Matematika 1. Dari mana kata matematika berasal 2. Siapa yang menemukan matematika? 3. Tema utama. 4. Definisi 5. Etimologi Pada slide terakhir.

Dari mana kata itu berasal (buka slide sebelumnya) Matematika dari bahasa Yunani - studi, sains) adalah ilmu tentang struktur, keteraturan, dan hubungan, yang secara historis didasarkan pada operasi penghitungan, pengukuran, dan penggambaran bentuk benda. Objek matematika dibuat dengan mengidealkan sifat-sifat benda nyata atau benda matematika lainnya dan menuliskan sifat-sifat tersebut dalam bahasa formal.

Siapa yang menemukan matematika (buka menu) Ahli matematika pertama biasanya disebut Thales of Miletus, yang hidup pada abad VI. SM e. , salah satu dari apa yang disebut Tujuh Orang Bijaksana Yunani. Bagaimanapun, dialah yang pertama kali menyusun seluruh basis pengetahuan tentang subjek ini, yang telah lama terbentuk di dunia yang dikenalnya. Namun, penulis risalah pertama tentang matematika yang sampai kepada kita adalah Euclid (abad III SM). Dia pun pantas dianggap sebagai bapak ilmu ini.

Topik utama (masuk ke menu) Bidang matematika hanya mencakup ilmu-ilmu di mana urutan atau ukuran dipertimbangkan, dan tidak masalah sama sekali apakah ini angka, angka, bintang, suara, atau apa pun di mana ukuran ini ditemukan. Jadi, harus ada beberapa ilmu umum yang menjelaskan segala sesuatu yang berkaitan dengan keteraturan dan ukuran, tanpa masuk ke dalam studi mata pelajaran tertentu, dan ilmu ini harus disebut bukan oleh orang asing, tetapi dengan nama umum Matematika Umum yang sudah lama.

Definisi (buka menu) Analisis modern didasarkan pada analisis matematika klasik, yang dianggap sebagai salah satu dari tiga bidang utama matematika (bersama dengan aljabar dan geometri). Pada saat yang sama, istilah "analisis matematis" dalam pengertian klasik digunakan terutama dalam kurikulum dan materi. Dalam tradisi Anglo-Amerika, analisis matematika klasik sesuai dengan program kursus dengan nama "kalkulus"

Etimologi (pergi ke menu) Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani lainnya. , yang berarti studi, pengetahuan, sains, dll. -Yunani, awalnya berarti menerima, berhasil, kemudian terkait dengan studi, kemudian terkait dengan matematika. Secara khusus, dalam bahasa Latin, itu berarti seni matematika. Istilahnya lain -Yunani. dalam arti modern kata ini, "matematika" sudah ditemukan dalam karya-karya Aristoteles (abad ke-4 SM) dalam "The Book of Selected Briefly on the Nine Muses and on the Seven Free Arts" (1672)

Matematika sebagai ilmu hubungan kuantitatif dan bentuk realitas spasial mempelajari dunia di sekitar kita, fenomena alam dan sosial. Tetapi tidak seperti ilmu-ilmu lain, matematika mempelajari sifat-sifat khusus mereka, mengabstraksi dari yang lain. Jadi, geometri mempelajari bentuk dan ukuran benda, tanpa memperhitungkan sifat-sifatnya yang lain: warna, massa, kekerasan, dll. Secara umum, objek matematika (angka geometris, angka, nilai) diciptakan oleh pikiran manusia dan hanya ada dalam pemikiran manusia, dalam tanda dan simbol yang membentuk bahasa matematika.

Keabstrakan matematika memungkinkannya untuk diterapkan di berbagai bidang, itu adalah alat yang ampuh untuk memahami alam.

Bentuk-bentuk pengetahuan dibagi menjadi dua kelompok.

kelompok pertama merupakan bentuk-bentuk kognisi sensorik, dilakukan dengan bantuan berbagai organ indera: penglihatan, pendengaran, penciuman, sentuhan, rasa.

Bersama. kelompok kedua mencakup bentuk-bentuk berpikir abstrak, terutama konsep, pernyataan, dan kesimpulan.

Bentuk-bentuk kognisi sensorik adalah Merasa, persepsi dan perwakilan.

Setiap objek tidak hanya memiliki satu, tetapi banyak properti, dan kita mengetahuinya dengan bantuan sensasi.

Merasa- ini adalah refleksi dari sifat individu objek atau fenomena dunia material, yang secara langsung (yaitu sekarang, saat ini) mempengaruhi indera kita. Ini adalah sensasi merah, hangat, bulat, hijau, manis, halus, dan sifat-sifat individu lainnya dari objek [Getmanova, hal. 7].

Dari sensasi individu, persepsi seluruh objek terbentuk. Misalnya, persepsi apel terdiri dari sensasi seperti: bulat, merah, manis dan asam, harum, dll.

Persepsi adalah refleksi holistik dari objek material eksternal yang secara langsung mempengaruhi indera kita [Getmanova, hal. delapan]. Misalnya gambar piring, cangkir, sendok, peralatan lainnya; gambaran sungai, jika kita sekarang sedang berlayar di sepanjang sungai itu atau berada di tepiannya; gambaran hutan, kalau sekarang kita sudah sampai ke hutan, dsb.

Persepsi, meskipun merupakan refleksi sensorik dari realitas dalam pikiran kita, sebagian besar tergantung pada pengalaman manusia. Misalnya, seorang ahli biologi akan melihat padang rumput dengan satu cara (ia akan melihat berbagai jenis tanaman), tetapi seorang turis atau seniman akan melihatnya dengan cara yang sama sekali berbeda.

Pertunjukan- ini adalah gambar sensual dari suatu objek yang saat ini tidak kita rasakan, tetapi yang sebelumnya kita rasakan dalam satu atau lain bentuk [Getmanova, hal. sepuluh]. Misalnya, kita dapat membayangkan secara visual wajah kenalan, kamar kita di rumah, pohon birch atau jamur. Ini adalah contoh mereproduksi representasi, seperti yang telah kita lihat objek-objek ini.

Penyajiannya bisa berupa kreatif, termasuk fantastis. Kami menghadirkan Putri Angsa yang cantik, atau Tsar Saltan, atau Ayam Emas, dan banyak karakter lain dari dongeng A.S. Pushkin, yang belum pernah kita lihat dan tidak akan pernah kita lihat. Ini adalah contoh presentasi kreatif atas deskripsi verbal. Kami juga membayangkan Snow Maiden, Santa Claus, putri duyung, dll.

Jadi, bentuk-bentuk pengetahuan indrawi adalah sensasi, persepsi, dan representasi. Dengan bantuan mereka, kami mempelajari aspek eksternal objek (fiturnya, termasuk properti).

Bentuk berpikir abstrak adalah konsep, pernyataan, dan kesimpulan.

Konsep. Lingkup dan isi konsep

Istilah "konsep" biasanya digunakan untuk merujuk pada seluruh kelas objek yang bersifat arbitrer yang memiliki properti karakteristik (khas, esensial) tertentu atau seluruh rangkaian properti tersebut, mis. properti yang unik untuk anggota kelas itu.

Dari sudut pandang logika, konsep adalah bentuk pemikiran khusus, yang dicirikan oleh hal-hal berikut: 1) konsep adalah produk dari materi yang sangat terorganisir; 2) konsep mencerminkan dunia material; 3) konsep muncul dalam kesadaran sebagai sarana generalisasi; 4) konsep berarti kegiatan manusia secara khusus; 5) Terbentuknya suatu konsep dalam pikiran seseorang tidak terlepas dari pengungkapannya melalui ucapan, tulisan atau lambang.

Bagaimana konsep objek realitas apa pun muncul di benak kita?

Proses pembentukan suatu konsep tertentu merupakan proses bertahap yang dapat dilihat beberapa tahapan yang berurutan. Pertimbangkan proses ini menggunakan contoh paling sederhana - pembentukan konsep angka 3 pada anak-anak.

1. Pada tahap pertama kognisi, anak-anak berkenalan dengan berbagai set tertentu, menggunakan gambar subjek dan menunjukkan berbagai set tiga elemen (tiga apel, tiga buku, tiga pensil, dll). Anak-anak tidak hanya melihat masing-masing set tersebut, tetapi mereka juga dapat menyentuh (menyentuh) benda-benda yang membentuk set tersebut. Proses "melihat" ini menciptakan dalam pikiran anak suatu bentuk khusus dari refleksi realitas, yang disebut persepsi (perasaan).

2. Mari kita singkirkan benda-benda (objek) yang membentuk setiap himpunan, dan ajaklah anak-anak untuk menentukan apakah ada kesamaan yang menjadi ciri setiap himpunan. Jumlah objek di setiap set harus terpatri di benak anak-anak, bahwa ada "tiga" di mana-mana. Jika demikian, maka bentuk baru telah tercipta di benak anak-anak - ide nomor tiga.

3. Pada tahap berikutnya, berdasarkan eksperimen pikiran, anak-anak harus melihat bahwa sifat yang diungkapkan dalam kata "tiga" mencirikan setiap himpunan elemen bentuk yang berbeda (a; b; c). Dengan demikian, fitur umum yang penting dari set tersebut akan dipilih: "memiliki tiga elemen". Sekarang kita dapat mengatakan bahwa dalam pikiran anak-anak terbentuk konsep nomor 3.

konsep- ini adalah bentuk pemikiran khusus, yang mencerminkan sifat-sifat esensial (khas) dari objek atau objek studi.

Bentuk linguistik dari suatu konsep adalah kata atau sekelompok kata. Misalnya, "segitiga", "angka tiga", "titik", "garis lurus", "segitiga sama kaki", "tanaman", "pohon jenis konifera", "Sungai Yenisei", "meja", dll.

Konsep matematika memiliki sejumlah fitur. Yang utama adalah bahwa objek matematika yang diperlukan untuk membentuk konsep tidak ada dalam kenyataan. Objek matematika diciptakan oleh pikiran manusia. Ini adalah objek ideal yang mencerminkan objek atau fenomena nyata. Misalnya, dalam geometri, bentuk dan ukuran benda dipelajari, tanpa memperhitungkan sifat-sifatnya yang lain: warna, massa, kekerasan, dll. Dari semua ini mereka terganggu, diabstraksikan. Oleh karena itu, dalam geometri, alih-alih kata "objek" mereka mengatakan "gambar geometris". Hasil abstraksi juga berupa konsep matematika seperti “bilangan” dan “nilai”.

Fitur utama setiap konsep adalah berikut ini: 1) volume; 2) isi; 3) hubungan antar konsep.

Ketika mereka berbicara tentang konsep matematika, mereka biasanya berarti seluruh himpunan (set) objek yang dilambangkan dengan satu istilah (kata atau kelompok kata). Jadi, berbicara tentang bujur sangkar, yang dimaksud adalah semua bentuk geometris yang berbentuk bujur sangkar. Diyakini bahwa himpunan semua kotak adalah ruang lingkup konsep "persegi".

Ruang lingkup konsep himpunan objek atau objek yang konsep ini berlaku disebut.

Misalnya, 1) ruang lingkup konsep "jajar genjang" adalah himpunan segi empat seperti jajar genjang, belah ketupat, persegi panjang dan bujur sangkar; 2) ruang lingkup konsep "bilangan asli satu digit" adalah himpunan - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Setiap objek matematika memiliki sifat tertentu. Misalnya, persegi memiliki empat sisi, empat sudut siku-siku sama dengan diagonal, diagonal dibagi dua oleh titik persimpangan. Anda dapat menentukan properti lainnya, tetapi di antara properti objek ada esensial (khas) dan tidak penting.

Properti disebut penting (khas) untuk suatu objek jika itu melekat pada objek ini dan tanpanya tidak dapat ada; properti disebut tidak penting untuk suatu objek jika itu bisa ada tanpanya.

Misalnya, untuk persegi, semua properti yang tercantum di atas sangat penting. Properti "sisi AD horizontal" tidak akan relevan untuk persegi ABCD (Gbr. 1). Jika bujur sangkar ini diputar, maka sisi AD akan vertikal.

Pertimbangkan contoh untuk anak-anak prasekolah yang menggunakan materi visual (Gbr. 2):

Jelaskan gambar tersebut.

segitiga hitam kecil. Beras. 2

Segitiga putih besar.

Bagaimana angka-angkanya mirip?

Bagaimana angka-angkanya berbeda?

Warna, ukuran.

Apa yang dimiliki segitiga?

3 sisi, 3 sudut.

Dengan demikian, anak-anak menemukan sifat-sifat esensial dan non-esensial dari konsep "segitiga". Sifat esensial - "memiliki tiga sisi dan tiga sudut", sifat non-esensial - warna dan ukuran.

Totalitas semua sifat esensial (pembeda) dari suatu objek atau objek yang tercermin dalam konsep ini disebut isi konsep .

Misalnya, untuk konsep jajar genjang, isinya adalah sekumpulan sifat-sifat: memiliki empat sisi, memiliki empat sudut, sisi-sisi yang berhadapan sejajar, sisi-sisi yang berhadapan sama besar, sudut-sudut yang berhadapan sama besar, diagonal-diagonal di perpotongan poin dibagi dua.

Ada hubungan antara volume suatu konsep dan isinya: jika volume suatu konsep bertambah, maka isinya berkurang, dan sebaliknya. Jadi, misalnya, ruang lingkup konsep "segitiga sama kaki" adalah bagian dari ruang lingkup konsep "segitiga", dan isi konsep "segitiga sama kaki" mencakup lebih banyak sifat daripada konten konsep "segitiga", karena segitiga sama kaki tidak hanya memiliki semua sifat segitiga, tetapi juga sifat lain yang hanya dimiliki oleh segitiga sama kaki (“dua sisi sama besar”, “dua sudut sama besar”, “dua median sama besar”, dll.).

Konsep dibagi menjadi tunggal, umum dan kategori.

Konsep yang volumenya sama dengan 1 disebut konsep tunggal .

Misalnya, konsep: "Sungai Yenisei", "Republik Tuva", "kota Moskow".

Konsep yang volumenya lebih besar dari 1 disebut umum .

Misalnya, konsep: "kota", "sungai", "segiempat", "bilangan", "poligon", "persamaan".

Dalam proses mempelajari dasar-dasar ilmu apapun, anak-anak umumnya membentuk konsep-konsep umum. Misalnya, di kelas dasar, siswa berkenalan dengan konsep-konsep seperti "bilangan", "bilangan", "bilangan satu digit", "bilangan dua digit", "bilangan multi-digit", "pecahan", "bagi ”, “penjumlahan”, “istilah” , "jumlah", "pengurangan", "pengurangan", "pengurangan", "selisih", "perkalian", "pengganda", "perkalian", "pembagian", "dapat dibagi", "pembagi", "hasil bagi", " bola, silinder, kerucut, kubus, parallelepiped, piramida, sudut, segitiga, segi empat, persegi, persegi panjang, poligon, lingkaran , "lingkaran", "kurva", "polyline", "segmen" , "panjang ruas", "sinar", "garis lurus", "titik", "panjang", "lebar", "tinggi", "keliling", "luas bangun", "volume", "waktu", " kecepatan", "massa", "harga", "biaya" dan banyak lainnya. Semua konsep ini adalah konsep umum.

Matematika adalah ilmu tentang hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dari dunia nyata. Berkaitan erat dengan tuntutan ilmu pengetahuan dan teknologi, stok hubungan kuantitatif dan bentuk spasial yang dipelajari oleh matematika terus berkembang, sehingga definisi di atas harus dipahami dalam pengertian yang paling umum.

Tujuan mempelajari matematika adalah untuk meningkatkan pandangan umum, budaya berpikir, pembentukan pandangan dunia ilmiah.

Memahami posisi independen matematika sebagai ilmu khusus menjadi mungkin setelah akumulasi materi faktual dalam jumlah yang cukup besar dan muncul untuk pertama kalinya di Yunani Kuno pada abad ke-6-5 SM. Ini adalah awal dari periode matematika dasar.

Selama periode ini, penelitian matematika hanya berurusan dengan stok konsep dasar yang agak terbatas yang muncul dengan tuntutan kehidupan ekonomi yang paling sederhana. Pada saat yang sama, peningkatan kualitatif matematika sebagai ilmu sedang berlangsung.

Matematika modern sering dibandingkan dengan kota besar. Ini adalah perbandingan yang sangat baik, karena dalam matematika, seperti di kota besar, ada proses pertumbuhan dan peningkatan yang berkelanjutan. Area baru muncul dalam matematika, teori baru yang elegan dan mendalam sedang dibangun, seperti pembangunan lingkungan dan bangunan baru. Namun kemajuan matematika tidak sebatas mengubah wajah kota akibat pembangunan yang baru. Kita harus mengubah yang lama. Teori-teori lama dimasukkan ke dalam teori-teori baru yang lebih umum; ada kebutuhan untuk memperkuat fondasi bangunan tua. Jalan-jalan baru harus diletakkan untuk membangun hubungan antara tempat-tempat yang jauh dari kota matematika. Tetapi ini tidak cukup - desain arsitektur membutuhkan upaya yang cukup besar, karena keragaman bidang matematika yang berbeda tidak hanya merusak kesan sains secara keseluruhan, tetapi juga mengganggu pemahaman sains secara keseluruhan, membangun hubungan antara berbagai bagiannya.

Perbandingan lain sering digunakan: matematika disamakan dengan pohon besar bercabang, yang secara sistematis menghasilkan tunas baru. Setiap cabang pohon adalah satu atau beberapa bidang matematika. Jumlah cabang tidak tetap tidak berubah, karena cabang baru tumbuh, tumbuh bersama pada awalnya tumbuh secara terpisah, beberapa cabang mengering, kehilangan jus bergizi. Kedua perbandingan berhasil dan sangat baik menyampaikan keadaan sebenarnya.

Tidak diragukan lagi, permintaan akan kecantikan memainkan peran penting dalam konstruksi teori matematika. Tak perlu dikatakan bahwa persepsi kecantikan sangat subjektif dan seringkali ada ide yang cukup buruk tentang hal ini. Namun, kita harus terkejut dengan kebulatan suara yang dimasukkan oleh para matematikawan ke dalam konsep "keindahan": hasilnya dianggap indah jika dari sejumlah kecil kondisi dimungkinkan untuk memperoleh kesimpulan umum yang berkaitan dengan berbagai objek. Suatu derivasi matematis dianggap indah jika dimungkinkan untuk membuktikan suatu fakta matematis yang signifikan di dalamnya dengan penalaran yang sederhana dan singkat. Kedewasaan seorang matematikawan, bakatnya bisa ditebak dari seberapa berkembang rasa kecantikannya. Hasil yang lengkap secara estetis dan sempurna secara matematis lebih mudah dipahami, diingat, dan digunakan; lebih mudah untuk mengidentifikasi hubungan mereka dengan bidang pengetahuan lain.

Matematika di zaman kita telah menjadi disiplin ilmu dengan banyak bidang penelitian, sejumlah besar hasil dan metode. Matematika sekarang begitu hebat sehingga tidak mungkin satu orang bisa menutupinya di semua bagiannya, tidak ada kemungkinan menjadi spesialis universal di dalamnya. Hilangnya hubungan antara arah yang terpisah tentu merupakan konsekuensi negatif dari pesatnya perkembangan ilmu ini. Namun, pada dasar perkembangan semua cabang matematika ada kesamaan - asal usul perkembangan, akar pohon matematika.

Geometri Euclid sebagai teori ilmu alam pertama

• Pada abad ke-3 SM, sebuah buku Euclid dengan nama yang sama muncul di Alexandria, dalam terjemahan Rusia "Awal". Dari nama Latin "Awal" muncul istilah "geometri dasar". Meskipun tulisan-tulisan para pendahulu Euclid belum sampai kepada kita, kita dapat membentuk beberapa pendapat tentang tulisan-tulisan ini dari Elemen-elemen Euclid. Di "Awal" ada bagian yang secara logis sangat sedikit terhubung dengan bagian lain. Penampilan mereka dijelaskan hanya oleh fakta bahwa mereka diperkenalkan menurut tradisi dan menyalin "Awal" dari pendahulu Euclid.

  Elemen Euclid terdiri dari 13 buku. Buku 1 - 6 dikhususkan untuk planimetri, buku 7 - 10 tentang aritmatika dan jumlah yang tidak dapat dibandingkan yang dapat dibangun menggunakan kompas dan penggaris. Buku 11 sampai 13 dikhususkan untuk stereometri.

  "Awal" dimulai dengan penyajian 23 definisi dan 10 aksioma. Lima aksioma pertama adalah "konsep umum", sisanya disebut "postulat". Dua postulat pertama menentukan tindakan dengan bantuan penggaris yang ideal, yang ketiga - dengan bantuan kompas yang ideal. Yang keempat, "semua sudut siku-siku sama satu sama lain," adalah berlebihan, karena dapat disimpulkan dari aksioma lainnya. Postulat kelima yang terakhir berbunyi: “Jika sebuah garis lurus jatuh pada dua garis lurus dan membentuk sudut-sudut dalam bersisi dalam jumlah kurang dari dua garis lurus, maka, dengan kelanjutan tak terbatas dari dua garis lurus ini, mereka akan berpotongan pada sisi yang sudutnya kurang dari dua garis lurus”.

  Lima "konsep umum" Euclid adalah prinsip-prinsip pengukuran panjang, sudut, luas, volume: "sama dengan yang sama adalah sama satu sama lain", "jika sama ditambahkan dengan sama, jumlahnya sama satu sama lain", "jika yang sama dikurangkan dari yang sama, sisanya sama di antara mereka sendiri", "menggabungkan satu sama lain adalah sama satu sama lain", "keseluruhan lebih besar dari bagian".

  Kemudian muncul kritik terhadap geometri Euclid. Euclid dikritik karena tiga alasan: karena dia menganggap hanya besaran geometris yang dapat dibangun menggunakan kompas dan penggaris; untuk memecah geometri dan aritmatika dan membuktikan bilangan bulat apa yang telah dia buktikan untuk kuantitas geometris, dan, akhirnya, untuk aksioma Euclid. Postulat kelima, postulat Euclid yang paling sulit, paling banyak dikritik. Banyak yang menganggapnya berlebihan, dan itu dapat dan harus disimpulkan dari aksioma lain. Yang lain percaya bahwa itu harus diganti dengan yang lebih sederhana dan lebih ilustratif, setara dengan itu: "Melalui sebuah titik di luar garis lurus, tidak lebih dari satu garis lurus yang dapat ditarik pada bidangnya yang tidak memotong garis lurus ini."

  Kritik terhadap kesenjangan antara geometri dan aritmatika menyebabkan perluasan konsep bilangan ke bilangan real. Perselisihan tentang postulat kelima mengarah pada fakta bahwa pada awal abad ke-19 N.I. Lobachevsky, J. Bolyai dan K.F. Gauss membangun geometri baru di mana semua aksioma geometri Euclid terpenuhi, kecuali postulat kelima. Itu digantikan oleh pernyataan yang berlawanan: "Pada bidang yang melalui sebuah titik di luar sebuah garis, lebih dari satu garis dapat ditarik yang tidak memotong garis yang diberikan." Geometri ini sama konsistennya dengan geometri Euclid.

  Model planimetri Lobachevsky pada bidang Euclidean dibangun oleh matematikawan Prancis Henri Poincaré pada tahun 1882.

  Gambarlah garis horizontal pada bidang Euclidean. Garis ini disebut mutlak (x). Titik-titik bidang Euclidean yang terletak di atas titik mutlak adalah titik-titik bidang Lobachevsky. Bidang Lobachevsky adalah setengah bidang terbuka yang terletak di atas absolut. Segmen non-Euclidean dalam model Poincaré adalah busur lingkaran yang berpusat pada absolut atau segmen garis yang tegak lurus terhadap absolut (AB, CD). Sosok pada bidang Lobachevsky adalah sosok setengah bidang terbuka yang terletak di atas mutlak (F). Gerak non-Euclidean adalah komposisi dari sejumlah inversi terbatas yang berpusat pada simetri absolut dan aksial yang sumbunya tegak lurus terhadap absolut. Dua segmen non-Euclidean adalah sama jika salah satunya dapat diterjemahkan ke yang lain oleh gerakan non-Euclidean. Ini adalah konsep dasar dari aksiomatik planimetri Lobachevsky.

  Semua aksioma planimetri Lobachevsky konsisten. "Garis non-Euclidean adalah setengah lingkaran dengan ujung pada absolut, atau sinar dengan asal pada absolut dan tegak lurus terhadap absolut." Jadi, pernyataan aksioma Lobachevsky tentang paralelisme berlaku tidak hanya untuk beberapa garis a dan titik A yang tidak terletak pada garis ini, tetapi juga untuk setiap garis a dan setiap titik A yang tidak terletak di atasnya.

  Di balik geometri Lobachevsky, geometri konsisten lainnya muncul: geometri proyektif terpisah dari Euclidean, geometri Euclidean multidimensi berkembang, geometri Riemann muncul (teori umum ruang dengan hukum pengukuran panjang yang berubah-ubah), dll. Dari ilmu angka dalam satu dimensi tiga Ruang Euclid, geometri selama 40 - 50 tahun telah berubah menjadi serangkaian teori yang berbeda, hanya agak mirip dengan nenek moyangnya - geometri Euclid.

  Tahapan utama pembentukan matematika modern. Struktur matematika modern

• Akademisi A.N. Kolmogorov mengidentifikasi empat periode dalam perkembangan matematika Kolmogorov A.N. - Matematika, Kamus Ensiklopedis Matematika, Moskow, Ensiklopedia Soviet, 1988: kelahiran matematika, matematika dasar, matematika variabel, matematika modern.

  Selama perkembangan matematika dasar, teori bilangan secara bertahap tumbuh dari aritmatika. Aljabar dibuat sebagai kalkulus literal. Dan sistem presentasi geometri dasar yang dibuat oleh orang Yunani kuno - geometri Euclid - selama dua milenium ke depan menjadi model konstruksi deduktif teori matematika.

  Pada abad ke-17, tuntutan ilmu pengetahuan alam dan teknologi mengarah pada penciptaan metode yang memungkinkan studi matematis tentang gerakan, proses perubahan besaran, dan transformasi bentuk geometris. Dengan penggunaan variabel dalam geometri analitik dan pembuatan kalkulus diferensial dan integral, periode matematika variabel dimulai. Penemuan-penemuan besar abad ke-17 adalah konsep besaran yang sangat kecil yang diperkenalkan oleh Newton dan Leibniz, penciptaan dasar untuk analisis besaran yang sangat kecil (analisis matematis).

  Konsep fungsi muncul ke permukaan. Fungsi menjadi pokok bahasan utama. Studi tentang fungsi mengarah pada konsep dasar analisis matematika: limit, turunan, diferensial, integral.

  Kemunculan ide cemerlang R. Descartes tentang metode koordinat juga termasuk kali ini. Geometri analitik dibuat, yang memungkinkan mempelajari objek geometris dengan metode aljabar dan analisis. Di sisi lain, metode koordinat membuka kemungkinan interpretasi geometris dari fakta aljabar dan analitik.

  Perkembangan lebih lanjut dari matematika mengarah pada awal abad ke-19 untuk perumusan masalah mempelajari kemungkinan jenis hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dari sudut pandang yang cukup umum.

  Hubungan antara matematika dan ilmu pengetahuan alam menjadi semakin kompleks. Teori-teori baru muncul dan muncul bukan hanya sebagai akibat tuntutan ilmu pengetahuan alam dan teknologi, tetapi juga sebagai akibat dari kebutuhan batiniah matematika. Contoh luar biasa dari teori semacam itu adalah geometri imajiner N.I. Lobachevsky. Perkembangan matematika pada abad ke-19 dan ke-20 memungkinkan kita untuk mengaitkannya dengan periode matematika modern. Perkembangan matematika itu sendiri, matematisasi berbagai bidang ilmu pengetahuan, penetrasi metode matematika ke dalam banyak bidang kegiatan praktis, kemajuan teknologi komputer telah menyebabkan munculnya disiplin ilmu matematika baru, misalnya, riset operasi, teori permainan, ekonomi matematika, dan lain-lain.

  Metode utama dalam penelitian matematika adalah bukti matematika - penalaran logis yang ketat. Berpikir matematis tidak terbatas pada penalaran logis. Intuisi matematika diperlukan untuk perumusan masalah yang benar, untuk mengevaluasi pilihan metode untuk menyelesaikannya.

  Dalam matematika, model matematika objek dipelajari. Model matematika yang sama dapat menggambarkan sifat-sifat fenomena nyata yang jaraknya berjauhan. Jadi, persamaan diferensial yang sama dapat menggambarkan proses pertumbuhan penduduk dan peluruhan bahan radioaktif. Bagi seorang ahli matematika, bukan sifat objek yang dipertimbangkan yang penting, tetapi hubungan yang ada di antara mereka.

  Ada dua jenis penalaran dalam matematika: deduksi dan induksi.

  Induksi adalah metode penelitian di mana kesimpulan umum dibangun atas dasar premis-premis tertentu.

  Deduksi adalah metode penalaran yang dengannya kesimpulan yang bersifat khusus mengikuti dari premis-premis umum.

  Matematika memainkan peran penting dalam penelitian ilmu alam, teknik dan humaniora. Alasan penetrasi matematika ke dalam berbagai cabang pengetahuan adalah karena matematika menawarkan model yang sangat jelas untuk mempelajari realitas di sekitarnya, berbeda dengan model yang kurang umum dan lebih kabur yang ditawarkan oleh ilmu-ilmu lain. Tanpa matematika modern, dengan peralatan logis dan komputasi yang dikembangkannya, kemajuan di berbagai bidang aktivitas manusia tidak akan mungkin terjadi.

  Matematika tidak hanya alat yang ampuh untuk memecahkan masalah terapan dan bahasa universal sains, tetapi juga elemen budaya umum.

  Fitur dasar berpikir matematis

• Dalam masalah ini, yang menarik adalah karakteristik pemikiran matematis yang diberikan oleh A.Ya.Kinchin, atau lebih tepatnya, bentuk historisnya yang spesifik - gaya berpikir matematis. Mengungkap esensi dari gaya berpikir matematis, ia memilih empat fitur umum untuk semua zaman yang secara nyata membedakan gaya ini dari gaya berpikir dalam ilmu-ilmu lain.

  Pertama, matematikawan dicirikan oleh dominasi skema logis dari penalaran yang dibawa ke batas. Seorang ahli matematika yang kehilangan pandangan dari skema ini, setidaknya untuk sementara, kehilangan kemampuan untuk berpikir secara ilmiah sama sekali. Ciri khas gaya berpikir matematis ini memiliki banyak nilai tersendiri. Jelas, sejauh ini memungkinkan Anda untuk memantau kebenaran aliran pemikiran dan jaminan terhadap kesalahan; di sisi lain, itu memaksa pemikir untuk memiliki di depan matanya totalitas kemungkinan yang tersedia selama analisis dan mewajibkan dia untuk memperhitungkan masing-masing tanpa melewatkan satu pun (penghilangan seperti itu sangat mungkin dan, pada kenyataannya, sering diamati dalam gaya berpikir lain).

  Kedua, keringkasan, yaitu. keinginan sadar untuk selalu menemukan jalan logis terpendek yang mengarah ke tujuan tertentu, penolakan tanpa ampun terhadap segala sesuatu yang mutlak diperlukan untuk validitas argumen yang sempurna. Esai matematika dengan gaya yang baik, tidak mentolerir "air" apa pun, tanpa hiasan, melemahkan ketegangan logis dari mengomel, mengalihkan perhatian ke samping; kekikiran yang ekstrem, keketatan pemikiran yang parah dan penyajiannya merupakan fitur integral dari pemikiran matematis. Fitur ini sangat berharga tidak hanya untuk matematika, tetapi juga untuk alasan serius lainnya. Laconisme, keinginan untuk tidak membiarkan sesuatu yang berlebihan, membantu baik si pemikir maupun pembaca atau pendengarnya untuk berkonsentrasi penuh pada alur pemikiran tertentu, tanpa terganggu oleh ide-ide sekunder dan tanpa kehilangan kontak langsung dengan alur penalaran utama.

  Tokoh-tokoh ilmu pengetahuan, sebagai suatu peraturan, berpikir dan mengekspresikan diri mereka secara ringkas di semua bidang pengetahuan, bahkan ketika pemikiran mereka menciptakan dan menetapkan ide-ide baru yang mendasar. Sungguh kesan yang agung, misalnya, kekikiran yang mulia dari pemikiran dan ucapan para pencipta fisika terbesar: Newton, Einstein, Niels Bohr! Mungkin sulit untuk menemukan contoh yang lebih mencolok tentang betapa besar pengaruh gaya berpikir para penciptanya terhadap perkembangan ilmu pengetahuan.

  Untuk matematika, keringkasan pemikiran adalah hukum yang tak terbantahkan, dikanonisasi selama berabad-abad. Setiap upaya untuk membebani presentasi dengan gambar, gangguan, pidato yang tidak perlu (bahkan jika menyenangkan dan menarik bagi pendengar) ditempatkan di bawah kecurigaan yang sah terlebih dahulu dan secara otomatis menyebabkan kewaspadaan kritis.

  Ketiga, diseksi yang jelas tentang jalannya penalaran. Jika, misalnya, ketika membuktikan sebuah proposisi, kita harus mempertimbangkan empat kasus yang mungkin, yang masing-masing dapat dipecah menjadi satu atau beberapa subkasus, maka pada setiap saat penalaran, ahli matematika harus dengan jelas mengingat dalam kasus mana dan subkasus miliknya. pemikiran sekarang sedang diperoleh dan kasus dan subkasus mana yang masih harus dia pertimbangkan. Dengan segala macam enumerasi bercabang, matematikawan harus setiap saat menyadari konsep generik yang ia enumerasi dengan konsep spesies komponennya. Dalam pemikiran biasa dan non-ilmiah, kita sangat sering mengamati kebingungan dan lompatan dalam kasus seperti itu, yang mengarah pada kebingungan dan kesalahan dalam penalaran. Sering terjadi bahwa seseorang mulai menghitung spesies dari satu genus, dan kemudian, tanpa disadari oleh pendengar (dan seringkali pada dirinya sendiri), menggunakan perbedaan logis yang tidak memadai dari penalaran, melompat ke genus lain dan berakhir dengan pernyataan bahwa kedua genus sekarang diklasifikasikan; dan pendengar atau pembaca tidak tahu di mana letak batas antara spesies jenis pertama dan kedua.

  Untuk membuat kebingungan dan lompatan seperti itu menjadi tidak mungkin, ahli matematika telah lama menggunakan metode eksternal sederhana dari konsep dan penilaian penomoran, kadang-kadang (tetapi lebih jarang) digunakan dalam ilmu lain. Kasus-kasus yang mungkin atau konsep-konsep umum yang harus dipertimbangkan dalam penalaran ini diberi nomor sebelumnya; dalam setiap kasus tersebut, subkasus yang dianggap mengandung juga dinomori ulang (kadang-kadang, untuk perbedaan, menggunakan beberapa sistem penomoran lain). Sebelum setiap paragraf, di mana pertimbangan subkasus baru dimulai, penunjukan yang diterima untuk subkasus ini diletakkan (misalnya: II 3 - ini berarti bahwa pertimbangan subkasus ketiga dari kasus kedua dimulai di sini, atau deskripsi yang ketiga jenis jenis kedua, jika kita berbicara tentang klasifikasi). Dan pembaca tahu bahwa sampai dia menemukan rubrik numerik baru, semua yang disajikan hanya berlaku untuk kasus dan subkasus ini. Tak perlu dikatakan bahwa penomoran seperti itu hanyalah perangkat eksternal, sangat berguna, tetapi tidak berarti wajib, dan esensi masalah tidak terletak di dalamnya, tetapi dalam pembagian argumentasi atau klasifikasi yang berbeda, yang dirangsang dan ditandai. dengan sendirinya.

  Keempat, ketelitian simbol, rumus, persamaan. Artinya, "setiap simbol matematika memiliki makna yang didefinisikan secara ketat: menggantinya dengan simbol lain atau mengatur ulang ke tempat lain, sebagai suatu peraturan, memerlukan distorsi, dan terkadang penghancuran total makna pernyataan ini."

  Setelah memilih fitur utama dari gaya berpikir matematis, A.Ya. Khinchin mencatat bahwa matematika (terutama matematika variabel) pada dasarnya memiliki karakter dialektis, dan oleh karena itu berkontribusi pada pengembangan pemikiran dialektis. Memang dalam proses berpikir matematis terjadi interaksi antara visual (konkret) dan konseptual (abstrak). “Kita tidak dapat memikirkan garis,” tulis Kant, “tanpa menggambarnya secara mental, kita tidak dapat memikirkan tiga dimensi untuk diri kita sendiri tanpa menggambar tiga garis yang saling tegak lurus dari satu titik.”

  Interaksi pemikiran matematis yang konkrit dan abstrak “mengarahkan” pada pengembangan konsep dan kategori filosofis yang baru dan baru. Dalam matematika kuno (matematika konstanta), ini adalah "angka" dan "ruang", yang awalnya tercermin dalam geometri aritmatika dan Euclidean, dan kemudian dalam aljabar dan berbagai sistem geometris. Matematika variabel "berdasarkan" pada konsep yang mencerminkan pergerakan materi - "terhingga", "tak terbatas", "kontinuitas", "diskrit", "sangat kecil", "turunan", dll.

  Jika kita berbicara tentang tahap sejarah saat ini dalam pengembangan pengetahuan matematika, maka itu sejalan dengan pengembangan lebih lanjut dari kategori filosofis: teori probabilitas "menguasai" kategori yang mungkin dan yang acak; topologi - kategori hubungan dan kontinuitas; teori bencana - kategori lompat; teori grup - kategori simetri dan harmoni, dll.

  Dalam pemikiran matematis, pola-pola utama untuk membangun koneksi logis yang serupa diekspresikan. Dengan bantuannya, transisi dari singular (katakanlah, dari metode matematika tertentu - aksiomatik, algoritmik, konstruktif, teoretis himpunan, dan lainnya) ke konstruksi deduktif khusus dan umum, ke umum dilakukan. Kesatuan metode dan subjek matematika menentukan kekhasan pemikiran matematika, memungkinkan kita untuk berbicara tentang bahasa matematika khusus yang tidak hanya mencerminkan kenyataan, tetapi juga mensintesis, menggeneralisasi, dan memprediksi pengetahuan ilmiah. Kekuatan dan keindahan pemikiran matematis terletak pada kejelasan logikanya, keanggunan konstruksi, dan konstruksi abstraksi yang terampil.

  Pada dasarnya kemungkinan baru aktivitas mental terbuka dengan penemuan komputer, dengan penciptaan matematika mesin. Perubahan signifikan telah terjadi dalam bahasa matematika. Jika bahasa matematika komputasi klasik terdiri dari rumus aljabar, geometri dan analisis, yang berfokus pada deskripsi proses alam yang berkelanjutan, dipelajari terutama dalam mekanika, astronomi, fisika, maka bahasa modernnya adalah bahasa algoritma dan program, termasuk bahasa lama rumus sebagai kasus tertentu.

  Bahasa matematika komputasi modern menjadi semakin universal, mampu menggambarkan sistem yang kompleks (multi-parameter). Pada saat yang sama, saya ingin menekankan bahwa tidak peduli seberapa sempurna bahasa matematika, yang disempurnakan oleh teknologi komputasi elektronik, itu tidak memutuskan hubungan dengan bahasa alami yang "hidup" yang beragam. Selain itu, bahasa lisan adalah dasar dari bahasa buatan. Dalam hal ini, penemuan para ilmuwan baru-baru ini menarik. Intinya adalah bahwa bahasa kuno orang Indian Aymara, yang dituturkan oleh sekitar 2,5 juta orang di Bolivia dan Peru, ternyata sangat nyaman untuk teknologi komputer. Pada awal 1610, misionaris Jesuit Italia Ludovico Bertoni, yang menyusun kamus Aymara pertama, mencatat kejeniusan penciptanya, yang mencapai kemurnian logika yang tinggi. Di Aymara, misalnya, tidak ada kata kerja tidak beraturan dan tidak ada pengecualian untuk beberapa aturan tata bahasa yang jelas. Fitur-fitur bahasa Aymara ini memungkinkan ahli matematika Bolivia Ivan Guzman de Rojas untuk membuat sistem terjemahan komputer simultan dari salah satu dari lima bahasa Eropa yang termasuk dalam program, "jembatan" di antaranya adalah bahasa Aymara. Komputer "Aymara", yang dibuat oleh seorang ilmuwan Bolivia, sangat dihargai oleh para spesialis. Meringkas bagian dari pertanyaan tentang esensi gaya berpikir matematis ini, perlu dicatat bahwa konten utamanya adalah pemahaman tentang alam.

  Metode Aksiomatik

• Aksiomatik adalah cara utama untuk membangun sebuah teori, dari zaman kuno hingga hari ini, menegaskan universalitasnya dan semua penerapannya.

  Konstruksi teori matematika didasarkan pada metode aksiomatik. Teori ilmiah didasarkan pada beberapa ketentuan awal, yang disebut aksioma, dan semua ketentuan teori lainnya diperoleh sebagai konsekuensi logis dari aksioma.

  Metode aksiomatik muncul di Yunani kuno, dan saat ini digunakan di hampir semua ilmu teoretis, dan, di atas segalanya, dalam matematika.

  Membandingkan tiga, dalam hal tertentu, geometri komplementer: Euclidean (parabola), Lobachevsky (hiperbolik), dan Riemannian (elips), perlu dicatat bahwa, bersama dengan beberapa kesamaan, ada perbedaan besar antara geometri bola, di satu sisi. tangan, dan geometri Euclid dan Lobachevsky - di sisi lain.

  Perbedaan mendasar antara geometri modern adalah bahwa ia sekarang mencakup "geometri" dari ruang imajiner yang berbeda dalam jumlah tak terbatas. Namun, perlu dicatat bahwa semua geometri ini merupakan interpretasi dari geometri Euclid dan didasarkan pada metode aksiomatik yang pertama kali digunakan oleh Euclid.

  Atas dasar penelitian, metode aksiomatik telah dikembangkan dan digunakan secara luas. Sebagai kasus khusus penerapan metode ini adalah metode jejak dalam stereometri, yang memungkinkan pemecahan masalah pada konstruksi bagian dalam polihedra dan beberapa masalah posisi lainnya.

  Metode aksiomatik, yang pertama kali dikembangkan dalam geometri, kini telah menjadi alat studi yang penting dalam cabang matematika, fisika, dan mekanika lainnya. Saat ini, pekerjaan sedang dilakukan untuk meningkatkan dan mempelajari metode aksiomatik membangun teori secara lebih mendalam.

  Metode aksiomatik membangun teori ilmiah terdiri dari menyoroti konsep dasar, merumuskan aksioma teori, dan semua pernyataan lain diturunkan secara logis, berdasarkan pada mereka. Diketahui bahwa satu konsep harus dijelaskan dengan bantuan yang lain, yang, pada gilirannya, juga didefinisikan dengan bantuan beberapa konsep terkenal. Dengan demikian, kita sampai pada konsep dasar yang tidak dapat didefinisikan dalam istilah lain. Konsep-konsep ini disebut dasar.

  Ketika kami membuktikan pernyataan, teorema, kami mengandalkan premis yang dianggap sudah terbukti. Tetapi premis-premis ini juga terbukti, mereka harus dibuktikan. Pada akhirnya, kami sampai pada pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dan menerimanya tanpa bukti. Pernyataan-pernyataan ini disebut aksioma. Himpunan aksioma harus sedemikian rupa sehingga, dengan mengandalkannya, seseorang dapat membuktikan pernyataan lebih lanjut.

  Setelah memilih konsep utama dan merumuskan aksioma, kemudian kami menurunkan teorema dan konsep lainnya dengan cara yang logis. Ini adalah struktur logis dari geometri. Aksioma dan konsep dasar membentuk dasar planimetri.

  Karena tidak mungkin memberikan definisi tunggal dari konsep dasar untuk semua geometri, konsep dasar geometri harus didefinisikan sebagai objek dengan sifat apa pun yang memenuhi aksioma geometri ini. Jadi, dalam konstruksi aksiomatik sistem geometri, kita mulai dari sistem aksioma tertentu, atau aksioma. Aksioma-aksioma ini menggambarkan sifat-sifat konsep dasar sistem geometri, dan kita dapat merepresentasikan konsep-konsep dasar dalam bentuk benda-benda alam apa pun yang memiliki sifat-sifat yang ditentukan dalam aksioma.

  Setelah merumuskan dan membuktikan pernyataan geometris pertama, menjadi mungkin untuk membuktikan beberapa pernyataan (teorema) dengan bantuan orang lain. Bukti dari banyak teorema dikaitkan dengan Pythagoras dan Democritus.

  Hippocrates dari Chios dikreditkan dengan menyusun kursus geometri sistematis pertama berdasarkan definisi dan aksioma. Kursus ini dan pemrosesan selanjutnya disebut "Elemen".

  Metode aksiomatik membangun teori ilmiah

• Penciptaan metode deduktif atau aksiomatik dalam membangun sains adalah salah satu pencapaian terbesar pemikiran matematika. Itu membutuhkan kerja banyak generasi ilmuwan.

  Fitur luar biasa dari sistem penyajian deduktif adalah kesederhanaan konstruksi ini, yang memungkinkan untuk menggambarkannya dalam beberapa kata.

  Sistem penyajian deduktif direduksi menjadi:

  1) ke daftar konsep dasar,

  2) untuk penyajian definisi,

  3) untuk presentasi aksioma,

  4) untuk presentasi teorema,

  5) untuk membuktikan teorema-teorema ini.

  Aksioma adalah pernyataan yang diterima tanpa bukti.

  Teorema adalah pernyataan yang mengikuti aksioma.

  Pembuktian merupakan bagian integral dari sistem deduktif, yaitu penalaran yang menunjukkan bahwa kebenaran suatu pernyataan mengikuti secara logis dari kebenaran teorema atau aksioma sebelumnya.

  Dalam sistem deduktif, dua pertanyaan tidak dapat diselesaikan: 1) tentang makna konsep dasar, 2) tentang kebenaran aksioma. Tetapi ini tidak berarti bahwa pertanyaan-pertanyaan ini pada umumnya tidak dapat dipecahkan.

  Sejarah ilmu alam menunjukkan bahwa kemungkinan konstruksi aksiomatik ilmu tertentu hanya muncul pada tingkat perkembangan yang cukup tinggi dari ilmu ini, berdasarkan sejumlah besar bahan faktual, yang memungkinkan untuk mengidentifikasi dengan jelas penyebab utama. koneksi dan hubungan yang ada antara objek yang dipelajari oleh ilmu ini.

  Contoh konstruksi aksiomatik ilmu matematika adalah geometri dasar. Sistem aksioma geometri dijelaskan oleh Euclid (sekitar 300 SM) dalam karya "Awal" yang tak tertandingi dalam signifikansinya. Sistem ini sebagian besar bertahan hingga hari ini.

  Konsep dasar: titik, garis, gambar dasar bidang; terletak di antara, milik, bergerak.

  Geometri dasar memiliki 13 aksioma, yang dibagi menjadi lima kelompok. Pada kelompok kelima, ada satu aksioma tentang paralel (postulat V dari Euclid): hanya satu garis lurus yang dapat ditarik melalui sebuah titik pada bidang yang tidak memotong garis lurus ini. Ini adalah satu-satunya aksioma yang menyebabkan perlunya bukti. Upaya untuk membuktikan postulat kelima menduduki matematikawan selama lebih dari 2 milenium, hingga paruh pertama abad ke-19, yaitu. sampai saat Nikolai Ivanovich Lobachevsky dalam tulisannya membuktikan keputusasaan total dari upaya ini. Saat ini, unprovability dari postulat kelima adalah fakta matematika yang terbukti secara ketat.

  Aksioma tentang paralel N.I. Lobachevsky menggantikan aksioma: Biarkan garis lurus dan titik yang terletak di luar garis lurus diberikan dalam bidang tertentu. Melalui titik ini, setidaknya dua garis sejajar dapat ditarik ke garis yang diberikan.

  Dari sistem aksioma baru N.I. Lobachevsky, dengan ketelitian logis yang sempurna, menyimpulkan sistem teorema yang koheren yang membentuk isi geometri non-Euclidean. Kedua geometri Euclid dan Lobachevsky sama sebagai sistem logis.

  Tiga ahli matematika hebat di abad ke-19 hampir bersamaan, secara independen satu sama lain, sampai pada hasil yang sama dari unprovability postulat kelima dan penciptaan geometri non-Euclidean.

  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)

  Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Bolyai (1802-1860)

  Bukti matematika

• Metode utama dalam penelitian matematika adalah pembuktian matematis - penalaran logis yang ketat. Berdasarkan kebutuhan objektif, tunjukkan Anggota Koresponden dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Matematika modern dan pengajarannya, Moskow, Nauka, 1985, penalaran logis (yang menurut sifatnya, jika benar, juga ketat) adalah metode matematika, matematika tidak terpikirkan tanpa mereka. Perlu dicatat bahwa berpikir matematis tidak terbatas pada penalaran logis. Untuk perumusan masalah yang benar, untuk evaluasi datanya, untuk pemilihan yang signifikan dari mereka dan untuk pilihan metode untuk menyelesaikannya, intuisi matematika juga diperlukan, yang memungkinkan untuk meramalkan hasil yang diinginkan sebelum diperoleh, untuk menguraikan jalur penelitian dengan bantuan penalaran yang masuk akal. Tetapi keabsahan fakta yang sedang dipertimbangkan dibuktikan bukan dengan memeriksanya pada sejumlah contoh, bukan dengan melakukan sejumlah eksperimen (yang dengan sendirinya memainkan peran besar dalam penelitian matematika), tetapi dengan cara yang murni logis, menurut hukum logika formal.

  Diyakini bahwa bukti matematis adalah kebenaran tertinggi. Keputusan yang didasarkan pada logika murni tidak mungkin salah. Tetapi dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan tugas-tugas matematikawan sebelumnya semakin kompleks.

  “Kita telah memasuki era ketika perangkat matematika menjadi begitu kompleks dan rumit sehingga pada pandangan pertama tidak mungkin lagi untuk mengatakan apakah masalah yang dihadapi itu benar atau tidak,” percaya Keith Devlin dari Stanford University, California, AS. Dia mengutip sebagai contoh "klasifikasi kelompok hingga yang sederhana", yang dirumuskan kembali pada tahun 1980, tetapi bukti pasti yang lengkap belum diberikan. Kemungkinan besar, teorema itu benar, tetapi tidak mungkin untuk mengatakan dengan pasti tentang ini.

  Solusi komputer juga tidak bisa disebut eksak, karena perhitungan seperti itu selalu memiliki kesalahan. Pada tahun 1998, Hales mengusulkan solusi berbantuan komputer untuk teorema Kepler, yang dirumuskan kembali pada tahun 1611. Teorema ini menjelaskan pengepakan bola terpadat di ruang angkasa. Buktinya disajikan pada 300 halaman dan berisi 40.000 baris kode mesin. 12 pengulas memeriksa solusi selama satu tahun, tetapi mereka tidak pernah mencapai kepercayaan 100% dalam kebenaran bukti, dan penelitian dikirim untuk direvisi. Akibatnya, itu diterbitkan hanya setelah empat tahun dan tanpa sertifikasi penuh dari pengulas.

  Semua perhitungan terbaru untuk masalah yang diterapkan dibuat di komputer, tetapi para ilmuwan percaya bahwa untuk keandalan yang lebih besar, perhitungan matematis harus disajikan tanpa kesalahan.

  Teori pembuktian dikembangkan dalam logika dan mencakup tiga komponen struktural: tesis (apa yang seharusnya dibuktikan), argumen (seperangkat fakta, konsep yang diterima secara umum, hukum, dll. dari ilmu yang relevan) dan demonstrasi (prosedur untuk menyebarkan bukti itu sendiri; rantai kesimpulan yang konsisten ketika Inferensi ke-n menjadi salah satu premis dari inferensi ke-n+1). Aturan pembuktian dibedakan, kemungkinan kesalahan logis ditunjukkan.

  Bukti matematis memiliki banyak kesamaan dengan prinsip-prinsip yang ditetapkan oleh logika formal. Selain itu, aturan matematika dari penalaran dan operasi jelas berfungsi sebagai salah satu dasar dalam pengembangan prosedur pembuktian dalam logika. Secara khusus, para peneliti sejarah pembentukan logika formal percaya bahwa pada suatu waktu, ketika Aristoteles mengambil langkah pertama untuk menciptakan hukum dan aturan logika, ia beralih ke matematika dan praktik aktivitas hukum. Dalam sumber-sumber ini, ia menemukan bahan untuk konstruksi logis dari teori yang dikandungnya.

  Pada abad ke-20, konsep pembuktian kehilangan maknanya yang tegas, yang terjadi sehubungan dengan penemuan paradoks logis yang bersembunyi dalam teori himpunan dan terutama sehubungan dengan hasil yang dibawa oleh teorema K. Gödel tentang ketidaklengkapan formalisasi.

  Pertama-tama, ini mempengaruhi matematika itu sendiri, sehubungan dengan itu diyakini bahwa istilah "bukti" tidak memiliki definisi yang tepat. Tetapi jika pendapat seperti itu (yang masih berlaku sampai sekarang) mempengaruhi matematika itu sendiri, maka mereka sampai pada kesimpulan bahwa bukti harus diterima bukan dalam logika-matematis, tetapi dalam arti psikologis. Selain itu, pandangan serupa ditemukan pada Aristoteles sendiri, yang percaya membuktikan berarti melakukan penalaran yang akan meyakinkan kita sedemikian rupa sehingga, dengan menggunakannya, kita meyakinkan orang lain tentang kebenaran sesuatu. Kami menemukan bayangan tertentu dari pendekatan psikologis di A.E. Yesenin-Volpin. Dia dengan tajam menentang penerimaan kebenaran tanpa bukti, menghubungkannya dengan tindakan iman, dan selanjutnya menulis: "Saya menyebut bukti penilaian sebagai metode jujur ​​yang membuat penilaian ini tidak dapat disangkal." Yesenin-Volpin melaporkan bahwa definisinya masih perlu diklarifikasi. Pada saat yang sama, bukankah karakterisasi bukti sebagai "metode jujur" menunjukkan daya tarik terhadap penilaian moral-psikologis?

  Pada saat yang sama, penemuan paradoks teori himpunan dan kemunculan teorema Godel hanya berkontribusi pada pengembangan teori pembuktian matematis yang dilakukan oleh para intuisionis, terutama aliran konstruktivis, dan D. Hilbert.

  Kadang-kadang diyakini bahwa bukti matematis bersifat universal dan mewakili versi ideal dari bukti ilmiah. Namun, ini bukan satu-satunya metode; ada metode lain dari prosedur dan operasi berbasis bukti. Hanya benar bahwa pembuktian matematis memiliki banyak kesamaan dengan pembuktian logis formal yang diterapkan dalam ilmu alam, dan bahwa pembuktian matematis memiliki kekhususan tertentu, serta seperangkat teknik-operasi. Di sinilah kita akan berhenti, menghilangkan hal umum yang membuatnya terkait dengan bentuk bukti lain, yaitu, tanpa memperluas algoritma, aturan, kesalahan, dll di semua langkah (bahkan yang utama). proses pembuktian.

  Pembuktian matematis adalah penalaran yang memiliki tugas untuk membuktikan kebenaran (tentu saja, dalam matematika, yaitu, sebagai pengurangan, pengertian) dari suatu pernyataan.

  Himpunan aturan yang digunakan dalam pembuktian terbentuk seiring dengan munculnya konstruksi aksiomatik teori matematika. Ini diwujudkan paling jelas dan lengkap dalam geometri Euclid. "Prinsip" -nya menjadi semacam standar model untuk organisasi aksiomatik pengetahuan matematika, dan untuk waktu yang lama tetap seperti itu untuk matematikawan.

  Pernyataan yang disajikan dalam bentuk urutan tertentu harus menjamin kesimpulan, yang, menurut aturan operasi logis, dianggap terbukti. Harus ditekankan bahwa penalaran tertentu adalah bukti hanya sehubungan dengan beberapa sistem aksiomatik.

  Saat mengkarakterisasi bukti matematis, dua fitur utama dibedakan. Pertama-tama, fakta bahwa bukti matematis mengecualikan referensi ke bukti empiris. Seluruh prosedur untuk membuktikan kebenaran kesimpulan dilakukan dalam kerangka aksioma yang diterima. Akademisi A.D. Aleksandrov menekankan dalam hal ini. Anda dapat mengukur sudut segitiga ribuan kali dan memastikan bahwa mereka sama dengan 2d. Tapi matematika tidak membuktikan apa-apa. Anda akan membuktikannya kepadanya jika Anda menyimpulkan pernyataan di atas dari aksioma. Mari kita ulangi. Di sini matematika dekat dengan metode skolastik, yang juga secara fundamental menolak argumentasi dengan fakta-fakta yang diberikan secara eksperimental.

  Misalnya, ketika ketidakterbandingan segmen ditemukan, ketika membuktikan teorema ini, banding ke eksperimen fisik dikecualikan, karena, pertama, konsep "ketidakterbandingan" tidak memiliki makna fisik, dan, kedua, matematikawan tidak bisa, ketika berhadapan dengan abstraksi, untuk membawa ke bahan pembantu-perluasan beton, diukur dengan perangkat sensorik-visual. Ketidakterbandingan, khususnya, dari sisi dan diagonal persegi, dibuktikan berdasarkan sifat bilangan bulat menggunakan teorema Pythagoras pada kesetaraan kuadrat sisi miring (masing-masing diagonal) dengan jumlah kuadrat dari kaki (dua sisi segitiga siku-siku). Atau ketika Lobachevsky sedang mencari konfirmasi untuk geometrinya, mengacu pada hasil pengamatan astronomi, maka konfirmasi ini dilakukan olehnya dengan cara yang murni bersifat spekulatif. Interpretasi Cayley-Klein dan Beltrami tentang geometri non-Euclidean juga menampilkan objek matematis daripada objek fisik.

  Ciri kedua dari pembuktian matematis adalah keabstrakannya yang paling tinggi, yang membedakannya dengan prosedur pembuktian dalam ilmu-ilmu lain. Dan lagi, seperti dalam kasus konsep objek matematika, ini bukan hanya tentang tingkat abstraksi, tetapi tentang sifatnya. Faktanya adalah bahwa bukti mencapai tingkat abstraksi yang tinggi dalam sejumlah ilmu lain, misalnya, dalam fisika, kosmologi dan, tentu saja, dalam filsafat, karena masalah terakhir tentang keberadaan dan pemikiran menjadi subjek yang terakhir. Matematika, di sisi lain, dibedakan oleh fakta bahwa variabel berfungsi di sini, artinya adalah abstraksi dari sifat spesifik apa pun. Ingatlah bahwa, menurut definisi, variabel adalah tanda-tanda yang dalam dirinya sendiri tidak memiliki arti dan memperoleh yang terakhir hanya ketika nama-nama objek tertentu diganti (variabel individu) atau ketika properti dan hubungan tertentu ditunjukkan (variabel predikat), atau, akhirnya , dalam kasus penggantian variabel dengan pernyataan yang bermakna (variabel proposisional).

  Fitur yang dicatat menentukan sifat abstraksi ekstrem dari tanda-tanda yang digunakan dalam bukti matematis, serta pernyataan, yang, karena dimasukkannya variabel dalam strukturnya, berubah menjadi pernyataan.

  Prosedur pembuktian itu sendiri, yang didefinisikan dalam logika sebagai demonstrasi, berlangsung berdasarkan aturan-aturan inferensi, yang berdasarkan mana transisi dari satu pernyataan terbukti ke pernyataan lain dilakukan, membentuk rantai kesimpulan yang konsisten. Yang paling umum adalah dua aturan (substitusi dan derivasi kesimpulan) dan teorema deduksi.

  aturan substitusi. Dalam matematika, substitusi didefinisikan sebagai penggantian setiap elemen a dari himpunan tertentu oleh beberapa elemen lain F(a) dari himpunan yang sama. Dalam logika matematika, aturan substitusi dirumuskan sebagai berikut. Jika rumus sejati M dalam kalkulus proposisi mengandung huruf, katakanlah A, maka dengan menggantinya di mana pun itu muncul dengan huruf D sembarang, kita mendapatkan rumus yang juga benar seperti yang asli. Ini mungkin, dan dapat diterima, justru karena dalam kalkulus proposisi seseorang mengabstraksi dari makna proposisi (rumus)... Hanya nilai-nilai "benar" atau "salah" yang diperhitungkan. Misalnya, dalam rumus M: A--> (BUA) kami mengganti ekspresi (AUB) menggantikan A, sebagai hasilnya kami mendapatkan rumus baru (AUB) -->[(BU(AUB) ].

  Aturan untuk menyimpulkan kesimpulan sesuai dengan struktur modus ponens silogisme kategoris bersyarat (modus afirmatif) dalam logika formal. Ini terlihat seperti ini:

  sebuah .

  Diberikan proposisi (a->b) dan juga diberikan a. Ini mengikuti b.

  Contoh: Jika hujan, maka perkerasan itu basah, maka hujan (a), maka perkerasan itu basah (b). Dalam logika matematika, silogisme ini ditulis sebagai berikut (a->b) a->b.

  Inferensi ditentukan, sebagai suatu peraturan, dengan memisahkan implikasinya. Jika suatu implikasi (a-> b) dan antesedennya (a) diberikan, maka kita berhak menambahkan alasan (pembuktian) juga akibat dari implikasi ini (b). Silogisme bersifat koersif, yang merupakan gudang alat pembuktian deduktif, yaitu, secara mutlak memenuhi persyaratan penalaran matematis.

  Peran penting dalam pembuktian matematis dimainkan oleh teorema deduksi - nama umum untuk sejumlah teorema, prosedur yang memungkinkan untuk menetapkan pembuktian implikasi: A-> B, ketika ada derivasi logis dari rumus B dari rumus A. Dalam versi paling umum dari kalkulus proposisional (dalam matematika klasik, intuisionistik, dan jenis matematika lainnya), teorema deduksi menyatakan sebagai berikut. Jika sistem dengan premis G dan premis A diberikan, yang darinya, menurut aturan, B G, A B (- tanda turunan) dapat dideduksi, maka hanya dari premis G seseorang dapat memperoleh kalimat A --> B

  Kami telah mempertimbangkan jenisnya, yang merupakan bukti langsung. Pada saat yang sama, apa yang disebut bukti tidak langsung juga digunakan dalam logika; ada bukti tidak langsung yang digunakan sesuai dengan skema berikut. Tidak memiliki, karena beberapa alasan (tidak dapat diaksesnya objek penelitian, hilangnya realitas keberadaannya, dll) kesempatan untuk melakukan pembuktian langsung atas kebenaran pernyataan, tesis, mereka membangun antitesis. Mereka yakin bahwa antitesis mengarah pada kontradiksi, dan, oleh karena itu, salah. Kemudian dari fakta kepalsuan antitesis seseorang menarik - berdasarkan hukum tengah yang dikecualikan (a v) - kesimpulan tentang kebenaran tesis.

  Dalam matematika, salah satu bentuk pembuktian tidak langsung banyak digunakan - pembuktian dengan kontradiksi. Ini sangat berharga dan, pada kenyataannya, sangat diperlukan dalam penerimaan konsep dasar dan ketentuan matematika, misalnya, konsep infinity aktual, yang tidak dapat diperkenalkan dengan cara lain.

  Operasi pembuktian dengan kontradiksi direpresentasikan dalam logika matematika sebagai berikut. Diberikan barisan rumus G dan negasi dari A (G , A). Jika ini menyiratkan B dan negasinya (G , A B, non-B), maka kita dapat menyimpulkan bahwa kebenaran A mengikuti dari barisan rumus G. Dengan kata lain, kebenaran tesis mengikuti dari kepalsuan antitesis .

  Referensi:

• 1. N. Sh. Kremer, B. A. Putko, I. M. Trishin, M. N. Fridman, Matematika Tinggi untuk Ekonom, buku teks, Moskow, 2002;

  2. L.D. Kudryavtsev, Matematika modern dan pengajarannya, Moskow, Nauka, 1985;

  3. O. I. Larichev, Model objektif dan keputusan subjektif, Moskow, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “Matematika? - Lucu! ”, Edisi penulis, 1989;

  5. P.K. Rashevsky, geometri Riemannian dan analisis tensor, Moskow, edisi ke-3, 1967;

  6. V.E. Gmurman, Teori Probabilitas dan Statistik Matematika, Moskow, Sekolah Tinggi, 1977;

  7. Enternet jaringan di seluruh dunia.

MATEMATIKA adalah ilmu hubungan kuantitatif dan bentuk spasial dari dunia nyata; Kata Yunani (mathematice) berasal dari kata Yunani (mathema), yang berarti "pengetahuan", "ilmu".

Matematika muncul di zaman kuno dari kebutuhan praktis orang. Isi dan karakternya telah berubah sepanjang sejarah dan terus berubah sekarang. Dari ide subjek utama tentang bilangan bulat positif, serta dari ide segmen garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik, matematika telah mengalami perkembangan yang jauh sebelum menjadi ilmu abstrak dengan metode penelitian tertentu.

Pemahaman modern tentang bentuk spasial sangat luas. Ini termasuk, bersama dengan objek geometris ruang tiga dimensi (garis, lingkaran, segitiga, kerucut, silinder, bola, dll.), Juga banyak generalisasi - konsep ruang multidimensi dan dimensi tak terbatas, serta objek geometris di dalamnya , dan banyak lagi. Dengan cara yang sama, hubungan kuantitatif sekarang dinyatakan tidak hanya dengan bilangan bulat positif atau bilangan rasional, tetapi juga melalui bilangan kompleks, vektor, fungsi dll. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi memaksa matematika untuk terus mengembangkan ide-idenya tentang bentuk spasial dan hubungan kuantitatif.

Konsep matematika diabstraksikan dari fenomena dan objek tertentu; mereka diperoleh sebagai hasil abstraksi dari fitur kualitatif khusus untuk rentang fenomena dan objek tertentu. Keadaan ini sangat penting untuk aplikasi matematika. Nomor 2 tidak terkait erat dengan konten subjek tertentu. Itu bisa merujuk pada dua apel, atau dua buku, atau dua pemikiran. Ini berlaku sama baiknya untuk semua ini dan objek lain yang tak terhitung jumlahnya. Dengan cara yang sama, sifat geometris bola tidak berubah karena terbuat dari kaca, baja, atau stearin. Tentu saja, mengabstraksi dari sifat-sifat suatu objek memperlemah pengetahuan kita tentang objek yang diberikan, tentang ciri-ciri materialnya. Pada saat yang sama, abstraksi dari sifat-sifat khusus objek individu inilah yang memberikan kesamaan pada konsep, memungkinkan untuk menerapkan matematika pada fenomena yang paling beragam dalam sifat materialnya. Jadi, hukum matematika yang sama, perangkat matematika yang sama dapat diterapkan dengan cukup memuaskan pada deskripsi fenomena alam, teknis, serta proses ekonomi dan sosial.

Keabstrakan konsep bukanlah fitur eksklusif matematika; setiap konsep ilmiah dan umum membawa unsur abstraksi dari sifat-sifat hal-hal tertentu. Tetapi dalam matematika proses abstraksi berjalan lebih jauh daripada dalam ilmu-ilmu alam; dalam matematika, proses membangun abstraksi tingkat yang berbeda digunakan secara luas. Ya, konsepnya kelompok muncul dengan mengabstraksikan dari beberapa sifat totalitas bilangan dan konsep abstrak lainnya. Matematika juga dicirikan oleh metode untuk memperoleh hasil-hasilnya. Jika ilmuwan alam terus-menerus menggunakan pengalaman untuk membuktikan posisinya, maka ahli matematika membuktikan hasilnya hanya melalui penalaran logis. Dalam matematika, tidak ada hasil yang dapat dianggap terbukti sampai membutuhkan bukti logis, dan ini bahkan jika eksperimen khusus mengkonfirmasi hasil ini. Pada saat yang sama, kebenaran teori matematika juga diuji dengan praktik, tetapi verifikasi ini bersifat khusus: konsep dasar matematika terbentuk sebagai hasil kristalisasi jangka panjang dari tuntutan praktik tertentu; aturan logika itu sendiri dikembangkan hanya setelah ribuan tahun mengamati jalannya proses di alam; rumusan teorema dan rumusan masalah dalam matematika juga muncul dari tuntutan praktik. Matematika muncul dari kebutuhan praktis, dan hubungannya dengan praktik menjadi semakin beragam dan mendalam dari waktu ke waktu.

Pada prinsipnya, matematika dapat diterapkan untuk mempelajari semua jenis gerakan, berbagai fenomena. Pada kenyataannya, perannya dalam berbagai bidang kegiatan ilmiah dan praktis tidak sama. Peran matematika sangat besar terutama dalam pengembangan fisika modern, kimia, banyak bidang teknologi, secara umum dalam studi fenomena-fenomena di mana bahkan abstraksi yang signifikan dari fitur kualitatif spesifiknya memungkinkan untuk menangkap secara akurat kuantitatif dan spasial. pola yang melekat di dalamnya. Misalnya, studi matematis tentang pergerakan benda langit, berdasarkan abstraksi yang signifikan dari fitur aslinya (benda, misalnya, dianggap sebagai titik material), telah mengarah dan mengarah pada kecocokan yang sempurna dengan gerakan nyata mereka. Atas dasar ini, dimungkinkan tidak hanya untuk memprediksi sebelumnya fenomena langit (gerhana, posisi planet, dll.), tetapi juga untuk memprediksi keberadaan planet yang belum pernah diamati sebelumnya (dengan cara ini, Pluto ditemukan pada tahun 1930). , Neptunus pada tahun 1846). Tempat yang lebih kecil, tetapi tetap signifikan ditempati oleh matematika dalam ilmu-ilmu seperti ekonomi, biologi, dan kedokteran. Orisinalitas kualitatif dari fenomena yang dipelajari dalam ilmu-ilmu ini begitu besar dan mempengaruhi sifat perjalanan mereka begitu kuat sehingga analisis matematis sejauh ini hanya dapat memainkan peran bawahan. Yang sangat penting bagi ilmu-ilmu sosial dan biologi adalah statistik matematika. Matematika itu sendiri juga berkembang di bawah pengaruh persyaratan ilmu pengetahuan alam, teknologi, dan ekonomi. Bahkan dalam beberapa tahun terakhir, sejumlah disiplin matematika telah muncul yang muncul atas dasar permintaan praktis: teori informasi, teori permainan dan sebagainya.

Jelas bahwa transisi dari satu tahap kognisi fenomena ke yang berikutnya, lebih akurat, membuat tuntutan baru pada matematika dan mengarah pada penciptaan konsep baru, metode penelitian baru. Dengan demikian, persyaratan astronomi, bergerak dari pengetahuan deskriptif murni ke pengetahuan eksakta, mengarah pada pengembangan konsep-konsep dasar trigonometri: pada abad ke-2 SM ilmuwan Yunani kuno Hipparchus menyusun tabel akord yang sesuai dengan tabel sinus modern; ilmuwan Yunani kuno pada abad ke-1 Menelaus dan pada abad ke-2 Claudius Ptolemy menciptakan fondasi trigonometri bola. Ketertarikan yang meningkat pada studi tentang gerakan, yang dihidupkan oleh perkembangan manufaktur, navigasi, artileri, dll., pada abad ke-17 mengarah pada penciptaan konsep. analisis matematis, pengembangan matematika baru. Pengenalan luas metode matematika dalam studi fenomena alam (terutama astronomi dan fisik) dan perkembangan teknologi (terutama teknik mesin) menyebabkan pada abad ke-18 dan ke-19 perkembangan pesat mekanika teoretis dan teori. persamaan diferensial. Perkembangan gagasan tentang struktur molekul materi menyebabkan perkembangan yang pesat teori probabilitas. Saat ini, kita dapat melacak munculnya bidang baru penelitian matematika melalui banyak contoh. Terutama yang patut dicatat adalah pencapaiannya matematika komputasi dan teknologi komputer dan transformasi yang mereka hasilkan di banyak cabang matematika.

Esai sejarah. Dalam sejarah matematika, empat periode dengan perbedaan yang pada dasarnya kualitatif dapat diuraikan. Sulit untuk memisahkan periode-periode ini secara tepat, karena setiap periode berikutnya berkembang di dalam periode sebelumnya dan oleh karena itu ada tahapan transisi yang cukup signifikan, ketika ide-ide baru baru saja muncul dan belum menjadi panduan baik dalam matematika itu sendiri maupun dalam penerapannya.

1) Masa lahirnya matematika sebagai disiplin ilmu yang berdiri sendiri; awal periode ini hilang di kedalaman sejarah; Hal itu berlangsung hingga kira-kira 6-5 abad sebelum masehi. e.

2) Periode matematika dasar, matematika konstanta; itu berlangsung kira-kira sampai akhir abad ke-17, ketika perkembangan matematika baru yang "lebih tinggi" berjalan cukup jauh.

3) Periode matematika variabel; ditandai dengan penciptaan dan pengembangan analisis matematis, studi tentang proses dalam pergerakannya, perkembangannya.

4) Periode matematika modern; dicirikan oleh studi yang sadar dan sistematis tentang kemungkinan jenis hubungan kuantitatif dan bentuk spasial. Dalam geometri, tidak hanya ruang tiga dimensi yang dipelajari, tetapi juga bentuk ruang yang serupa dengannya. Dalam analisis matematis, variabel dianggap tidak hanya bergantung pada argumen numerik, tetapi juga pada beberapa garis (fungsi), yang mengarah pada konsep Kegunaan dan operator. Aljabar berubah menjadi teori operasi aljabar pada elemen yang bersifat arbitrer. Kalau saja mungkin untuk melakukan operasi ini pada mereka. Awal periode ini secara alami dapat dikaitkan dengan paruh pertama abad ke-19.

Di dunia kuno, informasi matematika pada awalnya merupakan bagian integral dari pengetahuan para imam dan pejabat pemerintah. Stok informasi ini, seperti yang dapat dinilai dari tablet tanah liat Babilonia dan Mesir yang sudah diuraikan papirus matematika, relatif besar. Ada bukti bahwa seribu tahun sebelum ilmuwan Yunani kuno Pythagoras di Mesopotamia, tidak hanya teori Pythagoras yang diketahui, tetapi masalah menemukan semua segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat juga terpecahkan. Namun, sebagian besar dokumen pada waktu itu adalah kumpulan aturan untuk melakukan operasi aritmatika paling sederhana, serta untuk menghitung area angka dan volume benda. Berbagai tabel juga telah diawetkan untuk memfasilitasi perhitungan ini. Dalam semua manual, aturan tidak dirumuskan, tetapi dijelaskan dengan contoh yang sering. Transformasi matematika menjadi ilmu formal dengan metode konstruksi deduktif yang terbentuk dengan baik terjadi di Yunani Kuno. Di tempat yang sama, kreativitas matematika tidak lagi tanpa nama. Praktis aritmatika dan geometri di Yunani kuno memiliki tingkat perkembangan yang tinggi. Awal geometri Yunani dikaitkan dengan nama Thales of Miletus (akhir abad ke-7 SM - awal abad ke-6 SM), yang membawa pengetahuan utama dari Mesir. Di sekolah Pythagoras of Samos (abad ke-6 SM), pembagian bilangan dipelajari, perkembangan paling sederhana diringkas, bilangan sempurna dipelajari, berbagai jenis rata-rata (aritmatika, geometris, harmonik) diperkenalkan ke dalam pertimbangan, bilangan Pythagoras ditemukan lagi (tiga kali lipat bilangan bulat, yang dapat menjadi sisi segitiga siku-siku). Pada abad ke-5-6 SM. masalah kuno yang terkenal muncul - pengkuadratan lingkaran, segitiga siku-siku, penggandaan kubus, bilangan irasional pertama dibangun. Buku teks geometri sistematis pertama dikaitkan dengan Hippocrates dari Chios (paruh ke-2 abad ke-5 SM). Pada saat yang sama, keberhasilan signifikan dari sekolah Platonis, yang terkait dengan upaya untuk menjelaskan secara rasional struktur materi Semesta, termasuk dalam pencarian semua polihedra biasa. Di perbatasan abad ke-5 dan ke-4 SM. Democritus, berdasarkan ide atomistik, mengusulkan metode untuk menentukan volume benda. Metode ini dapat dianggap sebagai prototipe dari metode infinitesimal. Pada abad ke-4 SM. Eudoxus dari Cnidus mengembangkan teori proporsi. Abad ke-3 SM ditandai dengan intensitas kreativitas matematika terbesar. (Abad ke-1 dari apa yang disebut era Aleksandria). Pada abad ke-3 SM. matematikawan seperti Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga, Eratosthenes bekerja; kemudian - Bangau (abad ke-1 M) Diophantus (abad ke-3). Dalam "Principles"-nya, Euclid mengumpulkan dan tunduk pada pemrosesan logis terakhir dari pencapaian di bidang geometri; pada saat yang sama, ia meletakkan dasar-dasar teori bilangan. Kelebihan utama Archimedes dalam geometri adalah penentuan berbagai area dan volume. Diophantus terutama mempelajari solusi persamaan dalam bilangan positif rasional. Sejak akhir abad ke-3, kemunduran matematika Yunani dimulai.

Matematika mencapai perkembangan yang signifikan di Cina kuno dan India. Matematikawan Cina dicirikan oleh teknik tinggi untuk melakukan perhitungan dan minat dalam pengembangan metode aljabar umum. Pada abad ke-2-1 SM. Matematika dalam Sembilan Buku telah ditulis. Ini berisi teknik yang sama untuk mengekstraksi akar kuadrat, yang juga disajikan di sekolah modern: metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar linier, formulasi aritmatika dari teorema Pythagoras.

Matematika India, yang berkembang pada abad ke-5-12, dikreditkan dengan penggunaan penomoran desimal modern, serta nol untuk menunjukkan tidak adanya unit dari kategori tertentu, dan manfaat dari pengembangan aljabar yang jauh lebih luas daripada matematika. Diophantus, beroperasi tidak hanya dengan bilangan rasional positif, tetapi juga dengan bilangan negatif dan irasional.

Penaklukan Arab menyebabkan fakta bahwa dari Asia Tengah ke Semenanjung Iberia, para ilmuwan menggunakan bahasa Arab selama abad ke-9-15. Pada abad ke-9, ilmuwan Asia Tengah al-Khawarizmi pertama kali menetapkan aljabar sebagai ilmu independen. Selama periode ini, banyak masalah geometri menerima formulasi aljabar. Suriah al-Battani memperkenalkan fungsi trigonometri sinus, tangen dan kotangen. Ilmuwan Samarkand al-Kashi (abad ke-15) memperkenalkan pecahan desimal dan memberikan presentasi sistematis, merumuskan rumus binomial Newton.

Periode yang pada dasarnya baru dalam pengembangan matematika dimulai pada abad ke-17, ketika gagasan tentang gerakan, perubahan, dengan jelas memasuki matematika. Pertimbangan variabel dan hubungan di antara mereka menyebabkan konsep fungsi, turunan dan integral Kalkulus diferensial, Kalkulus integral, hingga munculnya disiplin matematika baru - analisis matematika.

Dari akhir abad ke-18 hingga awal abad ke-19, sejumlah fitur yang pada dasarnya baru diamati dalam perkembangan matematika. Yang paling khas dari ini adalah minat pada revisi kritis dari sejumlah masalah dalam dasar matematika. Gagasan samar-samar tentang infinitesimal telah digantikan oleh formulasi tepat yang terkait dengan konsep limit.

Dalam aljabar pada abad ke-19, pertanyaan tentang kemungkinan penyelesaian persamaan aljabar dalam radikal diklarifikasi (ilmuwan Norwegia N. Abel, ilmuwan Prancis E. Galois).

Pada abad ke-19 dan ke-20, metode numerik matematika tumbuh menjadi cabang independen - matematika komputasi. Aplikasi penting untuk teknologi komputer baru ditemukan oleh cabang matematika yang berkembang pada abad ke-19 dan ke-20 - logika matematika.

Materi disiapkan oleh Leshchenko O.V., seorang guru matematika.