Sistem persamaan dengan pecahan. Menyelesaikan persamaan dengan variabel penyebut pecahan

Sejauh ini, kita hanya menyelesaikan persamaan bilangan bulat yang berkaitan dengan yang tidak diketahui, yaitu persamaan yang penyebutnya (jika ada) tidak mengandung yang tidak diketahui.

Seringkali Anda harus menyelesaikan persamaan yang penyebutnya tidak diketahui: persamaan seperti itu disebut pecahan.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita mengalikan kedua sisinya dengan polinomial yang mengandung yang tidak diketahui. Apakah persamaan baru akan setara dengan yang diberikan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari selesaikan persamaan ini.

Mengalikan kedua ruas dengan , kita peroleh:

Memecahkan persamaan derajat pertama ini, kami menemukan:

Jadi, persamaan (2) memiliki akar tunggal

Substitusikan ke persamaan (1), kita peroleh:

Oleh karena itu, juga merupakan akar dari persamaan (1).

Persamaan (1) tidak memiliki akar lain. Dalam contoh kita, ini dapat dilihat, misalnya, dari fakta bahwa dalam persamaan (1)

Bagaimana pembagi yang tidak diketahui harus sama dengan dividen 1 dibagi dengan hasil bagi 2, mis.

Jadi, persamaan (1) dan (2) memiliki akar tunggal, sehingga keduanya ekuivalen.

2. Sekarang kita selesaikan persamaan berikut:

Penyebut umum paling sederhana: ; kalikan semua suku persamaan dengan itu:

Setelah reduksi kita peroleh:

Mari kita perluas tanda kurung:

Membawa istilah yang sama, kami memiliki:

Memecahkan persamaan ini, kami menemukan:

Substitusi ke persamaan (1), kita peroleh:

Di sisi kiri, kami menerima ekspresi yang tidak masuk akal.

Oleh karena itu, akar persamaan (1) bukan. Ini menyiratkan bahwa persamaan (1) dan tidak setara.

Dalam hal ini, kita katakan bahwa persamaan (1) telah memperoleh akar asing.

Mari kita bandingkan solusi persamaan (1) dengan solusi persamaan yang kita bahas sebelumnya (lihat 51). Dalam menyelesaikan persamaan ini, kami harus melakukan dua operasi yang belum pernah terlihat sebelumnya: pertama, kami mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang mengandung yang tidak diketahui (penyebut umum), dan, kedua, kami mengurangi pecahan aljabar dengan faktor yang mengandung yang tidak diketahui.

Membandingkan Persamaan (1) dengan Persamaan (2), kita melihat bahwa tidak semua nilai x yang valid untuk Persamaan (2) berlaku untuk Persamaan (1).

Angka 1 dan 3 bukanlah nilai yang dapat diterima dari yang tidak diketahui untuk persamaan (1), dan sebagai hasil dari transformasi, mereka menjadi dapat diterima untuk persamaan (2). Salah satu dari angka-angka ini ternyata menjadi solusi untuk persamaan (2), tetapi, tentu saja, itu tidak bisa menjadi solusi untuk persamaan (1). Persamaan (1) tidak memiliki solusi.

Contoh ini menunjukkan bahwa ketika mengalikan kedua bagian persamaan dengan faktor yang tidak diketahui, dan ketika mengurangi pecahan aljabar, dapat diperoleh persamaan yang tidak setara dengan yang diberikan, yaitu: akar asing dapat muncul.

Oleh karena itu kami menarik kesimpulan berikut. Saat menyelesaikan persamaan yang berisi penyebut yang tidak diketahui, akar yang dihasilkan harus diperiksa dengan substitusi ke dalam persamaan asli. Akar asing harus dibuang.

Persamaan yang mengandung variabel penyebut dapat diselesaikan dengan dua cara:

Mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama

Menggunakan sifat dasar proporsi

Terlepas dari metode yang dipilih, perlu, setelah menemukan akar persamaan, untuk memilih dari nilai yang ditemukan nilai yang dapat diterima, yaitu yang tidak mengubah penyebut menjadi $0$.

1 cara. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Contoh 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Keputusan:

1. Pindahkan pecahan dari ruas kanan persamaan ke kiri

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Untuk melakukan ini dengan benar, kita ingat bahwa ketika memindahkan elemen ke bagian lain dari persamaan, tanda di depan ekspresi berubah menjadi kebalikannya. Jadi, jika di sebelah kanan ada tanda “+” sebelum pecahan, maka di sebelah kiri akan ada tanda “-” di depannya, lalu di sebelah kiri kita dapatkan selisih pecahan.

2. Sekarang kita perhatikan bahwa pecahan memiliki penyebut yang berbeda, yang berarti bahwa untuk membuat perbedaan, perlu untuk membawa pecahan ke penyebut yang sama. Penyebut yang sama akan menjadi produk dari polinomial dalam penyebut dari pecahan asli: $(2x-1)(x+3)$

Untuk mendapatkan ekspresi yang identik, pembilang dan penyebut pecahan pertama harus dikalikan dengan polinomial $(x+3)$, dan yang kedua dengan polinomial $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Mari kita lakukan transformasi pembilang pecahan pertama - kita akan mengalikan polinomial. Ingatlah bahwa untuk ini perlu mengalikan suku pertama dari polinomial pertama, mengalikan dengan setiap suku dari polinomial kedua, kemudian mengalikan suku kedua dari polinomial pertama dengan setiap suku dari polinomial kedua dan menjumlahkan hasilnya

\[\kiri(2x+3\kanan)\kiri(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Kami menyajikan istilah serupa dalam ekspresi yang dihasilkan

\[\kiri(2x+3\kanan)\kiri(x+3\kanan)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Lakukan transformasi serupa dalam pembilang pecahan kedua - kita akan mengalikan polinomial

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Maka persamaan akan berbentuk:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Sekarang pecahan dengan penyebut yang sama, sehingga Anda dapat mengurangi. Ingatlah bahwa ketika mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama dari pembilang dari pecahan pertama, pembilang dari pecahan kedua harus dikurangi, sehingga penyebutnya tetap sama

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Mari kita ubah ekspresi dalam pembilangnya. Untuk membuka tanda kurung yang didahului tanda “-”, semua tanda di depan istilah dalam tanda kurung harus dibalik

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Kami hadir seperti istilah

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Maka pecahan akan berbentuk

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Sebuah pecahan sama dengan $0$ jika pembilangnya adalah 0. Oleh karena itu, kita menyamakan pembilang pecahan menjadi $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Selesaikan persamaan linearnya:

4. Mari kita contoh akarnya. Ini berarti bahwa perlu untuk memeriksa apakah penyebut pecahan asli berubah menjadi $0$ ketika akarnya ditemukan.

Kami menetapkan kondisi bahwa penyebutnya tidak sama dengan $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Ini berarti bahwa semua nilai variabel diperbolehkan, kecuali $-3$ dan $0,5$.

Akar yang kami temukan adalah nilai yang valid, sehingga dapat dianggap sebagai akar persamaan dengan aman. Jika akar yang ditemukan bukan nilai yang valid, maka akar tersebut akan menjadi asing dan, tentu saja, tidak akan disertakan dalam jawaban.

Menjawab:$-0,2.$

Sekarang kita dapat menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan yang berisi variabel penyebutnya

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki penyebut variabel

Pindahkan semua elemen dari ruas kanan persamaan ke ruas kiri. Untuk mendapatkan persamaan yang identik, perlu untuk mengubah semua tanda di depan ekspresi di sisi kanan ke yang berlawanan

Jika di sisi kiri kita mendapatkan ekspresi dengan penyebut yang berbeda, maka kita bawa ke persamaan yang sama menggunakan properti utama pecahan. Lakukan transformasi menggunakan transformasi identik dan dapatkan pecahan akhir yang sama dengan $0$.

Samakan pembilangnya dengan $0$ dan temukan akar dari persamaan yang dihasilkan.

Mari kita contoh akarnya, mis. temukan nilai variabel yang valid yang tidak mengubah penyebut menjadi $0$.

2 jalan. Menggunakan sifat dasar proporsi

Sifat utama dari suatu proporsi adalah bahwa produk dari suku-suku ekstrim dari proporsi sama dengan produk dari suku-suku tengah.

Contoh 2

Kami menggunakan properti ini untuk menyelesaikan tugas ini

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Mari kita cari dan samakan hasil kali anggota ekstrem dan anggota tengah dari proporsi.

$\kiri(2x+3\kanan)\cdot(\ x+3)=\kiri(x-5\kanan)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan akar-akar aslinya

2. Mari kita cari nilai yang dapat diterima dari suatu variabel.

Dari solusi sebelumnya (cara pertama) kami telah menemukan bahwa nilai apa pun diizinkan kecuali $-3$ dan $0,5$.

Kemudian, setelah menetapkan bahwa akar yang ditemukan adalah nilai yang valid, kami menemukan bahwa $-0,2$ akan menjadi akarnya.

"Penyelesaian persamaan rasional pecahan"

Tujuan Pelajaran:

tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat bahwa pecahan sama dengan nol; untuk mengajarkan solusi persamaan rasional fraksional sesuai dengan algoritma; memeriksa tingkat asimilasi topik dengan melakukan tes kerja.

Mengembangkan:

pengembangan kemampuan untuk beroperasi dengan benar dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berpikir logis; pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan, dan generalisasi; pengembangan inisiatif, kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ; pengembangan berpikir kritis; pengembangan keterampilan riset.

Pengasuhan:

pendidikan minat kognitif dalam subjek; pendidikan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan; pendidikan kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Persamaan ditulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang ruas kiri dan ruas kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari hari ini dalam pelajaran? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, kami membuka buku catatan dan menuliskan topik pelajaran "Solusi persamaan rasional pecahan".

2. Aktualisasi pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teoretis utama yang kita butuhkan untuk mempelajari topik baru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)

2. Disebut apakah Persamaan #1? ( Linier.) Metode untuk memecahkan persamaan linier. ( Pindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, semua angka ke kanan. Membawa istilah seperti. Temukan pengganda yang tidak diketahui).

3. Disebut apakah Persamaan #3? ( Kotak.) Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. ( Pemilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)

4. Apa yang dimaksud dengan proporsi? ( Persamaan dua hubungan.) Properti utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku-suku ekstremnya sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya.)

5. Sifat apa yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama bukan nol, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.)

6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya? (No. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan #7 dengan salah satu cara.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua dalam kasus lainnya? Bilangan apa yang merupakan akar dari persamaan rasional pecahan ini?

Sampai saat ini, siswa belum menemukan konsep akar asing, sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa ini terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru mengajukan pertanyaan yang mengarah.

Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut angka, No. 5-7 - ekspresi dengan variabel

Nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan sejati

Lakukan pemeriksaan

Saat mengerjakan tes, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar dari persamaan ini. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang menghilangkan kesalahan ini? Ya, metode ini didasarkan pada kondisi bahwa pecahan sama dengan nol.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.

2. Bawa pecahan ke penyebut yang sama.

3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

4. Memecahkan persamaan.

5. Periksa ketidaksetaraan untuk mengecualikan akar asing.

6. Tuliskan jawabannya.

Diskusi: bagaimana memformalkan solusi jika sifat dasar proporsi digunakan dan perkalian kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahan solusinya: singkirkan dari akarnya yang mengubah penyebut bersama menjadi nol).

4. Pemahaman utama dari materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih cara menyelesaikan persamaan sendiri, tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks "Aljabar 8", 2007: No. 000 (b, c, i); Nomor 000 (a, e, g). Guru mengontrol kinerja tugas, menjawab pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berkinerja buruk. Tes mandiri: Jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 adalah akar asing. Jawaban:3.

c) 2 adalah akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1; 1.5.

5. Pernyataan pekerjaan rumah.

2. Pelajari algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku catatan No. 000 (a, d, e); Nomor 000 (g, jam).

4. Coba selesaikan No. 000(a) (opsional).

6. Pemenuhan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan dilakukan pada lembaran.

Contoh pekerjaan:

A) Manakah dari persamaan yang rasional fraksional?

B. Suatu pecahan bernilai nol jika pembilangnya adalah _________ dan penyebutnya adalah __________.

Q) Apakah angka -3 akar dari Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria evaluasi tugas:

"5" diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas. Grade 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah opsional.

7. Refleksi.

Pada selebaran dengan pekerjaan mandiri, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan dapat dimengerti oleh Anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi bisa dimengerti; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional fraksional, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan ini dengan berbagai cara, menguji pengetahuan kita dengan bantuan pekerjaan mandiri pendidikan. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri di pelajaran berikutnya, di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.

Metode penyelesaian persamaan rasional pecahan apa yang menurut Anda lebih mudah, lebih mudah diakses, lebih rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang tidak boleh dilupakan? Apa "kelicikan" dari persamaan rasional fraksional?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.

Kalkulator pecahan dirancang untuk perhitungan cepat operasi dengan pecahan, ini akan membantu Anda dengan mudah menambah, mengalikan, membagi atau mengurangi pecahan.

Anak-anak sekolah modern mulai belajar pecahan sudah di kelas 5, dan setiap tahun latihan bersama mereka menjadi lebih rumit. Istilah dan kuantitas matematika yang kita pelajari di sekolah jarang berguna bagi kita di masa dewasa. Namun, pecahan, tidak seperti logaritma dan derajat, cukup umum dalam kehidupan sehari-hari (mengukur jarak, menimbang barang, dll.). Kalkulator kami dirancang untuk operasi cepat dengan pecahan.

Pertama, mari kita definisikan apa itu pecahan dan apa itu. Pecahan adalah perbandingan suatu bilangan dengan bilangan lainnya; ini adalah bilangan yang terdiri dari sejumlah pecahan dari suatu satuan.

Jenis pecahan:

Biasa
desimal
Campuran

Contoh pecahan biasa:

Nilai atas adalah pembilang, bawah adalah penyebut. Tanda hubung menunjukkan kepada kita bahwa angka teratas habis dibagi angka bawah. Alih-alih format penulisan yang serupa, saat tanda hubung horizontal, Anda dapat menulis secara berbeda. Anda dapat meletakkan garis miring, misalnya:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

desimal adalah jenis pecahan yang paling populer. Mereka terdiri dari bagian bilangan bulat dan bagian pecahan, dipisahkan oleh koma.

Contoh desimal:

0,2 atau 6,71 atau 0,125

Ini terdiri dari bilangan bulat dan bagian pecahan. Untuk mengetahui nilai pecahan ini, Anda perlu menjumlahkan bilangan bulat dan pecahannya.

Contoh pecahan campuran:

Kalkulator pecahan di situs web kami dapat dengan cepat melakukan operasi matematika apa pun dengan pecahan online:

Tambahan
Pengurangan
Perkalian
Divisi

Untuk melakukan perhitungan, Anda harus memasukkan angka di bidang dan memilih tindakan. Untuk pecahan harus diisi pembilang dan penyebutnya, bilangan bulat tidak boleh ditulis (jika pecahan biasa). Jangan lupa untuk mengklik tombol "sama".

Lebih mudah bahwa kalkulator segera menyediakan proses untuk memecahkan contoh dengan pecahan, dan bukan hanya jawaban yang sudah jadi. Berkat solusi terperinci Anda dapat menggunakan materi ini dalam memecahkan masalah sekolah dan untuk menguasai materi yang dibahas dengan lebih baik.

Anda perlu menghitung contoh:

Setelah memasukkan indikator di bidang formulir, kami mendapatkan:

Untuk membuat perhitungan independen, masukkan data dalam formulir.

Kalkulator pecahan

Masukkan dua pecahan:

		+ - * :

bagian terkait.

Persamaan adalah persamaan yang mengandung huruf yang nilainya akan dicari.

Dalam persamaan, yang tidak diketahui biasanya dilambangkan dengan huruf Latin huruf kecil. Huruf yang paling umum digunakan adalah "x" [x] dan "y" [y].

Akar persamaan- ini adalah nilai surat, di mana persamaan numerik yang benar diperoleh dari persamaan.

selesaikan persamaannya- berarti menemukan semua akarnya atau memastikan tidak ada akarnya.

Setelah menyelesaikan persamaan, kami selalu menuliskan cek setelah jawabannya.

Informasi untuk orang tua

Orang tua yang terkasih, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa di sekolah dasar dan di kelas 5, anak-anak TIDAK tahu topik "Bilangan negatif".

Oleh karena itu, mereka harus menyelesaikan persamaan hanya dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Metode untuk memecahkan persamaan untuk kelas 5 diberikan di bawah ini.

Jangan mencoba menjelaskan penyelesaian persamaan dengan memindahkan angka dan huruf dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan perubahan tanda.

Anda dapat menyegarkan kembali pengetahuan Anda tentang konsep-konsep yang berkaitan dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dalam pelajaran "Hukum aritmatika".

Memecahkan persamaan untuk penambahan dan pengurangan

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
ketentuan

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
Angka yang dikurangi

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
pengurang

Untuk menemukan suku yang tidak diketahui, kurangi suku yang diketahui dari jumlah.

Untuk menemukan minuend yang tidak diketahui, Anda perlu menambahkan pengurangan pada selisihnya.

Untuk menemukan pengurangan yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi perbedaan dari minuend.

x + 9 = 15
x = 15 9
x=6
Penyelidikan

x 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Penyelidikan

16 − 2 = 14
14 = 14

5 x = 3
x = 5 3
x=2
Penyelidikan

Memecahkan persamaan untuk perkalian dan pembagian

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
faktor

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
dividen

Bagaimana menemukan yang tidak diketahui
pembagi

Untuk menemukan faktor yang tidak diketahui, produk harus dibagi dengan faktor yang diketahui.

Untuk menemukan dividen yang tidak diketahui, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi.

Untuk menemukan pembagi yang tidak diketahui, bagilah dividen dengan hasil bagi.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Penyelidikan

y:7=2
y = 2 7
y=14
Penyelidikan

8:y=4
y=8:4
y=2
Penyelidikan

Persamaan adalah persamaan yang memuat huruf yang dicari tandanya. Solusi persamaan adalah himpunan nilai huruf yang mengubah persamaan menjadi persamaan sejati:

Ingat itu untuk menyelesaikan persamaan perlu untuk mentransfer istilah dengan yang tidak diketahui ke satu bagian dari persamaan, dan istilah numerik ke yang lain, membawa yang serupa dan mendapatkan persamaan berikut:

Dari persamaan terakhir, kita menentukan yang tidak diketahui dengan aturan: "salah satu faktornya sama dengan hasil bagi dibagi dengan faktor kedua."

Karena bilangan rasional a dan b dapat memiliki tanda yang sama dan berbeda, tanda dari yang tidak diketahui ditentukan oleh aturan pembagian bilangan rasional.

Prosedur untuk menyelesaikan persamaan linear

Persamaan linier harus disederhanakan dengan membuka tanda kurung dan melakukan tindakan tahap kedua (perkalian dan pembagian).

Pindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi tanda sama dengan, dan angka ke sisi lain dari tanda sama, menjadi identik dengan persamaan yang diberikan,

Bawa seperti ke kiri dan ke kanan tanda sama, dapatkan persamaan bentuk kapak = b.

Hitung akar persamaan (temukan yang tidak diketahui X dari kesetaraan x = b : sebuah),

Uji dengan memasukkan yang tidak diketahui ke dalam persamaan yang diberikan.

Jika kita mendapatkan identitas dalam persamaan numerik, maka persamaan tersebut diselesaikan dengan benar.

Kasus khusus untuk memecahkan persamaan

Jika sebuah persamaan diberikan oleh produk yang sama dengan 0, maka untuk menyelesaikannya kita menggunakan properti perkalian: "produk sama dengan nol jika salah satu faktor atau kedua faktor sama dengan nol."

27 (x - 3) = 0
27 tidak sama dengan 0, jadi x - 3 = 0

Contoh kedua memiliki dua solusi untuk persamaan, karena
Ini adalah persamaan derajat kedua:

Jika koefisien persamaan adalah pecahan biasa, maka pertama-tama Anda harus menghilangkan penyebutnya. Untuk ini:

Temukan penyebut yang sama;

Tentukan faktor tambahan untuk setiap suku persamaan;

Kalikan pembilang pecahan dan bilangan bulat dengan faktor tambahan dan tuliskan semua suku persamaan tanpa penyebut (penyebut yang sama dapat dibuang);

Pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke satu bagian persamaan, dan suku-suku numerik ke bagian lain dari tanda sama dengan, untuk memperoleh kesetaraan yang setara;

Bawa istilah seperti;

Sifat dasar persamaan

Di bagian mana pun dari persamaan, Anda dapat membawa suku sejenis atau membuka tanda kurung.

Suku apa pun dari persamaan dapat dipindahkan dari satu bagian persamaan ke bagian lain dengan mengubah tandanya ke bagian yang berlawanan.

Kedua ruas persamaan tersebut dapat dikalikan (dibagi) dengan bilangan yang sama kecuali 0.

Dalam contoh di atas, semua propertinya digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Bagaimana menyelesaikan persamaan dengan yang tidak diketahui dalam pecahan

Kadang-kadang persamaan linier mengambil bentuk ketika tidak dikenal muncul dalam pembilang satu atau lebih pecahan. Seperti pada persamaan di bawah ini.

Dalam kasus seperti itu, persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara.

Saya cara solusi
Mengurangi Persamaan menjadi Proporsi

Saat memecahkan persamaan menggunakan metode proporsi, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:

bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dan tambahkan sebagai pecahan aljabar (hanya satu pecahan yang tersisa di ruas kiri dan kanan);

Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan aturan proporsi.

Jadi, kembali ke persamaan kita. Di ruas kiri, kita hanya memiliki satu pecahan, jadi tidak diperlukan transformasi di dalamnya.

Kami akan bekerja dengan sisi kanan persamaan. Sederhanakan ruas kanan persamaan sehingga hanya tersisa satu pecahan. Untuk melakukan ini, ingat aturan untuk menambahkan angka dengan pecahan aljabar.

Sekarang kita menggunakan aturan proporsi dan menyelesaikan persamaan sampai akhir.

II metode solusi
Pengurangan ke persamaan linier tanpa pecahan

Perhatikan kembali persamaan di atas dan selesaikan dengan cara yang berbeda.

Kami melihat bahwa ada dua pecahan dalam persamaan "

Cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan. Solusi eksponensial persamaan dengan pecahan.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan mari kita lihat contoh. Contohnya sederhana dan ilustratif. Dengan bantuan mereka, Anda dapat memahami dengan cara yang paling mudah dipahami.
Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan sederhana x/b + c = d.

Persamaan jenis ini disebut linier, karena penyebut hanya berisi angka.

Penyelesaian dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan b, maka persamaan tersebut berbentuk x = b*(d – c), yaitu. penyebut pecahan di ruas kiri diperkecil.

Misalnya, cara menyelesaikan persamaan pecahan:
x/5+4=9
Kami mengalikan kedua bagian dengan 5. Kami mendapatkan:
x+20=45

Contoh lain di mana yang tidak diketahui ada di penyebut:

Persamaan jenis ini disebut pecahan rasional atau sederhananya pecahan.

Kami akan memecahkan persamaan pecahan dengan menghilangkan pecahan, setelah itu persamaan ini, paling sering, berubah menjadi persamaan linier atau kuadrat, yang diselesaikan dengan cara biasa. Anda hanya harus mempertimbangkan poin-poin berikut:

nilai variabel yang mengubah penyebut menjadi 0 tidak bisa menjadi akar;
Anda tidak dapat membagi atau mengalikan persamaan dengan ekspresi =0.

Di sini mulai berlaku konsep seperti area nilai yang diizinkan (ODZ) - ini adalah nilai dari akar persamaan yang persamaannya masuk akal.

Dengan demikian, memecahkan persamaan, perlu untuk menemukan akarnya, dan kemudian memeriksanya untuk memenuhi ODZ. Akar yang tidak sesuai dengan DHS kami dikeluarkan dari jawaban.

Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan pecahan:

Berdasarkan aturan di atas, x tidak mungkin = 0, yaitu. ODZ dalam hal ini: x - nilai apa pun selain nol.

Kami menghilangkan penyebut dengan mengalikan semua suku persamaan dengan x

Dan selesaikan persamaan biasa

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Mari kita selesaikan persamaan yang lebih rumit:

ODZ juga hadir di sini: x -2.

Memecahkan persamaan ini, kami tidak akan mentransfer semuanya dalam satu arah dan membawa pecahan ke penyebut yang sama. Kami segera mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi yang akan mengurangi semua penyebut sekaligus.

Untuk mengurangi penyebut, Anda perlu mengalikan ruas kiri dengan x + 2, dan ruas kanan dengan 2. Jadi, kedua ruas persamaan harus dikalikan dengan 2 (x + 2):

Ini adalah perkalian pecahan yang paling umum, yang telah kita bahas di atas.

Kami menulis persamaan yang sama, tetapi dengan cara yang sedikit berbeda.

Ruas kiri dikurangi (x + 2), dan ruas kanan dikurangi 2. Setelah dikurangi, kita mendapatkan persamaan linier biasa:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, yang sesuai dengan ODZ kami

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan tidak sesulit kelihatannya. Dalam artikel ini, kami telah menunjukkannya dengan contoh. Jika Anda mengalami kesulitan dengan cara menyelesaikan persamaan dengan pecahan, lalu berhenti berlangganan di komentar.