IV Yakovlev | Materi tentang matematika | MathUs.ru
Deret aritmatika
Deret aritmatika adalah jenis barisan yang khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometrik), kita perlu membahas secara singkat konsep penting barisan bilangan.
selanjutnya
Bayangkan sebuah perangkat di layar yang beberapa nomornya ditampilkan satu demi satu. Katakanlah 2; 7; tigabelas; satu; 6; 0; 3; : : : Himpunan bilangan tersebut hanyalah contoh barisan.
Definisi. Barisan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, berkorespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n dari barisan tersebut.
Jadi, dalam contoh di atas, angka pertama memiliki angka 2, yang merupakan anggota pertama dari barisan, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; nomor lima memiliki nomor 6 yang merupakan anggota kelima dari urutan, yang dapat dilambangkan a5 . Secara umum, anggota ke-n dari suatu barisan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dll.).
Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutannya: 1; satu; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; satu; satu; satu; : : :
Tidak setiap himpunan bilangan merupakan barisan. Jadi, segmen bukan urutan; itu berisi 'terlalu banyak' nomor untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.
Perkembangan aritmatika: definisi dasar
Sekarang kita siap untuk mendefinisikan deret aritmatika.
Definisi. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku (dimulai dari yang kedua) sama dengan jumlah dari suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih dari barisan aritmatika).
Misalnya, urutan 2; 5; delapan; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; delapan; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika dengan selisih nol.
Definisi Setara: Barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an adalah konstanta (tidak bergantung pada n).
Suatu barisan aritmatika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.
1 Dan berikut adalah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya, barisan bilangan real adalah fungsi f:N! R.
Secara default, urutan dianggap tak terbatas, yaitu, berisi jumlah angka yang tak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; sebenarnya, setiap himpunan bilangan berhingga dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan terakhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri dari lima angka.
Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika
Sangat mudah untuk memahami bahwa deret aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua angka: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, menemukan suku sembarang dari suatu deret aritmatika?
Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari suatu deret aritmatika. Biarkan
barisan aritmatika dengan selisih d. Kita punya: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Secara khusus, kami menulis: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tugas 1. Dalam deret aritmatika 2; 5; delapan; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.
Keputusan. Menurut rumus (1) kita memiliki:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Sifat dan tanda deret aritmatika
sifat-sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmatika untuk sembarang
Dengan kata lain, setiap anggota barisan aritmatika (dimulai dari yang kedua) adalah rata-rata aritmatika dari anggota tetangga.
Bukti. Kita punya: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
yang dibutuhkan.
Secara umum, deret aritmatika memenuhi persamaan
a n = a n k+ a n+k
untuk n > 2 dan k alami apa pun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ternyata rumus (2) tidak hanya merupakan syarat perlu tetapi juga syarat yang cukup untuk suatu barisan menjadi barisan aritmatika.
Tanda barisan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an adalah barisan aritmatika.
Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:
a na n 1 = a n+1a n:
Hal ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan barisan aritmatika.
Sifat dan tanda suatu deret aritmatika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).
Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.
Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 yang diurutkan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari deret ini.
Keputusan. Dengan properti dari deret aritmatika, kami memiliki:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Jika x = 1, maka diperoleh penurunan sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh peningkatan sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak berhasil.
Jawab: x = 1, selisihnya 6.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
Legenda mengatakan bahwa suatu kali guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100 dan duduk untuk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah memecahkan masalah tersebut. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah.
Ide Little Gauss adalah ini. Biarlah
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
dan tambahkan dua rumus ini:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Setiap suku di dalam kurung sama dengan 101, dan ada 100 suku secara total.Oleh karena itu
2S = 101 100 = 10100;
Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus jumlah
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.
Keputusan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari barisan tersebut adalah:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terkandung dalam progres kami. Untuk melakukan ini, kami memecahkan ketidaksetaraan:
sebuah 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):
Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.
Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.
Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.
Notasi deret aritmatika
Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.
Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).
Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.
Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Menyelesaikan masalah pada deret aritmatika
Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_5=23\)
Contoh (OG).
Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Keputusan:
|
Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(-3\)
Contoh (OG).
Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Keputusan:
|
|
Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan progresi. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Dan sekarang kami menemukan apa yang kami cari tanpa masalah: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(7,5\).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Jumlah yang diminta telah ditemukan. |
Menjawab: \(S_6=9\).
Contoh (OG).
Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Keputusan:
Menjawab: \(d=7\).
Rumus Kemajuan Aritmatika Penting
Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaannya dari kemajuan).
Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...
Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak memecahkan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.
Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).
Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen sepersejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.
Contoh.
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_(246)=1850\).
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana
\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(25)=1090\).
Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana
\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.
Contoh.
Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Keputusan:
Menjawab: \(S_(33)=-231\).
Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks
Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )
Contoh (OG).
Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-sembilan belas\); \(-18.7\)…
Keputusan:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami sampai ke elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu apa \(n\) ini akan terjadi. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Komputasi... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…dan ternyata elemen positif pertama memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Keputusan:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? |
|
|
Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (setelah semua, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan yang berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Menjawab: \(S=1683\).
Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.
Jumlah dari barisan aritmatika.
Jumlah dari deret aritmatika adalah hal yang sederhana. Baik dalam arti maupun dalam rumus. Tetapi ada segala macam tugas tentang topik ini. Dari dasar hingga cukup padat.
Pertama, mari kita berurusan dengan arti dan rumus jumlah. Dan kemudian kami akan memutuskan. Untuk kesenangan Anda sendiri.) Arti dari penjumlahan sesederhana melenguh. Untuk menemukan jumlah deret aritmatika, Anda hanya perlu menambahkan semua anggotanya dengan hati-hati. Jika istilah ini sedikit, Anda dapat menambahkan tanpa rumus apa pun. Tetapi jika ada banyak, atau banyak ... penambahan itu mengganggu.) Dalam hal ini, rumusnya disimpan.
Rumus penjumlahannya sederhana:
Mari kita cari tahu jenis huruf apa yang termasuk dalam rumus. Ini akan menjernihkan banyak hal.
S n adalah jumlah dari barisan aritmatika. Hasil tambahan semua anggota, dengan pertama pada terakhir. Itu penting. Tambahkan dengan tepat semua anggota berturut-turut, tanpa celah dan lompatan. Dan, tepatnya, mulai dari pertama. Dalam soal-soal seperti mencari jumlah suku ketiga dan kedelapan, atau jumlah suku lima sampai dua puluh, penerapan langsung rumus akan mengecewakan.)
sebuah 1 - pertama anggota kemajuan. Semuanya jelas di sini, sederhana pertama nomor baris.
sebuah- terakhir anggota kemajuan. Nomor baris terakhir. Bukan nama yang sangat familiar, tapi bila diterapkan jumlahnya, sangat cocok. Kemudian Anda akan melihat sendiri.
n adalah jumlah anggota terakhir. Penting untuk dipahami bahwa dalam rumus angka ini sesuai dengan jumlah anggota yang ditambahkan.
Mari kita definisikan konsepnya terakhir anggota sebuah. Mengisi pertanyaan: anggota seperti apa yang akan terakhir, jika diberikan tak berujung deret aritmatika?
Untuk jawaban yang meyakinkan, Anda perlu memahami arti dasar dari deret aritmatika dan ... baca tugas dengan cermat!)
Dalam tugas mencari jumlah suatu deret aritmatika, suku terakhir selalu muncul (langsung atau tidak langsung), yang harus dibatasi. Jika tidak, jumlah tertentu yang terbatas hanya tidak ada. Untuk solusinya, tidak masalah jenis kemajuan apa yang diberikan: terbatas atau tak terbatas. Tidak masalah bagaimana itu diberikan: dengan serangkaian angka, atau dengan rumus anggota ke-n.
Yang paling penting adalah memahami bahwa rumus bekerja dari suku pertama dari deret ke suku dengan angka n. Sebenarnya, nama lengkap rumusnya terlihat seperti ini: jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika. Jumlah anggota pertama ini, yaitu. n, ditentukan semata-mata oleh tugas. Dalam tugas, semua informasi berharga ini sering dienkripsi, ya ... Tapi tidak ada, dalam contoh di bawah ini kami akan mengungkapkan rahasia ini.)
Contoh tugas untuk jumlah deret aritmatika.
Pertama-tama, informasi yang berguna:
Kesulitan utama dalam tugas untuk jumlah deret aritmatika adalah penentuan elemen-elemen rumus yang benar.
Penulis tugas mengenkripsi elemen-elemen ini dengan imajinasi tanpa batas.) Hal utama di sini adalah jangan takut. Memahami esensi elemen, cukup dengan menguraikannya. Mari kita lihat beberapa contoh secara rinci. Mari kita mulai dengan tugas berdasarkan GIA nyata.
1. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a n = 2n-3.5. Tentukan jumlah 10 suku pertama.
Kerja yang baik. Mudah.) Untuk menentukan jumlah menurut rumus, apa yang perlu kita ketahui? Anggota pertama sebuah 1, istilah terakhir sebuah, ya jumlah suku terakhir n.
Di mana mendapatkan nomor anggota terakhir? n? Ya, di tempat yang sama, dalam kondisi! Dikatakan temukan jumlahnya 10 anggota pertama. Nah, nomor berapa itu? terakhir, anggota kesepuluh?) Anda tidak akan percaya, nomornya adalah kesepuluh!) Karena itu, alih-alih sebuah kita substitusikan ke rumus 10, melainkan n- sepuluh. Sekali lagi, jumlah anggota terakhir sama dengan jumlah anggota.
Itu masih harus ditentukan sebuah 1 dan 10. Ini mudah dihitung dengan rumus suku ke-n, yang diberikan dalam pernyataan masalah. Tidak tahu bagaimana melakukannya? Kunjungi pelajaran sebelumnya, tanpa ini - tidak ada.
sebuah 1= 2 1 - 3,5 = -1.5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Kami menemukan arti dari semua elemen rumus untuk jumlah deret aritmatika. Tetap menggantikan mereka, dan menghitung:
Itu saja. Jawaban: 75.
Tugas lain berdasarkan GIA. Sedikit lebih rumit:
2. Diketahui suatu barisan aritmatika (a n), selisihnya adalah 3,7; a 1 \u003d 2.3. Tentukan jumlah 15 suku pertama.
Kami segera menulis rumus jumlah:
Rumus ini memungkinkan kita untuk menemukan nilai dari setiap anggota dengan nomornya. Kami mencari substitusi sederhana:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Tetap mengganti semua elemen dalam rumus untuk jumlah deret aritmatika dan menghitung jawabannya:
Jawaban: 423.
Omong-omong, jika dalam rumus jumlah bukannya sebuah substitusikan saja rumus suku ke-n, kita peroleh:
Kami memberikan yang serupa, kami mendapatkan formula baru untuk jumlah anggota deret aritmatika:
 |
Seperti yang Anda lihat, istilah ke-n tidak diperlukan di sini. sebuah. Dalam beberapa tugas, rumus ini sangat membantu, ya ... Anda dapat mengingat rumus ini. Dan Anda dapat menariknya pada waktu yang tepat, seperti di sini. Lagi pula, rumus jumlah dan rumus suku ke-n harus diingat dalam segala hal.)
Sekarang tugas dalam bentuk enkripsi singkat):
3. Tentukan jumlah semua bilangan positif dua angka yang merupakan kelipatan tiga.
Bagaimana! Tidak ada anggota pertama, tidak ada yang terakhir, tidak ada kemajuan sama sekali... Bagaimana cara hidup!?
Anda harus berpikir dengan kepala Anda dan menarik keluar dari kondisi semua elemen jumlah dari deret aritmatika. Apa itu angka dua digit - kita tahu. Mereka terdiri dari dua angka.) Berapa angka dua digit yang akan pertama? 10, mungkin.) hal terakhir dua digit angka? 99, tentu saja! Yang tiga digit akan mengikutinya ...
Kelipatan tiga... Hm... Ini adalah bilangan yang habis dibagi tiga, nih! Sepuluh tidak habis dibagi tiga, 11 tidak habis dibagi... 12... habis dibagi! Jadi, ada sesuatu yang muncul. Anda sudah dapat menulis seri sesuai dengan kondisi masalah:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Apakah deret ini merupakan deret aritmatika? Tentu! Setiap istilah berbeda dari yang sebelumnya dengan ketat tiga. Jika 2, atau 4, ditambahkan ke istilah, katakanlah, hasilnya, yaitu. angka baru tidak akan lagi dibagi 3. Anda dapat langsung menentukan perbedaan dari deret aritmatika ke heap: d = 3. Berguna!)
Jadi, kita dapat dengan aman menuliskan beberapa parameter perkembangan:
Apa yang akan menjadi nomor? n anggota terakhir? Siapapun yang berpikir bahwa 99 adalah kesalahan fatal ... Angka - mereka selalu berurutan, dan anggota kami melompati tiga besar. Mereka tidak cocok.
Ada dua solusi di sini. Salah satu caranya adalah untuk yang super pekerja keras. Anda dapat melukis kemajuan, seluruh rangkaian angka, dan menghitung jumlah istilah dengan jari Anda.) Cara kedua adalah untuk yang bijaksana. Anda perlu mengingat rumus untuk suku ke-n. Jika rumus diterapkan pada masalah kita, kita mendapatkan bahwa 99 adalah anggota ketiga puluh dari perkembangan. Itu. n = 30.
Kami melihat rumus untuk jumlah deret aritmatika:
Kami melihat dan bersukacita.) Kami mengeluarkan semua yang diperlukan untuk menghitung jumlah dari kondisi masalah:
sebuah 1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Yang tersisa adalah aritmatika dasar. Substitusikan angka-angka dalam rumus dan hitung:
Jawaban: 1665
Jenis lain dari teka-teki populer:
4. Sebuah deret aritmatika diberikan:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Temukan jumlah suku dari dua puluh hingga tiga puluh empat.
Kami melihat rumus jumlah dan ... kami kesal.) Rumusnya, izinkan saya mengingatkan Anda, menghitung jumlahnya dari yang pertama anggota. Dan dalam masalah Anda perlu menghitung jumlahnya sejak dua puluh... Formulanya tidak akan bekerja.
Anda tentu saja dapat mengecat seluruh progres secara berurutan, dan menempatkan anggota dari 20 menjadi 34. Tapi ... entah bagaimana itu ternyata bodoh dan untuk waktu yang lama, kan?)
Ada solusi yang lebih elegan. Mari kita pecah seri kita menjadi dua bagian. Bagian pertama akan dari suku pertama sampai suku kesembilan belas. Bagian kedua - dua puluh sampai tiga puluh empat. Jelas bahwa jika kita menghitung jumlah suku bagian pertama S 1-19, mari kita tambahkan ke jumlah anggota bagian kedua S 20-34, kita mendapatkan jumlah perkembangan dari suku pertama ke suku ketiga puluh empat S 1-34. Seperti ini:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ini menunjukkan bahwa untuk mencari jumlah S 20-34 dapat dilakukan dengan pengurangan sederhana
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Kedua jumlah di ruas kanan dianggap dari yang pertama anggota, yaitu rumus jumlah standar cukup berlaku untuk mereka. Apakah kita mulai?
Kami mengekstrak parameter perkembangan dari kondisi tugas:
d = 1,5.
sebuah 1= -21,5.
Untuk menghitung jumlah 19 suku pertama dan 34 suku pertama, kita memerlukan suku ke-19 dan ke-34. Kami menghitungnya sesuai dengan rumus suku ke-n, seperti pada soal 2:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
sebuah 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Tidak ada yang tersisa. Kurangi jumlah 19 suku dari jumlah 34 suku:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Jawaban: 262,5
Satu catatan penting! Ada fitur yang sangat berguna dalam memecahkan masalah ini. Alih-alih perhitungan langsung apa yang Anda butuhkan (S 20-34), kami menghitung apa, tampaknya, tidak diperlukan - S 1-19. Dan kemudian mereka menentukan S 20-34, membuang yang tidak perlu dari hasil penuh. "Tipuan dengan telinga" seperti itu sering kali disimpan dalam teka-teki jahat.)
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa masalah yang cukup untuk memahami arti dari jumlah deret aritmatika. Nah, Anda perlu mengetahui beberapa rumus.)
Saran praktis:
Saat memecahkan masalah apa pun untuk jumlah deret aritmatika, saya sarankan untuk segera menulis dua rumus utama dari topik ini.
Rumus suku ke-n:
Rumus-rumus ini akan segera memberi tahu Anda apa yang harus dicari, ke arah mana berpikir untuk memecahkan masalah. Membantu.
Dan sekarang tugas untuk solusi independen.
5. Tentukan jumlah semua bilangan dua angka yang tidak habis dibagi tiga.
Keren?) Petunjuknya tersembunyi di catatan untuk masalah 4. Nah, masalah 3 akan membantu.
6. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Tentukan jumlah 24 suku pertama.
Tidak biasa?) Ini adalah formula yang berulang. Anda dapat membacanya di pelajaran sebelumnya. Jangan abaikan tautannya, teka-teki seperti itu sering ditemukan di GIA.
7. Vasya menabung uang untuk Liburan. Sebanyak 4550 rubel! Dan saya memutuskan untuk memberi orang yang paling saya cintai (saya sendiri) beberapa hari kebahagiaan). Hiduplah dengan indah tanpa menyangkal apa pun dari diri Anda sendiri. Belanjakan 500 rubel pada hari pertama, dan belanjakan 50 rubel lebih banyak pada setiap hari berikutnya daripada hari sebelumnya! Sampai uang habis. Berapa hari kebahagiaan yang dimiliki Vasya?
Apakah sulit?) Rumus tambahan dari tugas 2 akan membantu.
Jawaban (berantakan): 7, 3240, 6.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Deret aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, anggota ke-n dari progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)
Konsep deret aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst. akan melangkah lebih jauh.
Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?
Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin-poin penting dari deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin kunci pertama.
Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...
Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)
Poin kunci kedua.
Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan ada di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, istilah dan notasi baru muncul di topik baru. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.
Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Istilah dan sebutan.
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.
Selisih barisan aritmatika.
Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.
Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor adalah menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.
Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Sebagai contoh:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.
Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. delapan:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.
Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, yah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!
Bagaimana cara menulis progresi dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).
Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.
Terakhir progresi memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)
Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Dalam entri singkat, Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(a n), n = 20
Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.
Contoh tugas untuk deret aritmatika.
Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:
1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....
sebuah 3 = sebuah 2 + d
Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Suku ketiga lebih kecil dari suku kedua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:
sebuah 4 = sebuah 3 + d
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + d
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + d
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Tetap mencari suku pertama sebuah 1 menurut detik terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:
sebuah 1 = sebuah 2 - d
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu saja. Tanggapan tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini berarti, hanya, pencarian anggota progresi dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.
Satu kesimpulan penting dapat ditarik dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.
Ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berkisar pada tiga parameter utama: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak menghitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.
Jawaban: tidak.
Dan inilah tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:
4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; limabelas; X; sembilan; 6; ...
Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi x dapat dengan mudah ditemukan dengan penjumlahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.
5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari suku ini.
7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .
8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.
Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat mempelajari perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua teka-teki ini dipecah sepotong demi sepotong.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi dari tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di telapak tangan Anda!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih rumit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana yang dengannya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Petunjuk
Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas, total suku ke-n arbitrer dari aritmatika kemajuan memiliki bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggota kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, bisa , yaitu, jumlah suku perkembangan. Jelas, itu akan ditentukan oleh rumus n = (An-A1+d)/d.
Biarkan suku ke-m diketahui sekarang kemajuan dan beberapa anggota lainnya kemajuan- ke-n, tetapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak cocok.Langkah kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.
Jika jumlah beberapa elemen suatu aritmatika kemajuan, serta yang pertama dan terakhir , maka jumlah elemen ini juga dapat ditentukan.Jumlah aritmatika kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) adalah chdenov kemajuan. Menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang sebagai: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari sini dapat dinyatakan n dengan memecahkan persamaan kuadrat.
Barisan aritmatika adalah kumpulan angka yang berurutan, yang masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Konstanta ini disebut selisih dari deret atau langkahnya dan dapat dihitung dari anggota deret aritmatika yang diketahui.
Petunjuk
Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku tetangga lainnya diketahui dari kondisi soal, untuk menghitung selisih (d), cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa positif atau negatif - itu tergantung pada apakah perkembangannya meningkat. Dalam bentuk umum, tulis solusi untuk pasangan arbitrer (aᵢ dan aᵢ₊₁) dari anggota-anggota deret yang bertetangga sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.
Untuk sepasang anggota dari deret seperti itu, salah satunya adalah yang pertama (a₁), dan yang lainnya adalah yang lain yang dipilih secara arbitrer, kita juga dapat membuat rumus untuk menemukan perbedaan (d). Namun, dalam hal ini, nomor seri (i) dari anggota urutan yang dipilih secara arbitrer harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua bilangan tersebut, dan bagi hasilnya dengan bilangan urut dari suku arbitrer yang dikurangi satu. Secara umum, tulis rumus ini sebagai berikut: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).
Jika, selain anggota arbitrer dari barisan aritmatika dengan bilangan urut i, anggota lain dengan bilangan urut u diketahui, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) dari barisan akan menjadi jumlah dari kedua suku ini dibagi dengan selisih bilangan urutnya: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).
Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi agak lebih rumit jika, dalam kondisi masalah, nilai anggota pertamanya (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari bilangan tertentu (i) dari anggota pertama dari barisan aritmatika diberikan. Untuk mendapatkan nilai yang diinginkan, bagi jumlah dengan jumlah suku yang membentuknya, kurangi nilai bilangan pertama dalam barisan, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan jumlah suku yang membentuk jumlah dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus untuk menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).
