Yang sudah cukup muak. Dan saya merasa bahwa saatnya telah tiba saatnya untuk mengekstrak makanan kaleng baru dari cadangan strategis teori. Apakah mungkin untuk memperluas fungsi menjadi rangkaian dengan cara lain? Misalnya, untuk mengekspresikan segmen garis lurus dalam bentuk sinus dan cosinus? Tampaknya luar biasa, tetapi fungsi yang tampaknya jauh seperti itu cocok untuk
"reuni". Selain derajat yang sudah dikenal dalam teori dan praktik, ada pendekatan lain untuk memperluas fungsi menjadi deret.
Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan deret Fourier trigonometri, menyentuh masalah konvergensi dan jumlah, dan, tentu saja, kita akan menganalisis banyak contoh untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier. Saya dengan tulus ingin menyebut artikel itu "Seri Empat untuk Dummies", tetapi ini akan licik, karena memecahkan masalah akan membutuhkan pengetahuan tentang bagian lain dari analisis matematika dan beberapa pengalaman praktis. Oleh karena itu, pembukaannya akan menyerupai pelatihan para astronot =)
Pertama, studi materi halaman harus didekati dalam kondisi yang sangat baik. Mengantuk, istirahat dan sadar. Tanpa emosi yang kuat tentang kaki hamster yang patah dan pikiran obsesif tentang kesulitan hidup ikan akuarium. Seri Fourier tidak sulit dari sudut pandang pemahaman, namun, tugas-tugas praktis hanya membutuhkan peningkatan konsentrasi perhatian - idealnya, seseorang harus sepenuhnya meninggalkan rangsangan eksternal. Situasi ini diperparah oleh fakta bahwa tidak ada cara mudah untuk memeriksa solusi dan jawabannya. Jadi, jika kesehatan Anda di bawah rata-rata, maka lebih baik melakukan sesuatu yang lebih sederhana. Kebenaran.
Kedua, sebelum terbang ke luar angkasa, perlu mempelajari panel instrumen pesawat ruang angkasa. Mari kita mulai dengan nilai fungsi yang harus diklik pada mesin:
Untuk nilai alami apa pun:
satu) . Dan faktanya, sinusoidal "mem-flash" sumbu-x melalui setiap "pi":
. Dalam hal nilai argumen negatif, hasilnya, tentu saja, akan sama: .
2). Tapi tidak semua orang mengetahui hal ini. Kosinus "pi en" sama dengan "lampu berkedip":
Argumen negatif tidak mengubah kasus: 
.
Mungkin cukup.
Dan ketiga, korps kosmonot sayang, Anda harus bisa ... mengintegrasikan.
Secara khusus, tentu membawa fungsi di bawah tanda diferensial, mengintegrasikan dengan bagian dan berhubungan baik dengan rumus Newton-Leibniz. Mari kita mulai latihan pra-penerbangan yang penting. Saya sangat tidak menyarankan untuk melewatkannya, agar nanti Anda tidak meratakan di gravitasi nol:
Contoh 1
Hitung integral tertentu
dimana mengambil nilai-nilai alam.
Keputusan: integrasi dilakukan pada variabel "x" dan pada tahap ini variabel diskrit "en" dianggap konstan. Dalam semua integral bawa fungsi di bawah tanda diferensial:
Versi singkat dari solusi, yang bagus untuk dijadikan sasaran, terlihat seperti ini:
Membiasakan:
Empat poin yang tersisa adalah milik mereka sendiri. Cobalah untuk menangani tugas dengan cermat dan atur integralnya dengan cara yang singkat. Contoh solusi di akhir pelajaran.
Setelah latihan KUALITAS, kami mengenakan pakaian antariksa
dan bersiap untuk memulai!
Perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier pada interval
Mari kita pertimbangkan fungsi yang bertekad setidaknya pada interval (dan, mungkin, pada interval yang lebih besar). Jika fungsi ini integral pada segmen , maka dapat diperluas menjadi trigonometri Deret Fourier:
, di mana yang disebut Koefisien Fourier.
Dalam hal ini, nomor tersebut disebut periode dekomposisi, dan bilangan tersebut adalah dekomposisi waktu paruh.
Jelas, dalam kasus umum, deret Fourier terdiri dari sinus dan cosinus: 
Memang, mari kita tulis secara rinci:
Suku nol dari deret tersebut biasanya ditulis sebagai .
Koefisien Fourier dihitung menggunakan rumus berikut: 
Saya mengerti betul bahwa istilah baru masih belum jelas bagi pemula untuk mempelajari topik: periode dekomposisi, setengah siklus, Koefisien Fourier dan lain-lain Jangan panik, itu tidak sebanding dengan kegembiraan sebelum spacewalk. Mari kita cari tahu semuanya dalam contoh terdekat, sebelum mengeksekusi yang logis untuk mengajukan pertanyaan praktis yang mendesak:
Apa yang perlu Anda lakukan dalam tugas-tugas berikut?
Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier. Selain itu, sering diperlukan untuk menggambar grafik fungsi, grafik jumlah deret, jumlah parsial, dan dalam kasus fantasi profesor yang canggih, lakukan sesuatu yang lain.
Bagaimana cara memperluas fungsi menjadi deret Fourier?
Pada dasarnya, Anda perlu menemukan Koefisien Fourier, yaitu, buat dan hitung tiga integral tertentu.
Silakan salin bentuk umum deret Fourier dan tiga rumus kerja di buku catatan Anda. Saya sangat senang bahwa beberapa pengunjung situs memiliki impian masa kecil menjadi astronot menjadi kenyataan tepat di depan mata saya =)
Contoh 2
Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval . Buatlah grafik, grafik jumlah deret dan jumlah parsial.
Keputusan: bagian pertama dari tugasnya adalah memperluas fungsi menjadi deret Fourier.
Awalannya standar, pastikan untuk menuliskan bahwa:
Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode .
Kami memperluas fungsi dalam deret Fourier pada interval: 
Dengan menggunakan rumus yang sesuai, kami menemukan Koefisien Fourier. Sekarang kita perlu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu. Untuk kenyamanan, saya akan memberi nomor poin:
1) Integral pertama adalah yang paling sederhana, tetapi sudah membutuhkan mata dan mata: 
2) Kami menggunakan rumus kedua:
Integral ini diketahui dan dia mengambilnya sedikit demi sedikit: 
Saat ditemukan bekas metode membawa fungsi di bawah tanda diferensial.
Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, akan lebih mudah untuk segera menggunakan rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu 
:
Beberapa catatan teknis. Pertama, setelah menerapkan formula seluruh ekspresi harus diapit dalam tanda kurung besar, karena ada konstanta di depan integral asli. Jangan sampai hilang! Tanda kurung dapat dibuka pada langkah selanjutnya, saya melakukannya pada belokan terakhir. Dalam "bagian" pertama 
kami menunjukkan akurasi ekstrim dalam substitusi, seperti yang Anda lihat, konstanta keluar dari bisnis, dan batas integrasi diganti ke dalam produk. Tindakan ini ditandai dengan tanda kurung siku. Nah, integral dari "bagian" kedua dari formula sudah diketahui oleh Anda dari tugas pelatihan ;-)
Dan yang paling penting - konsentrasi perhatian tertinggi!
3) Kami mencari koefisien Fourier ketiga:
Relatif dari integral sebelumnya diperoleh, yang juga terintegrasi oleh bagian:
Contoh ini sedikit lebih rumit, saya akan mengomentari langkah selanjutnya langkah demi langkah: 
(1) Seluruh ekspresi diapit dalam tanda kurung besar.. Saya tidak ingin terlihat membosankan, mereka terlalu sering kehilangan konstanta.
(2) Dalam hal ini, saya segera memperluas kurung besar itu. Perhatian khusus kami mengabdikan untuk "bagian" pertama: asap konstan di sela-sela dan tidak berpartisipasi dalam mengganti batas integrasi ( dan ) ke dalam produk . Mengingat kekacauan catatan, sekali lagi disarankan untuk menyorot tindakan ini dalam tanda kurung siku. Dengan "potongan" kedua 
semuanya lebih sederhana: di sini fraksi muncul setelah membuka tanda kurung besar, dan konstanta - sebagai hasil dari pengintegrasian integral yang sudah dikenal ;-)
(3) Dalam kurung siku, kami melakukan transformasi, dan dalam integral kanan, kami mengganti batas-batas integrasi.
(4) Kami mengeluarkan "flasher" dari tanda kurung: , setelah itu kami membuka tanda kurung bagian dalam: .
(5) Kami membatalkan 1 dan -1 dalam tanda kurung, kami membuat penyederhanaan akhir.
Akhirnya ditemukan ketiga koefisien Fourier: 
Substitusikan ke dalam rumus 
:
Jangan lupa dibelah dua. Pada langkah terakhir, konstanta ("minus dua"), yang tidak bergantung pada "en", dikeluarkan dari jumlah.
Dengan demikian, kami memperoleh perluasan fungsi dalam deret Fourier pada interval: 
Mari kita pelajari pertanyaan tentang kekonvergenan deret Fourier. Saya akan menjelaskan teori secara khusus Teorema Dirichlet, secara harfiah "di jari", jadi jika Anda membutuhkan formulasi yang ketat, silakan merujuk ke buku teks tentang kalkulus (misalnya, volume ke-2 Bohan; atau volume ke-3 Fichtenholtz, tetapi lebih sulit di dalamnya).
Pada tugas bagian kedua, diperlukan untuk menggambar grafik, grafik jumlah seri dan grafik jumlah parsial.
Grafik fungsinya adalah biasa garis lurus pada pesawat, yang digambar dengan garis putus-putus hitam: 
Kami berurusan dengan jumlah seri. Seperti yang Anda ketahui, deret fungsional konvergen ke fungsi. Dalam kasus kami, deret Fourier yang dibangun 
untuk setiap nilai "x" konvergen ke fungsi yang ditunjukkan dalam warna merah. Fungsi ini tunduk pada istirahat dari jenis pertama dalam poin , tetapi juga didefinisikan di dalamnya (titik merah pada gambar)
Dengan demikian: 
. Sangat mudah untuk melihat bahwa itu sangat berbeda dari fungsi aslinya , itulah sebabnya dalam notasi 
tilde digunakan sebagai pengganti tanda sama dengan.
Mari kita pelajari suatu algoritma yang dengannya mudah untuk membangun jumlah deret.
Pada interval pusat, deret Fourier konvergen ke fungsi itu sendiri (segmen merah pusat bertepatan dengan garis putus-putus hitam dari fungsi linier).
Sekarang mari kita bicara sedikit tentang sifat ekspansi trigonometri yang dipertimbangkan. Deret Fourier 
hanya mencakup fungsi periodik (konstanta, sinus, dan kosinus), jadi jumlah deretnya 
juga merupakan fungsi periodik.
Apa artinya ini dalam contoh khusus kita? Dan ini berarti jumlah dari deret 
–tentu periodik dan segmen merah dari interval harus berulang tak terhingga di kiri dan kanan.
Saya pikir sekarang arti dari frasa "masa pembusukan" akhirnya menjadi jelas. Sederhananya, setiap kali situasi berulang lagi dan lagi.
Dalam praktiknya, biasanya cukup untuk menggambarkan tiga periode dekomposisi, seperti yang dilakukan dalam gambar. Nah, dan lebih banyak "tunggul" dari periode tetangga - untuk memperjelas bahwa grafik berlanjut.
Yang menarik adalah titik diskontinuitas jenis pertama. Pada titik-titik seperti itu, deret Fourier konvergen ke nilai-nilai yang terisolasi, yang terletak persis di tengah "lompatan" diskontinuitas (titik merah pada gambar). Bagaimana cara mencari ordinat titik-titik tersebut? Pertama, mari kita cari ordinat "lantai atas": untuk ini, kami menghitung nilai fungsi di titik paling kanan dari periode ekspansi pusat: . Untuk menghitung ordinat "lantai bawah", cara termudah adalah dengan mengambil nilai paling kiri dari periode yang sama: 
. Oordinat nilai rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari jumlah "atas dan bawah": . Bagus adalah kenyataan bahwa saat membuat gambar, Anda akan segera melihat apakah bagian tengah dihitung dengan benar atau salah.
Mari kita membangun jumlah parsial dari seri dan pada saat yang sama mengulangi arti dari istilah "konvergensi". Motifnya diketahui dari pelajaran tentang jumlah deret bilangan. Mari kita uraikan kekayaan kita secara rinci:
Untuk menjumlahkan sebagian, Anda perlu menuliskan nol + dua suku lagi dari deret tersebut. Yaitu,
Dalam gambar, grafik fungsi ditampilkan dalam warna hijau, dan, seperti yang Anda lihat, ia membungkus jumlah total dengan cukup rapat. Jika kita mempertimbangkan jumlah parsial dari lima suku deret tersebut, maka grafik fungsi ini akan mendekati garis merah lebih akurat, jika ada seratus suku, maka "ular hijau" akan benar-benar bergabung dengan segmen merah, dll. Dengan demikian, deret Fourier konvergen ke jumlahnya.
Sangat menarik untuk dicatat bahwa setiap jumlah parsial adalah fungsi kontinu, tetapi jumlah total deret tersebut masih diskontinyu.
Dalam praktiknya, tidak jarang membangun graf penjumlahan parsial. Bagaimana cara melakukannya? Dalam kasus kami, perlu untuk mempertimbangkan fungsi pada segmen, menghitung nilainya di ujung segmen dan pada titik perantara (semakin banyak titik yang Anda pertimbangkan, semakin akurat grafiknya). Kemudian Anda harus menandai titik-titik ini pada gambar dan dengan hati-hati menggambar grafik pada periode , dan kemudian "menirunya" ke dalam interval yang berdekatan. Bagaimana lagi? Lagi pula, aproksimasi juga merupakan fungsi periodik ... ... grafiknya entah bagaimana mengingatkan saya pada irama jantung yang seimbang pada tampilan perangkat medis.
Tentu saja, sangat tidak nyaman untuk melakukan konstruksi, karena Anda harus sangat berhati-hati, menjaga akurasi tidak kurang dari setengah milimeter. Namun, saya akan menyenangkan pembaca yang bertentangan dengan menggambar - dalam tugas "nyata", jauh dari selalu diperlukan untuk melakukan gambar, di suatu tempat dalam 50% kasus diperlukan untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier dan itu dia.
Setelah menyelesaikan gambar, kami menyelesaikan tugas:
Menjawab: 
Dalam banyak tugas, fungsinya menderita pecahnya jenis pertama tepat pada periode dekomposisi:
Contoh 3
Perluas dalam deret Fourier fungsi yang diberikan pada interval . Gambarlah grafik fungsi dan jumlah total deret tersebut.
Fungsi yang diusulkan diberikan sepotong-sepotong (dan, ingatlah, hanya di segmen itu) dan bertahan pecahnya jenis pertama pada titik. Apakah mungkin untuk menghitung koefisien Fourier? Tidak masalah. Bagian kiri dan kanan fungsi tersebut dapat diintegralkan pada intervalnya, sehingga integral pada masing-masing dari ketiga rumus tersebut harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua integral. Mari kita lihat, misalnya, bagaimana ini dilakukan untuk koefisien nol:
Integral kedua ternyata sama dengan nol, yang mengurangi pekerjaan, tetapi ini tidak selalu terjadi.
Dua koefisien Fourier lainnya ditulis dengan cara yang sama.
Bagaimana cara menampilkan jumlah seri? Di interval kiri kami menggambar segmen garis lurus, dan pada interval - segmen garis lurus (sorot bagian sumbu dengan huruf tebal-tebal). Artinya, pada interval ekspansi, jumlah deret bertepatan dengan fungsi di mana-mana, kecuali untuk tiga titik "buruk". Pada titik putus fungsi, deret Fourier konvergen ke nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah "lompatan" jeda. Tidak sulit untuk melihatnya secara lisan: batas kiri:, batas kanan: 
dan, jelas, ordinat titik tengahnya adalah 0,5.
Karena periodisitas jumlah , gambar harus "dikalikan" dengan periode tetangga, khususnya, menggambarkan hal yang sama pada interval dan . Dalam hal ini, pada titik-titik, deret Fourier konvergen ke nilai median.
Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini.
Cobalah untuk menyelesaikan masalah ini sendiri. Contoh perkiraan desain dan gambar yang bagus di akhir pelajaran.
Perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier pada periode sembarang
Untuk periode ekspansi sewenang-wenang, di mana "el" adalah bilangan positif apa pun, rumus untuk deret Fourier dan koefisien Fourier berbeda dalam argumen sinus dan kosinus yang sedikit rumit:
Jika , maka kita mendapatkan rumus untuk interval yang kita mulai.
Algoritme dan prinsip untuk memecahkan masalah dipertahankan sepenuhnya, tetapi kompleksitas teknis perhitungan meningkat:
Contoh 4
Perluas fungsinya menjadi deret Fourier dan plot jumlahnya. 
Keputusan: sebenarnya, analog dari Contoh No. 3 dengan pecahnya jenis pertama pada titik. Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode . Fungsi didefinisikan hanya pada setengah interval , tetapi ini tidak mengubah banyak hal - penting bahwa kedua bagian fungsi dapat diintegrasikan.
Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier:
Karena fungsi tidak kontinu pada titik asal, setiap koefisien Fourier jelas harus ditulis sebagai jumlah dari dua integral:
1) Saya akan menulis integral pertama sedetail mungkin:
2) Dengan hati-hati mengintip ke permukaan bulan:
Integral kedua mengambil bagian:
Apa yang harus Anda perhatikan setelah kami membuka kelanjutan solusi dengan tanda bintang?
Pertama, kita tidak kehilangan integral pertama 
, dimana kita langsung eksekusi membawa di bawah tanda diferensial. Kedua, jangan lupa konstanta naas sebelum tanda kurung besar dan jangan bingung dengan tanda-tanda saat menggunakan rumus 
. Kurung besar, bagaimanapun, lebih mudah untuk membuka segera di langkah berikutnya.
Sisanya adalah masalah teknik, hanya pengalaman yang tidak memadai dalam memecahkan integral dapat menyebabkan kesulitan.
Ya, tidak sia-sia rekan-rekan terkemuka matematikawan Prancis Fourier marah - beraninya dia menguraikan fungsi menjadi deret trigonometri?! =) Omong-omong, mungkin semua orang tertarik dengan arti praktis dari tugas yang dimaksud. Fourier sendiri mengerjakan model matematika konduksi panas, dan kemudian rangkaian yang dinamai menurut namanya mulai digunakan untuk mempelajari banyak proses periodik, yang tampaknya tidak terlihat di dunia luar. Sekarang, omong-omong, saya mendapati diri saya berpikir bahwa bukan kebetulan saya membandingkan grafik contoh kedua dengan ritme jantung periodik. Yang berminat bisa berkenalan dengan aplikasi praktisnya Transformasi Fourier dari sumber pihak ketiga. ... Meskipun lebih baik tidak - itu akan dikenang sebagai Cinta Pertama =)
3) Mengingat tautan lemah yang disebutkan berulang kali, kami menangani koefisien ketiga:
Mengintegrasikan berdasarkan bagian: 
Kami mengganti koefisien Fourier yang ditemukan ke dalam rumus 
, jangan lupa untuk membagi koefisien nol menjadi dua:
Mari kita plot jumlah seri. Mari kita ulangi prosedur secara singkat: pada interval kita membuat garis, dan pada interval - garis. Dengan nilai nol "x", kami menempatkan titik di tengah "lompatan" celah dan "meniru" grafik untuk periode yang berdekatan: 
Di "persimpangan" periode, jumlahnya juga akan sama dengan titik tengah "lompatan" celah.
Siap. Saya mengingatkan Anda bahwa fungsi itu sendiri didefinisikan secara kondisional hanya pada setengah interval dan, jelas, bertepatan dengan jumlah deret pada interval
Menjawab:
Kadang-kadang fungsi yang diberikan sepotong-sepotong juga kontinu pada periode ekspansi. Contoh paling sederhana: 
. Keputusan (Lihat Bohan Jilid 2) sama seperti pada dua contoh sebelumnya: meskipun kontinuitas fungsi pada titik , masing-masing koefisien Fourier dinyatakan sebagai jumlah dari dua integral.
Dalam interval perpisahan titik diskontinuitas jenis pertama dan / atau titik "persimpangan" dari grafik mungkin lebih (dua, tiga, dan secara umum sembarang terakhir jumlah). Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada setiap bagian, maka fungsi tersebut juga dapat diperluas dalam deret Fourier. Tapi dari pengalaman praktis, saya tidak ingat kaleng seperti itu. Namun demikian, ada tugas yang lebih sulit daripada yang hanya dipertimbangkan, dan di akhir artikel untuk semua orang ada tautan ke seri Fourier dengan kompleksitas yang meningkat.
Sementara itu, mari kita bersantai, bersandar di kursi kita dan merenungkan hamparan bintang yang tak berujung:
Contoh 5
Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval dan plot jumlah deret tersebut.
Dalam tugas ini, fungsi kontinu pada interval setengah dekomposisi, yang menyederhanakan solusi. Semuanya sangat mirip dengan Contoh #2. Anda tidak bisa lepas dari pesawat luar angkasa - Anda harus memutuskan =) Contoh desain di akhir pelajaran, jadwal terlampir.
Perluasan deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil
Dengan fungsi genap dan ganjil, proses penyelesaian masalah terasa disederhanakan. Dan itulah kenapa. Mari kita kembali ke perluasan fungsi dalam deret Fourier pada periode "dua pi" 
dan periode sewenang-wenang "dua bir" 
.
Mari kita asumsikan bahwa fungsi kita genap. Suku umum deret tersebut, seperti yang Anda lihat, mengandung cosinus genap dan sinus ganjil. Dan jika kita menguraikan fungsi BAHKAN, lalu mengapa kita membutuhkan sinus ganjil?! Mari kita atur ulang koefisien yang tidak perlu: .
Dengan demikian, fungsi genap berkembang menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus:
Sejauh integral dari fungsi genap atas segmen integrasi simetris terhadap nol dapat digandakan, maka sisa koefisien Fourier juga disederhanakan.
Untuk rentang: 
Untuk interval arbitrer: 
Contoh buku teks yang ditemukan di hampir semua buku teks kalkulus mencakup perluasan fungsi genap 
. Selain itu, mereka telah berulang kali bertemu dalam praktik pribadi saya:
Contoh 6
Diberikan sebuah fungsi. Diperlukan:
1) perluas fungsinya menjadi deret Fourier dengan periode , di mana adalah bilangan positif arbitrer;
2) tuliskan ekspansi pada interval , bangun fungsi dan buat grafik jumlah total deret tersebut .
Keputusan: di paragraf pertama, diusulkan untuk menyelesaikan masalah secara umum, dan ini sangat nyaman! Akan ada kebutuhan - ganti saja nilai Anda.
1) Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode . Dalam tindakan selanjutnya, khususnya selama integrasi, "el" dianggap sebagai konstanta
Fungsinya genap, yang berarti bahwa ia berkembang menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus: 
.
Koefisien Fourier dicari dengan rumus 
. Perhatikan keunggulan absolut mereka. Pertama, integrasi dilakukan pada segmen positif dari ekspansi, yang berarti bahwa kami dengan aman menyingkirkan modul 
, mempertimbangkan hanya "x" dari dua bagian. Dan, kedua, integrasi terasa disederhanakan.
Dua: 
Mengintegrasikan berdasarkan bagian:
Dengan demikian:
, sedangkan konstanta , yang tidak bergantung pada "en", dikeluarkan dari jumlah.
Menjawab: 
2) Kami menulis ekspansi pada interval, untuk ini kami mengganti nilai yang diinginkan dari setengah periode ke dalam rumus umum:
deret dalam cosinus dan sinus dari banyak busur, yaitu deret bentuk
atau dalam bentuk kompleks
di mana sebuah k,b k atau, masing-masing, c k ditelepon koefisien T. r.
Untuk pertama kalinya T. r. bertemu di L. Euler (L. Euler, 1744). Dia mendapat ekspansi
Semua R abad ke 18 Sehubungan dengan studi masalah getaran bebas seutas tali, muncul pertanyaan tentang kemungkinan merepresentasikan fungsi yang mencirikan posisi awal dawai sebagai jumlah T. r. Pertanyaan ini menyebabkan perdebatan sengit yang berlangsung selama beberapa dekade, analis terbaik saat itu - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Perselisihan terkait dengan isi konsep fungsi. Pada saat itu, fungsi biasanya dikaitkan dengan analitiknya. tugas, yang mengarah pada pertimbangan hanya analitik atau fungsi analitik sepotong-sepotong. Dan di sini menjadi perlu untuk fungsi yang grafiknya merupakan kurva yang cukup arbitrer untuk membangun T. r. yang mewakili fungsi ini. Tetapi signifikansi perselisihan ini lebih besar. Faktanya, mereka berdiskusi atau muncul sehubungan dengan pertanyaan yang berkaitan dengan banyak konsep dan ide matematika yang penting secara fundamental. analisis secara umum - representasi fungsi dengan deret Taylor dan analitis. kelanjutan fungsi, penggunaan deret divergen, permutasi limit, sistem persamaan tak hingga, interpolasi fungsi dengan polinomial, dll.
Dan kedepannya, seperti pada periode awal ini, teori T. r. berfungsi sebagai sumber ide-ide baru dalam matematika. Pertanyaan yang menimbulkan kontroversi di kalangan matematikawan di abad ke-18 diselesaikan pada tahun 1807 oleh J. Fourier, yang menunjukkan formula untuk menghitung koefisien T. r. (1), yang harus. mewakili pada fungsi f(x):
dan menerapkannya dalam memecahkan masalah konduksi panas. Rumus (2) disebut rumus Fourier, meskipun ditemukan sebelumnya oleh A. Clairaut (1754), dan L. Euler (1777) menemukannya menggunakan integrasi suku demi suku. T. r. (1), koefisien yang ditentukan oleh rumus (2), disebut. dekat fungsi Fourier f, dan angka a k , b k- Koefisien Fourier.
Sifat hasil yang diperoleh tergantung pada bagaimana representasi suatu fungsi dipahami sebagai deret, bagaimana integral dalam rumus (2) dipahami. Pandangan modern tentang teori sungai T. diperoleh setelah munculnya integral Lebesgue.
Teori T. r. kondisional dapat dibagi menjadi dua bagian besar - teori seri Fourier, di mana diasumsikan bahwa deret (1) adalah deret Fourier dari fungsi tertentu, dan teori T. R. umum, di mana asumsi seperti itu tidak dibuat. Di bawah ini adalah hasil utama yang diperoleh dalam teori umum T. r. (dalam hal ini, ukuran himpunan dan keterukuran fungsi dipahami menurut Lebesgue).
Sistematika pertama penelitian T. r., di mana tidak diasumsikan bahwa deret ini adalah deret Fourier, adalah disertasi V. Riemann (V. Riemann, 1853). Oleh karena itu, teori umum T. r. ditelepon kadang-kadang teori termodinamika Riemannian.
Untuk mempelajari sifat-sifat sembarang T. r. (1) dengan koefisien yang cenderung nol B. Riemann menganggap fungsi kontinu F(x) ,
yang merupakan jumlah dari deret yang konvergen beraturan
diperoleh setelah integrasi suku demi suku dua kali lipat dari deret (1). Jika deret (1) konvergen di suatu titik x ke suatu bilangan s, maka pada titik ini simetris kedua ada dan sama dengan s. turunan dari fungsi F:
maka ini mengarah pada penjumlahan deret (1) yang dihasilkan oleh faktor-faktor 
ditelepon dengan metode penjumlahan Riemann. Menggunakan fungsi F, prinsip lokalisasi Riemann dirumuskan, yang menyatakan bahwa perilaku deret (1) pada titik x hanya bergantung pada perilaku fungsi F dalam lingkungan kecil sembarang dari titik ini.
Jika T.r. konvergen pada seperangkat ukuran positif, maka koefisiennya cenderung nol (teorema Cantor-Lebesgue). Kecenderungan ke nol koefisien T. r. juga mengikuti dari konvergensinya pada satu set kategori kedua (W. Young, W. Young, 1909).
Salah satu masalah utama dari teori termodinamika umum adalah masalah merepresentasikan fungsi arbitrer T. r. Memperkuat hasil N. N. Luzin (1915) tentang representasi fungsi T. R. oleh Abel-Poisson dan Riemann metode summable hampir di mana-mana, D. E. Men'shov membuktikan (1940) teorema berikut, yang berkaitan dengan kasus terpenting ketika representasi fungsi f dipahami sebagai konvergensi T. r. ke f(x) hampir di mana-mana. Untuk setiap fungsi f yang dapat diukur dan terbatas hampir di semua tempat, terdapat T. R. yang konvergen padanya hampir di semua tempat (Teorema Men'shov). Perlu dicatat bahwa bahkan jika fungsi f dapat diintegralkan, maka, secara umum, kita tidak dapat mengambil deret Fourier dari fungsi f sebagai deret seperti itu, karena ada deret Fourier yang divergen di mana-mana.
Teorema Men'shov memungkinkan penyempurnaan berikut: jika suatu fungsi f dapat diukur dan berhingga hampir di semua tempat, maka terdapat fungsi kontinu sedemikian rupa sehingga 
hampir di mana-mana dan deret Fourier terdiferensiasi suku demi suku dari fungsi j konvergen ke f(x) hampir di semua tempat (N. K. Bari, 1952).
Tidak diketahui (1984) apakah mungkin untuk menghilangkan kondisi hingga untuk fungsi f hampir di semua tempat dalam teorema Men'shov. Secara khusus, tidak diketahui (1984) apakah T. r. berkumpul hampir di mana-mana
Oleh karena itu, masalah representasi fungsi yang dapat mengambil nilai tak terbatas pada serangkaian ukuran positif dipertimbangkan untuk kasus di mana konvergensi hampir di mana-mana digantikan oleh persyaratan yang lebih lemah, konvergensi dalam ukuran. Konvergensi dalam ukuran ke fungsi yang dapat mengambil nilai tak terbatas didefinisikan sebagai berikut: urutan jumlah parsial T. p. s n(x) konvergen dalam ukuran ke fungsi f(x) .
jika di mana f n(x) konvergen ke / (x) hampir di mana-mana, dan barisan konvergen ke nol dalam ukuran. Dalam pengaturan ini, masalah representasi fungsi telah diselesaikan sampai akhir: untuk setiap fungsi terukur, terdapat T. R. yang konvergen dengannya dalam ukuran (D. E. Men'shov, 1948).
Banyak penelitian telah dikhususkan untuk masalah keunikan T. r.: Dapatkah dua T. yang berbeda menyimpang ke fungsi yang sama? dalam formulasi yang berbeda: jika T. r. konvergen ke nol, apakah berarti semua koefisien deret tersebut sama dengan nol. Di sini satu dapat berarti konvergensi di semua titik atau di semua titik di luar himpunan tertentu. Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini pada dasarnya tergantung pada sifat-sifat himpunan di luar yang konvergensinya tidak diasumsikan.
Terminologi berikut telah ditetapkan. Banyak nama. kumpulan keunikan atau U- ditetapkan jika, dari konvergensi T. r. ke nol di mana-mana, kecuali, mungkin, untuk titik-titik himpunan E, maka semua koefisien deret ini sama dengan nol. Jika tidak, Enaz. M-set.
Seperti yang ditunjukkan G. Cantor (1872), himpunan kosong, seperti halnya himpunan berhingga, adalah himpunan-U. Himpunan yang dapat dihitung arbitrer juga merupakan himpunan-U (W. Jung, 1909). Di sisi lain, setiap set ukuran positif adalah M-set.
Keberadaan M-set ukuran nol didirikan oleh D. E. Men'shov (1916), yang membangun contoh pertama dari himpunan sempurna dengan sifat-sifat ini. Hasil ini sangat penting dalam masalah keunikan. Ini mengikuti dari keberadaan M-set ukuran nol bahwa, dalam representasi fungsi T. R. yang konvergen hampir di mana-mana, deret ini didefinisikan selalu ambigu.
Himpunan sempurna juga dapat berupa himpunan-U (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Karakteristik yang sangat halus dari set ukuran nol memainkan peran penting dalam masalah keunikan. Pertanyaan umum tentang klasifikasi himpunan ukuran nol pada M- dan U-set tetap (1984) terbuka. Itu tidak terpecahkan bahkan untuk set yang sempurna.
Masalah berikut berkaitan dengan masalah keunikan. Jika T.r. konvergen ke fungsi 
lalu apakah deret ini harus deret Fourier dari fungsi /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) memberikan jawaban positif untuk pertanyaan ini jika f dapat diintegralkan dalam pengertian Riemann dan deret tersebut konvergen ke f(x) di semua titik. Dari hasil III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) menyiratkan bahwa jawabannya positif bahkan jika deret tersebut konvergen di mana-mana kecuali untuk himpunan titik yang dapat dihitung dan jumlahnya berhingga.
Jika a T. p konvergen mutlak di suatu titik x 0, maka titik-titik konvergensi deret ini, serta titik-titik konvergensi absolutnya, terletak simetris terhadap titik x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Berdasarkan Denjoy - teorema Luzin dari konvergensi mutlak T. r. (1) pada himpunan ukuran positif, deret tersebut konvergen 
dan, akibatnya, konvergensi mutlak deret (1) untuk semua X. Properti ini juga dimiliki oleh set kategori kedua, serta set ukuran nol tertentu.
Survei ini hanya mencakup satu dimensi T. r. (satu). Ada hasil terpisah terkait dengan T. p. umum. dari beberapa variabel. Di sini, dalam banyak kasus, masih perlu menemukan pernyataan masalah alami.
menyala.: Bari N. K., Deret Trigonometri, M., 1961; Sigmund A., deret trigonometri, trans. dari bahasa Inggris, jilid 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Deret integral dan trigonometri, M.-L., 1951; Riemann B., Karya, terjemahan. dari Jerman, M.-L., 1948, hal. 225-61.
S.A. Telyakovsky.
- - jumlah trigonometri akhir, - ekspresi bentuk dengan koefisien real a 0, dan k, bk, k=l, . . ., n; nomor n dipanggil. pesan T.0)...
Ensiklopedia Matematika
- - deret dalam cosinus dan sinus dari banyak busur, yaitu deret dalam bentuk atau dalam bentuk kompleks di mana ak, bk atau, masing-masing, ck disebut. koefisien T. r. Untuk pertama kalinya T. r. bertemu di L. Euler ...
Ensiklopedia Matematika
- - titik triangulasi, - titik geodetik, yang posisinya dipermukaan bumi ditentukan dengan metode triangulasi ...
Kamus besar ensiklopedis politeknik
- - lihat Triangulasi...
Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Euphron
- - dalam geodesi, struktur yang dipasang di tanah pada titik-titik trigonometri. Th. terdiri dari dua bagian - eksternal dan bawah tanah ...
Ensiklopedia Besar Soviet
- - deret fungsional dari bentuk, yaitu deret yang terletak di sepanjang sinus dan kosinus dari banyak busur. Seringkali T. r. ditulis dalam bentuk kompleks.
Biarkan deret trigonometri diberikan
Untuk mengetahui apakah konvergen, wajar untuk mempertimbangkan deret bilangan
(2)
yang utama, seperti yang mereka katakan, seri (1). Anggotanya melebihi, masing-masing, nilai absolut dari anggota seri (1):
.
Oleh karena itu, jika deret (2) konvergen, maka deret (1) konvergen untuk semua dan, terlebih lagi, secara mutlak dan seragam (lihat buku kami Higher Mathematics. Kalkulus Diferensial dan Integral, 9.8, Teorema 1). Tetapi deret (1) dapat konvergen tanpa deret (2) konvergen. Lagi pula, istilahnya untuk setiap tanda perubahan (berosilasi) beberapa kali saat berubah, dan mungkin berubah menjadi konvergen karena kompensasi istilah positif dengan yang negatif. Dalam teori umum deret, terdapat tanda-tanda konvergensi deret sejenis. Tes tersebut adalah tes Dirichlet dan Abel (lihat 9.9, Teorema 3 dan 4 dari buku yang sama), yang disesuaikan dengan baik untuk mempelajari deret trigonometri.
Dengan satu atau lain cara, jika ditetapkan bahwa deret (1) konvergen beraturan, maka dari fakta bahwa suku-sukunya adalah fungsi kontinu periode , maka jumlah
(3)
adalah fungsi periode kontinu (lihat 9.8, Teorema 2 dan 9.9, Teorema 2 dari buku yang sama) dan deret (3) dapat diintegrasikan suku demi suku.
Seri (3) dapat dibedakan secara formal dengan:
(4)
dan menyusun seri jurusannya
(5)
Sekali lagi, jika deret (5) konvergen, maka deret (4) konvergen seragam. Selain itu, berdasarkan teorema terkenal dari teori deret konvergen beraturan, maka jumlah deret (4) adalah turunan dari jumlah deret (3), yaitu.
.
Secara umum, jika deret
konvergen untuk beberapa bilangan asli, maka deret (3) secara hukum dapat dibedakan suku demi suku.
Namun, kita harus ingat bahwa ada kemungkinan bahwa deret (3) dapat secara sah dibedakan sekali lagi (yaitu, kali).
Contoh. Cari tahu berapa kali deret dapat dibedakan suku demi suku!
angka sebuah, b n atau c n disebut koefisien T. r.
T. r. memainkan peran yang sangat penting dalam matematika dan aplikasinya. Pertama-tama, T. r. menyediakan sarana untuk menggambarkan dan mempelajari fungsi dan karena itu merupakan salah satu perangkat utama teori fungsi. Selanjutnya, radiasi termal secara alami muncul dalam penyelesaian sejumlah masalah fisika matematika, di antaranya kita dapat mencatat masalah getaran tali, masalah perambatan panas, dan lain-lain.Terakhir, teori radiasi termal . berkontribusi pada klarifikasi konsep dasar analisis matematika (fungsi, integral), menghidupkan sejumlah bagian penting matematika (teori integral Fourier, teori fungsi hampir periodik), berfungsi sebagai salah satu titik awal untuk pengembangan teori himpunan, teori fungsi variabel riil dan analisis fungsional, dan mengawali analisis harmonik umum.
Euler menunjukkan hubungan antara deret pangkat dan T. R.: jika 
c n nyata, maka
yaitu:
Lit.: Luzin N. N., Deret integral dan trigonometri, M. - L., 1951; Barin. K., Deret trigonometri, Moskow, 1961; Sigmund A., deret trigonometri, trans. dari bahasa Inggris, edisi ke-2, vol. 1-2, M., 1965.
Ensiklopedia Besar Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
Lihat apa itu "Deret Trigonometri" di kamus lain:
Deret cosinus dan sinus dari banyak busur, yaitu deret dalam bentuk atau dalam bentuk kompleks di mana ak, bk atau, masing-masing, ck disebut. koefisien T. r. Untuk pertama kalinya T. r. bertemu di L. Euler (L. Euler, 1744). Dia menerima ekspansi di ser. abad ke 18 sehubungan dengan…… Ensiklopedia Matematika
Deret bentuk dimana koefisien a0, a1, b1, a2, b2 ... tidak bergantung pada variabel x ... Kamus Ensiklopedis Besar
Dalam matematika, deret trigonometri adalah deret apa pun dalam bentuk apa pun: Deret trigonometri disebut deret Fourier dari suatu fungsi jika koefisien dan didefinisikan sebagai berikut ... Wikipedia
Deret bentuk dimana koefisien a0, a1, b1, a2, b2, ... tidak bergantung pada variabel x. * * * DERI TRIGONOMETRI DERI TRIGONOMETRI, suatu deret yang bentuknya dimana koefisien a0, a1, b1, a2, b2 ... tidak bergantung pada variabel x ... kamus ensiklopedis
Deret Fourier trigonometri adalah representasi dari fungsi arbitrer dengan periode dalam bentuk deret (1) atau, menggunakan notasi kompleks, dalam bentuk deret: . Isi ... Wikipedia
deret Fourier trigonometri tak terhingga- - Topik Telekomunikasi, konsep dasar EN Fourier series ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis
Deret tipe Seri tipe (1) K. Weierstrass memperkenalkan pada tahun 1872 sebuah fungsi tak terdiferensiasikan di mana pun. J. Hadamard pada tahun 1892 menerapkan seri (1), menyebutnya lakunar, pada studi analitik. kelanjutan fungsi. sistematis… Ensiklopedia Matematika
Ke deret deret Deret ini berturut-turut adalah bagian real dan imajiner dari deret di z=eix. Rumus jumlah parsial konjugasi fungsi j(x) ke deret Fourier trigonometri. seri di mana adalah kernel konjugat Dirichlet. Jika f(x) adalah fungsi dari variasi terbatas... ... Ensiklopedia Matematika
Menambahkan Istilah Deret Fourier ... Wikipedia
I adalah jumlah tak hingga, misalnya, dalam bentuk u1 + u2 + u3 + ... + un + ... atau, singkatnya, Salah satu contoh paling sederhana dari R., yang sudah ditemukan dalam matematika dasar, adalah tak hingga jumlah berkurang ... ... Ensiklopedia Besar Soviet
Kata pengantar
Pada bagian ini, kita akan mempertimbangkan representasi sinyal periodik menggunakan deret Fourier. Deret Fourier adalah dasar dari teori analisis spektral, karena, seperti yang akan kita lihat nanti, transformasi Fourier dari sinyal non-periodik dapat diperoleh sebagai transisi batas dari deret Fourier dengan periode pengulangan yang tak terbatas. Akibatnya, sifat-sifat deret Fourier juga berlaku untuk transformasi Fourier dari sinyal non-periodik.Kami akan mempertimbangkan ekspresi untuk deret Fourier dalam bentuk trigonometri dan kompleks, dan juga memperhatikan kondisi Dirichlet untuk konvergensi deret Fourier. Selain itu, kita akan membahas secara rinci penjelasan konsep seperti frekuensi negatif dari spektrum sinyal, yang sering kali menyebabkan kesulitan ketika mempelajari teori analisis spektral.
sinyal periodik. Deret Trigonometri Fourier
Biarkan ada sinyal periodik waktu kontinu , yang berulang dengan periode c, yaitu. , di mana adalah bilangan bulat arbitrer.Sebagai contoh, Gambar 1 menunjukkan urutan pulsa persegi panjang durasi c, berulang dengan periode c.
Gambar 1. Urutan periodik
Pulsa persegi panjang
Dari mata kuliah analisis matematis diketahui bahwa sistem fungsi trigonometri
dengan beberapa frekuensi , di mana rad/s adalah bilangan bulat, membentuk dasar ortonormal untuk perluasan sinyal periodik dengan periode yang memenuhi kondisi Dirichlet .
Kondisi Dirichlet untuk konvergensi deret Fourier mensyaratkan bahwa sinyal periodik diberikan pada segmen , sementara memenuhi kondisi berikut:
Misalnya, fungsi periodik 
tidak memenuhi kondisi Dirichlet, karena fungsi memiliki diskontinuitas jenis kedua dan mengambil nilai tak terbatas untuk , Dimana adalah bilangan bulat arbitrer. Jadi fungsinya tidak dapat diwakili oleh deret Fourier. Anda juga dapat memberikan contoh fungsi 
, yang dibatasi, tetapi juga tidak memenuhi kondisi Dirichlet, karena memiliki jumlah titik ekstrem yang tak terbatas saat mendekati nol. Grafik Fungsi ditunjukkan pada gambar 2.
Gambar 2. Grafik fungsi :
A - dua periode pengulangan; b - di lingkungan sekitar
Gambar 2a menunjukkan dua periode pengulangan fungsi , dan pada Gambar 2b adalah daerah di sekitar . Dapat dilihat bahwa ketika mendekati nol, frekuensi osilasi meningkat tak terhingga, dan fungsi seperti itu tidak dapat diwakili oleh deret Fourier, karena tidak monoton sepotong-potong.
Perlu dicatat bahwa dalam praktiknya tidak ada sinyal dengan nilai arus atau tegangan yang tak terbatas. Fungsi dengan jumlah tipe ekstrem yang tak terbatas juga tidak ditemukan dalam masalah terapan. Semua sinyal periodik nyata memenuhi kondisi Dirichlet dan dapat diwakili oleh deret Fourier trigonometri tak terbatas dalam bentuk:
 |
Dalam ekspresi (2), koefisien menentukan komponen konstan dari sinyal periodik .
Di semua titik di mana sinyal kontinu, deret Fourier (2) konvergen ke nilai sinyal yang diberikan, dan pada titik diskontinuitas jenis pertama, ke nilai rata-rata , di mana dan adalah batas kiri dan kanan dari titik diskontinuitas, masing-masing.
Dari analisis matematis juga diketahui bahwa penggunaan deret Fourier terpotong yang hanya berisi suku pertama dan bukan jumlah tak terhingga mengarah pada representasi perkiraan sinyal:
yang memastikan kesalahan kuadrat rata-rata minimum. Gambar 3 mengilustrasikan aproksimasi rangkaian gelombang persegi periodik dan sinyal gigi gergaji periodik menggunakan jumlah suku deret Fourier yang berbeda.
Gambar 3. Perkiraan sinyal dengan deret Fourier terpotong:
A - pulsa persegi panjang; b - sinyal gigi gergaji
Deret Fourier dalam bentuk kompleks
Dalam paragraf sebelumnya, kami mempertimbangkan deret Fourier trigonometri untuk memperluas sinyal periodik arbitrer yang memenuhi kondisi Dirichlet. Dengan menggunakan rumus Euler, kita dapat menunjukkan: |
Maka deret Fourier trigonometri (2) dengan memperhatikan (4):
Dengan demikian, sinyal periodik dapat diwakili oleh jumlah komponen DC dan eksponen kompleks yang berputar pada frekuensi dengan koefisien untuk frekuensi positif , dan untuk eksponen kompleks yang berputar pada frekuensi negatif.
Pertimbangkan koefisien untuk eksponen kompleks yang berputar dengan frekuensi positif:
Ekspresi (6) dan (7) bertepatan, selain itu, komponen konstan juga dapat ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks pada frekuensi nol:
Jadi, (5), dengan memperhitungkan (6)-(8), dapat direpresentasikan sebagai jumlah tunggal ketika diindeks dari minus tak terhingga hingga tak terhingga:
 |
Ekspresi (9) adalah deret Fourier dalam bentuk kompleks. Koefisien deret Fourier dalam bentuk kompleks berhubungan dengan koefisien dan deret dalam bentuk trigonometri, dan didefinisikan untuk frekuensi positif dan negatif. Indeks dalam notasi frekuensi menunjukkan jumlah harmonik diskrit, dengan indeks negatif sesuai dengan frekuensi negatif.
Ini mengikuti dari ekspresi (2) bahwa untuk sinyal nyata koefisien dan deret (2) juga nyata. Namun, (9) memberikan sinyal nyata , satu set koefisien konjugasi kompleks , terkait dengan frekuensi positif dan negatif .
Beberapa penjelasan untuk deret Fourier dalam bentuk kompleks
Pada bagian sebelumnya, kita telah melakukan transisi dari deret Fourier trigonometri (2) ke deret Fourier dalam bentuk kompleks (9). Akibatnya, alih-alih memperluas sinyal periodik berdasarkan fungsi trigonometri nyata, kami mendapatkan ekspansi berdasarkan eksponensial kompleks, dengan koefisien kompleks, dan bahkan frekuensi negatif muncul dalam ekspansi! Karena masalah ini sering disalahpahami, perlu untuk memberikan beberapa klarifikasi.Pertama, bekerja dengan eksponen kompleks dalam banyak kasus lebih mudah daripada bekerja dengan fungsi trigonometri. Misalnya, ketika mengalikan dan membagi eksponen kompleks, cukup hanya dengan menambahkan (mengurangi) eksponen, sedangkan rumus untuk mengalikan dan membagi fungsi trigonometri lebih rumit.
Membedakan dan mengintegrasikan eksponen, bahkan yang kompleks, juga lebih mudah daripada fungsi trigonometri, yang terus berubah ketika membedakan dan mengintegrasikan (sinus menjadi kosinus dan sebaliknya).
Jika sinyal periodik dan nyata, maka deret Fourier trigonometri (2) tampak lebih ilustratif, karena semua koefisien ekspansi , dan tetap nyata. Namun, kita sering harus berurusan dengan sinyal periodik yang kompleks (misalnya, modulasi dan demodulasi menggunakan representasi kuadratur dari amplop kompleks). Dalam hal ini, ketika menggunakan deret Fourier trigonometri, semua koefisien , dan ekspansi (2) akan menjadi kompleks, sedangkan ketika menggunakan deret Fourier dalam bentuk kompleks (9), koefisien ekspansi yang sama akan digunakan untuk sinyal input nyata dan kompleks. .
Dan akhirnya, perlu untuk memikirkan penjelasan tentang frekuensi negatif yang muncul di (9). Pertanyaan ini sering disalahpahami. Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak menemukan frekuensi negatif. Misalnya, kami tidak pernah menyetel radio kami ke frekuensi negatif. Mari kita simak analogi dari mekanika berikut ini. Misalkan ada pendulum pegas mekanis yang berosilasi bebas dengan frekuensi tertentu . Dapatkah bandul berosilasi dengan frekuensi negatif? Tentu saja tidak. Sama seperti tidak ada stasiun radio yang mengudara pada frekuensi negatif, demikian pula frekuensi bandul tidak boleh negatif. Tetapi pendulum pegas adalah objek satu dimensi (pendulum berosilasi sepanjang satu garis lurus).
Kami juga dapat memberikan analogi lain dari mekanika: roda berputar pada frekuensi . Roda, tidak seperti pendulum, berputar, mis. sebuah titik pada permukaan roda bergerak dalam bidang datar, dan tidak hanya berosilasi sepanjang satu garis lurus. Oleh karena itu, untuk mengatur putaran roda secara unik, tidak cukup hanya mengatur frekuensi putaran, karena perlu juga mengatur arah putaran. Inilah tepatnya yang dapat kita gunakan untuk tanda frekuensi.
Jadi, jika roda berputar dengan frekuensi rad/s berlawanan arah jarum jam, maka kita anggap roda berputar dengan frekuensi positif, dan jika berputar searah jarum jam, maka frekuensi putarannya akan negatif. Jadi, untuk menentukan rotasi, frekuensi negatif tidak lagi menjadi omong kosong dan menunjukkan arah rotasi.
Dan sekarang hal terpenting yang harus kita pahami. Osilasi objek satu dimensi (misalnya, pendulum pegas) dapat direpresentasikan sebagai jumlah rotasi dari dua vektor yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Osilasi pendulum pegas
Sebagai jumlah rotasi dua vektor
di pesawat yang kompleks
Bandul berosilasi sepanjang sumbu nyata dari bidang kompleks dengan frekuensi sesuai dengan hukum harmonik. Pergerakan bandul ditunjukkan sebagai vektor horizontal. Vektor atas berputar pada bidang kompleks pada frekuensi positif (berlawanan arah jarum jam), dan vektor bawah berputar pada frekuensi negatif (searah jarum jam). Gambar 4 dengan jelas menggambarkan hubungan terkenal dari kursus trigonometri:
Dengan demikian, deret Fourier dalam bentuk kompleks (9) mewakili sinyal satu dimensi periodik sebagai jumlah vektor pada bidang kompleks yang berputar dengan frekuensi positif dan negatif. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa dalam kasus sinyal nyata, menurut (9), koefisien ekspansi untuk frekuensi negatif adalah konjugat kompleks dengan koefisien yang sesuai untuk frekuensi positif . Dalam kasus sinyal kompleks, sifat koefisien ini tidak berlaku karena fakta bahwa dan juga kompleks.
Spektrum sinyal periodik
Deret Fourier dalam bentuk kompleks adalah dekomposisi sinyal periodik menjadi jumlah eksponensial kompleks yang berputar dengan frekuensi positif dan negatif yang merupakan kelipatan rad/s dengan koefisien kompleks yang sesuai , yang menentukan spektrum sinyal . Koefisien kompleks dapat diwakili oleh rumus Euler sebagai , Dimana adalah spektrum amplitudo dan adalah spektrum fase.Karena sinyal periodik diperluas menjadi seri hanya pada grid frekuensi tetap, spektrum sinyal periodik adalah garis (diskrit).
Gambar 5. Spektrum Barisan Berkala
Pulsa persegi panjang:
A adalah spektrum amplitudo; b - spektrum fase
Gambar 5 menunjukkan contoh spektrum amplitudo dan fase dari urutan periodik pulsa persegi panjang (lihat Gambar 1) untuk c, durasi pulsa c, dan amplitudo pulsa B.
Spektrum amplitudo dari sinyal asli asli adalah simetris terhadap frekuensi nol, sedangkan spektrum fase antisimetris. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa nilai-nilai spektrum fase dan 
berkorespondensi dengan titik yang sama pada bidang kompleks.
Dapat disimpulkan bahwa semua koefisien ekspansi dari sinyal yang direduksi adalah murni nyata, dan spektrum fase 
sesuai dengan koefisien negatif.
Perhatikan bahwa dimensi spektrum amplitudo bertepatan dengan dimensi sinyal. Jika menggambarkan perubahan tegangan dari waktu ke waktu, diukur dalam volt, maka amplitudo harmonik spektrum juga akan memiliki dimensi volt.
temuan
Pada bagian ini, kami mempertimbangkan representasi sinyal periodik menggunakan deret Fourier. Ekspresi untuk deret Fourier dalam bentuk trigonometri dan kompleks diberikan. Kami memberikan perhatian khusus pada kondisi Dirichlet untuk konvergensi deret Fourier dan memberikan contoh fungsi divergen deret Fourier.Kami membahas secara rinci ekspresi deret Fourier dalam bentuk kompleks dan menunjukkan bahwa sinyal periodik, baik nyata maupun kompleks, diwakili oleh serangkaian eksponensial kompleks dengan frekuensi positif dan negatif. Dalam hal ini, koefisien ekspansi juga kompleks dan mencirikan amplitudo dan spektrum fase dari sinyal periodik.
Pada bagian selanjutnya, kita akan mempertimbangkan sifat-sifat spektrum sinyal periodik secara lebih rinci.
