Untuk memecahkan berbagai masalah pemrosesan AND secara efektif, diperlukan formulasi matematisnya, yang terutama mencakup deskripsi matematis, yaitu model AND sebagai objek studi. Sampai saat ini, sejumlah model tersebut telah dikembangkan, beberapa di antaranya dibahas dalam bab ini.
1.1. Bidang acak
Yang paling umum saat ini adalah kompleks informasi, yang mencakup sistem sensor spasial dan komputer digital. Oleh karena itu, kami terutama akan mempertimbangkan MI dengan variabel spasial dan temporal diskrit. Tanpa kehilangan keumuman, kita akan mengasumsikan bahwa MP diberikan pada kisi persegi panjang multidimensi dengan langkah satuan. pada gambar. 1.1a dan 1.1b menunjukkan kisi dua dimensi dan tiga dimensi. Dalam kasus umum, AND diberikan pada node dari grid n-dimensi.
Bergantung pada sifat fisiknya, nilai AND dapat berupa skalar (misalnya, kecerahan gambar monokromatik), vektor (bidang kecepatan, gambar berwarna, bidang perpindahan) dan nilai yang lebih kompleks (misalnya, matriks). Jika dilambangkan dengan nilai AND pada node (piksel), maka AND adalah totalitas dari nilai-nilai ini pada grid: 
.
Jika data adalah urutan waktu AND, maka terkadang lebih mudah untuk menganggap urutan ini sebagai satu AND, meningkatkan dimensi grid satu per satu. Misalnya, urutan AND datar (Gbr. 1.1, a) dapat dianggap sebagai AND tiga dimensi (Gbr. 2.1, b).
Jika Anda ingin menyorot variabel sementara secara khusus, maka kami akan menulisnya dari atas: 
. AND ini diberikan pada produk langsung dari grid dan I, di mana I adalah himpunan nilai indeks waktu. persilangan 
, yaitu himpunan pembacaan AND untuk nilai tetap dari indeks waktu i, disebut kerangka ke-i AND. Setiap frame diatur pada grid. Misalnya, pada gambar. 1.1b menunjukkan tiga bingkai dua dimensi.
Dengan demikian, MI dapat dianggap sebagai beberapa fungsi yang didefinisikan pada grid multidimensi. Nilai elemen AND tidak dapat diprediksi secara akurat sebelumnya (jika tidak, sistem pengamatan tidak diperlukan), oleh karena itu wajar untuk menganggap nilai-nilai ini sebagai variabel acak (CV), menggunakan perangkat teori probabilitas dan statistik matematika. Jadi, kita sampai pada model utama MI - sistem SV yang diberikan pada kisi multidimensi. Sistem seperti itu disebut bidang acak diskrit (RS) atau fungsi acak dari beberapa variabel.
Untuk menggambarkan SP, seperti sistem VS lainnya, Anda dapat mengatur fungsi distribusi probabilitas gabungan (DF) dari elemen-elemennya atau kepadatan distribusi probabilitas gabungan (PDD) 
. Namun, saya biasanya terdiri dari sejumlah besar elemen (ribuan dan jutaan), sehingga DF (atau PDF) dengan sejumlah variabel menjadi tidak terbatas dan metode lain yang tidak rumit untuk menggambarkan SP diperlukan.
PENGANTAR
Objek dunia material sangat kompleks dan beragam. Pencerminan semua propertinya dalam gambar yang dibuat, dipelajari, dan digunakan sangat sulit, dan tidak perlu. Citra objek penting untuk mengandung ciri-ciri yang paling penting dalam penggunaannya.Metode pemodelan adalah penggantian objek asli dengan objek pengganti yang memiliki kemiripan tertentu dengan aslinya untuk memperoleh informasi baru tentang objek tersebut. asli. Model adalah objek pengganti dari objek aslinya, yang dirancang untuk memperoleh informasi tentang aslinya.
Model matematika mengacu pada model simbolik dan mewakili deskripsi objek dalam bentuk simbol matematika, rumus, ekspresi. Jika model matematika yang cukup akurat tersedia, dimungkinkan, melalui perhitungan matematis, untuk memprediksi hasil fungsi suatu objek dalam berbagai kondisi, untuk memilih dari berbagai opsi yang memungkinkan, salah satu yang memberikan hasil terbaik.
Makalah ini menyajikan jenis klasifikasi metode pemodelan matematika dan menjelaskan beberapa metode:
Pemrograman linier adalah teknik pemodelan matematika yang berfungsi untuk menemukan opsi terbaik untuk mengalokasikan sumber daya terbatas antara pekerjaan yang bersaing.
Pemodelan simulasi. Tujuan pemodelan simulasi adalah untuk mereproduksi perilaku sistem yang diteliti berdasarkan hasil analisis hubungan yang paling signifikan antara elemen-elemennya, atau dengan kata lain, untuk mengembangkan simulator dari area subjek yang dipelajari untuk melakukan berbagai eksperimen.
Klasifikasi metode pemodelan matematika
Karena berbagai model matematika yang diterapkan, klasifikasi umum mereka sulit. Dalam literatur biasanya diberikan klasifikasi yang didasarkan pada berbagai pendekatan dan prinsip.
Dengan menjadi bagian dari level hierarki model matematika dibagi menjadi tingkat mikro, tingkat makro, model tingkat meta. Model matematis pada tingkat mikro proses mencerminkan proses fisik yang terjadi, misalnya saat memotong logam. Mereka menggambarkan proses pada tingkat transisi (bagian).
Model matematika pada tingkat makro proses menggambarkan proses teknologi.
Model matematika pada tingkat meta dari proses menggambarkan sistem teknologi (bagian, bengkel, perusahaan secara keseluruhan).
Berdasarkan sifat dari properti objek yang ditampilkan model dapat diklasifikasikan menjadi struktural dan fungsional
Model dikatakan struktural, jika dapat diwakili oleh struktur data atau struktur data dan hubungan di antara mereka, pada gilirannya, model struktural dapat bersifat hierarkis atau jaringan.
Modelnya hierarkis (seperti pohon), - jika diwakili oleh beberapa struktur hierarkis (pohon); misalnya, untuk memecahkan masalah menemukan rute di pohon pencarian, Anda dapat membangun model pohon yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 - Model struktur hierarki.
Modelnya adalah jaringan, jika dapat diwakili oleh beberapa struktur jaringan. Misalnya, pembangunan rumah baru melibatkan berbagai operasi yang dapat direpresentasikan dalam model jaringan yang ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2 - Model struktur jaringan.
Model dikatakan fungsional, jika dapat direpresentasikan sebagai suatu sistem hubungan fungsional. Misalnya, hukum Newton dan model produksi barang adalah fungsional.
Omong-omong, properti objek direpresentasikan model dibagi menjadi analitis, numerik, algoritmik dan simulasi.
Model matematika analitik adalah ekspresi matematis eksplisit dari parameter output sebagai fungsi input dan parameter internal dan memiliki solusi unik untuk kondisi awal apa pun. Misalnya, proses pemotongan (pembubutan) dalam hal gaya yang bekerja adalah model analitik. Juga, persamaan kuadrat yang memiliki satu atau lebih solusi akan menjadi model analitik. Model akan numerik jika memiliki solusi di bawah kondisi awal tertentu (diferensial, persamaan integral).
Model dikatakan algoritmik jika dideskripsikan oleh beberapa algoritme atau sekumpulan algoritme yang menentukan fungsi dan perkembangannya. Pengenalan model jenis ini (memang, tampaknya model apa pun dapat diwakili oleh suatu algoritma untuk studinya) cukup dibenarkan, karena tidak semua model dapat dipelajari atau diimplementasikan secara algoritmik. Misalnya, model untuk menghitung jumlah deret bilangan menurun tak hingga dapat menjadi algoritme untuk menghitung jumlah berhingga dari deret hingga tingkat akurasi tertentu yang ditentukan. Sebuah algoritma untuk menghitung perkiraan, nilai akurat sewenang-wenang menggunakan rumus berulang yang terkenal dapat berfungsi sebagai model algoritmik untuk akar kuadrat dari angka X.
Model simulasi, jika dimaksudkan untuk menguji atau mempelajari kemungkinan cara perkembangan dan perilaku suatu objek dengan memvariasikan beberapa atau semua parameter model, misalnya, model sistem ekonomi untuk produksi dua jenis barang . Model seperti itu dapat digunakan sebagai simulasi untuk menentukan dan memvariasikan total biaya tergantung pada nilai tertentu dari volume barang yang diproduksi.
Dengan cara mendapatkan model dibagi menjadi teoritis dan empiris Model matematika teoritis dibuat sebagai hasil dari studi objek (proses) pada tingkat teoritis. Misalnya, ada ekspresi untuk gaya potong yang diperoleh berdasarkan generalisasi hukum fisika. Tetapi mereka tidak dapat diterima untuk penggunaan praktis, karena mereka sangat rumit dan tidak cukup disesuaikan dengan proses nyata. Model matematika empiris dibuat sebagai hasil eksperimen (mempelajari manifestasi eksternal dari sifat-sifat suatu objek dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan memproses hasilnya menggunakan metode statistik matematika.
Menurut bentuk representasi properti objek model dibagi menjadi logis, set-teori dan grafik. Modelnya logis, jika dapat diwakili oleh predikat, fungsi logis, misalnya, satu set dua fungsi logis dapat berfungsi sebagai model matematika dari penjumlah satu digit. Sebuah model adalah set-teoritis jika dapat diwakili dengan bantuan set tertentu dan hubungan milik mereka dan di antara mereka. Model graf adalah jika dapat direpresentasikan dengan graf atau graf dan hubungan antara keduanya.
Menurut tingkat stabilitas. model dapat dibagi menjadi stabil dan tidak stabil. Sistem yang stabil adalah sistem yang, karena dikeluarkan dari keadaan awalnya, cenderung padanya. Itu dapat berosilasi selama beberapa waktu di sekitar titik awal, seperti pendulum biasa yang bergerak, tetapi gangguan di dalamnya memudar dan menghilang seiring waktu.
Dalam kaitannya dengan faktor eksternal model dapat dibagi menjadi terbuka dan tertutup. Model tertutup adalah model yang beroperasi secara independen dari variabel eksternal (eksogen). Dalam model tertutup, perubahan nilai variabel dari waktu ke waktu ditentukan oleh interaksi internal variabel itu sendiri. Model tertutup dapat mengungkapkan perilaku sistem tanpa memasukkan variabel eksternal. Contoh: sistem informasi dengan umpan balik adalah sistem tertutup. Mereka adalah sistem yang menyesuaikan diri, dan karakteristiknya berasal dari struktur internal dan interaksi yang mencerminkan masukan dari informasi eksternal. Sebuah model yang terkait dengan variabel eksternal (eksogen) disebut terbuka.
Dalam kaitannya dengan faktor waktu model dibagi menjadi dinamis dan statis Sebuah model disebut statis jika tidak ada parameter waktu di antara parameter yang terlibat dalam deskripsinya. Suatu model disebut model dinamis jika di antara parameternya terdapat parameter waktu, yaitu menampilkan sistem (proses dalam sistem) dalam waktu. serentak.
Pemrograman linier
Di antara masalah pemrograman matematika, yang paling sederhana (dan paling baik dipelajari) adalah apa yang disebut masalah pemrograman linier. Ciri khas mereka adalah:
a) indikator kinerja (fungsi tujuan) W secara linier bergantung pada elemen solusi x 1, x 2, ....., x p dan
b) pembatasan yang dikenakan pada elemen solusi berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linier terhadap x 1, x 2, ..., x p
Tugas-tugas seperti itu cukup umum dalam praktik, misalnya, ketika memecahkan masalah yang berkaitan dengan alokasi sumber daya, perencanaan produksi, organisasi transportasi, dll. Ini wajar, karena dalam banyak masalah praktik "biaya" dan "pendapatan" secara linier bergantung pada jumlah dana yang dibeli atau dikeluarkan (misalnya, total biaya pengiriman barang secara linier tergantung pada jumlah unit yang dibeli; pembayaran untuk transportasi dilakukan secara proporsional dengan berat barang yang diangkut, dll.).
Masalah pemrograman linier apa pun dapat direduksi menjadi bentuk standar, yang disebut "masalah pemrograman linier dasar" (BLI), yang dirumuskan sebagai berikut: temukan nilai non-negatif dari variabel x 1 , x 2 , .. ., x n yang memenuhi syarat persamaan ( satu).
Kasus ketika f harus diubah tidak ke maksimum, tetapi ke. minimum dapat dengan mudah dikurangi ke yang sebelumnya jika Anda hanya membalikkan tanda f (maksimalkan bukan f, tetapi f" = - f). Selain itu, Anda dapat beralih dari kondisi ketidaksetaraan ke kondisi kesetaraan dengan biaya memperkenalkan yang baru variabel tambahan.
Tergantung pada jenis fungsi tujuan dan kendala, beberapa jenis masalah program linier atau model linier dapat dibedakan: masalah linier umum, masalah transportasi, dan masalah penugasan.
Masalah transportasi (masalah Monge-Kantorovich) adalah masalah matematis program linier tipe khusus tentang menemukan distribusi optimal objek homogen dari akumulator ke penerima dengan meminimalkan biaya perjalanan. Untuk memudahkan pemahaman, dianggap sebagai masalah rencana optimal untuk pengangkutan barang dari titik keberangkatan ke titik konsumsi, dengan biaya transportasi yang minimal.
Masalah penugasan dirumuskan sebagai berikut:
Ada sejumlah karya dan sejumlah penampil. Setiap kontraktor dapat ditugaskan untuk melakukan pekerjaan apa pun (tetapi hanya satu), tetapi dengan biaya yang berbeda. Hal ini diperlukan untuk mendistribusikan pekerjaan sehingga dapat menyelesaikan pekerjaan dengan biaya minimal. Jika jumlah job dan performernya sama, maka masalah tersebut disebut sebagai masalah penugasan linier.
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah program linier, khususnya metode grafis dan metode simpleks. Metode grafis didasarkan pada interpretasi geometris dari masalah program linier dan digunakan untuk memecahkan masalah dalam ruang dua dimensi. Masalah ruang tiga dimensi diselesaikan sangat jarang, karena. konstruksi solusi mereka tidak nyaman dan tanpa visualisasi. Pertimbangkan metode pada contoh masalah dua dimensi.
Temukan solusi X \u003d (x 1, x 2), yang memenuhi sistem pertidaksamaan (3)
|
di mana nilai fungsi tujuan F = 2x 1 x 2 mencapai maksimumnya.
Mari kita bangun bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Cartesian x 1 Ox 2 area solusi yang layak untuk masalah tersebut.
Masing-masing garis yang dibangun membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Koordinat titik-titik dari satu setengah bidang memenuhi pertidaksamaan asli, sedangkan yang lain tidak. Untuk menentukan setengah bidang yang diinginkan, Anda perlu mengambil beberapa titik yang termasuk dalam salah satu setengah bidang dan memeriksa apakah koordinatnya memenuhi pertidaksamaan ini. Jika koordinat titik tertentu memenuhi pertidaksamaan ini, maka setengah bidang yang diinginkan adalah yang dimiliki titik ini. Jika tidak, setengah bidang lainnya.
Mari kita cari setengah bidang yang didefinisikan oleh pertidaksamaan x 1 -x 2 -3. Untuk melakukan ini, setelah membangun garis lurus (I) x 1 -x 2 \u003d-3, kami mengambil beberapa titik yang termasuk dalam salah satu dari dua setengah bidang yang diperoleh, misalnya, titik O (0,0). Koordinat titik ini memenuhi pertidaksamaan x 1 -x 2 -3. Ini berarti bahwa setengah bidang tempat titik O(0,0) ditentukan oleh pertidaksamaan x 1 -x 2 -3.
Sekarang mari kita cari setengah bidang yang didefinisikan oleh pertidaksamaan 6x1+7x 2 42.
Kami membangun garis II 6x 1 +7x 2 =42. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan 6x 1 +7x 2 42, yang berarti bahwa setengah bidang kedua akan menjadi yang diinginkan.
Sekarang kita mencari setengah bidang untuk pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 6. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 6. Oleh karena itu, setengah bidang tempat titik O(0,0) ditentukan oleh pertidaksamaan 2 x 1 -3 x 2 6 (Garis III).
Dan setengah bidang untuk pertidaksamaan x 1 + x 2 4. Koordinat titik O(0,0) memenuhi pertidaksamaan x 1 + x 2 4 (Garis IV). Oleh karena itu garis x 1 + x 2 =4 ditentukan oleh setengah bidang pertama.
Pertidaksamaan x 1 0 dan x 2 0 berarti bahwa area solusi terletak di sebelah kanan ordinat dan di atas absis. Dengan demikian, area ABCD, yang diarsir pada Gambar 3, akan menjadi area solusi yang layak, yang ditentukan oleh kendala masalah. Fungsi tujuan mengambil nilai maksimumnya di salah satu simpul dari gambar ABCD. Untuk menentukan simpul ini, kita membangun sebuah vektor C (2; -1) dan sebuah garis 2x 1 -x 2 =p, di mana p adalah suatu konstanta sedemikian rupa sehingga garis 2x 1 -x 2 =p memiliki titik-titik yang sama dengan poligon solusi . Mari kita masukkan, misalnya, p=1/2 dan buat garis lurus 2 x 1 -x 2 = 1/2. Selanjutnya, kita akan memindahkan garis lurus yang dibangun ke arah vektor sampai melewati titik persekutuan terakhirnya dengan poligon solusi. Koordinat titik yang ditentukan menentukan rencana optimal untuk tugas ini.
Gambar 3 menunjukkan bahwa titik persekutuan terakhir dari garis 2x 1 -x 2 \u003d p dengan poligon solusi adalah titik A. Titik ini merupakan perpotongan garis II dan III, oleh karena itu dicari koordinatnya sebagai solusi sistem persamaan yang mendefinisikan garis-garis ini:
|
Dalam hal ini, nilai fungsi tujuan F \u003d 2 x 1 -x 2 \u003d 2 * 5,25 - 1 * 1,5 \u003d 9.
Titik B akan menjadi solusi optimal untuk masalah X opt = (x 1 opt, x 2 opt) dan koordinatnya adalah x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.
Gambar 3 - Area solusi yang dapat diterima untuk masalah tersebut
Simpleks - metode
Metode ini adalah metode pencacahan tujuan solusi referensi dari masalah program linier. Ini memungkinkan sejumlah langkah terbatas baik untuk menemukan solusi optimal atau untuk menetapkan bahwa tidak ada solusi optimal.
1) Tentukan metode untuk menemukan solusi referensi optimal.
2) Tentukan metode transisi dari satu solusi referensi ke solusi referensi lainnya, di mana nilai fungsi tujuan akan lebih dekat ke optimal, mis. menunjukkan cara untuk meningkatkan solusi referensi.
3) Tetapkan kriteria yang memungkinkan Anda untuk menghentikan enumerasi solusi referensi pada solusi optimal tepat waktu atau membuat kesimpulan tentang tidak adanya solusi optimal.
Untuk menyelesaikan masalah dengan metode simpleks, Anda harus melakukan hal berikut:
1) Bawa masalah ke bentuk kanonik.
2) Temukan solusi referensi awal dengan "basis unit" (jika tidak ada solusi referensi, maka masalah tidak memiliki solusi karena ketidakcocokan sistem kendala).
3) Hitung perkiraan ekspansi vektor dalam hal dasar solusi referensi dan isi tabel metode simpleks.
4) Jika kriteria keunikan solusi optimal terpenuhi, maka solusi masalah berakhir. Jika kondisi keberadaan himpunan solusi optimal terpenuhi, maka dengan enumerasi sederhana, semua solusi optimal ditemukan.
Efisiensi komputasi metode matematika biasanya diperkirakan menggunakan dua parameter:
1) Jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan solusi;
2) Biaya waktu mesin.
Sebagai hasil dari percobaan numerik, hasil berikut diperoleh untuk metode simpleks:
1) Banyaknya iterasi dalam menyelesaikan masalah program linier dalam bentuk standar dengan kendala dan variabel adalah antara dan . Jumlah rata-rata iterasi. Batas atas jumlah iterasi adalah .
2) Waktu mesin yang dibutuhkan sebanding dengan .
Jumlah pembatasan mempengaruhi efisiensi komputasi lebih dari jumlah variabel, oleh karena itu, ketika merumuskan masalah pemrograman linier, seseorang harus berusaha untuk mengurangi jumlah pembatasan, bahkan jika dengan meningkatkan jumlah variabel.
Konsep dasar metode simulasi.
Istilah "pemodelan simulasi" ("model simulasi") biasanya berarti perhitungan nilai beberapa karakteristik proses yang berkembang dari waktu ke waktu dengan mereproduksi jalannya proses ini di komputer menggunakan model matematikanya, dan itu tidak mungkin atau sangat sulit untuk mendapatkan hasil yang diperlukan dengan cara lain. Reproduksi aliran proses pada komputer menggunakan model matematika biasa disebut eksperimen simulasi.
Model simulasi termasuk dalam kelas model yang merupakan sistem hubungan antara karakteristik proses yang dijelaskan. Karakteristik ini dibagi menjadi internal ("endogen", "variabel fase") dan eksternal ("eksogen", "parameter"). Kira-kira karakteristik internal adalah yang nilainya dimaksudkan untuk diketahui menggunakan alat pemodelan matematika; eksternal - yang sangat bergantung pada karakteristik internal, tetapi hubungan terbalik (dengan akurasi yang dapat diterima secara praktis) tidak terjadi.
Sebuah model yang mampu memprediksi nilai karakteristik internal harus tertutup ("model tertutup"), dalam arti bahwa hubungannya memungkinkan untuk menghitung karakteristik internal dengan yang diketahui eksternal. Prosedur untuk menentukan karakteristik eksternal model disebut identifikasi, atau kalibrasi. Model matematika dari kelas yang dijelaskan (termasuk model simulasi) menentukan pemetaan yang memungkinkan untuk memperoleh nilai internal dari nilai karakteristik eksternal yang diketahui. Selanjutnya pemetaan ini akan disebut pemetaan yang terkait dengan model.
Model kelas yang dipertimbangkan didasarkan pada postulat independensi karakteristik eksternal dari internal, dan hubungan model adalah bentuk perekaman pemetaan yang terkait dengannya. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4, peneliti berurusan dengan empat elemen utama dalam proses simulasi:
Sistem nyata;
Model logika-matematis dari objek yang dimodelkan;
Model simulasi (mesin);
Komputer di mana simulasi dilakukan adalah eksperimen komputasi terarah.
Peneliti mempelajari sistem nyata, mengembangkan model logis dan matematis dari sistem nyata. Sifat simulasi studi menyiratkan adanya model logis atau logis-matematis yang menggambarkan proses yang diteliti. Di atas, sistem nyata didefinisikan sebagai seperangkat elemen yang berinteraksi yang berfungsi dalam waktu. Sifat komposit dari sistem yang kompleks menggambarkan representasi modelnya dalam bentuk tiga set: A, S, T, di mana
A adalah seperangkat elemen (termasuk lingkungan eksternal);
S adalah himpunan koneksi yang dapat diterima antar elemen (struktur model);
T adalah himpunan momen waktu yang dipertimbangkan.
Gambar 4 Proses simulasi
Fitur pemodelan simulasi adalah model simulasi memungkinkan Anda untuk mereproduksi objek simulasi:
Dengan pelestarian struktur logis mereka;
Dengan pelestarian sifat perilaku (urutan pergantian waktu peristiwa yang terjadi dalam sistem), mis. dinamika interaksi.
Dalam pemodelan simulasi, struktur sistem yang disimulasikan ditampilkan secara memadai dalam model, dan proses fungsinya dimainkan (disimulasikan) pada model yang dibangun. Oleh karena itu, konstruksi model simulasi terdiri dari penggambaran struktur dan fungsi objek atau sistem yang disimulasikan.
Ada model simulasi:
Kontinu;
diskrit;
Diskrit-kontinyu.
Dalam model simulasi kontinu, variabel berubah secara terus-menerus, keadaan sistem yang disimulasikan berubah sebagai fungsi waktu yang kontinu, dan, sebagai aturan, perubahan ini dijelaskan oleh sistem persamaan diferensial. Dengan demikian, kemajuan waktu model tergantung pada metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Dalam model simulasi diskrit, variabel berubah secara diskrit pada saat-saat tertentu dari waktu simulasi (terjadinya peristiwa).
Dinamika model diskrit merupakan proses transisi dari momen kejadian berikutnya ke momen kejadian berikutnya. Karena proses kontinu dan diskrit dalam sistem nyata seringkali tidak dapat dipisahkan, model diskrit kontinu telah dikembangkan yang menggabungkan karakteristik mekanisme kemajuan waktu dari kedua proses ini.
Metode pemodelan simulasi memungkinkan pemecahan masalah dengan kompleksitas tinggi, memberikan tiruan dari proses yang kompleks dan beragam, dengan sejumlah besar elemen. Ketergantungan fungsional yang terpisah dalam model seperti itu dapat dijelaskan dengan hubungan matematika yang rumit. Oleh karena itu, pemodelan simulasi efektif digunakan dalam masalah mempelajari sistem dengan struktur yang kompleks untuk memecahkan masalah tertentu. Model simulasi mengandung elemen tindakan kontinu dan diskrit, oleh karena itu, digunakan untuk mempelajari sistem dinamis, ketika analisis kemacetan diperlukan, studi tentang dinamika fungsi, ketika diinginkan untuk mengamati jalannya proses pada simulasi. model untuk waktu tertentu.
Pemodelan simulasi adalah alat yang efektif untuk mempelajari sistem stokastik, ketika sistem yang diteliti dapat dipengaruhi oleh banyak faktor acak yang bersifat kompleks. Dimungkinkan untuk melakukan penelitian dalam kondisi ketidakpastian, dengan data yang tidak lengkap dan tidak akurat. Pemodelan simulasi merupakan faktor penting dalam sistem pendukung keputusan, karena memungkinkan Anda untuk menjelajahi sejumlah besar alternatif (solusi), memainkan skenario yang berbeda untuk input apa pun.
Keuntungan utama dari pemodelan simulasi adalah bahwa peneliti, untuk menguji strategi baru dan membuat keputusan, sambil mempelajari situasi yang mungkin, selalu bisa mendapatkan jawaban atas pertanyaan "Apa yang akan terjadi jika?". Model simulasi memungkinkan untuk memprediksi ketika datang ke sistem yang dirancang atau proses pengembangan sedang dipelajari (yaitu, dalam kasus di mana sistem nyata belum ada). Dalam model simulasi, berbagai, termasuk tingkat detail yang tinggi dari proses simulasi, dapat disediakan. Dalam hal ini, model dibuat secara bertahap, secara evolusioner.
BIBLIOGRAFI
1. Blinov, Yu.F. Metode pemodelan matematika [Teks]: Buku teks elektronik / Yu.F. Blinov, V.V. Ivanov, P.V. Serbia. -Taganrog: TTI SFU, 2012. -42 hal.
2. Wentzel, E.S. Operasi pencarian. Tugas, prinsip, metodologi. [Teks]: Panduan belajar / E.S. Wentzel - M. : KNORUS, 2010. - 192 hal.
3. Getmanchuk, A. V. Metode dan model ekonomi dan matematika [Teks]: Buku teks untuk bujangan. / A.V. Getmanchuk - M.: Perusahaan Penerbitan dan Perdagangan "Dashkov and Co", 2013. -188 hal.
4. Zamyatina O.M. Pemodelan Sistem. [Teks]: Panduan belajar. / O.M. Zamyatina - Tomsk: Rumah Penerbitan TPU, 2009. - 204 hal.
5. Pavlovsky, Yu.N. Pemodelan simulasi. [Teks]: buku teks untuk mahasiswa / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I.
Menentukan ciri dominan klasifikasi objek lokalisasi dan mengembangkan model matematika untuk analisis citra ekspresi wajah.tugas
Pencarian dan analisis metode lokalisasi wajah, penentuan fitur klasifikasi dominan, pengembangan model matematika yang optimal untuk tugas pengenalan gerakan ekspresi wajah.Subjek
Selain menentukan ruang warna yang optimal untuk mengkonstruksi objek yang menonjol pada kelas citra yang diberikan, yang dilakukan pada tahap penelitian sebelumnya, penentuan fitur dominan klasifikasi dan pengembangan model matematis citra ekspresi wajah. juga memainkan peran penting.Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama perlu untuk mengatur fitur modifikasi tugas deteksi wajah oleh kamera video ke sistem, dan kemudian melakukan lokalisasi gerakan bibir.
Adapun tugas pertama, dua jenis di antaranya harus dibedakan:
Lokalisasi wajah;
Pelacakan wajah.
Karena kita dihadapkan pada tugas untuk mengembangkan algoritma untuk mengenali ekspresi wajah, adalah logis untuk mengasumsikan bahwa sistem ini akan digunakan oleh satu pengguna yang tidak akan menggerakkan kepalanya terlalu aktif. Oleh karena itu, untuk menerapkan teknologi pengenalan gerakan bibir, perlu diambil sebagai dasar versi sederhana dari masalah deteksi, di mana hanya ada satu wajah dalam gambar.
Dan ini berarti pencarian wajah dapat dilakukan relatif jarang (sekitar 10 frame / detik atau bahkan kurang). Pada saat yang sama, gerakan bibir pembicara selama percakapan cukup aktif, dan, oleh karena itu, konturnya harus dinilai dengan intensitas yang lebih besar.
Tugas menemukan wajah dalam sebuah citra dapat diselesaikan dengan cara-cara yang ada. Saat ini, ada beberapa metode untuk mendeteksi dan melokalisasi wajah dalam sebuah gambar, yang dapat dibagi menjadi 2 kategori:
1. Pengakuan empiris;
2. Pemodelan citra wajah. .
Kategori pertama mencakup metode pengenalan top-down berdasarkan fitur invarian dari gambar wajah, berdasarkan asumsi bahwa ada beberapa tanda kehadiran wajah dalam gambar yang invarian sehubungan dengan kondisi pemotretan. Metode ini dapat dibagi menjadi 2 subkategori:
1.1. Deteksi elemen dan fitur (feature) yang menjadi ciri citra wajah (tepi, kecerahan, warna, bentuk karakteristik fitur wajah, dll), .;
1.2. Analisis fitur yang terdeteksi, membuat keputusan tentang jumlah dan lokasi wajah (algoritme empiris, statistik posisi relatif fitur, pemodelan proses citra visual, penggunaan templat yang kaku dan dapat diubah bentuk, dll.), .
Untuk pengoperasian algoritma yang benar, perlu dibuat database fitur wajah dengan pengujian selanjutnya. Untuk implementasi metode empiris yang lebih akurat, model dapat digunakan yang memungkinkan mempertimbangkan kemungkinan transformasi wajah, dan, oleh karena itu, memiliki kumpulan data dasar yang diperluas untuk pengenalan, atau mekanisme yang memungkinkan pemodelan transformasi pada elemen dasar. . Kesulitan dalam membangun database classifier yang berfokus pada berbagai pengguna dengan karakteristik individu, fitur wajah, dan sebagainya, berkontribusi pada penurunan akurasi pengenalan metode ini.
Kategori kedua mencakup metode statistik matematika dan pembelajaran mesin. Metode dalam kategori ini didasarkan pada alat pengenalan citra, dengan mempertimbangkan masalah deteksi wajah sebagai kasus khusus dari masalah pengenalan. Gambar diberi vektor fitur tertentu, yang digunakan untuk mengklasifikasikan gambar menjadi dua kelas: wajah/non-wajah. Cara paling umum untuk mendapatkan vektor fitur adalah dengan menggunakan gambar itu sendiri: setiap piksel menjadi komponen vektor, mengubah gambar n×m menjadi vektor ruang R^(n×m), di mana n dan m adalah bilangan bulat positif . . Kerugian dari representasi ini adalah dimensi ruang fitur yang sangat tinggi. Keuntungan dari metode ini adalah pengecualian dari seluruh prosedur membangun pengklasifikasi partisipasi manusia, serta kemungkinan melatih sistem itu sendiri untuk pengguna tertentu. Oleh karena itu, penggunaan metode pemodelan citra untuk membangun model matematis lokalisasi wajah optimal untuk menyelesaikan masalah kita.
Adapun segmentasi profil wajah dan pelacakan posisi titik bibir dalam urutan frame, metode pemodelan matematika juga harus digunakan untuk memecahkan masalah ini. Ada beberapa cara untuk menentukan pergerakan ekspresi wajah, yang paling terkenal adalah penggunaan model matematika berdasarkan model kontur aktif:
Lokalisasi area ekspresi wajah berdasarkan model matematika model kontur aktif
Kontur aktif (ular) adalah model yang dapat dideformasi yang templatnya diatur dalam bentuk kurva parametrik, diinisialisasi secara manual oleh satu set titik kontrol yang terletak pada kurva terbuka atau tertutup pada gambar input.Untuk mengadaptasi kontur aktif ke gambar ekspresi wajah, perlu untuk melakukan binerisasi yang sesuai dari objek yang diteliti, yaitu transformasinya menjadi semacam gambar raster digital, dan kemudian penilaian parameter yang sesuai. kontur aktif dan perhitungan vektor fitur harus dilakukan.
Model kontur aktif didefinisikan sebagai:
Himpunan poin N;
Area energi internal yang diminati (istilah energi elastis internal);
Wilayah energi eksternal yang menarik (istilah energi berbasis tepi eksternal).
Untuk meningkatkan kualitas pengenalan, dua kelas warna dibedakan - kulit dan bibir. Fungsi keanggotaan kelas warna memiliki nilai dalam rentang 0 hingga 1.
Persamaan model kontur aktif (ular) diwakili oleh rumus yang dinyatakan v(s) sebagai: 
Dimana E adalah energi ular (model kontur aktif). Dua istilah pertama menggambarkan energi keteraturan model kontur aktif (ular). Dalam sistem koordinat kutub kita, v(s) = , s adalah dari 0 hingga 1. Suku ketiga adalah energi yang berhubungan dengan gaya luar yang diperoleh dari gambar, suku keempat adalah gaya tekanan.
Gaya eksternal ditentukan berdasarkan karakteristik yang dijelaskan di atas. Ia mampu menggeser titik kontrol ke beberapa nilai intensitas. Ini dihitung sebagai: 
Pengganda gradien (turunan) dihitung pada titik-titik serpentin di sepanjang garis radial yang sesuai. Gaya bertambah jika gradiennya negatif dan sebaliknya berkurang. Koefisien sebelum gradien merupakan faktor pembobotan yang bergantung pada topologi citra. Gaya tekan hanya konstan, dari faktor pembobotan minimum digunakan. Bentuk ular terbaik diperoleh dengan meminimalkan energi fungsional setelah sejumlah iterasi tertentu.
Mari kita pertimbangkan operasi pemrosesan gambar dasar secara lebih rinci. Untuk kesederhanaan, mari kita asumsikan bahwa kita telah memilih area mulut pembicara dalam beberapa cara. Dalam hal ini, operasi utama untuk memproses gambar yang dihasilkan, yang perlu kita lakukan, ditunjukkan pada Gambar. 3.
Kesimpulan
Untuk menentukan fitur dominan dari klasifikasi citra selama pekerjaan penelitian, fitur modifikasi tugas deteksi wajah oleh kamera video diidentifikasi. Di antara semua metode pelokalan wajah dan deteksi area ekspresi wajah yang dipelajari, yang paling cocok untuk tugas menciptakan sistem pengenalan universal untuk perangkat seluler adalah metode pemodelan gambar wajah.Pengembangan model matematis citra gerak ekspresi wajah didasarkan pada sistem model kontur aktif binarisasi objek yang diteliti. Karena model matematika ini memungkinkan, setelah mengubah ruang warna dari RGB ke model warna YCbCr, untuk mengubah objek yang diinginkan secara efektif, untuk analisis selanjutnya berdasarkan model kontur aktif dan mengidentifikasi batas ekspresi wajah yang jelas setelah iterasi gambar yang sesuai.
Daftar sumber yang digunakan
1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Deteksi dan lokalisasi wajah pada gambar. Jurnal CGM, 20032. Ibid.
3. E. Hjelmas dan B.K. Rendah, Deteksi wajah: Sebuah survei, Jurnal visi Komputer dan pemahaman gambar, vol.83, hlm. 236-274, 2001.
4. G. Yang dan T.S. Huang, Deteksi wajah manusia di latar belakang kompleks, Pengenalan pola, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka dan I. Pitas, Metode baru untuk segmentasi wajah otomatis, ekstraksi dan pelacakan fitur wajah, Pemrosesan sinyal: Komunikasi gambar, Vol. 12, no.3, hal. 263-281, Juni 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, dan J. Big.un., Pencarian Saccadic dengan fitur Gabor yang diterapkan pada deteksi mata dan pelacakan kepala waktu nyata, Image Vision Comput. 18, hal. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Analisis algoritma empiris dan matematika untuk pengenalan wajah manusia. jaringan-jurnal. Institut Teknik Tenaga Moskow (Universitas Teknis). No. 1 (18), 2011
Bersambung
Matematispemodelan- proses membangun kepatuhan dengan yang nyata sistem S tikar model M dan studi model ini, yang memungkinkan memperoleh karakteristik sistem nyata. Aplikasi pemodelan tikar memungkinkan Anda untuk mempelajari objek, eksperimen nyata yang sulit atau tidak mungkin.
Pemodelan analitis- proses fungsi elemen ditulis dalam bentuk hubungan matematika (aljabar, integral, diferensial, logis, dll.). Tikar. model mungkin tidak secara eksplisit berisi jumlah yang diperlukan sama sekali. Itu harus diubah menjadi sistem rasio relatif terhadap jumlah yang diinginkan, memungkinkan hasil yang diinginkan diperoleh dengan metode analit murni. Maksud kami memperoleh formula eksplisit dari formulir
<искомая величина> =<аналитическое выражение>, atau memperoleh persamaan dengan bentuk yang diketahui, yang penyelesaiannya juga diketahui. Dalam beberapa kasus itu mungkin kualitas studi model di mana hanya beberapa sifat dari solusi yang dapat ditemukan secara eksplisit.
Modus numerik menggunakan metode komputasi matematika dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan hanya solusi perkiraan. Solusi dari masalah kurang lengkap dibandingkan dengan mode anal-m. Kerugian mendasar dari mod-I zakl-Xia numerik dalam implementasi otomatis dari metode numerik yang dipilih. Algoritma pemodelan mencerminkan metode numerik ke tingkat yang lebih besar daripada fitur model. Oleh karena itu, ketika mengubah metode numerik, perlu untuk mengerjakan ulang algoritma simulasi.
Mod simulasi- reproduksi pada komputer (imitasi) dari proses fungsi sistem yang sedang dipelajari sesuai dengan urutan logis dan temporal dari peristiwa nyata. Untuk imit-mod-i secara khas pemutaran acara terjadi dalam sistem (dijelaskan oleh model) dengan struktur logis dan urutan waktu. Ini memungkinkan Anda untuk mengetahui data tentang keadaan sistem atau elemen individualnya pada titik waktu tertentu. Pemodelan simulasi mirip dengan studi eksperimental proses pada objek nyata, yaitu di lokasi.
12. Memperoleh bilangan acak dengan hukum distribusi arbitrer dengan metode fungsi invers. Md arr f-th adalah cara paling umum dan universal untuk mendapatkan bilangan yang mematuhi hukum tertentu. Metode pemodelan standar didasarkan pada fakta bahwa fungsi distribusi kumulatif 
dari setiap variabel acak kontinu terdistribusi secara seragam dalam interval (0;1), yaitu untuk setiap variabel acak X
dengan kepadatan distribusi f(x)
variabel acak terdistribusi merata pada interval (0;1).
Kemudian variabel acak X dengan kepadatan distribusi sewenang-wenang f(x)
dapat dihitung dengan algoritma berikut: 1. Perlu untuk membangkitkan variabel acak r (nilai dari variabel acak R) yang terdistribusi secara seragam dalam interval (0;1). 2. Samakan bilangan acak yang dihasilkan dengan fungsi distribusi yang diketahui F( X )
dan dapatkan persamaannya 
. 3. Memecahkan persamaan X=F -1 (r), kami menemukan nilai yang diinginkan X
Solusi grafis
.
Selain pertanyaan 11.
Mari kita pertimbangkan contoh yang menjadi ciri perbedaan antara jenis pemodelan yang dipertimbangkan.
Ada sistem yang terdiri dari tiga blok.
Sistem berfungsi normal jika setidaknya salah satu blok 1 dan 2 dalam kondisi baik, serta blok 3 dalam keadaan baik Fungsi distribusi uptime blok f1(t), f2(t), f3(t) diketahui. Diperlukan untuk menemukan probabilitas operasi bebas kegagalan sistem pada waktu t.
Rangkaian logika ekivalen 
berarti kegagalan sistem terjadi ketika rangkaian putus. Ini terjadi dalam kasus-kasus berikut:
blok 1 dan 2 gagal, blok 3 dapat diservis;
blok 3 gagal, setidaknya satu dari blok 1 dan 2 beroperasi.
Probabilitas operasi sistem bebas kegagalan P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =
Rumus ini adalah dasar dari model matematika sistem.
Pemodelan analitis. Ini hanya mungkin dalam kondisi bahwa semua integral dinyatakan dalam fungsi dasar. Mari kita asumsikan bahwa
Kemudian 
=
=
.
Dengan pemikiran ini, model (1) mengambil bentuk
Ini adalah ekspresi analitis eksplisit untuk probabilitas yang diinginkan; itu hanya valid di bawah asumsi yang dibuat.
Simulasi numerik. Kebutuhan untuk itu mungkin muncul, misalnya, ketika ditetapkan bahwa integral tidak didefinisikan (yaitu, tidak dinyatakan dalam fungsi dasar). Kebutuhan untuk itu mungkin muncul, misalnya, ketika ditetapkan bahwa distribusi f1(t), f2(t), f3(t) mematuhi hukum Gauss (normal): 
.Untuk perhitungan menurut rumus P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = untuk setiap nilai dari t harus ditentukan secara numerik, misalnya dengan metode trapesium, Simpson, Gauss atau metode lainnya. Untuk setiap nilai t, dilakukan perhitungan kembali.
metode persegi panjang, metode trapesium, metode parabola. Dengan metode persegi panjang, kesalahan terjadi - ketidakakuratan perhitungan. Tetapi dapat dibagi menjadi 2 atau lebih interval. Banyak integral muncul, tetapi di sini kesalahan pembulatan sudah terjadi.
Metode Gauss
Metode Monte Carlo
Pemodelan simulasi. Imitasi adalah reproduksi peristiwa yang terjadi dalam sistem, yaitu operasi yang benar atau kegagalan setiap elemen. Jika waktu operasi sistem adalah t, dan ti adalah waktu operasi bebas kegagalan elemen dengan nomor i, maka: kejadian ti>t berarti operasi elemen yang benar selama waktu (0; t];
acara<=t означает отказ элемента к моменту t.
Perhatikan bahwa ti adalah variabel acak yang terdistribusi menurut hukum fi(t), yang diketahui dengan kondisi.
Simulasi kejadian acak "operasi yang benar dari elemen ke-k selama waktu (0; t]" adalah:
1) dalam memperoleh bilangan acak ti yang terdistribusi menurut hukum fi(t);
2) dalam memeriksa kebenaran ekspresi logis ti>t. Jika benar, maka elemen ke-i berfungsi, jika salah, maka gagal.
Algoritma simulasi adalah sebagai berikut:
1. Masukkan n=0, k=0. Di sini n adalah penghitung jumlah realisasi (pengulangan) dari proses acak; k adalah penghitung jumlah "berhasil".
2. Dapatkan tiga bilangan acak t1,t2,t3, terdistribusi sesuai dengan hukum f1(t),f2(t),f3(t).
3. Periksa kebenaran ekspresi logika L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]
Jika L=benar, maka masukkan k=k+1 dan lanjutkan ke langkah 4, jika tidak lanjutkan ke langkah 4.
4. Masukkan n=n+1.
5.Jika n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.
Kami menekankan sekali lagi: Nilai N ditetapkan terlebih dahulu untuk alasan memastikan akurasi yang diberikan tentang keandalan estimasi statistik dari nilai yang diinginkan P(t).
Kompleks Pendidikan Yalta "School-Lyceum No. 9"
Deputi Direktur Pengelolaan Sumber Daya AirRomanova A.N.
"Pemodelan dalam pelajaran matematika di sekolah dasar"
Bengkel
Matematika harus diajarkan di sekolah
Juga berdiri sebagai tujuan agar pengetahuan,
yang sampai di sini adalah
cukup untuk normal
kebutuhan dalam hidup.
M. Lobachevsky
Rencana laporan
Pedoman baru dalam pendidikan matematika.
Dasar metodis pemodelan. Model matematika.
Menggunakan metode pemodelan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar.
Pembiasaan siswa dengan teknik-teknik pemodelan matematika.
Penerapan pemodelan dalam memecahkan persamaan.
Pemodelan sambil memecahkan masalah teks.
Kegunaan pemodelan dalam studi bilangan, metode penjumlahan dan pengurangan bilangan, serta dalam mengerjakan satuan panjang.
Pedoman baru dalam pendidikan matematika. (5 menit)
Telah diketahui dengan baik bahwa model adalah bahasa matematika, dan pemodelan adalah pidato mereka. Keberhasilan penguasaan matematika ditentukan, pertama-tama, oleh seberapa baik anak telah belajar untuk "berbicara" dalam bahasa mereka. Ini ditentukan tidak hanya oleh keberhasilan akademis siswa dalam memecahkan tugas-tugas ilmiah dan kognitif, tetapi sebagian besar oleh keberhasilan hidup individu - berkatkemampuan untuk menerapkan metode matematika untuk memecahkan tugas-tugas praktis dan kehidupan nyata yang membutuhkannya. Setuju, ini juga hasil yang baik dari pengajaran matematika di sekolah.
Apakah kita mengajar siswa kita pidato matematika? Atau mungkin kita menganggap ini tugas yang sulit untuk sekolah dasar? Atau apakah kita hanya berharap bahwa dalam memecahkan contoh dan masalah sehari-hari, anak-anak sendiri secara bertahap akan belajar bagaimana menggunakannya?
Menurut data pemantauan di sekolah-sekolah di Kiev, serta data dari pemantauan seluruh Ukraina, sebagian besar siswa (masing-masing 60% dan 53%) tidak tahu cara bekerja dengan model grafik yang sudah jadi, melakukan tugas kreatif, dan menerapkan pengetahuan mereka dalam situasi baru untuk memecahkan masalah.
Keadaan pendidikan matematika telah menyebabkan perlunya revisi yang signifikan dari persyaratan negara untuk mengajar matematika untuk anak sekolah. Edisi baru "Standar negara ...", yang mulai berlaku tahun ini. Dari sudut pandang pendekatan yang berorientasi pada kepribadian dan berbasis kompetensi, sebenarnya reorientasi aktivitas guru.Kompetensi - ketersediaan pengetahuan dan pengalaman yang diperlukan untuk aktivitas yang efektif dalam bidang subjek tertentu . Mari kita bandingkan . dalam diamsaat ini Standar negara menyatakan: “Studi matematika di sekolah dasar memberi siswa pengetahuan, keterampilan, dan kemampuan yang diperlukan untuk studi lebih lanjut tentang matematika dan mata pelajaran lain ... Studi matematika berkontribusi pada pengembangan kemampuan kognitif siswa yang lebih muda - memori , pemikiran logis dan kreatif, imajinasi, pidato matematis.Dalam edisi baru standar negara tujuan di bidang pendidikan "Matematika" telah didefinisikan sebagai "pembentukan mata pelajaran matematika dan kompetensi utama yang diperlukan untuk realisasi diri siswa di dunia yang berubah dengan cepat." Kompetensi matematika mata pelajaran dianggap sebagai "pendidikan pribadi yang mencirikan kemampuan siswa (siswa) untuk membuat model matematika dari proses dunia sekitarnya, untuk menerapkan pengalaman aktivitas matematika sambil memecahkan masalah pendidikan, kognitif dan berorientasi praktis."
Oleh karena itu, penguasaan pidato matematika - kemampuan membangun model matematika - menjadi tujuan utama pengajaran matematika, yang diwujudkan melalui pembentukan siswa "kemampuan menggunakan terminologi matematika, tanda dan informasi grafis."
Pengalaman positif mengajar modeling siswa (dan tidak hanya dalam pelajaran matematika) dikumpulkan oleh sistem pendidikan perkembangan oleh D.B. Elkonin - V.V. Davydov, bertujuan untuk mengembangkan aktivitas belajar yang lengkap bagi siswa, salah satunya adalah pemodelan.
Pembentukan kemampuan siswa untuk menjadi model adalah salah satu tujuan pendidikan perkembangan, dan model yang dibuat dan digunakan anak-anak, pertama-tama, adalah salah satu cara untuk membentuk keterampilan belajar (dan bukan hanya cara visualisasi).
Tugas seminar kami hari ini adalah untuk memahami masalah pemodelan, untuk menunjukkan bagaimana model dapat digunakan untuk mengajar siswa yang lebih muda untuk memecahkan persamaan dan masalah, sifat matematika, metode penambahan dan pengurangan bilangan.
2. Basis pemodelan metodis. (8 menit)
Pemodelan adalah salah satu sarana kognisi realitas. Model digunakan untuk mempelajari setiap objek (fenomena, proses), untuk memecahkan berbagai masalah dan memperoleh informasi baru. Oleh karena itu, model adalah suatu objek (sistem) tertentu, yang kegunaannya berfungsi untuk memperoleh pengetahuan tentang objek lain (asli).
Penggunaan simulasi dipertimbangkan dalam dua aspek:
pertama, modeling sebagai konten yang harus dipelajari oleh anak-anak sebagai hasil dari proses pedagogis;
kedua, pemodelan adalah tindakan dan sarana pendidikan yang tanpanya pembelajaran penuh tidak mungkin dilakukan.
Visibilitas model didasarkan pada keteraturan penting berikut: pembuatan model didasarkan pada pembuatan awal model mental - gambar visual dari objek yang dimodelkan, yaitu, subjek menciptakan citra mental objek ini, dan kemudian (bersama anak-anak) membangun bahan atau model figuratif (visual). Model mental dibuat oleh orang dewasa dan dapat diubah menjadi model visual dengan bantuan tindakan praktis tertentu (di mana anak-anak juga dapat berpartisipasi), anak-anak juga dapat bekerja dengan model visual yang sudah dibuat.
Dalam bekerja dengan anak-anak, Anda dapat menggunakan substitusi objek: simbol dan tanda, model planar (rencana, peta, gambar, diagram, grafik), model tiga dimensi, tata letak.
Menggunakan metode pemodelan membantu menyelesaikan serangkaian tugas yang sangat penting:
pengembangan kreativitas produktif anak;
pengembangan bentuk pemikiran figuratif yang lebih tinggi;
penerapan pengetahuan yang diperoleh sebelumnya dalam memecahkan masalah praktis;
konsolidasi pengetahuan matematika yang diperoleh anak sebelumnya;
penciptaan kondisi untuk kerjasama bisnis;
aktivasi kosakata matematika anak-anak;
pengembangan keterampilan motorik halus tangan;
memperoleh ide dan keterampilan baru dalam proses kerja;
pemahaman terdalam oleh anak-anak tentang prinsip kerja dan struktur aslinya dengan bantuan model.
Model tidak hanya memberi kita kesempatan untuk membuat gambar visual dari objek yang dimodelkan, tetapi juga memungkinkan kita untuk membuat gambar dari propertinya yang paling signifikan yang tercermin dalam model. Semua properti non-esensial lainnya dibuang saat mengembangkan model. Jadi, kami membuat gambar visual umum dari objek yang dimodelkan.
Dasar ilmiah pemodelan adalah teori analogi, di mana konsep utamanya adalah - konsep analogi - kesamaan objek dalam hal karakteristik kualitatif dan kuantitatifnya. Semua jenis ini disatukan oleh konsep analogi umum - abstraksi. Analogi mengungkapkan jenis khusus korespondensi antara objek yang dibandingkan, antara model dan aslinya.
Pemodelan bersifat multifungsi, yaitu digunakan dalam berbagai cara untuk tujuan yang berbeda pada tingkat (tahap) penelitian atau transformasi yang berbeda. Dalam hal ini, praktik penggunaan model selama berabad-abad telah memunculkan banyak sekali bentuk dan jenis model.
Pertimbangkan klasifikasi yang diusulkan oleh L. M. Fridman. Dari sudut pandang derajat kejelasan, ia membagi semua model menjadi dua kelas:
langkah 1. 1-2
· bahan (nyata, nyata);
· ideal.
Untuk materi model termasuk yang dibangun dari objek material apa pun.
Langkah 2
Model material, pada gilirannya, dapat dibagi menjadi:statis (tetap) dandinamis (Pengoperasian).
Langkah 3
Jenis model dinamis berikutnya adalahanalog dan simulasi , yang mereproduksi fenomena ini atau itu dengan bantuan yang lain, dalam beberapa hal lebih nyaman. Misalnya, model seperti itu - ginjal buatan - berfungsi dengan cara yang sama seperti ginjal alami (hidup), mengeluarkan racun dan produk metabolisme lainnya dari tubuh, tetapi, tentu saja, itu diatur sepenuhnya berbeda dari ginjal hidup.
Ideal model biasanya dibagi menjadi tiga jenis:
Langkah 4
· figuratif (ikon);
· ikonik (tanda-simbolis);
· mental (jiwa).
Klasifikasi model dapat dilakukan menurut berbagai kriteria:
1) berdasarkan sifat model (yaitu, dengan alat pemodelan);
2) menurut sifat objek yang disimulasikan;
3) berdasarkan bidang penerapan pemodelan (pemodelan dalam teknik, dalam ilmu fisika, kimia, pemodelan proses kehidupan, pemodelan jiwa, dll.)
4) berdasarkan level ("kedalaman") pemodelan.
Yang paling terkenal adalahklasifikasi berdasarkan sifat model .
Langkah 5
Menurut itu, berikut inijenis pemodelan :
Langkah 6
1. Pemodelan Objek , di mana model mereproduksi karakteristik geometris, fisik, dinamis, atau fungsional objek. Misalnya model jembatan, bendungan, model sayap pesawat terbang, dll.
Langkah 7
2. Simulasi analog , di mana model dan aslinya dijelaskan oleh satu hubungan matematis. Contohnya adalah model listrik yang digunakan untuk mempelajari fenomena mekanik, hidrodinamika dan akustik.
Langkah 8
3. Pemodelan ikonik , di mana model adalah formasi tanda dalam bentuk apa pun: diagram, grafik, gambar, rumus, grafik, kata, dan kalimat.
Langkah 9
4. Berhubungan erat dengan ikonpemodelan mental , di mana model memperoleh karakter visual mental.
Langkah 10
5. Percobaan simulasi - jenis pemodelan khusus di mana bukan objek itu sendiri yang digunakan, tetapi modelnya.
Tujuan utama dari pemodelan adalah untuk mengidentifikasi dan memperbaiki hubungan yang paling umum dalam subjek untuk studinya.
Metode pemodelan adalah formasi yang kompleks dan integratif. Menurut klasifikasi metode didaktik oleh N.G. Kazansky dan T.S. Nazarova, metode pemodelan memiliki struktur tiga komponen
Langkah 11(lihat diagram). Jadi, dalam struktur metode pemodelansisi luar Hal tersebut merupakan wujud nyata interaksi antara guru dan siswa.Sisi dalam - ini adalah seperangkat teknik pendidikan umum (analisis, sintesis, generalisasi, dll.) dan metode pekerjaan pendidikan.Sisi teknologi - ini adalah seperangkat teknik khusus dari metode ini (analisis awal, membangun model, bekerja dengannya, mentransfer informasi dari model ke objek yang diinginkan - asli).
Metode pemodelanSisi luar
Sisi dalam
Sisi teknologi
Formulir:
eksposisi
percakapan
kerja mandiri
Esensi psikologis:
cara kerja pendidikan yang dogmatis;
metode heuristik pekerjaan pendidikan
metode penelitian karya pendidikan
Entitas logis:
analitis;
sintetis;
induktif;
deduktif;
analitis-sintetis
Teknik untuk membangun model;
teknik transformasi model;
teknik spesifikasi model
Model matematika. Pemodelan matematika.
Model matematika adalah deskripsi perkiraan dari beberapa kelas fenomena dunia luar menggunakan simbol matematika. Misalnya, hubungan antara elemen A, B, C, dinyatakan dengan rumus A + B = C - model matematika.
Proses pemodelan matematika, yaitu mempelajari fenomena menggunakan model matematika dapat dibagi menjadi empat tahap.
Langkah 12
Tahap pertama - mengisolasi fitur penting dari objek.
13.
Fase kedua - model bangunan.
14 .
Tahap ketiga – model penelitian.
15 .
Tahap keempat -mentransfer informasi yang diperoleh pada model ke objek yang diteliti.
Keunikan pemodelan adalah bahwa visibilitas bukanlah demonstrasi sederhana dari objek alami, tetapi merangsang aktivitas praktis mandiri anak-anak.. Kemampuan siswa untuk bekerja dengan model, transformasinya untuk mempelajari sifat-sifat umum dari konsep yang dipelajari adalah salah satu tugas utama mengajar di semua bidang studi.
Berbagai model digunakan untuk pemodelan.objek matematika: rumus numerik, tabel numerik, rumus literal, fungsi, persamaan aljabar, deret, bangun geometris, berbagai diagram, diagram Euler-Venn, grafik.
3. Menggunakan metode pemodelan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar. (1,5 menit)
Kebutuhan siswa yang lebih muda untuk menguasai metode pemodelan sebagai metode kognisi dalam proses pembelajaran dapat dibenarkan dari posisi yang berbeda.
Langkah 16
Pertama-tama , ini berkontribusi pada pembentukan pandangan dunia dialektis-materialis.
17.
Kedua Seperti yang ditunjukkan eksperimen, pengenalan konsep model dan pemodelan ke dalam konten pendidikan secara signifikan mengubah sikap siswa terhadap subjek, membuat kegiatan belajar mereka lebih bermakna dan lebih produktif.
18.
Ketiga , pelatihan terarah dan sistematis dalam metode pemodelan membawa siswa yang lebih muda lebih dekat ke metode pengetahuan ilmiah, memastikan perkembangan intelektual mereka. Untuk "mempersenjatai" siswa dengan pemodelan sebagai cara kognisi, tidak cukup bagi seorang guru untuk menunjukkan kepada mereka model ilmiah yang berbeda dan menunjukkan proses pemodelan fenomena individu. Adalah perlu bahwa anak sekolah sendiri membangun model, mempelajari objek apa pun, fenomena sendiri dengan bantuan pemodelan. Ketika siswa, memecahkan masalah matematika (plot) praktis, memahami bahwa itu adalah model simbolis dari beberapa situasi nyata, membuat urutan berbagai modelnya, kemudian mempelajari (memecahkan) model ini dan, akhirnya, menerjemahkan solusi yang dihasilkan ke dalam bahasa permasalahan aslinya, maka sebagian besar anak sekolah menguasai metode pemodelan.
Pembiasaan siswa dengan teknik-teknik pemodelan matematika. (10 menit)
Psikolog terkenal P. Galperin dan rekan-rekannya mengembangkan teori pembentukan bertahap tindakan mental. Menurut teori ini, proses belajar dipandang sebagai penguasaan anak terhadap suatu sistem tindakan mental, yang terjadi dalam proses internalisasi (peralihan ke dalam) dan sesuai dengan kegiatan praktis eksternal.
Anak melakukan tindakan praktis dengan objek (pertama dengan objek nyata, dan kemudian dengan objek imajiner) - tindakan objektif. Dari mereka, pertama-tama mengandalkan gambar salinan, dan kemudian pada model objek, ia beralih ke model grafis. Setelah pengenalan tanda-tanda matematika, huruf untuk menunjukkan besaran, siswa menggunakan rumus untuk menggambarkan tindakan, mis. model huruf simbolik, dan kemudian model verbal (definisi, aturan).
Misalnya, anak-anak diberi tugas praktis tertentu, yang mengharuskan mereka menemukan dua bejana dengan volume yang sama (berbeda bentuknya).Foto langkah 19
Setelah itu, anak-anak (dan bukan guru) melakukan tindakan praktis: tuangkan air ke dalam satu toples, tuangkan ke yang lain. Jika semua air dari toples pertama masuk ke toples yang lain, maka volume toples tersebut adalah sama. Dianjurkan untuk menawarkan anak-anak untuk mengambil dua strip seperti itu, yang dengannya Anda dapat mengetahui tentang hubungan antara volume, bentuk - keduanya sama atau berbeda. Jika volume toples sama, anak-anak harus mengangkat dua strip dengan panjang yang sama, dan jika berbeda, maka panjangnya berbeda.Sebuah foto
langkah 20
Untuk membawa anak-anak ke penggunaan model grafis, sekali lagi perlu untuk menetapkan tugas praktis khusus: dengan bantuan gambar, tunjukkan bahwa volume satu toples lebih besar dari yang lain. Pengalaman menunjukkan bahwa anak-anak mulai menggambar bentuk kaleng, mis. buat salinan gambar, atau gambar garis, yang dengannya mereka menunjukkan rasio volume kaleng.
Setelah membahas gambar, kami menyimpulkan: menggambar kaleng adalah cara yang tidak berhasil (gambar yang tidak akurat, rasio volume kaleng tidak ditampilkan, pekerjaan membutuhkan banyak waktu). Tapi belang pada anak-anak juga berbeda lebar dan panjangnya, ini juga memakan banyak waktu.
Akibatnya, kami sampai pada kesimpulan bahwa lebih mudah untuk tidak menggambar lebar strip sama sekali, tetapi hanya menggambar panjang strip (yaitu, segmen). Jika besaran (panjang, luas, massa, volume, dll.) sama, maka mereka memiliki segmen yang sama panjang, dan jika tidak sama, panjangnya harus berbeda.Foto di buku catatan. langkah 21.
Dengan demikian, representasi kuantitas diperkenalkan menggunakan segmen. Anak-anak belajar untuk menentukan kuantitas secara skematis, dan kemudian membangun model grafis (linier).
Hal ini juga bijaksana untuk memperkenalkan di kelas 1 konsep "keseluruhan" dan "bagian" dan untuk mengembangkan keterampilan siswa untuk membangun hubungan antara konsep-konsep ini. Bagaimana cara menulis dalam bahasa matematika bahwa, misalnya, sebuah apel terdiri dari bagian-bagian yang terpisah? Jika apel itu utuh, kami akan menunjukkannya dengan lingkaran, dan kami akan menunjukkan tumpukan apel dengan segitiga, dan kami akan mendapatkan model grafis seperti itu.
Langkah 22Geser 7
+ + + =
Sederhanakan dan miliki model dasar:
langkah 23. + =
Keseluruhan dan bagian adalah konsep yang relatif. Sifat-sifat utama dari relasi ini (pada himpunan bilangan asli): keseluruhan tidak boleh kurang dari bagian, dan bagian tidak boleh lebih besar dari keseluruhan; keseluruhan sama dengan jumlah bagian-bagiannya, dan bagian itu sama dengan selisih antara keseluruhan dan bagian lainnya
Langkah 24 = -
Setiap orang sangat menyadari sinar yang secara tradisional digunakan untuk mewakili komposisi angka.Langkah 25Geser 8
Jadi hubungan antara bagian dan keseluruhan dapat ditunjukkan dengan menggunakan notasi grafik tanda:
Denganlangkah 26
A |____________|_____________|
B A B
Diagram yang menggambarkan tindakan penambahan, pada saat yang sama menggambarkan tindakan sebaliknya - pengurangan:
Langkah 27geser 9
Konsep bagian dan keseluruhan memungkinkan untuk memperkenalkan sifat komutatif dan asosiatif dari penambahan jumlah.Slide 10, 11 (2 langkah), 12
Langkah 28, 29, 30
Seperti halnya penambahan dan pengurangan, Anda juga dapat menggunakan simulasi untuk mempelajari perkalian dan pembagian.
Secara tradisional, perkalian dianggap sebagai penambahan suku yang identik. Biarkan nilai A ditambahkan B kali:geser 13.
langkah 31.A+A+A+A+A = AxB
Rumus A x B berbunyi seperti ini: “ambil A untuk waktu B” atau “A waktu untuk A”,
Langkah 32di mana A adalah bagian (pengukuran), yang ma dilambangkan dengan segitiga.
B - jumlah bagian yang sama (jumlah pengukuran), kita dapat menunjukkannya dengan persegi.
Untuk menunjukkan keseluruhan, kami menggunakan ikon yang sama - lingkaran.
Keseluruhan dicirikan sebagai hasil operasi aritmatika perkalian bilangan A dan B.
X \u003d A x B \u003d C Skema yang menjelaskan tindakan ini:
|____|_А___|_____________|
Jelas bahwa ketika kita menganggap pembagian sebagai tindakan objektif yang ditujukan untuk membagi menurut konten atau menjadi bagian yang sama, akan mungkin untuk membangun hubungan antara perkalian dan pembagian. Sekarang, selain rumus perkalianLangkah 33Ah B \u003d C, kami mendapatkan dua pembagian terbaliklangkah 34.C: A = B danlangkah 35. C: B \u003d A (dengan bentuk geometris). Ini berarti bahwa rangkaian perkalian adalah rangkaian pembagian.
Penerapan pemodelan dalam memecahkan persamaan. (10 menit)
Untuk pemilihan metode penyelesaian persamaan yang tepat, perlu untuk dapat menemukan hubungan keseluruhan dan bagian.Ketika konsep ini terbentuk, anak-anak memperoleh kemampuan untuk mengekspresikan keseluruhan melalui bagian-bagian dan bagian-bagian melalui keseluruhan. Membangun hubungan antara penambahan dan pengurangan besaran berdasarkan konsep bagian dan keseluruhan memungkinkan untuk membandingkan keseluruhan dengan jumlah dan pengurangan, bagian dengan istilah atau pengurangan dan perbedaan dan melihat bahwa tindakan yang berbeda: A + B \u003d C, C-A \u003d B, atau C-B=A - mencirikan hubungan yang sama antara kuantitas.
Menemukan yang tidak diketahui saat menyelesaikan persamaan membantu tidak hanya aturan, tetapi juga hubungan antara bagian dan keseluruhan, disajikan dalam bentuk model grafis.Geser 14 langkah 36.
Algoritma kerja untuk belajar menyelesaikan persamaan adalah sebagai berikut:
Kami menggambar skema persamaan. X +5 = 12langkah 37.
Kami menemukan keseluruhan dan bagian-bagiannya terlebih dahulu dalam diagram, kemudian dalam persamaan (garis bawah)
Kami memberi nama komponen yang tidak diketahui. Kami mencari tahu apa itu: keseluruhan atau sebagian.
Kami menganalisis bagaimana kami akan menemukan nilai yang tidak diketahui.
Kami menemukanX. langkah 38, 39
Skema yang dibangun dapat digunakan saat menyelesaikan persamaan pengurangan. 12 - x \u003d 5, karena sirkuit yang menggambarkan tindakan penambahan pada saat yang sama merupakan sirkuit untuk pengurangan. Contoh foto dari buku catatan
Slide 15,16 (+1 langkah ), 17, 18.
Langkah, 40, 41, 41-a, 42,43
Tugasnya adalah menyebarkan persamaan ini ke dalam diagram dan membuat ekspresi
geser 19 langkah 44, 45. 44-a, 45-b
Simulasi digunakan dengan cara yang sama ketika memecahkan persamaan untuk menemukan faktor, pembagi, dan dividen yang tidak diketahui.
Geser 20( 8 langkah ) langkah 46.
Dianjurkan, ketika memperbaiki hubungan antara perkalian dan pembagian, untuk memperkenalkan konsep luas, rumus untuk menemukan luas persegi panjang dan menemukan sisi yang tidak diketahui.Slide 21 (1 langkah)
Contoh Persamaan. Geser 22 ( 4 langkah)
Agoritma untuk menyelesaikan persamaangeser 23 .
Karena rangkaian perkalian adalah rangkaian pembagian, dua persamaan pembagian dapat dibuat dari satu persamaan. Luas adalah keseluruhan, dan panjang dan lebar sisi-sisinya adalah bagian-bagiannya.
Selain itu, pemodelan memberikan kesempatan untuk mendiversifikasi pekerjaan kreatif pada persamaan. Jadi, guru dapat menawarkan jenis tugas berikut:
geser 24
Tulis dan selesaikan persamaan menggunakan diagram.Langkah 48
Geser 25 ( putuskan dengan tamu )
(beberapa persamaan dan diagram diberikan) Persamaan manakah yang cocok dengan diagram ini? Temukan dan putuskan.Langkah 49
Geser 26, 27. 28, 29.
Memecahkan persamaan sambil menghitung. Langkah 50, 51, 52,53
Geser 30 (10 langkah), 31
Menyusun kondisi masalah sesuai dengan skema persamaan.
Presentasi baru. (Lokakarya 2)
Pemodelan sambil memecahkan masalah teks (18 menit)
geser 1
Seseorang tidak dapat tidak setuju dengan pendapat bahwa pendidikan modern adalah kemampuan seorang siswa untuk melihat situasi kehidupan yang nyata dari posisi fisikawan, kimiawan, sejarawan, ahli geografi, sama sekali tidak untuk menjadi peneliti di bidang ini, tetapi untuk kemudian menemukan solusi dalam situasi kehidupan tertentu.
Seorang siswa junior dapat menjadi peneliti nyata dengan memecahkan masalah kata ketika mengajar matematika kepada siswa yang lebih muda.
Satu salah satu pendekatan ini adalah pembentukan kemampuan siswa untuk memecahkan masalah jenis tertentu (misalnya, memecahkan masalah untuk perbandingan diferensial, dll., Ketika jenis masalah tertentu sedang dikerjakan).Lain didasarkan pada penggunaan analisis semantik dan matematis masalah teks, ketika masalah dianalisis dari data ke tujuan (metode sintetis) dan dari tujuan ke data (analitik).Pendekatan Ketiga didasarkan pada metode pemecahan masalah pendidikan. Pembentukan tindakan pemodelan menyiratkan pembentukan kemampuan yang berbeda secara kualitatif untuk memecahkan masalah teks.
Masalah aritmatika dan aljabar dalam literatur disebut juga masalah plot, karena. mereka selalu memiliki deskripsi verbal dari beberapa peristiwa, fenomena, tindakan, proses. Teks tugas plot apa pun dapat dibuat ulang dengan cara yang berbeda (secara objektif, grafis, menggunakan tabel, rumus, dll.), dan ini adalah transisi dari pemodelan verbal ke bentuk pemodelan lainnya. Oleh karena itu, dalam mengerjakan masalah, kami memberikan perhatian besar pada konstruksi model skema dan simbolik, serta kemampuan untuk bekerja dengan segmen, memodelkan masalah teks secara grafis dengan bantuan mereka, mengajukan pertanyaan, menentukan algoritma solusi dan mencari sebuah jawaban. Siswa yang lebih muda, seperti yang Anda tahu, tidak memiliki tingkat pemikiran abstrak yang memadai. Dan tugas kita justru mengajarinya secara progresif untuk merepresentasikan objek tertentu dalam bentuk model simbolik, untuk membantunya belajar bagaimana menerjemahkan masalah teks ke dalam bahasa matematika. Kami percaya bahwa itu adalah pemodelan grafis dari masalah teks dan, yang paling penting, yang memberikan kesempatan nyata untuk melihat secara visual dan menentukan algoritme untuk menyelesaikannya, untuk melakukan refleksi independen dari tugas yang diselesaikan.
Tetapi tidak setiap entri akan menjadi model tugas. Untuk membangun model, untuk transformasi lebih lanjut, perlu untuk memilih dalam tugastarget, nilai yang diberikan, semua rasio, sehingga, berdasarkan model ini, Anda dapat melanjutkan analisis, memungkinkan Anda untuk bergerak maju dalam solusi dan mencari solusi optimal. Solusi dari masalah apa pun secara aritmatika dikaitkan dengan pilihan operasi aritmatika, sebagai akibatnya dimungkinkan untuk memberikan jawaban atas pertanyaan yang diajukan. Untuk mempermudah pencarian model matematika, maka perlu digunakan model bantu.geser 2 (berkenalan dengan komponen di kelas 1).
Untuk menciptakan kembali situasi dalam kondisi masalah, Anda dapat menggunakan gambar skema yang akan memberikan transisi dari teks masalah ke korelasi operasi aritmatika tertentu pada angka, yang berkontribusi pada pembentukan asimilasi yang sadar dan kuat. dari metode umum bekerja pada masalah. Model ini memungkinkan siswa untuk membentuk kemampuan menjelaskan bagaimana dia mendapatkan jawaban dari pertanyaan masalah. Tetapi model skema hanya efektif jika dapat dipahami oleh setiap siswa dan keterampilan untuk menerjemahkan model verbal ke dalam bahasa diagram telah dikembangkan. Saat belajar memecahkan masalah sederhana penjumlahan dan pengurangan, konsep diperkenalkan: keseluruhan, bagian dan rasionya.Geser 3. (2 langkah)
Untuk menemukan bagian, Anda perlu mengurangi bagian lain dari keseluruhan.
Untuk menemukan keseluruhan, Anda perlu menambahkan bagian-bagiannya.
Saat belajar memecahkan masalah perkalian dan pembagian sederhana, skema dan aturan yang sesuai ditawarkan:
Untuk menemukan keseluruhan, Anda perlu mengalikan ukuran dengan jumlah ukuran.
Untuk menemukan pengukuran, Anda perlu membagi bilangan bulat dengan jumlah pengukuran.
Untuk menemukan jumlah ukuran, Anda perlu membagi bilangan bulat dengan ukurannya.
geser 4. (3 langkah)
Pendekatan pembelajaran ini memungkinkan Anda untuk menjauh dari klasifikasi tugas-tugas sederhana yang lama. Penting untuk menggambarkan data dan apa yang dicari sedemikian rupa sehingga ketergantungan antara kuantitas cukup jelas. Diperhatikan dalam masalah, dan hubungan mereka.
Sebagai contoh, saya akan memberikan beberapa masalah teks dan solusinya menggunakan model grafis.
Tugas 1Geser 5. (5 langkah)
Ada 4 ikan besar dan 5 ikan kecil di akuarium. Berapa banyak ikan di akuarium?
Latihan menyusun soal dan ekspresi dari gambar (soal invers)geser 6. ( 8 langkah)Geser 7.
Tugas 2Geser 8
Lena memiliki 5 buah pir. Dan Misha memiliki 4 lebih banyak dari Lena. Berapa banyak pir yang dimiliki Misha?
Contoh tugas untuk menyusun tugas dari gambar dan merekam solusi.geser 9.
Tugas 3geser 10. (5 langkah)
Lena memiliki 10 buah pir. Itu 3 lebih dari buah persik. Berapa banyak buah persik yang dimiliki Lena?
Tugas 4.geser 11 (4 langkah).
Sasha membeli 5 buku catatan seharga 8 hryvnia dan sebuah album untuk menggambar seharga 33 hryvnia. Berapa banyak uang yang Sasha bayarkan untuk pembelian itu?
Harga satu notebook adalah 8 UAH - ini adalah segmen tunggal (pengukuran). Jumlah segmen tunggal (5) menunjukkan jumlah notebook. Bagian kedua dari segmen mencerminkan harga (UAH 33) dan jumlah (1) album.
Tugas 5.geser 12 (7 langkah).Dua cara untuk merencanakan. Dua Solusi
Pabrik membutuhkan 90 pekerja: 50 turner, 10 tukang kunci, sisanya loader. Berapa banyak penggerak yang dibutuhkan?
geser 13 (3 langkah)menyusun masalah invers. BERHENTI
Cara untuk mengerjakan tugas.
Pada tahap pengenalan saya menggunakan metode berikut:
Penjelasan masing-masing komponen bagian dari model.
Petunjuk untuk membangun model.
Pemodelan pada pertanyaan utama dan implementasi skema secara bertahap.
Pada tahap memahami gambar skema, saya menggunakan teknik berikut:
Perumusan teks tugas sesuai dengan plot yang diusulkan dan skema segmental.
Korelasi skema dan ekspresi numerik.
Mengisi skema - kosong dengan data tugas.
Menemukan kesalahan dalam mengisi diagram.
Memilih skema untuk tugas.
Memilih tugas untuk skema.
Penambahan kondisi masalah.
Perubahan skema.
Mengubah kondisi tugas.
Mengubah teks tugas.
Hasil belajar membangun dan memahami gambar skema adalah pemodelan mandiri tugas oleh siswa.
Saat memecahkan masalah teks, kami sedang mengerjakan pembentukan tindakan pemodelan, dan sebaliknya, semakin baik anak menguasai tindakan pemodelan, semakin mudah baginya untuk menyelesaikan masalah.
Siswa harus diperkenalkan dengan berbagai metode untuk memecahkan masalah teks: aritmatika, aljabar, geometris, logis dan praktis; dengan berbagai jenis model matematika yang mendasari setiap metode; serta dengan berbagai solusi dalam kerangka metode yang dipilih. Memecahkan masalah teks menyediakan materi yang kaya untuk pengembangan dan pendidikan siswa. Catatan singkat kondisi masalah teks merupakan contoh model yang digunakan pada mata kuliah awal matematika. Metode pemodelan matematika memungkinkan Anda untuk mengajar anak-anak sekolah:
a) analisis (pada tahap memahami masalah dan memilih cara untuk mengimplementasikan solusi);
b) membangun hubungan antar objek masalah, membangun skema solusi yang paling tepat;
c) interpretasi solusi yang diperoleh untuk masalah asli;
d) menyusun tugas sesuai dengan model yang sudah jadi, dll.
Presentasi mengerjakan tugasSlide15-22 .
Kombinatorik pada model dari kelas 1
Kelas 2
Susun angka 4, 6, 8 dengan cara yang berbeda:
Di kelas 3-4
Pohon (36 makan malam)
Foto dari buku catatan
Menggunakan simulasi untuk belajar bernomor, menambah dan mengurangi angka, dan mengerjakan satuan panjang (5 menit)
Kemampuan untuk mengubah angka menjadi satuan hitung dan satuan ukuran paling sering menyebabkan beberapa kesulitan. Dan di sini disarankan untuk menggunakan metode pemodelan untuk membantu. Mempelajari konsentris "Sepuluh", anak-anak belajar menggambarkan unit secara skematis menggunakan titik.geser 25. Belajar menambah dan mengurangi pada model.geser 26. (7 langkah)geser 27.
Mempelajari "Ratusan" anak-anak mewakili puluhan dengan bantuan segitiga kecil. Mereka belajar mengubah angka menjadi satuan hitung (desimal dan satuan) dan secara paralel dengan ini, anak-anak berkenalan dengan sentimeter dan desimeter. Itu memungkinkan Anda untuk menggambar analogi dalam konversi satuan panjang. Mereka juga belajar bagaimana menambahkan angka dua digit pada diagram numerik.Geser 28
Mempelajari "Seribu" anak-anak akan belajar bahwa kita akan menggambarkan 10 segitiga (puluhan) sebagai satu segitiga besar (seratus). Secara paralel, anak-anak mempelajari satuan panjang baru - meter. Dengan mengonversi angka untuk menghitung satuan, kita melakukan pekerjaan serupa dengan satuan panjang.geser 29, contoh untuk nomor 342geser 30 (5 langkah)
Contoh untuk nomor 320Geser 31 (6 langkah)
Contoh untuk nomor 302geser 32 (8 langkah)
Algoritma.Slide 33 dan 34(7 langkah)
Rekomendasi penggunaan metode pemodelan dalam pelajaran matematika (3 menit)
Harus dipahami bahwa pemodelan dalam pengajaran tidak diinginkan, tetapi perlu, karena itu menciptakan kondisi untuk penguasaan penuh dan kuat dari metode kognisi dan metode kegiatan belajar oleh siswa.
Tujuan utama dari pemodelan dalam pelajaran adalah:
membangun model sebagai cara membangun cara baru dalam melakukan sesuatu.
pembelajaran membangun model berdasarkan analisis prinsip, metode konstruksinya.
Ingatlah bahwa pelajaran pertama yang berkaitan dengan pemodelan, pada kenyataannya, adalah pelajaran tentang pengaturan pelatihan dan tugas praktis. Masalah yang muncul bagi anak-anak terletak pada kenyataan bahwa mereka tidak memiliki cukup cara untuk menunjukkan sikap umum. Setiap kali situasi praktis baru muncul, anak-anak mendefinisikan hubungan baru - dan sekali lagi muncul pertanyaan bagaimana menyampaikannya secara grafis.
"Tugas abstrak" seperti menggambar diagram menurut rumus, membangun hubungan antara jumlah yang merupakan bagian dari beberapa rumus, dll. menawarkan ketika hubungan diselidiki, disadari dan ditampilkan dalam tanda-tanda, diagram berulang kali. Di balik model, setiap anak harus memiliki tindakan dengan objek nyata yang sekarang dapat ia lakukan dalam imajinasinya (tindakan mental).
Tempat model untuk anak ditentukan tergantung pada tugasnya
Suatu tindakan dapat disertai dengan model. Misalnya, jika konstruksi metode lebih mudah dilakukan pada model, sebagai tahap pengerjaan tugas teks (hubungan antara kuantitas ditampilkan secara skematis selama membaca).
Model dibangun setelah tindakan selesai. Untuk mewujudkan tindakan yang dilakukan, perlu untuk membangun diagram hubungan yang terpisah. Konstruksi skema dimotivasi oleh pertanyaan seperti: "Bagaimana Anda melakukannya?", "Bagaimana Anda akan mengajari orang lain untuk melakukan tugas seperti itu?
Dan beberapa tips lagi.
Anda harus mulai dengan studi literatur khusus. Misalnya, ini adalah metodologi untuk mengajar matematika di kelas dasar dan buku teks oleh E. Alexandrova, L. Peterson.
Pada pertemuan orang tua-guru, pastikan untuk membiasakan orang tua dengan metode mengajar anak-anak mereka. Saran dan instruksi Anda mungkin berguna.
Gunakan setiap kesempatan untuk menjadi peserta kelas master dalam pemodelan matematika.
Di mana saya mengundang Anda?
