Petunjuk
Gunakan pi untuk menemukan jari-jari dari luas lingkaran yang diketahui. Konstanta ini menentukan proporsi antara diameter lingkaran dan panjang batasnya (lingkaran). Keliling lingkaran adalah luas maksimum bidang yang dapat ditutup dengan bantuannya, dan diameternya sama dengan dua jari-jari, oleh karena itu, luas dengan jari-jari juga berkorelasi satu sama lain dengan proporsi yang dapat dinyatakan dalam Pi. Konstanta ini (π) didefinisikan sebagai luas (S) dan jari-jari kuadrat (r) lingkaran. Dari sini dapat disimpulkan bahwa jari-jari dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari hasil bagi pembagian luas dengan bilangan Pi: r=√(S/π).
Untuk waktu yang lama, Erastofen mengepalai Perpustakaan Alexandria, perpustakaan paling terkenal di dunia kuno. Selain fakta bahwa dia menghitung ukuran planet kita, dia membuat sejumlah penemuan dan penemuan penting. Menemukan metode sederhana untuk menentukan bilangan prima, sekarang disebut "ayakan Erastothenes".
Dia menggambar "peta dunia", di mana dia menunjukkan semua bagian dunia yang dikenal pada waktu itu oleh orang Yunani kuno. Peta itu dianggap salah satu yang terbaik pada masanya. Dia mengembangkan sistem bujur dan lintang dan kalender yang mencakup tahun kabisat. Menemukan bola armillary, perangkat mekanis yang digunakan oleh para astronom awal untuk menunjukkan dan memprediksi pergerakan bintang di langit. Dia juga menyusun katalog bintang, yang mencakup 675 bintang.
Sumber:
- Ilmuwan Yunani Eratosthenes dari Kirene untuk pertama kalinya di dunia menghitung jari-jari Bumi
- Eratosthenes "Perhitungan Keliling Bumi"
- Eratostenes
Bagaimana cara mencari luas lingkaran? Cari radiusnya dulu. Belajar memecahkan masalah sederhana dan kompleks.
Lingkaran adalah kurva tertutup. Setiap titik pada garis lingkaran akan memiliki jarak yang sama dari titik pusat. Lingkaran adalah bangun datar, jadi menyelesaikan masalah dengan mencari luas itu mudah. Pada artikel ini, kita akan melihat cara mencari luas lingkaran yang terdapat pada segitiga, trapesium, bujur sangkar, dan dijelaskan di sekitar angka-angka ini.
Untuk mencari luas bangun tertentu, Anda perlu mengetahui jari-jari, diameter, dan bilangan .
Radius R adalah jarak yang dibatasi oleh pusat lingkaran. Panjang semua jari-jari R dari satu lingkaran akan sama.
Diameter D adalah garis antara dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat. Panjang segmen ini sama dengan panjang R-radius dikali 2.
Nomor adalah nilai konstan, yaitu sebesar 3,1415926. Dalam matematika, angka ini biasanya dibulatkan menjadi 3,14.
Rumus untuk mencari luas lingkaran menggunakan jari-jari:
Contoh penyelesaian tugas untuk menemukan luas S lingkaran melalui radius R:
Tugas: Hitunglah luas lingkaran jika jari-jarinya 7 cm.
Keputusan: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 cm².
Menjawab: Luas lingkaran adalah 153,86 cm².
Rumus untuk menemukan luas S lingkaran dalam hal diameter D adalah:
Contoh tugas penyelesaian untuk menemukan S, jika D diketahui:
————————————————————————————————————————-
Tugas: Tentukan S lingkaran jika D nya 10 cm.
Keputusan: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 cm².
Menjawab: Luas bangun datar bulat adalah 78,5 cm².
Menemukan lingkaran S jika keliling diketahui:
Pertama, cari tahu radiusnya. Keliling dihitung dengan rumus: L=2πR, masing-masing, jari-jari R akan sama dengan L/2π. Sekarang kita mencari luas lingkaran menggunakan rumus melalui R.
Pertimbangkan solusi pada contoh masalah:
———————————————————————————————————————-
Tugas: Temukan luas lingkaran jika keliling L diketahui - 12 cm.
Keputusan: Pertama kita cari jari-jarinya: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.
Sekarang kita cari luas yang melalui jari-jari: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm².
Menjawab: Luas sebuah lingkaran adalah 11,46 cm².
Menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam bujur sangkar itu mudah. Sisi persegi adalah diameter lingkaran. Untuk menemukan jari-jari, Anda perlu membagi sisi dengan 2.
Rumus untuk mencari luas lingkaran yang terdapat pada bujur sangkar adalah:
Contoh pemecahan masalah dalam menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam bujur sangkar:
———————————————————————————————————————
Tugas 1: Diketahui sisi bangun persegi, yang sama dengan 6 sentimeter. Temukan area S dari lingkaran bertulisan.
Keputusan: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 cm².
Menjawab: Luas bangun datar datar adalah 28,26 cm².
————————————————————————————————————————
Tugas #2: Tentukan S dari sebuah lingkaran pada bangun datar persegi dan jari-jarinya jika salah satu sisinya a=4 cm.
Putuskan seperti ini: Pertama cari R=a/2=4/2=2 cm.
Sekarang mari kita cari luas lingkaran S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm².
Menjawab: Luas bangun datar berbentuk bulat adalah 12,56 cm².
Sedikit lebih sulit untuk menemukan luas bangun datar yang dibatasi oleh bujur sangkar. Tetapi, mengetahui rumusnya, Anda dapat dengan cepat menghitung nilai ini.
Rumus untuk menemukan S dari lingkaran yang dibatasi oleh bangun persegi:
Contoh tugas penyelesaian untuk menemukan luas lingkaran yang dijelaskan di dekat gambar persegi:
Tugas
Lingkaran yang terdapat pada bangun datar segitiga adalah lingkaran yang menyentuh ketiga sisi segitiga tersebut. Sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam bentuk segitiga apa pun, tetapi hanya satu. Pusat lingkaran akan menjadi titik potong garis bagi sudut-sudut segitiga.
Rumus untuk mencari luas lingkaran pada segitiga sama kaki adalah:
Jika jari-jari diketahui, luasnya dapat dihitung menggunakan rumus: S=πR².
Rumus untuk mencari luas lingkaran pada segitiga siku-siku adalah:
Contoh tugas penyelesaian:
Tugas 1
Jika dalam soal ini Anda juga perlu mencari luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm, maka ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus: S=πR²
Tugas #2
Keputusan:
Sekarang setelah Anda mengetahui jari-jarinya, Anda dapat menemukan luas lingkaran dalam bentuk jari-jari. Lihat rumus di atas.
Tugas #3
Luas lingkaran yang dibatasi tentang segitiga siku-siku dan sama kaki: rumus, contoh pemecahan masalah
Semua rumus untuk menemukan luas lingkaran bermuara pada fakta bahwa Anda harus mencari jari-jarinya terlebih dahulu. Jika jari-jarinya diketahui, maka mencari luasnya sederhana, seperti dijelaskan di atas.
Luas lingkaran yang dibatasi oleh segitiga siku-siku dan segitiga sama kaki ditemukan dengan rumus berikut:
Contoh pemecahan masalah:
Berikut adalah contoh lain untuk memecahkan masalah menggunakan rumus Heron.
Memecahkan masalah seperti itu sulit, tetapi mereka dapat dikuasai jika Anda tahu semua rumusnya. Siswa memecahkan masalah seperti itu di kelas 9.
Luas lingkaran yang tertulis dalam trapesium persegi panjang dan sama kaki: rumus, contoh pemecahan masalah
Trapesium sama kaki memiliki dua sisi yang sama panjang. Trapesium persegi panjang memiliki salah satu sudut yang besarnya 90º. Pertimbangkan cara menemukan luas lingkaran yang tertulis dalam trapesium persegi panjang dan sama kaki menggunakan contoh penyelesaian masalah.
Misalnya, sebuah lingkaran ditulis dalam trapesium sama kaki, yang pada titik kontak membagi satu sisi menjadi segmen m dan n.
Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menggunakan rumus berikut:
Luas lingkaran yang ditulis dalam trapesium persegi panjang ditemukan menggunakan rumus berikut:
Jika sisi lateral diketahui, maka Anda dapat menemukan jari-jari melalui nilai ini. Tinggi sisi trapesium sama dengan diameter lingkaran, dan jari-jarinya setengah diameter. Dengan demikian, jari-jarinya adalah R=d/2.
Contoh pemecahan masalah:
Sebuah trapesium dapat dibuat melingkar jika jumlah sudut-sudutnya yang berhadapan adalah 180º. Oleh karena itu, hanya trapesium sama kaki yang dapat ditulisi. Jari-jari untuk menghitung luas lingkaran yang dibatasi di sekitar trapesium persegi panjang atau sama kaki dihitung menggunakan rumus berikut:
Contoh pemecahan masalah:
Keputusan: Basis besar dalam hal ini melewati pusat, karena trapesium sama kaki tertulis dalam lingkaran. Pusat membagi dasar ini tepat menjadi dua. Jika alas AB adalah 12, maka jari-jari R dapat dicari sebagai berikut: R=12/2=6.
Menjawab: Jari-jarinya adalah 6.
Dalam geometri, penting untuk mengetahui rumus. Tetapi tidak mungkin untuk mengingat semuanya, sehingga dalam banyak ujian pun diperbolehkan menggunakan formulir khusus. Namun, penting untuk dapat menemukan formula yang tepat untuk memecahkan masalah tertentu. Berlatih memecahkan berbagai masalah untuk menemukan jari-jari dan luas lingkaran untuk dapat mengganti rumus dengan benar dan mendapatkan jawaban yang akurat.
Video: Matematika | Menghitung luas lingkaran dan bagian-bagiannya
- Ini adalah bangun datar, yang merupakan kumpulan titik yang berjarak sama dari pusat. Semuanya berada pada jarak yang sama dan membentuk lingkaran.
Ruas garis yang menghubungkan pusat lingkaran dengan titik-titik pada kelilingnya disebut radius. Di setiap lingkaran, semua jari-jarinya sama satu sama lain. Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat disebut diameter. Rumus luas lingkaran dihitung menggunakan konstanta matematika - angka ..
Ini menarik : bilangan pi. adalah rasio keliling lingkaran dengan panjang diameternya dan merupakan nilai konstan. Nilai = 3.1415926 digunakan setelah karya L. Euler pada tahun 1737.
Luas lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan konstanta . dan jari-jari lingkaran. Rumus luas lingkaran dalam hal jari-jari terlihat seperti ini:
Perhatikan contoh menghitung luas lingkaran menggunakan jari-jari. Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari R = 4 cm, mari kita cari luas bangun tersebut.
Luas lingkaran kita akan sama dengan 50,24 meter persegi. cm.
Ada rumusnya luas lingkaran yang melalui diameter. Ini juga banyak digunakan untuk menghitung parameter yang diperlukan. Rumus ini dapat digunakan untuk mencari .
Pertimbangkan contoh menghitung luas lingkaran melalui diameter, mengetahui jari-jarinya. Diketahui sebuah lingkaran dengan jari-jari R = 4 cm Pertama, kita cari diameternya, yang seperti diketahui adalah dua kali jari-jarinya.
Sekarang kita menggunakan data untuk contoh menghitung luas lingkaran menggunakan rumus di atas:
Seperti yang Anda lihat, sebagai hasilnya kami mendapatkan jawaban yang sama seperti pada perhitungan pertama.
Pengetahuan tentang rumus standar untuk menghitung luas lingkaran akan membantu di masa depan untuk dengan mudah menentukan wilayah sektor dan mudah untuk menemukan jumlah yang hilang.
Kita sudah tahu bahwa rumus luas lingkaran dihitung melalui produk dari nilai konstanta dan kuadrat jari-jari lingkaran. Jari-jari dapat dinyatakan dalam keliling lingkaran dan menggantikan ekspresi dalam rumus untuk luas lingkaran dalam hal keliling:
Sekarang kita substitusi persamaan ini ke dalam rumus untuk menghitung luas lingkaran dan mendapatkan rumus untuk mencari luas lingkaran, melalui keliling
Perhatikan contoh menghitung luas lingkaran melalui keliling. Misalkan sebuah lingkaran diberikan dengan panjang l = 8 cm Mari kita substitusikan nilainya ke dalam rumus turunan: 
Luas total lingkaran adalah 5 meter persegi. cm.
Luas lingkaran yang dibatasi di sekitar bujur sangkar
Sangat mudah untuk menemukan luas lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi.
Ini hanya membutuhkan sisi persegi dan pengetahuan tentang rumus sederhana. Diagonal persegi akan sama dengan diagonal lingkaran yang dibatasi. Mengetahui sisi a, dapat ditemukan menggunakan teorema Pythagoras: dari sini.
Setelah kita menemukan diagonalnya, kita dapat menghitung jari-jarinya: .
Dan kemudian kami mengganti semuanya ke dalam rumus dasar untuk luas lingkaran yang dibatasi di sekitar persegi:
Lingkaran membutuhkan pendekatan yang lebih hati-hati dan jauh lebih jarang dalam tugas-tugas B5. Pada saat yang sama, skema solusi umum bahkan lebih sederhana daripada dalam kasus poligon (lihat pelajaran " Luas poligon pada kisi koordinat »).
Semua yang diperlukan dalam tugas tersebut adalah menemukan jari-jari lingkaran R . Kemudian Anda dapat menghitung luas lingkaran menggunakan rumus S = R 2 . Juga mengikuti dari rumus ini bahwa cukup untuk menemukan R 2 untuk solusinya.
Untuk menemukan nilai yang ditunjukkan, cukup dengan menunjukkan pada lingkaran sebuah titik yang terletak di persimpangan garis kisi. Dan kemudian gunakan teorema Pythagoras. Pertimbangkan contoh spesifik menghitung jari-jari:
Tugas. Tentukan jari-jari ketiga lingkaran pada gambar:
Mari kita lakukan konstruksi tambahan di setiap lingkaran:
Dalam setiap kasus, titik B dipilih pada lingkaran untuk terletak di perpotongan garis kisi. Titik C dalam lingkaran 1 dan 3 melengkapi gambar segitiga siku-siku. Tetap menemukan jari-jari:
Perhatikan segitiga ABC pada lingkaran pertama. Menurut teorema Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.
Untuk lingkaran kedua, semuanya jelas: R = AB = 2.
Kasus ketiga mirip dengan yang pertama. Dari segitiga ABC menurut teorema Pythagoras: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.
Sekarang kita tahu cara menemukan jari-jari lingkaran (atau setidaknya perseginya). Oleh karena itu, kita dapat menemukan daerah tersebut. Ada tugas di mana diperlukan untuk menemukan luas suatu sektor, dan bukan seluruh lingkaran. Dalam kasus seperti itu, mudah untuk mengetahui bagian lingkaran mana yang merupakan sektor ini, dan dengan demikian menemukan luasnya.
Tugas. Carilah luas S dari bidang yang diarsir. Tunjukkan S / dalam jawaban Anda.
Jelas, sektor ini adalah seperempat dari lingkaran. Jadi, S = 0,25 S lingkaran.
Tetap menemukan S lingkaran - luas lingkaran. Untuk melakukan ini, kami akan melakukan konstruksi tambahan:
Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Dengan teorema Pythagoras, kita memiliki: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.
Sekarang kita menemukan luas lingkaran dan sektor: S lingkaran = R 2 = 8π; S = 0,25 S lingkaran = 2π.
Akhirnya, nilai yang diinginkan sama dengan S /π = 2.
Area sektor dengan radius tidak diketahui
Ini adalah jenis tugas yang sama sekali baru, tidak ada yang seperti itu di 2010-2011. Dengan syarat, kita diberi lingkaran dengan luas tertentu (yaitu luas, bukan jari-jari!). Kemudian, di dalam lingkaran ini, sebuah sektor dialokasikan, area yang harus dicari.
Kabar baiknya adalah bahwa masalah ini adalah yang paling mudah dari semua masalah di alun-alun, yang ada di ujian matematika. Selain itu, lingkaran dan sektor selalu ditempatkan pada grid koordinat. Karena itu, untuk mempelajari cara menyelesaikan masalah seperti itu, lihat saja gambarnya:
Misalkan lingkaran asal memiliki luas S = 80. Kemudian lingkaran tersebut dapat dibagi menjadi dua sektor dengan luas masing-masing S = 40 (lihat langkah 2). Demikian pula, masing-masing sektor "setengah" ini dapat dibagi menjadi dua lagi - kita mendapatkan empat sektor dengan luas S = 20 masing-masing (lihat langkah 3). Akhirnya, Anda dapat membagi masing-masing sektor ini menjadi dua lagi - kami mendapatkan 8 sektor - "potongan kecil". Luas masing-masing "potongan" ini adalah S = 10.
Harap diperhatikan: tidak ada pembagian yang lebih kecil dalam tugas USE dalam matematika! Dengan demikian, algoritma untuk menyelesaikan masalah B-3 adalah sebagai berikut:
- Potong lingkaran asli menjadi 8 sektor - "potongan". Luas masing-masing lingkaran tepat 1/8 dari luas seluruh lingkaran. Misalnya, jika menurut syarat lingkaran memiliki luas S lingkaran = 240, maka “gumpalan” memiliki luas S = 240: 8 = 30;
- Cari tahu berapa banyak "benjolan" yang muat di sektor asli, area yang ingin Anda temukan. Misalnya jika sektor kita berisi 3 “gumpalan” dengan luas 30, maka luas sektor yang diinginkan adalah S = 3 30 = 90. Ini akan menjadi jawabannya.
Itu saja! Masalahnya diselesaikan secara praktis secara lisan. Jika Anda masih tidak mengerti sesuatu, belilah pizza dan potong menjadi 8 bagian. Setiap bagian tersebut akan menjadi sektor yang sama - "potongan" yang dapat digabungkan menjadi bagian yang lebih besar.
Dan sekarang mari kita lihat contoh dari ujian percobaan:
Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 40 digambar di atas kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.
Jadi, luas lingkaran adalah 40. Bagilah menjadi 8 sektor - masing-masing dengan luas S = 40:5 = 8. Kita peroleh:
Jelas, sektor yang diarsir terdiri dari dua sektor "kecil". Oleh karena itu, luasnya adalah 2 5 = 10. Itulah solusinya!
Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 64 digambar pada kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.
Sekali lagi, bagi seluruh lingkaran menjadi 8 sektor yang sama. Jelas, area salah satunya hanya perlu ditemukan. Jadi luasnya adalah S = 64 : 8 = 8.
Tugas. Sebuah lingkaran dengan luas 48 digambar di atas kertas kotak-kotak.Temukan luas bangun yang diarsir.
Sekali lagi, bagi lingkaran menjadi 8 sektor yang sama. Luas masing-masing sama dengan S = 48: 8 = 6. Tepat tiga sektor-"kecil" ditempatkan di sektor yang diinginkan (lihat gambar). Oleh karena itu, luas bidang yang diinginkan adalah 3 6 = 18.
