Biarkan fungsinya u = f(x, y, z) terus menerus di beberapa daerah D dan memiliki turunan parsial kontinu di wilayah ini. Mari kita memilih titik di area yang dipertimbangkan M(x,y,z) dan menggambar vektor dari itu S, yang arahnya cosinus cosα, cosβ, cosγ. pada vektor S di kejauhan s dari awal kita menemukan titik M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), di mana
Mari kita nyatakan kenaikan penuh dari fungsi f sebagai:
Di mana 
Setelah dibagi s kita mendapatkan:
Sejauh 
Persamaan sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai:
Gradien.
Definisi Limit dari relasi di disebut turunan fungsi u = f(x, y, z) dalam arah vektor S dan dilambangkan.
Dalam hal ini, dari (1) diperoleh:
(2)
Catatan 1. Turunan parsial adalah kasus khusus dari turunan terarah. Misalnya, ketika 
kita mendapatkan:
Keterangan 2. Di atas, arti geometris dari turunan parsial dari suatu fungsi dua variabel didefinisikan sebagai koefisien kemiringan garis singgung ke garis perpotongan permukaan, yang merupakan grafik fungsi, dengan bidang x = x 0 dan y = y 0. Dengan cara yang sama, kita dapat mempertimbangkan turunan dari fungsi ini sehubungan dengan arah aku pada intinya M(x 0, y 0) sebagai kemiringan garis perpotongan permukaan yang diberikan dan bidang yang melalui titik M sejajar sumbu O z dan langsung aku.
Definisi Sebuah vektor yang koordinatnya pada setiap titik pada suatu luasan merupakan turunan parsial dari fungsi u = f(x, y, z) pada titik ini disebut gradien fungsi u = f(x, y, z).
sebutan: lulusan kamu = .
sifat gradien.
1. Turunan terhadap arah beberapa vektor S sama dengan proyeksi vektor grad kamu per vektor S . Bukti. Vektor arah satuan S memiliki bentuk e S =(cosα, cosβ, cosγ), jadi ruas kanan rumus (4.7) adalah hasil kali skalar dari vektor-vektor grad kamu dan e s , yaitu proyeksi yang ditentukan.
2. Turunan pada suatu titik tertentu dalam arah vektor S memiliki nilai terbesar sama dengan |grad kamu| jika arah ini sama dengan arah gradien. Bukti. Nyatakan sudut antara vektor S dan lulusan kamu melalui . Maka berikut dari properti 1 bahwa |grad kamu|∙cosφ, (4.8) oleh karena itu, nilai maksimumnya dicapai pada =0 dan sama dengan |grad kamu|.
3. Turunan terhadap arah vektor yang tegak lurus terhadap gradien vektor kamu, sama dengan nol.
Bukti. Dalam hal ini, dalam rumus (4.8) 
4. Jika z = f(x,y) adalah fungsi dari dua variabel, maka grad f= arah tegak lurus terhadap garis rata f (x, y) = c, melewati titik ini.
Ekstrem fungsi beberapa variabel. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Ekstrem bersyarat. Metode pengganda Lagrange. Mencari nilai terbesar dan terkecil.
Definisi 1. Dot M 0 (x 0, y 0) ditelepon titik maksimum fungsi z = f(x, y), jika f (x o , y o) > f(x, y) untuk semua poin (x, y) M 0.
Definisi 2. Dot M 0 (x 0, y 0) ditelepon titik minimum fungsi z = f(x, y), jika f (x o , y o) < f(x, y) untuk semua poin (x, y) dari beberapa lingkungan titik M 0.
Catatan 1. Poin maksimum dan minimum disebut titik ekstrim fungsi dari beberapa variabel.
Catatan 2. Titik ekstrem untuk fungsi sejumlah variabel didefinisikan dengan cara yang sama.
Teorema 1(kondisi ekstrim yang diperlukan). Jika sebuah M 0 (x 0, y 0) adalah titik ekstrem dari fungsi z = f(x, y), maka pada titik ini turunan parsial orde pertama dari fungsi ini sama dengan nol atau tidak ada.
Bukti.
Mari kita perbaiki nilai variabel pada perhitungan y = y 0. Maka fungsi f(x, y0) akan menjadi fungsi dari satu variabel X, untuk itu x = x 0 adalah titik ekstrim. Oleh karena itu, dengan teorema Fermat atau tidak ada. Pernyataan yang sama dibuktikan untuk .
Definisi 3. Titik-titik yang termasuk dalam domain suatu fungsi dari beberapa variabel, di mana turunan parsial dari fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak ada, disebut titik stasioner fungsi ini.
Komentar. Dengan demikian, ekstrem hanya dapat dicapai pada titik-titik stasioner, tetapi tidak harus diamati pada masing-masing titik tersebut.
Teorema 2(kondisi yang cukup untuk ekstrim). Biarkan di beberapa lingkungan titik M 0 (x 0, y 0), yang merupakan titik stasioner dari fungsi z = f(x, y), fungsi ini memiliki turunan parsial kontinu hingga inklusif orde ke-3. Tunjukkan Kemudian:
1) f(x, y) memiliki pada intinya M 0 maksimum jika AC-B² > 0, A < 0;
2) f(x, y) memiliki pada intinya M 0 minimal jika AC-B² > 0, A > 0;
3) tidak ada ekstrem pada titik kritis jika AC-B² < 0;
4) jika AC-B² = 0, penelitian tambahan diperlukan.
Contoh. Mari kita cari titik ekstrem dari fungsi z=x² - 2 xy + 2kamu² + 2 x. Untuk mencari titik stasioner, kami memecahkan sistem 
. Jadi, titik stasionernya adalah (-2,-1). Di mana A = 2, PADA = -2, Dengan= 4. Maka AC-B² = 4 > 0, oleh karena itu, dicapai titik ekstrem pada titik stasioner, yaitu minimum (sejak A > 0).
Ekstrem bersyarat.
Definisi 4. Jika argumen fungsi f (x 1 , x 2 ,…, x n) terikat oleh kondisi tambahan dalam bentuk m persamaan ( m< n) :
1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
di mana fungsi i memiliki turunan parsial kontinu, maka persamaan (1) disebut persamaan koneksi.
Definisi 5. Fungsi ekstrem f (x 1 , x 2 ,…, x n) dalam kondisi (1) disebut ekstrem bersyarat.
Komentar. Kami dapat menawarkan interpretasi geometris berikut dari ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel: biarkan argumen fungsi f(x,y) dihubungkan oleh persamaan (x, y)= 0, mendefinisikan beberapa kurva pada bidang O hu. Setelah dipulihkan dari setiap titik kurva ini tegak lurus ke bidang O hu sebelum melintasi permukaan z = f (x, y), kita mendapatkan kurva spasial yang terletak di permukaan di atas kurva (x, y)= 0. Masalahnya adalah menemukan titik ekstrem dari kurva yang dihasilkan, yang, tentu saja, dalam kasus umum tidak bertepatan dengan titik ekstrem tak bersyarat dari fungsi f(x,y).
Mari kita definisikan kondisi ekstrem bersyarat yang diperlukan untuk fungsi dua variabel dengan memperkenalkan definisi berikut sebelumnya:
Definisi 6. Fungsi L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + 1 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ 2 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
di mana saya - beberapa konstanta, yang disebut Fungsi Lagrange, dan bilangan i– pengganda Lagrange tidak terbatas.
Dalil(kondisi ekstrim bersyarat yang diperlukan). Ekstrem bersyarat dari fungsi z = f(x, y) dengan adanya persamaan kendala ( x, y)= 0 hanya dapat dicapai pada titik stasioner dari fungsi Lagrange L (x, y) = f (x, y) + (x, y).
Perhatikan fungsi u(x, y, z) di titik (x, y, z) dan titik 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).
Mari kita menggambar sebuah vektor melalui titik M dan M 1 . Sudut kemiringan vektor ini terhadap arah sumbu koordinat x, y, z masing-masing akan dilambangkan dengan a, b, g. Kosinus sudut-sudut ini disebut arah cosinus vektor .
Jarak antara titik M dan M 1 pada vektor dilambangkan dengan DS.
dimana kuantitas e 1 , e 2 , e 3 sangat kecil di .
Dari pertimbangan geometris jelas:
Dengan demikian, persamaan di atas dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Perhatikan bahwa s adalah nilai skalar. Ini hanya menentukan arah vektor.
Dari persamaan tersebut berikut definisinya:
Batasnya disebut turunan dari fungsi u(x, y, z) dalam arah vektor pada titik dengan koordinat (x, y, z).
Mari kita jelaskan arti persamaan di atas dengan sebuah contoh.
Contoh 9.1. Hitung turunan dari fungsi z \u003d x 2 + y 2 x pada titik A (1, 2) dalam arah vektor. Dalam (3, 0).
Keputusan. Pertama-tama, perlu untuk menentukan koordinat vektor .
Kami menemukan turunan parsial dari fungsi z dalam bentuk umum:
Nilai besaran-besaran ini di titik A: 
Untuk menemukan arah cosinus dari vektor, kami melakukan transformasi berikut:
=
Vektor arbitrer yang diarahkan sepanjang vektor tertentu diambil sebagai nilai, mis. menentukan arah diferensiasi.
Dari sini kita peroleh nilai-nilai cosinus arah dari vektor:
cosa = ; kosb=-
Akhirnya kita mendapatkan: 
- nilai turunan dari fungsi yang diberikan dalam arah vektor .
Jika suatu fungsi u = u(x, y, z) diberikan di beberapa domain D dan beberapa vektor yang proyeksinya pada sumbu koordinat sama dengan nilai fungsi u di titik yang bersesuaian
,
maka vektor ini disebut gradien fungsi u.
Dalam hal ini, kita katakan bahwa medan gradien diberikan di daerah D.
Dalil: Biarkan fungsi u = u(x, y, z) diberikan dan bidang gradien
.
Maka turunan terhadap arah beberapa vektor sama dengan proyeksi gradien vektor ke vektor .
Bukti: Pertimbangkan vektor satuan dan beberapa fungsi u = u(x, y, z) dan temukan produk skalar dari vektor dan derajat.
Ekspresi di sisi kanan persamaan ini adalah turunan dari fungsi u dalam arah s.
Itu. 
. Jika sudut antara vektor derajat dan dilambangkan dengan j, maka produk skalar dapat ditulis sebagai produk dari modul vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara mereka. Mempertimbangkan fakta bahwa vektor adalah satuan, mis. modulusnya sama dengan satu, kita dapat menulis:
Ekspresi di sisi kanan persamaan ini adalah proyeksi dari vektor lulusan kamu ke vektor.
Teorema telah terbukti.
Untuk mengilustrasikan arti geometris dan fisis dari gradien, misalkan gradien adalah vektor yang menunjukkan arah perubahan tercepat dari beberapa medan skalar u di beberapa titik. Dalam fisika, ada konsep seperti gradien suhu, gradien tekanan, dll. Itu. arah gradien adalah arah pertumbuhan tercepat fungsi.
Dalam hal representasi geometris, gradien tegak lurus terhadap permukaan level fungsi.
1) Kasus fungsi dua variabel. Arah diberikan oleh vektor. Kami memilih vektor satuan yang menentukan arah pada bidang: 
. Vektor ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu OX. Turunan terarah dari fungsi dua variabel disebut ekspresi 
.
2) Kasus fungsi tiga variabel. Misalkan vektor satuan diberikan yang membentuk sudut dengan sumbu OX, OY dan OZ, masing-masing. Jika kita menetapkan koordinat vektor sebagai , maka dengan rumus kosinus sudut antara dua vektor dan kita dapatkan . Juga, . , vektor satuan yang membentuk sudut dengan sumbu OX, OY dan OZ, memiliki koordinat . Turunan terarah dari fungsi tiga variabel disebut ekspresi
.
Definisi.gradien fungsi biasanya disebut vektor 
. Untuk alasan ini, turunan dari suatu fungsi dalam arah yang diberikan oleh vektor satuan dapat dihitung dengan rumus 
, di mana di sebelah kanan dalam rumus adalah produk skalar dari gradien fungsi dan vektor arah satuan.
Properti utama gradien: di antara semua arah yang mungkin, turunan dalam arah mengambil nilai terbesar, dan positif, dalam arah gradien. Properti ini mengikuti dari definisi produk skalar. Karena positif dari turunan berarti pertumbuhan fungsi, arah gradien pada titik tersebut adalah arah pertumbuhan terbesar fungsi.
Turunan parsial dari pesanan yang lebih tinggi.
Setiap turunan parsial dari fungsi variabel 
itu sendiri juga merupakan fungsi dari variabel. Turunan parsial dari turunan parsial suatu fungsi dari banyak variabel disebut turunan parsial orde kedua fungsi . Dalam hal ini, jika variabel-variabel yang turunannya diambil terlebih dahulu dari fungsi dan kemudian dari fungsi tidak berhimpitan, turunan parsial semacam itu biasanya disebut campuran. Notasi turunan parsial orde kedua: 
. Dalam kasus ketika dan adalah fungsi kontinu di lingkungan beberapa titik, pada titik ini.
Demikian pula, turunan parsial dari urutan apa pun diperkenalkan.
CONTOH
Dihosting di ref.rf
Cari dari fungsi . Kita punya 
.
Untuk menghitung turunan yang sama menggunakan MAXIM, kami menggunakan perintah diff(log(x+3*y),x,2,y,1).
Diferensial orde tinggi.
Dengan analogi dengan turunan, diferensial orde yang lebih tinggi diperkenalkan, yaitu diferensial dari diferensial. Pertimbangkan fungsi dari tiga variabel . Diferensial dari fungsi ini adalah ekspresi . Perhatikan bahwa turunan yang termasuk dalam ekspresi terakhir adalah fungsi dari , dan diferensial dari variabel tidak bergantung pada . Untuk alasan ini, di bawah kondisi kontinuitas turunan campuran, diferensial orde kedua memiliki bentuk
Dalam rumus terakhir, kami telah menggunakan properti persamaan turunan campuran. Sangat mudah untuk melihat bahwa rumus untuk diferensial orde kedua mirip dengan rumus untuk tingkat kedua dari jumlah tiga suku. Tidaklah sulit untuk menghitung diferensial orde kedua dan ketiga dari fungsi dua variabel: ,
Sebuah latihan. Mencari untuk fungsi di titik (1,1).
Rumus Taylor untuk fungsi banyak variabel.
Seperti dalam kasus fungsi satu variabel, untuk fungsi banyak variabel, rumus Taylor memberikan hubungan antara kenaikan fungsi pada suatu titik dan diferensialnya pada titik yang sama:
di mana 
.
Secara khusus, untuk fungsi dua variabel kita memiliki:
Di Sini 
.
Turunan terarah. - konsep dan jenis. Klasifikasi dan fitur kategori "Turunan terarah." 2017, 2018.
Perhatikan fungsi u(x, y, z) di titik (x, y, z) dan titik 1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Mari kita menggambar sebuah vektor melalui titik M dan M1. Sudut kemiringan vektor ini terhadap arah sumbu koordinat x, y, z masing-masing akan dilambangkan dengan a, b, g. Kosinus sudut-sudut ini disebut cosinus arah dari vektor. ... .
Perhatikan fungsi u(x, y, z) di titik (x, y, z) dan titik 1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Mari kita menggambar sebuah vektor melalui titik M dan M1. Sudut kemiringan vektor ini terhadap arah sumbu koordinat x, y, z masing-masing akan dilambangkan dengan a, b, g. Kosinus sudut-sudut ini disebut cosinus arah dari vektor. ... .
Karakteristik penting dari medan skalar U(M) adalah laju perubahan fungsi medan dalam arah yang ditentukan. Jika arah ini bertepatan dengan arah salah satu sumbu koordinat, maka kita akan mendapatkan nilai turunan parsial yang sesuai. Dari aljabar vektor ... .
Biarkan fungsi U = F (X, Y, Z) kontinu di beberapa domain D dan memiliki turunan parsial kontinu di domain ini. Kami memilih titik M(X,Y,Z) di daerah yang ditinjau dan menggambar vektor S darinya, cosinus arahnya adalah cosA, cosB, cosG. Pada vektor S pada jarak DS dari titik asalnya... .
Turunan suatu fungsi pada suatu titik sepanjang arah disebut limit dimana jika limit tersebut ada. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, maka turunan arahnya dihitung dengan rumus (1) dimana adalah cosinus arah dari vektor Secara khusus, jika adalah fungsi dari dua variabel,... .
medan skalar. Permukaan rata. UNSUR-UNSUR TEORI LAPANGAN MATEMATIKA Tahapan Utama Perkembangan Fisika Matematika Fisika matematika muncul sebagai ilmu yang berdiri sendiri pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. Hal ini di...
Memperkenalkan konsep turunan parsial dari fungsi banyak variabel, kami menambahkan variabel satu per satu, membiarkan semua argumen lainnya tidak berubah. Secara khusus, jika kita mempertimbangkan fungsi dari dua variabel z = f(x, y), maka variabel x diberi kenaikan x, dan kemudian dalam domain fungsi ada transisi dari titik dengan koordinat (x , y) ke suatu titik dengan koordinat (x + x ;y); atau variabel y diberi kenaikan y, kemudian pada domain fungsi terjadi transisi dari titik dengan koordinat (x,y) ke titik dengan koordinat (x; y + y) (lihat Gambar 5.6). Jadi, titik di mana kita mengambil turunan parsial dari fungsi bergerak dalam arah yang sejajar dengan sumbu koordinat pada bidang (baik sejajar dengan sumbu absis atau sejajar dengan sumbu ordinat). Mari kita pertimbangkan kasus ketika arah dapat diambil secara sewenang-wenang, yaitu. kenaikan diberikan ke beberapa variabel sekaligus. Untuk kasus fungsi dua variabel, kita akan pindah ke titik (x + x; y + y), sedangkan perpindahannya adalah aku(lihat gambar 5.6).
Saat bergerak ke arah ini, fungsi z akan menerima kenaikan aku z = f(x + x; y + y) – f(x,y), disebut kenaikan fungsi z dalam arah yang diberikan aku.
Turunan z aku`ke arah aku
fungsi dua variabel
z = f(x,y) adalah limit rasio kenaikan fungsi dalam arah ini dengan jumlah perpindahan aku ketika yang terakhir cenderung nol, yaitu. .
Turunan z aku` mencirikan laju perubahan fungsi dalam arah aku.
Konsep turunan terarah dapat digeneralisasikan ke fungsi dengan sejumlah variabel.
Gambar 5.6 - Memindahkan titik ke arah aku
Dapat dibuktikan bahwa z aku` = z x `cos + z y `cos , di mana dan adalah sudut yang dibentuk oleh arah pergerakan titik dengan sumbu koordinat (lihat Gambar 5.6).
Sebagai contoh, mari kita cari turunan dari fungsi z = ln (x 2 + xy) di titik
(3; 1) dalam arah dari titik ini ke titik (6; -3) (lihat gambar 5.7).
Untuk melakukannya, pertama cari turunan parsial dari fungsi ini di titik (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3 *1) = 7/12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4.
Perhatikan bahwa x = 6 – 3 = 3; y \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ aku) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ aku| = 5. Maka cos = 3/5; cos = -4/5; z aku` =
z x `cos +
z y `cos = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20.
gradien fungsi
Diketahui dari kursus matematika sekolah bahwa vektor pada bidang adalah segmen berarah. Awal dan akhir memiliki dua koordinat. Koordinat vektor dihitung dengan mengurangkan koordinat awal dari koordinat akhir.
Konsep vektor juga dapat diperluas ke ruang n-dimensi (sebagai ganti dua koordinat akan ada n koordinat).
gradien grad z dari fungsi z = f(х 1 , 2 , …х n) adalah vektor turunan parsial dari fungsi di titik, yaitu. vektor dengan koordinat 
.
Dapat dibuktikan bahwa gradien suatu fungsi mencirikan arah pertumbuhan tercepat tingkat fungsi pada suatu titik.
Misalnya, untuk fungsi z \u003d 2x 1 + x 2 (lihat Gambar 5.8), gradien pada titik mana pun akan memiliki koordinat (2; 1). Itu dapat dibangun di atas pesawat dengan berbagai cara, dengan mengambil titik mana pun sebagai awal dari vektor. Misalnya, Anda dapat menghubungkan titik (0; 0) ke titik (2; 1), atau titik (1; 0) ke titik (3; 1), atau titik (0; 3) ke titik (2; 4), atau t.P. (lihat gambar 5.8). Semua vektor yang dibangun dengan cara ini akan memiliki koordinat (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Gambar 5.8 dengan jelas menunjukkan bahwa level fungsi tumbuh ke arah gradien, karena garis level yang dibangun sesuai dengan nilai level 4 > 3 > 2.
Gambar 5.8 - Fungsi gradien z \u003d 2x 1 + x 2
Pertimbangkan contoh lain - fungsi z = 1/(x 1 x 2). Gradien fungsi ini tidak akan lagi selalu sama pada titik yang berbeda, karena koordinatnya ditentukan oleh rumus (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2)).
Gambar 5.9 menunjukkan garis level dari fungsi z = 1 / (x 1 x 2) untuk level 2 dan 10 (garis lurus 1 / (x 1 x 2) = 2 ditunjukkan dengan garis putus-putus, dan garis lurus
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - garis padat).
Gambar 5.9 - Gradien fungsi z \u003d 1 / (x 1 x 2) di berbagai titik
Ambil, misalnya, titik (0,5; 1) dan hitung gradien pada titik ini: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Perhatikan bahwa titik (0,5; 1) terletak pada garis level 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, karena z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Untuk menggambarkan vektor (-4; -2) pada Gambar 5.9, kita menghubungkan titik (0.5; 1) dengan titik (-3.5; -1), karena
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Mari kita ambil titik lain pada garis level yang sama, misalnya titik (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Hitung gradien pada titik ini
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Untuk menggambarkannya pada Gambar 5.9, kita menghubungkan titik (1; 0.5) dengan titik (-1; -3.5), karena (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Mari kita ambil satu titik lagi pada garis level yang sama, tetapi hanya sekarang di kuartal koordinat non-positif. Misalnya, titik (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradien pada titik ini adalah
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Mari kita gambarkan pada Gambar 5.9 dengan menghubungkan titik (-0.5; -1) dengan titik (3.5; 1), karena (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Perlu dicatat bahwa dalam ketiga kasus yang dipertimbangkan, gradien menunjukkan arah pertumbuhan level fungsi (menuju garis level 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Dapat dibuktikan bahwa gradien selalu tegak lurus terhadap garis datar (level surface) yang melalui titik tertentu.
medan skalar disebut bagian dari ruang (atau seluruh ruang), setiap titik, yang sesuai dengan nilai numerik dari beberapa besaran skalar.
Contoh
Sebuah benda yang memiliki nilai suhu tertentu pada setiap titik adalah medan skalar.
Benda tidak homogen, yang setiap titiknya sesuai dengan kerapatan tertentu - bidang kerapatan skalar.
Dalam semua kasus ini, nilai skalar U tidak bergantung pada waktu, tetapi bergantung pada posisi (koordinat) titik M dalam ruang, yaitu fungsi dari tiga variabel, disebut fungsi lapangan. Dan sebaliknya, setiap fungsi dari tiga variabel u=f(x, y, z) mendefinisikan beberapa bidang skalar.
Fungsi medan skalar planar bergantung pada dua variabel z=f(x, y).
Pertimbangkan medan skalar u=f(x, y, z).
Vektor yang koordinatnya merupakan turunan parsial dari suatu fungsi yang dihitung pada suatu titik tertentu disebut gradien berfungsi pada titik ini atau gradien medan skalar.
Pertimbangkan sebuah vektor dengan dua titik di atasnya M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dan . Mari kita cari kenaikan fungsi dalam arah:
Turunan terarah batas berikutnya dipanggil jika ada:
di mana adalah arah cosinus dari vektor ; , , adalah sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu koordinat, jika .
Untuk fungsi dua variabel, rumus ini berbentuk:
atau 
,
sebagai .
Ada hubungan antara gradien dan turunan arah pada titik yang sama.
Dalil. Produk skalar gradien fungsi dan vektor dari beberapa arah sama dengan turunan dari fungsi yang diberikan dalam arah vektor ini:
.
Konsekuensi. Turunan terhadap arah memiliki nilai terbesar jika arah ini bertepatan dengan arah gradien (justifikasi diri Anda menggunakan definisi produk titik dan asumsikan bahwa ).
Temuan:
1. Gradien adalah vektor yang menunjukkan arah kenaikan terbesar fungsi pada titik tertentu dan memiliki modulus numerik yang sama dengan laju kenaikan ini:
.
2. Turunan arah adalah laju perubahan fungsi dalam arah: jika , maka fungsi dalam arah ini meningkat, jika , maka fungsi menurun.
3. Jika vektor berimpit dengan salah satu vektor, maka turunan dalam arah vektor ini berimpit dengan turunan parsial yang bersesuaian.
Misalnya, jika , maka .
Contoh
Diberikan sebuah fungsi 
, dot A(1, 2) dan vektor.
Temukan: 1) ;
Keputusan
1) Temukan turunan parsial dari fungsi tersebut dan hitung di titik A.
, .
Kemudian 
.
2) Temukan arah cosinus dari vektor:
Menjawab: ; .
literatur [ 1,2]
Pertanyaan untuk pemeriksaan diri:
1. Apa yang disebut fungsi dua variabel, domain definisinya?
2. Bagaimana turunan parsial ditentukan?
3. Apa arti geometris turunan parsial?
4. Apa yang disebut gradien medan skalar pada titik tertentu?
5. Apa yang disebut dengan turunan terarah?
6. Rumuskan aturan untuk mencari titik ekstrem dari fungsi dua variabel.
Pilihan 1
Tugas nomor 1
sebuah) 
; b) 
;
di) ; G) 
.
Tugas nomor 2 Selidiki fungsi untuk kontinuitas: temukan titik putus fungsi dan tentukan jenisnya. Buatlah grafik skema dari fungsi tersebut.
Nomor tugas Diberikan bilangan kompleks Z. Diminta: tulis bilangan Z dalam bentuk aljabar dan trigonometri. .
Tugas nomor 4.
1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) .
Tugas nomor 5. Selidiki fungsi menggunakan metode kalkulus diferensial dan, dengan menggunakan hasil studi, buat grafik. .
Tugas nomor 6. Fungsi z=f(x,y) diberikan. Periksa apakah identitas F≡0 terpenuhi? 
Tugas nomor 7 Diberikan sebuah fungsi Z=x2+xy+y2, titik dan vektor . Mencari:
1) lulusan pada intinya TETAPI;
2) turunan pada suatu titik TETAPI dalam arah vektor .
pilihan 2
Tugas nomor 1 Hitung limit fungsi tanpa menggunakan aturan L'Hopital.
sebuah) 
; b) 
;
di) 
; G) 
.
Tugas nomor 2 Selidiki fungsi untuk kontinuitas: temukan titik putus fungsi dan tentukan jenisnya. Buatlah grafik skema dari fungsi tersebut.
Tugas nomor 3 Diberikan bilangan kompleks Z. Diminta: tulis bilangan Z dalam bentuk aljabar dan trigonometri.
Tugas nomor 4. Temukan turunan orde pertama dari fungsi-fungsi ini.
