Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ didefinisikan dan kontinu dalam beberapa domain tertutup terbatas $D$. Biarkan fungsi yang diberikan memiliki turunan parsial hingga dari orde pertama di wilayah ini (dengan kemungkinan pengecualian dari sejumlah titik yang terbatas). Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi dua variabel di daerah tertutup yang diberikan, diperlukan tiga langkah algoritma sederhana.
Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.
- Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ yang termasuk dalam wilayah $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
- Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas daerah $D$ dengan mencari titik-titik nilai maksimum dan minimum yang mungkin. Hitung nilai fungsi pada titik-titik yang diperoleh.
- Dari nilai fungsi yang diperoleh pada dua paragraf sebelumnya, pilih yang terbesar dan terkecil.
Apa itu poin kritis? tunjukan Sembunyikan
Di bawah titik kritis menyiratkan titik di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.
Seringkali titik-titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Dengan demikian, titik stasioner adalah bagian dari titik kritis.
Contoh 1
Cari nilai maksimum dan minimum fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ pada daerah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.
Kita akan mengikuti langkah di atas, tetapi pertama-tama kita akan berurusan dengan menggambar area tertentu, yang akan kita tunjukkan dengan huruf $D$. Kami diberi persamaan tiga garis lurus, yang membatasi area ini. Garis lurus $x=3$ melalui titik $(3;0)$ yang sejajar dengan sumbu y (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ adalah persamaan sumbu absis (sumbu Ox). Nah, untuk membuat garis lurus $y=x+1$, mari cari dua titik yang melaluinya kita menggambar garis lurus ini. Anda tentu saja dapat mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kami telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik untuk menemukan titik-titik di mana garis $y=x+1$ berpotongan dengan garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa lebih baik? Karena kita akan meletakkan sepasang burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua titik untuk membangun garis lurus $y=x+1$ dan pada saat yang sama mencari tahu di titik mana garis lurus ini memotong garis lain yang mengikat yang diberikan daerah. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ pada titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ - pada titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan jalannya solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.
Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukan Sembunyikan
Mari kita mulai dari titik potong garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan milik garis pertama dan kedua, jadi untuk menemukan koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Solusi dari sistem seperti itu adalah sepele: mensubstitusikan $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan mendapatkan: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.
Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Sekali lagi, kami membuat dan menyelesaikan sistem persamaan:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Substitusikan $y=0$ ke persamaan pertama, kita dapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik potong yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu absis).
Semuanya siap untuk membangun gambar yang akan terlihat seperti ini:
Soal uang kertas tampak jelas, karena semuanya bisa dilihat dari gambar. Namun, perlu diingat bahwa gambar tersebut tidak dapat dijadikan sebagai bukti. Angka tersebut hanya ilustrasi untuk kejelasan.
Area kami ditetapkan menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas bahwa garis-garis ini mendefinisikan segitiga, bukan? Atau tidak terlalu jelas? Atau mungkin kita diberikan area yang berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:
Tentu saja kondisi mengatakan bahwa area tersebut tertutup, sehingga gambar yang ditampilkan salah. Tetapi untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan daerah dengan ketidaksetaraan. Kami tertarik pada bagian pesawat yang terletak di bawah garis $y=x+1$? Oke, jadi $y x+1$. Area kita harus berada di atas garis $y=0$? Bagus, jadi $y 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 y x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 y ≤ x+1;\\ & x 3. \end(aligned) \right. $$
Ketidaksetaraan ini mendefinisikan domain $D$, dan mendefinisikannya secara unik, tanpa ambiguitas. Tetapi bagaimana ini membantu kita dalam pertanyaan di awal catatan kaki? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$. Mari kita substitusikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem pertidaksamaan yang mendefinisikan daerah ini. Jika kedua pertidaksamaan terpenuhi, maka titik terletak di dalam daerah. Jika setidaknya salah satu pertidaksamaan tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 1 1+1;\\ & 1 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 1 2;\\ & 1 3. \end(aligned) \right.$$
Kedua ketidaksetaraan itu benar. Titik $M_1(1;1)$ termasuk dalam wilayah $D$.
Sekarang giliran untuk menyelidiki perilaku fungsi pada batas domain, yaitu. pergi ke. Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.
Garis lurus $y=0$ (sumbu absis) membatasi daerah $D$ pada kondisi $-1 x 3$. Substitusikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Fungsi substitusi yang dihasilkan dari satu variabel $x$ akan dinotasikan sebagai $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 x 3$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Nilai $x=2$ termasuk dalam segmen $-1 x 3$, jadi kami juga menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, kami menghitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 x 3$, mis. pada titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ tidak termasuk dalam segmen yang dipertimbangkan, maka, tentu saja, tidak perlu menghitung nilai fungsi $z$ di dalamnya.
Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda tentu saja dapat mengganti koordinat titik-titik ini ke dalam ekspresi asli $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk titik $M_2$ kita mendapatkan:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Namun, perhitungannya dapat disederhanakan sedikit. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menjelaskannya secara rinci:
\begin(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(selaras)
Tentu saja, entri terperinci seperti itu biasanya tidak diperlukan, dan di masa mendatang kami akan mulai menuliskan semua perhitungan dengan cara yang lebih singkat:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Sekarang mari kita beralih ke garis lurus $x=3$. Baris ini membatasi domain $D$ dalam kondisi $0 y 4$. Substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberikan $z$. Sebagai hasil dari substitusi tersebut, kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Untuk fungsi $f_2(y)$, Anda perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 y 4$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Nilai $y=3$ termasuk dalam segmen $0 y 4$, jadi kita tambahkan $M_5(3;3)$ ke poin yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, perlu untuk menghitung nilai fungsi $z$ pada titik-titik di ujung segmen $0 y 4$, yaitu. pada titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita telah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_5$ dan $M_6$. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kita memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:
\begin(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(selaras)
Dan, akhirnya, pertimbangkan batas terakhir dari $D$, yaitu. baris $y=x+1$. Garis ini membatasi daerah $D$ dalam kondisi $-1 x 3$. Substitusikan $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan mendapatkan:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan lagi, Anda perlu menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini pada segmen $-1 x 3$. Temukan turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Nilai $x=1$ termasuk ke dalam interval $-1 x 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu apa nilai fungsi $z$ saat ini. Titik-titik di ujung segmen $-1 x 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Langkah kedua dari solusi selesai. Kami mendapat tujuh nilai:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Mari kita beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh di paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:
$$z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6.$$
Masalahnya terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya.
Menjawab: $z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6$.
Contoh #2
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ pada daerah $x^2+y^2 25$.
Mari kita membuat gambar terlebih dahulu. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas area yang diberikan) mendefinisikan sebuah lingkaran dengan pusat di titik asal (yaitu di titik $(0;0)$) dan jari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 25$ memenuhi semua titik di dalam dan pada lingkaran tersebut.
Kami akan bertindak. Mari kita cari turunan parsial dan cari tahu titik kritisnya.
$$ \frac(\parsial z)(\parsial x)=2x-12; \frac(\parsial z)(\parsial y)=2y+16. $$
Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu di titik mana kedua turunan parsial secara bersamaan sama dengan nol, mis. menemukan titik-titik stasioner.
$$ \left \( \begin(sejajar) & 2x-12=0;\\ & 2th+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$
Kami mendapat poin stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah ditunjukkan bahkan tanpa menggunakan gambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 25$, yang mendefinisikan domain kita $D$, berlaku. Jika $x=6$, $y=-8$, maka $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 25$ tidak terpenuhi. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan milik region $D$.
Jadi, tidak ada titik kritis di dalam $D$. Mari kita lanjutkan, untuk. Kita perlu menyelidiki perilaku fungsi pada batas area yang diberikan, yaitu pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Anda tentu saja dapat mengekspresikan $y$ dalam bentuk $x$, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi kita $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x 5. $$
Solusi selanjutnya akan benar-benar identik dengan studi tentang perilaku fungsi pada batas wilayah pada contoh sebelumnya No. 1. Namun, menurut saya lebih masuk akal dalam situasi ini untuk menerapkan metode Lagrange. Kami hanya tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama dari metode Lagrange, kita akan mendapatkan titik di mana dan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.
Kami menyusun fungsi Lagrange:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(selaras) \ kanan. \;\; \kiri \( \begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( sejajar)\kanan.$$
Untuk mengatasi sistem ini, mari kita segera menunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari kita coba substitusikan $\lambda=-1$ ke persamaan pertama:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Kontradiksi yang dihasilkan $0=6$ mengatakan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak valid. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari kita nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:
\begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(selaras)
Saya percaya bahwa menjadi jelas di sini mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Ini dilakukan untuk menyesuaikan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa gangguan. Yaitu, untuk memastikan bahwa penyebutnya adalah $1+\lambda\neq 0$.
Mari kita substitusikan ekspresi yang diperoleh untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga dari sistem, yaitu. dalam $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$
Ini mengikuti dari persamaan yang dihasilkan bahwa $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu, kita memiliki dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dengan demikian, kami mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:
\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(selaras)
Jadi, kami mendapat dua poin dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Temukan nilai fungsi $z$ pada titik $M_1$ dan $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(selaras)
Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Tetapi dalam hal ini, pilihannya kecil :) Kami memiliki:
$$z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125. $$
Menjawab: $z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125$.
Algoritma standar untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut melibatkan, setelah menemukan nol dari fungsi, penentuan tanda-tanda turunan pada interval. Kemudian perhitungan nilai-nilai pada titik-titik yang ditemukan dari maksimum (atau minimum) dan pada batas interval, tergantung pada pertanyaan apa yang ada dalam kondisinya.
Saya menyarankan Anda untuk melakukan hal-hal yang sedikit berbeda. Mengapa? Menulis tentang hal itu.
Saya mengusulkan untuk menyelesaikan tugas-tugas seperti berikut:
1. Temukan turunannya.
2. Temukan nol dari turunannya.
3. Tentukan mana dari mereka yang termasuk dalam interval yang diberikan.
4. Kami menghitung nilai fungsi pada batas interval dan titik item 3.
5. Kami menarik kesimpulan (kami menjawab pertanyaan yang diajukan).
Selama menyelesaikan contoh yang disajikan, solusi persamaan kuadrat tidak dipertimbangkan secara rinci, Anda harus dapat melakukan ini. Mereka juga harus tahu.
Pertimbangkan contoh:
77422. Temukan nilai terbesar dari fungsi y=x 3 –3x+4 pada ruas [–2;0].
Mari kita cari nol dari turunannya:
Titik x = -1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menghitung nilai fungsi pada titik -2, -1 dan 0:
Nilai terbesar dari fungsi tersebut adalah 6.
Jawaban: 6
77425. Temukan nilai terkecil dari fungsi y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 pada segmen.
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari nol dari turunannya:
Titik x = 2 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menghitung nilai fungsi pada poin 1, 2 dan 4:
Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah -2.
Jawaban: -2
77426. Temukan nilai terbesar dari fungsi y \u003d x 3 - 6x 2 pada segmen [-3; 3].
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
Mari kita cari nol dari turunannya:
Titik x = 0 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menghitung nilai fungsi pada titik –3, 0 dan 3:
Nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah 0.
Jawaban: 0
77429. Temukan nilai terkecil dari fungsi y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 pada segmen.
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Kami mendapatkan akarnya: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Hanya x = 1 yang termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Temukan nilai fungsi pada titik 1 dan 4:
Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi adalah 3.
Jawaban: 3
77430. Temukan nilai terbesar dari fungsi y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 pada segmen [- 4; -satu].
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
Temukan nol dari turunan, selesaikan persamaan kuadrat:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Mari kita dapatkan akarnya:
Akar = -1 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Cari nilai fungsi di titik –4, -1, -1/3 dan 1:
Kami menemukan bahwa nilai terbesar dari fungsi adalah 3.
Jawaban: 3
77433. Temukan nilai terkecil dari fungsi y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 pada segmen.
Tentukan turunan dari fungsi yang diberikan:
Temukan nol dari turunan, selesaikan persamaan kuadrat:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Mari kita dapatkan akarnya:
Akar x = 4 termasuk dalam interval yang ditentukan dalam kondisi.
Kami menemukan nilai fungsi di titik 0 dan 4:
Kami menemukan bahwa nilai terkecil dari fungsi tersebut adalah -109.
Jawaban: -109
Pertimbangkan metode untuk menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil tanpa turunan. Pendekatan ini dapat digunakan jika Anda memiliki masalah besar dengan definisi turunan. Prinsipnya sederhana - kami mengganti semua nilai bilangan bulat dari interval ke dalam fungsi (faktanya adalah bahwa dalam semua prototipe seperti itu jawabannya adalah bilangan bulat).
77437. Temukan nilai terkecil dari fungsi y \u003d 7 + 12x - x 3 pada ruas [-2; 2].
Kami mengganti poin dari -2 menjadi 2: Lihat Solusi
77434. Temukan nilai terbesar dari fungsi y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 pada segmen [-2; 0].
Itu saja. Semoga sukses untuk Anda!
Hormat kami, Alexander Krutitskikh.
P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.
Dan untuk mengatasinya, Anda membutuhkan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Tahun ajaran berikutnya berakhir, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya segera turun ke bisnis:
Mari kita mulai dengan daerah. Daerah yang dimaksud pada syarat tersebut adalah terbatas tertutup himpunan titik pada bidang. Misalnya, sekumpulan titik yang dibatasi oleh segitiga, termasuk SELURUH segitiga (jika dari perbatasan“Poke out” minimal satu poin, maka area tersebut tidak akan ditutup lagi). Dalam praktiknya, ada juga bidang persegi panjang, bulat, dan bentuk yang sedikit lebih kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematis, definisi yang ketat diberikan batasan, isolasi, batasan, dll., tapi saya pikir semua orang menyadari konsep ini pada tingkat intuitif, dan lebih tidak diperlukan sekarang.
Area datar secara standar dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai suatu peraturan, diberikan secara analitis - oleh beberapa persamaan (belum tentu linier); ketidaksetaraan lebih jarang. Omset verbal yang khas: "area tertutupdibatasi oleh garis".
Bagian integral dari tugas yang sedang dipertimbangkan adalah konstruksi area pada gambar. Bagaimana cara melakukannya? Anda perlu menggambar semua garis yang terdaftar (dalam hal ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang diinginkan biasanya sedikit menetas, dan perbatasannya disorot dengan garis tebal: 
Area yang sama dapat diatur pertidaksamaan linier: , yang karena alasan tertentu lebih sering ditulis sebagai daftar pencacahan, dan bukan sistem.
Karena batas adalah milik daerah, maka semua ketidaksetaraan, tentu saja, tidak ketat.
Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan bahwa sumbunya lurus ke arah Anda dari titik asal koordinat. Pertimbangkan fungsi yang kontinu di setiap titik daerah. Grafik fungsi tersebut adalah permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah bahwa untuk memecahkan masalah hari ini, kita tidak perlu tahu seperti apa permukaan ini sama sekali. Itu dapat terletak di atas, di bawah, melintasi pesawat - semua ini tidak penting. Dan berikut ini penting: menurut Teorema Weierstrass, kontinu di terbatas tertutup area, fungsi mencapai maksimum (dari "tertinggi") dan paling sedikit (dari "terendah") nilai yang akan ditemukan. Nilai-nilai ini tercapai atau di titik stasioner, milik daerahD , atau pada titik-titik yang terletak pada batas wilayah ini. Dari mana berikut algoritma solusi sederhana dan transparan:
Contoh 1
Di area tertutup terbatas
Keputusan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model masalah yang interaktif, oleh karena itu saya akan segera memberikan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua poin "mencurigakan" yang ditemukan selama penelitian. Biasanya mereka diletakkan satu demi satu seperti yang ditemukan: 
Berdasarkan pembukaan, keputusan dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin:
I) Mari kita cari titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang telah kami lakukan berulang kali dalam pelajaran. tentang ekstrem dari beberapa variabel:
Ditemukan titik stasioner milik daerah: (tandai pada gambar), yang berarti bahwa kita harus menghitung nilai fungsi pada titik tertentu:
- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada segmen, saya akan menyoroti hasil penting dalam huruf tebal. Di buku catatan, akan lebih mudah untuk melingkari mereka dengan pensil.
Perhatikan kebahagiaan kedua kami - tidak ada gunanya memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrim. Mengapa? Bahkan jika pada titik fungsi mencapai, misalnya, minimum lokal, maka ini TIDAK BERARTI bahwa nilai yang dihasilkan akan menjadi minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .
Bagaimana jika titik stasioner BUKAN termasuk area? Hampir tidak ada! Perlu dicatat bahwa dan pergi ke paragraf berikutnya.
II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah.
Karena perbatasan terdiri dari sisi-sisi segitiga, akan lebih mudah untuk membagi penelitian menjadi 3 subparagraf. Tapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pada awalnya lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk menangkap seluruh urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhir "dalam satu napas":
1) Mari kita berurusan dengan sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, kami mengganti langsung ke fungsi:
Atau, Anda dapat melakukannya seperti ini: 
Secara geometris, ini berarti bahwa bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"memotong" dari permukaan parabola "spasial", yang bagian atasnya langsung dicurigai. Mari kita cari tahu dimana dia:
- nilai yang dihasilkan "memukul" di area tersebut, dan mungkin saja pada titik itu (tandai pada gambar) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh area. Bagaimanapun, mari kita lakukan perhitungan:
"Calon" lainnya, tentu saja, adalah ujung segmen. Hitung nilai fungsi di titik 
(tandai pada gambar):
Omong-omong, di sini, Anda dapat melakukan pemeriksaan mini lisan pada versi "dipreteli": 
2) Untuk mempelajari sisi kanan segitiga, kami menggantinya ke dalam fungsi dan "menempatkan hal-hal di sana":
Di sini kami segera melakukan pemeriksaan kasar, "membunyikan" ujung segmen yang sudah diproses:
, sempurna.
Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:
- nilai yang dihasilkan juga "memasuki ruang lingkup minat kita", yang berarti bahwa kita perlu menghitung apa fungsinya sama dengan titik yang muncul:
Mari kita periksa ujung kedua segmen:
Menggunakan fungsi 
, mari kita periksa: 
3) Semua orang mungkin tahu bagaimana menjelajahi sisi yang tersisa. Kami mengganti ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:
Garis berakhir 
sudah diselidiki, tetapi pada draf kami masih memeriksa apakah kami menemukan fungsinya dengan benar 
:
– bertepatan dengan hasil subparagraf ke-1;
– bertepatan dengan hasil subparagraf ke-2.
Masih mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen:
- ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari "ketertarikan" ini:
Kami menandai titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:
Mari kita kendalikan perhitungan sesuai dengan versi "anggaran" 
:
, memesan.
Dan langkah terakhir: HATI-HATI melihat semua angka "gemuk", saya sarankan bahkan pemula untuk membuat satu daftar: 
dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab tulis dengan gaya masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada segmen:
Untuk jaga-jaga, saya sekali lagi akan mengomentari arti geometris dari hasilnya:
– di sini adalah titik permukaan tertinggi di wilayah tersebut;
- di sini adalah titik terendah dari permukaan di daerah tersebut.
Dalam masalah yang dianalisis, kami menemukan 7 poin "mencurigakan", tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "set eksplorasi" minimum terdiri dari tiga titik. Ini terjadi ketika fungsi, misalnya, set pesawat terbang- cukup jelas bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsi dapat mencapai nilai maksimum / minimum hanya di simpul segitiga. Tetapi tidak ada contoh seperti itu sekali, dua kali - biasanya Anda harus berurusan dengan semacam permukaan orde ke-2.
Jika Anda menyelesaikan tugas-tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda berputar, dan oleh karena itu saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa bagi Anda untuk membuatnya persegi :))
Contoh 2
Menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi 
di daerah tertutup yang dibatasi oleh garis
Contoh 3
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di daerah tertutup yang dibatasi.
Berikan perhatian khusus pada urutan rasional dan teknik mempelajari perbatasan area, serta rantai pemeriksaan perantara, yang hampir sepenuhnya akan menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya, dalam Contoh 2 yang sama, ada setiap peluang untuk secara signifikan memperumit hidup Anda. Contoh perkiraan menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.
Kami mensistematisasikan algoritme solusi, jika tidak, dengan ketekunan seekor laba-laba, entah bagaimana ia tersesat dalam utas panjang komentar dari contoh pertama:
- Pada langkah pertama, kami membangun area, diinginkan untuk menaungi, dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama solusi, poin akan muncul yang perlu diletakkan pada gambar.
– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsi hanya di itu, yang termasuk daerah. Nilai yang diperoleh disorot dalam teks (misalnya, dilingkari dengan pensil). Jika titik stasioner BUKAN milik area, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara lisan. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kami menarik kesimpulan tertulis bahwa mereka tidak ada. Bagaimanapun, item ini tidak dapat dilewati!
– Menjelajahi daerah perbatasan. Pertama, menguntungkan untuk menangani garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat (jika ada). Nilai fungsi yang dihitung pada titik "mencurigakan" juga disorot. Banyak yang telah dikatakan tentang teknik solusi di atas dan sesuatu yang lain akan dikatakan di bawah ini - baca, baca ulang, selidiki!
- Dari angka yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawaban. Terkadang fungsi mencapai nilai seperti itu di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua titik ini harus tercermin dalam jawabannya. Biarkan, misalnya, 
dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Kemudian kita menulis bahwa
Contoh terakhir dikhususkan untuk ide-ide berguna lainnya yang akan berguna dalam praktik:
Contoh 4
Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup 
.
Saya mengingatkan Anda bahwa dengan non-linier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari entri, maka tolong jangan tunda dan klarifikasi situasinya sekarang ;-)
Keputusan, seperti biasa, dimulai dengan pembangunan area, yang merupakan semacam "satu-satunya": 
Hmm, terkadang Anda harus menggerogoti tidak hanya granit ilmu ....
I) Temukan titik stasioner: 
Sistem impian idiot :) 
Titik stasioner termasuk ke dalam wilayah, yaitu terletak pada batasnya.
Jadi, bukan apa-apa ... pelajaran yang menyenangkan berlalu - itulah artinya minum teh yang tepat =)
II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:
1) Jika , maka
Temukan di mana puncak parabola adalah:
- Hargai saat-saat seperti itu - "tekan" langsung ke intinya, dari mana semuanya sudah jelas. Tapi jangan lupa untuk memeriksa: 
Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen: 
2) Kami akan berurusan dengan bagian bawah "satu-satunya" "dalam satu dudukan" - tanpa kerumitan apa pun kami menggantinya ke dalam fungsi, apalagi, kami hanya akan tertarik pada segmen:
Kontrol:
Sekarang ini sudah membawa beberapa kebangkitan untuk perjalanan monoton di trek knurled. Mari kita temukan poin-poin kritisnya:
Kami memutuskan persamaan kuadrat apakah kamu ingat yang ini? ... Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan dalam pecahan desimal nyaman (yang, omong-omong, jarang terjadi), maka di sini kita menunggu pecahan biasa biasa. Kami menemukan akar "x" dan, menggunakan persamaan, menentukan koordinat "permainan" yang sesuai dari poin "kandidat": 
Mari kita hitung nilai fungsi pada titik-titik yang ditemukan: 
Periksa sendiri fungsinya.
Sekarang kami dengan hati-hati mempelajari piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:
Inilah "kandidat", jadi "kandidat"!
Untuk solusi mandiri:
Contoh 5
Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi 
di area tertutup 
Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: "satu set poin sedemikian rupa".
Terkadang dalam contoh seperti itu mereka menggunakan Metode pengali Lagrange, tetapi kebutuhan nyata untuk menggunakannya tidak mungkin muncul. Jadi, misalnya, jika suatu fungsi dengan luas "de" yang sama diberikan, maka setelah substitusi ke dalamnya - dengan turunan tidak ada kesulitan; apalagi, semuanya disusun dalam "satu garis" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja, ada kasus yang lebih rumit, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana , misalnya, adalah persamaan lingkaran yang sama) sulit untuk melewati - betapa sulitnya untuk bertahan tanpa istirahat yang baik!
Semua yang terbaik untuk lulus sesi dan sampai jumpa musim depan!
Solusi dan jawaban:
Contoh 2: Keputusan: menggambar area pada gambar:
Pernyataan Masalah 2:
Diberikan suatu fungsi yang terdefinisi dan kontinu pada suatu interval . Diperlukan untuk menemukan nilai terbesar (terkecil) dari fungsi pada interval ini.
Landasan teori.
Teorema (Teorema Weierstrass Kedua):
Jika suatu fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval tertutup , maka ia mencapai nilai maksimum dan minimumnya dalam interval ini.
Fungsi dapat mencapai nilai maksimum dan minimumnya baik pada titik internal interval atau pada batasnya. Mari kita ilustrasikan semua opsi yang mungkin. 
Penjelasan:
1) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada batas kiri interval pada titik , dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik .
2) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada batas kanan interval pada titik tersebut.
3) Fungsi mencapai nilai maksimumnya di batas kiri interval di titik , dan nilai minimumnya di titik (ini adalah titik minimum).
4) Fungsinya konstan pada interval, mis. itu mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada titik mana pun dalam interval, dan nilai minimum dan maksimumnya sama satu sama lain.
5) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik , dan nilai minimumnya pada titik tersebut (terlepas dari kenyataan bahwa fungsi tersebut memiliki maksimum dan minimum pada interval ini).
6) Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada suatu titik (ini adalah titik maksimum), dan nilai minimumnya pada suatu titik (ini adalah titik minimum).
Komentar:
"Maksimum" dan "nilai maksimum" adalah hal yang berbeda. Ini mengikuti dari definisi maksimum dan pemahaman intuitif dari frasa "nilai maksimum".
Algoritma untuk memecahkan masalah 2.
4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.
Contoh 4:
Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi 
pada segmen.
Keputusan:
1) Tentukan turunan dari fungsi tersebut. 
2) Temukan titik stasioner (dan titik yang mencurigakan dari ekstrem) dengan menyelesaikan persamaan . Perhatikan titik-titik di mana tidak ada turunan hingga dua sisi. 
3) Hitung nilai fungsi pada titik stasioner dan pada batas interval.
4) Pilih dari nilai yang diperoleh terbesar (terkecil) dan tuliskan jawabannya.
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai maksimumnya pada titik dengan koordinat .
Fungsi pada segmen ini mencapai nilai minimumnya pada titik dengan koordinat .
Anda dapat memverifikasi kebenaran perhitungan dengan melihat grafik fungsi yang dipelajari. 
Komentar: Fungsi mencapai nilai maksimumnya pada titik maksimum, dan nilai minimum pada batas segmen.
Kasus spesial.
Misalkan Anda ingin mencari nilai maksimum dan minimum dari beberapa fungsi pada suatu segmen. Setelah eksekusi paragraf pertama dari algoritma, mis. perhitungan turunan, menjadi jelas bahwa, misalnya, hanya mengambil nilai negatif pada seluruh segmen yang dipertimbangkan. Ingat bahwa jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami menemukan bahwa fungsi menurun pada seluruh interval. Situasi ini ditunjukkan pada grafik No. 1 di awal artikel.
Fungsi menurun pada interval, mis. tidak memiliki titik ekstrem. Dari gambar dapat dilihat bahwa fungsi akan mengambil nilai terkecil di batas kanan segmen, dan nilai terbesar di sebelah kiri. jika turunan pada interval di mana-mana positif, maka fungsinya meningkat. Nilai terkecil ada di batas kiri segmen, yang terbesar ada di kanan.
