Sistem ketidaksetaraan.
Contoh 1. Temukan ruang lingkup ekspresi
Keputusan. Harus ada bilangan non-negatif di bawah tanda akar kuadrat, yang berarti bahwa dua pertidaksamaan harus secara bersamaan berlaku: Dalam kasus seperti itu, masalahnya dikatakan direduksi menjadi penyelesaian sistem pertidaksamaan

Tetapi kita belum menemukan model matematika (sistem pertidaksamaan) seperti itu. Ini berarti bahwa kita belum dapat menyelesaikan solusi dari contoh tersebut.

Pertidaksamaan yang membentuk suatu sistem digabungkan dengan kurung kurawal (sama halnya dengan sistem persamaan). Misalnya, entri

berarti pertidaksamaan 2x - 1 > 3 dan 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Kadang-kadang sistem pertidaksamaan ditulis sebagai pertidaksamaan ganda. Misalnya, sistem pertidaksamaan

dapat ditulis sebagai pertidaksamaan ganda 3<2х-1<11.

Dalam kursus aljabar kelas 9, kita hanya akan membahas sistem dua pertidaksamaan.

Perhatikan sistem pertidaksamaan

Anda dapat mengambil beberapa solusi khususnya, misalnya x = 3, x = 4, x = 3,5. Memang, untuk x = 3 pertidaksamaan pertama berbentuk 5 > 3, dan yang kedua - bentuk 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Pada saat yang sama, nilai x = 5 bukan merupakan solusi dari sistem pertidaksamaan. Untuk x = 5, pertidaksamaan pertama berbentuk 9 > 3 - pertidaksamaan numerik yang benar, dan yang kedua - bentuk 13< 11- неверное числовое неравенство .
Memecahkan sistem pertidaksamaan berarti menemukan semua solusi khususnya. Jelas bahwa tebakan seperti yang ditunjukkan di atas bukanlah metode untuk memecahkan sistem pertidaksamaan. Dalam contoh berikut, kami akan menunjukkan bagaimana biasanya seseorang berargumentasi ketika memecahkan sistem pertidaksamaan.

Contoh 3 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Keputusan.

sebuah) Memecahkan pertidaksamaan pertama dari sistem, kita menemukan 2x > 4, x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Memecahkan ketidaksetaraan pertama dari sistem, kami menemukan x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan Kami menandai celah ini pada satu garis koordinat, menggunakan garis atas untuk celah pertama, dan garis bawah untuk yang kedua (Gbr. 23). Penyelesaian sistem pertidaksamaan akan menjadi perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, kita mendapatkan balok

di) Memecahkan pertidaksamaan pertama dari sistem, kita menemukan x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Mari kita generalisasikan penalaran yang dilakukan dalam contoh yang dipertimbangkan. Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem pertidaksamaan

Misalkan, interval (a, b) adalah solusi pertidaksamaan fx 2 > g (x), dan interval (c, d) adalah solusi pertidaksamaan f 2 (x) > s 2 (x ). Kami menandai celah ini pada satu garis koordinat, menggunakan garis atas untuk celah pertama, dan garis bawah untuk yang kedua (Gbr. 25). Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. pada gambar. 25 adalah interval (s, b).

Sekarang kita dapat dengan mudah menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang kita dapatkan di atas, pada contoh 1:

Memecahkan ketidaksetaraan pertama dari sistem, kami menemukan x > 2; menyelesaikan pertidaksamaan kedua dari sistem, kita menemukan x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Tentu saja, sistem pertidaksamaan tidak harus terdiri dari pertidaksamaan linier, seperti yang terjadi selama ini; setiap ketidaksetaraan rasional (dan tidak hanya rasional) dapat terjadi. Secara teknis, bekerja dengan sistem pertidaksamaan non-linier rasional, tentu saja, lebih sulit, tetapi tidak ada yang baru secara fundamental (dibandingkan dengan sistem pertidaksamaan linier).

Contoh 4 Memecahkan sistem pertidaksamaan

Keputusan.

1) Memecahkan pertidaksamaan yang kita miliki
Perhatikan titik -3 dan 3 pada garis bilangan (Gbr. 27). Mereka membagi garis menjadi tiga interval, dan pada setiap interval ekspresi p (x) = (x - 3) (x + 3) mempertahankan tanda konstan - tanda-tanda ini ditunjukkan pada Gambar. 27. Kami tertarik pada interval di mana pertidaksamaan p(x) > 0 terpenuhi (mereka diarsir pada Gambar 27), dan titik-titik di mana persamaan p(x) = 0 terpenuhi, yaitu. poin x \u003d -3, x \u003d 3 (ditandai pada Gambar 2 7 dengan lingkaran hitam). Jadi, dalam gambar. 27 menunjukkan model geometrik untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama.

2) Memecahkan pertidaksamaan yang kita miliki
Perhatikan titik 0 dan 5 pada garis bilangan (Gbr. 28). Mereka membagi garis menjadi tiga interval, dan pada setiap interval ekspresi<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (diarsir pada Gambar 28), dan titik-titik di mana persamaan g (x) - O terpenuhi, yaitu. titik x = 0, x = 5 (mereka ditandai pada Gambar 28 dengan lingkaran hitam). Jadi, dalam gambar. 28 menunjukkan model geometrik untuk memecahkan ketidaksetaraan kedua dari sistem.

3) Kami menandai solusi yang ditemukan untuk pertidaksamaan pertama dan kedua dari sistem pada garis koordinat yang sama, menggunakan penetasan atas untuk solusi pertidaksamaan pertama, dan penetasan bawah untuk solusi kedua (Gbr. 29). Penyelesaian sistem pertidaksamaan akan menjadi perpotongan dari solusi pertidaksamaan sistem, mis. interval di mana kedua menetas bertepatan. Interval seperti itu adalah segmen.

Contoh 5 Selesaikan sistem pertidaksamaan:

Keputusan:

sebuah) Dari pertidaksamaan pertama kita temukan x >2. Pertimbangkan ketidaksetaraan kedua. Trinomial kuadrat x 2 + x + 2 tidak memiliki akar real, dan koefisien utamanya (koefisien pada x 2) adalah positif. Ini berarti bahwa untuk semua x pertidaksamaan x 2 + x + 2>0 terpenuhi, dan oleh karena itu pertidaksamaan kedua dari sistem tidak memiliki solusi. Apa artinya ini bagi sistem ketidaksetaraan? Ini berarti bahwa sistem tidak memiliki solusi.

b) Dari pertidaksamaan pertama kita temukan x > 2, dan pertidaksamaan kedua berlaku untuk semua nilai x. Apa artinya ini bagi sistem ketidaksetaraan? Ini berarti bahwa solusinya memiliki bentuk x>2, yaitu. bertepatan dengan solusi pertidaksamaan pertama.

Menjawab:

a) tidak ada keputusan; b) x>2.

Contoh ini adalah ilustrasi untuk hal-hal berikut yang bermanfaat

1. Jika dalam sistem beberapa pertidaksamaan dengan satu variabel, satu pertidaksamaan tidak memiliki solusi, maka sistem tersebut tidak memiliki solusi.

2. Jika dalam sistem dua pertidaksamaan dengan satu variabel, satu pertidaksamaan dipenuhi untuk setiap nilai variabel , maka solusi sistem tersebut adalah solusi dari pertidaksamaan kedua sistem tersebut.

Sebagai penutup bagian ini, mari kita kembali ke masalah angka yang dikandung yang diberikan di awal dan menyelesaikannya, seperti yang mereka katakan, sesuai dengan semua aturan.

Contoh 2(lihat hal. 29). Pikirkan bilangan asli. Diketahui bahwa jika 13 ditambahkan ke kuadrat dari angka yang dikandung, maka jumlahnya akan lebih besar dari produk dari angka yang dikandung dan angka 14. Jika 45 ditambahkan ke kuadrat dari angka yang dikandung, maka jumlahnya akan kurang dari produk dari nomor yang dikandung dan nomor 18. Berapa nomor yang dikandung?

Keputusan.

Tahap pertama. Membuat model matematika.
Angka x yang dimaksud, seperti yang kita lihat di atas, harus memenuhi sistem pertidaksamaan

Fase kedua. Bekerja dengan model matematika yang dikompilasi. Mari ubah pertidaksamaan pertama dari sistem ke bentuk
x2- 14x+ 13 > 0.

Mari kita cari akar trinomial x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Menggunakan parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (Gbr. 30), kami menyimpulkan bahwa pertidaksamaan dari minat kami puas untuk x< 1 или x > 13.

Mari kita ubah pertidaksamaan kedua dari sistem ke bentuk x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan adalah salah satu topik yang diajarkan di sekolah menengah atas dalam aljabar. Dalam hal kesulitan, ini bukan yang paling sulit, karena memiliki aturan sederhana (tentang mereka nanti). Sebagai aturan, anak sekolah mempelajari solusi sistem pertidaksamaan dengan cukup mudah. Ini juga disebabkan oleh fakta bahwa guru hanya "melatih" siswa mereka tentang topik ini. Dan mereka tidak bisa tidak melakukan ini, karena itu dipelajari di masa depan dengan penggunaan besaran matematika lainnya, dan juga diperiksa untuk OGE dan Unified State Examination. Dalam buku pelajaran sekolah, topik ketidaksetaraan dan sistem ketidaksetaraan dibahas dengan sangat rinci, jadi jika Anda akan mempelajarinya, maka yang terbaik adalah menggunakannya. Artikel ini hanya menceritakan kembali materi besar, dan mungkin ada beberapa kekurangan di dalamnya.

Konsep sistem pertidaksamaan

Jika kita beralih ke bahasa ilmiah, kita dapat mendefinisikan konsep "sistem ketidaksetaraan". Ini adalah model matematika, yang mewakili beberapa ketidaksetaraan. Model ini, tentu saja, membutuhkan solusi, dan itu akan menjadi jawaban umum untuk semua ketidaksetaraan sistem yang diusulkan dalam tugas (biasanya tertulis di dalamnya, misalnya: "Memecahkan sistem pertidaksamaan 4 x + 1 > 2 dan 30 - x > 6..."). Namun, sebelum beralih ke jenis dan metode solusi, Anda perlu memahami hal lain.

Sistem pertidaksamaan dan sistem persamaan

Dalam proses mempelajari suatu topik baru, sering kali timbul kesalahpahaman. Di satu sisi, semuanya jelas dan saya lebih suka mulai menyelesaikan tugas, tetapi di sisi lain, beberapa momen tetap dalam "bayangan", mereka tidak dipahami dengan baik. Juga, beberapa elemen pengetahuan yang sudah diperoleh dapat terjalin dengan yang baru. Akibatnya kesalahan "overlay" ini sering terjadi.

Oleh karena itu, sebelum melanjutkan ke analisis topik kita, kita harus mengingat kembali perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan, sistemnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menjelaskan sekali lagi apa konsep matematika ini. Persamaan selalu merupakan persamaan, dan selalu sama dengan sesuatu (dalam matematika, kata ini dilambangkan dengan tanda "="). Ketimpangan adalah model di mana satu nilai lebih besar atau lebih kecil dari yang lain, atau berisi pernyataan bahwa mereka tidak sama. Jadi, dalam kasus pertama, adalah tepat untuk berbicara tentang kesetaraan, dan dalam kasus kedua, tidak peduli seberapa jelas kedengarannya dari nama itu sendiri, tentang ketidaksetaraan data awal. Sistem persamaan dan pertidaksamaan praktis tidak berbeda satu sama lain dan metode penyelesaiannya sama. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa yang pertama menggunakan persamaan, sedangkan yang kedua menggunakan ketidaksetaraan.

Jenis ketidaksetaraan

Ada dua jenis pertidaksamaan: numerik dan dengan variabel yang tidak diketahui. Jenis pertama diberikan nilai (angka) yang tidak sama satu sama lain, misalnya, 8 > 10. Yang kedua adalah pertidaksamaan yang mengandung variabel yang tidak diketahui (ditunjukkan dengan beberapa huruf alfabet Latin, paling sering X). Variabel ini perlu ditemukan. Bergantung pada banyaknya, model matematika membedakan antara pertidaksamaan dengan satu (mereka membentuk sistem pertidaksamaan dengan satu variabel) atau beberapa variabel (mereka membentuk sistem pertidaksamaan dengan beberapa variabel).

Dua jenis terakhir, menurut tingkat konstruksinya dan tingkat kerumitan solusi, dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Pertidaksamaan sederhana disebut juga pertidaksamaan linier. Mereka, pada gilirannya, dibagi menjadi ketat dan tidak ketat. Secara khusus "katakan" bahwa satu nilai harus kurang atau lebih, jadi ini adalah ketidaksetaraan murni. Ada beberapa contoh: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, dll. Yang tidak ketat juga termasuk kesetaraan. Artinya, satu nilai bisa lebih besar atau sama dengan nilai lain (tanda "≥") atau lebih kecil atau sama dengan nilai lain (tanda "≤"). Bahkan dalam pertidaksamaan linier, variabel tidak berdiri di akar, kuadrat, tidak habis dibagi oleh apa pun, itulah sebabnya mereka disebut "sederhana". Yang kompleks termasuk variabel yang tidak diketahui, yang penemuannya membutuhkan lebih banyak operasi matematika. Mereka sering berbentuk persegi, kubus atau di bawah akar, mereka dapat berupa modular, logaritmik, pecahan, dll. Tetapi karena tugas kita adalah memahami solusi sistem pertidaksamaan, kita akan berbicara tentang sistem pertidaksamaan linier. Namun, sebelum itu, beberapa kata harus dikatakan tentang properti mereka.

Sifat-sifat ketidaksetaraan

Sifat-sifat pertidaksamaan meliputi ketentuan sebagai berikut:

1. Tanda pertidaksamaan dibalik jika operasi pengubahan barisan sisi diterapkan (misalnya, jika t 1 t 2, maka t 2 t 1).
2. Kedua bagian pertidaksamaan memungkinkan Anda untuk menambahkan angka yang sama ke diri Anda sendiri (misalnya, jika t 1 t 2, maka t 1 + angka t 2 + angka).
3. Dua atau lebih pertidaksamaan yang memiliki tanda arah yang sama memungkinkan Anda untuk menjumlahkan bagian kiri dan kanannya (misalnya, jika t 1 t 2, t 3 t 4, maka t 1 + t 3 t 2 + t 4 ).
4. Kedua bagian pertidaksamaan tersebut memungkinkan dirinya dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama (misalnya, jika t 1 t 2 dan bilangan 0, maka bilangan t 1 bilangan t 2).
5. Dua atau lebih pertidaksamaan yang memiliki suku positif dan tanda arah yang sama memungkinkan dirinya dikalikan satu sama lain (misalnya, jika t 1 t 2 , t 3 t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 0 lalu t 1 t 3 t 2 t 4).
6. Kedua bagian pertidaksamaan tersebut memungkinkan dirinya dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda pertidaksamaan berubah (misalnya, jika t 1 t 2 dan bilangan 0, maka bilangan t 1 bilangan t 2).
7. Semua ketidaksetaraan memiliki sifat transitivitas (misalnya, jika t 1 t 2 dan t 2 t 3, maka t 1 t 3).

Sekarang, setelah mempelajari ketentuan utama teori yang terkait dengan pertidaksamaan, kita dapat langsung melanjutkan ke pertimbangan aturan untuk menyelesaikan sistemnya.

Penyelesaian sistem pertidaksamaan. Informasi Umum. Solusi

Seperti disebutkan di atas, solusinya adalah nilai-nilai variabel yang cocok dengan semua pertidaksamaan dari sistem yang diberikan. Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah implementasi operasi matematika yang pada akhirnya mengarah pada solusi seluruh sistem atau membuktikan bahwa sistem tersebut tidak memiliki solusi. Dalam hal ini, variabel dikatakan mengacu pada himpunan numerik kosong (ditulis seperti ini: huruf yang menunjukkan variabel(tanda "milik") (tanda "kumpulan kosong"), misalnya x (bunyinya: "Variabel "x" termasuk himpunan kosong"). Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan: grafik, aljabar, metode substitusi. Perlu dicatat bahwa mereka merujuk pada model matematika yang memiliki beberapa variabel yang tidak diketahui. Dalam kasus di mana hanya ada satu, metode interval cocok.

cara grafis

Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan beberapa yang tidak diketahui (dari dua atau lebih). Berkat metode ini, sistem pertidaksamaan linier diselesaikan dengan cukup mudah dan cepat, jadi ini adalah metode yang paling umum. Hal ini karena merencanakan mengurangi jumlah penulisan operasi matematika. Menjadi sangat menyenangkan untuk beristirahat sejenak dari pena, mengambil pensil dengan penggaris dan melanjutkan dengan tindakan lebih lanjut dengan bantuan mereka ketika banyak pekerjaan telah dilakukan dan Anda ingin sedikit variasi. Namun, beberapa tidak menyukai metode ini karena Anda harus melepaskan diri dari tugas dan mengalihkan aktivitas mental Anda ke menggambar. Namun, ini adalah cara yang sangat efektif.

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan menggunakan metode grafik, semua anggota pertidaksamaan harus dipindahkan ke ruas kirinya. Tanda-tanda akan dibalik, nol harus ditulis di sebelah kanan, kemudian setiap pertidaksamaan harus ditulis secara terpisah. Akibatnya, fungsi akan diperoleh dari pertidaksamaan. Setelah itu, Anda bisa mendapatkan pensil dan penggaris: sekarang Anda perlu menggambar grafik dari setiap fungsi yang diperoleh. Seluruh himpunan bilangan yang berada pada interval perpotongannya akan menjadi solusi dari sistem pertidaksamaan.

cara aljabar

Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan dengan dua variabel yang tidak diketahui. Selain itu, pertidaksamaan harus memiliki tanda pertidaksamaan yang sama (yaitu, pertidaksamaan harus hanya berisi tanda "lebih besar dari", atau hanya tanda "kurang dari", dll.) Meskipun ada keterbatasan, metode ini juga lebih rumit. Itu diterapkan dalam dua tahap.

Yang pertama mencakup tindakan untuk menyingkirkan salah satu variabel yang tidak diketahui. Pertama Anda harus memilihnya, lalu periksa keberadaan angka di depan variabel ini. Jika tidak ada (maka variabel akan terlihat seperti satu huruf), maka kami tidak mengubah apa pun, jika ada (jenis variabel akan, misalnya, 5y atau 12y), maka perlu untuk memastikan bahwa pada setiap pertidaksamaan bilangan di depan variabel yang dipilih adalah sama. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengalikan setiap anggota pertidaksamaan dengan faktor umum, misalnya, jika 3y ditulis dalam pertidaksamaan pertama, dan 5y ditulis dalam pertidaksamaan kedua, maka Anda perlu mengalikan semua anggota pertidaksamaan pertama dengan 5, dan yang kedua dengan 3. Ini akan menjadi 15y dan 15y, masing-masing.

Tahap kedua dari keputusan. Hal ini diperlukan untuk mentransfer sisi kiri setiap pertidaksamaan ke sisi kanannya dengan perubahan tanda setiap istilah ke kebalikannya, tulis nol di sebelah kanan. Kemudian datang bagian yang menyenangkan: menyingkirkan variabel yang dipilih (atau dikenal sebagai "pengurangan") sambil menambahkan ketidaksetaraan. Anda akan mendapatkan pertidaksamaan dengan satu variabel yang perlu diselesaikan. Setelah itu, Anda harus melakukan hal yang sama, hanya dengan variabel lain yang tidak diketahui. Hasil yang diperoleh akan menjadi solusi dari sistem.

Metode substitusi

Memungkinkan Anda untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan ketika dimungkinkan untuk memperkenalkan variabel baru. Biasanya metode ini digunakan jika variabel yang tidak diketahui dalam satu suku pertidaksamaan dipangkatkan ke empat, dan di suku lain dikuadratkan. Dengan demikian, metode ini ditujukan untuk mengurangi tingkat ketidaksetaraan dalam sistem. Pertidaksamaan sampel x 4 - x 2 - 1 0 diselesaikan dengan cara sebagai berikut. Sebuah variabel baru diperkenalkan, misalnya t. Mereka menulis: "Biarkan t = x 2", maka model ditulis ulang dalam bentuk baru. Dalam kasus kami, kami mendapatkan t 2 - t - 1 0. Pertidaksamaan ini perlu diselesaikan dengan metode interval (tentang itu nanti), kemudian kembali ke variabel X, lalu lakukan hal yang sama dengan pertidaksamaan lainnya. Jawaban yang diterima akan menjadi keputusan sistem.

Metode Spasi

Ini adalah cara termudah untuk memecahkan sistem ketidaksetaraan, dan pada saat yang sama bersifat universal dan tersebar luas. Ini digunakan di sekolah menengah, dan bahkan di sekolah menengah. Esensinya terletak pada kenyataan bahwa siswa mencari interval ketidaksetaraan pada garis bilangan, yang digambar di buku catatan (ini bukan grafik, tetapi hanya garis lurus biasa dengan angka). Dimana interval pertidaksamaan berpotongan, solusi dari sistem ditemukan. Untuk menggunakan metode spasi, Anda harus mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Semua anggota dari setiap pertidaksamaan dipindahkan ke ruas kiri dengan tanda berubah menjadi kebalikannya (di sebelah kanan ditulis nol).
2. Pertidaksamaan ditulis secara terpisah, solusi masing-masing ditentukan.
3. Perpotongan pertidaksamaan pada garis nyata ditemukan. Semua angka di persimpangan ini akan menjadi solusinya.

Cara mana yang harus digunakan?

Jelas yang tampaknya paling mudah dan nyaman, tetapi ada kalanya tugas membutuhkan metode tertentu. Paling sering, mereka mengatakan bahwa Anda perlu menyelesaikannya menggunakan grafik atau menggunakan metode interval. Metode aljabar dan substitusi sangat jarang digunakan atau tidak digunakan sama sekali, karena cukup rumit dan membingungkan, selain itu, metode ini lebih banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan daripada pertidaksamaan, jadi Anda harus menggunakan menggambar grafik dan interval. Mereka membawa visibilitas, yang tidak bisa tidak berkontribusi pada pelaksanaan operasi matematika yang efisien dan cepat.

Jika ada yang tidak berhasil

Selama mempelajari topik tertentu dalam aljabar, tentu saja, masalah dengan pemahamannya mungkin muncul. Dan ini normal, karena otak kita dirancang sedemikian rupa sehingga tidak mampu memahami materi yang kompleks dalam sekali jalan. Seringkali Anda perlu membaca ulang sebuah paragraf, meminta bantuan guru, atau berlatih memecahkan masalah umum. Dalam kasus kami, mereka terlihat, misalnya, seperti ini: "Pecahkan sistem pertidaksamaan 3 x + 1 0 dan 2 x - 1 > 3". Dengan demikian, usaha pribadi, bantuan orang-orang pihak ketiga, dan latihan membantu dalam memahami topik yang kompleks.

Reshebnik?

Dan buku solusi juga sangat cocok, tetapi tidak untuk menyontek pekerjaan rumah, tetapi untuk membantu diri sendiri. Anda dapat menemukan sistem ketidaksetaraan dengan solusi di dalamnya, melihatnya (sebagai pola), mencoba memahami bagaimana tepatnya penulis solusi mengatasi tugas, dan kemudian mencoba melakukannya sendiri.

temuan

Aljabar adalah salah satu mata pelajaran yang paling sulit di sekolah. Nah, apa yang bisa Anda lakukan? Matematika selalu seperti ini: untuk beberapa hal itu datang dengan mudah, dan bagi yang lain sulit. Tetapi bagaimanapun juga, harus diingat bahwa program pendidikan umum dirancang sedemikian rupa sehingga setiap siswa dapat mengatasinya. Selain itu, Anda perlu mengingat sejumlah besar asisten. Beberapa di antaranya telah disebutkan di atas.

Sistem ketidaksetaraan Merupakan kebiasaan untuk menyebut setiap himpunan dari dua atau lebih pertidaksamaan yang mengandung kuantitas yang tidak diketahui.

Formulasi ini diilustrasikan dengan jelas, misalnya, dengan sistem ketidaksetaraan:

Memecahkan sistem pertidaksamaan - berarti menemukan semua nilai dari variabel yang tidak diketahui dimana setiap pertidaksamaan sistem direalisasikan, atau untuk membuktikan bahwa tidak ada pertidaksamaan seperti itu. .

Jadi, untuk setiap individu ketidaksetaraan sistem menghitung variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya, dari nilai yang dihasilkan, pilih hanya yang benar untuk pertidaksamaan pertama dan kedua. Oleh karena itu, ketika mensubstitusi nilai yang dipilih, kedua pertidaksamaan sistem menjadi benar.

Mari kita menganalisis solusi dari beberapa ketidaksetaraan:

Tempatkan satu di bawah pasangan garis bilangan lainnya; letakkan nilai di atas x, di mana pertidaksamaan pertama o ( x> 1) menjadi benar, dan di bagian bawah, nilainya X, yang merupakan solusi dari pertidaksamaan kedua ( X> 4).

Dengan membandingkan data pada garis bilangan, perhatikan bahwa solusi untuk keduanya ketidaksetaraan akan X> 4. Jawab, X> 4.

Contoh 2

Menghitung yang pertama ketidaksamaan kita mendapatkan -3 X< -6, или x> 2, yang kedua - X> -8, atau X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, di mana yang pertama ketidaksetaraan sistem, dan pada garis bilangan yang lebih rendah, semua nilai tersebut X, di mana ketidaksetaraan kedua dari sistem direalisasikan.

Membandingkan data, kami menemukan bahwa keduanya ketidaksetaraan akan diimplementasikan untuk semua nilai X ditempatkan dari 2 hingga 8. Seperangkat nilai X menunjukkan ketimpangan ganda 2 < X< 8.

Contoh 3 Ayo temukan

Artikel ini telah mengumpulkan informasi awal tentang sistem ketidaksetaraan. Di sini kami memberikan definisi sistem pertidaksamaan dan definisi solusi sistem pertidaksamaan. Ini juga mencantumkan jenis sistem utama yang paling sering Anda gunakan dalam pelajaran aljabar di sekolah, dan contoh diberikan.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan sistem ketidaksetaraan?

Lebih mudah untuk mendefinisikan sistem pertidaksamaan dengan cara yang sama seperti kita memperkenalkan definisi sistem persamaan, yaitu, menurut jenis catatan dan makna yang terkandung di dalamnya.

Definisi.

Sistem ketidaksetaraan adalah catatan yang mewakili sejumlah pertidaksamaan yang ditulis satu di bawah yang lain, disatukan di sebelah kiri oleh tanda kurung kurawal, dan menunjukkan himpunan semua solusi yang secara simultan merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem.

Mari kita berikan contoh sistem pertidaksamaan. Ambil dua arbitrer , misalnya, 2 x−3>0 dan 5−x≥4 x−11 , tuliskan satu di bawah yang lain
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
dan satukan dengan tanda sistem - kurung kurawal, sebagai hasilnya kami mendapatkan sistem pertidaksamaan dengan bentuk berikut:

Demikian pula, ide diberikan tentang sistem ketidaksetaraan dalam buku teks sekolah. Perlu dicatat bahwa definisi di dalamnya diberikan lebih sempit: untuk ketidaksetaraan dengan satu variabel atau dengan dua variabel.

Jenis utama sistem ketidaksetaraan

Jelas bahwa ada banyak sistem ketidaksetaraan yang berbeda. Agar tidak tersesat dalam keragaman ini, disarankan untuk mempertimbangkan mereka dalam kelompok yang memiliki ciri khasnya sendiri. Semua sistem ketidaksetaraan dapat dibagi menjadi beberapa kelompok sesuai dengan kriteria berikut:

• dengan jumlah ketidaksetaraan dalam sistem;
• dengan jumlah variabel yang terlibat dalam pencatatan;
• oleh sifat ketidaksetaraan.

Menurut jumlah ketidaksetaraan yang termasuk dalam catatan, sistem dua, tiga, empat, dll. dibedakan. ketidaksetaraan. Pada paragraf sebelumnya, kami memberikan contoh sistem yang merupakan sistem dua pertidaksamaan. Mari kita tunjukkan contoh lain dari sistem empat pertidaksamaan .

Secara terpisah, kami mengatakan bahwa tidak masuk akal untuk berbicara tentang sistem satu ketidaksetaraan, dalam hal ini, sebenarnya, kita berbicara tentang ketidaksetaraan itu sendiri, dan bukan tentang sistem.

Jika Anda melihat jumlah variabel, maka ada sistem pertidaksamaan dengan satu, dua, tiga, dll. variabel (atau, seperti yang mereka katakan, tidak diketahui). Lihatlah sistem ketidaksetaraan terakhir yang ditulis dua paragraf di atas. Ini adalah sistem dengan tiga variabel x , y dan z . Perhatikan bahwa dua pertidaksamaan pertamanya tidak mengandung ketiga variabel, tetapi hanya salah satunya. Dalam konteks sistem ini, mereka harus dipahami sebagai pertidaksamaan dengan tiga variabel yang masing-masing berbentuk x+0 y+0 z≥−2 dan 0 x+y+0 z≤5. Perhatikan bahwa sekolah berfokus pada ketidaksetaraan dengan satu variabel.

Masih membahas jenis ketidaksetaraan apa yang terlibat dalam sistem penulisan. Di sekolah, mereka terutama mempertimbangkan sistem dua ketidaksetaraan (lebih jarang - tiga, bahkan lebih jarang - empat atau lebih) dengan satu atau dua variabel, dan ketidaksetaraan itu sendiri biasanya pertidaksamaan bilangan bulat derajat pertama atau kedua (lebih jarang - derajat lebih tinggi atau rasional fraksional). Namun jangan heran jika dalam materi persiapan OGE Anda menemukan sistem pertidaksamaan yang mengandung pertidaksamaan irasional, logaritma, eksponensial, dan pertidaksamaan lainnya. Sebagai contoh, kami menyajikan sistem ketidaksetaraan , diambil dari .

Apa solusi dari sistem pertidaksamaan?

Kami memperkenalkan definisi lain yang terkait dengan sistem ketidaksetaraan - definisi solusi untuk sistem ketidaksetaraan:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan satu variabel nilai variabel seperti itu disebut yang mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi benar, dengan kata lain, adalah solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem.

Mari kita jelaskan dengan sebuah contoh. Mari kita ambil sistem dua pertidaksamaan dengan satu variabel . Mari kita ambil nilai variabel x sama dengan 8 , ini adalah solusi untuk sistem pertidaksamaan kita menurut definisi, karena substitusinya ke dalam pertidaksamaan sistem memberikan dua pertidaksamaan numerik yang benar 8>7 dan 2−3 8≤0 . Sebaliknya, satuan bukanlah solusi sistem, karena jika disubstitusikan ke variabel x, pertidaksamaan pertama akan berubah menjadi pertidaksamaan numerik salah 1>7 .

Demikian pula, kita dapat memperkenalkan definisi solusi untuk sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga, atau lebih variabel:

Definisi.

Memecahkan sistem pertidaksamaan dengan dua, tiga, dst. variabel disebut pasangan, rangkap tiga, dll. nilai dari variabel-variabel ini, yang secara bersamaan merupakan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem, yaitu, mengubah setiap pertidaksamaan sistem menjadi pertidaksamaan numerik yang sebenarnya.

Misalnya, pasangan nilai x=1 , y=2 , atau dalam notasi lain (1, 2) adalah solusi sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, karena 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistem pertidaksamaan mungkin tidak memiliki solusi, mungkin memiliki jumlah solusi yang terbatas, atau mungkin memiliki banyak solusi. Orang sering berbicara tentang serangkaian solusi untuk sistem ketidaksetaraan. Ketika suatu sistem tidak memiliki solusi, maka ada himpunan kosong dari solusinya. Jika jumlah solusi terbatas, maka himpunan solusi berisi sejumlah elemen yang terbatas, dan ketika ada banyak solusi, maka himpunan solusi terdiri dari jumlah elemen yang tak terbatas.

Beberapa sumber memperkenalkan definisi solusi khusus dan umum untuk sistem ketidaksetaraan, seperti, misalnya, dalam buku teks Mordkovich. Di bawah solusi khusus untuk sistem pertidaksamaan memahami satu solusi tunggal. Pada gilirannya solusi umum sistem pertidaksamaan- ini semua adalah keputusan pribadinya. Namun, istilah-istilah ini masuk akal hanya ketika diperlukan untuk menekankan solusi mana yang sedang dibahas, tetapi biasanya ini sudah jelas dari konteksnya, jadi lebih umum untuk hanya mengatakan "pemecahan sistem ketidaksetaraan".

Dari definisi sistem pertidaksamaan dan solusi yang diperkenalkan dalam artikel ini, dapat disimpulkan bahwa solusi dari sistem pertidaksamaan adalah perpotongan dari himpunan solusi dari semua pertidaksamaan sistem ini.

Bibliografi.

1. Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. MENGGUNAKAN-2013. Matematika: pilihan ujian khas: 30 pilihan / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Penerbitan "Pendidikan Nasional", 2012. - 192 hal. - (USE-2013. FIPI - sekolah).

Himpunan dua atau lebih pertidaksamaan linier yang memiliki besaran sama yang tidak diketahui disebut

Berikut adalah contoh sistem tersebut:

Interval perpotongan dua sinar adalah solusi kami. Oleh karena itu, solusi dari pertidaksamaan ini adalah semua X terletak antara dua dan delapan.

Menjawab: X

Penerapan jenis pemetaan solusi sistem pertidaksamaan ini kadang-kadang disebut metode atap.

Definisi: Perpotongan dua himpunan TETAPI dan PADA disebut himpunan ketiga, yang mencakup semua elemen yang termasuk dalam dan di TETAPI dan masuk PADA. Inilah arti dari perpotongan himpunan yang bersifat arbitrer. Kami sekarang mempertimbangkan set numerik secara rinci, oleh karena itu, ketika menemukan pertidaksamaan linier, set tersebut adalah sinar - diarahkan bersama, berlawanan arah, dan seterusnya.

Mari kita cari tahu secara nyata contoh menemukan sistem pertidaksamaan linier, cara menentukan perpotongan himpunan solusi pertidaksamaan individu yang termasuk dalam sistem.

Menghitung sistem ketidaksetaraan:

Mari kita tempatkan dua garis gaya satu di bawah yang lain. Di atas kami menempatkan nilai-nilai itu X, yang memenuhi pertidaksamaan pertama x>7 , dan di bagian bawah - yang bertindak sebagai solusi untuk pertidaksamaan kedua x>10 Kami mengkorelasikan hasil garis bilangan, temukan bahwa kedua pertidaksamaan akan dipenuhi untuk x>10.

Jawaban: (10;+).

Kami melakukan dengan analogi dengan sampel pertama. Pada sumbu numerik tertentu, plot semua nilai tersebut X yang pertama ada ketidaksetaraan sistem, dan pada sumbu numerik kedua, ditempatkan di bawah yang pertama, semua nilai tersebut X, yang memenuhi pertidaksamaan kedua dari sistem. Mari kita bandingkan kedua hasil ini dan tentukan bahwa kedua pertidaksamaan akan dipenuhi secara bersamaan untuk semua nilai X terletak antara 7 dan 10, dengan mempertimbangkan tanda-tanda, kami mendapatkan 7<x≤10

Jawaban: (7; 10].

Berikut ini diselesaikan dengan cara yang sama. sistem ketidaksetaraan.