bahwa jika A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, maka B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Tarik garis melalui titik B 2 sejajar dengan garis A 1 A 2 . Mari kita tentukan garis lurus baru 1 2 . Pertimbangkan jajaran genjang A 1 C 1 B 2 A 2 dan A 2 B 2 C 2 A 3 .

Sifat jajar genjang memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa A1A2 = C 1 B 2 dan A 2 A 3 = B 2 C 2 . Dan karena menurut kondisi kami A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, maka C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

Dan akhirnya, perhatikan segitiga C 1 B 2 B 1 dan C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (dibuktikan di atas).

Dan ini berarti bahwa C 1 B 2 B 1 dan C 2 B 2 B 3 akan sama dengan tanda persamaan kedua segitiga (sepanjang sisi dan sudut yang berdekatan).

Dengan demikian, teorema Thales terbukti.

Penggunaan teorema ini akan sangat memudahkan dan mempercepat penyelesaian masalah geometri. Semoga berhasil menguasai ilmu matematika yang menghibur ini!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Teorema 6.6 (Teorema Thales).Jika garis-garis sejajar yang memotong sisi-sisi suatu sudut memotong segmen-segmen yang sama di satu sisinya, maka mereka memotong segmen-segmen yang sama di sisi lainnya.(Gbr. 131).

Bukti. Misalkan A 1, A 2, A 3 adalah titik potong garis sejajar dengan salah satu sisi sudutnya dan A 2 terletak di antara A 1 dan A 3 (Gbr. 131). Biarkan B 1 , B 2 , B 3 menjadi titik potong yang sesuai dari garis-garis ini dengan sisi lain dari sudut. Mari kita buktikan bahwa jika A 1 A 2 = A 2 Az, maka B 1 B 2 = B 2 B 3.

Mari kita tarik garis EF melalui titik B 2 yang sejajar dengan garis A 1 A 3 . Dengan properti jajaran genjang A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E. Dan karena A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, maka FB 2 \u003d B 2 E.

Segitiga B 2 B 1 F dan B 2 B 3 E sama pada kriteria kedua. Mereka memiliki B 2 F=B 2 E oleh terbukti. Sudut-sudut pada titik B 2 sama dengan vertikal, dan sudut B 2 FB 1 dan B 2 EB 3 sama dengan persilangan internal yang terletak sejajar dengan A 1 B 1 dan A 3 B 3 dan garis potong EF.

Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan sisi: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Teorema telah terbukti.

Komentar. Dalam kondisi teorema Thales, alih-alih sisi sudut, Anda dapat mengambil dua garis lurus, sedangkan kesimpulan teorema akan sama:

garis sejajar yang memotong dua garis yang diberikan dan memotong segmen yang sama pada satu garis, memotong segmen yang sama pada garis lainnya.

Kadang-kadang teorema Thales akan diterapkan dalam bentuk ini juga.

Masalah (48). Bagilah segmen AB yang diberikan menjadi n bagian yang sama.

Keputusan. Mari kita menggambar dari titik A setengah garis a yang tidak terletak pada garis AB (Gbr. 132). Sisihkan ruas-ruas yang sama pada setengah garis a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Hubungkan titik A n dan B. Gambar melalui titik A 1, A 2, .... A n -1 garis sejajar dengan garis A n B. Mereka memotong segmen AB di titik B 1, B 2, B n -1, yang membagi segmen AB menjadi n segmen yang sama (menurut teorema Thales).

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan