Sejumlah hasil yang melekat dalam tindakan ini dapat dicatat. Hasil ini disebut sifat-sifat penjumlahan bilangan asli. Pada artikel ini, kami akan menganalisis secara rinci sifat-sifat penambahan bilangan asli, menulisnya menggunakan huruf dan memberikan contoh penjelasan.

Navigasi halaman.

Sifat asosiatif penjumlahan bilangan asli.

Sekarang kami memberikan contoh yang menggambarkan sifat asosiatif penjumlahan bilangan asli.

Bayangkan sebuah situasi: 1 apel jatuh dari pohon apel pertama, dan 2 apel dan 4 apel lagi jatuh dari pohon apel kedua. Sekarang perhatikan situasi berikut: 1 apel dan 2 apel lagi jatuh dari pohon apel pertama, dan 4 apel jatuh dari pohon apel kedua. Jelas bahwa jumlah apel yang sama akan berada di tanah dalam kasus pertama dan kedua (yang dapat diverifikasi dengan perhitungan ulang). Artinya, hasil penjumlahan angka 1 dengan jumlah angka 2 dan 4 sama dengan hasil penjumlahan angka 1 dan 2 dengan angka 4.

Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk merumuskan properti asosiatif dari penambahan bilangan asli: untuk menambahkan jumlah tertentu dari dua angka ke nomor tertentu, Anda dapat menambahkan suku pertama dari jumlah ini ke nomor ini dan menambahkan suku kedua dari jumlah ini dengan hasil yang diperoleh. Properti ini dapat ditulis menggunakan huruf seperti ini: a+(b+c)=(a+b)+c, di mana a , b dan c adalah bilangan asli arbitrer.

Harap perhatikan bahwa dalam persamaan a+(b+c)=(a+b)+c ada tanda kurung "(" dan ")". Tanda kurung digunakan dalam ekspresi untuk menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan - tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu (lebih lanjut tentang ini di bagian). Dengan kata lain, tanda kurung mengapit ekspresi yang nilainya dievaluasi terlebih dahulu.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa sifat asosiatif dari penambahan memungkinkan kami untuk secara unik menentukan penambahan tiga, empat, dan lebih banyak bilangan asli.

Properti menambahkan nol dan bilangan asli, properti menambahkan nol ke nol.

Kita tahu bahwa nol BUKAN bilangan asli. Jadi mengapa kami memutuskan untuk mempertimbangkan properti penjumlahan nol dan bilangan asli dalam artikel ini? Ada tiga alasan untuk ini. Pertama: properti ini digunakan saat menambahkan bilangan asli dalam kolom. Kedua: properti ini digunakan saat mengurangkan bilangan asli. Ketiga: jika kita menganggap bahwa nol berarti tidak adanya sesuatu, maka arti penjumlahan nol dan bilangan asli sama dengan arti penjumlahan dua bilangan asli.

Mari kita lakukan penalaran yang akan membantu kita merumuskan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli. Bayangkan bahwa tidak ada item di dalam kotak (dengan kata lain, ada 0 item di dalam kotak), dan sebuah item ditempatkan di dalamnya, di mana a adalah bilangan asli apa pun. Artinya, ditambahkan 0 dan item. Jelas bahwa setelah tindakan ini ada item di dalam kotak. Oleh karena itu, persamaan 0+a=a adalah benar.

Demikian pula, jika sebuah kotak berisi item dan 0 item ditambahkan ke dalamnya (yaitu, tidak ada item yang ditambahkan), maka setelah tindakan ini, item akan berada di dalam kotak. Jadi a+0=a .

Sekarang kita dapat menyatakan sifat penjumlahan nol dan bilangan asli: jumlah dua angka, salah satunya adalah nol, sama dengan angka kedua. Secara matematis, sifat ini dapat dituliskan sebagai persamaan berikut: 0+a=a atau a+0=a, di mana a adalah bilangan asli arbitrer.

Secara terpisah, kami memperhatikan fakta bahwa ketika menambahkan bilangan asli dan nol, sifat komutatif dari penambahan tetap benar, yaitu, a+0=0+a .

Akhirnya, kami merumuskan properti penjumlahan nol-nol (cukup jelas dan tidak memerlukan komentar tambahan): jumlah dua bilangan yang masing-masing nol adalah nol. Yaitu, 0+0=0 .

Sekarang saatnya untuk mencari tahu bagaimana penambahan bilangan asli dilakukan.

Bibliografi.

• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 1, 2, 3, 4 lembaga pendidikan.
• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk 5 kelas lembaga pendidikan.

Topik yang dikhususkan untuk pelajaran ini adalah "Sifat Penjumlahan." Di dalamnya, Anda akan berkenalan dengan sifat komutatif dan asosiatif penjumlahan, memeriksanya dengan contoh-contoh spesifik. Cari tahu kapan Anda dapat menggunakannya untuk mempermudah proses penghitungan. Kasus uji akan membantu menentukan seberapa baik Anda telah mempelajari materi.

Pelajaran: Properti Tambahan

Perhatikan baik-baik ekspresinya:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Kita perlu menemukan nilainya. Ayo lakukan.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Hasil dari ekspresi 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Katakan padaku, apakah nyaman untuk menghitung? Menghitung sangat tidak nyaman. Lihat lagi angka-angka dalam ungkapan ini. Apakah mungkin untuk menukarnya sehingga perhitungannya lebih nyaman?

Jika kita mengatur ulang angka secara berbeda:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Hasil akhir dari ekspresi adalah 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Kami melihat bahwa hasil ekspresinya sama.

Istilah dapat dipertukarkan jika nyaman untuk perhitungan, dan nilai jumlah tidak akan berubah dari ini.

Ada hukum dalam matematika: Hukum penjumlahan komutatif. Dikatakan bahwa jumlahnya tidak berubah dari penataan ulang istilah.

Paman Fyodor dan Sharik berdebat. Sharik menemukan nilai ekspresi seperti yang tertulis, dan Paman Fyodor mengatakan bahwa dia tahu cara lain yang lebih nyaman untuk menghitung. Apakah Anda melihat cara yang lebih nyaman untuk menghitung?

Bola memecahkan ekspresi seperti yang tertulis. Dan Paman Fyodor mengatakan bahwa dia tahu hukum yang memungkinkan Anda untuk mengubah persyaratan, dan menukar angka 25 dan 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Kami melihat bahwa hasilnya tetap sama, tetapi perhitungannya menjadi jauh lebih mudah.

Perhatikan ungkapan berikut dan bacalah.

6 + (24 + 51) = 81 (untuk 6 jumlahkan 24 dan 51)
Apakah ada cara yang nyaman untuk menghitung?
Kita melihat bahwa jika kita menambahkan 6 dan 24, kita mendapatkan angka bulat. Itu selalu lebih mudah untuk menambahkan sesuatu ke angka bulat. Ambil dalam kurung jumlah angka 6 dan 24.
(6 + 24) + 51 = …
(jumlahkan 51 dengan jumlah angka 6 dan 24)

Mari kita hitung nilai ekspresi dan lihat apakah nilai ekspresi telah berubah?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Kami melihat bahwa nilai ekspresi tetap sama.

Mari kita berlatih dengan satu contoh lagi.

(27 + 19) + 1 = 47 (jumlahkan 1 dengan jumlah angka 27 dan 19)
Angka-angka apa yang dapat dengan mudah dikelompokkan sedemikian rupa sehingga diperoleh cara yang nyaman?
Anda menebak bahwa ini adalah angka 19 dan 1. Mari kita jumlahkan angka 19 dan 1 dalam tanda kurung.
27 + (19 + 1) = …
(untuk 27 jumlahkan angka 19 dan 1)
Mari kita cari nilai dari ekspresi ini. Kita ingat bahwa tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Arti dari ekspresi kita tetap sama.

Hukum asosiatif penjumlahan: dua suku yang berdekatan dapat diganti dengan jumlah mereka.

Sekarang mari kita berlatih menggunakan kedua hukum tersebut. Kita perlu menghitung nilai ekspresi:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Pertama, kita menggunakan sifat komutatif dari penjumlahan, yang memungkinkan kita untuk menukar suku-suku. Mari kita tukar istilah 14 dan 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Sekarang kita menggunakan sifat asosiatif, yang memungkinkan kita mengganti dua suku bertetangga dengan jumlah mereka.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Pertama, kita cari nilai jumlah 38 dan 2.

Sekarang jumlahnya adalah 14 dan 6.

3. Festival ide pedagogis "Pelajaran Terbuka" ().

lakukan di rumah

1. Hitung jumlah suku dengan cara yang berbeda:

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. Hitung hasil ekspresi:

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. Hitung jumlahnya dengan cara yang nyaman:

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13

Jadi, secara umum, pengurangan bilangan asli TIDAK memiliki sifat komutatif. Mari kita tulis pernyataan ini dalam huruf. Jika a dan b adalah bilangan asli yang tidak sama, maka a−b≠b−a. Misalnya, 45−21≠21−45 .

Sifat pengurangan jumlah dua bilangan dari bilangan asli.

Properti berikutnya terkait dengan pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli. Mari kita lihat contoh yang akan memberi kita pemahaman tentang properti ini.

Bayangkan kita memiliki 7 koin di tangan kita. Pertama-tama kami memutuskan untuk menyimpan 2 koin, tetapi berpikir bahwa ini tidak akan cukup, kami memutuskan untuk menyimpan satu koin lagi. Berdasarkan pengertian penjumlahan bilangan asli, dapat dikatakan bahwa dalam kasus ini kita memutuskan untuk menyimpan jumlah uang logam, yang ditentukan oleh jumlah 2 + 1. Jadi, kami mengambil dua koin, menambahkan satu koin lagi dan memasukkannya ke dalam celengan. Dalam hal ini, jumlah koin yang tersisa di tangan kita ditentukan oleh selisih 7−(2+1) .

Sekarang mari kita bayangkan bahwa kita memiliki 7 koin, dan kita menaruh 2 koin di celengan, dan setelah itu - koin lain. Secara matematis, proses ini digambarkan dengan ekspresi numerik berikut: (7−2)−1 .

Jika kita menghitung koin yang tersisa di tangan, maka dalam kasus pertama dan kedua kita memiliki 4 koin. Yaitu, 7−(2+1)=4 dan (7−2)−1=4 , jadi 7−(2+1)=(7−2)−1 .

Contoh yang dipertimbangkan memungkinkan kita untuk merumuskan properti pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli yang diberikan. Untuk mengurangkan dari suatu bilangan asli, jumlah tertentu dari dua bilangan asli sama dengan mengurangkan suku pertama dari jumlah ini dari suatu bilangan asli, dan kemudian mengurangkan suku kedua dari selisih yang dihasilkan.

Ingatlah bahwa kami memberi arti pada pengurangan bilangan asli hanya untuk kasus ketika minuend lebih besar dari pengurangan, atau sama dengannya. Oleh karena itu, kita dapat mengurangkan suatu jumlah tertentu dari suatu bilangan asli yang diberikan hanya jika jumlah ini tidak lebih besar dari bilangan asli yang dikurangi. Perhatikan bahwa di bawah kondisi ini, masing-masing istilah tidak melebihi bilangan asli dari mana jumlahnya dikurangi.

Menggunakan huruf, sifat pengurangan jumlah dua angka dari bilangan asli yang diberikan ditulis sebagai persamaan a−(b+c)=(a−b)−c, di mana a , b dan c adalah beberapa bilangan asli, dan kondisi a>b+c atau a=b+c terpenuhi.

Properti yang dipertimbangkan, serta properti asosiatif dari penambahan bilangan asli, memungkinkan Anda untuk mengurangi jumlah tiga angka atau lebih dari bilangan asli yang diberikan.

Sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah dua bilangan.

Kami beralih ke properti berikutnya, yang terkait dengan pengurangan bilangan asli tertentu dari jumlah tertentu dari dua bilangan asli. Pertimbangkan contoh yang akan membantu kita "melihat" sifat pengurangan bilangan asli dari jumlah dua bilangan.

Misalkan kita memiliki 3 permen di kantong pertama, dan 5 permen di kantong kedua, dan mari kita berikan 2 permen. Kita bisa melakukan ini dengan cara yang berbeda. Mari kita bawa mereka secara bergantian.

Pertama, kita bisa memasukkan semua permen ke dalam satu saku, lalu mengeluarkan 2 permen dari sana dan memberikannya. Mari kita gambarkan tindakan ini secara matematis. Setelah kita memasukkan permen ke dalam satu kantong, jumlahnya akan ditentukan dengan jumlah 3 + 5. Nah, dari jumlah permen tersebut, kami akan memberikan 2 permen, sedangkan sisa permen yang kami miliki akan ditentukan oleh selisih berikut (3+5)−2 .

Kedua, kita bisa memberikan 2 permen dengan mengeluarkannya dari kantong pertama. Dalam hal ini, selisih 3−2 menentukan jumlah permen yang tersisa di kantong pertama, dan jumlah permen yang tersisa akan ditentukan oleh jumlah (3−2)+5 .

Ketiga, kita bisa memberikan 2 permen dari kantong kedua. Maka selisih 5−2 akan sesuai dengan jumlah sisa permen di kantong kedua, dan jumlah sisa permen akan ditentukan oleh jumlah 3+(5−2) .

Jelas bahwa dalam semua kasus kita akan memiliki jumlah permen yang sama. Oleh karena itu, persamaan (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) adalah benar.

Jika kita harus memberi bukan 2, tapi 4 permen, maka kita bisa melakukannya dengan dua cara. Pertama, berikan 4 permen, setelah sebelumnya dimasukkan ke dalam satu saku. Dalam hal ini, jumlah permen yang tersisa ditentukan oleh ekspresi seperti (3+5)−4 . Kedua, kita bisa memberikan 4 permen dari kantong kedua. Dalam hal ini, jumlah total permen memberikan jumlah berikut 3+(5−4) . Jelas bahwa dalam kasus pertama dan kedua kita akan memiliki jumlah permen yang sama, oleh karena itu, persamaan (3+5)−4=3+(5−4) adalah benar.

Setelah menganalisis hasil yang diperoleh dengan memecahkan contoh-contoh sebelumnya, kita dapat merumuskan sifat pengurangan bilangan asli yang diberikan dari jumlah dua bilangan yang diberikan. Mengurangkan bilangan asli tertentu dari jumlah dua bilangan tertentu sama dengan mengurangkan bilangan tertentu dari salah satu suku, dan kemudian menjumlahkan selisih yang dihasilkan dan suku lainnya. Perlu dicatat bahwa angka yang dikurangkan TIDAK boleh lebih besar dari suku dari mana angka ini dikurangi.

Mari kita menulis properti mengurangkan bilangan asli dari jumlah menggunakan huruf. Biarkan a , b dan c beberapa bilangan asli. Kemudian, asalkan a lebih besar dari atau sama dengan c, maka persamaan (a+b)−c=(a−c)+b, dan di bawah kondisi bahwa b lebih besar dari atau sama dengan c , persamaan (a+b)−c=a+(b−c). Jika a dan b lebih besar dari atau sama dengan c , maka kedua persamaan terakhir benar, dan dapat ditulis sebagai berikut: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Dengan analogi, seseorang dapat merumuskan sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah tiga bilangan atau lebih. Dalam hal ini, bilangan asli ini dapat dikurangkan dari suku apa pun (tentu saja, jika lebih besar dari atau sama dengan bilangan yang dikurangi), dan suku yang tersisa dapat ditambahkan ke selisih yang dihasilkan.

Untuk memvisualisasikan properti bersuara, kita dapat membayangkan bahwa kita memiliki banyak kantong, dan di dalamnya berisi permen. Misalkan kita perlu memberikan 1 permen. Jelas bahwa kita dapat memberikan 1 permen dari saku mana pun. Pada saat yang sama, tidak masalah dari kantong mana kita memberikannya, karena ini tidak mempengaruhi jumlah permen yang tersisa.

Mari kita ambil contoh. Biarkan a , b , c dan d beberapa bilangan asli. Jika a>d atau a=d , maka selisih (a+b+c)−d sama dengan jumlah (a−d)+b+c . Jika b>d atau b=d , maka (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Jika c>d atau c=d , maka persamaan (a+b+c)−d=a+b+(c−d) benar.

Perlu dicatat bahwa sifat mengurangkan bilangan asli dari jumlah tiga bilangan atau lebih bukanlah sifat baru, karena ia mengikuti sifat penjumlahan bilangan asli dan sifat mengurangkan suatu bilangan dari jumlah dua bilangan.

Bibliografi.

• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk kelas 1, 2, 3, 4 lembaga pendidikan.
• Matematika. Buku pelajaran apa saja untuk 5 kelas lembaga pendidikan.