Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian; jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Determinan

diperoleh dengan mengganti koefisien pada variabel yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan suku bebas:

;

.

teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linear:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi sistem (2):

kalkulator online, metode solusi Cramer.

Tiga kasus dalam memecahkan sistem persamaan linear

Seperti yang terlihat dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem konsisten dan tak tentu)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya m persamaan linier dengan n variabel disebut tidak cocok jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem

.

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
-

pengenal sistem. Determinan yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:

Contoh 2

.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Kami terus memecahkan sistem menggunakan metode Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili beberapa nomor, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menyebabkan masalah untuk menemukan sifat umum dari setiap fenomena dan objek. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel ada huruf. Tidak perlu jauh-jauh mencari contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk masalah yang sama, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 8 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk

di mana aij dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri.

Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kita sebut matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis.

Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.

Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin muncul:

Sistem persamaan linear yang memiliki paling sedikit satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.

Pertimbangkan cara untuk menemukan solusi untuk sistem.

METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas

Ayo temukan produknya

itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai

atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks A: . Sejauh A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X = A -1 B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:

Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Kami menyusun tiga determinan lagi sebagai berikut: kami mengganti berturut-turut 1, 2 dan 3 kolom dalam determinan D dengan kolom anggota bebas

Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:

Mari kita tambahkan persamaan ini:

Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

.

Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan suku-suku yang mengandung x 1. Untuk melakukan ini, kita membagi persamaan kedua dengan sebuah 21 dan kalikan dengan - sebuah 11 lalu dijumlahkan dengan persamaan pertama. Demikian pula, kami membagi persamaan ketiga menjadi sebuah 31 dan kalikan dengan - sebuah 11 dan kemudian tambahkan ke yang pertama. Akibatnya, sistem asli akan berbentuk:

Sekarang, dari persamaan terakhir, kami menghilangkan istilah yang mengandung x2. Untuk melakukannya, bagi persamaan ketiga dengan , kalikan dengan dan tambahkan ke persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:

Oleh karena itu dari persamaan terakhir mudah untuk menemukan x 3, maka dari persamaan ke-2 x2 dan akhirnya dari tanggal 1 - x 1.

Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat dipertukarkan jika perlu.

Seringkali, alih-alih menulis sistem persamaan baru, mereka membatasi diri untuk menulis matriks yang diperluas dari sistem:

dan kemudian membawanya ke bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.

Ke transformasi dasar matriks termasuk transformasi berikut:

1. permutasi baris atau kolom;
2. mengalikan string dengan angka bukan nol;
3. menambahkan ke satu baris baris lainnya.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.

Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Sebuah sistem persamaan aljabar linier N (SLAE) dengan tidak diketahui diberikan, koefisien yang adalah elemen dari matriks , dan anggota bebas adalah angka

Indeks pertama di sebelah koefisien menunjukkan di mana persamaan itu berada, dan yang kedua - di mana dari yang tidak diketahui itu berada.

Jika determinan matriks tidak sama dengan nol

maka sistem persamaan aljabar linier memiliki solusi yang unik.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier adalah suatu himpunan bilangan terurut , yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan yang benar.

Jika ruas kanan semua persamaan sistem sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut disebut homogen. Dalam kasus ketika beberapa di antaranya bukan nol, tidak seragam

Jika sistem persamaan aljabar linier memiliki setidaknya satu solusi, maka itu disebut konsisten, jika tidak, tidak kompatibel.

Jika solusi sistemnya unik, maka sistem persamaan linear tersebut disebut pasti. Dalam kasus ketika solusi dari sistem gabungan tidak unik, sistem persamaan disebut tak tentu.

Dua sistem persamaan linier disebut ekuivalen (atau setara) jika semua solusi dari satu sistem adalah solusi dari sistem kedua, dan sebaliknya. Sistem ekuivalen (atau ekuivalen) diperoleh dengan menggunakan transformasi ekuivalen.

Transformasi setara SLAE

1) penataan ulang persamaan;

2) perkalian (atau pembagian) persamaan dengan angka bukan nol;

3) menambahkan ke beberapa persamaan persamaan lain, dikalikan dengan angka bukan nol yang berubah-ubah.

Solusi SLAE dapat ditemukan dengan berbagai cara.

METODE CRAMER

Teorema Cramer. Jika determinan sistem persamaan aljabar linier dengan yang tidak diketahui berbeda dengan nol, maka sistem ini memiliki solusi unik, yang ditemukan dengan rumus Cramer:

adalah determinan yang dibentuk dengan penggantian kolom ke-i dengan kolom anggota bebas.

Jika , dan setidaknya salah satunya bukan nol, maka SLAE tidak memiliki solusi. Jika , maka SLAE memiliki banyak solusi. Pertimbangkan contoh menggunakan metode Cramer.

—————————————————————

Sebuah sistem tiga persamaan linier dengan tiga tidak diketahui diberikan. Selesaikan sistem dengan metode Cramer

Temukan determinan matriks koefisien untuk yang tidak diketahui

Karena , maka sistem persamaan yang diberikan konsisten dan memiliki solusi yang unik. Mari kita hitung determinannya:

Menggunakan rumus Cramer, kami menemukan yang tidak diketahui

Jadi satu-satunya solusi untuk sistem.

Sebuah sistem empat persamaan aljabar linier diberikan. Selesaikan sistem dengan metode Cramer.

Mari kita cari determinan matriks koefisien untuk yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kami memperluasnya dengan baris pertama.

Temukan komponen determinan:

Substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam determinan

Determinan, oleh karena itu, sistem persamaan konsisten dan memiliki solusi yang unik. Kami menghitung determinan menggunakan rumus Cramer:

Mari kita perluas setiap determinan dengan kolom di mana ada lebih banyak nol.

Dengan rumus Cramer kita temukan

Solusi sistem

Contoh ini dapat diselesaikan dengan kalkulator matematika YukhymCALC. Sebuah fragmen dari program dan hasil perhitungan ditunjukkan di bawah ini.

——————————

METODE C R A M E R

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= sepuluh

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Lihat materi:

(jkomentar di)

Dalam kasus umum, aturan untuk menghitung determinan orde ke-th agak rumit. Untuk determinan orde kedua dan ketiga, ada cara rasional untuk menghitungnya.

Perhitungan determinan orde kedua

Untuk menghitung determinan matriks orde kedua, perlu untuk mengurangkan produk elemen-elemen diagonal sekunder dari produk elemen-elemen diagonal utama:

Contoh

Latihan. Hitung determinan orde dua

Keputusan.

Menjawab.

Metode untuk menghitung determinan orde ketiga

Ada aturan untuk menghitung determinan orde ketiga.

aturan segitiga

Secara skematis, aturan ini dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Hasilkali elemen-elemen pada determinan pertama yang dihubungkan oleh garis diambil dengan tanda tambah; demikian pula, untuk determinan kedua, produk yang sesuai diambil dengan tanda minus, yaitu.

Contoh

Latihan. Hitung determinan metode segitiga.

Keputusan.

Menjawab.

Aturan Sarrus

Di sebelah kanan determinan, dua kolom pertama ditambahkan dan produk dari elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal yang sejajar dengannya diambil dengan tanda plus; dan produk dari elemen-elemen diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda minus:

Contoh

Latihan. Hitung determinan menggunakan aturan Sarrus.

Keputusan.

Menjawab.

Ekspansi baris atau kolom determinan

Determinan sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris determinan dan komplemen aljabarnya.

Biasanya memilih baris/kolom di mana ada nol. Baris atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan ditunjukkan oleh panah.

Contoh

Latihan. Memperluas baris pertama, hitung determinannya

Keputusan.

Menjawab.

Metode ini memungkinkan perhitungan determinan direduksi menjadi perhitungan determinan orde yang lebih rendah.

Contoh

Latihan. Hitung determinan

Keputusan. Mari kita lakukan transformasi berikut pada baris-baris determinan: dari baris kedua kita kurangi empat yang pertama, dan dari baris ketiga baris pertama dikalikan tujuh, sebagai hasilnya, menurut sifat-sifat determinannya, kita memperoleh a determinan sama dengan yang diberikan.

Determinan adalah nol karena baris kedua dan ketiga sebanding.

Menjawab.

Untuk menghitung determinan orde keempat dan lebih tinggi, baik ekspansi baris / kolom, atau pengurangan ke bentuk segitiga, atau menggunakan teorema Laplace digunakan.

Penguraian determinan dalam hal elemen baris atau kolom

Contoh

Latihan. Hitung determinan , menguraikannya dengan elemen-elemen dari beberapa baris atau beberapa kolom.

Keputusan. Mari kita lakukan transformasi dasar pada baris determinan dengan membuat nol sebanyak mungkin baik dalam satu baris atau dalam sebuah kolom. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita kurangi sembilan pertiga dari baris pertama, lima pertiga dari yang kedua, dan tiga pertiga dari yang keempat, kita mendapatkan:

Kami memperluas determinan yang dihasilkan dengan elemen-elemen kolom pertama:

Determinan orde ketiga yang dihasilkan juga diperluas oleh elemen baris dan kolom, setelah sebelumnya memperoleh nol, misalnya, pada kolom pertama.

Untuk melakukan ini, kami mengurangi dua baris kedua dari baris pertama, dan yang kedua dari yang ketiga:

Menjawab.

Komentar

Determinan terakhir dan kedua dari belakang tidak dapat dihitung, tetapi segera disimpulkan bahwa mereka sama dengan nol, karena mengandung baris proporsional.

Membawa determinan ke bentuk segitiga

Dengan bantuan transformasi dasar pada baris atau kolom, determinan direduksi menjadi bentuk segitiga, dan kemudian nilainya, menurut sifat-sifat determinan, sama dengan produk elemen-elemen pada diagonal utama.

Contoh

Latihan. Hitung determinan membawanya ke bentuk segitiga.

Keputusan. Pertama, kita membuat nol di kolom pertama di bawah diagonal utama.

4. Sifat determinan. Determinan hasil kali matriks.

Semua transformasi akan lebih mudah dilakukan jika elemennya sama dengan 1. Untuk melakukan ini, kita akan menukar kolom pertama dan kedua dari determinan, yang, menurut sifat-sifat determinannya, akan menyebabkannya berubah tanda menjadi kebalikannya. :

Selanjutnya, kita mendapatkan nol di kolom kedua sebagai ganti elemen di bawah diagonal utama. Dan lagi, jika elemen diagonalnya sama dengan , maka perhitungannya akan lebih sederhana. Untuk melakukan ini, kami menukar baris kedua dan ketiga (dan pada saat yang sama mengubah tanda determinan yang berlawanan):

Menjawab.

teorema Laplace

Contoh

Latihan. Menggunakan teorema Laplace, hitung determinannya

Keputusan. Kami memilih dua baris dalam penentu urutan kelima ini - yang kedua dan ketiga, lalu kami dapatkan (kami menghilangkan istilah yang sama dengan nol):

Menjawab.

PERSAMAAN LINIER DAN PERTIMBANGAN I

31 Kasus ketika determinan utama dari sistem persamaan sama dengan nol, dan setidaknya satu determinan bantu berbeda dari nol

Dalil.Jika determinan utama sistem persamaan

(1)

sama dengan nol, dan setidaknya salah satu determinan bantu berbeda dari nol, maka sistem tidak konsisten.

Secara formal, pembuktian teorema ini tidak sulit diperoleh dengan kontradiksi. Mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan (1) memiliki solusi ( x 0 , kamu 0). Padahal, seperti yang ditunjukkan pada paragraf sebelumnya,

Δ x 0 = Δ x , Δ kamu 0 = Δ kamu (2)

Tapi dengan syarat Δ = 0, dan setidaknya salah satu determinannya Δ x dan Δ kamu berbeda dari nol. Dengan demikian, persamaan (2) tidak dapat berlaku secara bersamaan. Teorema telah terbukti.

Namun, tampaknya menarik untuk menjelaskan secara lebih rinci mengapa sistem persamaan (1) tidak konsisten dalam kasus yang sedang dipertimbangkan.

berarti bahwa koefisien yang tidak diketahui dalam sistem persamaan (1) sebanding. Biarkan, misalnya,

sebuah 1 = kan 2 ,b 1 = kb 2 .

berarti koefisien pada dan suku bebas persamaan sistem (1) tidak proporsional. Sejauh b 1 = kb 2 , maka c 1 =/= kc 2 .

Oleh karena itu, sistem persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk berikut:

Dalam sistem ini, koefisien untuk yang tidak diketahui masing-masing proporsional, tetapi koefisien untuk pada (atau kapan X ) dan suku bebasnya tidak proporsional. Sistem seperti itu, tentu saja, tidak konsisten. Memang, jika dia punya solusi ( x 0 , kamu 0), maka persamaan numerik

k (sebuah 2 x 0 + b 2 kamu 0) = c 1

sebuah 2 x 0 + b 2 kamu 0 = c 2 .

Tetapi salah satu dari persamaan ini bertentangan dengan yang lain: bagaimanapun juga, c 1 =/= kc 2 .

Kami hanya mempertimbangkan kasus ketika Δ x =/= 0. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika Δ kamu =/= 0."

Teorema terbukti dapat dirumuskan dengan cara berikut.

Jika koefisien untuk yang tidak diketahui X dan pada dalam sistem persamaan (1) proporsional, dan koefisien dari salah satu yang tidak diketahui dan suku bebas ini tidak proporsional, maka sistem persamaan ini tidak konsisten.

Mudah, misalnya, untuk memverifikasi bahwa masing-masing sistem ini tidak konsisten:

Metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

rumus Cramer

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linier. Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan.

metode Cramer. Aplikasi untuk sistem persamaan linear

Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian; jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi. Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Determinan

diperoleh dengan mengganti koefisien pada variabel yang tidak diketahui yang bersesuaian dengan suku bebas:

;

.

teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi tunggal, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut adalah determinan sistem, dan pembilang adalah determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dengan yang tidak diketahui dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

Contoh 1 Memecahkan sistem persamaan linear:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi sistem (2):

Tiga kasus dalam memecahkan sistem persamaan linear

Seperti yang terlihat dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linier memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

*

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem konsisten dan tak tentu)

**
,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya m persamaan linier dengan n variabel disebut tidak cocok jika tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem

.

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
—

pengenal sistem. Determinan yang tersisa diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan anggota bebas:

Contoh 2

.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Jika tidak ada variabel dalam sistem persamaan linier dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian dengannya sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Ikuti kuis tentang Sistem Persamaan Linear

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 4 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili beberapa nomor, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu menyebabkan masalah untuk menemukan sifat umum dari setiap fenomena dan objek. Artinya, Anda menemukan beberapa bahan atau perangkat baru, dan untuk menggambarkan sifat-sifatnya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah salinan, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel ada huruf. Tidak perlu jauh-jauh mencari contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk masalah yang sama, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 6 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

,

,

.

Dan akhirnya, sistem empat persamaan dengan empat yang tidak diketahui.

Contoh 7 Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Perhatian! Metode untuk menghitung determinan orde keempat tidak akan dijelaskan di sini. Setelah itu - ke bagian situs yang sesuai. Tapi akan ada beberapa komentar. Keputusan. Kami menemukan determinan sistem:

Sebuah komentar kecil. Pada determinan asal, unsur-unsur baris keempat dikurangi dengan unsur-unsur baris kedua, unsur-unsur baris keempat dikalikan 2 dikurangi dengan unsur-unsur baris ketiga, unsur-unsur baris pertama dikalikan 2 adalah dikurangi dari elemen baris keempat skema. Menemukan determinan untuk yang tidak diketahui

Untuk transformasi determinan dengan yang keempat tidak diketahui, elemen baris keempat dikurangkan dari elemen baris pertama.

Dengan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (1; 1; -1; -1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online, metode penyelesaian Cramer.

Yang paling penuh perhatian mungkin memperhatikan bahwa artikel tersebut tidak memuat contoh penyelesaian sistem persamaan linier tak tentu. Dan semua karena tidak mungkin menyelesaikan sistem seperti itu dengan metode Cramer, kami hanya dapat menyatakan bahwa sistem tersebut tidak terbatas. Solusi dari sistem tersebut diberikan dengan metode Gauss.

Tidak punya waktu untuk mempelajari solusinya? Anda dapat memesan pekerjaan!

Bagian atas halaman

Ikuti kuis tentang Sistem Persamaan Linear

Lainnya dengan topik "Sistem persamaan dan pertidaksamaan"

Kalkulator - selesaikan sistem persamaan secara online

Implementasi terprogram dari metode Cramer di C++

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode substitusi dan metode penambahan

Solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss

Kondisi kompatibilitas sistem persamaan linier.

Teorema Kronecker-Capelli

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode matriks (inverse matrix)

Sistem pertidaksamaan linier dan himpunan titik cembung

Awal dari topik "Aljabar Linier"

Determinan

Pada artikel ini, kita akan berkenalan dengan konsep yang sangat penting dari bagian aljabar linier, yang disebut determinan.

Saya ingin segera mencatat poin penting: konsep determinan hanya berlaku untuk matriks persegi (jumlah baris = jumlah kolom), matriks lain tidak memilikinya.

Determinan matriks persegi(determinan) — karakteristik numerik dari matriks.

Penunjukan determinan: |A|, det A, ∆ A.

penentu Orde "n" disebut jumlah aljabar dari semua produk yang mungkin dari elemen-elemennya yang memenuhi persyaratan berikut:

1) Setiap produk tersebut mengandung tepat "n" elemen (yaitu, penentu urutan kedua adalah 2 elemen).

2) Di setiap produk, ada perwakilan dari setiap baris dan setiap kolom sebagai faktor.

3) Dua faktor dalam setiap produk tidak boleh termasuk dalam baris atau kolom yang sama.

Tanda hasil kali ditentukan oleh urutan pergantian nomor kolom, jika elemen-elemen dalam produk disusun dalam urutan menaik dari nomor baris.

Perhatikan beberapa contoh mencari determinan matriks:

Untuk matriks orde pertama (mis.

Persamaan linear. Memecahkan sistem persamaan linier. metode Cramer.

hanya ada 1 elemen), determinannya sama dengan elemen ini:

2. Pertimbangkan matriks persegi orde kedua:

3. Perhatikan matriks bujur sangkar orde ketiga (3×3):

4. Dan sekarang perhatikan contoh dengan bilangan real:

Aturan segitiga.

Aturan segitiga adalah cara untuk menghitung determinan suatu matriks, yang melibatkan pencarian menurut skema berikut:

Seperti yang sudah Anda pahami, metode ini disebut aturan segitiga karena fakta bahwa elemen matriks yang dikalikan membentuk segitiga yang aneh.

Untuk memahami ini lebih baik, mari kita ambil contoh:

Dan sekarang perhatikan perhitungan determinan matriks dengan bilangan real menggunakan aturan segitiga:

Untuk mengkonsolidasikan materi yang dibahas, kami akan memecahkan contoh praktis lainnya:

Sifat-sifat determinan:

1. Jika elemen-elemen suatu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinannya sama dengan nol.

2. Determinan akan berubah tanda jika ada 2 baris atau kolom yang ditukar. Mari kita lihat ini dengan contoh kecil:

3. Determinan matriks yang ditransposisikan sama dengan determinan matriks aslinya.

4. Determinan adalah nol jika elemen-elemen dari satu baris sama dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain (juga untuk kolom). Contoh paling sederhana dari sifat determinan ini adalah:

5. Determinan adalah nol jika 2 barisnya proporsional (juga untuk kolom). Contoh (baris 1 dan 2 proporsional):

6. Faktor persekutuan suatu baris (kolom) dapat dikeluarkan dari tanda determinannya.

7) Determinan tidak akan berubah jika elemen baris (kolom) mana pun ditambahkan ke elemen baris (kolom) lain yang bersesuaian, dikalikan dengan nilai yang sama. Mari kita lihat ini dengan sebuah contoh:

Penjumlahan minor dan aljabar

Penjumlahan dan pengurangan matriks dengan contoh

Tindakan dengan matriks

Konsep "matriks"

Dilihat: 57258

Determinan (alias determinan (determinan)) hanya ditemukan pada matriks persegi. Determinan tidak lebih dari nilai yang menggabungkan semua elemen matriks, yang dipertahankan ketika mentranspos baris atau kolom. Itu dapat dilambangkan sebagai det(A), |A|, (A), , di mana A dapat berupa matriks dan huruf yang menunjukkannya. Anda dapat menemukannya dengan berbagai cara:

Semua metode yang diusulkan di atas akan dianalisis pada matriks ukuran tiga atau lebih. Determinan matriks dua dimensi ditemukan menggunakan tiga operasi matematika dasar, oleh karena itu, menemukan determinan matriks dua dimensi tidak akan termasuk dalam salah satu metode. Yah, kecuali sebagai tambahan, tetapi lebih pada itu nanti.

Tentukan determinan matriks 2x2:

Untuk menemukan determinan matriks kita, kita harus mengurangkan perkalian bilangan-bilangan diagonal yang satu dengan yang lain, yaitu

Contoh mencari determinan matriks orde dua

Dekomposisi baris/kolom

Setiap baris atau kolom dalam matriks dipilih. Setiap angka pada baris yang dipilih dikalikan dengan (-1) i+j di mana (i,j adalah baris,nomor kolom dari angka itu) dan dikalikan dengan determinan orde kedua yang terdiri dari elemen yang tersisa setelah menghapus i - baris dan j - kolom. Mari kita lihat matriksnya

1. Pilih baris/kolom

Misalnya, ambil baris kedua.

Catatan: Jika tidak secara eksplisit ditunjukkan dengan garis mana untuk menemukan determinan, pilihlah garis yang memiliki nol. Akan ada lebih sedikit perhitungan.

1. Buat ekspresi

Tidak sulit untuk menentukan bahwa tanda suatu bilangan berubah setiap waktu. Oleh karena itu, alih-alih unit, Anda dapat dipandu oleh tabel berikut:

1. Mari kita ubah tanda nomor kita

1. Mari kita cari determinan matriks kita

1. Kami mempertimbangkan semuanya

Solusinya dapat ditulis seperti ini:

Contoh mencari determinan dengan ekspansi baris/kolom:

Metode reduksi ke bentuk segitiga (menggunakan transformasi dasar)

Determinan ditemukan dengan membawa matriks ke bentuk segitiga (bertingkat) dan mengalikan elemen-elemen pada diagonal utama

Matriks segitiga adalah matriks yang elemen-elemen pada salah satu sisi diagonalnya sama dengan nol.

Saat membangun matriks, ingat tiga aturan sederhana:

1. Setiap kali senar dipertukarkan, determinannya berubah tanda menjadi kebalikannya.
2. Saat mengalikan / membagi satu baris dengan angka bukan nol, itu harus dibagi (jika dikalikan) / dikalikan (jika dibagi) dengannya, atau lakukan tindakan ini dengan determinan yang dihasilkan.
3. Saat menambahkan satu string dikalikan dengan angka ke string lain, determinannya tidak berubah (string yang dikalikan mengambil nilai aslinya).

Mari kita coba untuk mendapatkan nol di kolom pertama, lalu di kolom kedua.

Mari kita lihat matriks kami:

Ta-a-ak. Untuk membuat perhitungan lebih menyenangkan, saya ingin memiliki nomor terdekat di atas. Anda dapat meninggalkannya, tetapi Anda tidak harus melakukannya. Oke, kita punya deuce di baris kedua, dan empat di baris pertama.

Mari kita tukar dua baris ini.

Kami bertukar garis, sekarang kami harus mengubah tanda satu garis, atau mengubah tanda determinan di akhir.

Penentu. Menghitung determinan (hal. 2)

Kami akan melakukannya nanti.

Sekarang, untuk mendapatkan nol di baris pertama, kita kalikan baris pertama dengan 2.

Kurangi baris pertama dari baris kedua.

Menurut aturan ke-3 kami, kami mengembalikan string asli ke posisi awal.

Sekarang mari kita buat nol di baris ke-3. Kita dapat mengalikan baris pertama dengan 1,5 dan mengurangkan dari yang ketiga, tetapi bekerja dengan pecahan membawa sedikit kesenangan. Oleh karena itu, mari kita cari angka di mana kedua string dapat dikurangi - ini adalah 6.

Kalikan baris ke-3 dengan 2.

Sekarang kita kalikan baris pertama dengan 3 dan kurangi dari baris ketiga.

Mari kita kembalikan baris pertama kita.

Jangan lupa bahwa kita mengalikan baris ke-3 dengan 2, sehingga kita akan membagi determinannya dengan 2.

Ada satu kolom. Sekarang, untuk mendapatkan nol di detik - mari kita lupakan baris pertama - kita bekerja dengan baris ke-2. Kalikan baris kedua dengan -3 dan tambahkan ke baris ketiga.

Jangan lupa untuk mengembalikan baris kedua.

Jadi kami telah membangun matriks segitiga. Apa yang kita miliki? Dan tetap mengalikan angka pada diagonal utama, yang akan kita lakukan.

Nah, tetap harus diingat bahwa kita harus membagi determinan kita dengan 2 dan mengubah tandanya.

Aturan Sarrus (Aturan segitiga)

Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks kuadrat orde ketiga.

Determinan dihitung dengan menambahkan dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, mengalikan elemen-elemen diagonal matriks dan menjumlahkannya, dan mengurangkan jumlah diagonal yang berlawanan. Kurangi ungu dari diagonal oranye.

Aturan segitiga sama, hanya gambarnya saja yang berbeda.

Teorema Laplace lihat dekomposisi baris/kolom

1.1. Sistem dua persamaan linier dan determinan orde kedua

Pertimbangkan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui:

Kemungkinan dengan tidak diketahui dan memiliki dua indeks: yang pertama menunjukkan jumlah persamaan, yang kedua - jumlah variabel.

Aturan Cramer: Solusi sistem ditemukan dengan membagi determinan bantu dengan determinan utama sistem

,

Catatan 1. Penggunaan aturan Cramer dimungkinkan jika determinan sistem tidak sama dengan nol.

Catatan 2. Rumus Cramer juga dapat digeneralisasikan ke sistem orde tinggi.

Contoh 1 Memecahkan sistem:
.

Keputusan.

;
;

;

Penyelidikan:

Kesimpulan: Sistemnya benar:
.

1.2. Sistem tiga persamaan linier dan determinan orde ketiga

Pertimbangkan sistem tiga persamaan linier dengan tiga yang tidak diketahui:

Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut kualifikasi sistem atau kualifikasi master:

.

Jika sebuah
maka sistem memiliki solusi unik, yang ditentukan oleh rumus Cramer:

dimana determinannya
disebut bantu dan diperoleh dari determinan dengan mengganti kolom pertama, kedua, atau ketiga dengan kolom anggota sistem bebas.

Contoh 2 Memecahkan sistem
.

Mari kita bentuk determinan utama dan tambahan:

Tetap mempertimbangkan aturan untuk menghitung determinan orde ketiga. Ada tiga di antaranya: aturan penambahan kolom, aturan Sarrus, dan aturan dekomposisi.

a) Aturan untuk menambahkan dua kolom pertama ke determinan utama:

Perhitungan dilakukan sebagai berikut: dengan tandanya adalah produk dari elemen-elemen diagonal utama dan sepanjang paralelnya, dengan tanda yang berlawanan, mereka mengambil produk dari elemen-elemen diagonal sekunder dan sepanjang paralelnya .

b) Aturan Sarrus:

Dengan tanda mereka, mereka mengambil produk dari elemen-elemen diagonal utama dan sepanjang paralelnya, dan elemen ketiga yang hilang diambil dari sudut yang berlawanan. Dengan tanda yang berlawanan, mereka mengambil produk dari elemen-elemen diagonal sekunder dan sepanjang paralelnya, elemen ketiga diambil dari sudut yang berlawanan.

c) Aturan pemuaian elemen baris atau kolom:

Jika sebuah
, kemudian .

penjumlahan aljabar adalah determinan orde rendah yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang bersesuaian dan memperhitungkan tanda
, di mana - nomor baris - nomor kolom.

Sebagai contoh,

,
,
dll.

Mari kita hitung determinan bantu menurut aturan ini dan , memperluasnya dengan elemen baris pertama.

Setelah menghitung semua determinan, kami menemukan variabel menurut aturan Cramer:

Penyelidikan:

Kesimpulan: sistemnya benar: .

Sifat dasar determinan

Harus diingat bahwa determinannya adalah nomor, ditemukan menurut beberapa aturan. Perhitungannya dapat disederhanakan jika kita menggunakan sifat-sifat dasar yang valid untuk determinan-determinan orde apapun.

Properti 1. Nilai determinan tidak akan berubah jika semua barisnya diganti dengan kolom yang sesuai dan sebaliknya.

Operasi penggantian baris dengan kolom disebut transposisi. Dari sifat ini dapat disimpulkan bahwa setiap pernyataan yang benar untuk baris-baris suatu determinan juga akan benar untuk kolom-kolomnya.

Properti 2. Jika dua baris (kolom) dipertukarkan dalam determinan, maka tanda determinan akan berubah menjadi kebalikannya.

Properti 3. Jika semua elemen dari setiap baris determinan sama dengan 0, maka determinannya sama dengan 0.

Properti 4. Jika elemen-elemen dari string determinan dikalikan (dibagi) dengan beberapa angka , maka nilai determinan akan bertambah (menurun) dalam sekali.

Jika elemen-elemen dari sembarang baris memiliki faktor persekutuan, maka faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

Properti 5. Jika determinan memiliki dua baris yang identik atau proporsional, maka determinan tersebut sama dengan 0.

Properti 6. Jika elemen-elemen dari setiap baris determinan adalah jumlah dari dua suku, maka determinannya sama dengan jumlah dari dua determinan tersebut.

Properti 7. Nilai determinan tidak berubah jika elemen-elemen suatu baris ditambahkan ke elemen-elemen baris yang lain, dikalikan dengan bilangan yang sama.

Dalam determinan ini, pada baris ketiga pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris kedua, kemudian baris kedua dikurangi dari kolom ketiga, setelah itu baris kedua ditambahkan ke baris pertama dan ketiga, akibatnya kami mendapat banyak nol dan menyederhanakan perhitungan.

Dasar transformasi determinan disebut penyederhanaannya karena penggunaan sifat-sifat ini.

Contoh 1 Hitung determinan

Penghitungan langsung menurut salah satu aturan di atas mengarah pada perhitungan yang rumit. Karena itu, disarankan untuk menggunakan properti:

a) kurangi baris kedua, dikalikan dengan 2, dari baris pertama;

b) kurangi baris ketiga dari baris kedua, dikalikan 3.

Hasilnya, kita mendapatkan:

Mari kita perluas determinan ini dalam hal elemen-elemen kolom pertama, yang hanya berisi satu elemen bukan nol.

.

Sistem dan penentu orde yang lebih tinggi

sistem persamaan linier dengan yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut:

Untuk kasus ini, juga dimungkinkan untuk menyusun determinan utama dan tambahan, dan menentukan yang tidak diketahui menurut aturan Cramer. Masalahnya adalah bahwa determinan orde tinggi hanya dapat dihitung dengan menurunkan orde dan mereduksinya menjadi determinan orde ketiga. Ini dapat dilakukan dengan dekomposisi langsung menjadi elemen baris atau kolom, serta dengan transformasi dasar awal dan dekomposisi lebih lanjut.

Contoh 4 Hitung determinan orde keempat

Keputusan temukan dengan dua cara:

a) dengan ekspansi langsung ke elemen baris pertama:

b) dengan transformasi awal dan dekomposisi lebih lanjut

	a) kurangi baris 3 dari baris 1
	b) tambahkan baris II ke baris IV

Contoh 5 Hitung determinan orde kelima, dapatkan nol di baris ketiga menggunakan kolom keempat

kurangi yang kedua dari baris pertama, kurangi yang kedua dari yang ketiga, dan kurangi yang kedua dikalikan dengan 2 dari yang keempat.

kurangi yang ketiga dari kolom kedua:

kurangi yang ketiga dari baris kedua:

Contoh 6 Memecahkan sistem:

Keputusan. Mari kita buat determinan sistem dan, dengan menerapkan sifat-sifat determinan, hitunglah:

(dari baris pertama kita kurangi yang ketiga, dan kemudian pada determinan orde ketiga yang dihasilkan dari kolom ketiga kita kurangi yang pertama, dikalikan dengan 2). penentu
, oleh karena itu, rumus Cramer dapat diterapkan.

Mari kita hitung sisa determinannya:

Kolom keempat dikalikan 2 dan dikurangi sisanya

Kolom keempat dikurangi dari yang pertama, dan kemudian, dikalikan dengan 2, dikurangi dari kolom kedua dan ketiga.

.

Di sini, transformasi yang sama dilakukan seperti untuk
.

.

Ketika ditemukan kolom pertama dikalikan 2 dan dikurangi sisanya.

Menurut aturan Cramer, kita memiliki:

Setelah memasukkan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan, kami memastikan bahwa solusi sistemnya benar.

2. MATRIKS DAN PENGGUNAANNYA

DALAM PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

2.Jika A│=0, maka matriks A mengalami degenerasi dan matriks invers A -1 tidak ada.

Jika determinan matriks A tidak sama dengan nol, maka matriks invers ada.

3. Temukan A T ditransposisikan ke A.

4. Temukan komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang ditransposisikan dan buat matriks adjoint dari mereka. 5. Kita menghitung matriks invers dengan rumus: 6. Periksa kebenaran perhitungan matriks invers, berdasarkan definisinya A -1 A = A A -1 = E.

· №28

· Dalam matriks m x n, dengan menghapus setiap baris dan kolom, seseorang dapat memilih submatriks persegi dari orde ke-k, di mana k≤min(m; n). Determinan dari submatriks tersebut disebut minor orde ke-k dari matriks A.

· Rank suatu matriks A adalah orde tertinggi dari minor bukan nol dari matriks ini.

· Rank suatu matriks A dilambangkan dengan rang A atau r(A).

· Dari definisi berikut:

· 1) pangkat suatu matriks berukuran m x n tidak melebihi ukuran terkecilnya, yaitu r(A) menit (m; n).

· 2) r(A)=0 jika dan hanya jika semua elemen matriks sama dengan nol, mis. A=0.

· 3) Untuk matriks bujur sangkar orde ke-n, r(A) = n jika dan hanya jika matriks A nonsingular.

· Dalam kasus umum, menentukan peringkat matriks dengan enumerasi semua minor cukup melelahkan. Untuk memfasilitasi tugas ini, transformasi dasar digunakan yang mempertahankan peringkat matriks:

· 1) Penolakan baris nol (kolom).

· 2) Perkalian semua elemen baris (kolom) matriks dengan bilangan bukan nol.

· 3) Mengubah urutan baris (kolom) matriks.

· 4) Menambahkan ke setiap elemen dari satu baris (kolom) elemen yang sesuai dari baris lain (kolom), dikalikan dengan angka apa pun.

· 5) Transposisi matriks.

· Dalil. Rank suatu matriks tidak akan berubah pada transformasi elementer dari matriks tersebut.

№31

— Biarkan jumlah persamaan dalam sistem (1) sama dengan jumlah variabel, mis. m=n. Maka matriks sistem tersebut persegi, dan determinannya =│А│ disebut determinan sistem.

— Misalkan tidak sama dengan nol, maka terdapat matriks invers A -1 .

— Mengalikan kedua bagian persamaan matriks di sebelah kiri dengan matriks invers A -1 kita peroleh:

— A -1 (AX) \u003d A -1 B.

Solusi sistem persamaan dengan metode matriks terbalik adalah matriks kolom:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

— teorema Cramer. Misalkan adalah determinan matriks sistem A, dan j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom suku bebas. Kemudian jika tidak sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi unik yang ditentukan oleh rumus Cramer:

dimana j=1..n.

№33

—
Metode Gauss - metode penghapusan variabel berturut-turut - terdiri dari fakta bahwa, dengan bantuan transformasi dasar, sistem persamaan direduksi menjadi sistem yang setara dengan tipe melangkah atau segitiga.

— Pertimbangkan matriks:

— matriks ini disebut matriks diperpanjang sistem (1), karena selain matriks sistem A, juga termasuk kolom suku bebas.

№26

— Vektor berdimensi-N adalah himpunan terurut dari n bilangan real yang ditulis sebagai X=(x 1,x 2,...x n) , di mana x i adalah komponen ke-i dari vektor X.

— Dua vektor n-dimensi adalah sama jika dan hanya jika masing-masing komponennya sama, mis. X=Y jika x i =y i , i=1…n.

Himpunan vektor dengan komponen nyata, di mana operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan bilangan yang memenuhi sifat-sifat di atas, didefinisikan, disebut ruang vektor.

— Sebuah ruang vektor R disebut n-dimensi jika ada n vektor bebas linier di dalamnya, dan setiap n + 1 vektor sudah bergantung. Bilangan n disebut dimensi ruang vektor R dan dilambangkan redup(R).

№29

Operator linier

— Definisi. Jika sebuah hukum (aturan) diberikan, yang menurutnya setiap vektor x dari ruang dikaitkan dengan satu vektor y dari ruang

kemudian mereka mengatakan: bahwa operator (transformasi, pemetaan) A(x) diberikan, bertindak dari ke dan

tulis y=A(x).

— Suatu operator disebut linier jika untuk sembarang vektor x dan y dari ruang

dan sembarang bilangan , hubungan berikut berlaku:

№37

— Misalkan adalah suatu himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga a 1 , a 2 , a 3 …a n . Grup dapat dibentuk dari berbagai elemen himpunan A. Jika setiap golongan memiliki jumlah unsur yang sama m (m dari n), maka mereka dikatakan membentuk senyawa dari n unsur dengan masing-masing m. Ada tiga jenis koneksi: penempatan, kombinasi, dan permutasi.

— koneksi, yang masing-masing mencakup semua n elemen dari himpunan A dan yang, oleh karena itu, berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen disebut permutasi dari n elemen. Jumlah permutasi tersebut dilambangkan dengan simbol n .

№35

Definisi klasik probabilitas didasarkan pada konsep ekiprobababilitas peristiwa.

Kesetaraan peristiwa berarti bahwa tidak ada alasan untuk memilih salah satu dari mereka daripada yang lain.

Mari kita pertimbangkan sebuah tes, sebagai akibat dari peristiwa A yang dapat terjadi. Setiap hasil, di mana peristiwa A terjadi, disebut peristiwa yang menguntungkan A.

Probabilitas kejadian A (dilambangkan dengan P(A)) adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk kejadian A (dilambangkan dengan k) dengan jumlah semua hasil tes - N yaitu. P(A)=k/N.

— Sifat-sifat berikut mengikuti definisi klasik dari probabilitas:

— Probabilitas suatu kejadian terletak antara nol dan satu.

— Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

— Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol

№39, 40

— Teorema penjumlahan. Jika A dan B tidak konsisten, maka P(A + B) = P(A) + P(B)