Teori:

Saat menyelesaikan pertidaksamaan, aturan berikut digunakan:

1. Setiap suku pertidaksamaan dapat dipindahkan dari satu bagian
pertidaksamaan ke yang lain dengan tanda yang berlawanan, sedangkan tanda pertidaksamaan tidak berubah.

2. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan atau dibagi satu
dan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda pertidaksamaan.

3. Kedua bagian pertidaksamaan dapat dikalikan atau dibagi satu
dan bilangan negatif yang sama, sambil mengubah tanda pertidaksamaan menjadi
di depan.

Selesaikan pertidaksamaan 8x + 11< − 3 x − 4
Keputusan.

1. Pindahkan anggota 3x ke sisi kiri pertidaksamaan, dan istilah 11 - ke sisi kanan pertidaksamaan, sambil mengubah tanda menjadi berlawanan y 3x dan di 11 .
Kemudian kita mendapatkan

8x + 3x< − 4 − 11

5x< − 15

2. Bagilah kedua bagian pertidaksamaan tersebut 5x< − 15 ke bilangan negatif − 5 , sedangkan tanda pertidaksamaan < , akan berubah menjadi > , yaitu kita akan beralih ke ketidaksetaraan makna yang berlawanan.
Kita mendapatkan:

5x< − 15 | : (− 5 )

x > 15 : (−5)

x > 3

x > 3 adalah solusi dari pertidaksamaan yang diberikan.

Perhatian!

Ada dua opsi untuk menulis solusi: x > 3 atau sebagai rentang numerik.

Kami menandai himpunan solusi pertidaksamaan pada garis nyata dan menulis jawabannya sebagai interval numerik.

x (3 ; + ∞ )

Menjawab: x > 3 atau x (3 ; + ∞ )

ketidaksetaraan aljabar.

Pertidaksamaan persegi. Ketidaksetaraan rasional derajat yang lebih tinggi.

Metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan terutama bergantung pada kelas mana fungsi-fungsi yang menyusun pertidaksamaan tersebut.

1. Saya. Pertidaksamaan kuadrat, yaitu pertidaksamaan bentuk

kapak 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, Anda dapat:

1. Faktorkan trinomial kuadrat, yaitu, tulis pertidaksamaan sebagai

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Letakkan akar polinomial pada garis bilangan. Akar membagi himpunan bilangan real ke dalam interval, di mana masing-masing fungsi kuadrat yang sesuai akan bertanda konstan.
2. Tentukan tanda a (x - x 1) (x - x 2) pada setiap celah dan tuliskan jawabannya.

Jika suatu trinomial persegi tidak memiliki akar, maka untuk D<0 и a>0 adalah trinomial persegi untuk setiap x positif.

• Memecahkan ketidaksetaraan. x 2 + x - 6 > 0.

Memfaktorkan trinomial kuadrat (x + 3) (x - 2) > 0

Jawaban: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Pertidaksamaan ini berlaku untuk setiap x kecuali x = 6.

Jawaban: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Di sini D< 0, a = 1 >0. Trinomial kuadrat positif untuk semua x.

Jawaban: x .

Memecahkan ketidaksetaraan:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 0. Jawaban:
3. 3x² - 7x + 5 0. Jawaban:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Jawaban:
5. Untuk berapa nilai a pertidaksamaan?

x² - ax > berlaku untuk x apa saja? Menjawab:

1. II. Ketidaksetaraan rasional derajat yang lebih tinggi, yaitu, ketidaksetaraan bentuk

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Polinomial dengan derajat tertinggi harus difaktorkan, yaitu pertidaksamaan harus ditulis dalam bentuk

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Tandai pada garis bilangan titik-titik di mana polinomial menghilang.

Tentukan tanda-tanda polinomial pada setiap interval.

1) Selesaikan pertidaksamaan x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1)(x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Jadi x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Jawaban: (0; 1) (2; 3).

2) Memecahkan pertidaksamaan (x -1) 5 (x + 2) (x - ) 7 (2x + 1) 4<0.

Pada sumbu nyata, tandai titik-titik di mana polinomial menghilang. Ini adalah x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d , x \u003d - .

Pada titik x \u003d - , tidak ada perubahan tanda, karena binomial (2x + 1) dinaikkan menjadi pangkat genap, yaitu, ekspresi (2x + 1) 4 tidak berubah tanda ketika melewati titik x \u003d - .

Jawaban: (-∞; -2) (½; 1).

3) Selesaikan pertidaksamaan: x 2 (x + 2) (x - 3) 0.

Pertidaksamaan ini ekuivalen dengan himpunan berikut:

Solusi untuk (1) adalah x (-∞; -2) (3; +∞). Solusi (2) adalah x = 0, x = -2, x = 3. Menggabungkan solusi yang diperoleh, kita mendapatkan x (-∞; -2] (0) (0) .

Dengan memperoleh kemampuan untuk bekerja dengan pertidaksamaan linier, solusi mereka dapat ditulis secara singkat tanpa penjelasan. Dalam hal ini, pertidaksamaan linier awal ditulis terlebih dahulu, dan di bawah ini adalah pertidaksamaan ekuivalen yang diperoleh pada setiap langkah penyelesaian:
3x+12≤0 ;
3x≤−12 ;
x≤−4 .

Menjawab:

x≤−4 atau (−∞, 4] .

Contoh.

Daftar semua solusi dari pertidaksamaan linier 2.7 z>0 .

Keputusan.

Disini koefisien a dengan variabel z adalah 2.7. Dan koefisien b tidak ada dalam bentuk eksplisit, yaitu sama dengan nol. Oleh karena itu, langkah pertama dari algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan satu variabel tidak perlu dilakukan, karena pemindahan nol dari ruas kiri ke kanan tidak akan mengubah bentuk pertidaksamaan semula.

Tetap membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 2.7, ingat untuk membalikkan tanda pertidaksamaan, karena 2.7 adalah bilangan negatif. Kita punya (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , dan selanjutnya z<0 .

Dan sekarang secara singkat:
2,7 z>0 ;
z<0 .

Menjawab:

z<0 или (−∞, 0) .

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan .

Keputusan.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan koefisien a untuk variabel x sama dengan 5 dan dengan koefisien b yang sesuai dengan pecahan 15/22. Kami bertindak sesuai dengan skema yang terkenal: pertama kami mentransfer 15/22 ke sisi kanan dengan tanda yang berlawanan, setelah itu kami membagi kedua bagian pertidaksamaan dengan angka negatif 5, sambil mengubah tanda pertidaksamaan:

Transisi terakhir di sisi kanan menggunakan , lalu dieksekusi .

Menjawab:

Sekarang mari kita beralih ke kasus ketika a=0 . Prinsip penyelesaian pertidaksamaan linier a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Berdasarkan apa itu? Sangat sederhana: pada definisi solusi untuk ketidaksetaraan. Bagaimana? Ya, ini dia: berapa pun nilai variabel x yang kita substitusikan ke dalam pertidaksamaan linier asli, kita mendapatkan pertidaksamaan numerik dalam bentuk b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Mari kita rumuskan alasan di atas dalam bentuk algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Pertimbangkan pertidaksamaan numerik b<0 (≤, >, ) dan
• jika benar, maka solusi pertidaksamaan awal adalah bilangan apa saja;
• jika salah, maka pertidaksamaan linier asal tidak memiliki solusi.

Sekarang mari kita lihat ini dengan contoh.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan 0 x+7>0 .

Keputusan.

Untuk setiap nilai variabel x, pertidaksamaan linier 0 x+7>0 berubah menjadi pertidaksamaan numerik 7>0 . Pertidaksamaan terakhir benar, oleh karena itu, bilangan apa pun adalah solusi dari pertidaksamaan asal.

Menjawab:

solusinya adalah bilangan apa saja atau (−∞, +∞) .

Contoh.

Apakah pertidaksamaan linier memiliki solusi 0 x−12.7≥0 .

Keputusan.

Jika kita mensubstitusikan bilangan apa pun sebagai ganti variabel x, maka pertidaksamaan asli berubah menjadi pertidaksamaan numerik 12,7≥0, yang salah. Dan ini berarti tidak ada bilangan yang merupakan solusi dari pertidaksamaan linier 0 x−12.7≥0 .

Menjawab:

tidak.

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kita akan menganalisis solusi dari dua pertidaksamaan linier, yang keduanya koefisiennya sama dengan nol.

Contoh.

Manakah dari pertidaksamaan linier 0 x+0>0 dan 0 x+0≥0 yang tidak memiliki solusi, dan mana yang memiliki banyak solusi?

Keputusan.

Jika kita mengganti angka apa pun sebagai ganti variabel x, maka pertidaksamaan pertama akan berbentuk 0>0 , dan yang kedua - 0≥0 . Yang pertama salah, dan yang kedua benar. Oleh karena itu, pertidaksamaan linier 0 x+0>0 tidak memiliki solusi, dan pertidaksamaan 0 x+0≥0 memiliki banyak solusi, yaitu, solusinya adalah bilangan apa pun.

Menjawab:

pertidaksamaan 0 x+0>0 tidak memiliki solusi, dan pertidaksamaan 0 x+0≥0 memiliki banyak solusi.

metode interval

Secara umum, metode interval dipelajari dalam kursus aljabar sekolah lebih lambat dari topik penyelesaian pertidaksamaan linier dengan satu variabel yang dibahas. Tetapi metode interval memungkinkan penyelesaian berbagai pertidaksamaan, termasuk pertidaksamaan linier. Oleh karena itu, mari kita membahasnya.

Kami segera mencatat bahwa disarankan untuk menggunakan metode interval untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan koefisien bukan-nol untuk variabel x. Jika tidak, kesimpulan tentang solusi pertidaksamaan lebih cepat dan lebih mudah dibuat dengan cara yang dibahas di akhir paragraf sebelumnya.

Metode interval menyiratkan

• pengenalan fungsi yang sesuai dengan sisi kiri pertidaksamaan, dalam kasus kami - fungsi linear y=a x+b ,
• menemukan nolnya, yang membagi domain definisi menjadi interval,
• penentuan tanda-tanda yang memiliki nilai-nilai fungsi pada interval-interval ini, atas dasar itu kesimpulan dibuat tentang solusi pertidaksamaan linier.

Ayo kumpulkan momen-momen ini di algoritma, mengungkapkan cara menyelesaikan pertidaksamaan linier a x+b<0 (≤, >, ) pada a≠0 dengan metode interval:

• Angka nol dari fungsi y=a x+b ditemukan, untuk itu a x+b=0 diselesaikan. Seperti yang Anda ketahui, untuk a≠0 ia memiliki akar tunggal, yang kami nyatakan x 0 .
• Itu dibangun, dan sebuah titik dengan koordinat x 0 digambarkan di atasnya. Selain itu, jika ketidaksetaraan ketat diselesaikan (dengan tanda< или >), maka titik ini dibuat tusukan (dengan bagian tengah kosong), dan jika tidak tegas (dengan tanda atau ), maka dibuat titik beraturan. Titik ini membagi garis koordinat menjadi dua interval (−∞, x 0) dan (x 0 , +∞) .
• Tanda-tanda fungsi y=a·x+b pada interval ini ditentukan. Untuk melakukan ini, nilai fungsi ini dihitung pada setiap titik interval (−∞, x 0 ), dan tanda nilai ini akan menjadi tanda yang diinginkan pada interval (−∞, x 0). Demikian pula, tanda pada interval (x 0 , +∞) bertepatan dengan tanda nilai fungsi y=a·x+b pada sembarang titik dalam interval ini. Tetapi Anda dapat melakukannya tanpa perhitungan ini, dan menarik kesimpulan tentang tanda-tanda dengan nilai koefisien a: jika a>0, maka pada interval (−∞, x 0) dan (x 0, +∞) akan ada tanda - dan +, masing-masing, dan jika a >0 , maka + dan .
• Jika pertidaksamaan dengan tanda > atau diselesaikan, maka penetasan ditempatkan di atas celah dengan tanda plus, dan jika pertidaksamaan dengan tanda diselesaikan< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Perhatikan contoh penyelesaian pertidaksamaan linier dengan metode interval.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan 3 x+12>0 .

Keputusan.

Segera setelah kami menganalisis metode interval, maka kami akan menggunakannya. Menurut algoritma, pertama kita cari akar persamaan 3 x+12=0 , 3 x=−12 , x=4 . Selanjutnya, kami menggambarkan garis koordinat dan menandai di atasnya sebuah titik dengan koordinat 4, dan kami membuat titik ini dilubangi, karena kami memecahkan ketidaksetaraan yang ketat:

Sekarang kita mendefinisikan tanda-tanda pada interval. Untuk menentukan tanda pada interval (−∞, 4), Anda dapat menghitung nilai fungsi y=−3 x+12 , misalnya untuk x=3 . Kami memiliki 3 3+12=3>0 , yang berarti bahwa tanda + ada pada interval ini. Untuk menentukan tanda pada interval lain (4, +∞), Anda dapat menghitung nilai fungsi y=−3 x+12 , misalnya pada titik x=5 . Kami memiliki 3 5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita menggambar lubang di atas celah dengan tanda +, gambarnya berbentuk

Berdasarkan gambar yang dihasilkan, kami menyimpulkan bahwa solusi yang diinginkan adalah (−∞, 4) atau dalam notasi lain x<4 .

Menjawab:

(−∞, 4) atau x<4 .

Secara grafis

Sangat berguna untuk memiliki gagasan tentang interpretasi geometris untuk memecahkan pertidaksamaan linier dalam satu variabel. Untuk mendapatkannya, mari kita pertimbangkan empat pertidaksamaan linier dengan sisi kiri yang sama: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 dan 0,5 x−1≥0 , solusinya masing-masing adalah x<2 , x≤2 , x>2 dan x≥2 , dan juga menggambar grafik fungsi linier y=0,5 x−1 .

Sangat mudah untuk melihat itu

• solusi dari pertidaksamaan 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• penyelesaian pertidaksamaan 0,5 x−1≤0 adalah interval di mana grafik fungsi y=0,5 x−1 berada di bawah sumbu Ox atau berimpit dengannya (dengan kata lain, tidak di atas sumbu absis),
• demikian pula, solusi untuk pertidaksamaan 0,5 x−1>0 adalah interval di mana grafik fungsi berada di atas sumbu Ox (bagian grafik ini ditunjukkan dengan warna merah),
• dan solusi pertidaksamaan 0,5 x−1≥0 adalah interval di mana grafik fungsi lebih tinggi atau berimpit dengan sumbu x.

Cara grafis untuk memecahkan ketidaksetaraan, khususnya yang linier, dan menyiratkan menemukan interval di mana grafik fungsi yang sesuai dengan sisi kiri pertidaksamaan terletak di atas, di bawah, tidak lebih rendah atau tidak lebih tinggi dari grafik fungsi yang sesuai dengan sisi kanan dari ketidaksamaan. Dalam kasus pertidaksamaan linier kami, fungsi yang bersesuaian dengan ruas kiri adalah y=a x+b , dan ruas kanan adalah y=0 , bertepatan dengan sumbu Ox.

Mengingat informasi di atas, mudah untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier secara grafis:

• Grafik fungsi y=a x+b dibangun (Anda dapat secara skematis) dan
• menyelesaikan pertidaksamaan a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• ketika memecahkan pertidaksamaan a x+b≤0, interval ditentukan di mana grafik lebih rendah atau bertepatan dengan sumbu Ox ,
• ketika menyelesaikan pertidaksamaan a x+b>0, interval ditentukan di mana grafik berada di atas sumbu Ox,
• ketika memecahkan pertidaksamaan a x+b≥0, interval ditentukan di mana grafik lebih tinggi atau bertepatan dengan sumbu Ox .

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan secara grafis.

Keputusan.

Mari kita buat sketsa grafik fungsi linier . Ini adalah garis lurus yang berkurang karena koefisien di x negatif. Kita juga membutuhkan koordinat titik potongnya dengan sumbu absis, itu adalah akar persamaan , yang sama dengan . Untuk tujuan kita, kita bahkan tidak perlu menggambar sumbu Oy. Jadi gambar skema kita akan terlihat seperti ini

Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda >, kita tertarik pada interval di mana grafik fungsi berada di atas sumbu Ox. Untuk kejelasan, kami akan menyorot bagian grafik ini dengan warna merah, dan untuk dengan mudah menentukan interval yang sesuai dengan bagian ini, kami akan menyorot dengan warna merah bagian bidang koordinat tempat bagian grafik yang dipilih berada, sebagai pada gambar di bawah ini:

Interval yang menarik bagi kami adalah bagian dari sumbu Ox, yang ternyata disorot dengan warna merah. Jelas ini adalah balok nomor terbuka . Ini adalah solusi yang diinginkan. Perhatikan bahwa jika kita menyelesaikan pertidaksamaan bukan dengan tanda >, tetapi dengan tanda pertidaksamaan tak tegas , maka kita harus menambahkan jawabannya, karena pada titik ini grafik fungsi bertepatan dengan sumbu Ox .y=0·x+7 , yang sama dengan y=7 , mendefinisikan garis lurus pada bidang koordinat yang sejajar dengan sumbu Ox dan terletak di atasnya. Jadi, pertidaksamaan 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Dan grafik fungsi y=0 x+0 , yang sama dengan y=0 , merupakan garis lurus yang berimpit dengan sumbu Ox . Oleh karena itu, solusi pertidaksamaan 0 x+0≥0 adalah himpunan semua bilangan real.

Menjawab:

pertidaksamaan kedua, solusinya adalah bilangan real apa pun.

Pertidaksamaan linier

Sejumlah besar pertidaksamaan dengan bantuan transformasi ekuivalen dapat digantikan oleh pertidaksamaan linier ekuivalen, dengan kata lain, direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Pertidaksamaan seperti itu disebut pertidaksamaan berkurang menjadi linier.

Di sekolah, hampir bersamaan dengan solusi pertidaksamaan linier, mereka juga mempertimbangkan pertidaksamaan sederhana yang direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Mereka adalah kasus khusus. pertidaksamaan bilangan bulat, yaitu, di bagian kiri dan kanannya ada ekspresi bilangan bulat yang mewakili or binomial linier, atau dikonversi ke mereka oleh dan . Untuk kejelasan, kami memberikan beberapa contoh pertidaksamaan tersebut: 5−2 x>0 , 7 (x−1)+3≤4 x−2+x , .

Pertidaksamaan yang bentuknya mirip dengan yang ditunjukkan di atas selalu dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Ini dapat dilakukan dengan membuka tanda kurung, membawa suku-suku sejenis, menyusun kembali suku-suku dan memindahkan suku-suku dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda.

Misalnya, untuk mengurangi pertidaksamaan 5−2 x>0 menjadi pertidaksamaan linier, cukup dengan mengatur ulang suku di ruas kirinya, kita memiliki 2 x+5>0 . Untuk mengurangi pertidaksamaan kedua 7 (x−1)+3≤4 x−2+x menjadi pertidaksamaan linier, kita memerlukan sedikit usaha lagi: di sisi kiri kita buka tanda kurung 7 x−7+3≤4 x− 2+x , setelah itu kita bawa suku-suku sejenis di kedua bagian 7 x−4≤5 x−2 , lalu kita pindahkan suku-sukunya dari ruas kanan ke kiri 7 x−4−5 x+2≤0 , akhirnya kita berikan suku-suku sejenis di ruas kiri 2 ·x−2≤0 . Demikian pula, pertidaksamaan ketiga dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier.

Karena ketidaksetaraan seperti itu selalu dapat direduksi menjadi yang linier, beberapa penulis bahkan menyebutnya linier juga. Namun, kami akan menganggapnya linier.

Sekarang menjadi jelas mengapa ketidaksetaraan seperti itu dianggap bersama dengan ketidaksetaraan linier. Dan prinsip solusi mereka benar-benar sama: dengan melakukan transformasi yang setara, mereka dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan dasar, yang merupakan solusi yang diinginkan.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan semacam ini, pertama-tama Anda dapat mereduksinya menjadi pertidaksamaan linier, lalu menyelesaikan pertidaksamaan linier ini. Tetapi lebih rasional dan lebih nyaman untuk melakukan ini:

• setelah membuka tanda kurung, kumpulkan semua suku dengan variabel di sisi kiri pertidaksamaan, dan semua angka di sebelah kanan,
• dan kemudian tambahkan istilah seperti,
• dan kemudian, bagi kedua bagian dari pertidaksamaan yang diperoleh dengan koefisien di x (jika, tentu saja, berbeda dari nol). Ini akan memberikan jawabannya.

Contoh.

Selesaikan pertidaksamaan 5 (x+3)+x≤6 (x−3)+1 .

Keputusan.

Pertama, kita buka tanda kurung, sebagai hasilnya kita sampai pada pertidaksamaan 5 x+15+x≤6 x−18+1 . Sekarang kami menyajikan istilah serupa: 6 x+15≤6 x−17 . Kemudian kami mentransfer istilah dari sisi kiri, kami mendapatkan 6 x+15−6 x+17≤0 , dan sekali lagi membawa suku yang serupa (yang membawa kami ke pertidaksamaan linier 0 x+32≤0 ) dan kami memiliki 32≤0 . Jadi kami sampai pada ketidaksetaraan numerik yang salah, dari mana kami menyimpulkan bahwa ketidaksetaraan asli tidak memiliki solusi.

Menjawab:

tidak ada solusi.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa ada banyak ketidaksetaraan lain yang mengurangi ketidaksetaraan linier, atau ketidaksetaraan bentuk yang dipertimbangkan di atas. Misalnya, solusi pertidaksamaan eksponensial 5 2 x−1 1 direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan linier 2 x−1≥0 . Tetapi kita akan membicarakan ini ketika kita menganalisis solusi dari ketidaksetaraan dari bentuk yang sesuai.

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Aljabar. Kelas 9 Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar dan awal analisis matematika. Kelas 11. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-2, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.

Pertama, beberapa lirik untuk memahami masalah yang dipecahkan oleh metode interval. Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan berikut:

(x 5)(x + 3) > 0

Apa saja pilihannya? Hal pertama yang terlintas di benak sebagian besar siswa adalah aturan “ditambah kali tambah tambah tambah” dan “kurang kali kurang tambah tambah”. Oleh karena itu, cukup untuk mempertimbangkan kasus ketika kedua kurung positif: x 5 > 0 dan x + 3 > 0. Kemudian kita juga mempertimbangkan kasus ketika kedua kurung negatif: x 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Siswa yang lebih mahir akan mengingat (mungkin) bahwa di sebelah kiri adalah fungsi kuadrat yang grafiknya parabola. Selain itu, parabola ini memotong sumbu OX di titik x = 5 dan x = 3. Untuk pekerjaan lebih lanjut, Anda perlu membuka kurung. Kita punya:

x 2 2x 15 > 0

Sekarang jelas bahwa cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, karena koefisien a = 1 > 0. Mari kita coba menggambar diagram parabola ini:

Fungsi lebih besar dari nol di mana ia lewat di atas sumbu OX. Dalam kasus kami, ini adalah interval (−∞ 3) dan (5; +∞) - ini adalah jawabannya.

Harap dicatat bahwa gambar menunjukkan dengan tepat diagram fungsi, bukan jadwalnya. Karena untuk grafik nyata, Anda perlu menghitung koordinat, menghitung offset, dan omong kosong lainnya, yang tidak kita perlukan sama sekali sekarang.

Mengapa metode ini tidak efektif?

Jadi, kami telah mempertimbangkan dua solusi untuk ketidaksetaraan yang sama. Keduanya ternyata sangat merepotkan. Keputusan pertama muncul - pikirkan saja! adalah seperangkat sistem ketidaksetaraan. Solusi kedua juga tidak terlalu mudah: Anda perlu mengingat grafik parabola dan banyak fakta kecil lainnya.

Itu adalah ketidaksetaraan yang sangat sederhana. Ini hanya memiliki 2 pengganda. Sekarang bayangkan bahwa tidak akan ada 2 pengganda, tetapi setidaknya 4. Misalnya:

(x 7)(x 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Bagaimana cara mengatasi ketidaksetaraan seperti itu? Pergi melalui semua kemungkinan kombinasi pro dan kontra? Ya, kita akan tertidur lebih cepat daripada menemukan solusi. Menggambar grafik juga bukan pilihan, karena tidak jelas bagaimana fungsi tersebut berperilaku pada bidang koordinat.

Untuk ketidaksetaraan seperti itu, diperlukan algoritma solusi khusus, yang akan kita bahas hari ini.

Apa metode intervalnya?

Metode interval adalah algoritma khusus yang dirancang untuk menyelesaikan pertidaksamaan kompleks dalam bentuk f (x) > 0 dan f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Selesaikan persamaan f (x) \u003d 0. Jadi, alih-alih pertidaksamaan, kita mendapatkan persamaan yang jauh lebih mudah untuk diselesaikan;
2. Tandai semua akar yang diperoleh pada garis koordinat. Dengan demikian, garis lurus akan dibagi menjadi beberapa interval;
3. Cari tahu tanda (plus atau minus) dari fungsi f (x) pada interval paling kanan. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengganti f (x) bilangan apa pun yang berada di sebelah kanan semua akar yang ditandai;
4. Tandai tanda pada interval lain. Untuk melakukan ini, cukup diingat bahwa ketika melewati setiap root, tandanya berubah.

Itu saja! Setelah itu, tinggal menuliskan interval yang menarik minat kita. Ditandai dengan tanda “+” jika pertidaksamaan berbentuk f (x) > 0, atau tanda “−” jika pertidaksamaan berbentuk f (x)< 0.

Sepintas, mungkin tampak bahwa metode interval adalah semacam timah. Namun dalam praktiknya, semuanya akan sangat sederhana. Dibutuhkan sedikit latihan - dan semuanya akan menjadi jelas. Lihatlah contoh dan lihat sendiri:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

(x 2)(x + 7)< 0

Kami bekerja pada metode interval. Langkah 1: Ganti pertidaksamaan dengan persamaan dan selesaikan:

(x 2)(x + 7) = 0

Hasil kali sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu faktornya sama dengan nol:

x 2 = 0 x = 2;
x + 7 = 0 x = 7.

Punya dua akar. Lanjutkan ke langkah 2: tandai akar-akar ini pada garis koordinat. Kita punya:

Sekarang langkah 3: kita menemukan tanda fungsi pada interval paling kanan (di sebelah kanan titik yang ditandai x = 2). Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil angka apa pun yang lebih besar dari angka x = 2. Misalnya, mari kita ambil x = 3 (tetapi tidak ada yang melarang mengambil x = 4, x = 10, dan genap x = 10.000). Kita mendapatkan:

f(x) = (x 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Kita peroleh bahwa f (3) = 10 > 0, jadi kita beri tanda tambah pada interval paling kanan.

Kami lolos ke poin terakhir - perlu diperhatikan tanda-tanda pada interval yang tersisa. Ingatlah bahwa ketika melewati setiap akar, tandanya harus berubah. Misalnya, di sebelah kanan akar x = 2 ada plus (kami sudah memastikannya di langkah sebelumnya), jadi di kiri pasti ada minus.

Minus ini meluas ke seluruh interval (−7; 2), jadi ada minus di sebelah kanan akar x = 7. Oleh karena itu, ada plus di sebelah kiri akar x = 7. Tetap menandai tanda-tanda ini pada sumbu koordinat. Kita punya:

Mari kita kembali ke pertidaksamaan awal, yang terlihat seperti:

(x 2)(x + 7)< 0

Jadi fungsinya harus lebih kecil dari nol. Ini berarti bahwa kita tertarik pada tanda minus, yang hanya muncul pada satu interval: (−7; 2). Ini akan menjadi jawabannya.

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

(x + 9)(x 3)(1 x )< 0

Langkah 1: Samakan ruas kiri dengan nol:

(x + 9)(x 3)(1 x ) = 0;
x + 9 = 0 x = 9;
x 3 = 0 x = 3;
1 x = 0 x = 1.

Ingat: hasil kali adalah nol ketika setidaknya salah satu faktornya nol. Itu sebabnya kami memiliki hak untuk menyamakan nol setiap braket individu.

Langkah 2: tandai semua akar pada garis koordinat:

Langkah 3: temukan tanda celah paling kanan. Kita ambil sembarang bilangan yang lebih besar dari x = 1. Sebagai contoh, kita dapat mengambil x = 10. Kita memiliki:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10,
f (10) = (10 + 9)(10 3)(1 10) = 19 7 (−9) = 1197;
f(10) = -1197< 0.

Langkah 4: Tempatkan sisa tanda. Ingatlah bahwa ketika melewati setiap akar, tandanya berubah. Hasilnya, gambar kita akan terlihat seperti ini:

Itu saja. Tetap hanya untuk menulis jawabannya. Perhatikan lagi pertidaksamaan aslinya:

(x + 9)(x 3)(1 x )< 0

Ini adalah pertidaksamaan bentuk f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x (−9; 1) (3; +∞)

Ini adalah jawabannya.

Catatan tentang tanda fungsi

Latihan menunjukkan bahwa kesulitan terbesar dalam metode interval muncul pada dua langkah terakhir, yaitu. saat memasang rambu. Banyak siswa mulai bingung: nomor apa yang harus diambil dan di mana harus meletakkan tanda.

Untuk akhirnya memahami metode interval, pertimbangkan dua komentar di mana ia dibangun:

1. Fungsi kontinu berubah tanda hanya pada titik-titik dimana sama dengan nol. Titik-titik tersebut memecah sumbu koordinat menjadi beberapa bagian, di mana tanda fungsi tidak pernah berubah. Itu sebabnya kami memecahkan persamaan f (x) \u003d 0 dan menandai akar yang ditemukan pada garis lurus. Angka-angka yang ditemukan adalah "batas" poin yang memisahkan plus dari minus.
2. Untuk mengetahui tanda suatu fungsi pada sembarang interval, cukup dengan mensubstitusikan sembarang bilangan dari interval ini ke dalam fungsi. Misalnya, untuk interval (−5; 6) kita dapat mengambil x = 4, x = 0, x = 4 dan genap x = 1,29374 jika kita mau. Mengapa itu penting? Ya, karena banyak siswa mulai menggerogoti keraguan. Seperti, bagaimana jika untuk x = 4 kita mendapat nilai plus, dan untuk x = 0 kita mendapat minus? Hal seperti itu tidak akan pernah terjadi. Semua titik dalam interval yang sama memberikan tanda yang sama. Ingat ini.

Itu saja yang perlu Anda ketahui tentang metode interval. Tentu saja, kami telah membongkarnya dalam bentuk yang paling sederhana. Ada ketidaksetaraan yang lebih kompleks - tidak ketat, pecahan dan dengan akar berulang. Bagi mereka, Anda juga dapat menerapkan metode interval, tetapi ini adalah topik untuk pelajaran besar yang terpisah.

Sekarang saya ingin menganalisis trik lanjutan yang secara drastis menyederhanakan metode interval. Lebih tepatnya, penyederhanaan hanya mempengaruhi langkah ketiga - perhitungan tanda di bagian paling kanan dari garis. Untuk beberapa alasan, teknik ini tidak diadakan di sekolah (setidaknya tidak ada yang menjelaskan hal ini kepada saya). Tapi sia-sia - sebenarnya, algoritma ini sangat sederhana.

Jadi, tanda fungsi ada di bagian kanan sumbu numerik. Bagian ini memiliki bentuk (a; +∞), di mana a adalah akar terbesar dari persamaan f (x) = 0. Agar tidak mengacaukan otak kita, perhatikan contoh spesifik:

(x 1)(2 + x )(7 x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x 1)(2 + x )(7 x ) = 0;
x 1 = 0 x = 1;
2 + x = 0 x = 2;
7 x = 0 x = 7;

Kami mendapat 3 akar. Kami daftar mereka dalam urutan menaik: x = 2, x = 1 dan x = 7. Jelas, akar terbesar adalah x = 7.

Bagi mereka yang merasa lebih mudah untuk bernalar secara grafis, saya akan menandai akar-akar ini pada garis koordinat. Mari lihat apa yang terjadi:

Diperlukan untuk menemukan tanda fungsi f (x) pada interval paling kanan, yaitu. pada (7; +∞). Tetapi seperti yang telah kami catat, untuk menentukan tanda, Anda dapat mengambil nomor berapa pun dari interval ini. Misalnya, Anda dapat mengambil x = 8, x = 150, dst. Dan sekarang - teknik yang sama yang tidak diajarkan di sekolah: mari kita anggap tak terhingga sebagai angka. Lebih tepatnya, ditambah tak terhingga, yaitu +∞.

"Apakah kamu dilempari batu? Bagaimana Anda bisa mengganti infinity menjadi suatu fungsi? mungkin, Anda bertanya. Tetapi pikirkanlah: kita tidak membutuhkan nilai fungsi itu sendiri, kita hanya membutuhkan tandanya. Oleh karena itu, misalnya, nilai f (x) = 1 dan f (x) = 938 740 576 215 memiliki arti yang sama: fungsi negatif pada interval ini. Oleh karena itu, yang Anda perlukan hanyalah menemukan tanda yang muncul di tak hingga, dan bukan nilai fungsinya.

Sebenarnya, mengganti infinity sangat sederhana. Mari kita kembali ke fungsi kita:

f(x) = (x 1)(2 + x)(7 x)

Bayangkan bahwa x adalah bilangan yang sangat besar. Satu miliar atau bahkan satu triliun. Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi di setiap kurung.

Tanda kurung pertama: (x 1). Apa yang terjadi jika Anda mengurangi satu dari satu miliar? Hasilnya akan menjadi angka yang tidak jauh berbeda dengan satu miliar, dan angka ini akan positif. Begitu pula dengan tanda kurung kedua: (2+x). Jika kita menambahkan satu miliar menjadi dua, kita mendapatkan satu miliar dengan kopek - ini adalah angka positif. Akhirnya, kurung ketiga: (7 x ). Di sini akan ada minus satu miliar, dari mana sepotong menyedihkan dalam bentuk tujuh telah "digerogoti". Itu. jumlah yang dihasilkan tidak akan berbeda jauh dari minus satu miliar - itu akan menjadi negatif.

Tetap menemukan tanda dari keseluruhan pekerjaan. Karena kami memiliki plus di kurung pertama, dan minus di kurung terakhir, kami mendapatkan konstruksi berikut:

(+) · (+) · (−) = (−)

Tanda terakhir adalah minus! Tidak masalah apa nilai fungsi itu sendiri. Yang utama adalah nilai ini negatif, mis. pada interval paling kanan ada tanda minus. Tetap menyelesaikan langkah keempat dari metode interval: atur semua tanda. Kita punya:

Ketidaksetaraan asli tampak seperti:

(x 1)(2 + x )(7 x )< 0

Oleh karena itu, kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda minus. Kami menulis jawabannya:

x (−2; 1) (7; +∞)

Itulah seluruh trik yang ingin saya ceritakan. Kesimpulannya, ada satu pertidaksamaan lagi, yang diselesaikan dengan metode interval menggunakan infinity. Untuk mempersingkat solusi secara visual, saya tidak akan menulis nomor langkah dan komentar terperinci. Saya hanya akan menulis apa yang benar-benar perlu ditulis ketika memecahkan masalah nyata:

Tugas. Selesaikan pertidaksamaan:

x (2x + 8)(x 3) > 0

Kami mengganti pertidaksamaan dengan persamaan dan menyelesaikannya:

x (2x + 8)(x 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 x = 4;
x 3 = 0 x = 3.

Kami menandai ketiga akar pada garis koordinat (langsung dengan tanda):

Ada plus di sisi kanan sumbu koordinat, karena fungsinya terlihat seperti:

f(x) = x(2x + 8)(x 3)

Dan jika kita mengganti tak terhingga (misalnya, satu miliar), kita mendapatkan tiga tanda kurung positif. Karena ekspresi asli harus lebih besar dari nol, kami hanya tertarik pada plus. Tetap menulis jawabannya:

x (−4; 0) (3; +∞)

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa "ketidaksamaan kuadrat"? Bukan pertanyaan!) Jika Anda mengambil setiap persamaan kuadrat dan ubah tandanya "=" (sama) dengan ikon ketidaksetaraan ( > ≥ < ≤ ≠ ), kita mendapatkan pertidaksamaan kuadrat. Sebagai contoh:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Nah, Anda mendapatkan ide ...)

Saya sengaja menghubungkan persamaan dan ketidaksetaraan di sini. Faktanya adalah bahwa langkah pertama dalam memecahkan setiap pertidaksamaan kuadrat - selesaikan persamaan dari mana ketidaksetaraan ini dibuat. Untuk alasan ini - ketidakmampuan untuk memecahkan persamaan kuadrat secara otomatis menyebabkan kegagalan total dalam ketidaksetaraan. Apakah petunjuknya jelas?) Jika ada, lihat cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Semuanya detail di sana. Dan dalam pelajaran ini kita akan berurusan dengan ketidaksetaraan.

Pertidaksamaan siap untuk solusi memiliki bentuk: kiri - trinomial persegi kapak 2 +bx+c, di sebelah kanan - nol. Tanda ketidaksetaraan bisa berupa apa saja. Dua contoh pertama ada di sini siap untuk sebuah keputusan. Contoh ketiga masih perlu disiapkan.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Setelah menerima informasi awal tentang pertidaksamaan dengan variabel, kita beralih ke pertanyaan tentang solusi mereka. Mari kita menganalisis solusi pertidaksamaan linier dengan satu variabel dan semua metode untuk penyelesaiannya dengan algoritme dan contoh. Hanya persamaan linier dengan satu variabel yang akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apa itu pertidaksamaan linier?

Pertama, Anda perlu mendefinisikan persamaan linier dan mencari tahu bentuk standarnya dan perbedaannya dari yang lain. Dari pelajaran sekolah kita mengetahui bahwa pertidaksamaan tidak memiliki perbedaan yang mendasar, sehingga harus digunakan beberapa definisi.

Definisi 1

Pertidaksamaan linier dengan satu variabel x adalah pertidaksamaan berbentuk a x + b > 0 jika tanda pertidaksamaan digunakan sebagai ganti >< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definisi 2

Pertidaksamaan a x< c или a · x >c , dengan x menjadi variabel dan a dan c beberapa angka, disebut pertidaksamaan linier dengan satu variabel.

Karena tidak ada yang dikatakan tentang apakah koefisien dapat sama dengan 0 , maka ketidaksetaraan ketat dalam bentuk 0 x > c dan 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Perbedaan mereka adalah:

• notasi a · x + b > 0 pada notasi pertama, dan a · x > c – pada notasi kedua;
• penerimaan koefisien nol a , a 0 - di yang pertama, dan a = 0 - di yang kedua.

Pertidaksamaan a x + b > 0 dan a x > c diyakini ekuivalen, karena diperoleh dengan memindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain. Memecahkan pertidaksamaan 0 · x + 5 > 0 akan mengarah pada fakta bahwa itu perlu diselesaikan, dan kasus a = 0 tidak akan berhasil.

Definisi 3

Pertidaksamaan linier dalam satu variabel x dianggap sebagai pertidaksamaan berbentuk a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b 0 dan ax + b 0, dimana a dan b adalah bilangan real. Alih-alih x, bisa ada bilangan biasa.

Berdasarkan aturan, kita mendapatkan bahwa 4 x 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 0 , - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , 0 , 5 · y 1 , 2 disebut linier.

Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan linier

Cara utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut adalah dengan menggunakan transformasi ekuivalen untuk menemukan pertidaksamaan elementer x< p (≤ , >, ) , p adalah suatu bilangan, untuk a 0 , dan berbentuk a< p (≤ , >, ) untuk a = 0 .

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel, Anda dapat menerapkan metode interval atau merepresentasikannya secara grafis. Salah satu dari mereka dapat digunakan secara terpisah.

Menggunakan transformasi setara

Menyelesaikan pertidaksamaan linier berbentuk a x + b< 0 (≤ , >, ) , maka perlu menerapkan transformasi ekuivalen pertidaksamaan. Koefisien mungkin atau mungkin tidak nol. Mari kita pertimbangkan kedua kasus tersebut. Untuk memperjelas, perlu untuk mematuhi skema yang terdiri dari 3 poin: esensi dari proses, algoritme, solusi itu sendiri.

Definisi 4

Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier a x + b< 0 (≤ , >, ) untuk 0

• nomor b akan dipindahkan ke sisi kanan pertidaksamaan dengan tanda yang berlawanan, yang akan memungkinkan kita untuk sampai pada persamaan a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• kedua bagian pertidaksamaan akan dibagi dengan angka yang tidak sama dengan 0. Selain itu, ketika a positif, tandanya tetap, ketika a negatif, berubah menjadi sebaliknya.

Pertimbangkan penerapan algoritma ini untuk memecahkan contoh.

Contoh 1

Selesaikan pertidaksamaan berbentuk 3 · x + 12 0 .

Keputusan

Pertidaksamaan linier ini memiliki a = 3 dan b = 12 . Oleh karena itu, koefisien a dari x tidak sama dengan nol. Mari kita terapkan algoritma di atas dan selesaikan.

Perlu untuk memindahkan suku 12 ke bagian lain dari pertidaksamaan dengan perubahan tanda di depannya. Kemudian kita memperoleh pertidaksamaan dalam bentuk 3 · x 12 . Kedua bagian harus dibagi 3. Tanda tidak akan berubah karena 3 adalah bilangan positif. Didapatkan (3 x) : 3 (− 12) : 3 , yang akan memberikan hasil x − 4 .

Pertidaksamaan bentuk x 4 adalah ekuivalen. Artinya, solusi untuk 3 x + 12 0 adalah sembarang bilangan real yang lebih kecil dari atau sama dengan 4 . Jawabannya ditulis sebagai pertidaksamaan x 4 , atau interval numerik dalam bentuk (− ∞ , 4 ] .

Seluruh algoritma yang dijelaskan di atas ditulis sebagai berikut:

3 x + 12 0; 3 x 12 ; x 4 .

Menjawab: x 4 atau (− , 4 ] .

Contoh 2

Tunjukkan semua solusi yang tersedia dari pertidaksamaan 2 , 7 · z > 0 .

Keputusan

Dari kondisi tersebut terlihat bahwa koefisien a pada z sama dengan - 2, 7, dan b secara eksplisit tidak ada atau sama dengan nol. Anda tidak dapat menggunakan langkah pertama dari algoritma, tetapi segera lanjutkan ke langkah kedua.

Kami membagi kedua bagian persamaan dengan angka - 2, 7. Karena bilangan tersebut negatif, maka tanda pertidaksamaan harus diubah menjadi kebalikannya. Artinya, kita peroleh bahwa (− 2 , 7 z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Kami menulis seluruh algoritma dalam bentuk singkat:

2 , 7 z > 0 ; z< 0 .

Menjawab: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Contoh 3

Selesaikan pertidaksamaan - 5 · x - 15 22 0 .

Keputusan

Berdasarkan kondisi tersebut, kita melihat bahwa perlu untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan koefisien a untuk variabel x, yang sama dengan - 5, dengan koefisien b, yang sesuai dengan pecahan - 15 22 . Hal ini diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan mengikuti algoritma, yaitu: pindahkan - 15 22 ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan, bagi kedua bagian dengan - 5, ubah tanda pertidaksamaan:

5 x 15 22 ; - 5 x: - 5 15 22: - 5 x - 3 22

Pada transisi terakhir untuk sisi kanan, aturan untuk membagi angka dengan tanda yang berbeda digunakan 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, setelah itu kita membagi pecahan biasa dengan bilangan asli - 15 22: 5 \ u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22 .

Menjawab: x - 3 22 dan [ - 3 22 + ) .

Pertimbangkan kasus ketika a = 0. Ekspresi linier dari bentuk a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Semuanya didasarkan pada definisi solusi pertidaksamaan. Untuk setiap nilai x, kita memperoleh pertidaksamaan numerik dalam bentuk b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Kami mempertimbangkan semua penilaian dalam bentuk algoritme untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definisi 5

Pertidaksamaan numerik dalam bentuk b< 0 (≤ , >, ) benar, maka pertidaksamaan asal memiliki solusi untuk sembarang nilai, dan salah jika pertidaksamaan asal tidak memiliki solusi.

Contoh 4

Selesaikan pertidaksamaan 0 · x + 7 > 0 .

Keputusan

Pertidaksamaan linier 0 · x + 7 > 0 ini dapat mengambil nilai apa pun x . Kemudian kita mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk 7 > 0 . Pertidaksamaan terakhir dianggap benar, jadi bilangan apa pun bisa menjadi solusinya.

Menjawab: interval (− , + ) .

Contoh 5

Temukan solusi dari pertidaksamaan 0 · x 12 , 7 0 .

Keputusan

Mengganti variabel x untuk sembarang bilangan, kita mendapatkan bahwa pertidaksamaan akan berbentuk 12 , 7 0 . Ini tidak benar. Artinya, 0 · x 12 , 7 0 tidak memiliki solusi.

Menjawab: tidak ada solusi.

Pertimbangkan solusi pertidaksamaan linier, di mana kedua koefisien sama dengan nol.

Contoh 6

Tentukan pertidaksamaan yang tidak dapat diselesaikan dari 0 · x + 0 > 0 dan 0 · x + 0 0 .

Keputusan

Saat mengganti angka apa pun alih-alih x, kami mendapatkan dua ketidaksetaraan dalam bentuk 0 > 0 dan 0 0 . Yang pertama tidak benar. Ini berarti bahwa 0 x + 0 > 0 tidak memiliki solusi, dan 0 x + 0 0 memiliki banyak solusi, yaitu, bilangan berapa pun.

Menjawab: pertidaksamaan 0 x + 0 > 0 tidak memiliki solusi, dan 0 x + 0 0 memiliki solusi.

Metode ini dipertimbangkan dalam kursus matematika sekolah. Metode interval mampu menyelesaikan berbagai macam pertidaksamaan, termasuk pertidaksamaan linier.

Metode interval digunakan untuk pertidaksamaan linier ketika nilai koefisien x tidak sama dengan 0 . Jika tidak, Anda harus menghitung menggunakan metode lain.

Definisi 6

Metode jaraknya adalah:

• pengenalan fungsi y = a x + b ;
• mencari nol untuk membagi domain definisi menjadi interval;
• penentuan tanda-tanda untuk konsep mereka pada interval.

Mari kita susun algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear a x + b< 0 (≤ , >, ) untuk 0 menggunakan metode interval:

• mencari nol dari fungsi y = a · x + b untuk menyelesaikan persamaan berbentuk a · x + b = 0 . Jika a 0, maka solusi akan menjadi satu-satunya akar yang akan mengambil penunjukan x 0;
• konstruksi garis koordinat dengan gambar titik dengan koordinat x 0, dengan pertidaksamaan yang ketat, titik tersebut ditunjukkan dengan meninju, dengan pertidaksamaan tidak tegas, diarsir;
• penentuan tanda-tanda fungsi y = a x + b pada interval, untuk ini perlu mencari nilai fungsi pada titik-titik pada interval;
• solusi pertidaksamaan dengan tanda > atau pada garis koordinat, penetasan ditambahkan di atas celah positif,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Perhatikan beberapa contoh penyelesaian pertidaksamaan linier menggunakan metode interval.

Contoh 6

Selesaikan pertidaksamaan 3 · x + 12 > 0 .

Keputusan

Ini mengikuti dari algoritma yang pertama Anda perlu mencari akar persamaan 3 · x + 12 = 0 . Kita peroleh bahwa 3 · x = 12 , x = 4 . Kita perlu menggambarkan garis koordinat, tempat kita menandai titik 4. Itu akan tertusuk karena ketidaksetaraan yang ketat. Perhatikan gambar di bawah ini.

Penting untuk menentukan tanda-tanda pada interval. Untuk menentukannya pada interval (− ∞ , 4) , perlu menghitung fungsi y = 3 · x + 12 untuk x = 3 . Dari sini kita peroleh bahwa 3 3 + 12 = 3 > 0 . Tanda pada celah itu positif.

Kami menentukan tanda dari interval (4, + ), lalu kami mengganti nilainya dengan x \u003d 5. Kami memiliki 3 5 + 12 = 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Kami melakukan solusi pertidaksamaan dengan tanda > , dan penetasan dilakukan di atas celah positif. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar terlihat bahwa solusi yang diinginkan berbentuk (− , 4) atau x< 4 .

Menjawab: (− , 4) atau x< 4 .

Untuk memahami bagaimana merepresentasikan secara grafis, perlu untuk mempertimbangkan 4 pertidaksamaan linier sebagai contoh: 0, 5 x 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 dan 0, 5 x 1 0 . Solusinya adalah x< 2 , x ≤ 2 , x >2 dan x 2 . Untuk melakukannya, gambarkan grafik fungsi linier y = 0, 5 · x 1 di bawah ini.

Sudah jelas itu

Definisi 7

• solusi dari pertidaksamaan 0, 5 x 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• solusi 0 , 5 x 1 0 adalah interval di mana fungsi y = 0, 5 x 1 di bawah 0 x atau bertepatan;
• solusi 0 , 5 x 1 > 0 dianggap sebagai interval, di mana fungsi tersebut terletak di atas O x;
• solusi 0 , 5 x 1 0 adalah interval di mana grafik lebih tinggi dari O x atau bertepatan.

Arti dari solusi grafis pertidaksamaan adalah menemukan celah, yang harus digambarkan pada grafik. Dalam hal ini, kita mendapatkan bahwa sisi kiri memiliki y \u003d a x + b, dan sisi kanan memiliki y \u003d 0, dan itu bertepatan dengan Tentang x.

Definisi 8

Plotting fungsi y = a x + b dilakukan:

• menyelesaikan pertidaksamaan a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b 0, interval ditentukan di mana grafik ditampilkan di bawah sumbu O x atau bertepatan;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b > 0, interval ditentukan, di mana grafik ditampilkan di atas O x;
• saat menyelesaikan pertidaksamaan a x + b 0, interval ditentukan di mana grafik di atas O x atau bertepatan.

Contoh 7

Selesaikan pertidaksamaan - 5 · x - 3 > 0 menggunakan grafik.

Keputusan

Hal ini diperlukan untuk membangun grafik fungsi linier - 5 · x - 3 > 0 . Garis ini menurun karena koefisien x negatif. Untuk menentukan koordinat titik potongnya dengan O x - 5 · x - 3 > 0, kita peroleh nilai - 3 5 . Mari kita buat grafiknya.

Penyelesaian pertidaksamaan bertanda >, maka perlu diperhatikan interval di atas O x. Kami menyorot bagian yang diperlukan dari pesawat dengan warna merah dan mendapatkannya

Celah yang diperlukan adalah bagian O x dari warna merah. Oleh karena itu, sinar bilangan terbuka - , - 3 5 akan menjadi solusi pertidaksamaan. Jika, dengan syarat, mereka memiliki pertidaksamaan yang tidak ketat, maka nilai titik - 3 5 juga akan menjadi solusi pertidaksamaan tersebut. Dan akan bertepatan dengan O x.

Menjawab: - , - 3 5 atau x< - 3 5 .

Solusi grafis digunakan ketika ruas kiri akan sesuai dengan fungsi y = 0 x + b , yaitu, y = b . Maka garis akan sejajar dengan O x atau bertepatan di b \u003d 0. Kasus-kasus ini menunjukkan bahwa pertidaksamaan mungkin tidak memiliki solusi, atau bilangan apa pun dapat menjadi solusi.

Contoh 8

Tentukan dari pertidaksamaan 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Keputusan

Representasi y = 0 x + 7 adalah y = 7 , maka akan diberikan bidang koordinat dengan garis lurus sejajar dengan O x dan di atas O x. Jadi 0x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Grafik fungsi y \u003d 0 x + 0 dianggap y \u003d 0, yaitu, garis bertepatan dengan O x. Oleh karena itu, pertidaksamaan 0 · x + 0 0 memiliki banyak solusi.

Menjawab: pertidaksamaan kedua memiliki solusi untuk setiap nilai x .

Pertidaksamaan linier

Solusi pertidaksamaan dapat direduksi menjadi solusi persamaan linier, yang disebut pertidaksamaan linier.

Ketidaksetaraan ini dipertimbangkan dalam kursus sekolah, karena merupakan kasus khusus untuk memecahkan ketidaksetaraan, yang menyebabkan pembukaan tanda kurung dan pengurangan istilah serupa. Misalnya, perhatikan bahwa 5 2 x > 0 , 7 (x 1) + 3 4 x 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x .

Pertidaksamaan yang diberikan di atas selalu direduksi menjadi bentuk persamaan linier. Setelah itu, tanda kurung dibuka dan istilah serupa diberikan, dipindahkan dari bagian yang berbeda, mengubah tanda menjadi sebaliknya.

Saat mengurangi pertidaksamaan 5 2 x > 0 menjadi linier, kami menyatakannya sedemikian rupa sehingga memiliki bentuk 2 x + 5 > 0 , dan untuk mengurangi yang kedua, kami mendapatkan bahwa 7 (x 1 ) + 3 4 x 2 + x . Hal ini diperlukan untuk membuka tanda kurung, membawa suku-suku serupa, memindahkan semua suku-suku ke sisi kiri dan membawa suku-suku serupa. Ini terlihat seperti ini:

7 x 7 + 3 4 x 2 + x 7 x 4 5 x 2 7 x 4 5 x + 2 0 2 x 2 0

Ini membawa solusi ke pertidaksamaan linier.

Pertidaksamaan ini dianggap linier, karena memiliki prinsip penyelesaian yang sama, setelah itu dimungkinkan untuk mereduksinya menjadi pertidaksamaan dasar.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan semacam ini, perlu direduksi menjadi pertidaksamaan linier. Itu harus dilakukan seperti ini:

Definisi 9

• kurung terbuka;
• kumpulkan variabel di sebelah kiri, dan angka di sebelah kanan;
• membawa istilah seperti;
• membagi kedua bagian dengan koefisien x .

Contoh 9

Selesaikan pertidaksamaan 5 · (x + 3) + x 6 · (x 3) + 1 .

Keputusan

Kami memperluas tanda kurung, maka kami mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk 5 · x + 15 + x 6 · x 18 + 1 . Setelah mengurangi suku-suku serupa, kita mendapatkan bahwa 6 · x + 15 6 · x 17 . Setelah memindahkan suku dari kiri ke kanan, kita mendapatkan bahwa 6 x + 15 6 x + 17 0 . Oleh karena itu, ia memiliki pertidaksamaan dalam bentuk 32 0 dari hasil yang diperoleh dalam perhitungan 0 · x + 32 0 . Dapat dilihat bahwa pertidaksamaan salah, yang berarti pertidaksamaan yang diberikan oleh kondisi tersebut tidak memiliki solusi.

Menjawab: tidak ada solusi.

Perlu dicatat bahwa ada banyak pertidaksamaan jenis lain, yang dapat direduksi menjadi pertidaksamaan linier atau pertidaksamaan jenis yang ditunjukkan di atas. Misalnya, 5 2 x 1 1 adalah persamaan eksponensial yang direduksi menjadi solusi linier 2 · x 1 0 . Kasus-kasus ini akan dipertimbangkan ketika memecahkan ketidaksetaraan jenis ini.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter