Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan sesuai dengan formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah. Presentasi menyajikan solusi untuk tugas C3 USE - 2014 dalam matematika.
Unduh:
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com
Teks slide:
Memecahkan pertidaksamaan logaritma yang mengandung variabel pada basis logaritma: metode, teknik, transisi setara guru matematika sekolah menengah MBOU No. 143 Knyazkina T.V.
Di antara seluruh variasi pertidaksamaan logaritmik, pertidaksamaan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan menggunakan rumus khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah: log k (x) f (x) log k (x) g (x) (f (x) g (x)) ( k ( x) 1) 0 Alih-alih kotak centang “∨”, Anda dapat memberi tanda pertidaksamaan apa pun: lebih atau kurang. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tandanya sama. Jadi kita singkirkan logaritma dan perkecil masalahnya menjadi ketidaksetaraan rasional. Yang terakhir ini jauh lebih mudah untuk dipecahkan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup dengan menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jangan lupa ODZ dari logaritma! Segala sesuatu yang berkaitan dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) 1. Keempat pertidaksamaan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika kisaran nilai yang dapat diterima ditemukan, ia tetap harus menyeberanginya dengan solusi ketidaksetaraan rasional - dan jawabannya sudah siap.
Memecahkan pertidaksamaan: Solusi Untuk memulainya, mari kita tuliskan ODZ dari logaritma.Dua pertidaksamaan pertama dilakukan secara otomatis, dan pertidaksamaan terakhir harus dicat. Karena kuadrat suatu bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri sama dengan nol, kita memiliki: x 2 + 1 1; x2 0; x 0 . Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x (−∞0)∪(0 ;+ ). Sekarang kita memecahkan pertidaksamaan utama: Kita melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asal terdapat tanda “kurang dari”, maka pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus dengan tanda “kurang dari”.
Kami memiliki: (10 (x 2 + 1)) (x 2 + 1 1)
Mengonversi pertidaksamaan logaritmik Seringkali pertidaksamaan asal berbeda dengan pertidaksamaan di atas. Ini mudah diperbaiki menggunakan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma. Yaitu: Setiap nomor dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis yang diberikan; Jumlah dan selisih logaritma dengan basis yang sama dapat diganti dengan logaritma tunggal. Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan asli, maka diperlukan untuk menemukan DPV dari masing-masingnya. Jadi, skema umum untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma adalah sebagai berikut: Carilah ODZ untuk setiap logaritma yang termasuk dalam pertidaksamaan tersebut; Kurangi pertidaksamaan ke standar menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan logaritma; Selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan sesuai dengan skema di atas.
Memecahkan pertidaksamaan: Solusi Mari kita cari domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama: Kita selesaikan dengan metode interval. Tentukan nol pembilangnya: 3 x 2 = 0; x = 2/3. Kemudian - penyebut nol: x 1 = 0; x = 1. Kami menandai nol dan tanda pada garis koordinat:
Kami mendapatkan x (−∞ 2/3) (1; +∞). Logaritma kedua dari ODZ akan sama. Jika Anda tidak percaya saya, Anda dapat memeriksa. Sekarang mari kita ubah logaritma kedua sehingga ada dua di pangkalan: Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan di depan logaritma telah dikurangi. Dapatkan dua logaritma dengan basis yang sama. Jumlahkan: log 2 (x 1) 2
(f (x) g (x)) (k (x) 1)
Kami tertarik pada perpotongan himpunan, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan: x (−1; 2/3) (1; 3) - semua titik tertusuk. Jawaban: x (−1; 2/3)∪(1; 3)
Menyelesaikan tugas Unified State Exam-2014 tipe C3
Memecahkan sistem pertidaksamaan Solusi. ODZ: 1) 2)
Memecahkan sistem pertidaksamaan 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + (lanjutan)
Memecahkan sistem pertidaksamaan 4) Solusi umum: dan -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (lanjutan)
Selesaikan pertidaksamaan (lanjutan) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Memecahkan solusi pertidaksamaan. ODZ:
Memecahkan ketidaksetaraan (lanjutan)
Memecahkan solusi pertidaksamaan. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Solusi dari pertidaksamaan dan pertidaksamaan logaritma paling sederhana, di mana basis logaritmanya tetap, kita bahas dalam pelajaran terakhir.
Tetapi bagaimana jika basis logaritma adalah variabel?
Maka kita akan datang untuk menyelamatkan rasionalisasi ketidaksetaraan. Untuk memahami cara kerjanya, mari kita pertimbangkan, misalnya, ketidaksetaraan:
$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$
Seperti yang diharapkan, mari kita mulai dengan ODZ.
ODZ
$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x 1. \end(array)\right.$$
Memecahkan ketidaksetaraan
Mari kita bernalar seolah-olah kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan dengan basis tetap. Jika basis lebih besar dari satu, kita singkirkan logaritma, dan tanda pertidaksamaan tidak berubah, jika kurang dari satu, itu berubah.
Mari kita tulis sebagai sebuah sistem:
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Untuk alasan lebih lanjut, kami memindahkan semua sisi kanan pertidaksamaan ke kiri.
$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \kiri\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Apa yang kami dapatkan? Ternyata kita membutuhkan ekspresi `2x-1` dan `x^2 - x` untuk menjadi positif atau negatif pada saat yang bersamaan. Hasil yang sama akan diperoleh jika kita menyelesaikan pertidaksamaan:
$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$
Pertidaksamaan ini, seperti sistem aslinya, adalah benar jika kedua faktornya positif atau negatif. Ternyata dimungkinkan untuk beralih dari ketidaksetaraan logaritmik ke pertidaksamaan rasional (dengan mempertimbangkan ODZ).
Mari kita merumuskan metode rasionalisasi pertidaksamaan logaritma$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Panah kiri (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ di mana `\vee` adalah tanda pertidaksamaan. (Untuk tanda `>`, kami baru saja memeriksa validitas rumusnya. Selebihnya, saya sarankan untuk memeriksanya sendiri - dengan cara ini Anda akan mengingatnya dengan lebih baik).
Mari kita kembali ke solusi ketidaksetaraan kita. Memperluas ke dalam tanda kurung (untuk lebih melihat nol fungsi), kita mendapatkan
$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$
Metode interval akan memberikan gambaran sebagai berikut:
(Karena ketidaksetaraan ketat dan ujung interval tidak menarik bagi kita, mereka tidak diisi.) Seperti dapat dilihat, interval yang diperoleh memenuhi ODZ. Mendapat jawabannya: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.
Contoh kedua. Penyelesaian pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel
$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$
ODZ
$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$
$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\kanan.$$
Memecahkan ketidaksetaraan
Menurut aturan yang baru saja kita peroleh rasionalisasi pertidaksamaan logaritmik, kita peroleh bahwa pertidaksamaan ini identik (dengan memperhitungkan ODZ) sebagai berikut:
$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$
$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$
Menggabungkan solusi ini dengan ODZ, kami mendapatkan jawabannya: `(1,2)`.
Contoh ketiga. Logaritma pecahan
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$
ODZ
$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $
Karena sistemnya relatif kompleks, mari kita segera plot solusi pertidaksamaan pada garis bilangan:
Jadi, ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.
Memecahkan ketidaksetaraan
Mari kita nyatakan `-1` sebagai logaritma dengan basis `x`.
$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$
Melalui rasionalisasi pertidaksamaan logaritma kita mendapatkan pertidaksamaan rasional:
$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\kanan)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\kanan)\leqslant0,$$
$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\kanan)\leqslant0.$$
Apakah Anda pikir masih ada waktu sebelum ujian, dan Anda akan punya waktu untuk bersiap? Mungkin begitu. Tetapi bagaimanapun juga, semakin dini siswa memulai pelatihan, semakin berhasil ia lulus ujian. Hari ini kami memutuskan untuk mendedikasikan sebuah artikel untuk ketidaksetaraan logaritmik. Ini adalah salah satu tugas, yang berarti kesempatan untuk mendapatkan poin tambahan.
Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma (log)? Kami sangat berharap demikian. Tetapi bahkan jika Anda tidak memiliki jawaban untuk pertanyaan ini, itu tidak masalah. Sangat mudah untuk memahami apa itu logaritma.
Kenapa tepatnya 4? Anda perlu menaikkan angka 3 menjadi kekuatan seperti itu untuk mendapatkan 81. Ketika Anda memahami prinsipnya, Anda dapat melanjutkan ke perhitungan yang lebih kompleks.
Anda melewati ketidaksetaraan beberapa tahun yang lalu. Dan sejak itu, Anda terus-menerus bertemu dengan mereka dalam matematika. Jika Anda mengalami masalah dalam memecahkan ketidaksetaraan, lihat bagian yang sesuai.
Sekarang, ketika kita telah berkenalan dengan konsep-konsep secara terpisah, kita akan beralih ke pertimbangan mereka secara umum.
Pertidaksamaan logaritma paling sederhana.
Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana tidak terbatas pada contoh ini, ada tiga lagi, hanya dengan tanda yang berbeda. Mengapa ini dibutuhkan? Untuk lebih memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan logaritma. Sekarang kami memberikan contoh yang lebih dapat diterapkan, masih cukup sederhana, kami meninggalkan pertidaksamaan logaritmik yang kompleks untuk nanti.
Bagaimana cara mengatasinya? Semuanya dimulai dengan ODZ. Anda harus tahu lebih banyak tentangnya jika Anda ingin selalu menyelesaikan ketidaksetaraan dengan mudah.
Apa itu ODZ? DPV untuk pertidaksamaan logaritmik
Singkatan singkatan dari rentang nilai yang valid. Dalam tugas untuk ujian, kata-kata ini sering muncul. DPV berguna bagi Anda tidak hanya dalam kasus pertidaksamaan logaritmik.
Perhatikan kembali contoh di atas. Kami akan mempertimbangkan ODZ berdasarkan itu, sehingga Anda memahami prinsipnya, dan solusi pertidaksamaan logaritmik tidak menimbulkan pertanyaan. Ini mengikuti dari definisi logaritma bahwa 2x+4 harus lebih besar dari nol. Dalam kasus kami, ini berarti sebagai berikut.
Angka ini harus positif menurut definisi. Selesaikan pertidaksamaan yang disajikan di atas. Ini bahkan dapat dilakukan secara lisan, di sini jelas bahwa X tidak boleh kurang dari 2. Penyelesaian pertidaksamaan akan menjadi definisi kisaran nilai yang dapat diterima.
Sekarang mari kita beralih ke penyelesaian pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana.
Kami membuang logaritma itu sendiri dari kedua bagian pertidaksamaan. Apa yang tersisa untuk kita sebagai hasilnya? ketidaksetaraan sederhana.
Sangat mudah untuk memecahkan. X harus lebih besar dari -0,5. Sekarang kita gabungkan kedua nilai yang diperoleh ke dalam sistem. Dengan demikian,
Ini akan menjadi wilayah nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan logaritmik yang dipertimbangkan.
Mengapa ODZ dibutuhkan sama sekali? Ini adalah kesempatan untuk menyingkirkan jawaban yang salah dan tidak mungkin. Jika jawabannya tidak dalam kisaran nilai yang dapat diterima, maka jawabannya tidak masuk akal. Ini perlu diingat untuk waktu yang lama, karena dalam ujian sering ada kebutuhan untuk mencari ODZ, dan ini tidak hanya menyangkut ketidaksetaraan logaritmik.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma
Solusinya terdiri dari beberapa langkah. Pertama, perlu untuk menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Akan ada dua nilai di ODZ, kami mempertimbangkan ini di atas. Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- metode penggantian pengganda;
- penguraian;
- metode rasionalisasi.
Tergantung pada situasinya, salah satu metode di atas harus digunakan. Langsung saja kita ke solusinya. Kami akan mengungkapkan metode paling populer yang cocok untuk menyelesaikan tugas USE di hampir semua kasus. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan metode dekomposisi. Ini dapat membantu jika Anda menemukan ketidaksetaraan yang "rumit". Jadi, algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
Contoh solusi :
Tidak sia-sia bahwa kami mengambil ketidaksetaraan seperti itu! Perhatikan pangkalan. Ingat: jika lebih besar dari satu, tandanya tetap sama ketika menemukan rentang nilai yang valid; jika tidak, tanda pertidaksamaan harus diubah.
Akibatnya, kita mendapatkan ketidaksetaraan:
Sekarang kita bawa ruas kiri ke bentuk persamaan sama dengan nol. Alih-alih tanda "kurang dari", kami menempatkan "sama", kami menyelesaikan persamaan. Dengan demikian, kita akan menemukan ODZ. Kami berharap Anda tidak akan mengalami masalah dalam memecahkan persamaan sederhana seperti itu. Jawabannya adalah -4 dan -2. Itu tidak semua. Anda perlu menampilkan titik-titik ini pada grafik, tempatkan "+" dan "-". Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Substitusikan bilangan dari interval ke dalam ekspresi. Di mana nilainya positif, kami menempatkan "+" di sana.
Menjawab: x tidak boleh lebih besar dari -4 dan kurang dari -2.
Kami menemukan rentang nilai yang valid hanya untuk sisi kiri, sekarang kami perlu menemukan rentang nilai yang valid untuk sisi kanan. Ini sama sekali tidak mudah. Jawaban: -2. Kami memotong kedua area yang diterima.
Dan baru sekarang kita mulai menyelesaikan ketidaksetaraan itu sendiri.
Mari kita sederhanakan sebanyak mungkin untuk membuatnya lebih mudah untuk memutuskan.
Kami kembali menggunakan metode interval dalam solusi. Mari kita lewati perhitungan, dengan dia semuanya sudah jelas dari contoh sebelumnya. Menjawab.
Tetapi metode ini cocok jika pertidaksamaan logaritmik memiliki basis yang sama.
Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik dengan basis yang berbeda melibatkan pengurangan awal menjadi satu basis. Kemudian gunakan cara di atas. Tetapi ada juga kasus yang lebih rumit. Pertimbangkan salah satu jenis pertidaksamaan logaritmik yang paling kompleks.
Pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel
Bagaimana memecahkan ketidaksetaraan dengan karakteristik seperti itu? Ya, dan itu dapat ditemukan dalam ujian. Memecahkan ketidaksetaraan dengan cara berikut juga akan memiliki efek menguntungkan pada proses pendidikan Anda. Mari kita lihat masalah ini secara detail. Mari kita kesampingkan teori dan langsung praktik. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, cukup membiasakan diri dengan contoh.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dari bentuk yang disajikan, perlu untuk mengurangi sisi kanan ke logaritma dengan basis yang sama. Prinsipnya menyerupai transisi ekuivalen. Akibatnya, ketidaksetaraan akan terlihat seperti ini.
Sebenarnya, tetap menciptakan sistem pertidaksamaan tanpa logaritma. Dengan menggunakan metode rasionalisasi, kita beralih ke sistem pertidaksamaan yang ekuivalen. Anda akan memahami aturan itu sendiri ketika Anda mengganti nilai yang sesuai dan mengikuti perubahannya. Sistem akan memiliki ketidaksetaraan berikut.
Menggunakan metode rasionalisasi saat menyelesaikan pertidaksamaan, Anda perlu mengingat hal berikut: Anda perlu mengurangi satu dari basis, x, menurut definisi logaritma, dikurangi dari kedua bagian pertidaksamaan (kanan dari kiri), keduanya ekspresi dikalikan dan diatur di bawah tanda asli relatif terhadap nol.
Solusi lebih lanjut dilakukan dengan metode interval, semuanya sederhana di sini. Penting bagi Anda untuk memahami perbedaan dalam metode solusi, maka semuanya akan mulai bekerja dengan mudah.
Ada banyak nuansa dalam pertidaksamaan logaritmik. Yang paling sederhana dari mereka cukup mudah untuk dipecahkan. Bagaimana membuatnya sehingga untuk menyelesaikan masing-masing tanpa masalah? Anda telah menerima semua jawaban di artikel ini. Sekarang Anda memiliki latihan yang panjang di depan Anda. Terus berlatih memecahkan berbagai masalah dalam ujian dan Anda akan bisa mendapatkan nilai tertinggi. Semoga berhasil dalam pekerjaan sulit Anda!
Dengan mereka berada di dalam logaritma.
Contoh:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma:
Setiap pertidaksamaan logaritma harus direduksi menjadi bentuk \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbol \(˅\) berarti salah satu dari ). Formulir ini memungkinkan kita untuk menghilangkan logaritma dan basisnya dengan meneruskan ke ketidaksetaraan ekspresi di bawah logaritma, yaitu ke bentuk \(f(x) g(x)\).
Tetapi ketika melakukan transisi ini, ada satu kehalusan yang sangat penting:
\(-\) jika - angka dan lebih besar dari 1 - tanda pertidaksamaan tetap sama selama transisi,
\(-\) jika basis adalah bilangan yang lebih besar dari 0 tetapi kurang dari 1 (antara nol dan satu), maka tanda pertidaksamaan harus dibalik, yaitu.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Keputusan: |
\(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ satu)))\) Keputusan: |
Sangat penting! Dalam pertidaksamaan apapun, transisi dari bentuk \(\log_a(f(x)) \log_a(g(x))\) untuk membandingkan ekspresi di bawah logaritma hanya dapat dilakukan jika:
Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log\)\(≤-1\)
Keputusan:
|
\(\catatan\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Mari kita tuliskan ODZ-nya. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Kami membuka tanda kurung, berikan . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Kami mengalikan pertidaksamaan dengan \(-1\), dengan mengingat untuk membalikkan tanda perbandingan. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Mari kita buat garis bilangan dan tandai titik \(\frac(7)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) di atasnya. Perhatikan bahwa titik dari penyebut ditusuk, meskipun fakta bahwa ketidaksetaraan tidak ketat. Faktanya adalah titik ini tidak akan menjadi solusi, karena ketika disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan, itu akan membawa kita ke pembagian dengan nol. |
|
|
Sekarang kami memplot ODZ pada sumbu numerik yang sama dan menuliskan sebagai respons interval yang jatuh ke ODZ. |
|
|
Tuliskan jawaban akhir. |
Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Keputusan:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Mari kita tuliskan ODZ-nya. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Mari kita ke keputusan. |
|
Solusi: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Di depan kita adalah pertidaksamaan kuadrat-logaritmik yang khas. Kami melakukannya. |
|
\(t=\log_3x\) |
Perluas ruas kiri pertidaksamaan menjadi . |
|
\(H=1+8=9\) |
|
|
Sekarang Anda harus kembali ke variabel asli - x. Untuk melakukan ini, kami meneruskan ke , yang memiliki solusi yang sama, dan membuat substitusi terbalik. |
|
|
\(\kiri[ \begin(berkumpul) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformasikan \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(berkumpul) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Mari kita beralih ke membandingkan argumen. Basis logaritma lebih besar dari \(1\), sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah. |
|
\(\kiri[ \begin(berkumpul) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Mari gabungkan solusi pertidaksamaan dan ODZ dalam satu gambar. |
|
|
Ayo tuliskan jawabannya. |
KETIMPANGAN LOGARITMI DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan "Pencari"
MBOU "Sekolah menengah Soviet No. 1", kelas 11, kota. Sovietsky Distrik Soviet
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru MBOU "sekolah menengah Soviet No. 1"
Distrik Sovietsky
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritma C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.
Subjek studi:
3) Belajar memecahkan pertidaksamaan logaritmik C3 spesifik menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Isi
Pendahuluan……………………………………………………………………………….4
Bab 1. Latar Belakang……………………………………………………….5
Bab 2. Kumpulan Pertidaksamaan Logaritma ………………………… 7
2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval…………… 7
2.2. Metode Rasionalisasi ………………………………………………… 15
2.3. Substitusi non-standar…………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Tugas dengan jebakan…………………………………………………… 27
Kesimpulan……………………………………………………………………… 30
Literatur……………………………………………………………………. 31
pengantar
Saya di kelas 11 dan saya berencana untuk masuk universitas di mana matematika adalah mata pelajaran inti. Dan itulah mengapa saya banyak mengerjakan tugas bagian C. Dalam tugas C3, Anda perlu menyelesaikan ketidaksetaraan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya mengalami masalah kurangnya metode dan teknik untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah tentang topik ini tidak memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 sendiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah ada logaritma dalam hidup kita?
Dengan pertimbangan ini, tema dipilih:
"Persamaan logaritma dalam ujian"
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan masalah C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.
Subjek studi:
1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.
3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Signifikansi praktis terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk melakukan lingkaran, kelas opsional dalam matematika.
Produk proyek akan menjadi kumpulan "Pertidaksamaan logaritmik C3 dengan solusi".
Bab 1. Latar Belakang
Selama abad ke-16, jumlah perkiraan perhitungan meningkat pesat, terutama dalam astronomi. Peningkatan instrumen, studi tentang pergerakan planet, dan pekerjaan lain membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya nyata tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan juga muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi, diperlukan tabel bunga majemuk untuk berbagai nilai persentase. Kesulitan utama adalah perkalian, pembagian angka multi-digit, terutama jumlah trigonometri.
Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat progresi yang terkenal pada akhir abad ke-16. Archimedes berbicara tentang hubungan antara anggota deret geometri q, q2, q3, ... dan deret aritmatika indikator mereka 1, 2, 3, ... di Psalmite. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat ke pangkat negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, pangkat, dan ekstraksi akar secara eksponensial sesuai dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - dengan penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Berikut adalah ide logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma, beberapa tahapan telah dilalui.
Tahap 1
Logaritma ditemukan paling lambat 1594 secara independen oleh baron Skotlandia Napier (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Burgi (1552-1632). Keduanya ingin memberikan cara baru yang nyaman untuk perhitungan aritmatika, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis mengekspresikan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi yang baru. Bürgi tetap atas dasar pertimbangan progresi diskrit. Namun, definisi logaritma untuk keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "jumlah", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artificiales - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".
Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan untuk mengambil nol untuk logaritma satu, dan 100 untuk logaritma sepuluh, atau, berapa jumlah yang sama , hanya 1. Ini adalah bagaimana logaritma desimal dan Tabel logaritma pertama dicetak. Kemudian, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku dan matematikawan Belanda Andrian Flakk (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka datang ke logaritma sebelum orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda-tanda log dan log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659, diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Spadel menerbitkan tabel-tabel logaritma natural dari angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".
Di Rusia, tabel logaritmik pertama diterbitkan pada 1703. Namun di semua tabel logaritmik, terjadi kesalahan dalam perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin dalam pemrosesan matematikawan Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Tahap 2
Pengembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan aplikasi geometri analitik yang lebih luas dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural telah dibuat. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah matematikawan.
Ahli matematika, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam esainya
"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan ekspansi ln(x + 1) dalam bentuk
kekuatan x:
Ungkapan ini sesuai persis dengan jalan pikirannya, meskipun, tentu saja, dia tidak menggunakan tanda d, ..., tetapi simbol yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya "Matematika dasar dari sudut pandang yang lebih tinggi", yang dibaca pada tahun 1907-1908, F. Klein menyarankan penggunaan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.
Tahap 3
Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi dari invers
eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis yang diberikan
tidak segera dirumuskan. Karya Leonhard Euler (1707-1783)
"Pengantar analisis infinitesimals" (1748) berfungsi sebagai lebih lanjut
pengembangan teori fungsi logaritma. Dengan demikian,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan
(dihitung dari 1614) sebelum matematikawan menemukan definisi
konsep logaritma, yang sekarang menjadi dasar kursus sekolah.
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma
2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval.
Transisi yang setara
jika a > 1
jika 0 <
а <
1
Metode interval umum
Metode ini adalah yang paling universal dalam memecahkan ketidaksetaraan dari hampir semua jenis. Skema solusi terlihat seperti ini:
1. Bawa pertidaksamaan ke bentuk seperti itu, di mana fungsinya terletak di sisi kiri 
, dan 0 di sebelah kanan.
2. Temukan ruang lingkup fungsi .
3. Temukan nol dari suatu fungsi , yaitu, selesaikan persamaan 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).
4. Gambarkan domain definisi dan nol dari fungsi tersebut pada garis nyata.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi pada interval yang diterima.
6. Pilih interval di mana fungsi mengambil nilai yang diperlukan, dan tuliskan jawabannya.
Contoh 1
Keputusan:
Terapkan metode interval
di mana
Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.
Menjawab:
Contoh 2
Keputusan:
1 jalan . ODZ ditentukan oleh pertidaksamaan x> 3. Mengambil logaritma untuk itu x di basis 10, kita dapatkan
Pertidaksamaan terakhir dapat diselesaikan dengan menerapkan aturan dekomposisi, yaitu membandingkan faktor dengan nol. Namun, dalam hal ini mudah untuk menentukan interval kekonstanan fungsi
sehingga metode interval dapat diterapkan.
Fungsi f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinu untuk x> 3 dan menghilang di titik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Jadi, kami menentukan interval kekonstanan fungsi f(x):
Menjawab:
cara ke-2 . Mari kita terapkan ide-ide metode interval langsung ke pertidaksamaan asli.
Untuk ini, kita ingat bahwa ekspresi sebuah b- sebuah c dan ( sebuah - 1)(b- 1) memiliki satu tanda. Maka pertidaksamaan kita untuk x> 3 sama dengan pertidaksamaan
atau
Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan metode interval
Menjawab:
Contoh 3
Keputusan:
Terapkan metode interval
Menjawab:
Contoh 4
Keputusan:
Sejak 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 untuk semua nyata x, kemudian
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua, kami menggunakan metode interval
Pada pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya
maka kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.
Dari mana, karena
kita mendapatkan ketidaksetaraan
yang dilakukan dengan x, untuk 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi dari pertidaksamaan kedua dari sistem, kita akhirnya memperoleh
Menjawab:
Contoh 5
Keputusan:
Ketimpangan setara dengan seperangkat sistem
atau
Terapkan metode interval atau
Menjawab:
Contoh 6
Keputusan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem
Biarlah
kemudian kamu > 0,
dan pertidaksamaan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, memperluas
trinomial kuadrat untuk faktor,
Menerapkan metode interval ke pertidaksamaan terakhir,
kita melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.
Jadi, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan sistem:
Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah semua
2.2. metode rasionalisasi.
Sebelumnya, metode rasionalisasi ketidaksetaraan tidak diselesaikan, tidak diketahui. Ini adalah "metode baru yang efektif dan modern untuk memecahkan pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik" (dikutip dari buku oleh Kolesnikova S.I.)
Dan bahkan jika guru mengenalnya, ada ketakutan - tetapi apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswa: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduklah - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan di mana-mana. Dan untuk para ahli, ada pedoman yang terkait dengan metode ini, dan dalam "Edisi paling lengkap dari opsi standar ..." dalam solusi C3, metode ini digunakan.
METODENYA BAGUS!
"Meja Ajaib"
Di sumber lain
jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
jika a >1 dan 0 jika 0<sebuah<1 и b
>1, lalu log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<sebuah<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Alasan di atas sederhana, tetapi sangat menyederhanakan solusi pertidaksamaan logaritmik. Contoh 4
log x (x 2 -3)<0
Keputusan:
Contoh 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Keputusan: Contoh 6
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita tulis (x-1-1) (x-1) sebagai ganti penyebut, dan hasil kali (x-1) (x-3-9 + x) sebagai ganti pembilang. Contoh 7
Contoh 8
2.3. Substitusi non-standar. Contoh 1
Contoh 2
Contoh 3
Contoh 4
Contoh 5
Contoh 6
Contoh 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Mari kita buat substitusi y=3 x -1; maka pertidaksamaan ini berbentuk log 4 log 0,25 Sebagai log 0.25 Mari kita buat penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0, solusinya adalah interval - Jadi, untuk menemukan nilai y, kami memiliki dua pertidaksamaan paling sederhana Oleh karena itu, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial, Solusi dari pertidaksamaan pertama dari himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8
Keputusan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem Penyelesaian pertidaksamaan kedua, yang menentukan ODZ, adalah himpunan dari pertidaksamaan tersebut x,
untuk itu x > 0.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya Maka kita mendapatkan pertidaksamaan atau Himpunan solusi dari pertidaksamaan terakhir ditemukan dengan metode interval: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kita mendapatkan atau Banyak dari mereka x, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir milik ODZ ( x> 0), oleh karena itu, adalah solusi untuk sistem, dan karenanya ketidaksetaraan asli. Menjawab: 2.4. Tugas dengan perangkap. Contoh 1
Keputusan. ODZ dari pertidaksamaan adalah semua x memenuhi kondisi 0 Contoh 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Menjawab. (0; 0,5) U .
Menjawab :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y .
Solusi dari himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.
yaitu agregat 
. Jadi, pertidaksamaan asli berlaku untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh karena itu, semua x dari interval 0
Kesimpulan
Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai macam sumber pendidikan yang berbeda. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak ada dalam kurikulum sekolah.
Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya memecahkan 27 ketidaksetaraan yang ditawarkan di USE di bagian C, yaitu C3. Ketidaksetaraan dengan solusi dengan metode ini membentuk dasar dari kumpulan "Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi", yang menjadi produk proyek dari aktivitas saya. Hipotesis yang saya kemukakan di awal proyek terbukti: masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika metode ini diketahui.
Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Itu menarik bagi saya untuk melakukannya. Produk proyek saya akan berguna bagi siswa dan guru.
Temuan:
Dengan demikian, tujuan proyek tercapai, masalahnya terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman paling lengkap dan serbaguna dalam aktivitas proyek di semua tahap pekerjaan. Selama mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, kegiatan yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.
Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya telah menjadi: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan untuk mengekstrak informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, memberi peringkat menurut signifikansinya.
Selain pengetahuan mata pelajaran matematika secara langsung, ia memperluas keterampilan praktisnya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan dan kemampuan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.
literatur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem ketidaksetaraan dengan satu variabel (tugas khas C3).
2. Malkova A. G. Mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam Matematika.
3. S. S. Samarova, Solusi pertidaksamaan logaritma.
4. Matematika. Kumpulan karya pelatihan yang diedit oleh A.L. Semyonov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-
