Fungsi adalah hukum yang menyatakan bahwa bilangan x dari himpunan X dikaitkan dengan hanya satu bilangan y, tulis mereka, sedangkan x disebut argumen fungsi, y disebut nilai fungsi.
Ada berbagai cara untuk mendefinisikan fungsi.

1. Metode analitis.
Metode analitis adalah cara yang paling umum untuk mendefinisikan suatu fungsi.
Ini terdiri dari fakta bahwa fungsi diberikan oleh rumus yang menetapkan operasi apa yang harus dilakukan pada x untuk menemukan y. Sebagai contoh .
Perhatikan contoh pertama - . Di sini nilai x = 1 sesuai dengan , nilai x = 3 sesuai, dll.
Suatu fungsi dapat didefinisikan pada bagian yang berbeda dari himpunan X dengan fungsi yang berbeda.
Sebagai contoh:

Dalam semua contoh yang diberikan sebelumnya tentang cara pengaturan analitis, fungsi ditetapkan secara eksplisit. Artinya, variabel y berada di sebelah kanan, dan rumus pada variabel x berada di sebelah kanan. Namun, dengan cara pengaturan analitis, fungsi dapat diatur secara implisit.
Sebagai contoh . Di sini, jika kita memberikan nilai x, maka untuk menemukan nilai y (nilai fungsi), kita harus menyelesaikan persamaannya. Misalnya, untuk fungsi yang diberikan pertama pada x = 3, kita akan menyelesaikan persamaan:
. Artinya, nilai fungsi pada x = 3 adalah -4/3.
Dengan metode analitis pengaturan, fungsi dapat diatur secara parametrik - ini adalah ketika x dan y diekspresikan melalui beberapa parameter t. Sebagai contoh,

Di sini, pada t = 2, x = 2, y = 4. Artinya, nilai fungsi pada x = 2 adalah 4.
2. Cara grafis.
Dengan metode grafis, sistem koordinat persegi panjang diperkenalkan dan sekumpulan titik dengan koordinat (x, y) ditampilkan dalam sistem koordinat ini. Di mana . Contoh:
3. Cara lisan.
Fungsi ditentukan menggunakan formulasi verbal. Contoh klasik adalah fungsi Dirichlet.
“Fungsinya adalah 1 jika x adalah bilangan rasional; fungsi adalah 0 jika x adalah bilangan irasional.
4. Metode tabel.
Metode tabular paling mudah digunakan jika himpunan X berhingga. Dengan metode ini, sebuah tabel dikompilasi di mana setiap elemen dari himpunan X diberi nomor Y.
Contoh.

Cara utama untuk menentukan fungsi diberikan: analitis eksplisit; selang; parametrik; implisit; mendefinisikan fungsi menggunakan seri; datar; grafis. Contoh penerapan metode ini

Berikut adalah cara-cara untuk mendefinisikan fungsi y = f (x):

1. Metode analisis eksplisit menggunakan rumus bentuk y = f (x).
2. Selang.
3. Parametrik: x = x (t) , y = y(t).
4. Implisit, sebagai solusi untuk persamaan F (x, y) = 0.
5. Dalam bentuk deret yang terdiri dari fungsi-fungsi yang diketahui.
6. Datar.
7. Grafis.

Cara eksplisit untuk mendefinisikan suatu fungsi

Pada cara eksplisit, nilai fungsi ditentukan oleh rumus, yaitu persamaan y = f (x). Di sisi kiri persamaan ini adalah variabel dependen y, dan di sisi kanan adalah ekspresi yang terdiri dari variabel independen x, konstanta, fungsi yang diketahui, dan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Fungsi yang diketahui adalah fungsi dasar dan fungsi khusus, yang nilainya dapat dihitung menggunakan teknologi komputer.

Berikut adalah beberapa contoh pendefinisian fungsi secara eksplisit dengan variabel bebas x dan variabel terikat y :
;
;
.

Cara interval untuk mendefinisikan fungsi

Pada metode interval pengaturan fungsi, domain definisi dibagi menjadi beberapa interval, dan fungsinya ditentukan secara terpisah untuk setiap interval.

Berikut adalah beberapa contoh cara interval untuk mendefinisikan suatu fungsi:

Cara parametrik untuk mendefinisikan suatu fungsi

Pada metode parametrik, variabel baru diperkenalkan, yang disebut parameter. Selanjutnya, nilai x dan y ditetapkan sebagai fungsi parameter, menggunakan cara pengaturan eksplisit:
(1)

Berikut adalah contoh cara parametrik untuk mendefinisikan fungsi menggunakan parameter t:

Keuntungan dari metode parametrik adalah bahwa fungsi yang sama dapat didefinisikan dalam banyak cara. Misalnya, suatu fungsi dapat didefinisikan seperti ini:

Dan itu mungkin seperti ini:

Kebebasan memilih seperti itu, dalam beberapa kasus, memungkinkan Anda menerapkan metode ini untuk menyelesaikan persamaan (lihat "Persamaan diferensial yang tidak mengandung salah satu variabel"). Inti dari aplikasi ini adalah kita mensubstitusikan dua fungsi dan bukannya variabel x dan y ke dalam persamaan. Kemudian kami menetapkan salah satunya atas kebijaksanaan kami sendiri, sehingga yang lain dapat ditentukan dari persamaan yang dihasilkan.

Juga, metode ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Sebagai contoh, ketergantungan koordinat titik-titik elips dengan semiax a dan b dapat direpresentasikan sebagai berikut:
.
Dalam bentuk parametrik, ketergantungan ini dapat diberikan bentuk yang lebih sederhana:
.

Persamaan (1) bukan satu-satunya cara untuk mendefinisikan fungsi secara parametrik. Anda dapat memasukkan bukan hanya satu, tetapi beberapa parameter dengan menautkannya dengan persamaan tambahan. Misalnya, Anda dapat memasukkan dua parameter dan . Maka definisi fungsi akan terlihat seperti ini:

Di sinilah persamaan tambahan yang berkaitan dengan parameter. Jika jumlah parameter adalah n , maka harus ada n - 1 persamaan tambahan.

Contoh penggunaan beberapa parameter ditetapkan pada halaman Persamaan Diferensial Jacobi. Di sana, solusinya dicari dalam bentuk berikut:
(2) .
Hasilnya adalah sistem persamaan. Untuk mengatasinya, parameter keempat t diperkenalkan. Setelah menyelesaikan sistem, diperoleh tiga persamaan yang menghubungkan empat parameter dan .

Cara implisit untuk mendefinisikan suatu fungsi

Pada cara implisit, nilai fungsi ditentukan dari solusi persamaan .

Sebagai contoh, persamaan untuk elips adalah:
(3) .
Ini adalah persamaan sederhana. Jika kita mempertimbangkan hanya bagian atas dari elips, , maka kita dapat menyatakan variabel y sebagai fungsi dari x secara eksplisit:
(4) .
Tetapi bahkan jika dimungkinkan untuk mereduksi (3) menjadi cara eksplisit untuk menentukan fungsi (4), rumus terakhir tidak selalu nyaman digunakan. Misalnya, untuk menemukan turunan , lebih mudah untuk membedakan persamaan (3) daripada (4):
;
.

Menyetel fungsi di sekitar

Cara yang sangat penting untuk mendefinisikan suatu fungsi adalah dengan representasi baris terdiri dari fungsi-fungsi yang diketahui. Metode ini memungkinkan Anda untuk menjelajahi fungsi dengan metode matematika dan menghitung nilainya untuk masalah yang diterapkan.

Representasi yang paling umum adalah mendefinisikan fungsi menggunakan deret pangkat. Dalam hal ini, sejumlah fungsi daya digunakan:
.
Deret dengan eksponen negatif juga digunakan:
.
Misalnya, fungsi sinus memiliki ekspansi berikut:
(5) .
Ekspansi semacam itu banyak digunakan dalam teknologi komputer untuk menghitung nilai fungsi, karena memungkinkan seseorang untuk mengurangi perhitungan menjadi operasi aritmatika.

Sebagai ilustrasi, mari kita hitung nilai sinus 30° menggunakan ekspansi (5).
Konversi derajat ke radian:
.
Pengganti (5):



.

Dalam matematika, bersama dengan deret pangkat, ekspansi ke deret trigonometri dalam fungsi dan , serta dalam fungsi khusus lainnya, banyak digunakan. Dengan bantuan deret, seseorang dapat membuat perhitungan perkiraan integral, persamaan (diferensial, integral, dalam turunan parsial) dan menyelidiki solusi mereka.

Cara tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi

Pada cara tabular untuk mengatur fungsi kami memiliki tabel yang berisi nilai variabel independen x dan nilai yang sesuai dari variabel dependen y . Variabel independen dan dependen mungkin memiliki sebutan yang berbeda, tetapi kami menggunakan x dan y di sini. Untuk menentukan nilai fungsi untuk nilai x yang diberikan, kami menggunakan tabel untuk menemukan nilai x yang paling dekat dengan nilai kami. Setelah itu, kami menentukan nilai yang sesuai dari variabel dependen y .

Untuk definisi nilai fungsi yang lebih tepat, kami menganggap bahwa fungsi antara dua nilai x yang berdekatan adalah linier, yaitu memiliki bentuk berikut:
.
Berikut adalah nilai fungsi yang ditemukan dari tabel, dengan nilai argumen yang sesuai.
Pertimbangkan sebuah contoh. Mari kita cari nilai fungsi di . Dari tabel kami menemukan:
.
Kemudian

.
Nilai yang tepat:
.
Dari contoh ini, terlihat bahwa penggunaan aproksimasi linier menyebabkan peningkatan akurasi dalam menentukan nilai fungsi.

Metode tabular digunakan dalam ilmu terapan. Sebelum perkembangan teknologi komputer, itu banyak digunakan dalam teknik dan perhitungan lainnya. Sekarang metode tabular digunakan dalam statistik dan ilmu eksperimental untuk mengumpulkan dan menganalisis data eksperimen.

Cara grafis untuk mendefinisikan suatu fungsi

Pada cara grafis, nilai fungsi ditentukan dari grafik, di sepanjang sumbu absis di mana nilai-nilai variabel independen diplot, dan di sepanjang sumbu ordinat - variabel dependen.

Metode grafis memberikan representasi visual dari perilaku fungsi. Hasil studi suatu fungsi sering digambarkan dengan grafiknya. Dari grafik, Anda dapat menentukan nilai perkiraan fungsi. Ini memungkinkan Anda untuk menggunakan metode grafis dalam ilmu terapan dan teknik.

fungsi adalah korespondensi antara elemen-elemen dari dua himpunan, yang ditetapkan menurut aturan sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari satu himpunan dikaitkan dengan beberapa elemen dari himpunan lain.

grafik suatu fungsi adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang absis (x) dan ordinat (y) dihubungkan oleh fungsi yang ditentukan:

titik terletak (atau terletak) pada grafik fungsi jika dan hanya jika .

Dengan demikian, suatu fungsi dapat dijelaskan secara memadai oleh grafiknya.

cara tabel. Cukup umum, ini terdiri dari pengaturan tabel nilai argumen individu dan nilai fungsi yang sesuai. Metode pendefinisian fungsi ini digunakan jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan berhingga diskrit.

Dengan metode tabular untuk menentukan suatu fungsi, dimungkinkan untuk menghitung nilai fungsi yang tidak terkandung dalam tabel secara kira-kira, sesuai dengan nilai tengah argumen. Untuk melakukan ini, gunakan metode interpolasi.

Keuntungan dari metode tabular pengaturan fungsi adalah memungkinkan untuk menentukan nilai spesifik tertentu sekaligus, tanpa pengukuran atau perhitungan tambahan. Namun, dalam beberapa kasus, tabel tidak mendefinisikan fungsi sepenuhnya, tetapi hanya untuk beberapa nilai argumen dan tidak memberikan representasi visual tentang sifat perubahan fungsi tergantung pada perubahan argumen.

cara grafis. Grafik fungsi y = f(x) adalah himpunan semua titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan yang diberikan.

Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi tidak selalu memungkinkan untuk secara akurat menentukan nilai numerik argumen. Namun, ini memiliki keunggulan besar dibandingkan metode lain - visibilitas. Dalam teknik dan fisika, metode grafis untuk pengaturan fungsi sering digunakan, dan grafik adalah satu-satunya cara yang tersedia untuk ini.

Agar penugasan grafis suatu fungsi menjadi cukup benar dari sudut pandang matematis, perlu untuk menunjukkan konstruksi geometrik yang tepat dari grafik, yang, paling sering, diberikan oleh persamaan. Ini mengarah ke cara berikut untuk mendefinisikan suatu fungsi.

cara analitis. Paling sering, hukum yang menetapkan hubungan antara argumen dan fungsi ditentukan melalui rumus. Cara mendefinisikan fungsi ini disebut analitis.

Metode ini memungkinkan setiap nilai numerik dari argumen x untuk menemukan nilai numerik yang sesuai dari fungsi y secara tepat atau dengan akurasi tertentu.

Jika hubungan antara x dan y diberikan oleh rumus yang diselesaikan sehubungan dengan y, yaitu. memiliki bentuk y = f(x), maka kita katakan bahwa fungsi x diberikan secara eksplisit.

Jika nilai x dan y dihubungkan oleh suatu persamaan berbentuk F(x,y) = 0, yaitu. rumus tidak diperbolehkan sehubungan dengan y, yang berarti bahwa fungsi y = f(x) didefinisikan secara implisit.

Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan rumus yang berbeda di bagian yang berbeda dari area tugasnya.

Metode analitik adalah cara yang paling umum untuk mendefinisikan fungsi. Kekompakan, keringkasan, kemampuan untuk menghitung nilai fungsi untuk nilai argumen yang berubah-ubah dari domain definisi, kemampuan untuk menerapkan peralatan analisis matematis ke fungsi yang diberikan adalah keuntungan utama dari metode analitik untuk mendefinisikan suatu fungsi. Kerugiannya termasuk kurangnya visibilitas, yang dikompensasi oleh kemampuan untuk membuat grafik dan kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang terkadang sangat rumit.

cara lisan. Metode ini terdiri dari fakta bahwa ketergantungan fungsional dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh 1: fungsi E(x) adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Secara umum, E(x) = [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Dengan kata lain, jika x = r + q, di mana r adalah bilangan bulat (mungkin negatif) dan q termasuk dalam interval = r. Fungsi E(x) = [x] konstan pada interval = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) - bagian pecahan dari suatu bilangan. Lebih tepatnya, y =(x) = x - [x], di mana [x] adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x. Jika x adalah bilangan arbitrer, maka dinyatakan sebagai x = r + q (r = [x]), di mana r adalah bilangan bulat dan q terletak pada interval .
Kita melihat bahwa menambahkan n ke argumen x tidak mengubah nilai fungsi.
Bilangan bukan nol terkecil dalam n adalah , jadi periodenya adalah sin 2x .

Nilai argumen yang fungsinya sama dengan 0 disebut nol (akar) fungsi.

Suatu fungsi dapat memiliki beberapa nol.

Misalnya, fungsi y=x(x+1)(x-3) memiliki tiga nol: x=0, x=-1, x=3.

Secara geometris, nol suatu fungsi adalah absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu X .

Gambar 7 menunjukkan grafik fungsi dengan nol: x = a, x = b dan x = c .

Jika grafik suatu fungsi mendekati garis lurus tertentu tanpa batas saat menjauh dari titik asal, maka garis lurus ini disebut asimtot.

Fungsi terbalik

Biarkan fungsi y=ƒ(x) diberikan dengan domain definisi D dan himpunan nilai E. Jika setiap nilai yєE sesuai dengan nilai tunggal xєD, maka fungsi x=φ(y) didefinisikan dengan domain definisi E dan himpunan nilai D (lihat Gambar 102).

Fungsi seperti itu (y) disebut invers dari fungsi (x) dan ditulis dalam bentuk berikut: x=j(y)=f -1 (y) Tentang fungsi y=ƒ(x) dan x=φ(y) mereka mengatakan bahwa mereka saling terbalik. Untuk mencari fungsi x=φ(y) invers ke fungsi y=ƒ(x), cukup dengan menyelesaikan persamaan (x)=y terhadap x (jika mungkin).

1. Untuk fungsi y \u003d 2x, fungsi kebalikannya adalah fungsi x \u003d y / 2;

2. Untuk fungsi y \u003d x2 xє, fungsi kebalikannya adalah x \u003d y; perhatikan bahwa untuk fungsi y \u003d x 2, diberikan pada segmen [-1; 1], tidak ada invers, karena satu nilai y sesuai dengan dua nilai x (misalnya, jika y=1/4, maka x1=1/2, x2=-1/2).

Dari definisi fungsi invers diperoleh bahwa fungsi y=ƒ(x) memiliki invers jika dan hanya jika fungsi (x) mendefinisikan korespondensi satu-satu antara himpunan D dan E. Oleh karena itu, setiap fungsi yang sangat monoton memiliki invers. Selain itu, jika fungsi bertambah (berkurang), maka fungsi kebalikannya juga bertambah (berkurang).

Perhatikan bahwa fungsi y \u003d (x) dan inversnya x \u003d (y) digambarkan oleh kurva yang sama, yaitu grafiknya bertepatan. Jika kita setuju bahwa, seperti biasa, variabel bebas (yaitu, argumen) dilambangkan dengan x, dan variabel terikat oleh y, maka fungsi invers dari fungsi y \u003d ƒ (x) akan ditulis sebagai y \u003d (x).

Artinya titik M 1 (x o; y o) dari kurva y=ƒ(x) menjadi titik M 2 (y o; x o) dari kurva y=φ(x). Tetapi titik-titik M 1 dan M 2 simetris terhadap garis lurus y \u003d x (lihat Gambar 103). Oleh karena itu, grafik fungsi saling invers y=ƒ(x) dan y=φ(x) adalah simetris terhadap garis bagi sudut koordinat pertama dan ketiga.

Fungsi kompleks

Biarkan fungsi y=ƒ(u) didefinisikan pada himpunan D, dan fungsi u= (x) pada himpunan D 1 , dan untuk x D 1 nilai yang sesuai u=φ(x) D. Kemudian pada himpunan D 1 didefinisikan fungsi u=ƒ(φ(x)), yang disebut fungsi kompleks dari x (atau superposisi dari fungsi yang diberikan, atau fungsi dari suatu fungsi).

Variabel u=φ(x) disebut argumen perantara dari fungsi kompleks.

Misalnya, fungsi y=sin2x adalah superposisi dari dua fungsi y=sinu dan u=2x. Fungsi kompleks dapat memiliki beberapa argumen perantara.

4. Fungsi dasar dasar dan grafiknya.

Fungsi berikut disebut fungsi dasar dasar.

1) Fungsi eksponensial y \u003d a x, a> 0, a 1. Dalam gbr. 104 menunjukkan grafik fungsi eksponensial yang sesuai dengan berbagai basis eksponensial.

2) Fungsi daya y=x , R. Contoh grafik fungsi pangkat yang sesuai dengan berbagai eksponen disediakan dalam gambar

3) Fungsi logaritma y=log a x, a>0,a≠1 Grafik fungsi logaritma yang sesuai dengan basis yang berbeda ditunjukkan pada gambar. 106.

4) Fungsi trigonometri y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafik fungsi trigonometri memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar. 107.

5) Fungsi trigonometri terbalik y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. pada gambar. 108 menunjukkan grafik fungsi trigonometri terbalik.

Fungsi yang diberikan oleh satu rumus, terdiri dari fungsi dasar dan konstanta dasar menggunakan sejumlah terbatas operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan operasi pengambilan fungsi dari suatu fungsi, disebut fungsi dasar.

Contoh fungsi dasar adalah fungsi

Contoh fungsi non-dasar adalah fungsi

5. Konsep limit barisan dan fungsi. Batasi properti.

Batas fungsi (batas fungsi) pada suatu titik tertentu, yang membatasi domain definisi suatu fungsi, adalah suatu nilai di mana nilai fungsi yang dipertimbangkan cenderung ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu.

Dalam matematika batas urutan elemen ruang metrik atau ruang topologi adalah elemen dari ruang yang sama yang memiliki sifat "menarik" elemen urutan tertentu. Batas barisan elemen ruang topologi adalah titik tersebut, yang setiap tetangganya memuat semua elemen barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan. Dalam ruang metrik, lingkungan didefinisikan dalam fungsi jarak, sehingga gagasan tentang batas dirumuskan dalam bahasa jarak. Secara historis, yang pertama adalah konsep limit barisan numerik, yang muncul dalam analisis matematis, di mana ia berfungsi sebagai dasar untuk sistem aproksimasi dan digunakan secara luas dalam konstruksi kalkulus diferensial dan integral.

Penamaan:

(Baca: limit barisan ke-x sebagai encenderung tak hingga adalah a)

Sifat barisan yang memiliki limit disebut konvergensi: jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan konvergen; sebaliknya (jika barisan tidak memiliki limit) barisan tersebut dikatakan menyimpang. Dalam ruang Hausdorff, dan khususnya ruang metrik, setiap barisan barisan konvergen konvergen, dan limitnya sama dengan limit barisan aslinya. Dengan kata lain, barisan elemen dalam ruang Hausdorff tidak dapat memiliki dua limit yang berbeda. Mungkin, bagaimanapun, ternyata barisan itu tidak memiliki batas, tetapi ada barisan (dari barisan yang diberikan) yang memiliki batas. Jika suatu barisan titik dalam suatu ruang memiliki barisan yang konvergen, maka ruang tersebut dikatakan memiliki sifat kekompakan berurutan (atau, sederhananya, kekompakan jika kekompakan didefinisikan secara eksklusif dalam barisan).

Konsep limit suatu barisan berhubungan langsung dengan konsep titik limit (kumpulan): jika suatu himpunan mempunyai titik limit, maka ada barisan elemen-elemen himpunan tersebut yang konvergen ke titik tertentu.

Definisi

Biarkan ruang topologi dan urutan diberikan Kemudian, jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

dimana adalah himpunan terbuka yang memuat , maka disebut limit dari barisan tersebut . Jika ruang adalah metrik, maka batas dapat didefinisikan menggunakan metrik: jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

di mana adalah metrik, maka disebut batas.

· Jika sebuah ruang dilengkapi dengan topologi antidiskrit, maka limit dari sembarang barisan adalah sembarang elemen dari ruang tersebut.

6. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Batas sepihak.

Fungsi satu variabel. Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Cauchy. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang bilangan positif ada bilangan positif sehingga untuk semua x a, sehingga | x – sebuah | < , выполняется неравенство
| f(x) – sebuah | <  .

Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Heine. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang barisan ( x n ) konvergen ke sebuah(bercita-cita untuk sebuah, yang memiliki jumlah batas sebuah), dan untuk nilai apa pun n x tidak sebuah, urutan ( kamu n= f(x n)) konvergen ke b.

Definisi ini mengasumsikan bahwa fungsi pada = f(x) didefinisikan di beberapa lingkungan titik sebuah, kecuali mungkin untuk intinya sebuah.

Definisi limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy dan menurut Heine adalah ekuivalen: jika bilangan b berfungsi sebagai batas di salah satunya, maka hal yang sama berlaku di yang kedua.

Batas yang ditentukan ditunjukkan sebagai berikut:

Secara geometris, adanya limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy berarti bahwa untuk sembarang bilangan > 0, persegi panjang tersebut dapat ditunjukkan pada bidang koordinat dengan alas 2 > 0, tinggi 2 dan pusat pada titik ( sebuah; b) bahwa semua titik grafik fungsi ini pada interval ( sebuah– ; sebuah+ ), dengan kemungkinan pengecualian titik M(sebuah; f(sebuah)), terletak di persegi panjang ini

Batas satu sisi dalam analisis matematis, batas fungsi numerik, menyiratkan "mendekati" titik batas dari satu sisi. Batas seperti itu disebut masing-masing batas kiri(atau batas kiri) dan batas kanan (batas di sebelah kanan). Biarkan fungsi numerik diberikan pada beberapa himpunan numerik dan jumlahnya menjadi titik batas dari domain definisi. Ada berbagai definisi untuk batas satu sisi dari suatu fungsi pada suatu titik, tetapi semuanya setara.

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Fungsi dapat didefinisikan dalam berbagai cara. Namun, tiga cara berikut untuk mendefinisikan fungsi adalah yang paling umum: analitis, tabular, dan grafis.

Cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi. Dengan metode analitis pengaturan, fungsi didefinisikan menggunakan ekspresi analitis, yaitu, menggunakan rumus yang menunjukkan operasi apa yang harus dilakukan pada nilai argumen untuk mendapatkan nilai fungsi yang sesuai.

Di Bagian 2 dan 3, kita telah bertemu dengan fungsi yang didefinisikan dengan bantuan rumus, yaitu secara analitik. Pada saat yang sama, pada paragraf 2 untuk fungsi, domain definisi ) ditetapkan berdasarkan pertimbangan geometrik, dan untuk fungsi, domain penugasan ditunjukkan dalam kondisi. Dalam Bagian 3, untuk fungsi, domain definisi juga ditentukan oleh kondisi. Namun, sangat sering suatu fungsi ditentukan hanya dengan bantuan ekspresi analitis (rumus), tanpa kondisi tambahan apa pun. Dalam kasus seperti itu, dengan domain suatu fungsi, yang kami maksud adalah himpunan semua nilai argumen yang membuat ekspresi ini masuk akal dan mengarah ke nilai sebenarnya dari fungsi tersebut.

Contoh 1. Temukan ruang lingkup suatu fungsi

Keputusan. Fungsi hanya ditentukan oleh rumus, cakupannya tidak ditentukan, dan tidak ada ketentuan tambahan. Oleh karena itu, di bawah domain fungsi ini, kita harus memahami totalitas semua nilai argumen yang ekspresinya memiliki nilai nyata. Untuk ini harus ada. Memecahkan ketidaksetaraan ini, kami sampai pada kesimpulan bahwa domain dari fungsi ini adalah segmen [-1.1].

Contoh 2. Temukan ruang lingkup suatu fungsi.

Keputusan. Domain definisi, jelas, terdiri dari dua interval tak terbatas, karena ekspresi tidak dan masuk akal ketika a didefinisikan untuk semua nilai lainnya.

Pembaca sekarang akan dengan mudah melihat sendiri bahwa untuk suatu fungsi, domain definisi akan menjadi seluruh sumbu numerik, dan untuk suatu fungsi, interval tak terbatas

Perlu dicatat bahwa tidak mungkin untuk mengidentifikasi fungsi dan formula yang digunakan untuk menentukan fungsi ini. Dengan menggunakan rumus yang sama, Anda dapat menentukan fungsi yang berbeda. Memang, di Bagian 2 kami mempertimbangkan fungsi dengan domain definisi, di Bagian 3 grafik dibangun untuk fungsi dengan domain definisi . Dan, akhirnya, kita baru saja mempertimbangkan sebuah fungsi yang didefinisikan hanya oleh sebuah rumus tanpa kondisi tambahan apapun. Ruang lingkup fungsi ini adalah seluruh sumbu bilangan. Ketiga fungsi ini berbeda karena memiliki ruang lingkup yang berbeda. Tapi mereka diatur menggunakan rumus yang sama.

Kasus sebaliknya juga dimungkinkan, ketika satu fungsi di bagian yang berbeda dari domain definisinya diberikan oleh rumus yang berbeda. Misalnya, pertimbangkan fungsi y yang didefinisikan untuk semua nilai non-negatif sebagai berikut: untuk di yaitu.

Fungsi ini didefinisikan oleh dua ekspresi analitik yang bekerja pada bagian yang berbeda dari domain definisinya. Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar. delapan belas.

Cara tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi. Ketika suatu fungsi ditentukan dalam sebuah tabel, sebuah tabel dibuat di mana sejumlah nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai ditunjukkan. Tabel logaritma, tabel nilai fungsi trigonometri dan masih banyak lagi yang lainnya sudah dikenal luas. Cukup sering perlu menggunakan tabel nilai fungsi yang diperoleh langsung dari pengalaman. Tabel berikut menunjukkan resistivitas tembaga yang diperoleh dari pengalaman (dalam cm - sentimeter) pada berbagai suhu t (dalam derajat):

Cara grafis untuk mendefinisikan suatu fungsi. Ketika tugas grafis diberikan, grafik fungsi diberikan, dan nilainya yang sesuai dengan nilai argumen tertentu langsung ditemukan dari grafik ini. Dalam banyak kasus, grafik seperti itu digambar menggunakan alat perekam otomatis.