Konsep variabel acak. Hukum distribusi variabel acak
Variabel acak (disingkat: r.v.) dilambangkan dengan huruf latin kapital X, Y, Z,...(atau huruf kecil Yunani (xi), (ini), (theta), (psi), dll.), dan nilai yang diambil oleh mereka, masing-masing, dalam huruf kecil x 1 , x 2 ,…, 1 , pada 2 , 3 …
Contoh dengan. di. dapat melayani: 1) X- jumlah poin yang muncul saat melempar dadu; 2) Y - jumlah tembakan sebelum pukulan pertama tepat mengenai sasaran; 3) Z- waktu kerja perangkat, dll. (tinggi manusia, nilai tukar dolar, jumlah bagian yang rusak dalam satu batch, suhu udara, perolehan pemain, koordinat titik jika dipilih secara acak oleh , keuntungan perusahaan, ...).
Variabel acak XΏ w
X(w), yaitu X= X(w), w(atau X=f(w)) (31)
Contoh 1. Pengalaman terdiri dari melempar koin 2 kali. Di PES =( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), di mana w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, Anda dapat mempertimbangkan dengan. di. X- jumlah penampilan lambang. S.v. X adalah fungsi dari kejadian elementer w i :X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. di. dengan nilai x 1 = 0,x2 =1 , x3 = 2.
X(w) S P(A) = P(X< X).
X- d.s. di.,
x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…
saya , di mana saya = 1,2,3, ..., n,… .
hukum distribusi d.s. di. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,...,n,...,
dengan. di. X x saya . :
| X | x 1 | x2 | …. | x n | … |
| P | p1 | p2 | …. | p n | … |
Sejak peristiwa (X= x 1 ), (X= x2 ),…, (X= x n ), yaitu .
(x 1 , p1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) disebut poligon(atau poligon) distribusi(lihat gambar 17).
Nilai acak X diskrit, jika ada himpunan bilangan yang berhingga atau dapat dihitung x 1 , x2 , ..., x n sedemikian rupa sehingga P(X = x i ) = p i > 0 (saya = 1,2,...) hal 1 + p2 + hal 3 +…= 1 (32)
jumlah d.s. di. X, yang mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. di. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, disebut a d.s. di. Z = X + Y , mengambil nilai z ij = x i + y j dengan probabilitas p ij = ( = x i ,Y = y j ), untuk semua nilai yang ditentukan saya dan j. Jika beberapa jumlah x i + y j bertepatan, probabilitas yang sesuai ditambahkan.
perbedaan d.s. di. X, yang mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. di. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, disebut a d.s. di. Z = X - Y, ambil nilai z ij = x i – y j dengan probabilitas p ij = ( = x i ,Y = y j ), untuk semua nilai yang ditentukan saya dan j. Jika beberapa perbedaan x i – y j bertepatan, probabilitas yang sesuai ditambahkan.
kerja d.s. di. X, yang mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. di. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, disebut a d.s. di. Z = X × Y, mengambil nilai z ij = x i × y j dengan probabilitas p ij = ( = x i ,Y = y j ), untuk semua nilai yang ditentukan saya dan j. Jika beberapa produk x i × y j bertepatan, probabilitas yang sesuai ditambahkan.
d.s. di. , x i i = (Х = x i ).
Kejadian X dan Y (X = x i ) = i dan (Y = y j ) = j bebas untuk sembarang i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, yaitu,
P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)
Contoh 2 Ada 8 bola dalam sebuah guci, 5 di antaranya berwarna putih dan sisanya berwarna hitam. Darinya diambil 3 bola secara acak. Temukan hukum distribusi untuk jumlah bola putih dalam sampel.
Nilai acak adalah besaran yang, sebagai hasil dari percobaan, mengambil nilai yang sebelumnya tidak diketahui.
Jumlah mahasiswa yang menghadiri kuliah.
Jumlah rumah yang dipesan pada bulan berjalan.
Suhu lingkungan.
Berat pecahan proyektil yang meledak.
Variabel acak dibagi menjadi diskrit dan kontinu.
Diskrit (terputus-putus) disebut variabel acak yang mengambil nilai yang terpisah, terisolasi satu sama lain dengan probabilitas tertentu.
Jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit dapat terbatas atau dapat dihitung.
kontinu disebut variabel acak yang dapat mengambil nilai apa pun dari beberapa interval hingga atau tak terbatas.
Jelas, jumlah nilai yang mungkin dari variabel acak kontinu tidak terbatas.
Dalam contoh yang diberikan: 1 dan 2 adalah variabel acak diskrit, 3 dan 4 adalah variabel acak kontinu.
Di masa depan, alih-alih kata "variabel acak" kita akan sering menggunakan singkatan c. di.
Sebagai aturan, variabel acak akan dilambangkan dengan huruf kapital, dan kemungkinan nilainya dengan huruf kecil.
Dalam interpretasi teori himpunan dari konsep dasar teori probabilitas, variabel acak X adalah fungsi dari kejadian elementer: X =φ(ω), di mana adalah kejadian elementer yang termasuk dalam ruang (ω ). Dalam hal ini, himpunan dari nilai-nilai yang mungkin dari c. di. X terdiri dari semua nilai yang diambil oleh fungsi (ω).
Hukum distribusi variabel acak Aturan apa pun (tabel, fungsi) dipanggil yang memungkinkan Anda menemukan probabilitas dari semua jenis kejadian yang terkait dengan variabel acak (misalnya, probabilitas bahwa itu akan mengambil beberapa nilai atau jatuh ke dalam beberapa interval).
Bentuk-bentuk pengaturan hukum distribusi variabel acak. Jangkauan distribusi.
Ini adalah tabel di baris atas di mana semua nilai yang mungkin dari variabel acak X terdaftar dalam urutan menaik: x 1, x 2, ..., x n, dan di garis bawah - probabilitas ini nilai: p 1, p 2, ..., p n, di mana p i \u003d P (X \u003d x i).
Karena peristiwa (X \u003d x 1), (X \u003d x 2), ... tidak kompatibel dan membentuk grup lengkap, jumlah semua probabilitas di garis bawah deret distribusi sama dengan satu
Deret distribusi digunakan untuk menetapkan hukum distribusi hanya untuk variabel acak diskrit.
poligon distribusi
Representasi grafis dari deret distribusi disebut poligon distribusi. Itu dibangun seperti ini: untuk setiap nilai yang mungkin c. di. tegak lurus terhadap sumbu x dipulihkan, di mana probabilitas nilai yang diberikan c diplot. di. Poin yang diperoleh untuk kejelasan (dan hanya untuk kejelasan!) dihubungkan oleh segmen garis.
Fungsi distribusi kumulatif (atau hanya fungsi distribusi).
Ini adalah fungsi yang, untuk setiap nilai argumen x, secara numerik sama dengan probabilitas bahwa variabel acak akan lebih kecil dari nilai argumen x.
Fungsi distribusi dilambangkan dengan F(x): F(x) = P (X x).
Sekarang kita dapat memberikan definisi yang lebih tepat dari variabel acak kontinu: variabel acak disebut kontinu jika fungsi distribusinya adalah fungsi terdiferensial yang kontinu dan sepotong-sepotong dengan turunan kontinu.
Fungsi distribusi adalah bentuk pengaturan yang paling serbaguna c. in., yang dapat digunakan untuk mengatur hukum distribusi s diskrit dan kontinu. di.
Halaman 2
Secara grafis, hukum distribusi besaran diskrit diberikan dalam bentuk yang disebut poligon distribusi.
Representasi grafis dari deret distribusi (lihat Gambar 5) disebut poligon distribusi.
Untuk mengkarakterisasi hukum distribusi variabel acak diskontinyu, deret (tabel) dan poligon distribusi sering digunakan.
Untuk citranya dalam sistem koordinat persegi panjang, titik-titik dibangun (Y Pi) (x - i Pa) dan dihubungkan oleh segmen garis. Poligon distribusi memberikan perkiraan representasi visual dari sifat distribusi variabel acak.
Untuk kejelasan, hukum distribusi variabel acak diskrit juga dapat digambarkan secara grafis, yang titik-titik (x /, p) dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang, dan kemudian dihubungkan oleh segmen garis.Gambar yang dihasilkan disebut distribusi poligon.
M (xn; pn) (ls - - kemungkinan nilai Xt pi - probabilitas yang sesuai) dan menghubungkannya dengan segmen garis. Angka yang dihasilkan disebut poligon distribusi.
Pertimbangkan distribusi probabilitas jumlah poin pada dadu. Gambar di bawah menunjukkan poligon distribusi untuk kasus satu, dua dan tiga tulang.
Dalam hal ini, alih-alih poligon distribusi acak, fungsi kepadatan distribusi dibangun, yang disebut fungsi distribusi diferensial dan merupakan hukum distribusi diferensial. Dalam teori probabilitas, densitas distribusi variabel acak x (x Xr) dipahami sebagai batas rasio probabilitas bahwa x jatuh ke dalam interval (x, x - - Ax) terhadap Ax, ketika Al; cenderung nol. Selain fungsi diferensial, untuk mengkarakterisasi distribusi variabel acak, digunakan fungsi distribusi integral, yang sering disebut secara sederhana sebagai fungsi distribusi atau hukum distribusi integral.
Dengan konstruksi seperti itu, frekuensi relatif jatuh ke dalam interval akan sama dengan luas kolom histogram yang bersesuaian, seperti halnya probabilitas sama dengan luas trapesium lengkung yang bersesuaian.y Kadang-kadang, untuk kejelasan perbandingan, poligon distribusi dibangun, menghubungkan secara seri titik tengah dari dasar atas batang histogram.
Dengan memberikan m nilai yang berbeda dari 0 hingga z, diperoleh probabilitas PQ, P RF - Pp, yang diplot pada grafik. Diberikan r; i11, buat poligon dari distribusi probabilitas.
Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah korespondensi antara nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Hukum dapat ditentukan secara tabular (deret distribusi), secara grafis (poligon distribusi, dll.) dan secara analitis.
Menemukan kurva distribusi, dengan kata lain, menetapkan distribusi variabel acak itu sendiri, memungkinkan untuk menyelidiki lebih dalam fenomena tersebut, yang jauh dari sepenuhnya diungkapkan oleh deret distribusi khusus ini. Dengan menyajikan pada gambar kurva distribusi perataan yang ditemukan dan poligon distribusi yang dibangun berdasarkan populasi parsial, peneliti dapat dengan jelas melihat fitur karakteristik yang melekat pada fenomena yang diteliti. Karena itu, analisis statistik menahan perhatian peneliti pada penyimpangan data yang diamati dari beberapa perubahan reguler dalam fenomena, dan peneliti menghadapi tugas untuk menemukan penyebab penyimpangan ini.
Kemudian, absis (pada skala) diambil dari tengah interval, sesuai dengan jumlah bulan dengan aliran dalam interval ini. Ujung-ujung absis ini terhubung dan, dengan demikian, poligon, atau poligon distribusi, diperoleh.
Titik-titik yang memberikan representasi grafis dari hukum distribusi variabel acak diskrit pada bidang koordinat nilai nilai - probabilitas nilai, biasanya dihubungkan oleh segmen garis dan gambar geometris yang dihasilkan disebut poligon distribusi. pada gambar. 3 pada Tabel 46 (serta pada Gambar 4 dan 5) hanya menunjukkan poligon distribusi.
Diskrit disebut variabel acak yang dapat mengambil nilai yang terpisah dan terisolasi dengan probabilitas tertentu.
CONTOH 1. Banyaknya kemunculan lambang dalam tiga kali pelemparan uang logam. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, probabilitasnya sama masing-masing:
P(0) = ; P(1) = ; P(2) = ; P(3) = .
CONTOH 2. Jumlah elemen gagal dalam perangkat yang terdiri dari lima elemen. Kemungkinan nilai: 0, 1, 2, 3, 4, 5; probabilitas mereka tergantung pada keandalan masing-masing elemen.
Variabel acak diskrit X dapat diberikan oleh deret distribusi atau fungsi distribusi (hukum distribusi integral).
Dekat distribusi adalah himpunan semua nilai yang mungkin Xsaya dan probabilitas yang sesuai Rsaya = P(X = xsaya), itu dapat diberikan sebagai tabel:
| x saya | x n |
|||
| p saya | p n |
Pada saat yang sama, probabilitas Rsaya memenuhi syarat
Rsaya= 1 karena 
di mana adalah jumlah nilai yang mungkin n mungkin terbatas atau tak terbatas.
Representasi grafis dari seri distribusi disebut poligon distribusi . Untuk membangunnya, nilai yang mungkin dari variabel acak ( Xsaya) diplot sepanjang sumbu-x, dan probabilitas Rsaya- sepanjang sumbu y; poin TETAPIsaya dengan koordinat ( Xaku psaya) dihubungkan dengan garis putus-putus.
fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(X), yang nilainya pada titik X sama dengan probabilitas bahwa variabel acak X akan kurang dari nilai ini X, yaitu
F(x) = P(X< х).
Fungsi F(X) untuk variabel acak diskrit dihitung dengan rumus
F(X) = Rsaya , (1.10.1)
di mana penjumlahannya adalah semua nilai saya, untuk itu Xsaya< х.
CONTOH 3. Dari batch yang berisi 100 item, di antaranya ada 10 item yang rusak, lima item dipilih secara acak untuk memeriksa kualitasnya. Buatlah deret distribusi bilangan acak X produk cacat yang terkandung dalam sampel.
Keputusan. Karena jumlah produk cacat dalam sampel dapat berupa bilangan bulat apa pun dalam kisaran dari 0 hingga 5 inklusif, nilai yang mungkin Xsaya variabel acak X adalah sama:
x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.
Kemungkinan R(X = k) bahwa dalam sampel akan persis k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produk cacat, sama dengan
P (X \u003d k) \u003d.
Sebagai hasil dari perhitungan menggunakan rumus ini dengan akurasi 0,001, kami memperoleh:
R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;
R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.
Menggunakan kesetaraan untuk memeriksa Rk=1, kami memastikan bahwa perhitungan dan pembulatan dilakukan dengan benar (lihat tabel).
| x saya | ||||||
| p saya |
CONTOH 4. Diberikan serangkaian distribusi variabel acak X :
| x saya | |||||
| p saya |
Temukan fungsi distribusi probabilitas F(X) dari variabel acak ini dan membangunnya.
Keputusan. Jika sebuah X£10 lalu F(X)= P(X<X) = 0;
jika 10<X£20 lalu F(X)= P(X<X) = 0,2 ;
jika 20<X£30 lalu F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;
jika 30<X£40 lalu F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;
jika 40<X£50 lalu F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;
jika X> 50 , maka F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.
