Sanksi terhadap sektor energi Rusia oleh Amerika Serikat dapat menyebabkan konsekuensi kritis - hingga runtuhnya sistem energi Eropa. Demikian kata Robert, kepala perusahaan minyak dan gas Inggris BP.

“Saya tidak berpikir itu akan terjadi. Jika Anda menjatuhkan sanksi pada Rosneft, atau menjatuhkan sanksi seperti yang diterapkan pada Rusal, maka Anda sebenarnya akan mematikan sistem energi Eropa, dan ini sudah sedikit berlebihan, ”

- kata Dudley, berbicara pada konferensi Oil & Money 2018 di London (dikutip dari).

Penyediaan hutang dan modal ekuitas untuk perusahaan-perusahaan dari Rusia terbatas, serta pasokan peralatan untuk eksplorasi dan produksi minyak di rak pada kedalaman lebih dari 150 meter dan untuk pengembangan batuan serpih.

Pada Agustus 2017, Amerika Serikat memperketat sanksi keuangan, memperkenalkan larangan tambahan pada pasokan barang dan teknologi untuk produksi, dan juga mengesahkan kemungkinan memberlakukan pembatasan pada jalur pipa ekspor. Akibat sanksi tersebut, hampir semua proyek kerjasama dengan asing untuk pengembangan minyak lepas pantai dan shale oil juga dihentikan.

Para ahli telah berulang kali mencatat bahwa di masa depan pembatasan ini dapat menyebabkan penurunan tingkat produksi di Federasi Rusia jika negara tersebut tidak lebih memperhatikan eksplorasi geologi dan pengembangan teknologinya sendiri.

Jelas, jika paket pembatasan terberat diadopsi pada bulan November, interaksinya mungkin rumit, tetapi kecil kemungkinannya akan masuk ke kategori penghentian total,

pikir Zharsky.

Jika harapannya berbeda, maka berita mengganggu yang sama akan mulai datang dari pihak lain yang berkepentingan, tetapi pengusaha minyak tidak terbata-bata tentang ramalan seperti itu, pakar menarik perhatian.

Pengenaan sanksi keras tidak hanya menjadi masalah bagi Rusia, tetapi juga memusingkan rekan-rekan asing kami, yang termasuk sekutu terdekat AS, setuju dengan strategi investasi BCS Premier.

Menurut analis, jika sanksi diperkuat, tindakan pembatasan mungkin lebih bersifat selektif dan tidak mungkin diarahkan ke seluruh industri.

Rusia menempati lebih dari 10% pasar minyak dunia, kepergian tiba-tiba dari pemain utama seperti itu akan berarti pertumbuhan minyak yang cepat kutipan: berpotensi ini bukan hanya pukulan bagi Eropa, tetapi juga bagi semua konsumen minyak lainnya.

Dengan demikian, pada bulan September, produksi minyak di Rusia sebesar 11,35 juta barel per hari (b/d). Menurut CDU Kompleks Bahan Bakar dan Energi Kementerian Energi, pada Januari-September 2018, Rusia memasok 190,212 juta ton minyak ke negara-negara non-CIS.

Adapun pasar gas, situasi untuk UE bahkan lebih serius: Rusia menyumbang sekitar 34% dari semua pasokan gas ke Eropa. Pada saat yang sama, tahun lalu Gazprom memasok sekitar 195 miliar meter kubik gas ke negara-negara non-CIS (UE plus Turki). Tahun ini, menurut perkiraan para ahli dan perusahaan monopoli itu sendiri, angka ini akan melebihi 200 miliar meter kubik.

Sangat sulit untuk mengganti volume seperti itu dengan cepat. Belum lagi fakta bahwa secara ekonomi gas dari Federasi Rusia lebih menguntungkan bagi negara-negara Eropa daripada gas alam cair (LNG) yang sama.

Sebelumnya saya melaporkan bahwa sanksi terhadap Rusia tidak dapat dijatuhkan sesuai dengan skenario keras Iran atau Korea Utara, negara itu terlalu terintegrasi dengan ekonomi dunia. Pada bulan November, embargo pasokan minyak dari Iran akan diperkenalkan, dan pasar akan kehilangan sekitar 1-2 juta barel. Hanya ekspektasi ini yang membawa harga ke level $80-85 per barel Brent.

Namun, pemerintah tidak mempertimbangkan risiko, melepaskan perang dagang dengan UE dan China. Menteri Dalam Negeri AS Ryan Zinke baru-baru ini mengatakan bahwa AS dapat memberlakukan blokade laut terhadap Rusia. Jadi tidak ada satu pun, bahkan skenario yang paling tidak mungkin, dapat dikesampingkan.

Di antara semua barisan bilangan, barisan geometri, yang dipelajari dalam kursus aljabar kelas 9, adalah salah satu yang paling terkenal. Apa itu dan bagaimana menyelesaikan deret geometri - pertanyaan-pertanyaan ini dijawab dalam artikel ini.

Barisan bilangan yang mengikuti hukum matematika

Judul paragraf ini adalah definisi umum dari deret geometri. Hukum yang menjelaskannya cukup sederhana: setiap nomor berikutnya berbeda dari yang sebelumnya oleh sebuah faktor, yang disebut "penyebut". Anda dapat menunjuknya dengan huruf r. Kemudian kita dapat menulis persamaan berikut:

Di sini an adalah anggota dari perkembangan dengan nomor n.

Jika r lebih besar dari 1, maka barisan akan bertambah nilai absolutnya (dapat berkurang jika suku pertamanya bertanda negatif). Jika r kurang dari satu, maka seluruh barisan akan cenderung nol atau dari bawah (a1<0), либо сверху (a1>0). Untuk penyebut negatif (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Contoh jenis perkembangan yang dipertimbangkan diberikan di bawah ini:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

Di sini, suku pertamanya adalah 2 dan penyebutnya adalah 1,5.

Rumus Penting

Bagaimana cara menyelesaikan barisan geometri di kelas 9? Untuk melakukan ini, Anda harus tahu tidak hanya definisinya dan memahami tentang apa itu, tetapi juga mengingat dua formula penting. Yang pertama ditunjukkan di bawah ini:

Ekspresi memungkinkan Anda untuk dengan mudah menemukan elemen arbitrer dari urutan, tetapi untuk ini Anda perlu mengetahui dua angka: penyebut dan elemen pertama. Sangat mudah untuk membuktikan rumus ini, Anda hanya perlu mengingat definisi deret geometri: elemen kedua diperoleh dengan mengalikan yang pertama dengan penyebut ke tingkat pertama, elemen ketiga dengan mengalikan yang pertama dengan penyebut kedua. derajat, dan sebagainya. Kegunaan ekspresi ini jelas: tidak perlu mengembalikan seluruh rangkaian angka secara berurutan untuk mengetahui nilai apa yang akan diambil oleh elemen ke-n.

Rumus berikut juga berguna untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan deret geometri. Kita berbicara tentang jumlah elemen-elemennya, dimulai dengan yang pertama dan berakhir dengan yang ke-n. Ekspresi yang sesuai diberikan di bawah ini:

Sn = a1*(rn-1)/(r-1).

Perlu memperhatikan kekhasannya: seperti dalam rumus untuk menemukan elemen ke-n, di sini juga cukup untuk mengetahui dua angka yang sama (a1 dan r). Hasil ini tidak mengherankan, karena setiap suku perkembangan dikaitkan dengan angka yang ditandai.

Memulihkan perkembangan

Contoh pertama, cara menyelesaikan barisan geometri, memiliki syarat sebagai berikut: diketahui bahwa dua bilangan 10 dan 20 membentuk jenis barisan yang ditinjau. Dalam hal ini, angka adalah elemen kedelapan dan kelima belas dari deret tersebut. Perlu untuk mengembalikan seluruh rangkaian, mengetahui bahwa itu pasti berkurang.

Kondisi masalah yang agak membingungkan ini harus dianalisis dengan cermat: karena kita berbicara tentang deret menurun, angka 10 harus berada di posisi 15, dan 20 dalam 8. Mulai menyelesaikan, tulis persamaan yang sesuai untuk masing-masing angka:

a8 = a1*r7 dan a15 = a1*r14.

Anda memiliki dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Selesaikan dengan menyatakan dari a1 pertama dan substitusikan ke yang kedua. Mendapatkan:

a1 = a8*r-7 dan a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8).

Sekarang tinggal mengganti nilai yang sesuai dari kondisi dan menghitung akar ketujuh. Mendapatkan:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) 0,9057.

Mengganti penyebut yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi untuk elemen ke-n yang diketahui, a1 diperoleh:

a1 = a8*r-7 = 20*(0.9057)-7 40.0073.

Dengan cara ini Anda akan menemukan suku pertama dan penyebutnya, yang berarti Anda akan memulihkan seluruh perkembangannya. Beberapa anggota pertama:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

Perlu dicatat bahwa saat melakukan perhitungan, pembulatan ke 4 tempat desimal digunakan.

Menemukan anggota seri yang tidak diketahui

Sekarang perlu mempertimbangkan contoh lain: diketahui bahwa elemen ketujuh dari deret tersebut adalah 27, yang merupakan suku ketiga belas jika penyebutnya r \u003d -2. Bagaimana menyelesaikan deret geometri menggunakan data ini? Sangat sederhana, Anda perlu menulis rumus untuk elemen ke-7:

Karena hanya bilangan a1 yang tidak diketahui dalam persamaan ini, nyatakan:

Gunakan persamaan terakhir dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus suku ke-13 yang ingin dicari. Mendapatkan:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

Tetap mengganti angka dan menulis jawabannya:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728.

Angka yang dihasilkan menunjukkan seberapa cepat deret geometri tumbuh.

Tugas untuk jumlah

Tugas terakhir, yang mengungkapkan pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan deret geometri, terkait dengan menemukan jumlah beberapa elemen. Misalkan a1 = 1,5, r = 2. Anda harus menghitung jumlah suku-suku deret ini, mulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 10.

Untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan yang diajukan, Anda harus menerapkan rumus:

S510 = S10 - S4.

Artinya, pertama-tama Anda perlu menemukan jumlah 10 elemen, lalu jumlah 4 pertama dan kurangi di antara mereka sendiri. Mengikuti algoritma yang ditentukan, itu akan menjadi:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(210-1)/(2-1) = 1534.5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1,5*(24-1)/(2-1) = 22,5;

S510 = 1534.5 - 22.5 = 1512.

Perlu dicatat bahwa dalam rumus akhir, jumlah tepat 4 suku dikurangi, karena yang kelima, sesuai dengan kondisi masalah, harus berpartisipasi dalam jumlah tersebut.

9 Oktober 2018

Deret geometri adalah salah satu deret bilangan paling menarik yang dipertimbangkan dalam kursus aljabar sekolah. Artikel ini dikhususkan untuk kasus khusus dari deret yang disebutkan: deret geometri tak hingga yang menurun dan jumlah anggotanya.

Seri angka apa yang sedang kita bicarakan?

Deret geometri adalah barisan bilangan real berdimensi satu yang saling berhubungan dengan hubungan sebagai berikut:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Menggeneralisasikan ekspresi di atas, kita dapat menulis persamaan berikut:

a n = a 1 *r n-1

Seperti yang jelas dari entri di atas, a n adalah elemen dari perkembangan dengan nomor n. Parameter r, di mana n-1 elemen harus dikalikan untuk mendapatkan elemen ke-n, disebut penyebut.

Apa sifat-sifat barisan yang dijelaskan? Jawaban atas pertanyaan tergantung pada nilai dan tanda r. Opsi berikut dimungkinkan:

• Penyebut r adalah positif dan lebih besar dari 1. Dalam hal ini, deret akan selalu meningkat dalam nilai absolut, sedangkan nilai absolut dari anggotanya juga dapat berkurang jika a 1 negatif.
• Penyebut r negatif dan lebih besar dari 1. Dalam hal ini, suku-suku barisan akan muncul dengan tanda bolak-balik (+ dan -). Seri seperti itu kurang menarik secara praktis.
• Modulus penyebut r kurang dari 1. Deret ini disebut menurun, tanpa memperhatikan tanda r. Perkembangan inilah yang sangat menarik secara praktis, dan itu akan dibahas dalam artikel ini.

Rumus untuk jumlah

Pertama, mari kita dapatkan ekspresi yang memungkinkan kita menghitung jumlah dari sejumlah elemen yang berubah-ubah dari perkembangan yang diberikan. Mari kita mulai memecahkan masalah ini secara langsung. Kita punya:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Persamaan di atas dapat digunakan jika perlu untuk menghitung hasil untuk sejumlah kecil suku (3-4 suku), yang masing-masing ditentukan oleh rumus suku ke-n (lihat paragraf sebelumnya). Namun, jika ada banyak istilah, maka tidak nyaman untuk menghitung di dahi dan Anda dapat membuat kesalahan, sehingga mereka menggunakan formula khusus.

Kami mengalikan kedua bagian persamaan di atas dengan r, kami mendapatkan:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Sekarang kita kurangi bagian kiri dan kanan dari dua ekspresi ini secara berpasangan, kita memiliki:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Mengekspresikan jumlah S n dan menggunakan rumus untuk istilah a n+1 , kita mendapatkan:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Jadi, kita telah memperoleh rumus umum untuk jumlah n suku pertama dari jenis deret bilangan yang dipertimbangkan. Perhatikan bahwa rumus ini valid jika r≠1. Dalam kasus terakhir, ada serangkaian angka identik yang sederhana, yang jumlahnya dihitung sebagai produk dari satu angka dan jumlahnya.

Video Terkait

Bagaimana cara menemukan jumlah deret geometri menurun tak hingga?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus mengingat bahwa deret akan menurun ketika |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Perhatikan bahwa bilangan apa pun yang modulusnya kurang dari 1 cenderung nol jika dipangkatkan menjadi besar, yaitu, r -> 0. Anda dapat memeriksa fakta ini pada contoh apa pun:

r = -1/2, lalu (-1/2)**10 9.7*10 -4, (-1/2)**20 9.5*10 -7 dan seterusnya.

Setelah menetapkan fakta ini, mari kita perhatikan ekspresi untuk jumlah: untuk n->∞ akan ditulis ulang sebagai berikut:

S = a 1 *(r - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Hasil yang menarik diperoleh: jumlah deret tak hingga dari geometri menurun cenderung ke bilangan berhingga, yang tidak bergantung pada jumlah suku. Itu hanya ditentukan oleh suku pertama dan penyebutnya. Perhatikan bahwa tanda jumlah ditentukan secara unik oleh tanda a 1 , karena penyebutnya selalu bilangan positif (1-r>0).

Jumlah kuadrat dari deret geometri menurun tak terhingga

Judul item mendefinisikan masalah yang harus dipecahkan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan teknik yang benar-benar mirip dengan yang digunakan untuk menurunkan rumus umum untuk S n . Kami memiliki ekspresi pertama:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan r 2, tulis ekspresi kedua:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Sekarang kita temukan perbedaan antara dua persamaan ini:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Kami mengekspresikan M n dan menggunakan rumus untuk elemen ke-n, kami mendapatkan persamaan:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Pada paragraf sebelumnya, ditunjukkan bahwa r -> 0, maka rumus akhirnya akan berbentuk:

M = a 1 2 */(1-r 2)

Perbandingan dua jumlah yang diterima

Mari kita bandingkan dua rumus: untuk jumlah tak hingga dan jumlah kuadrat tak hingga dengan menggunakan contoh soal berikut: jumlah deret geometri tak hingga adalah 2, diketahui bahwa kita berbicara tentang barisan menurun yang penyebutnya adalah 1 /3. Hal ini diperlukan untuk menemukan jumlah tak terbatas dari kuadrat dari rangkaian angka ini.

Mari kita gunakan rumus untuk jumlah. Ekspresikan 1

S = a 1 /(1-r) => a 1 = S *(1-r)

Kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus untuk jumlah kuadrat, kami memiliki:

M = a 1 2 */(1-r 2) = S 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S 2 *(1-r)/(1+r)

Kami telah memperoleh rumus yang diinginkan, sekarang kami dapat mengganti data yang diketahui dari kondisi:

M = S 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Jadi, kita telah memperoleh nilai yang sama untuk jumlah kuadrat tak terhingga seperti untuk jumlah sederhana. Perhatikan bahwa hasil ini hanya berlaku untuk masalah ini. Secara umum, M S .

Tugas menghitung luas persegi panjang

Setiap siswa mengetahui rumus S = a * b, yang menentukan luas persegi panjang berdasarkan sisi-sisinya. Hanya sedikit orang yang tahu bahwa masalah menemukan luas gambar ini dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan jumlah deret geometri tak hingga. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan.

Mari kita secara mental membagi persegi panjang menjadi dua. Luas satu setengah diambil sebagai satu kesatuan. Sekarang kita membagi setengah lainnya menjadi dua lagi. Kami mendapatkan dua bagian, salah satunya akan kami bagi menjadi dua. Kami akan melanjutkan prosedur ini tanpa batas waktu (lihat gambar di bawah).

Hasilnya, luas persegi panjang dalam satuan yang kita pilih akan sama dengan:

S = 1+1/2+1/4+1/8+...

Dapat dilihat bahwa suku-suku tersebut merupakan unsur-unsur deret menurun, di mana a 1 = 1 dan r = 1/2. Menggunakan rumus untuk jumlah tak terbatas, kita mendapatkan:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Dalam skala yang telah kita pilih, setengah dari persegi panjang (satu unit) sesuai dengan area a*b/2. Artinya luas seluruh persegi panjang adalah:

S = 2*a*b/2 = a*b

Hasil yang diperoleh jelas, namun menunjukkan bagaimana deret menurun dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah dalam geometri.

Deret geometri adalah salah satu deret bilangan paling menarik yang dipertimbangkan dalam kursus aljabar sekolah. Artikel ini dikhususkan untuk kasus tertentu dari seri yang disebutkan: dan jumlah anggotanya.

Seri angka apa yang sedang kita bicarakan?

Deret geometri adalah barisan bilangan real berdimensi satu yang saling berhubungan dengan hubungan sebagai berikut:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

Menggeneralisasikan ekspresi di atas, kita dapat menulis persamaan berikut:

a n = a 1 *r n-1

Seperti yang jelas dari entri di atas, a n adalah elemen dari perkembangan dengan nomor n. Parameter r, di mana n-1 elemen harus dikalikan untuk mendapatkan elemen ke-n, disebut penyebut.

Apa sifat-sifat barisan yang dijelaskan? Jawaban atas pertanyaan tergantung pada nilai dan tanda r. Opsi berikut dimungkinkan:

• Penyebut r adalah positif dan lebih besar dari 1. Dalam hal ini, deret akan selalu meningkat dalam nilai absolut, sedangkan nilai absolut dari anggotanya juga dapat berkurang jika a 1 negatif.
• Penyebut r negatif dan lebih besar dari 1. Dalam hal ini, suku-suku barisan akan muncul dengan tanda bolak-balik (+ dan -). Seri seperti itu kurang menarik secara praktis.
• Modulus penyebut r kurang dari 1. Deret ini disebut menurun, tanpa memperhatikan tanda r. Perkembangan inilah yang sangat menarik secara praktis, dan itu akan dibahas dalam artikel ini.

Rumus untuk jumlah

Pertama, mari kita dapatkan ekspresi yang memungkinkan kita menghitung jumlah dari sejumlah elemen yang berubah-ubah dari perkembangan yang diberikan. Mari kita mulai memecahkan masalah ini secara langsung. Kita punya:

S n = a 1 +a 2 +a 3 +..+a n

Persamaan di atas dapat digunakan jika perlu untuk menghitung hasil untuk sejumlah kecil suku (3-4 suku), yang masing-masing ditentukan oleh rumus suku ke-n (lihat paragraf sebelumnya). Namun, jika ada banyak istilah, maka tidak nyaman untuk menghitung di dahi dan Anda dapat membuat kesalahan, sehingga mereka menggunakan formula khusus.

Kami mengalikan kedua bagian persamaan di atas dengan r, kami mendapatkan:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

Sekarang kita kurangi bagian kiri dan kanan dari dua ekspresi ini secara berpasangan, kita memiliki:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

Mengekspresikan jumlah S n dan menggunakan rumus untuk istilah a n+1 , kita mendapatkan:

S n \u003d (a n+1 - a 1) / (r-1) \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Jadi, kita telah memperoleh rumus umum untuk jumlah n suku pertama dari jenis deret bilangan yang dipertimbangkan. Perhatikan bahwa rumus ini valid jika r≠1. Dalam kasus terakhir, ada serangkaian angka identik yang sederhana, yang jumlahnya dihitung sebagai produk dari satu angka dan jumlahnya.

Bagaimana cara menemukan jumlah deret geometri menurun tak hingga?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus mengingat bahwa deret akan menurun ketika |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

S n \u003d a 1 * (r n - 1) / (r-1)

Perhatikan bahwa bilangan apa pun yang modulusnya kurang dari 1 cenderung nol jika dipangkatkan menjadi besar, yaitu, r -> 0. Anda dapat memeriksa fakta ini pada contoh apa pun:

r = -1/2, lalu (-1/2)**10 9.7*10 -4, (-1/2)**20 9.5*10 -7 dan seterusnya.

Setelah menetapkan fakta ini, mari kita perhatikan ekspresi untuk jumlah: untuk n->∞ akan ditulis ulang sebagai berikut:

S = a 1 *(r - 1)/(r-1) = a 1 /(1-r)

Hasil yang menarik diperoleh: jumlah deret tak hingga dari geometri menurun cenderung ke bilangan berhingga, yang tidak bergantung pada jumlah suku. Itu hanya ditentukan oleh suku pertama dan penyebutnya. Perhatikan bahwa tanda jumlah ditentukan secara unik oleh tanda a 1 , karena penyebutnya selalu bilangan positif (1-r>0).

Jumlah kuadrat dari deret geometri menurun tak terhingga

Judul item mendefinisikan masalah yang harus dipecahkan. Untuk melakukan ini, kami menggunakan teknik yang benar-benar mirip dengan yang digunakan untuk menurunkan rumus umum untuk S n . Kami memiliki ekspresi pertama:

M n = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan r 2, tulis ekspresi kedua:

r 2 *M n = r 2 *a 1 2 + r 2 *a 2 2 + r 2 *a 3 2 + ... + r 2 *a n 2 = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 .. .+a n+1 2

Sekarang kita temukan perbedaan antara dua persamaan ini:

r 2 *M n - M n = a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ... + a n+1 2 - (a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + ... + a n 2) = a n+1 2 - a 1 2

Kami mengekspresikan M n dan menggunakan rumus untuk elemen ke-n, kami mendapatkan persamaan:

M n \u003d (a n+1 2 - a 1 2) / (r 2 -1) \u003d a 1 2 * (r 2n -1) / (r 2 -1)

Pada paragraf sebelumnya, ditunjukkan bahwa r -> 0, maka rumus akhirnya akan berbentuk:

M = a 1 2 */(1-r 2)

Perbandingan dua jumlah yang diterima

Mari kita bandingkan dua rumus: untuk jumlah tak hingga dan jumlah kuadrat tak hingga dengan menggunakan contoh soal berikut: jumlah deret geometri tak hingga adalah 2, diketahui bahwa kita berbicara tentang barisan menurun yang penyebutnya adalah 1 /3. Hal ini diperlukan untuk menemukan jumlah tak terbatas dari kuadrat dari rangkaian angka ini.

Mari kita gunakan rumus untuk jumlah. Ekspresikan 1

S = a 1 /(1-r) => a 1 = S *(1-r)

Kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus untuk jumlah kuadrat, kami memiliki:

M = a 1 2 */(1-r 2) = S 2 *(1-r) 2 /(1-r 2) = S 2 *(1-r)/(1+r)

Kami telah memperoleh rumus yang diinginkan, sekarang kami dapat mengganti data yang diketahui dari kondisi:

M = S 2 *(1-r)/(1+r) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

Jadi, kita telah memperoleh nilai yang sama untuk jumlah kuadrat tak terhingga seperti untuk jumlah sederhana. Perhatikan bahwa hasil ini hanya berlaku untuk masalah ini. Secara umum, M S .

Tugas menghitung luas persegi panjang

Setiap siswa mengetahui rumus S = a * b, yang menentukan luas persegi panjang berdasarkan sisi-sisinya. Hanya sedikit orang yang tahu bahwa masalah menemukan luas gambar ini dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan jumlah deret geometri tak hingga. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan.

Mari kita secara mental membagi persegi panjang menjadi dua. Luas satu setengah diambil sebagai satu kesatuan. Sekarang kita membagi setengah lainnya menjadi dua lagi. Kami mendapatkan dua bagian, salah satunya akan kami bagi menjadi dua. Kami akan melanjutkan prosedur ini tanpa batas waktu (lihat gambar di bawah).

Hasilnya, luas persegi panjang dalam satuan yang kita pilih akan sama dengan:

S = 1+1/2+1/4+1/8+...

Dapat dilihat bahwa suku-suku tersebut merupakan unsur-unsur deret menurun, di mana a 1 = 1 dan r = 1/2. Menggunakan rumus untuk jumlah tak terbatas, kita mendapatkan:

S∞ = 1 /(1-1/2) = 2

Dalam skala yang telah kita pilih, setengah dari persegi panjang (satu unit) sesuai dengan area a*b/2. Artinya luas seluruh persegi panjang adalah:

S = 2*a*b/2 = a*b

Hasil yang diperoleh jelas, namun menunjukkan bagaimana deret menurun dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah dalam geometri.

Di antara semua barisan bilangan, barisan geometri, yang dipelajari dalam kursus aljabar kelas 9, adalah salah satu yang paling terkenal. Apa itu dan bagaimana menyelesaikan deret geometri - pertanyaan-pertanyaan ini dijawab dalam artikel ini.

Barisan bilangan yang mengikuti hukum matematika

Judul paragraf ini adalah definisi umum dari deret geometri. Hukum yang menjelaskannya cukup sederhana: setiap nomor berikutnya berbeda dari yang sebelumnya oleh sebuah faktor, yang disebut "penyebut". Anda dapat menunjuknya dengan huruf r. Kemudian kita dapat menulis persamaan berikut:

Di sini a n adalah anggota dari barisan dengan bilangan n.

Jika r lebih besar dari 1, maka barisan akan bertambah nilai absolutnya (dapat berkurang jika suku pertamanya bertanda negatif). Jika r lebih kecil dari satu, maka seluruh barisan akan cenderung ke nol atau dari bawah (a 1<0), либо сверху (a 1 >0). Untuk penyebut negatif (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

Contoh jenis perkembangan yang dipertimbangkan diberikan di bawah ini:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

Di sini, suku pertamanya adalah 2 dan penyebutnya adalah 1,5.

Rumus Penting

Bagaimana cara menyelesaikan barisan geometri di kelas 9? Untuk melakukan ini, Anda harus tahu tidak hanya definisinya dan memahami tentang apa itu, tetapi juga mengingat dua formula penting. Yang pertama ditunjukkan di bawah ini:

Ekspresi memungkinkan Anda untuk dengan mudah menemukan elemen arbitrer dari urutan, tetapi untuk ini Anda perlu mengetahui dua angka: penyebut dan elemen pertama. Sangat mudah untuk membuktikan rumus ini, Anda hanya perlu mengingat definisi deret geometri: elemen kedua diperoleh dengan mengalikan yang pertama dengan penyebut ke tingkat pertama, elemen ketiga dengan mengalikan yang pertama dengan penyebut kedua. derajat, dan sebagainya. Kegunaan ekspresi ini jelas: tidak perlu mengembalikan seluruh rangkaian angka secara berurutan untuk mengetahui nilai apa yang akan diambil oleh elemen ke-n.

Rumus berikut juga berguna untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan deret geometri. Kita berbicara tentang jumlah elemen-elemennya, dimulai dengan yang pertama dan berakhir dengan yang ke-n. Ekspresi yang sesuai diberikan di bawah ini:

S n \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1).

Perlu memperhatikan kekhasannya: seperti dalam rumus untuk menemukan elemen ke-n, di sini juga cukup untuk mengetahui dua angka yang sama (a 1 dan r). Hasil ini tidak mengherankan, karena setiap suku perkembangan dikaitkan dengan angka yang ditandai.

Memulihkan perkembangan

Contoh pertama, cara menyelesaikan barisan geometri, memiliki syarat sebagai berikut: diketahui bahwa dua bilangan 10 dan 20 membentuk jenis barisan yang ditinjau. Dalam hal ini, angka adalah elemen kedelapan dan kelima belas dari deret tersebut. Perlu untuk mengembalikan seluruh rangkaian, mengetahui bahwa itu pasti berkurang.

Kondisi masalah yang agak membingungkan ini harus dianalisis dengan cermat: karena kita berbicara tentang deret menurun, angka 10 harus berada di posisi 15, dan 20 dalam 8. Mulai menyelesaikan, tulis persamaan yang sesuai untuk masing-masing angka:

a 8 = a 1 *r 7 dan a 15 = a 1 *r 14 .

Anda memiliki dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Selesaikan dengan menyatakan dari yang pertama a 1 dan substitusikan ke yang kedua. Mendapatkan:

a 1 = a 8 *r -7 dan a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 (a 15 / a 8).

Sekarang tinggal mengganti nilai yang sesuai dari kondisi dan menghitung akar ketujuh. Mendapatkan:

r \u003d 7 (a 15 / a 8) \u003d 7 (10 / 20) 0,9057.

Mengganti penyebut yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi untuk elemen ke-n yang diketahui, kita mendapatkan 1:

a 1 \u003d a 8 * r -7 \u003d 20 * (0.9057) -7 40.0073.

Dengan cara ini Anda akan menemukan suku pertama dan penyebutnya, yang berarti Anda akan memulihkan seluruh perkembangannya. Beberapa anggota pertama:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

Perlu dicatat bahwa saat melakukan perhitungan, pembulatan ke 4 tempat desimal digunakan.

Menemukan anggota seri yang tidak diketahui

Sekarang perlu mempertimbangkan contoh lain: diketahui bahwa elemen ketujuh dari deret tersebut adalah 27, yang merupakan suku ketiga belas jika penyebutnya r \u003d -2. Bagaimana menyelesaikan deret geometri menggunakan data ini? Sangat sederhana, Anda perlu menulis rumus untuk elemen ke-7:

Karena hanya angka a 1 yang tidak diketahui dalam persamaan ini, nyatakan:

Gunakan persamaan terakhir dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus suku ke-13 yang ingin dicari. Mendapatkan:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 .

Tetap mengganti angka dan menulis jawabannya:

a 13 \u003d a 7 * r 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728.

Angka yang dihasilkan menunjukkan seberapa cepat deret geometri tumbuh.

Tugas untuk jumlah

Tugas terakhir, yang mengungkapkan pertanyaan tentang bagaimana menyelesaikan deret geometri, terkait dengan menemukan jumlah beberapa elemen. Biarkan a 1 \u003d 1.5, r \u003d 2. Jumlah suku-suku deret ini harus dihitung, mulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 10.

Untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan yang diajukan, Anda harus menerapkan rumus:

Artinya, pertama-tama Anda perlu menemukan jumlah 10 elemen, lalu jumlah 4 pertama dan kurangi di antara mereka sendiri. Mengikuti algoritma yang ditentukan, itu akan menjadi:

S 10 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534.5;

S 4 \u003d a 1 * (r n -1) / (r-1) \u003d 1,5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22,5;

S 5 10 \u003d 1534.5 - 22.5 \u003d 1512.

Perlu dicatat bahwa dalam rumus akhir, jumlah tepat 4 suku dikurangi, karena yang kelima, sesuai dengan kondisi masalah, harus berpartisipasi dalam jumlah tersebut.