Artikel di bawah ini akan membahas masalah menemukan koordinat tengah segmen dengan adanya koordinat titik ekstremnya sebagai data awal. Namun, sebelum melanjutkan ke studi masalah, kami memperkenalkan sejumlah definisi.

Definisi 1

Segmen garis- garis lurus yang menghubungkan dua titik sewenang-wenang, yang disebut ujung segmen. Sebagai contoh, biarkan ini menjadi titik A dan B dan, masing-masing, segmen A B .

Jika ruas A B diteruskan ke dua arah dari titik A dan B, kita akan mendapatkan garis lurus A B. Maka ruas A B adalah bagian dari garis lurus yang diperoleh yang dibatasi oleh titik A dan B . Segmen A B menyatukan titik-titik A dan B , yang merupakan ujung-ujungnya, serta himpunan titik-titik yang terletak di antaranya. Jika, misalnya, kita mengambil sembarang titik K yang terletak di antara titik A dan B , kita dapat mengatakan bahwa titik K terletak pada segmen A B .

Definisi 2

potong panjang adalah jarak antara ujung-ujung segmen pada skala tertentu (segmen satuan panjang). Kami menyatakan panjang segmen A B sebagai berikut: A B .

Definisi 3

titik tengah Titik pada ruas garis yang jaraknya sama dari ujung-ujungnya. Jika bagian tengah segmen A B dilambangkan dengan titik C, maka persamaannya akan benar: A C \u003d C B

Data awal: koordinat garis O x dan titik tidak serasi di atasnya: A dan B . Titik-titik ini sesuai dengan bilangan real x A dan x B . Titik C adalah titik tengah segmen A B: Anda perlu menentukan koordinat x C .

Karena titik C adalah titik tengah segmen A B, persamaan akan menjadi benar: | A C | = | C B | . Jarak antara titik ditentukan oleh modulus perbedaan antara koordinatnya, mis.

| A C | = | C B | x C - x A = x B - x C

Maka dua persamaan dimungkinkan: x C - x A = x B - x C dan x C - x A = - (x B - x C)

Dari persamaan pertama, kami memperoleh rumus untuk koordinat titik C: x C \u003d x A + x B 2 (setengah jumlah koordinat ujung segmen).

Dari persamaan kedua kita mendapatkan: x A = x B , yang tidak mungkin, karena dalam data asli - poin yang tidak cocok. Dengan demikian, rumus untuk menentukan koordinat titik tengah segmen A B dengan ujung A (x A) dan B(xB):

Rumus yang dihasilkan akan menjadi dasar untuk menentukan koordinat titik tengah segmen pada bidang atau ruang.

Data awal: sistem koordinat persegi panjang pada bidang O x y , dua titik acak yang tidak bertepatan dengan koordinat yang diberikan A x A , y A dan B x B , y B . Titik C adalah titik tengah ruas A B . Tentukan koordinat x C dan y C untuk titik C .

Mari kita ambil analisis kasus ketika titik A dan B tidak bertepatan dan tidak terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu. A x , A y ; B x , B y dan C x , C y - proyeksi titik A , B dan C pada sumbu koordinat (garis lurus O x dan O y).

Dengan konstruksi, garis A A x , B B x , C C x sejajar; garisnya juga sejajar satu sama lain. Bersama dengan ini, menurut teorema Thales, dari persamaan A C \u003d C B, persamaan mengikuti: A x C x \u003d C x B x dan A y C y \u003d C y B y, dan mereka, pada gilirannya, menunjukkan bahwa titik C x - tengah segmen A x B x, dan C y adalah tengah segmen A y B y. Dan kemudian, berdasarkan rumus yang diperoleh sebelumnya, kita mendapatkan:

x C = x A + x B 2 dan y C = y A + y B 2

Rumus yang sama dapat digunakan jika titik A dan B terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu. Kami tidak akan melakukan analisis terperinci dari kasus ini, kami akan mempertimbangkannya hanya secara grafis:

Meringkas semua hal di atas, koordinat tengah segmen A B pada bidang dengan koordinat ujungnya A (x A , y A) dan B(x B, y B) didefinisikan sebagai:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Data awal: sistem koordinat x y z dan dua titik sembarang dengan koordinat yang diberikan A (x A , y A , z A) dan B (x B , y B , z B) . Penting untuk menentukan koordinat titik C , yang merupakan tengah segmen A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z dan C x , C y , C z - proyeksi semua titik yang diberikan pada sumbu sistem koordinat.

Menurut teorema Thales, persamaan adalah benar: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Oleh karena itu, titik-titik C x , C y , C z masing-masing adalah titik tengah segmen A x B x , A y B y , A z B z. Kemudian, untuk menentukan koordinat tengah segmen dalam ruang, rumus berikut ini benar:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Rumus yang dihasilkan juga dapat diterapkan dalam kasus di mana titik A dan B terletak pada salah satu garis koordinat; pada garis lurus yang tegak lurus terhadap salah satu sumbu; dalam satu bidang koordinat atau bidang yang tegak lurus terhadap salah satu bidang koordinat.

Menentukan koordinat tengah segmen melalui koordinat vektor jari-jari ujungnya

Rumus untuk menemukan koordinat tengah segmen juga dapat diturunkan sesuai dengan interpretasi aljabar vektor.

Data awal: sistem koordinat Cartesian persegi panjang O y , titik-titik dengan koordinat yang diberikan A (x A , y A) dan B (x B , x B) . Titik C adalah titik tengah ruas A B .

Menurut definisi geometris tindakan pada vektor, persamaan berikut akan benar: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Titik C dalam hal ini adalah titik potong diagonal jajar genjang yang dibangun berdasarkan vektor O A → dan O B → , yaitu. titik tengah diagonal Koordinat vektor jari-jari titik tersebut sama dengan koordinat titik tersebut, maka persamaannya adalah benar: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Mari kita lakukan beberapa operasi pada vektor dalam koordinat dan dapatkan:

O C → = 1 2 O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Oleh karena itu, titik C memiliki koordinat:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Dengan analogi, rumus didefinisikan untuk menemukan koordinat titik tengah segmen dalam ruang:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Contoh pemecahan masalah untuk menemukan koordinat tengah segmen

Di antara tugas-tugas yang melibatkan penggunaan rumus yang diperoleh di atas, ada yang pertanyaannya langsung menghitung koordinat tengah segmen, dan yang melibatkan membawa kondisi yang diberikan ke pertanyaan ini: istilah "median" sering digunakan, tujuannya adalah untuk menemukan koordinat satu dari ujung segmen, serta masalah simetri, yang solusinya secara umum juga tidak akan menimbulkan kesulitan setelah mempelajari topik ini. Mari kita pertimbangkan contoh tipikal.

Contoh 1

Data awal: di pesawat - poin dengan koordinat yang diberikan A (- 7, 3) dan B (2, 4) . Kita perlu mencari koordinat titik tengah ruas A B.

Keputusan

Mari kita tunjukkan bagian tengah segmen A B dengan titik C . Koordinatnya akan ditentukan sebagai setengah jumlah koordinat ujung segmen, mis. titik A dan B

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Menjawab: koordinat tengah segmen A B - 5 2 , 7 2 .

Contoh 2

Data awal: koordinat segitiga A B C diketahui: A (- 1 , 0 , B (3 , 2) , C (9 , - 8 ). Kita perlu mencari panjang median A M.

Keputusan

1. Dengan kondisi masalah, A M adalah median, yang berarti bahwa M adalah titik tengah segmen B C . Pertama-tama, kami menemukan koordinat tengah segmen B C , mis. M poin:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Karena sekarang kita mengetahui koordinat kedua ujung median (titik A dan M), kita dapat menggunakan rumus untuk menentukan jarak antara titik dan menghitung panjang median A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Menjawab: 58

Contoh 3

Data awal: paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 diberikan dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi. Koordinat titik C 1 (1 , 1 , 0) diberikan, dan titik M juga ditentukan, yang merupakan titik tengah diagonal B D 1 dan memiliki koordinat M (4 , 2 , - 4) . Diperlukan untuk menghitung koordinat titik A.

Keputusan

Diagonal dari parallelepiped berpotongan di satu titik, yang merupakan titik tengah dari semua diagonal. Berdasarkan pernyataan tersebut, kita dapat mengingat bahwa titik M yang diketahui oleh kondisi soal adalah bagian tengah ruas 1 . Berdasarkan rumus untuk mencari koordinat tengah segmen dalam ruang, kita menemukan koordinat titik A: x M = x A + x C 1 2 x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 z A = 2 z M - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

Menjawab: koordinat titik A (7, 3, - 8).

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sangat sering dalam masalah C2 diperlukan untuk bekerja dengan titik-titik yang membagi segmen menjadi dua. Koordinat titik-titik tersebut mudah dihitung jika koordinat ujung segmen diketahui.

Jadi, biarkan segmen diberikan ujungnya - titik A \u003d (x a; y a; z a) dan B \u003d (x b; y b; z b). Kemudian koordinat tengah segmen - kami menyatakannya dengan titik H - dapat ditemukan dengan rumus:

Dengan kata lain, koordinat tengah segmen adalah rata-rata aritmatika dari koordinat ujung-ujungnya.

· Tugas . Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z masing-masing berarah sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1, dan titik asal berimpit dengan titik A. Titik K adalah titik tengah tepi A 1 B satu . Temukan koordinat titik ini.

Keputusan. Karena titik K adalah tengah segmen A 1 B 1 , koordinatnya sama dengan rata-rata aritmatika dari koordinat ujungnya. Mari kita tuliskan koordinat ujungnya: A 1 = (0; 0; 1) dan B 1 = (1; 0; 1). Sekarang mari kita cari koordinat titik K:

Menjawab: K = (0,5; 0; 1)

· Tugas . Kubus satuan ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ditempatkan pada sistem koordinat sehingga sumbu x, y dan z masing-masing diarahkan sepanjang rusuk AB, AD dan AA 1, dan titik asal berimpit dengan titik A. Tentukan koordinat dari titik L di mana mereka memotong diagonal alun-alun A 1 B 1 C 1 D 1 .

Keputusan. Dari perjalanan planimetri diketahui bahwa titik potong diagonal-diagonal sebuah persegi berjarak sama dari semua simpulnya. Secara khusus, A 1 L = C 1 L, mis. titik L adalah titik tengah segmen A 1 C 1 . Tapi A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), jadi kita punya:

Menjawab: L = (0,5; 0,5; 1)

Masalah paling sederhana dari geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, sangat diinginkan untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara otomatis, dan rumusnya menghafal, bahkan tidak mengingatnya dengan sengaja, mereka akan mengingatnya sendiri =) Ini sangat penting, karena masalah geometri analitik lainnya didasarkan pada contoh dasar yang paling sederhana, dan menghabiskan waktu ekstra untuk memakan pion akan mengganggu. Anda tidak perlu mengencangkan kancing atas di baju Anda, banyak hal yang akrab bagi Anda dari sekolah.

Penyajian materi akan mengikuti kursus paralel - baik untuk bidang maupun untuk ruang. Karena semua rumus ... Anda akan lihat sendiri.

Setelah bekerja dengan sungguh-sungguh, saya tiba-tiba menyadari bahwa ukuran halaman web cukup besar, dan jika terus seperti ini, maka Anda dapat dengan tenang menjadi liar =) Oleh karena itu, saya membawakan Anda sebuah esai kecil tentang masalah geometris yang sangat umum - pada pembagian segmen dalam hal ini, dan, sebagai kasus khusus, tentang membagi segmen menjadi dua.

Karena satu dan lain alasan, tugas ini tidak cocok dengan pelajaran lain, tetapi sekarang ada peluang besar untuk mempertimbangkannya secara rinci dan perlahan. Kabar baiknya adalah kita akan berhenti sejenak dari vektor dan fokus pada titik dan segmen garis.

Rumus pembagian bagian dalam hal ini

Konsep pembagian segmen dalam hal ini

Seringkali Anda tidak perlu menunggu sama sekali untuk apa yang dijanjikan, kami akan segera mempertimbangkan beberapa poin dan, jelas luar biasa, sebuah segmen:

Masalah yang sedang dipertimbangkan berlaku baik untuk segmen pesawat dan untuk segmen ruang. Artinya, segmen demonstrasi dapat ditempatkan dengan cara apa pun di pesawat atau di luar angkasa. Untuk memudahkan penjelasan, saya menggambarnya secara horizontal.

Apa yang akan kita lakukan dengan segmen ini? Melihat kali ini. Seseorang menggergaji anggaran, seseorang menggergaji pasangan, seseorang menggergaji kayu bakar, dan kita akan mulai menggergaji satu segmen menjadi dua bagian. Segmen dibagi menjadi dua bagian menggunakan beberapa titik, yang, tentu saja, terletak langsung di atasnya:

Dalam contoh ini, titik membagi segmen sedemikian rupa sehingga segmen tersebut dua kali lebih pendek dari segmen . MASIH kita dapat mengatakan bahwa titik membagi segmen dalam hubungan ("satu ke dua"), dihitung dari atas.

Dalam bahasa matematika kering, fakta ini ditulis sebagai berikut: , atau lebih sering dalam bentuk proporsi yang sudah dikenal: . Rasio segmen biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani "lambda", dalam hal ini: .

Sangat mudah untuk membuat proporsi dalam urutan yang berbeda: - catatan ini berarti bahwa segmen dua kali lebih panjang dari segmen, tetapi ini tidak memiliki signifikansi mendasar untuk memecahkan masalah. Bisa jadi, dan bisa jadi.

Tentu saja, segmen mudah dibagi dalam beberapa hal lain, dan sebagai penguatan konsep, contoh kedua:

Di sini rasionya valid: . Jika kita membuat proporsi sebaliknya, maka kita mendapatkan: .

Setelah kita mengetahui apa artinya membagi segmen dalam hal ini, mari kita beralih ke masalah praktis.

Jika dua titik bidang diketahui, maka koordinat titik yang membagi segmen dalam kaitannya dengan dinyatakan dengan rumus:

Dari mana rumus-rumus ini berasal? Dalam perjalanan geometri analitik, rumus-rumus ini diturunkan secara ketat menggunakan vektor (di mana kita tanpanya? =)). Selain itu, mereka berlaku tidak hanya untuk sistem koordinat Cartesian, tetapi juga untuk sistem koordinat affine arbitrer (lihat pelajaran Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor). Begitulah tugas universal.

Contoh 1

Temukan koordinat titik yang membagi segmen dalam kaitannya dengan , jika titik-titik tersebut diketahui

Keputusan: Dalam masalah ini. Menurut rumus untuk membagi segmen dalam hal ini, kami menemukan intinya:

Menjawab:

Perhatikan teknik perhitungannya: pertama-tama Anda perlu menghitung pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Hasilnya sering (tetapi tidak selalu) pecahan tiga atau empat lantai. Setelah itu, kami menyingkirkan pecahan bertingkat dan melakukan penyederhanaan akhir.

Tugas tidak memerlukan gambar, tetapi selalu berguna untuk menyelesaikannya dalam konsep:

Memang, hubungannya terpenuhi, yaitu segmen tiga kali lebih pendek dari segmen . Jika proporsinya tidak jelas, maka bagian-bagiannya selalu dapat diukur secara bodoh dengan penggaris biasa.

Setara cara kedua untuk menyelesaikan: di dalamnya, hitungan mundur dimulai dari satu titik dan hubungannya adil: (dalam kata manusia, segmen itu tiga kali lebih panjang dari segmen). Menurut rumus untuk membagi segmen dalam hal ini:

Menjawab:

Perhatikan bahwa dalam rumus perlu untuk memindahkan koordinat titik ke tempat pertama, karena thriller kecil dimulai dengan itu.

Dapat juga dilihat bahwa metode kedua lebih rasional karena perhitungan yang lebih sederhana. Tapi tetap saja, masalah ini sering diselesaikan dalam tatanan "tradisional". Misalnya, jika segmen diberikan oleh kondisi, maka diasumsikan bahwa Anda akan membuat proporsi, jika segmen diberikan, maka "diam-diam" berarti proporsi.

Dan saya mengutip metode kedua dengan alasan bahwa mereka sering mencoba dengan sengaja mengacaukan kondisi masalah. Oleh karena itu, sangat penting untuk melakukan penggambaran draft untuk, pertama, menganalisis kondisi dengan benar, dan, kedua, untuk tujuan verifikasi. Sayang sekali membuat kesalahan dalam tugas yang begitu sederhana.

Contoh 2

Poin yang diberikan . Mencari:

a) titik membagi segmen sehubungan dengan ;
b) titik membagi segmen dalam kaitannya dengan .

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Terkadang ada masalah di mana salah satu ujung segmen tidak diketahui:

Contoh 3

Titik milik segmen. Diketahui ruas tersebut dua kali panjang ruasnya. Temukan titik jika .

Keputusan: Ini mengikuti dari kondisi titik membagi segmen dalam kaitannya dengan , dihitung dari atas, yaitu, proporsinya valid: . Menurut rumus untuk membagi segmen dalam hal ini:

Sekarang kita tidak tahu koordinat titik : , tetapi ini bukan masalah khusus, karena mereka dapat dengan mudah diungkapkan dari rumus di atas. Secara umum, tidak ada gunanya mengungkapkan apa pun, jauh lebih mudah untuk mengganti angka tertentu dan dengan hati-hati menangani perhitungan:

Menjawab:

Untuk memeriksa, Anda dapat mengambil ujung segmen dan, dengan menggunakan rumus secara berurutan, pastikan rasionya benar-benar menjadi titik. Dan, tentu saja, menggambar tidak akan berlebihan. Dan untuk akhirnya meyakinkan Anda tentang manfaat buku catatan kotak-kotak, pensil sederhana, dan penggaris, saya mengusulkan tugas rumit untuk solusi independen:

Contoh 4

Dot . Segmen satu setengah kali lebih pendek dari segmen. Temukan titik jika koordinat titik diketahui .

Solusi di akhir pelajaran. Ngomong-ngomong, ini bukan satu-satunya, jika Anda mengambil cara yang berbeda dari sampel, maka ini tidak akan menjadi kesalahan, yang utama adalah jawabannya cocok.

Untuk segmen spasial, semuanya akan sama persis, hanya satu koordinat lagi yang akan ditambahkan.

Jika dua titik dalam ruang diketahui, maka koordinat titik yang membagi segmen dalam kaitannya dengan dinyatakan dengan rumus:
.

Contoh 5

Poin diberikan. Temukan koordinat titik yang termasuk dalam segmen jika diketahui bahwa .

Keputusan: Relasi berikut dari kondisi: . Contoh ini diambil dari tes nyata, dan penulisnya membiarkan dirinya melakukan sedikit lelucon (tiba-tiba seseorang tersandung) - akan lebih rasional untuk menulis proporsi dalam kondisi seperti ini: .

Menurut rumus untuk koordinat tengah segmen:

Menjawab:

Gambar tiga dimensi untuk keperluan verifikasi jauh lebih sulit dilakukan. Namun, Anda selalu dapat membuat gambar skema untuk memahami setidaknya kondisi - segmen mana yang perlu dikorelasikan.

Adapun pecahan dalam jawaban, jangan heran, itu umum. Saya mengatakannya berkali-kali, tetapi saya ulangi: dalam matematika yang lebih tinggi, biasanya menggunakan pecahan biasa dan pecahan biasa. Jawab dalam bentuk akan dilakukan, tetapi varian dengan pecahan yang tidak tepat lebih standar.

Tugas pemanasan untuk solusi independen:

Contoh 6

Poin diberikan. Cari koordinat titik jika diketahui membagi segmen terhadap .

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Jika sulit untuk mengarahkan dalam proporsi, buatlah gambar skema.

Dalam pekerjaan independen dan kontrol, contoh yang dipertimbangkan ditemukan baik sendiri maupun sebagai bagian integral dari tugas yang lebih besar. Dalam pengertian ini, masalah menemukan pusat gravitasi segitiga adalah tipikal.

Saya tidak melihat banyak gunanya menganalisis jenis tugas di mana salah satu ujung segmen tidak diketahui, karena semuanya akan terlihat seperti kasing datar, kecuali ada sedikit perhitungan lagi. Lebih baik mengingat tahun-tahun sekolah:

Rumus untuk koordinat tengah segmen

Bahkan pembaca yang tidak siap pun dapat mengingat cara memotong segmen menjadi dua. Tugas membagi segmen menjadi dua bagian yang sama adalah kasus khusus membagi segmen dalam hal ini. Gergaji dua tangan bekerja dengan cara yang paling demokratis, dan setiap tetangga di meja mendapat tongkat yang sama:

Pada jam yang khusyuk ini, genderang ditabuh, memberi hormat pada proporsi yang signifikan. Dan rumus umum secara ajaib berubah menjadi sesuatu yang akrab dan sederhana:

Saat yang tepat adalah kenyataan bahwa koordinat ujung segmen dapat diatur ulang tanpa rasa sakit:

Dalam formula umum, angka yang begitu mewah, seperti yang Anda pahami, tidak berfungsi. Ya, dan di sini tidak ada kebutuhan khusus untuk itu, jadi, hal sepele yang menyenangkan.

Untuk kasus spasial, analogi yang jelas valid. Jika ujung segmen diberikan, maka koordinat tengahnya dinyatakan dengan rumus:

Contoh 7

Jajar genjang diberikan oleh koordinat titik-titiknya. Temukan titik potong diagonal-diagonalnya.

Keputusan: Mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambar. Saya terutama merekomendasikan grafiti kepada mereka yang benar-benar melupakan kursus geometri sekolah.

Menurut properti terkenal, diagonal jajaran genjang dibagi dua oleh titik persimpangannya, sehingga masalah dapat diselesaikan dengan dua cara.

Metode satu: Pertimbangkan simpul yang berlawanan . Menggunakan rumus untuk membagi segmen menjadi dua, kami menemukan titik tengah diagonal:

Bagaimana menemukan koordinat titik tengah segmen
Pertama, mari kita cari tahu apa bagian tengah dari segmen itu.
Titik tengah segmen dianggap sebagai titik yang termasuk segmen ini dan berada pada jarak yang sama dari ujungnya.

Koordinat titik seperti itu mudah ditemukan jika koordinat ujung segmen ini diketahui. Dalam hal ini, koordinat tengah segmen akan sama dengan setengah jumlah koordinat yang sesuai dari ujung segmen.
Koordinat titik tengah segmen sering ditemukan dengan memecahkan masalah pada median, garis tengah, dll.
Pertimbangkan perhitungan koordinat tengah segmen untuk dua kasus: ketika segmen diberikan pada bidang dan diberikan dalam ruang.
Biarkan segmen pada pesawat diberikan oleh dua titik dengan koordinat dan . Kemudian koordinat tengah segmen PH dihitung dengan rumus:

Biarkan segmen diberikan dalam ruang oleh dua titik dengan koordinat dan . Kemudian koordinat tengah segmen PH dihitung dengan rumus:

Contoh.
Temukan koordinat titik K - tengah MO, jika M (-1; 6) dan O (8; 5).

Keputusan.
Karena titik-titik memiliki dua koordinat, itu berarti bahwa segmen diberikan pada bidang. Kami menggunakan rumus yang sesuai:

Akibatnya, bagian tengah MO akan memiliki koordinat K (3,5; 5,5).

Menjawab. K (3.5; 5.5).

Tidak membuat pekerjaan apa pun. Untuk menghitungnya, ada ungkapan sederhana yang mudah diingat. Misalnya, jika koordinat ujung segmen berturut-turut (x1; y1) dan (x2; y2), maka koordinat tengahnya dihitung sebagai mean aritmatika dari koordinat ini, yaitu:

Itulah seluruh kesulitannya.
Pertimbangkan perhitungan koordinat pusat salah satu segmen pada contoh spesifik, seperti yang Anda tanyakan.

Tugas.
Temukan koordinat titik M tertentu jika itu adalah titik tengah (pusat) segmen KR, yang ujungnya memiliki koordinat berikut: (-3; 7) dan (13; 21), masing-masing.

Keputusan.
Kami menggunakan rumus di atas:

Menjawab. M (5; 14).

Dengan menggunakan rumus ini, Anda juga dapat menemukan tidak hanya koordinat bagian tengah segmen, tetapi juga ujungnya. Pertimbangkan sebuah contoh.

Tugas.
Koordinat dua titik (7; 19) dan (8; 27) diberikan. Temukan koordinat salah satu ujung segmen jika dua titik sebelumnya adalah ujung dan tengahnya.

Keputusan.
Mari kita nyatakan ujung segmen sebagai K dan P, dan bagian tengahnya sebagai S. Mari kita tulis ulang rumus dengan mempertimbangkan nama-nama baru:

Substitusikan koordinat yang diketahui dan hitung koordinat individu: