Deret geometri adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Deret geometri dilambangkan b1,b2,b3, …, bn, … .

Rasio setiap suku kesalahan geometrik dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ini mengikuti langsung dari definisi deret aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.

Urutan monoton dan konstan

Salah satu cara untuk menentukan barisan geometri adalah dengan menetapkan suku pertamanya b1 dan penyebut galat geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini memberikan barisan geometri 4, -8, 16, -32, … .

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka perkembangannya adalah urutan monoton. Misalnya, barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan yang naik secara monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut q=1 dalam galat geometri, maka semua anggota barisan geometri akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti itu, perkembangannya dikatakan urutan konstan.

Rumus anggota ke-n dari deret geometri

Agar barisan numerik (bn) menjadi barisan geometri, perlu bahwa setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, menjadi rata-rata geometris dari anggota tetangga. Artinya, perlu memenuhi persamaan berikut:
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Rumus anggota ke-n dari barisan geometri adalah:

bn=b1*q^(n-1),

di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri

Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri adalah:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) dimana q tidak sama dengan 1.

Pertimbangkan contoh sederhana:

Dalam deret geometri b1=6, q=3, n=8 temukan Sn.

Untuk mencari S8, kita menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret geometri.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 1980.

Misalnya, urutan \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… adalah deret geometri, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan faktor dua (dengan kata lain, itu dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikannya dengan dua):

Seperti urutan apa pun, deret geometri dilambangkan dengan huruf Latin kecil. Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen). Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret geometri, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan geometri \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) terdiri dari elemen \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) dan seterusnya. Dengan kata lain:

Jika Anda memahami informasi di atas, Anda sudah dapat menyelesaikan sebagian besar masalah tentang topik ini.

Contoh (OGE):
Keputusan:

Menjawab : \(-686\).

Contoh (OGE): Diberikan tiga suku pertama dari progresi \(324\); \(-108\); \(36\)…. Temukan \(b_5\).
Keputusan:

	Untuk melanjutkan barisan, kita perlu mengetahui penyebutnya. Mari kita cari dari dua elemen tetangga: apa yang harus \(324\) dikalikan untuk mendapatkan \(-108\)?
\(324 q=-108\)	Dari sini kita dapat dengan mudah menghitung penyebutnya.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan elemen yang kita butuhkan.
	Jawaban siap.

Menjawab : \(4\).

Contoh: Kemajuan diberikan oleh kondisi \(b_n=0.8 5^n\). Nomor mana yang merupakan anggota dari perkembangan ini:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

Keputusan: Dari kata-kata tugas, jelas bahwa salah satu dari angka-angka ini pasti dalam perkembangan kami. Oleh karena itu, kita cukup menghitung anggotanya satu per satu sampai kita menemukan nilai yang kita butuhkan. Karena perkembangan kami diberikan oleh rumus , kami menghitung nilai elemen dengan mengganti \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – tidak ada nomor seperti itu dalam daftar. Kita lanjutkan.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - dan ini juga tidak ada.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – dan inilah juara kami!

Menjawab: \(100\).

Contoh (OGE): Beberapa anggota barisan geometri yang berurutan ...\(8\) diberikan; \(x\); \(lima puluh\); \(-125\)…. Tentukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).

Keputusan:

Menjawab: \(-20\).

Contoh (OGE): Kemajuan diberikan oleh kondisi \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Temukan jumlah suku \(4\) pertama dari deret ini.

Keputusan:

Menjawab: \(105\).

Contoh (OGE): Diketahui bahwa secara eksponensial \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Carilah penyebutnya \(q\).

Keputusan:

	Dapat dilihat dari diagram di sebelah kiri bahwa untuk "mendapatkan" dari \ (b_6 \) ke \ (b_9 \) - kami mengambil tiga "langkah", yaitu, kami mengalikan \ (b_6 \) tiga kali dengan penyebut dari kemajuan. Dengan kata lain, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Substitusikan nilai-nilai yang kita ketahui.
\(704=(-11)q^3\)	“Balikkan” persamaan dan bagi dengan \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Berapa angka pangkat tiga yang diberikan \(-64\)? Tentu saja, \(-4\)!
	Jawaban ditemukan. Itu dapat diperiksa dengan mengembalikan rantai angka dari \(-11\) ke \(704\).
	Semua setuju - jawabannya benar.

Menjawab: \(-4\).

Rumus yang paling penting

Seperti yang Anda lihat, sebagian besar masalah perkembangan geometris dapat diselesaikan dengan logika murni, hanya dengan memahami esensinya (ini umumnya merupakan karakteristik matematika). Namun terkadang pengetahuan tentang formula dan pola tertentu mempercepat dan sangat memudahkan penyelesaiannya. Kami akan mempelajari dua formula tersebut.

Rumus untuk anggota ke \(n\) adalah: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), di mana \(b_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan; \(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan; \(q\) adalah penyebut dari deret; \(b_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).

Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat, misalnya, menyelesaikan masalah dari contoh pertama hanya dalam satu langkah.

Contoh (OGE): Deret geometri diberikan oleh kondisi \(b_1=-2\); \(q=7\). Temukan \(b_4\).
Keputusan:

Menjawab: \(-686\).

Contoh ini sederhana, jadi rumusnya tidak terlalu memudahkan kita dalam menghitung. Mari kita lihat masalahnya sedikit lebih rumit.

Contoh: Deret geometri diberikan oleh kondisi \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Temukan \(b_(12)\).
Keputusan:

Menjawab: \(10\).

Tentu saja, menaikkan \(\frac(1)(2)\) ke pangkat \(11\)tidak terlalu menyenangkan, tetapi masih lebih mudah daripada \(11\) membagi \(20480\) menjadi dua.

Jumlah \(n\) suku pertama: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , di mana \(b_1\) adalah suku pertama dari kemajuan; \(n\) – jumlah elemen yang dijumlahkan; \(q\) adalah penyebut dari deret; \(S_n\) adalah jumlah \(n\) dari anggota pertama perkembangan.

Contoh (OGE): Diketahui barisan geometri \(b_n\), yang penyebutnya adalah \(5\), dan suku pertamanya \(b_1=\frac(2)(5)\). Tentukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:

Menjawab: \(1562,4\).

Dan sekali lagi, kita bisa memecahkan masalah "di dahi" - temukan keenam elemen secara bergantian, lalu tambahkan hasilnya. Namun, jumlah perhitungan, dan karenanya kemungkinan kesalahan acak, akan meningkat secara dramatis.

Untuk deret geometri, ada beberapa rumus lagi yang tidak kami pertimbangkan di sini karena penggunaan praktisnya yang rendah. Anda dapat menemukan formula ini.

Menaikkan dan menurunkan deret geometri

Untuk kemajuan \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) yang dibahas di awal artikel, penyebut \(q\) lebih besar dari satu, dan oleh karena itu setiap suku berikutnya adalah lebih besar dari yang sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.

Jika \(q\) kurang dari satu, tetapi positif (yaitu, terletak di antara nol dan satu), maka setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Misalnya, dalam progresi \(4\); \(2\); \(satu\); \(0.5\); \(0.25\)… penyebut dari \(q\) adalah \(\frac(1)(2)\).

Perkembangan ini disebut menurun. Perhatikan bahwa tidak ada elemen dari perkembangan ini yang negatif, mereka hanya menjadi semakin kecil di setiap langkah. Artinya, kita secara bertahap akan mendekati nol, tetapi kita tidak akan pernah mencapainya dan kita tidak akan melampauinya. Matematikawan dalam kasus seperti itu mengatakan "cenderung nol."

Perhatikan bahwa dengan penyebut negatif, elemen deret geometri akan selalu berubah tanda. Misalnya, perkembangan \(5\); \(-limabelas\); \(45\); \(-135\); \(675\)... penyebut dari \(q\) adalah \(-3\), dan karena ini, tanda-tanda elemen "berkedip".

Mari kita pertimbangkan sebuah seri.

7 28 112 448 1792...

Sangat jelas bahwa nilai salah satu elemennya tepat empat kali lebih besar dari yang sebelumnya. Jadi seri ini adalah perkembangan.

Deret geometri adalah urutan angka yang tak terbatas, fitur utamanya adalah bahwa angka berikutnya diperoleh dari yang sebelumnya dengan mengalikan dengan beberapa angka tertentu. Hal ini diungkapkan oleh rumus berikut.

a z +1 =a z q, di mana z adalah jumlah elemen yang dipilih.

Dengan demikian, z N.

Periode ketika deret geometri dipelajari di sekolah adalah kelas 9. Contoh akan membantu Anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan rumus ini, penyebut dari perkembangan dapat ditemukan sebagai berikut:

Baik q maupun b z tidak boleh nol. Juga, setiap elemen perkembangan tidak boleh sama dengan nol.

Oleh karena itu, untuk mengetahui angka berikutnya dalam deret tersebut, Anda perlu mengalikan angka terakhir dengan q.

Untuk menentukan perkembangan ini, Anda harus menentukan elemen dan penyebut pertamanya. Setelah itu, dimungkinkan untuk menemukan salah satu dari suku-suku berikutnya dan jumlah mereka.

Varietas

Tergantung pada q dan 1, perkembangan ini dibagi menjadi beberapa jenis:

• Jika a 1 dan q lebih besar dari satu, maka barisan tersebut adalah barisan geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua parameter lebih besar dari satu.

Maka barisan numerik dapat ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| kurang dari satu, yaitu perkalian dengan itu sama dengan pembagian, maka suatu barisan dengan syarat yang sama adalah barisan geometri yang menurun. Contohnya disajikan di bawah ini.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar dari satu, q lebih kecil.

Maka barisan bilangan tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

6 2 2/3 ... - setiap elemen 3 kali lebih besar dari elemen yang mengikutinya.

• Variabel tanda. jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3 , q = -2 - kedua parameter kurang dari nol.

Maka urutannya dapat ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Rumus

Untuk kemudahan penggunaan deret geometri, ada banyak rumus:

• Rumus anggota ke-z. Memungkinkan Anda menghitung elemen di bawah angka tertentu tanpa menghitung angka sebelumnya.

Contoh:q = 3, sebuah 1 = 4. Diperlukan untuk menghitung elemen keempat dari perkembangan.

Keputusan:sebuah 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah elemen pertama yang jumlahnya z. Memungkinkan Anda menghitung jumlah semua elemen barisan hinggasebuah zinklusif.

Sejak (1-q) dalam penyebut, maka (1 - q) 0, maka q tidak sama dengan 1.

Catatan: jika q=1, maka deret tersebut adalah deret bilangan berulang yang tak berhingga.

Jumlah barisan geometri, contoh:sebuah 1 = 2, q= -2. Hitung S5 .

Keputusan:S 5 = 22 - perhitungan dengan rumus.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:sebuah 1 = 2 , q= 0,5. Temukan jumlahnya.

Keputusan:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa properti:

• properti karakteristik. Jika kondisi berikut dilakukan untuk apa sajaz, maka barisan bilangan yang diberikan adalah barisan geometri:

sebuah z 2 = sebuah z -1 · sebuahz+1

• Juga, kuadrat dari sembarang bilangan deret geometri ditemukan dengan menjumlahkan kuadrat dari dua bilangan lain dalam deret tertentu, jika jaraknya sama dari elemen ini.

sebuah z 2 = sebuah z - t 2 + sebuah z + t 2 , di manatadalah jarak antara angka-angka ini.

• Elemenberbeda dalam qsekali.
• Logaritma elemen deret juga membentuk deret, tetapi sudah aritmatika, yaitu, masing-masing lebih besar dari yang sebelumnya dengan angka tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu deret geometri, contoh dengan solusi untuk kelas 9 dapat membantu.

• Kondisi:sebuah 1 = 3, sebuah 3 = 48. Temukanq.

Solusi: setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya diq sekali.Hal ini diperlukan untuk mengekspresikan beberapa elemen melalui orang lain menggunakan penyebut.

Karena itu,sebuah 3 = q 2 · sebuah 1

Saat menggantiq= 4

• Kondisi:sebuah 2 = 6, sebuah 3 = 12. Hitung S 6 .

Keputusan:Untuk melakukan ini, cukup dengan menemukan q, elemen pertama dan menggantinya ke dalam rumus.

sebuah 3 = q· sebuah 2 , karena itu,q= 2

a2 = q sebuah 1 ,Itu sebabnya a 1 = 3

S 6 = 189

• · sebuah 1 = 10, q= -2. Temukan elemen keempat dari progresi.

Solusi: untuk melakukan ini, cukup dengan mengekspresikan elemen keempat melalui yang pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh aplikasi:

• Klien bank melakukan setoran dalam jumlah 10.000 rubel, dengan ketentuan yang setiap tahun klien akan menambahkan 6% dari jumlah pokok. Berapa banyak uang yang akan berada di rekening setelah 4 tahun?

Solusi: Jumlah awal adalah 10 ribu rubel. Jadi, setahun setelah investasi, akun akan memiliki jumlah yang sama dengan 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Dengan demikian, jumlah dalam akun setelah satu tahun berikutnya akan dinyatakan sebagai berikut:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Artinya, setiap tahun jumlahnya meningkat 1,06 kali lipat. Artinya, untuk mencari jumlah dana dalam rekening setelah 4 tahun, cukup mencari elemen keempat dari perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama sama dengan 10 ribu, dan penyebutnya sama dengan 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Contoh tugas untuk menghitung jumlah:

Dalam berbagai masalah, deret geometri digunakan. Contoh untuk menemukan jumlah dapat diberikan sebagai berikut:

sebuah 1 = 4, q= 2, hitungS5.

Solusi: semua data yang diperlukan untuk perhitungan diketahui, Anda hanya perlu memasukkannya ke dalam rumus.

S 5 = 124

• sebuah 2 = 6, sebuah 3 = 18. Hitung jumlah enam elemen pertama.

Keputusan:

Geometri. perkembangan, setiap elemen berikutnya adalah q kali lebih besar dari yang sebelumnya, yaitu, untuk menghitung jumlah, Anda perlu mengetahui elemensebuah 1 dan penyebutq.

sebuah 2 · q = sebuah 3

q = 3

Demikian pula, kita perlu menemukansebuah 1 , mengetahuisebuah 2 danq.

sebuah 1 · q = sebuah 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Contoh deret geometri: 2, 6, 18, 54, 162.

Di sini, setiap suku setelah yang pertama adalah 3 kali dari yang sebelumnya. Artinya, setiap suku berikutnya adalah hasil perkalian suku sebelumnya dengan 3:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

Dalam contoh kita, saat membagi suku kedua dengan suku pertama, suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya. kita dapatkan 3. Angka 3 adalah penyebut dari deret geometri ini.

Contoh:

Mari kita kembali ke deret geometri kita 2, 6, 18, 54, 162. Mari kita ambil suku keempat dan kuadratkan:
54 2 = 2916.

Sekarang kita kalikan suku ke kiri dan kanan bilangan 54:

18 162 = 2916.

Seperti yang Anda lihat, kuadrat dari suku ketiga sama dengan produk dari suku kedua dan keempat yang bertetangga.

Contoh 1: Mari kita ambil beberapa barisan geometri, di mana suku pertama sama dengan 2, dan penyebut dari barisan geometri sama dengan 1,5. Kita perlu mencari suku ke-4 dari deret ini.

Diberikan:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Keputusan.

Menerapkan rumus b n= b 1 q n- 1 , memasukkan nilai yang sesuai ke dalamnya:
b 4 \u003d 2 1,5 4 - 1 \u003d 2 1,5 3 \u003d 2 3,375 \u003d 6,75.

Menjawab: Suku keempat suatu deret geometri adalah bilangan 6,75.

Contoh 2: Tentukan anggota kelima deret geometri jika anggota pertama dan ketiga berturut-turut adalah 12 dan 192.

Diberikan:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Keputusan.

1) Pertama, kita perlu menemukan penyebut dari deret geometri, yang tanpanya tidak mungkin menyelesaikan masalah. Sebagai langkah pertama, menggunakan rumus kami, kami menurunkan rumus untuk b 3:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Sekarang kita dapat menemukan penyebut dari deret geometri:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= 16 = 4 atau -4.

2) Tetap mencari nilainya b 5 .
Jika sebuah q= 4, maka

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Pada q= -4 hasilnya akan sama. Dengan demikian, masalah memiliki satu solusi.

Menjawab: Suku kelima dari barisan geometri yang diberikan adalah bilangan 3072.

Contoh: Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret geometri ( b n), di mana suku pertama sama dengan 2, dan penyebut barisan geometri adalah 3.

Diberikan:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Keputusan.

Kami menerapkan rumus kedua dari dua di atas:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Menjawab: Jumlah lima suku pertama suatu barisan geometri adalah 242.

Jumlah dari deret geometri tak hingga.

Penting untuk membedakan antara konsep "jumlah deret geometri tak hingga" dan "jumlah" n anggota barisan geometri. Konsep kedua mengacu pada setiap deret ukur, dan yang pertama - hanya untuk satu di mana penyebutnya kurang dari 1 modulo.

>>Matematika: Perkembangan geometris

Untuk kenyamanan pembaca, bagian ini mengikuti rencana yang sama persis seperti yang kita ikuti di bagian sebelumnya.

1. Konsep dasar.

Definisi. Barisan numerik, yang semua anggotanya berbeda dari 0 dan setiap anggota yang, mulai dari yang kedua, diperoleh dari anggota sebelumnya dengan mengalikannya dengan angka yang sama disebut deret geometri. Dalam hal ini, angka 5 disebut penyebut dari deret geometri.

Jadi, barisan geometri adalah barisan numerik (b n) yang diberikan secara rekursif oleh relasi

Apakah mungkin, dengan melihat barisan bilangan, untuk menentukan apakah itu suatu deret geometri? Bisa. Jika Anda yakin bahwa rasio setiap anggota barisan dengan anggota sebelumnya adalah konstan, maka Anda memiliki deret geometri.
Contoh 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Contoh 2

Ini adalah deret geometri yang
Contoh 3

Ini adalah deret geometri yang
Contoh 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ini adalah deret geometri di mana b 1 - 8, q = 1.

Perhatikan bahwa barisan ini juga merupakan barisan aritmatika (lihat Contoh 3 dari 15).

Contoh 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ini adalah deret geometri, di mana b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Jelaslah, barisan geometri adalah barisan naik jika b 1 > 0, q > 1 (lihat Contoh 1), dan barisan turun jika b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Untuk menunjukkan bahwa barisan (b n) adalah barisan geometri, notasi berikut kadang-kadang sesuai:

Ikon tersebut menggantikan frasa "perkembangan geometris".
Kami mencatat satu sifat yang aneh dan pada saat yang sama cukup jelas dari perkembangan geometris:
Jika urutannya adalah barisan geometri, maka barisan kuadrat, yaitu adalah deret geometri.
Pada deret geometri kedua, suku pertama sama dengan q 2.
Jika kita membuang semua suku berikut b n secara eksponensial, maka kita mendapatkan barisan geometri berhingga
Dalam paragraf berikut dari bagian ini, kita akan mempertimbangkan sifat paling penting dari deret geometri.

2. Rumus suku ke-n suatu deret geometri.

Perhatikan barisan geometri penyebut q. Kita punya:

Tidak sulit untuk menebak bahwa untuk setiap nomor n persamaan

Ini adalah rumus suku ke-n dari barisan geometri.

Komentar.

Jika Anda telah membaca pernyataan penting dari paragraf sebelumnya dan memahaminya, maka coba buktikan rumus (1) dengan induksi matematika, seperti yang dilakukan untuk rumus suku ke-n dari barisan aritmatika.

Mari kita tulis ulang rumus suku ke-n dari barisan geometri

dan perkenalkan notasi: Kami mendapatkan y \u003d mq 2, atau, lebih terinci,
Argumen x terkandung dalam eksponen, sehingga fungsi seperti itu disebut fungsi eksponensial. Ini berarti bahwa deret geometri dapat dianggap sebagai fungsi eksponensial yang diberikan pada himpunan N bilangan asli. pada gambar. 96a menunjukkan grafik fungsi Gambar. 966 - grafik fungsi Dalam kedua kasus, kami memiliki titik-titik terisolasi (dengan absis x = 1, x = 2, x = 3, dll.) terletak pada beberapa kurva (kedua gambar menunjukkan kurva yang sama, hanya terletak berbeda dan digambarkan dalam skala yang berbeda). Kurva ini disebut eksponen. Lebih lanjut tentang fungsi eksponensial dan grafiknya akan dibahas pada mata kuliah aljabar kelas 11.

Mari kembali ke contoh 1-5 dari paragraf sebelumnya.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ini adalah deret geometri, di mana b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Mari kita buat rumus untuk suku ke-n
2) Ini adalah deret geometri, di mana Mari kita merumuskan suku ke-n

Ini adalah deret geometri yang Buatlah rumus suku ke-n
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ini adalah deret geometri, di mana b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Mari kita buat rumus untuk suku ke-n
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ini adalah deret geometri, di mana b 1 = 2, q = -1. Buatlah rumus suku ke-n

Contoh 6

Diberikan deret geometri

Dalam semua kasus, solusinya didasarkan pada rumus anggota ke-n dari deret geometri

a) Masukkan n = 6 ke dalam rumus suku ke-n dari barisan geometri, kita peroleh

b) Kami punya

Sejak 512 \u003d 2 9, kami mendapatkan n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Kami memiliki

Contoh 7

Selisih antara anggota ketujuh dan kelima dari barisan geometri adalah 48, jumlah anggota kelima dan keenam dari barisan ini juga 48. Temukan anggota kedua belas dari barisan ini.

Tahap pertama. Membuat model matematika.

Kondisi tugas dapat ditulis secara singkat sebagai berikut:

Menggunakan rumus anggota ke-n dari deret geometri, kita mendapatkan:
Maka kondisi kedua dari soal (b 7 - b 5 = 48) dapat ditulis sebagai

Kondisi ketiga dari soal (b 5 +b 6 = 48) dapat ditulis sebagai

Hasilnya, kami memperoleh sistem dua persamaan dengan dua variabel b 1 dan q:

yang, dalam kombinasi dengan kondisi 1) yang ditulis di atas, adalah model matematika dari masalah.

Fase kedua.

Bekerja dengan model yang dikompilasi. Menyamakan bagian kiri dari kedua persamaan sistem, kita mendapatkan:

(kami telah membagi kedua ruas persamaan menjadi ekspresi b 1 q 4 , yang berbeda dari nol).

Dari persamaan q 2 - q - 2 = 0 kita temukan q 1 = 2, q 2 = -1. Mensubstitusikan nilai q = 2 ke dalam persamaan kedua dari sistem, kita memperoleh
Mensubstitusikan nilai q = -1 ke dalam persamaan kedua sistem, kita mendapatkan b 1 1 0 = 48; persamaan ini tidak memiliki solusi.

Jadi, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - pasangan ini adalah solusi untuk sistem persamaan yang dikompilasi.

Sekarang kita dapat menuliskan barisan geometri yang dimaksud: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tahap ketiga.

Jawaban atas pertanyaan masalah. Diperlukan untuk menghitung b 12 . Kita punya

Jawaban: b 12 = 2048.

3. Rumus jumlah anggota barisan geometri berhingga.

Biarkan ada deret geometri berhingga

Dilambangkan dengan S n jumlah suku-sukunya, mis.

Mari kita turunkan rumus untuk menemukan jumlah ini.

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana, ketika q = 1. Maka barisan geometri b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn terdiri dari n bilangan yang sama dengan b 1 , yaitu. perkembangannya adalah b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Jumlah bilangan tersebut adalah nb 1 .

Misalkan q = 1 Untuk mencari S n kita menggunakan metode artifisial: mari kita lakukan beberapa transformasi dari ekspresi S n q. Kita punya:

Melakukan transformasi, kami, pertama, menggunakan definisi deret geometri, yang menurutnya (lihat baris ketiga penalaran); kedua, mereka menambahkan dan mengurangi mengapa makna ungkapan itu, tentu saja, tidak berubah (lihat penalaran baris keempat); ketiga, kami menggunakan rumus anggota ke-n dari deret geometri:

Dari rumus (1) kita menemukan:

Ini adalah rumus untuk jumlah n anggota deret geometri (untuk kasus ketika q = 1).

Contoh 8

Diberikan deret geometri berhingga

a) jumlah anggota perkembangan; b) jumlah kuadrat anggotanya.

b) Di atas (lihat hal. 132) kita telah mencatat bahwa jika semua anggota barisan geometri dikuadratkan, maka barisan geometri dengan anggota pertama b 2 dan penyebut q 2 akan diperoleh. Kemudian jumlah enam suku dari perkembangan baru akan dihitung dengan

Contoh 9

Tentukan suku ke-8 suatu deret geometri yang

Faktanya, kami telah membuktikan teorema berikut.

Barisan numerik adalah barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat dari setiap sukunya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir, untuk barisan berhingga), sama dengan produk dari suku sebelumnya dan berikutnya (sifat karakteristik dari deret geometri).