Menurut metode ini, rata-rata dihitung menggunakan rumus berikut.
x0– nilai nol bersyarat
h– lebar interval
m 1– momen bersyarat dari orde pertama
Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen kondisional digunakan untuk menghitung rata-rata dalam deret variasi interval.
13. Indikator variasi. Ketika mempelajari sifat variabel dalam satuan populasi, seseorang tidak dapat membatasi dirinya hanya untuk menghitung nilai rata-rata dari varian individu, karena rata-rata yang sama mungkin tidak berlaku untuk populasi yang identik dalam komposisi.
Variasi suatu sifat adalah perbedaan antara nilai-nilai individu suatu sifat dalam populasi yang diteliti.
Istilah "variasi" berasal dari bahasa Latin variatio - perubahan, fluktuasi, perbedaan. Namun, tidak semua perbedaan biasa disebut sebagai variasi.
Variasi dalam statistik dipahami sebagai perubahan kuantitatif dalam nilai sifat yang diteliti dalam populasi homogen, yang disebabkan oleh pengaruh aksi berbagai faktor yang saling bersilangan. Fluktuasi nilai individu ditandai dengan indikator variasi. Semakin besar variasinya, semakin jauh, rata-rata, nilai-nilai individu terletak satu sama lain.
Ada variasi sifat dalam nilai absolut dan relatif.
Indikator absolut meliputi: rentang variasi, deviasi linier rata-rata, deviasi kuadrat rata-rata, varians. Semua indikator absolut memiliki dimensi yang sama dengan nilai-nilai yang dipelajari.
Indikator relatif meliputi koefisien osilasi, deviasi linier dan variasi.
Angka-angka itu mutlak. Mari kita hitung indikator absolut yang mencirikan variasi sifat.
Rentang variasi adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum suatu sifat.
| R = Xmaks – Xmin. | (6.1) |
Kisaran indikator variasi tidak selalu berlaku, karena hanya memperhitungkan nilai ekstrim dari sifat tersebut, yang bisa sangat berbeda dari semua unit lainnya.
Lebih tepatnya, Anda dapat menentukan variasi dalam deret menggunakan indikator yang memperhitungkan deviasi semua opsi dari mean aritmatika.
Ada dua indikator seperti itu dalam statistik: mean linear dan mean square deviasi.
Deviasi linier rata-rata (L) mewakili rata-rata aritmatika dari nilai absolut dari penyimpangan opsi individu dari rata-rata.
Penggunaan praktis dari deviasi linier rata-rata adalah sebagai berikut, dengan bantuan indikator ini, komposisi pekerja, ritme produksi, dan keseragaman pasokan bahan dianalisis.
Kerugian dari indikator ini adalah memperumit perhitungan jenis kemungkinan dan mempersulit penerapan metode statistik matematika.
Standar deviasi () adalah ukuran variasi yang paling umum dan diterima. Ini agak lebih besar dari deviasi linier rata-rata. Untuk distribusi asimetris sedang, hubungan berikut dibuat di antara mereka:
itu. deviasi standar adalah akar kuadrat dari mean aritmatika dari kuadrat deviasi dari mean.
Standar deviasi adalah ukuran keandalan mean. Semakin kecil , semakin baik mean aritmatika mencerminkan seluruh populasi yang diwakili.
Rata-rata aritmatika dari deviasi kuadrat dari opsi untuk nilai atribut dari nilai rata-rata disebut varians (), yang dihitung dengan rumus
Ciri khas dari indikator ini adalah bahwa ketika mengkuadratkan () proporsi penyimpangan kecil berkurang, dan peningkatan besar dalam jumlah total penyimpangan.
Dispersi memiliki sejumlah properti, beberapa di antaranya membuatnya lebih mudah untuk dihitung:
1. Dispersi nilai konstanta adalah 0.
Jika , maka dan .
Kemudian 
.
2. Jika semua varian nilai fitur (x) dikurangi dengan angka yang sama, maka varians tidak akan berkurang.
Membiarkan , Tapi kemudian sesuai dengan sifat-sifat rata-rata aritmatika dan .
Varians dalam seri baru akan sama dengan
Itu. varians dalam deret tersebut sama dengan varians dari deret aslinya.
3. Jika semua varian dari nilai atribut dikurangi dengan jumlah yang sama (k kali), maka varians akan berkurang dengan faktor k2.
Biarkan , maka dan .
Varians dari seri baru akan sama dengan
4. Dispersi yang dihitung dalam kaitannya dengan rata-rata aritmatika adalah minimal. Kuadrat rata-rata deviasi, dihitung sehubungan dengan angka arbitrer , lebih besar dari varians, dihitung sehubungan dengan rata-rata aritmatika, dengan kuadrat perbedaan antara rata-rata aritmatika dan angka , yaitu 
. Dispersi dari mean memiliki sifat minimalitas, yaitu. itu selalu kurang dari varians dihitung dari jumlah lain. Dalam hal ini, ketika kita menyamakan dengan 0 dan karena itu tidak menghitung deviasi, rumusnya menjadi:
| (6.9) |
Di atas, perhitungan indikator variasi untuk sifat kuantitatif dipertimbangkan, tetapi dalam perhitungan ekonomi, tugas menilai variasi sifat kualitatif dapat ditetapkan. . Misalnya, ketika mempelajari kualitas produk yang diproduksi, produk dapat dibagi menjadi berkualitas tinggi dan cacat.
Dalam hal ini, kita berbicara tentang tanda-tanda alternatif.
Fitur alternatif adalah fitur yang dimiliki beberapa unit populasi, sementara yang lain tidak. Misalnya, ketersediaan pengalaman kerja bagi pelamar, gelar akademik untuk guru universitas, dll. Kehadiran suatu ciri dalam satuan populasi secara konvensional dilambangkan dengan 1, dan ketidakhadiran dilambangkan dengan 0. Kemudian, jika proporsi satuan dengan suatu ciri (dalam jumlah total unit populasi) dilambangkan dengan p, dan proporsi unit yang tidak memiliki fitur dengan q, varians fitur alternatif dapat dihitung sebagai aturan umum. Selain itu, p + q = 1, dan karenanya q = 1– p.
Pertama, kami menghitung nilai rata-rata fitur alternatif:
Hitung nilai rata-rata fitur alternatif
,
itu. nilai rata-rata atribut alternatif sama dengan proporsi unit yang memiliki atribut ini.
Varians dari tanda alternatif akan sama dengan:
Dengan demikian, varians dari suatu atribut alternatif sama dengan hasil kali proporsi unit yang memiliki atribut tertentu dengan proporsi unit yang tidak memiliki atribut ini.
Dan simpangan baku akan sama dengan = .
Indikatornya relatif. Untuk tujuan membandingkan fluktuasi sifat yang berbeda dalam populasi yang sama, atau ketika membandingkan fluktuasi sifat yang sama di beberapa populasi, indikator variasi yang dinyatakan dalam istilah relatif menarik. Dasar untuk perbandingan adalah mean aritmatika. Indikator-indikator ini dihitung sebagai rasio kisaran variasi, deviasi linier rata-rata atau deviasi standar terhadap rata-rata aritmatika atau median.
Paling sering, mereka dinyatakan sebagai persentase dan menentukan tidak hanya penilaian komparatif variasi, tetapi juga mencirikan homogenitas populasi. Himpunan dianggap homogen jika koefisien variasi tidak melebihi 33%. Ada indikator relatif variasi berikut:
1. Koefisien osilasi mencerminkan fluktuasi relatif dari nilai ekstrim atribut di sekitar rata-rata.
3. Koefisien variasi mengevaluasi kekhasan nilai rata-rata.
 .
| (6.12) |
Semakin kecil , semakin homogen populasi menurut sifat yang diteliti dan semakin khas rata-ratanya. Jika 33%, maka distribusinya mendekati normal, dan populasi dianggap homogen. Dari contoh di atas, himpunan kedua adalah homogen.
14. Perubahan fenomena sosial ekonomi dari waktu ke waktu dipelajari oleh statistik dengan metode membangun dan menganalisis deret waktu.
Serangkaian dinamika- ini adalah nilai indikator statistik yang disajikan dalam urutan kronologis tertentu.
Setiap deret waktu mengandung dua komponen:
1) indikator periode waktu(tahun, kuartal, bulan, hari atau tanggal);
2) indikator yang mencirikan objek yang diteliti untuk periode waktu atau pada tanggal yang sesuai, yang disebut tingkat seri.
Oleh waktu membedakan Deret Dinamika Momen dan Interval.
Dalam deret momen, level mengungkapkan keadaan fenomena pada titik kritis dalam waktu- awal bulan, kuartal, tahun, dll. Misalnya, jumlah penduduk, jumlah karyawan, dll. Dalam baris seperti itu, setiap level berikutnya sepenuhnya atau sebagian berisi nilai level sebelumnya, jadi Anda tidak dapat menjumlahkan level, karena bagaimana hal itu mengarah pada penghitungan ulang.
Dalam interval - level mencerminkan keadaan fenomena untuk periode waktu tertentu- hari, bulan, tahun, dll. Inilah jajarannya indikator volume produksi, volume penjualan berdasarkan bulan dalam setahun, jumlah hari kerja, dll.
Oleh formulir representasi level membedakan serangkaian nilai absolut, relatif dan rata-rata.
Perubahan level mutlak - dalam hal ini dapat disebut pertumbuhan mutlak - ini adalah perbedaan antara tingkat yang dibandingkan dan tingkat periode sebelumnya, yang diambil sebagai dasar perbandingan. Jika basis ini langsung ke level sebelumnya, indikatornya disebut rantai, jika, misalnya, level awal diambil sebagai basis, indikatornya disebut dasar. Rumus perubahan level absolut:
Jika perubahan absolutnya negatif, itu harus disebut reduksi absolut.
Percepatan - adalah perbedaan antara perubahan absolut untuk periode tertentu dan perubahan absolut untuk periode sebelumnya dengan durasi yang sama:
Indikator akselerasi absolut hanya digunakan dalam versi rantai, tetapi tidak pada versi dasar. Nilai percepatan negatif menunjukkan perlambatan pertumbuhan atau percepatan penurunan tingkat seri.
Faktor pertumbuhan Ki didefinisikan sebagai rasio tingkat yang diberikan ke tingkat sebelumnya atau dasar, menunjukkan tingkat perubahan relatif dalam deret. Jika laju pertumbuhan dinyatakan dalam persentase, maka disebut laju pertumbuhan.
Faktor pertumbuhan
dasar -
Atau tingkat pertumbuhan.
Nilai tingkat pertumbuhan rantai, masing-masing dihitung ke basisnya sendiri, berbeda tidak hanya dalam jumlah persentase, tetapi juga dalam besarnya perubahan absolut yang membentuk setiap persentase. Oleh karena itu, tingkat pertumbuhan rantai tidak dapat ditambahkan atau dikurangi. Nilai absolut dari pertumbuhan 1% sama dengan seperseratus dari level sebelumnya, atau level dasar.
Secara umum, tingkat pertumbuhan salah satu saham alternatif tergantung pada tingkat pertumbuhan saham lain dan ukuran saham ini sebagai berikut:
Perubahan mutlak dalam saham dalam poin tergantung pada ukuran saham dan tingkat pertumbuhan sebagai berikut:
Jika tidak ada dua, tetapi lebih banyak grup dalam agregat, perubahan absolut di setiap bagian dalam poin tergantung pada bagian grup ini pada periode dasar dan pada rasio tingkat pertumbuhan nilai absolut dari atribut volume dari kelompok ini ke tingkat pertumbuhan rata-rata atribut volume di seluruh populasi. Bagian grup ke-f dalam periode yang dibandingkan (saat ini) didefinisikan sebagai:
Indikator rata-rata dinamika - tingkat rata-rata seri, perubahan dan percepatan absolut rata-rata, tingkat pertumbuhan rata-rata - menjadi ciri tren.
tingkat menengah deret interval dinamika didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika sederhana dari level untuk periode waktu yang sama:
atau sebagai rata-rata aritmatika tertimbang dari level selama interval waktu yang tidak sama, yang durasinya adalah bobotnya.
Bentuk khusus dari rata-rata aritmatika disebut rata-rata kronologis:
Jika tanggal pasti perubahan tingkat deret momen diketahui, maka tingkat rata-rata ditentukan sebagai:
di mana ti- waktu di mana level dipertahankan.
Peningkatan absolut rata-rata (perubahan absolut) didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika sederhana dari perubahan absolut selama interval waktu yang sama (perubahan absolut berantai) atau sebagai hasil bagi dari membagi perubahan absolut dasar dengan jumlah interval waktu rata-rata dari dasar ke periode yang dibandingkan:
Tingkat perubahan rata-rata ditentukan paling akurat ketika deret dinamis secara analitik disamakan secara eksponensial. Jika fluktuasi dapat diabaikan, maka tingkat rata-rata didefinisikan sebagai: rata-rata geometris dari tingkat pertumbuhan rantai untuk P tahun atau dari total (dasar) tingkat pertumbuhan untuk P bertahun-tahun:
Tingkat pertumbuhan rata-rata() dihitung dengan rumus rata-rata geometrik indikator laju pertumbuhan untuk periode tertentu:
di mana 1 , 2 , ..., n-1 - faktor pertumbuhan dibandingkan dengan periode sebelumnya; n adalah jumlah level dalam seri.
Faktor pertumbuhan rata-rata dapat didefinisikan secara berbeda:
| INDIKATOR UTAMA SERI DINAMIS |
Saat mempelajari dinamika, berbagai indikator dan metode analisis digunakan, baik dasar, sederhana, dan lebih kompleks, sehingga membutuhkan penggunaan bagian matematika yang lebih kompleks. Indikator analisis paling sederhana yang digunakan dalam memecahkan sejumlah masalah, terutama ketika mengukur laju perubahan dalam tingkat rangkaian dinamika, adalah pertumbuhan absolut, laju pertumbuhan dan pertumbuhan, serta nilai absolut (isi) dari pertumbuhan satu persen. Perhitungan indikator-indikator ini didasarkan pada perbandingan tingkat-tingkat dari serangkaian dinamika satu sama lain. Tingkat perbandingan yang dibuat disebut dasar, karena itu adalah dasar perbandingan. Biasanya, baik level sebelumnya atau beberapa level sebelumnya, misalnya, level pertama dari suatu seri, diambil sebagai dasar perbandingan. Jika setiap level dibandingkan dengan yang sebelumnya, maka indikator yang dihasilkan disebut rantai, karena mereka, seolah-olah, terhubung dalam "rantai" yang menghubungkan level-level dari suatu rangkaian. Jika semua level dikaitkan dengan level yang sama, yang bertindak sebagai basis perbandingan konstan, maka indikator yang diperoleh dalam hal ini disebut dasar. Seringkali, konstruksi rangkaian dinamika dimulai dengan tingkat yang akan digunakan sebagai dasar perbandingan konstan. Pilihan basis ini harus dibenarkan oleh fitur historis dan sosio-ekonomi dari perkembangan fenomena yang diteliti. Disarankan untuk mengambil beberapa karakteristik, level tipikal sebagai level dasar, misalnya level akhir dari tahap perkembangan sebelumnya (atau level rata-ratanya, jika pada tahap sebelumnya levelnya meningkat atau menurun). Pertumbuhan mutlak menunjukkan berapa banyak unit level yang meningkat (atau menurun) dibandingkan dengan baseline, yaitu untuk periode (periode) waktu tertentu. Peningkatan absolut sama dengan perbedaan antara tingkat yang dibandingkan dan diukur dalam unit yang sama dengan tingkat ini: ? =yi?yi?1;
? =yi ?y0 , di mana yi– tingkat tahun ke-i; yi-1– tingkat tahun sebelumnya; y0 adalah tingkat tahun dasar. Jika levelnya menurun dibandingkan dengan baseline, maka ?
0; itu mencirikan penurunan absolut dalam level. Pertumbuhan absolut per satuan waktu (bulan, tahun) mengukur tingkat mutlak pertumbuhan (atau penurunan) dari tingkat. Pertumbuhan rantai dan pertumbuhan absolut dasar saling berhubungan: jumlah pertumbuhan rantai yang berurutan sama dengan pertumbuhan dasar yang sesuai, yaitu, pertumbuhan total untuk seluruh periode. Karakterisasi pertumbuhan yang lebih lengkap hanya dapat diperoleh ketika nilai absolut dilengkapi dengan nilai relatif. Indikator relatif dari dinamika adalah tingkat pertumbuhan dan tingkat pertumbuhan yang mencirikan intensitas proses pertumbuhan.
Tingkat pertumbuhan(Тр) - indikator statistik yang mencerminkan intensitas perubahan tingkat serangkaian dinamika dan menunjukkan berapa kali tingkat tersebut meningkat dibandingkan dengan baseline, dan jika terjadi penurunan, bagian mana dari baseline yang dibandingkan tingkat; diukur dengan rasio level saat ini ke sebelumnya atau basis:  Seperti nilai relatif lainnya, laju pertumbuhan dapat dinyatakan tidak hanya dalam bentuk koefisien (rasio tingkat sederhana), tetapi juga sebagai persentase. Seperti tingkat pertumbuhan absolut, tingkat pertumbuhan untuk setiap deret waktu itu sendiri merupakan indikator interval, yaitu mereka mencirikan satu atau lain periode (interval) waktu. Ada hubungan tertentu antara laju pertumbuhan rantai dan basis, yang dinyatakan dalam bentuk koefisien: produk laju pertumbuhan rantai yang berurutan sama dengan laju pertumbuhan basis untuk seluruh periode yang sesuai, misalnya: y2/ y1 y3/ y2 = y3/ y1.
Tingkat kenaikan(Tpr) mencirikan nilai relatif pertumbuhan, yaitu, rasio pertumbuhan absolut ke tingkat sebelumnya atau dasar:  Tingkat pertumbuhan, dinyatakan sebagai persentase, menunjukkan berapa persen tingkat telah meningkat (atau menurun) dibandingkan dengan baseline, diambil sebagai 100%. Ketika menganalisis laju perkembangan, seseorang tidak boleh melupakan nilai absolut - tingkat dan kenaikan absolut - yang tersembunyi di balik laju pertumbuhan dan pertumbuhan. Secara khusus, harus diingat bahwa dengan penurunan (perlambatan) pertumbuhan dan tingkat pertumbuhan, pertumbuhan absolut dapat meningkat. Dalam hal ini, penting untuk mempelajari indikator dinamika lainnya - nilai absolut (konten) meningkat 1%, yang didefinisikan sebagai hasil membagi pertumbuhan absolut dengan tingkat pertumbuhan yang sesuai: Nilai ini menunjukkan berapa banyak yang diberikan setiap persentase pertumbuhan secara absolut. Terkadang tingkat fenomena selama satu tahun tidak sebanding dengan tingkat untuk tahun-tahun lain karena perubahan teritorial, departemen dan lainnya (perubahan metodologi akuntansi dan perhitungan indikator, dll.). Untuk memastikan komparabilitas dan mendapatkan deret waktu yang cocok untuk analisis, perlu untuk menghitung ulang secara langsung level yang tidak dapat dibandingkan dengan yang lain. Namun, terkadang data yang diperlukan untuk ini tidak tersedia. Dalam kasus seperti itu, Anda dapat menggunakan teknik khusus yang disebut menutup barisan dinamika. Misalnya, terjadi perubahan batas wilayah yang dipelajari dinamika perkembangan beberapa fenomena pada tahun ke-i. Kemudian data yang diperoleh sebelum tahun ini tidak akan dapat dibandingkan dengan data tahun-tahun berikutnya. Untuk menutup deret tersebut dan untuk dapat menganalisis dinamika deret untuk seluruh periode, kami akan mengambil masing-masing sebagai dasar perbandingan tingkat tahun ke-i, yang ada data keduanya di lama dan di batas-batas wilayah yang baru. Kedua baris ini dengan dasar perbandingan yang sama kemudian dapat digantikan oleh satu baris dinamika tertutup. Dari data seri tertutup, seseorang dapat menghitung tingkat pertumbuhan dibandingkan dengan tahun mana pun, seseorang juga dapat menghitung tingkat absolut untuk seluruh periode dalam batas-batas baru. Namun demikian, harus diingat bahwa hasil yang diperoleh dengan menutup rangkaian dinamika mengandung beberapa kesalahan. Secara grafis, dinamika fenomena paling sering digambarkan dalam bentuk diagram batang dan garis. Bentuk lain dari grafik juga digunakan: keriting, persegi, sektor, dll. Grafik analitis biasanya dibangun dalam bentuk grafik garis. |
16. Proses ekonomi dan ekonomi dalam perusahaan terus berkembang. Perubahan mereka dalam waktu dapat dipelajari dengan membangun dan menganalisis deret waktu.
Rentang dinamika– nilai numerik dari indikator yang disajikan dalam urutan waktu. Ini terdiri dari dua kolom: yang pertama berisi periode (atau tanggal), yang kedua berisi indikator yang mencirikan objek yang diteliti untuk periode ini (atau untuk tanggal ini).
Dalam hal ini, rangkaian dinamika dapat terdiri dari dua jenis: interval (data hasil susu tahunan selama beberapa tahun) dan momen (data nilai aset tetap perusahaan pada awal tahun).
Untuk mempelajari intensitas perubahan tingkat deret dari waktu ke waktu, indikator dinamika berikut dihitung.
Indikator dinamika yang disajikan dapat dihitung dengan basis variabel atau konstan. Jika setiap level dibandingkan dengan level sebelumnya, maka diperoleh indikator dinamika dengan basis variabel (rantai indikator dinamika). Jika setiap level dibandingkan dengan baseline, maka ukuran kemajuan basis konstan (ukuran kemajuan baseline) diperoleh.
Pertumbuhan mutlak menunjukkan berapa banyak secara absolut (rubel, ha, orang, q) tingkat periode saat ini lebih (kurang) dari yang dasar.
Faktor pertumbuhan menunjukkan berapa kali tingkat periode saat ini lebih (atau kurang) dari yang dasar.
Tingkat pertumbuhan adalah faktor pertumbuhan, dinyatakan sebagai persentase; menunjukkan berapa persen tingkat periode saat ini dalam kaitannya dengan tingkat periode dasar.
Tingkat kenaikan– menunjukkan dengan persentase berapa tingkat periode saat ini lebih besar (+) atau kurang (-) dari tingkat periode dasar.
Nilai absolut dari kenaikan 1% menunjukkan nilai absolut apa yang tersembunyi di balik indikator relatif - peningkatan satu persen.
Metode untuk menghitung indikator dinamika disajikan pada Tabel 1, mereka sama untuk seri momen dan interval.
Tabel 1 - Indikator Dinamika
| Indikator | Metode kalkulasi | |
| basis variabel (rantai) | dengan basis tetap (dasar) | |
| 1. Pertumbuhan mutlak () | ||
| 2. Faktor pertumbuhan ( K R) | ||
| 3. Tingkat pertumbuhan ( T R), % | ||
| 4. Tingkat pertumbuhan ( T P), % |  |  |
| 5. Nilai absolut kenaikan 1% ( TETAPI) |  |  |
di mana: saya- tingkat periode apa pun (kecuali yang pertama), yang disebut level periode saat ini;
i-1– tingkat periode sebelum yang sekarang;
di k- tingkat yang diambil sebagai dasar perbandingan konstan (seringkali tingkat awal).
17-21. 1. Konsep indeks, klasifikasi indeks
Indeks adalah salah satu indikator generalisasi yang paling penting. Kata "indeks" dalam terjemahan berarti indikator, penunjuk. Ini digunakan sebagai konsep dalam matematika, ekonomi, metrologi, dan ilmu lainnya.
indeks statistik adalah nilai relatif yang digunakan untuk membandingkan agregat kompleks dan unit individualnya dalam waktu, ruang atau dibandingkan dengan standar. Pada saat yang sama, kompleks dipahami sebagai kumpulan statistik seperti itu, yang elemen-elemen individualnya tidak secara langsung tunduk pada penjumlahan. Misalnya data jumlah produksi dan penjualan berbagai jenis produk pangan maupun non pangan secara fisik. Tidak masuk akal untuk meringkas, misalnya, data penjualan kain (dalam meter), jas (dalam satuan), sepatu (berpasangan), dll. untuk mendapatkan total volume penjualan.
Dasar dari metode indeks dalam menentukan perubahan, misalnya, dalam produksi dan sirkulasi barang, adalah transisi dari bentuk material alami dari ekspresi massa komoditas ke ukuran biaya, tenaga kerja atau biaya. Karena, terlepas dari perbedaan dalam nilai guna barang-barang individual, semuanya adalah hasil kerja dan oleh karena itu dapat dinyatakan dengan ukuran umum dalam hal nilai, biaya tenaga kerja, dan biaya produksi.
Semua indeks dapat diklasifikasikan menurut kriteria berikut: liputan acara(elemen dari totalitas) mereka dibagi menjadi individu dan umum, sesuai dengan konten nilai yang diindeks- volume dan kualitas, berupa konstruksi- pada agregat dan rata-rata individu (berbobot rata-rata aritmatika dan rata-rata harmonik), dengan basis perbandingan- dinamis (rantai, dasar) dan teritorial, sesuai dengan bobot yang diterapkan- dengan bobot konstan, dengan bobot variabel, komposisi- indeks komposisi variabel dan indeks komposisi konstan , menurut periode perhitungan- tahunan, triwulanan, bulanan, mingguan.
2. Indeks individu dan umum
Mari kita perkenalkan notasi:
i - indeks individu (sederhana, tunggal);
I - indeks umum komposit.
Huruf untuk menunjukkan tanda bisa berupa apa saja, tetapi paling sering menunjukkan:
p adalah harga satu unit produksi;
z - biaya unit produksi;
q - volume fisik produk yang diproduksi, dijual dan dikonsumsi;
f - gaji;
w - produktivitas tenaga kerja (output rata-rata);
t adalah kerumitan pembuatan satu unit produksi;
T - total biaya tenaga kerja (tq), (jam kerja, hari kerja, orang);
Z - total biaya produksi (zq) untuk produk jenis ini;
P adalah total biaya produk yang diproduksi (pq) dari jenis ini.
Data pelaporan (yang dibandingkan) dalam statistik dilambangkan dengan subskrip "1", data dasar (dengan mana mereka dibandingkan) - "O". Data yang direncanakan, data untuk periode sebelumnya, data pada objek serupa lainnya dapat berfungsi sebagai basis dalam hubungan indeks.
Indeks individu berfungsi untuk mencirikan perubahan elemen individu dari satu set kompleks, mereka adalah nilai relatif dari dinamika, implementasi rencana, perbandingan. Perhitungan mereka tidak memerlukan pengetahuan tentang aturan khusus. Mereka dihitung hanya sebagai tingkat pertumbuhan. Jika diperlukan, misalnya, untuk menunjukkan dinamika harga atau volume untuk setiap produk, maka nilai periode pelaporan yang sesuai diambil dan dibagi dengan nilai periode dasar.
Indeks volume individu
Indeks harga individu
Indeks omset individu
Indeks umum mencerminkan perubahan, berfungsi untuk mencirikan perubahan dalam semua elemen dari fenomena yang kompleks. Jika indeks mencakup bagian dari elemen fenomena yang kompleks, maka mereka disebut kelompok atau sub-indeks.
Sebuah fitur penting dari indeks umum adalah bahwa mereka memiliki sifat sintetik dan analitis. Sifat sintetik indeks terdiri dari fakta bahwa melalui metode indeks, koneksi (agregasi) ke seluruh unit populasi statistik dilakukan. Sifat analisis indeks adalah bahwa pengaruh faktor-faktor terhadap perubahan indikator yang dipelajari ditentukan dengan metode indeks. Berdasarkan studi tentang komposisi dan peran faktor, mengidentifikasi kekuatan tindakan mereka, kemungkinan manajemen yang memenuhi syarat dari pengembangan proses ekonomi dilakukan tidak hanya ke arah yang benar, tetapi juga dengan parameter yang telah ditentukan.
Contoh 1. Kami memiliki data berikut (gr. 1-5)
| Produk | Periode dasar | Periode pelaporan | indeks individu | Perputaran barang, ribuan rubel | Indeks omset individu | |||||
| Jumlah barang, ribuan keping, | Harga satuan, gosok. | Jumlah barang, ribuan keping, | Harga satuan, gosok. | Harga | kuantitas | Periode dasar | Periode pelaporan | |||
| A B | 20/6= =3,333 30/15==2,000 | 50/40==1,25 600/500= =1,2 | 40x6==240 500x15==7500 | 50x20= 600x30==18000 | 1000/240=4,167 18000/7500=2,4 | |||||
| X | X | X | X | X | X | p 0 q 0 =7740 | p 1 q 1 = 19000 | X |
Tentukan indeks individu (i p , i q , i pq) indeks umum ( , J p , J pq).
1. Nilai indeks individu, lihat gr.6,7,10. Indeks dinyatakan dalam koefisien atau sebagai persentase.
Dalam statistik, seseorang sering kali harus berurusan dengan indikator-indikator yang terkait satu sama lain, karena faktor-faktor terkait dengan suatu produk. Misalnya, perdagangan sama dengan produk harga dengan volume fisik perdagangan. Hubungan antara indeks individu dalam kasus seperti itu sama dengan antara indikator yang sesuai:
Hubungan seperti itu memungkinkan untuk menemukan yang ketiga menggunakan dua indeks yang tersedia. Indeks semacam itu disebut konjugat dan membentuk sistem indeks yang saling berhubungan.
Indeks turnover individu dalam hal ini dapat ditentukan dengan dua cara (lihat kolom 10):
Indeks umum dapat ditentukan dengan tiga cara: 1) dengan formula agregat; 2) dengan rumus indeks rata-rata tertimbang dan 3) berdasarkan hubungan indeks. Tergantung pada tujuan studi, satu atau lain bentuk konstruksi digunakan.
3. Indeks agregat
Indeks agregat mencirikan perubahan rata-rata dalam fenomena yang kompleks. Kata Latin "agregat" (agregatus) berarti "ditambahkan", diringkas. Keunikan dari bentuk indeks ini adalah bahwa dua jumlah indikator dengan nama yang sama dibandingkan dalam bentuk agregat. Pembilang dan penyebut indeks agregat adalah jumlah dari produk dari dua kuantitas, salah satunya berubah (nilai yang diindeks), dan yang lainnya tetap tidak berubah dalam pembilang dan penyebut (bobot indeks). nilai yang diindeks disebut tanda, yang perubahannya sedang dipelajari. Berat indeks- ini adalah nilai yang berfungsi untuk membandingkan nilai yang diindeks.
Setiap indeks ekonomi memecahkan masalah tertentu. Kandungan ekonomi dari indeks menentukan metode perhitungannya. Metodologi untuk membangun indeks agregat menyediakan solusi dari tiga pertanyaan:
1. Nilai apa yang akan diindeks;
2. Menurut apa komposisi elemen heterogen dari fenomena itu perlu untuk menghitung indeks;
3. Apa yang akan menjadi bobot saat menghitung indeks.
Saat memilih bobot indeks, biasanya dipandu oleh aturan berikut: jika indeks indikator kuantitatif sedang dibangun, maka bobotnya diambil untuk periode dasar; ketika membangun indeks indikator kualitatif, bobot periode pelaporan yang digunakan. kuantitatif (massal) indeks mencirikan perubahan faktor ekstensif, misalnya, berbagai kuantitas. Ini termasuk semua indeks volume fisik: volume fisik perdagangan, PDB, penjualan valuta asing, dll.
Indeks Kualitas- ini adalah indeks harga, biaya, produktivitas tenaga kerja, nilai tukar, dll. Nilai indeks dari indeks ini adalah indikator kualitatif (intensif) yang mencirikan tingkat fenomena per unit populasi (harga per unit produksi , biaya unit produksi, dll).
Mari kita buat tiga indeks agregat: indeks perputaran perdagangan, indeks harga, dan indeks volume perdagangan.
Perputaran periode pelaporan dalam harga pelaporan
Perputaran periode dasar dalam harga dasar
, 245,5%
ini berarti omset perdagangan meningkat rata-rata 2,455 kali, yang secara absolut akan menjadi
Ribu menggosok.
Indeks biaya produk yang diproduksi, biaya produk yang dikonsumsi, dll. dihitung dengan cara yang sama.
Dari rumus indeks omset umum ini, dapat dilihat bahwa nilainya bergantung pada perubahan dua faktor:
Volume fisik perdagangan (jumlah barang yang dijual),
P harga untuk setiap unit barang yang dijual.
Untuk mengidentifikasi pengaruh masing-masing variabel secara terpisah, perlu untuk mengecualikan pengaruh salah satunya, yaitu, menerimanya secara kondisional sebagai nilai konstan pada tingkat pelaporan atau periode dasar.
Perubahan harga secara keseluruhan dapat ditentukan dengan ketentuan bahwa jumlah barang yang dijual untuk periode pelaporan atau dasar diambil sebagai nilai konstan (bobot).
Perputaran periode pelaporan dalam harga dasar
Ini Indeks agregat G.Paasche(dinamai setelah ilmuwan Jerman yang mengusulkan indeks ini).
Indeks Paasche menunjukkan bagaimana tingkat harga untuk massa komoditas yang dibeli penduduk pada periode pelaporan telah berubah dan berapa keuntungan (kerugian) penduduk dari penurunan (kenaikan) harga barang. Dalam contoh 1
Artinya harga rata-rata dua barang pada periode laporan mengalami kenaikan dibandingkan dengan baseline sebesar 2,043 kali dan kerugian yang dialami penduduk akibat kenaikan harga adalah:
Ribu menggosok.
Dapat juga dikatakan bahwa perdagangan meningkat karena kenaikan harga rata-rata sebesar 9.700 ribu rubel. periode pelaporan dibandingkan dengan periode dasar. Dapat didefinisikan Indeks Harga dan oleh rumus Laspeyres, jika bobot (jumlah barang) diambil dalam periode dasar.
Indeks E. Laspeyres menunjukkan bagaimana harga barang yang dijual pada periode dasar telah berubah secara rata-rata. Perbedaan antara pembilang dan penyebut indeks ini memberikan gambaran tentang perubahan kondisional dalam volume perdagangan ketika menjual di periode mendatang jumlah barang yang sama seperti pada periode dasar, tetapi dengan harga baru
Indeks ini digunakan untuk meramalkan perubahan volume perdagangan sehubungan dengan rencana perubahan harga barang pada periode yang akan datang.
Indeks Fisher yang ideal adalah rata-rata geometrik dari produk dua agregat Laspeyres dan indeks Pache
Indeks agregat dari volume fisik omset perdagangan harus mencerminkan perubahan volume fisik pada periode pelaporan dibandingkan dengan basis, dan oleh karena itu, ketika membangunnya, harga periode pelaporan atau harga (dasar) yang sebanding diambil sebagai bobot.
Perputaran periode dasar dengan harga (dasar) yang sebanding
Ini adalah indeks Laspeyres
Dalam contoh 1
120,2%.
Artinya, pada periode pelaporan, dibandingkan dengan periode dasar, volume fisik perdagangan meningkat rata-rata 20,2%, yang secara absolut sebesar:
Ribu menggosok.
Ini berarti bahwa pada periode pelaporan, dibandingkan dengan omset dasar, karena perubahan hanya pada volume barang yang dijual, itu meningkat rata-rata 1.560 ribu rubel.
Anda juga dapat menentukan I q menggunakan rumus Paasche
Hubungan indeks umum. Hubungan antara indeks umum tidak selalu sama dengan antara indikator yang sesuai, tetapi hanya jika asumsi tentang perubahan bobot sebanding. Sebagai contoh,
Jika ada 2 faktor, maka
11260=9700 + 1560
Jika lebih dari 2 faktor, maka skemanya adalah sebagai berikut:
1. Pertama, kami memilih urutan perubahan faktor, dengan mempertimbangkan bahwa indeks kualitatif dibangun di atas bobot periode pelaporan, dan indeks volume didasarkan pada bobot periode dasar.
3. Kami menghitung indeks ke-2 dengan asumsi bahwa setelah mengubah faktor pertama, faktor ke-2 berubah.
4. Kami menghitung indeks ke-3 dengan asumsi bahwa setelah mengubah dua faktor pertama, faktor ketiga berubah, dan seterusnya.
Sistem indeks agregat
| Persamaan hubungan | Indeks Kualitas | indeks volume | Indeks nilai efektif | Sistem indeks yang saling terkait |
4. Indeks tertimbang rata-rata
Indeks rata-rata tertimbang dihitung ketika informasi yang tersedia tidak memungkinkan penghitungan indeks agregat keseluruhan.
Dalam praktik statistik, indeks rata-rata dihitung terutama dalam bentuk rata-rata aritmatika dan rata-rata harmonik:
di mana - indeks individu dari indikator yang dipelajari (nilai yang diindeks);
Bobot, masing-masing, dalam rata-rata aritmatika dan indeks harmonik rata-rata.
Properti 1. Konstanta rata-rata aritmatika sama dengan konstanta ini: at
Properti 2. Jumlah aljabar dari deviasi nilai individu atribut dari rata-rata aritmatika adalah nol: 
untuk data yang tidak dikelompokkan dan 
untuk jalur distribusi.
Properti ini berarti bahwa jumlah deviasi positif sama dengan jumlah deviasi negatif, mis. semua penyimpangan karena penyebab acak membatalkan satu sama lain.
Properti 3. Jumlah deviasi kuadrat dari nilai individu atribut dari rata-rata aritmatika adalah jumlah minimum: 
untuk data yang tidak dikelompokkan dan 
untuk jalur distribusi. Properti ini berarti bahwa jumlah deviasi kuadrat dari nilai individual suatu sifat dari rata-rata aritmatika selalu lebih kecil dari jumlah deviasi varian sifat dari nilai lainnya, bahkan jika itu sedikit berbeda dari rata-rata.
Sifat kedua dan ketiga dari rata-rata aritmatika digunakan untuk memeriksa kebenaran perhitungan nilai rata-rata; ketika mempelajari pola-pola perubahan tingkatan-tingkatan rangkaian dinamika; untuk menemukan parameter persamaan regresi ketika mempelajari korelasi antar fitur.
Ketiga properti pertama mengungkapkan fitur penting dari rata-rata sebagai kategori statistik.
Sifat-sifat rata-rata berikut ini dianggap komputasional karena memiliki beberapa kepentingan praktis.
Properti 4. Jika semua bobot (frekuensi) dibagi dengan sejumlah konstanta d, maka rata-rata aritmatika tidak akan berubah, karena pengurangan ini akan sama-sama mempengaruhi pembilang dan penyebut dari rumus untuk menghitung rata-rata.
Dua konsekuensi penting mengikuti dari properti ini.
Konsekuensi 1. Jika semua bobot sama, maka perhitungan rata-rata aritmatika berbobot dapat diganti dengan perhitungan rata-rata aritmatika sederhana.
Konsekuensi 2. Nilai absolut frekuensi (bobot) dapat diganti dengan bobot spesifiknya.
Properti 5. Jika semua opsi dibagi atau dikalikan dengan sejumlah konstanta d, maka rata-rata aritmatika akan berkurang atau bertambah sebanyak d kali.
Properti 6. Jika semua opsi dikurangi atau ditambah dengan angka konstan A, maka perubahan serupa akan terjadi dengan rata-rata.
Sifat-sifat rata-rata aritmatika yang diterapkan dapat diilustrasikan dengan menerapkan metode penghitungan rata-rata dari awal bersyarat (metode momen).
Arti aritmatika di jalan momen dihitung dengan rumus:
di mana A adalah tengah interval apa pun (preferensi diberikan ke interval pusat);
d adalah nilai interval yang sama, atau pembagi kelipatan terbesar dari interval;
m 1 adalah momen orde pertama.
Momen pesanan pertama didefinisikan sebagai berikut:
.
Kami akan mengilustrasikan teknik penerapan metode perhitungan ini dengan menggunakan data dari contoh sebelumnya.
Tabel 5.6
| Pengalaman kerja, tahun | Jumlah pekerja | Interval x | |||
| sampai 5 | 2,5 | -10 | -2 | -28 | |
| 5-10 | 7,5 | -5 | -1 | -22 | |
| 10-15 | 12,5 | ||||
| 15-20 | 17,5 | +5 | +1 | +25 | |
| 20 ke atas | 22,5 | +10 | +2 | +22 | |
| Total | X | X | X | -3 |
Seperti dapat dilihat dari perhitungan yang diberikan pada Tabel. 5,6 salah satu nilainya 12,5 dikurangi dari semua opsi, yang sama dengan nol dan berfungsi sebagai titik referensi bersyarat. Sebagai hasil dari membagi perbedaan dengan nilai interval - 5, varian baru diperoleh.
Menurut hasil Tabel. 5.6 kami memiliki: 
.
Hasil perhitungan dengan metode momen sama dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan metode utama perhitungan rata-rata tertimbang aritmatika.
Rata-rata struktural
Tidak seperti rata-rata kekuatan hukum, yang dihitung berdasarkan penggunaan semua varian nilai atribut, rata-rata struktural bertindak sebagai nilai spesifik yang bertepatan dengan varian deret distribusi yang terdefinisi dengan baik. Modus dan median mencirikan nilai varian yang menempati posisi tertentu dalam deret variasi rentang.
Mode adalah nilai fitur yang paling sering muncul pada populasi ini. Pada seri variasi, ini akan menjadi varian dengan frekuensi tertinggi.
Menemukan Mode dalam Seri Diskrit distribusi tidak memerlukan perhitungan. Dengan melihat kolom frekuensi, temukan frekuensi tertinggi.
Sebagai contoh, distribusi pekerja di suatu perusahaan menurut kualifikasi dicirikan oleh data pada Tabel. 5.7.
Tabel 5.7
Frekuensi tertinggi pada deret distribusi ini adalah 80 yang artinya modus sama dengan digit keempat. Akibatnya, pekerja dengan kategori keempat paling sering ditemui.
Jika deret distribusi adalah interval, maka hanya interval modal yang diatur oleh frekuensi tertinggi, dan kemudian mode sudah dihitung dengan rumus:
,
di mana adalah batas bawah interval modal;
adalah nilai interval modal;
adalah frekuensi interval modal;
adalah frekuensi interval premodal;
adalah frekuensi interval postmodal.
Kami menghitung mode sesuai dengan data yang diberikan pada Tabel. 5.8.
Tabel 5.8
Ini berarti bahwa paling sering perusahaan mendapat untung 726 juta rubel.
Aplikasi praktis mode terbatas. Mereka dipandu oleh pentingnya mode saat menentukan ukuran sepatu dan pakaian paling populer saat merencanakan produksi dan penjualannya, saat mempelajari harga di pasar grosir dan eceran (metode susunan utama). Mode digunakan sebagai pengganti rata-rata saat menghitung kemungkinan cadangan produksi.
median sesuai dengan varian di tengah seri distribusi peringkat. Ini adalah nilai fitur yang membagi seluruh populasi menjadi dua bagian yang sama.
Posisi median ditentukan oleh angkanya (N).
dimana adalah jumlah unit populasi. Kami menggunakan data dari contoh yang diberikan dalam Tabel. 5.7 untuk menentukan median.
, yaitu median sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai atribut ke-100 dan ke-110. Berdasarkan frekuensi akumulasi, kami menentukan bahwa unit ke-100 dan ke-110 dari seri memiliki nilai fitur yang sama dengan digit keempat, yaitu. median adalah angka keempat.
Median dalam deret interval dari distribusi ditentukan dengan urutan sebagai berikut.
1. Frekuensi yang terakumulasi dihitung untuk seri distribusi peringkat ini.
2. Berdasarkan frekuensi akumulasi, interval median ditetapkan. Itu terletak di mana frekuensi kumulatif pertama sama dengan atau lebih besar dari setengah populasi (dari semua frekuensi).
3. Median dihitung dengan rumus:
,
di mana adalah batas bawah interval median;
– nilai interval;
adalah jumlah dari semua frekuensi;
adalah jumlah akumulasi frekuensi sebelum interval median;
adalah frekuensi interval median.
Hitung median sesuai tabel. 5.8.
Akumulasi frekuensi pertama, yang sama dengan setengah dari populasi 30, berarti median berada dalam kisaran 500-700.
Ini berarti bahwa setengah dari perusahaan menghasilkan keuntungan hingga 676 juta rubel, dan setengah lainnya lebih dari 676 juta rubel.
Median sering digunakan sebagai pengganti mean ketika populasinya heterogen karena itu tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim dari atribut. Penerapan praktis median juga terkait dengan sifat minimalitasnya. Jumlah mutlak penyimpangan nilai individu dari median adalah nilai terkecil. Oleh karena itu, median digunakan dalam perhitungan ketika merancang lokasi objek yang akan digunakan oleh berbagai organisasi dan individu.
M cf - dihitung menggunakan metode momen = 61,6 kg
Rata-rata aritmatika memiliki tiga sifat.
1. Yang tengah menempati posisi tengah dalam seri variasi . Dalam baris yang sangat simetris: M \u003d M 0 \u003d M e.
2. Rata-rata adalah nilai yang menggeneralisasi dan fluktuasi acak, perbedaan data individu tidak terlihat di belakang rata-rata, itu mengungkapkan bahwa tipikal yang menjadi ciri seluruh populasi . Rata-rata digunakan setiap kali perlu untuk mengecualikan pengaruh acak dari faktor individu, untuk mengidentifikasi fitur umum, pola yang ada, untuk mendapatkan ide yang lengkap dan mendalam tentang fitur yang paling umum dan karakteristik dari seluruh kelompok.
3. Jumlah deviasi semua opsi dari mean adalah nol : S(V-M)=0 . Hal ini dikarenakan nilai rata-rata melebihi dimensi beberapa varian dan lebih kecil dari dimensi varian lainnya.
Dengan kata lain, penyimpangan sebenarnya dari varian dari mean sebenarnya (d=v-m) bisa positif atau negatif, jadi jumlahnya S semua "+"d dan "-"d sama dengan nol.
Properti rata-rata ini digunakan saat memeriksa kebenaran perhitungan M. Jika jumlah deviasi varian dari mean adalah nol, maka kita dapat menyimpulkan bahwa mean dihitung dengan benar. Properti ini didasarkan pada metode momen untuk menentukan M. Lagi pula, jika rata-rata bersyarat TETAPI akan sama dengan benar M, maka jumlah deviasi varian dari rata-rata bersyarat akan sama dengan nol.
Peran rata-rata dalam biologi sangat besar. Di satu sisi, mereka digunakan untuk mengkarakterisasi fenomena secara keseluruhan, di sisi lain, mereka diperlukan untuk mengevaluasi kuantitas individu. Saat membandingkan nilai individu dengan rata-rata, karakteristik berharga diperoleh untuk masing-masingnya. Penggunaan rata-rata membutuhkan kepatuhan yang ketat pada prinsip homogenitas populasi. Pelanggaran prinsip ini mendistorsi gagasan tentang proses nyata.
Perhitungan rata-rata dari populasi yang heterogen secara sosial ekonomi membuat mereka fiktif, terdistorsi. Oleh karena itu, untuk menggunakan rata-rata dengan benar, seseorang harus yakin bahwa rata-rata tersebut mencirikan populasi statistik yang homogen.
KARAKTERISTIK KEANEKARAGAMAN TANDA B
STATISTIK POPULASI
Nilai fitur ini atau itu tidak sama untuk semua anggota populasi, meskipun relatif homogen. Misalnya, dalam kelompok anak yang homogen dalam hal usia, jenis kelamin, dan tempat tinggal, tinggi badan setiap anak berbeda dengan tinggi badan teman sebayanya. Demikian pula tentang jumlah kunjungan individu ke poliklinik, tentang kadar protein darah pada setiap penderita rematik, tentang tingkat tekanan darah pada individu dengan hipertensi, dll. Hal ini menunjukkan keragaman, fluktuasi masuk ke populasi yang diteliti. Variabilitas dapat direpresentasikan secara menantang dengan contoh pertumbuhan dalam kelompok remaja.
Statistik memungkinkan kita untuk mengkarakterisasi ini dengan kriteria khusus yang menentukan tingkat keragaman setiap fitur dalam kelompok tertentu. Kriteria tersebut antara lain: limit (lim), amplitudo seri (Saya), simpangan baku (s) dan koefisien variasi (C v). Karena masing-masing kriteria ini memiliki nilai independennya sendiri, maka perlu untuk memikirkannya secara terpisah.
Membatasi- ditentukan oleh nilai ekstrim dari varian dalam seri variasi
Amplitudo (Saya) - perbedaan ekstrim
Batas dan amplitudo - berikan beberapa informasi tentang tingkat keragaman pertumbuhan di setiap kelompok. Namun, baik limit maupun amplitudo deret tersebut memiliki satu kelemahan yang signifikan. Mereka hanya memperhitungkan keragaman varian ekstrem dan tidak memungkinkan memperoleh informasi tentang keragaman suatu sifat dalam agregat, dengan mempertimbangkan struktur internalnya. Faktanya adalah bahwa keragaman dimanifestasikan tidak begitu banyak dalam varian ekstrem seperti dalam analisis seluruh struktur internal kelompok. Oleh karena itu, kriteria ini dapat digunakan untuk karakterisasi perkiraan keanekaragaman, terutama dengan sejumlah kecil pengamatan (n<30).
Deskripsi paling lengkap tentang keragaman suatu sifat dalam kelompok diberikan oleh apa yang disebut simpangan baku, dilambangkan dengan huruf Yunani "sigma" -s.
Ada dua cara untuk menghitung simpangan baku: rata-rata aritmatika dan metode momen.
Dengan metode penghitungan rata-rata aritmatika, rumus digunakan di mana: d- penyimpangan sebenarnya dari varian dari rata-rata yang sebenarnya (V-M).
Rumus digunakan dengan sejumlah kecil pengamatan (n<30), когда в вариационном ряду все частоты p= 1.
Pada R> 1 gunakan rumus seperti ini:
Dengan adanya teknologi komputer, rumus ini juga digunakan untuk sejumlah besar pengamatan.
Rumus ini dirancang untuk menentukan "sigma" dengan metode momen:
di mana:sebuah- penyimpangan bersyarat dari rata-rata bersyarat ( V-A); p- frekuensi kemunculan varian; n- pilihan nomor; saya- ukuran interval antar kelompok.
Metode ini digunakan dalam kasus-kasus di mana tidak ada teknologi komputer, dan deret variasi menjadi rumit baik karena banyaknya pengamatan maupun karena varian yang dinyatakan dalam bilangan multi-nilai. Dengan jumlah pengamatan sama dengan 30 atau kurang, pada saat derajat kedua P ganti untuk (P-1).
Seperti dapat dilihat dari rumus simpangan baku (4), penyebutnya adalah ( P-1), yaitu ketika jumlah pengamatan sama dengan atau kurang dari 30 (n £ 30), perlu untuk mengambil penyebut dari rumus ( P-satu). Jika, ketika menentukan mean aritmatika M memperhitungkan semua elemen deret, kemudian, menghitung sebuah, perlu untuk mengambil tidak semua kasus, tetapi satu kurang (n-1).
Dengan banyaknya observasi (n>30), penyebut rumus adalah P, Jadi sebagai unit tidak mengubah hasil perhitungan dan karena itu secara otomatis dihilangkan.
Perlu dicatat bahwa standar deviasi adalah nilai bernama, sehingga harus memiliki sebutan yang sama untuk varian dan mean aritmatika (dimensi - kg, lihat km, dll.).
Perhitungan simpangan baku dengan metode momen dilakukan setelah dilakukan perhitungan nilai rata-rata.
Ada kriteria lain yang mencirikan tingkat keragaman nilai sifat dalam agregat, - koefisien variasi.
Koefisien variasi (Cv)- adalah ukuran relatif keragaman, karena dihitung sebagai persentase dari standar deviasi (a) untuk rata-rata aritmatika (M). Rumus untuk koefisien variasi adalah:
Untuk penilaian perkiraan tingkat keragaman suatu sifat, gradasi berikut dari koefisien variasi digunakan. Jika koefisien lebih dari 20%, maka keragaman yang kuat dicatat; pada 20-10% - rata-rata, dan jika koefisiennya kurang dari 10%, maka keragamannya dianggap lemah.
Koefisien variasi digunakan ketika membandingkan derajat keragaman fitur yang memiliki perbedaan ukuran fitur atau dimensi yang tidak sama. Misalkan Anda ingin membandingkan tingkat keragaman berat badan pada bayi baru lahir dan anak berusia 5 tahun. Jelas bahwa bayi yang baru lahir akan selalu memiliki "sigma" yang lebih sedikit daripada anak-anak berusia tujuh tahun, karena berat badan mereka masing-masing lebih sedikit. Standar deviasi akan lebih kecil dimana nilai fitur itu sendiri lebih kecil. Dalam hal ini, untuk menentukan perbedaan tingkat keragaman, perlu untuk tidak fokus pada standar deviasi, tetapi pada ukuran relatif keragaman - koefisien variasi v.
Koefisien variasi juga sangat penting untuk menilai dan membandingkan tingkat keragaman beberapa fitur dengan dimensi yang berbeda. Dengan standar deviasi masih tidak mungkin untuk menilai perbedaan tingkat keragaman karakter yang ditunjukkan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan koefisien variasi - Cv.
Standar deviasi terkait dengan struktur rangkaian distribusi fitur. Secara skematis, ini dapat direpresentasikan sebagai berikut.
Teori statistik telah membuktikan bahwa dengan distribusi normal dalam M ± s ada 68% dari semua kasus, dalam M ± 2s - 95,5% dari semua kasus, dan dalam M ± 3s - 99,7% dari semua kasus yang membentuk populasi . Dengan demikian, M±3s mencakup hampir seluruh seri variasi.
Posisi teoritis statistik tentang keteraturan struktur deret ini sangat penting untuk aplikasi praktis dari standar deviasi. Anda dapat menggunakan aturan ini untuk memperjelas - pertanyaan tentang kekhasan rata-rata. Jika 95% dari semua varian berada dalam M ± 2s, maka rata-rata - adalah karakteristik untuk seri ini dan tidak diperlukan untuk menambah jumlah pengamatan secara agregat. Untuk menentukan kekhasan mean, distribusi aktual dibandingkan dengan distribusi teoritis dengan menghitung deviasi sigma.
Signifikansi praktis dari standar deviasi juga terletak pada kenyataan bahwa mengetahui M dan s, adalah mungkin untuk membuat deret variasi yang diperlukan untuk penggunaan praktis. Sigma ( s) juga digunakan untuk membandingkan derajat keragaman karakteristik yang homogen, misalnya ketika membandingkan fluktuasi (variabilitas) tumbuh kembang anak di perkotaan dan perdesaan. Mengetahui sigma ( s), dimungkinkan untuk menghitung koefisien variasi (Cv) yang diperlukan untuk membandingkan tingkat keragaman fitur yang dinyatakan dalam unit pengukuran yang berbeda (sentimeter, kilogram, dll.). Ini memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi tanda-tanda yang lebih stabil (permanen) dan kurang stabil dalam agregat.
Membandingkan koefisien variasi (CV), adalah mungkin untuk menarik kesimpulan tentang fitur apa yang paling stabil dalam totalitas fitur. Standar deviasi (s) Hal ini juga digunakan untuk mengevaluasi fitur individu dari satu objek. Standar deviasi menunjukkan berapa banyak sigma ( s) dari rata-rata (M) pengukuran individu ditolak.
Standar deviasi ( s) dapat digunakan dalam biologi dan ekologi dalam pengembangan masalah norma dan patologi.
Akhirnya, standar deviasi merupakan komponen penting dari rumus t m- kesalahan rata-rata dari rata-rata aritmatika (kesalahan keterwakilan):
di mana t m- kesalahan rata-rata dari mean aritmatika (kesalahan keterwakilan), P- jumlah pengamatan.
keterwakilan. Landasan teoretis yang paling penting dari keterwakilan disorot di atas pada bagian pengambilan sampel dan populasi umum. Keterwakilan berarti keterwakilan dalam kumpulan sampel dari semua karakteristik yang dipertimbangkan (jenis kelamin, usia, profesi, masa kerja, dll.) dari unit pengamatan yang membentuk populasi umum. Keterwakilan populasi sampel ini dalam kaitannya dengan populasi umum dicapai dengan bantuan metode seleksi khusus, yang dijelaskan di bawah ini.
Penilaian reliabilitas hasil penelitian didasarkan pada landasan teori keterwakilan.
PENILAIAN KEANDALAN HASIL PENELITIAN
Keandalan indikator statistik harus dipahami sebagai tingkat kesesuaiannya dengan realitas yang dicerminkannya. Hasil yang dapat diandalkan adalah hasil yang tidak mendistorsi dan secara benar mencerminkan realitas objektif.
Untuk menilai reliabilitas hasil penelitian berarti menentukan dengan probabilitas apa yang mungkin untuk mentransfer hasil yang diperoleh dari populasi sampel ke seluruh populasi.
Dalam kebanyakan penelitian, peneliti, sebagai suatu peraturan, harus berurusan dengan sebagian dari fenomena yang diteliti, dan mentransfer kesimpulan berdasarkan hasil penelitian semacam itu ke seluruh fenomena secara keseluruhan - ke populasi umum.
Dengan demikian, penilaian reliabilitas diperlukan untuk menilai fenomena secara keseluruhan, keteraturannya, dengan bagian dari fenomena tersebut.
Penilaian reliabilitas hasil penelitian meliputi penentuan:
1) kesalahan keterwakilan (kesalahan rata-rata sarana aritmatika dan nilai relatif) - t;
2) batas kepercayaan nilai rata-rata (atau relatif);
3) keandalan perbedaan antara nilai rata-rata (atau relatif)
(sesuai dengan kriteriat
);
4) reliabilitas selisih antar kelompok yang dibandingkan menurut kriteriac 2 .
1. Penentuan kesalahan rata-rata dari nilai rata-rata (atau relatif) (kesalahan keterwakilan) - yaitu.
Kesalahan perwakilan ( m) adalah nilai statistik terpenting yang diperlukan untuk menilai keandalan hasil penelitian. Kesalahan ini terjadi dalam kasus-kasus ketika diperlukan untuk mengkarakterisasi fenomena secara keseluruhan sebagian. Kesalahan-kesalahan ini tidak bisa dihindari. Mereka berasal dari sifat pengambilan sampel; populasi umum dapat dicirikan oleh populasi sampel hanya dengan beberapa kesalahan, diukur dengan kesalahan keterwakilan.
Kesalahan keterwakilan tidak boleh disamakan dengan gagasan kesalahan yang biasa: metodologis, akurasi pengukuran, aritmatika, dll.
Besarnya kesalahan keterwakilan menentukan seberapa besar hasil yang diperoleh selama pengamatan selektif berbeda dari hasil yang dapat diperoleh dengan melakukan studi terus menerus terhadap semua elemen populasi umum tanpa kecuali.
Ini adalah satu-satunya jenis kesalahan yang dicatat oleh metode statistik, yang tidak dapat dihilangkan kecuali transisi ke studi berkelanjutan dibuat. Kesalahan keterwakilan dapat direduksi menjadi nilai yang cukup kecil, yaitu hingga nilai kesalahan yang diperbolehkan. Hal ini dilakukan dengan memasukkan jumlah pengamatan yang cukup dalam sampel. (P).
Setiap rata-rata adalah M(durasi rata-rata perawatan, tinggi rata-rata, berat badan rata-rata, tingkat protein darah rata-rata, dll.), serta masing-masing nilai relatif - R(angka kematian, morbiditas, dll.) harus disajikan dengan kesalahan rata-rata - t. Jadi, rata-rata aritmatika sampel (M) memiliki kesalahan keterwakilan, yang disebut kesalahan rata-rata rata-rata aritmatika (m m) dan ditentukan oleh rumus:
Seperti yang dapat dilihat dari rumus ini, nilai rata-rata kesalahan rata-rata aritmatika berbanding lurus dengan derajat keragaman fitur dan berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari jumlah pengamatan. Oleh karena itu, penurunan besarnya kesalahan ini dalam menentukan derajat keanekaragaman ( s) dimungkinkan dengan meningkatkan jumlah pengamatan.
Prinsip ini menjadi dasar metode penentuan jumlah observasi yang cukup untuk suatu sampel studi.
Nilai relatif (R), yang diperoleh dalam studi sampel juga memiliki kesalahan keterwakilan sendiri, yang disebut kesalahan rata-rata dari nilai relatif dan dilambangkan m p
Untuk menentukan kesalahan rata-rata dari nilai relatif (R) rumus berikut digunakan:
di mana R- nilai relatif. Jika indikator dinyatakan dalam persentase, maka q=100-P, jika R- dalam ppm, maka q=1000-P, jika R- dalam desimal, maka q= 10000-R dll.; P- jumlah pengamatan. Bila jumlah pengamatan kurang dari 30, penyebutnya harus diambil ( P - 1 ).
Setiap rata-rata aritmatika atau nilai relatif yang diperoleh dari populasi sampel harus disajikan dengan kesalahan rata-ratanya sendiri. Hal ini memungkinkan untuk menghitung batas kepercayaan dari nilai rata-rata dan relatif, serta untuk menentukan keandalan perbedaan antara indikator yang dibandingkan (hasil penelitian).
1. memiliki karakter abstrak, karena merupakan nilai generalisasi, ia menghapus
fluktuasi acak
2. menempati posisi tengah dalam satu baris (dalam baris yang sangat simetris)
3. Jumlah deviasi semua opsi dari nilai rata-rata adalah nol. Properti ini rata-rata
nilai digunakan untuk memeriksa kebenaran perhitungan nilai rata-rata.
Jenis rata-rata
1. Fashion (Mo) - varian yang paling sering ditemukan di seri variasi.
2. Median (Me) - varian yang menempati bagian tengah dalam seri variasi
posisi, yaitu, varian tengah, membagi seri variasi menjadi dua
bagian yang sama.
M o dan M e - rata-rata bersyarat.
3. Arti hitung:
a) Rata-rata aritmatika sederhana
b) Rata-rata tertimbang aritmatika
di). Rata-rata aritmatika, dihitung dengan metode momen.
Perhitungan mean aritmatika, sederhana dan berbobot
Dalam kasus di mana kita memiliki deret variasi sederhana di mana setiap varian
sesuai dengan frekuensi (P) sama dengan 1, rata-rata aritmatika sederhana over
di mana M adalah mean aritmatika - tanda penjumlahan dari varian-V, n adalah jumlah pengamatan
Jadi, rata-rata aritmatika sederhana sama dengan jumlah semua opsi dibagi dengan angka
pengamatan.
Contoh: Penentuan berat badan rata-rata anak laki-laki pada usia 18 (dalam kg)
Namun, paling sering perlu untuk menghitung rata-rata tertimbang aritmatika, yang:
diperoleh dari seri berbobot, di mana setiap opsi 
terjadi beberapa kali berbeda
atau, seperti yang mereka katakan, memiliki bobot yang berbeda.
Rata-rata tertimbang aritmatika dihitung dengan rumus:
M = wakil presiden,
n di mana M adalah mean aritmatika adalah tanda penjumlahan, V adalah varian,
P - frekuensi kemunculan, n - jumlah pengamatan
Dengan demikian, rata-rata tertimbang aritmatika sama dengan jumlah produk opsi dengan
frekuensi dibagi dengan jumlah semua pengamatan.
Contoh: penentuan berat badan rata-rata remaja putra pada usia 18 tahun (dalam kg.)
|
|
|||
kgPerhitungan mean aritmatika dengan metode momen
Dengan sejumlah besar pengamatan atau dengan nilai numerik yang besar, opsi yang digunakan
cara yang disederhanakan untuk menghitung mean aritmatika adalah metode momen.
M = A+ saya ar
di mana M adalah mean aritmatika; A - rata-rata bersyarat; i - interval antara opsi grup;
- tanda penjumlahan.; a - penyimpangan bersyarat dari setiap opsi dari rata-rata bersyarat;
p adalah frekuensi kemunculan varian; n adalah jumlah pengamatan.
Contoh menghitung mean aritmatika dengan metode momen (berat badan rata-rata
anak laki-laki di bawah usia 18 tahun)
|
ar = - 10kg |
Tahapan menghitung rata-rata dengan metode momen:
2) kami menentukan "a" - penyimpangan bersyarat opsi dari rata-rata bersyarat, untuk ini kami mengurangi rata-rata bersyarat dari setiap opsi: a \u003d V - A, (misalnya, a \u003d 64 - 62 \u003d + 2, dll).
3) kami mengalikan deviasi bersyarat "a" dengan frekuensi "p" dari setiap opsi dan mendapatkan produk a p;
4) tentukan jumlah a. p = - 10kg
5) menghitung mean aritmatika dengan metode momen:
M = A + i ar\u003d 62 - 10,4 \u003d 61,6 kg
Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam kelompok pria muda yang dipelajari oleh kami, berat badan rata-rata
Rata-rata aritmatika dengan sendirinya tidak mengatakan apa-apa tentang deret variasi dari mana
dia diperhitungkan. Kekhasannya (keandalan) dipengaruhi oleh homogenitas yang dipertimbangkan
variabilitas material dan seri.
Contoh: dua deret variasi yang identik dalam jumlah pengamatan diberikan, di mana
menyajikan data pengukuran lingkar kepala anak usia 1 sampai 2 tahun
Memiliki jumlah pengamatan yang sama dan rata-rata aritmatika yang sama (M = 46 cm), deret tersebut
memiliki perbedaan distribusi di dalamnya. Jadi varian baris pertama secara umum menyimpang dari
rata-rata aritmatika dengan nilai lebih rendah dari opsi baris kedua, yang memberikan
kemungkinan untuk mengasumsikan bahwa rata-rata aritmatika (46 cm) lebih khas untuk yang pertama
baris daripada yang kedua.
Dalam statistik, untuk mengkarakterisasi keragaman deret variasi, mereka menggunakan rata-rata
simpangan baku()
Ada dua cara untuk menghitung simpangan baku: mean aritmatika
cara dan cara saat. Dengan metode perhitungan rata-rata aritmatika, rumus yang digunakan:
di mana d adalah deviasi sebenarnya dari setiap opsi dari mean sebenarnya M. Rumus ini digunakan ketika
sejumlah kecil pengamatan (n 30)
Rumus untuk menentukan dengan metode momen:
di mana a adalah deviasi bersyarat opsi dari rata-rata bersyarat 
;
momen derajat kedua, dan 
momen pangkat pertama, kuadrat.
Telah dibuktikan secara teoritis dan praktis bahwa jika, dengan sejumlah besar pengamatan, ke rata-rata
aritmatika menambah dan mengurangi 1 (M1), kemudian dalam nilai yang diperoleh
68,3% dari semua varian seri variasi akan ditemukan. Jika ke mean aritmatika
tambahkan dan kurangi 2 (M2), maka 95,5% akan berada dalam nilai yang diperoleh
semua pilihan. M 3 mencakup 99,7% dari semua varian seri variasi.
Berdasarkan ketentuan ini, dimungkinkan untuk memeriksa kekhasan rata-rata aritmatika untuk
seri variasi dari mana ia dihitung. Untuk ini, perlu rata-rata
tambahkan aritmatika dan kurangi tiga kali lipat (M3) darinya. Jika dalam batas
diberikan kecocokan deret variasi, maka rata-rata aritmatika adalah tipikal, yaitu dia adalah
mengungkapkan keteraturan dasar dari seri dan dapat digunakan.
Ketentuan ini banyak digunakan dalam pengembangan berbagai standar (pakaian,
sepatu, perabot sekolah, dll.).
Derajat keanekaragaman sifat dalam deret variasi dapat diperkirakan dengan koefisien
variasi(rasio simpangan baku dengan rata-rata aritmatika,
dikalikan 100%)
Dengan v = x 100
Pada Cv kurang dari 10%, keragaman yang lemah dicatat, pada Cv 10-20% - rata-rata, dan pada lebih dari 20% -
keragaman sifat yang kuat.
