bilangan asli. Pendekatan bilangan real dengan pecahan desimal hingga.

Bilangan real atau real adalah abstraksi matematika yang muncul dari kebutuhan untuk mengukur kuantitas geometris dan fisik dunia di sekitar kita, serta untuk melakukan operasi seperti mengekstraksi akar, menghitung logaritma, dan menyelesaikan persamaan aljabar. Jika bilangan asli muncul dalam proses penghitungan, bilangan rasional - dari kebutuhan untuk beroperasi dengan bagian-bagian dari keseluruhan, maka bilangan real dimaksudkan untuk mengukur kuantitas kontinu. Jadi, perluasan stok bilangan yang ditinjau telah menghasilkan himpunan bilangan real, yang, selain bilangan rasional, juga mencakup elemen lain yang disebut bilangan irasional .

Kesalahan mutlak dan batasnya.

Biarkan ada beberapa nilai numerik, dan nilai numerik yang ditetapkan untuk itu dianggap tepat, maka di bawah kesalahan nilai perkiraan nilai numerik (kesalahan) memahami perbedaan antara nilai eksak dan perkiraan nilai numerik: . Kesalahan dapat mengambil nilai positif dan negatif. Nilai tersebut disebut perkiraan yang diketahui ke nilai tepat dari nilai numerik - angka apa pun yang digunakan sebagai ganti nilai persisnya. Ukuran kesalahan kuantitatif yang paling sederhana adalah kesalahan absolut. Kesalahan mutlak nilai perkiraan disebut nilai, yang diketahui bahwa: Kesalahan relatif dan batasnya.

Kualitas perkiraan pada dasarnya tergantung pada unit pengukuran dan skala besaran yang diterima, oleh karena itu disarankan untuk mengkorelasikan kesalahan suatu kuantitas dan nilainya, yang untuk itu konsep kesalahan relatif diperkenalkan. Kesalahan relatif Nilai perkiraan disebut nilai yang diketahui bahwa: . Kesalahan relatif sering dinyatakan sebagai persentase. Penggunaan kesalahan relatif nyaman, khususnya, karena tidak bergantung pada skala besaran dan satuan pengukuran.

Persamaan irasional

Persamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar disebut irasional. Saat menyelesaikan persamaan irasional, solusi yang diperoleh memerlukan verifikasi, karena, misalnya, persamaan yang salah ketika mengkuadratkan dapat memberikan persamaan yang benar. Memang, kesetaraan yang salah ketika dikuadratkan memberikan kesetaraan yang benar 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Terkadang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan irasional menggunakan transisi yang setara.

Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan ini; Setelah transformasi, kita sampai pada persamaan kuadrat; dan mari kita memakainya.

bilangan kompleks. Tindakan pada bilangan kompleks.

Bilangan kompleks - perpanjangan dari himpunan bilangan real, biasanya dilambangkan. Setiap bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai jumlah formal x + iy, di mana x dan kamu- bilangan real, saya- satuan imajiner Bilangan kompleks membentuk medan tertutup aljabar - ini berarti polinomial derajat n dengan koefisien kompleks memiliki tepat n akar kompleks, yaitu, teorema dasar aljabar adalah benar. Ini adalah salah satu alasan utama meluasnya penggunaan bilangan kompleks dalam penelitian matematika. Selain itu, penggunaan bilangan kompleks memungkinkan untuk dengan mudah dan kompak merumuskan banyak model matematika yang digunakan dalam fisika matematika dan ilmu alam - teknik elektro, hidrodinamika, kartografi, mekanika kuantum, teori osilasi, dan banyak lainnya.

Perbandingan sebuah + dua = c + di maksudnya sebuah = c dan b = d(dua bilangan kompleks sama jika dan hanya jika bagian real dan imajinernya sama).

tambahan ( sebuah + dua) + (c + di) = (sebuah + c) + (b + d) saya .

Pengurangan ( sebuah + dua) − (c + di) = (sebuah − c) + (b − d) saya .

Perkalian

Fungsi numerik. Cara untuk mengatur fungsi

Dalam matematika, fungsi bilangan adalah fungsi yang domain dan nilainya merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan—umumnya himpunan bilangan real atau himpunan bilangan kompleks.

Verbal: Menggunakan bahasa alami, Y sama dengan bagian bilangan bulat dari X. Analitis: Menggunakan rumus analitik f (x) = x !

Grafik Via grafik Fragmen grafik fungsi.

Tabular: Menggunakan tabel nilai

Sifat utama dari fungsi

1) Lingkup fungsi dan rentang fungsi . Lingkup fungsi x(variabel x) yang fungsinya y=f(x) didefinisikan.

Rentang fungsi: kamu yang diterima oleh fungsi tersebut. Dalam matematika dasar, fungsi dipelajari hanya pada himpunan bilangan real.2 ) Fungsi nol) Monotonisitas fungsi . Meningkatkan fungsi Fungsi penurunan . fungsi genap X f(-x) = f(x). fungsi ganjil- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap asal dan untuk sembarang X f(-x) = -f(x. Fungsi tersebut disebut terbatas tak terbatas .7) Periodisitas fungsi. Fungsi f(x) - berkala periode fungsi

Grafik fungsi. Transformasi paling sederhana dari grafik oleh fungsi

Grafik Fungsi- kumpulan poin yang absisnya adalah nilai argumen yang valid x, dan ordinat adalah nilai fungsi yang sesuai kamu .

Garis lurus- grafik fungsi linier y=ax+b. Fungsi y meningkat secara monoton untuk a > 0 dan menurun untuk a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- grafik fungsi trinomial kuadrat y \u003d kapak 2 + bx + c. Memiliki sumbu simetri vertikal. Jika a > 0, memiliki minimum jika a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения kapak 2 + bx + c \u003d 0

Hiperbola- grafik fungsi. Ketika a > O terletak di perempatan I dan III, ketika a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) atau y - x (a< 0).

Fungsi logaritma y = log a x(a > 0)

fungsi trigonometri. Saat membangun fungsi trigonometri, kami menggunakan radian ukuran sudut. Maka fungsi kamu= dosa x diwakili oleh grafik (Gbr. 19). Kurva ini disebut sinusoida .

Grafik Fungsi kamu= cos x ditunjukkan pada gambar. 20; itu juga merupakan gelombang sinus yang dihasilkan dari memindahkan grafik kamu= dosa x sepanjang sumbu X ditinggalkan oleh /2.

Sifat dasar fungsi. Monotonisitas, kemerataan, keanehan, periodisitas fungsi.

Lingkup fungsi dan rentang fungsi . Lingkup fungsi adalah himpunan semua nilai argumen yang valid dan valid x(variabel x) yang fungsinya y=f(x) didefinisikan.

Rentang fungsi: adalah himpunan semua nilai riil kamu yang diterima oleh fungsi tersebut.

Dalam matematika dasar, fungsi dipelajari hanya pada himpunan bilangan real.2 ) Fungsi nol- adalah nilai argumen, di mana nilai fungsi sama dengan nol.3 ) Interval keteguhan fungsi- kumpulan nilai argumen di mana nilai fungsinya hanya positif atau hanya negatif.4 ) Monotonisitas fungsi .

Meningkatkan fungsi(dalam beberapa interval) - fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi penurunan(dalam beberapa interval) - fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.5 ) Fungsi genap (ganjil) . fungsi genap- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan f(-x) = f(x). Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y. fungsi ganjil- fungsi yang domain definisinya simetris terhadap asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan f(-x) = -f(x). Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.6 ) Fungsi terbatas dan tidak terbatas. Fungsi tersebut disebut terbatas, jika ada bilangan positif M sehingga |f (x) | M untuk semua nilai x. Jika tidak ada bilangan seperti itu, maka fungsinya adalah tak terbatas .7) Periodisitas fungsi. Fungsi f(x) - berkala, jika ada bilangan T yang bukan nol sehingga untuk sembarang x dari domain fungsi, berikut ini berlaku: f (x+T) = f (x). Bilangan terkecil ini disebut periode fungsi. Semua fungsi trigonometri adalah periodik. (Rumus trigonometri).

Fungsi periodik. Aturan untuk mencari periode utama suatu fungsi.

Fungsi periodik adalah fungsi yang mengulangi nilainya setelah beberapa periode bukan nol, yaitu, tidak mengubah nilainya ketika angka (titik) tetap tidak nol ditambahkan ke argumen. Semua fungsi trigonometri adalah periodik. Salah pernyataan tentang jumlah fungsi periodik: Jumlah 2 fungsi dengan periode yang sepadan (bahkan dasar) T 1 dan T 2 adalah fungsi dengan periode KPK ( T 1 ,T 2). Jumlah dari 2 fungsi kontinu dengan periode yang tidak dapat dibandingkan (bahkan dasar) adalah fungsi non-periodik. Tidak ada fungsi periodik yang tidak sama dengan konstanta yang periodenya merupakan bilangan yang tidak dapat dibandingkan.

Merencanakan fungsi daya.

Fungsi daya. Ini adalah fungsinya: y = sumbu n, di mana sebuah- permanen. Pada n= 1 kita dapatkan proporsionalitas langsung : kamu =kapak; pada n = 2 - parabola persegi; pada n = 1 - proporsionalitas terbalik atau hiperbola. Dengan demikian, fungsi-fungsi ini adalah kasus khusus dari fungsi daya. Kita tahu bahwa pangkat nol dari bilangan apa pun selain nol sama dengan 1, oleh karena itu, ketika n= 0 fungsi daya menjadi konstanta: kamu =sebuah, yaitu grafiknya adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu X, tidak termasuk asal koordinat (tolong jelaskan alasannya?). Semua kasus ini (dengan sebuah= 1) ditunjukkan pada Gambar 13 ( n 0) dan Gbr.14 ( n < 0). Отрицательные значения x tidak dipertimbangkan di sini, karena kemudian beberapa fungsi:

Fungsi terbalik

Fungsi terbalik- fungsi yang membalikkan ketergantungan yang dinyatakan oleh fungsi ini. Fungsi invers ke fungsi jika identitas berikut berlaku: untuk semua untuk semua

Batas suatu fungsi di suatu titik. Sifat dasar limit.

Akar derajat ke-n dan sifat-sifatnya.

Akar ke-n suatu bilangan a adalah bilangan yang pangkat ke-n sama dengan a.

Definisi: Akar aritmatika derajat ke-n bilangan a adalah bilangan non-negatif, pangkat ke-n sama dengan a.

Sifat utama akar:

Derajat dengan eksponen real arbitrer dan sifat-sifatnya.

Biarkan bilangan positif dan bilangan real sembarang diberikan. Bilangan itu disebut derajat, bilangan itu alas derajatnya, bilangan itu eksponennya.

Menurut definisi diasumsikan:

Jika dan adalah bilangan positif, dan adalah sembarang bilangan real, maka sifat-sifat berikut ini benar:

.

.

Fungsi daya, sifat dan grafiknya

Fungsi daya variabel kompleks f (z) = z n dengan eksponen bilangan bulat ditentukan menggunakan kelanjutan analitik dari fungsi serupa dari argumen nyata. Untuk ini, bentuk eksponensial penulisan bilangan kompleks digunakan. fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat adalah analitik di seluruh bidang kompleks, sebagai produk dari sejumlah terbatas contoh pemetaan identitas f (z) = z. Menurut teorema keunikan, kedua kriteria ini cukup untuk keunikan kelanjutan analitik yang dihasilkan. Dengan menggunakan definisi ini, kita dapat segera menyimpulkan bahwa fungsi pangkat dari variabel kompleks memiliki perbedaan yang signifikan dari pasangannya yang sebenarnya.

Ini adalah fungsi dari bentuk , . Kasus-kasus berikut dipertimbangkan:

sebuah). Jika kemudian . Kemudian , ; jika jumlahnya genap, maka fungsinya genap (mis. untuk semua ); jika bilangan ganjil, maka fungsinya ganjil (yaitu, untuk semua).

Fungsi eksponensial, sifat-sifatnya dan grafiknya

Fungsi eksponensial- fungsi matematika.

Dalam kasus nyata, basis derajat adalah beberapa bilangan real non-negatif, dan argumen fungsi adalah eksponen nyata.

Dalam teori fungsi kompleks, kasus yang lebih umum dipertimbangkan, ketika bilangan kompleks arbitrer dapat menjadi argumen dan eksponen.

Dengan cara yang paling umum - kamu v, diperkenalkan oleh Leibniz pada tahun 1695.

Kasus ketika angka e bertindak sebagai dasar derajat sangat disorot. Fungsi seperti itu disebut eksponen (nyata atau kompleks).

Properti ; ; .

persamaan eksponensial.

Mari kita lanjutkan langsung ke persamaan eksponensial. Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, perlu menggunakan teorema berikut: Jika derajatnya sama dan basanya sama, positif dan berbeda dari satu, maka eksponennya juga sama. Buktikan teorema ini: Misalkan a>1 dan a x =a y .

Mari kita buktikan bahwa dalam kasus ini x=y. Asumsikan kebalikan dari apa yang diperlukan untuk dibuktikan, yaitu. misalkan x>y atau itu x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х ay . Kedua hasil ini bertentangan dengan hipotesis teorema. Oleh karena itu, x=y, itulah yang harus dibuktikan.

Teorema ini juga terbukti untuk kasus ketika 0 0 dan 1.

pertidaksamaan eksponensial

Pertidaksamaan bentuk (atau kurang) untuk a(x) >0 dan diselesaikan berdasarkan sifat-sifat fungsi eksponensial: untuk 0 < а (х) < 1 ketika membandingkan f(x) dan g(x) tanda pertidaksamaan berubah, dan ketika a(x) > 1- disimpan. Kasus yang paling sulit untuk kapak)< 0 . Di sini kami hanya dapat memberikan indikasi umum: untuk menentukan pada nilai apa X indikator f(x) dan g(x) menjadi bilangan bulat, dan memilih dari mereka yang memenuhi kondisi. Akhirnya, jika pertidaksamaan asli berlaku untuk a(x) = 0 atau a(x) = 1(misalnya, ketika ketidaksetaraan tidak ketat), maka kasus-kasus ini juga harus dipertimbangkan.

Logaritma dan sifat-sifatnya

Logaritma suatu bilangan b dengan alasan sebuah (dari bahasa Yunani - "kata", "hubungan" dan - "angka") didefinisikan sebagai indikator sejauh mana basis harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b. Penamaan: . Ini mengikuti dari definisi bahwa entri dan setara. Contoh: karena . Properti

Identitas logaritma dasar:

Fungsi logaritma, sifat dan grafiknya.

Fungsi logaritma adalah fungsi dari bentuk f (x) = log sebuah x, didefinisikan pada

Domain:

Rentang nilai:

Grafik fungsi logaritma apa pun melalui titik (1; 0)

Turunan dari fungsi logaritma adalah:

Persamaan Logaritma

Persamaan yang memuat variabel di bawah tanda logaritma disebut persamaan logaritma. Contoh paling sederhana dari persamaan logaritma adalah persamaan log a x \u003d b (di mana a > 0, dan 1). Keputusannya x = a b .

Memecahkan persamaan berdasarkan definisi logaritma, misalnya persamaan log a x \u003d b (a\u003e 0, tapi 1) punya solusi x = a b .

metode potensiasi. Yang dimaksud dengan potensiasi adalah transisi dari persamaan yang mengandung logaritma ke persamaan yang tidak memuatnya:

jika log a f (x) = log a g (x), kemudian f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , sebuah 1 .

Metode untuk mereduksi persamaan logaritmik menjadi persamaan kuadrat.

Metode pengambilan logaritma dari kedua bagian persamaan.

Metode untuk mengurangi logaritma ke basis yang sama.

Pertidaksamaan logaritmik.

Pertidaksamaan yang memuat variabel hanya di bawah tanda logaritma disebut pertidaksamaan logaritma: log a f (x) > log a g (x).

Ketika memecahkan pertidaksamaan logaritma, kita harus memperhitungkan sifat umum pertidaksamaan, sifat monotonisitas dari fungsi logaritma dan domain definisinya. Ketidaksamaan log a f (x) > log a g (x) sama dengan sebuah sistem f (x) > g (x) > 0 untuk a > 1 dan sistem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Pengukuran radian sudut dan busur. Sinus, kosinus, tangen, kotangen.

ukuran derajat. Di sini satuan pengukurannya adalah derajat ( sebutan ) - adalah putaran balok sebesar 1/360 dari satu putaran penuh. Jadi, putaran penuh balok adalah 360. Satu derajat terdiri dari 60 menit ( sebutan mereka '); satu menit - masing-masing dari 60 detik ( ditandai dengan ").

ukuran radian. Seperti yang kita ketahui dari planimetri (lihat paragraf "Panjang busur" di bagian "Tempat kedudukan titik. Lingkaran dan lingkaran"), panjang busur aku, radius r dan sudut pusat yang sesuai dihubungkan oleh: = l / r.

Rumus ini mendasari definisi ukuran radian sudut. Jadi jika aku = r, maka = 1, dan kita katakan bahwa sudut sama dengan 1 radian, yang dinotasikan: = 1 senang. Jadi, kita memiliki definisi ukuran radian berikut:

radian adalah sudut pusat, yang panjang busur dan jari-jarinya sama(A m B = AO, Gambar 1). Jadi, ukuran radian suatu sudut adalah rasio panjang busur yang ditarik oleh jari-jari sewenang-wenang dan tertutup antara sisi-sisi sudut ini dengan jari-jari busur.

Fungsi trigonometri sudut lancip dapat didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.

sinus:

Kosinus:

Garis singgung:

Kotangens:

Fungsi trigonometri dari argumen numerik

Definisi .

Sinus x adalah bilangan yang sama dengan sinus sudut dalam x radian. Cosinus suatu bilangan x adalah bilangan yang sama dengan cosinus sudut dalam x radian .

Fungsi trigonometri lainnya dari argumen numerik didefinisikan dengan cara yang sama X .

Formula hantu.

Rumus tambahan. Rumus argumen ganda dan setengah.

Dobel.

( ; .

Fungsi trigonometri dan grafiknya. Sifat dasar fungsi trigonometri.

Fungsi trigonometri- jenis fungsi dasar. Mereka biasanya disebut sinus (dosa x), kosinus (cos x), garis singgung (tg x), kotangens (ctg x), Fungsi trigonometri biasanya didefinisikan secara geometris, tetapi mereka dapat didefinisikan secara analitis dalam bentuk jumlah deret atau sebagai solusi untuk persamaan diferensial tertentu, yang memungkinkan kita untuk memperluas domain definisi fungsi ini ke bilangan kompleks.

Fungsi y sinx sifat dan grafiknya

Properti:

2. E (y) \u003d [-1; satu].

3. Fungsi y \u003d sinx ganjil, karena, menurut definisi, sinus sudut trigonometri dosa(- x)= - y/R = - sinx, di mana R adalah jari-jari lingkaran, y adalah ordinat titik (Gbr.).

4. T \u003d 2n - periode positif terkecil. Betulkah,

sin(x+p) = sinx.

dengan sumbu Ox: sinx= 0; x = pn, nОZ;

dengan sumbu y: jika x = 0, maka y = 0,6. Interval konstan:

sinx > 0, jika xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , jika xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Tanda sinus di perempat

y > 0 untuk sudut a pada perempat pertama dan kedua.

pada< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Interval monotonitas:

y= sinx meningkat pada setiap interval [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nz dan menurun pada setiap interval , nz.

8. Titik ekstrim dan titik ekstrim dari fungsi:

xmax= p/2 + 2pn, nнz; kamu maksimal = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nнz; ymin = - 1.

Properti Fungsi y= cosx dan jadwalnya:

Properti:

2. E (y) \u003d [-1; satu].

3. Fungsi y= cosx- genap, karena menurut definisi cosinus sudut trigonometri cos (-a) = x/R = cosa pada lingkaran trigonometri (beras)

4. T \u003d 2p - periode positif terkecil. Betulkah,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Titik potong dengan sumbu koordinat:

dengan sumbu Ox: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

dengan sumbu y: jika x = 0, maka y = 1.

6. Interval keteguhan tanda:

karena > 0, jika xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , jika xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Ini dibuktikan pada lingkaran trigonometri (Gbr.). Tanda kosinus di perempat:

x > 0 untuk sudut a dari kuadran pertama dan keempat.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Interval monotonitas:

y= cosx meningkat pada setiap interval [-p + 2pn; 2pn],

nz dan menurun pada setiap interval , nz.

Properti Fungsi y= tgx dan plotnya: properti -

1. D (y) = (xОR, x p/2 + pn, nОZ).

3. Fungsi y = tgx - ganjil

tgx > 0

tgx< 0 untuk xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Lihat gambar untuk tanda-tanda garis singgung di perempat.

6. Interval monotonitas:

y= tgx meningkat pada setiap interval

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Titik ekstrim dan titik ekstrim fungsi:

8. x = p/2 + pn, nнz - asimtot vertikal

Properti Fungsi y= ctgx dan jadwalnya:

Properti:

1. D (y) = (xОR, x pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Fungsi y= ctgx- aneh.

4. T \u003d p - periode positif terkecil.

5. Interval keteguhan tanda:

ctgx > 0 untuk xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 untuk xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Tanda kotangen untuk perempat, lihat gambar.

6. Fungsi pada= ctgx meningkat pada setiap interval (pn; p + pn), nОZ.

7. Titik ekstrem dan ekstrem dari suatu fungsi y= ctgx tidak.

8. Grafik Fungsi y= ctgx adalah tangentoid, diperoleh dengan pergeseran plot y=tgx sepanjang sumbu Ox ke kiri dengan p/2 dan dikalikan dengan (-1) (Gbr)

Fungsi trigonometri terbalik, sifat dan grafiknya

Fungsi trigonometri terbalik (fungsi melingkar , fungsi busur) adalah fungsi matematika yang kebalikan dari fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri terbalik biasanya mencakup enam fungsi: arcsinus , busur kosinus , tangen busur ,arccotanges. Nama fungsi trigonometri terbalik dibentuk dari nama fungsi trigonometri yang sesuai dengan menambahkan awalan "bahtera-" (dari lat. busur- busur). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa secara geometris nilai fungsi trigonometri terbalik dapat dikaitkan dengan panjang busur lingkaran satuan (atau sudut yang mengurangi busur ini) yang bersesuaian dengan satu atau beberapa segmen lainnya. Kadang-kadang dalam literatur asing mereka menggunakan sebutan seperti sin 1 untuk arcsine, dll.; ini dianggap tidak sepenuhnya benar, karena kebingungan dengan menaikkan fungsi ke pangkat 1 adalah mungkin. Rasio dasar

Fungsi y=arcsinX, properti dan grafiknya.

arcsinus angka m sudut ini disebut x untuk fungsi yang mana kamu= dosa x kamu= arcsin x meningkat secara ketat. (fungsi ganjil).

Fungsi y=arccosX, properti dan grafiknya.

Busur kosinus angka m sudut ini disebut x, untuk itu

Fungsi kamu= cos x menerus dan dibatasi sepanjang garis bilangan. Fungsi kamu= arccos x menurun secara ketat. cos (arcos x) = x pada arccos (cos kamu) = kamu pada D(arccos x) = [− 1; 1], (domain), E(arccos x) = . (jarak nilai). Sifat-sifat fungsi arccos (fungsi simetris terpusat terhadap titik

Fungsi y=artgX, properti dan grafiknya.

Arctangen angka m Sudut disebut sedemikian rupa sehingga Fungsi kontinu dan terbatas pada seluruh garis realnya. Fungsinya meningkat secara ketat.

pada

sifat fungsi arctg

,

.

Fungsi y=arcctg, sifat dan grafiknya.

Tangen busur angka m sudut ini disebut x, untuk itu

Fungsinya kontinu dan terbatas pada seluruh garis realnya.

Fungsinya menurun drastis. di 0< kamu < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки untuk apa saja x .

.

Persamaan trigonometri paling sederhana.

Definisi. persamaan wada sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, di mana x

Kasus khusus persamaan trigonometri

Definisi. persamaan wada sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, di mana x- variabel, aR, disebut persamaan trigonometri sederhana.

Persamaan trigonometri

Aksioma stereometri dan konsekuensi dari mereka

Angka dasar dalam ruang: titik, garis, dan bidang. Sifat-sifat utama titik, garis dan bidang, mengenai pengaturan timbal baliknya, dinyatakan dalam aksioma.

A1. Melalui tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, melewati sebuah pesawat, dan terlebih lagi, hanya satu. A2. Jika dua titik pada suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut.

Komentar. Jika garis dan bidang hanya memiliki satu titik yang sama, maka mereka dikatakan berpotongan.

A3. Jika dua bidang memiliki titik yang sama, maka mereka memiliki garis yang sama di mana semua titik umum dari pesawat ini berada.

	A dan berpotongan sepanjang garis a.

Konsekuensi 1. Melalui sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak di atasnya melewati sebuah bidang, dan terlebih lagi, hanya satu. Konsekuensi 2. Sebuah pesawat melewati dua garis lurus yang berpotongan, dan terlebih lagi, hanya satu.

Susunan bersama dua garis dalam ruang

Dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan

berpotongan di suatu titik.

Paralelisme garis dan bidang.

Definisi 2.3 Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak memiliki titik persekutuan. Jika garis a sejajar dengan bidang , maka tulislah a || sebuah. Teorema 2.4 Tanda paralelisme garis lurus dan bidang. Jika sebuah garis di luar sebuah bidang sejajar dengan sebuah garis pada bidang tersebut, maka garis tersebut juga sejajar dengan bidang itu sendiri. Bukti Misalkan b , a || b dan a (gambar 2.2.1). Kami akan membuktikan dengan kontradiksi. Misalkan a tidak sejajar dengan , maka garis a memotong bidang di suatu titik A. Selain itu, A b, karena a || b. Menurut kriteria garis miring, garis a dan b miring. Kami telah sampai pada kontradiksi. Teorema 2.5 Jika bidang melalui garis a yang sejajar dengan bidang dan memotong bidang ini sepanjang garis b, maka b || sebuah. Bukti Memang, garis a dan b tidak miring, karena terletak pada bidang . Selain itu, garis-garis ini tidak memiliki titik yang sama, karena a || sebuah. Definisi 2.4 Garis b kadang-kadang disebut jejak bidang pada bidang .

Melintasi garis lurus. Tanda garis berpotongan

Garis disebut berpotongan jika kondisi berikut terpenuhi: Jika kita membayangkan bahwa salah satu garis milik bidang sembarang, maka garis lainnya akan memotong bidang ini pada titik yang bukan milik garis pertama. Dengan kata lain, dua garis dalam ruang Euclidean tiga dimensi berpotongan jika tidak ada bidang yang memuatnya. Sederhananya, dua garis dalam ruang yang tidak memiliki titik yang sama, tetapi tidak sejajar.

Teorema (1): Jika salah satu dari dua garis terletak pada bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang ini pada suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis ini miring.

Teorema (2): Melalui masing-masing dari dua garis yang berpotongan, melewati sebuah bidang yang sejajar dengan garis lainnya, dan selain itu, hanya satu.

Teorema (3): Jika sisi-sisi dari dua sudut masing-masing saling berhadapan, maka sudut-sudut tersebut sama besar.

Paralelisme garis. Sifat-sifat bidang sejajar.

Garis lurus sejajar (kadang-kadang - sama kaki) disebut garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan berpotongan atau berpotongan. Dalam beberapa definisi sekolah, garis yang bertepatan tidak dianggap paralel; definisi seperti itu tidak dipertimbangkan di sini. Sifat Paralelisme adalah relasi ekivalensi biner, oleh karena itu membagi seluruh himpunan garis menjadi kelas-kelas garis yang sejajar satu sama lain. Melalui suatu titik tertentu, dapat ada tepat satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan. Ini adalah ciri khas geometri Euclidean, dalam geometri lain angka 1 digantikan oleh yang lain (dalam geometri Lobachevsky setidaknya ada dua garis seperti itu) 2 garis paralel di ruang terletak pada bidang yang sama. b Pada perpotongan 2 garis sejajar dengan sepertiganya, disebut garis potong: Garis potong harus memotong kedua garis. Saat menyeberang, 8 sudut terbentuk, beberapa pasangan karakteristik yang memiliki nama dan sifat khusus: Kebohongan silang sudut adalah sama. masing-masing sudut adalah sama. Sepihak sudut bertambah hingga 180°.

Tegak lurus garis dan bidang.

Garis yang memotong bidang disebut tegak lurus bidang ini jika tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang tertentu dan melalui titik potong.

TANDA TEGAS GARIS DAN BIDANG.

Jika suatu garis yang memotong suatu bidang tegak lurus terhadap dua garis pada bidang tersebut yang melalui titik perpotongan garis tersebut dan bidang, maka garis tersebut tegak lurus terhadap bidang tersebut.

PROPERTI KE-1 GARIS DAN BIDANG TEGAS .

Jika sebuah bidang tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka bidang tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

SIFAT KEDUA GARIS DAN BIDANG TEGAS .

Dua garis yang tegak lurus pada bidang yang sama adalah sejajar.

Teorema tiga tegak lurus

Biarlah AB- tegak lurus bidang , AC- miring dan c- garis lurus pada bidang melalui titik C dan proyeksi tegak lurus SM. Mari menggambar garis lurus CK sejajar dengan garis lurus AB. Lurus CK tegak lurus terhadap bidang (karena sejajar dengan AB), dan karenanya setiap garis pada bidang ini, oleh karena itu, CK tegak lurus garis c AB dan CK bidang (garis sejajar mendefinisikan bidang, dan hanya satu). Lurus c tegak lurus terhadap dua garis berpotongan yang terletak pada bidang , ini SM dengan kondisi dan CK dengan konstruksi, yang berarti tegak lurus terhadap setiap garis yang termasuk dalam bidang ini, yang berarti juga tegak lurus terhadap suatu garis AC .

Kebalikan dari teorema tiga tegak lurus

Jika garis lurus yang ditarik pada bidang melalui alas garis miring tegak lurus terhadap garis miring, maka garis itu juga tegak lurus dengan proyeksinya.

Biarlah AB- tegak lurus bidang sebuah , AC- miring dan dengan- garis lurus di pesawat sebuah melewati dasar lereng Dengan. Mari menggambar garis lurus SC, sejajar dengan garis AB. Lurus SC tegak lurus bidang sebuah(dengan teorema ini, karena sejajar AB), dan karenanya setiap garis pada bidang ini, oleh karena itu, SC tegak lurus garis dengan. Menggambar melalui garis paralel AB dan SC pesawat terbang b(garis paralel mendefinisikan sebuah bidang, dan hanya satu). Lurus dengan tegak lurus terhadap dua garis lurus yang terletak pada bidang b, Ini AC dengan kondisi dan SC menurut konstruksi, itu berarti tegak lurus terhadap setiap garis yang termasuk dalam bidang ini, yang berarti juga tegak lurus terhadap suatu garis matahari. Dengan kata lain, proyeksi matahari tegak lurus garis dengan berbaring di pesawat sebuah .

Tegak lurus dan miring.

Tegak lurus, diturunkan dari suatu titik tertentu ke suatu bidang tertentu, disebut segmen yang menghubungkan suatu titik tertentu dengan suatu titik pada bidang dan terletak pada garis lurus yang tegak lurus bidang tersebut. Ujung segmen ini, yang terletak pada bidang datar, disebut dasar tegak lurus .

miring, ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu bidang tertentu, adalah setiap ruas yang menghubungkan titik tertentu ke suatu titik pada bidang yang tidak tegak lurus bidang tersebut. Ujung ruas yang terletak pada bidang datar disebut dasar miring. Ruas yang menghubungkan alas garis miring yang ditarik dari titik yang sama disebut proyeksi miring .

Definisi 1. Garis tegak lurus terhadap suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu yang salah satu ujungnya berada di titik perpotongannya. Ujung ruas yang terletak pada suatu garis disebut alas garis tegak lurus.

Definisi 2. Garis miring yang ditarik dari suatu titik tertentu ke suatu garis tertentu adalah ruas yang menghubungkan titik tersebut ke sembarang titik pada garis yang bukan alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik yang sama ke garis tersebut. AB - tegak lurus bidang .

AC - miring, CB - proyeksi.

C - alas miring, B - alas tegak lurus.

Sudut antara garis dan bidang.

Sudut antara garis dan bidang Setiap sudut antara garis lurus dan proyeksinya ke bidang ini disebut.

Sudut dihedral.

Sudut dihedral- sosok geometris spasial yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus, serta bagian dari ruang yang dibatasi oleh setengah bidang ini. Setengah bidang disebut wajah sudut dihedral, dan garis lurus umum mereka - tepian. Sudut dihedral diukur dengan sudut linier, yaitu sudut yang dibentuk oleh perpotongan sudut dihedral dengan bidang yang tegak lurus dengan tepinya. Setiap polihedron, teratur atau tidak beraturan, cembung atau cekung, memiliki sudut dihedral pada setiap sisinya.

Perpendicularity dari dua pesawat.

TANDA PERPENDICULARITAS PESAWAT.

Jika sebuah bidang melewati garis yang tegak lurus terhadap bidang lain, maka bidang-bidang tersebut tegak lurus.

Tanggal penerbitan: 2016-03-23

Deskripsi Singkat: ...

CONTOH PEMECAHAN PERSAMAAN MENGGUNAKAN BEBERAPA TEKNIK ASLI.

1
. Penyelesaian persamaan irasional.

1. Metode substitusi.

1.1.1 Selesaikan persamaan .

Perhatikan bahwa tanda-tanda x di bawah akar berbeda. Kami memperkenalkan notasi

, .

Kemudian,

Mari kita lakukan penjumlahan suku demi suku dari kedua bagian persamaan.

Dan kami memiliki sistem persamaan

Karena a + b = 4, maka

Z berbunyi: 9 - x \u003d 8 x \u003d 1. Jawaban: x \u003d 1.

1.1.2. Selesaikan Persamaan .

Kami memperkenalkan notasi: , ; , .

Cara:

Menambahkan istilah demi istilah sisi kiri dan kanan persamaan, kita .

Dan kami memiliki sistem persamaan

a + b = 2, , , ,

Mari kita kembali ke sistem persamaan:

, .

Setelah menyelesaikan persamaan untuk (ab), kita mendapatkan ab = 9, ab = -1 (-1 akar asing, karena , .).

Sistem ini tidak memiliki solusi, yang berarti bahwa persamaan aslinya juga tidak memiliki solusi.

Jawaban: tidak ada solusi.

1. 1. Selesaikan persamaan: .

Kami memperkenalkan notasi , di mana . Kemudian , .

, ,

Pertimbangkan tiga kasus:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1 [ 0; 1). [ satu ; 2). a = 2.

Solusi: [ 1 ; 2].

Jika sebuah , kemudian , , .

Menjawab: .

1.2. Metode untuk mengevaluasi bagian kiri dan kanan (metode mayor).

Metode mayor adalah metode untuk mencari batasan suatu fungsi.

Majorization - menemukan titik pembatasan fungsi. M adalah yang utama.

Jika f(x) = g(x) dan ODZ diketahui, dan jika

, , kemudian

1. 1. Selesaikan persamaan: .

ODZ: .

Pertimbangkan sisi kanan persamaan.

Mari kita perkenalkan sebuah fungsi. Grafik tersebut berbentuk parabola dengan titik sudut A(3 ; 2).

Nilai terkecil dari fungsi y(3) = 2, yaitu .

Pertimbangkan sisi kiri persamaan.

Mari kita perkenalkan sebuah fungsi. Dengan menggunakan turunannya, mudah untuk menemukan maksimum suatu fungsi yang terdiferensial pada x (2 ; 4).

Pada ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Kita punya .

Akibatnya, , maka

Mari kita buat sistem persamaan berdasarkan kondisi di atas:

Memecahkan persamaan pertama dari sistem, kita memiliki x = 3. Dengan mensubstitusikan nilai ini ke persamaan kedua, kita memastikan bahwa x = 3 adalah solusi dari sistem.

Jawab: x = 3.

1.3. Penerapan fungsi monoton.

1.3.1. Selesaikan persamaan:

Tentang DZ: , karena .

Diketahui bahwa jumlah fungsi yang meningkat adalah fungsi yang meningkat.

Ruas kiri merupakan fungsi naik. Ruas kanan adalah fungsi linier (k=0). Interpretasi grafis menunjukkan bahwa akarnya unik. Kami menemukannya dengan seleksi, kami memiliki x = 1.

Bukti:

Misalkan ada akar x 1 lebih besar dari 1, maka

Karena x1 >1,

.Kami menyimpulkan bahwa tidak ada akar yang lebih besar dari satu.

Demikian pula, seseorang dapat membuktikan bahwa tidak ada akar yang kurang dari satu.

Jadi x=1 adalah satu-satunya akar.

Jawab: x = 1.

1.3.2. Selesaikan persamaan:

Tentang DZ: [ 0.5 ; + ), karena itu. .

Mari kita ubah persamaannya,

Ruas kiri adalah fungsi naik (produk dari fungsi naik), ruas kanan adalah fungsi linier (k = 0). Interpretasi geometris menunjukkan bahwa persamaan asli harus memiliki akar tunggal yang dapat ditemukan dengan memasang, x = 7.

Penyelidikan:

Dapat dibuktikan bahwa tidak ada akar lain (lihat contoh di atas).

Jawab: x = 7.

2. Persamaan logaritma.

1. Metode untuk memperkirakan bagian kiri dan kanan.

2.1.1. Selesaikan persamaan: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Mari kita perkirakan sisi kiri persamaan.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16 16.

Kemudian log 2 (2x - x 2 + 15) 4.

Mari kita perkirakan sisi kanan persamaan.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4 4.

Persamaan asli hanya dapat memiliki solusi jika kedua sisi sama dengan empat.

Cara

Jawab: x = 1.

Untuk pekerjaan mandiri.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Jawaban: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Jawaban: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Jawaban: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Jawaban: x \u003d 3.

2.2. Menggunakan monotonisitas fungsi, pemilihan akar.

2.2.1. Selesaikan persamaan: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Mari kita buat perubahannya 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Kemudian x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, lalu

log 2 t = 20 - t .

Fungsi y = log 2 t meningkat, dan fungsi y = 20 - t menurun. Interpretasi geometris membuat kita memahami bahwa persamaan asli memiliki akar tunggal, yang tidak sulit ditemukan dengan memilih t = 16.

Memecahkan persamaan 2x - x 2 + 15 = 16, kita dapatkan bahwa x = 1.

Memeriksa untuk memastikan bahwa nilai yang dipilih sudah benar.

Jawab: x = 1.

2.3. Beberapa persamaan logaritma yang “menarik”.

2.3.1. Selesaikan Persamaan .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Mari kita beralih ke persamaan

, , ,

Mari kita beralih ke persamaan yang setara

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, atau cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 atau cos x = -1,

x=2 k, k Z . x = + 2 l, l Z.

Mari kita periksa nilai yang ditemukan dengan menggantinya ke dalam ODZ.

1) jika x = 15 , maka (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 salah.

x = 15 - bukan akar persamaan.

2) jika x = 2 k, k Z, lalu (2 k - 15) l > 0,

2k > 15, perhatikan bahwa 15 5 . Kita punya

k > 2.5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) jika x = + 2 l, l Z, lalu ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

+ 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Kami memiliki: saya< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Jawabannya: x = 2 k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...).

3. Persamaan trigonometri.

3.1. Metode untuk memperkirakan bagian kiri dan kanan persamaan.

4.1.1. Selesaikan persamaan cos3x cos2x = -1.

cara pertama..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Karena cos x- 1 , karena 5 x- 1, kami menyimpulkan bahwa cos x+ cos 5 x> -2, maka

mengikuti sistem persamaan

c os x = -1,

karena 5 x = - 1.

Memecahkan persamaan cos x= -1, kita dapatkan X= + 2 k, di mana k Z.

Nilai-nilai ini X juga merupakan solusi dari persamaan cos 5 x= -1, karena

karena 5 x= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4 + 10 k) = -1.

Dengan demikian, X= + 2 k, di mana k Z , adalah semua solusi dari sistem, dan karenanya persamaan aslinya.

Menjawab: X= (2k + 1), k Z.

Cara kedua.

Dapat ditunjukkan bahwa himpunan sistem mengikuti dari persamaan asli

karena 2 x = - 1,

karena 3 x = 1.

karena 2 x = 1,

karena 3 x = - 1.

Memecahkan setiap sistem persamaan, kami menemukan persatuan akar.

Jawaban: x = (2 hingga + 1), k Z.

Untuk pekerjaan mandiri.

Selesaikan persamaan:

3.1.2. 2 karena 3x + 4 sin x/2 = 7. Jawaban: tidak ada solusi.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Jawaban: tidak ada solusi.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Jawaban: x = 2 untuk, k Z.

3.1.5. dosa x dosa 3 x = -1. Jawab: x = /2 +  untuk, k Z.

3.1.6. karena 8 x + dosa 7 x = 1. Jawaban: x = m, saya Z; x = /2 + 2  n, n Z.

1.1 Persamaan irasional

Persamaan irasional sering ditemui pada ujian masuk matematika, karena dengan bantuan mereka pengetahuan tentang konsep-konsep seperti transformasi setara, domain definisi, dan lain-lain mudah didiagnosis. Metode untuk memecahkan persamaan irasional, sebagai suatu peraturan, didasarkan pada kemungkinan penggantian (dengan bantuan beberapa transformasi) persamaan irasional dengan persamaan rasional, yang setara dengan persamaan irasional asli atau konsekuensinya. Paling sering, kedua sisi persamaan dipangkatkan dengan pangkat yang sama. Kesetaraan tidak dilanggar ketika kedua bagian dinaikkan ke pangkat ganjil. Jika tidak, diperlukan untuk memeriksa solusi yang ditemukan atau memperkirakan tanda dari kedua bagian persamaan. Namun ada trik lain yang bisa lebih efektif dalam menyelesaikan persamaan irasional. Misalnya, metode substitusi trigonometri.

Contoh 1: Selesaikan Persamaan

Dari dulu . Oleh karena itu, seseorang dapat menempatkan . Persamaannya akan berbentuk

Mari kita taruh di mana, kalau begitu

.

.

Menjawab: .

Solusi Aljabar

Dari dulu . Cara, , sehingga Anda dapat memperluas modul

.

Menjawab: .

Memecahkan persamaan secara aljabar membutuhkan keterampilan yang baik dalam melakukan transformasi identik dan menangani transisi setara yang kompeten. Namun secara umum, kedua pendekatan tersebut setara.

Contoh 2: Selesaikan Persamaan

.

Penyelesaian dengan substitusi trigonometri

Domain persamaan diberikan oleh pertidaksamaan , yang ekuivalen dengan kondisi , maka . Oleh karena itu, kita dapat menempatkan . Persamaannya akan berbentuk

Dari dulu . Mari kita buka modul internal

Mari kita taruh , kemudian

.

Kondisi dipenuhi oleh dua nilai dan .

.

.

Menjawab: .

Solusi Aljabar

.

Mari kita kuadratkan persamaan sistem himpunan pertama, kita peroleh

Biarkan , lalu . Persamaan akan ditulis ulang dalam bentuk

Dengan memeriksa kita menetapkan bahwa itu adalah akarnya, kemudian dengan membagi polinomial dengan binomial kita memperoleh penguraian ruas kanan persamaan menjadi faktor-faktor

Mari kita pindah dari variabel ke variabel , kita dapatkan

.

kondisi memenuhi dua nilai

.

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan asli, kita mendapatkan bahwa itu adalah akarnya.

Memecahkan persamaan sistem kedua dari populasi asli dengan cara yang sama, kami menemukan bahwa itu juga merupakan akar.

Menjawab: .

Jika pada contoh sebelumnya solusi aljabar dan solusi yang menggunakan substitusi trigonometri adalah ekivalen, maka dalam hal ini solusi substitusi lebih menguntungkan. Ketika memecahkan persamaan dengan cara aljabar, seseorang harus menyelesaikan satu set dua persamaan, yaitu, kuadratkan dua kali. Setelah transformasi non-ekuivalen ini, diperoleh dua persamaan derajat keempat dengan koefisien irasional, yang membantu untuk dihilangkan dengan penggantian. Kesulitan lain adalah verifikasi solusi yang ditemukan dengan substitusi ke dalam persamaan asli.

Contoh 3. Selesaikan persamaan

.

Penyelesaian dengan substitusi trigonometri

Dari dulu . Perhatikan bahwa nilai negatif dari yang tidak diketahui tidak dapat menjadi solusi untuk masalah tersebut. Memang, kami mengubah persamaan asli ke bentuk

.

Faktor dalam tanda kurung di ruas kiri persamaan positif, ruas kanan persamaan juga positif, jadi faktor ruas kiri persamaan tidak boleh negatif. Itu sebabnya, maka, itu sebabnya Anda dapat menempatkan Persamaan asli akan ditulis ulang dalam bentuk

Sejak , maka dan . Persamaannya akan berbentuk

Biarlah. Mari kita beralih dari persamaan ke sistem yang setara

.

Bilangan dan merupakan akar persamaan kuadrat

.

Solusi aljabar Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan

Kami memperkenalkan penggantinya , maka persamaan tersebut akan ditulis dalam bentuk

Akar kedua adalah redundan, jadi pertimbangkan persamaannya

.

Dari dulu .

Dalam hal ini, solusi aljabar secara teknis lebih sederhana, tetapi solusi di atas perlu dipertimbangkan dengan menggunakan substitusi trigonometri. Hal ini disebabkan, pertama, sifat non-standar dari substitusi itu sendiri, yang menghancurkan stereotip bahwa penggunaan substitusi trigonometri hanya mungkin jika . Ternyata jika substitusi trigonometri juga menemukan aplikasi. Kedua, ada kesulitan tertentu dalam memecahkan persamaan trigonometri , yang dikurangi dengan memasukkan perubahan ke sistem persamaan. Dalam arti tertentu, penggantian ini juga dapat dianggap tidak standar, dan keakraban dengannya memungkinkan Anda untuk memperkaya gudang trik dan metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

Contoh 4. Selesaikan persamaan

.

Penyelesaian dengan substitusi trigonometri

Karena variabel dapat mengambil nilai nyata apa pun, kami menempatkan . Kemudian

,

Sebagai .

Persamaan asli, dengan mempertimbangkan transformasi yang dilakukan, akan berbentuk

Karena , Kami membagi kedua sisi persamaan dengan , Kami mendapatkan

Biarlah , kemudian . Persamaannya akan berbentuk

.

Mengingat substitusi , kita memperoleh himpunan dua persamaan

.

Mari kita selesaikan setiap persamaan himpunan secara terpisah.

.

Tidak boleh berupa nilai sinus, seperti untuk nilai argumen apa pun.

.

Sebagai dan ruas kanan persamaan awal adalah positif, maka . Dari mana berikut ini .

Persamaan ini tidak memiliki akar, karena .

Jadi persamaan aslinya memiliki akar tunggal

.

Solusi Aljabar

Persamaan ini dapat dengan mudah "diubah" menjadi persamaan rasional derajat kedelapan dengan mengkuadratkan kedua bagian persamaan aslinya. Pencarian akar persamaan rasional yang dihasilkan sulit, dan tingkat kecerdikan yang tinggi diperlukan untuk mengatasi tugas tersebut. Oleh karena itu, disarankan untuk mengetahui cara penyelesaian yang berbeda, kurang tradisional. Misalnya, substitusi yang diusulkan oleh I. F. Sharygin.

Mari kita taruh , kemudian

Mari kita ubah ruas kanan persamaan :

Dengan mempertimbangkan transformasi, persamaan akan mengambil bentuk

.

Kami memperkenalkan pengganti, lalu

.

Akar kedua adalah redundan, oleh karena itu, dan .

Jika ide untuk memecahkan persamaan tidak diketahui sebelumnya , maka penyelesaian dengan cara standar dengan mengkuadratkan kedua bagian persamaan itu bermasalah, karena hasilnya adalah persamaan derajat kedelapan, yang akar-akarnya sangat sulit ditemukan. Solusi menggunakan substitusi trigonometri terlihat rumit. Mungkin sulit untuk menemukan akar persamaan, jika Anda tidak menyadari bahwa persamaan tersebut berulang. Penyelesaian persamaan ini terjadi dengan menggunakan peralatan aljabar, sehingga kita dapat mengatakan bahwa solusi yang diusulkan digabungkan. Di dalamnya, informasi dari aljabar dan trigonometri bekerja sama untuk satu tujuan - untuk mendapatkan solusi. Juga, solusi persamaan ini membutuhkan pertimbangan yang cermat dari dua kasus. Solusi substitusi secara teknis lebih sederhana dan lebih indah daripada menggunakan substitusi trigonometri. Diharapkan siswa mengetahui metode substitusi ini dan menerapkannya untuk menyelesaikan masalah.

Kami menekankan bahwa penggunaan substitusi trigonometri untuk memecahkan masalah harus disadari dan dibenarkan. Dianjurkan untuk menggunakan substitusi dalam kasus di mana solusi dengan cara lain lebih sulit atau bahkan tidak mungkin. Mari kita berikan satu contoh lagi, yang, tidak seperti yang sebelumnya, lebih mudah dan lebih cepat untuk diselesaikan dengan cara standar.