Di halaman ini Anda akan menemukan semua rumus trigonometri dasar yang akan membantu Anda menyelesaikan banyak latihan, sangat menyederhanakan ekspresi itu sendiri.
Rumus trigonometri adalah persamaan matematis untuk fungsi trigonometri yang valid untuk semua nilai argumen yang valid.
Rumus mengatur hubungan antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen, kotangen.
Sinus suatu sudut adalah koordinat y dari suatu titik (ordinat) pada lingkaran satuan. Kosinus suatu sudut adalah koordinat x suatu titik (absis).
Tangen dan kotangen adalah, masing-masing, rasio sinus ke cosinus dan sebaliknya.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
Dan dua yang lebih jarang digunakan - secant, cosecan. Mereka menunjukkan rasio 1 untuk cosinus dan sinus.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Dari definisi fungsi trigonometri, Anda dapat melihat tanda-tanda apa yang mereka miliki di setiap kuartal. Tanda fungsi hanya bergantung pada kuadran mana argumen tersebut berada.
Saat mengubah tanda argumen dari "+" menjadi "-", hanya fungsi kosinus yang tidak mengubah nilainya. Disebut genap. Grafiknya simetris terhadap sumbu y.
Fungsi yang tersisa (sinus, tangen, kotangen) ganjil. Ketika tanda argumen diubah dari "+" menjadi "-", nilainya juga berubah menjadi negatif. Grafik mereka simetris tentang asal.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Identitas trigonometri dasar
Identitas trigonometri dasar adalah rumus yang membentuk hubungan antara fungsi trigonometri satu sudut (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) dan yang memungkinkan Anda menemukan nilainya dari masing-masing fungsi ini melalui fungsi lain yang diketahui.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Rumus jumlah dan selisih sudut fungsi trigonometri
Rumus untuk menambah dan mengurangi argumen mengungkapkan fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dalam hal fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
Rumus sudut ganda
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Rumus Sudut Tiga
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Rumus Setengah Sudut
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Rumus argumen setengah, ganda, dan rangkap tiga mengekspresikan fungsi `sin, \cos, \tg, \ctg` dari argumen tersebut (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) dalam istilah dari argumen fungsi yang sama ini `\alpha`.
Outputnya dapat diperoleh dari grup sebelumnya (penambahan dan pengurangan argumen). Misalnya, identitas sudut ganda mudah diperoleh dengan mengganti `\beta` dengan `\alpha`.
Rumus Pengurangan
Rumus kuadrat (kubus, dll.) dari fungsi trigonometri memungkinkan Anda beralih dari 2,3, ... derajat ke fungsi trigonometri derajat pertama, tetapi banyak sudut (`\alpha, \ 3\alpha, \ ... ` atau `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri
Rumus adalah transformasi jumlah dan selisih fungsi trigonometri dari argumen yang berbeda menjadi produk.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Di sini penambahan dan pengurangan fungsi dari satu argumen diubah menjadi produk.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Rumus berikut mengubah jumlah dan selisih suatu satuan dan fungsi trigonometri menjadi hasil kali.
`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Rumus konversi fungsi
Rumus untuk mengonversi produk fungsi trigonometri dengan argumen `\alpha` dan `\beta` menjadi jumlah (selisih) argumen ini.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Substitusi trigonometri universal
Rumus-rumus ini menyatakan fungsi trigonometri dalam istilah garis singgung setengah sudut.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \di Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \di Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Cast formula
Rumus reduksi dapat diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat fungsi trigonometri seperti periodisitas, simetri, sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Mereka memungkinkan fungsi sudut arbitrer dikonversi ke fungsi yang sudutnya antara 0 dan 90 derajat.
Untuk sudut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) atau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` `sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` `sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Ekspresi beberapa fungsi trigonometri dalam hal yang lain
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha)))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \ \alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Trigonometri secara harfiah diterjemahkan sebagai "pengukuran segitiga". Itu mulai dipelajari di sekolah, dan berlanjut secara lebih rinci di universitas. Oleh karena itu, diperlukan rumus-rumus dasar trigonometri, mulai dari kelas 10, maupun untuk lulus ujian. Mereka menunjukkan koneksi antar fungsi, dan karena ada banyak koneksi ini, ada beberapa rumus itu sendiri. Mengingat semuanya tidak mudah, dan tidak perlu - jika perlu, semuanya dapat disimpulkan.
Rumus trigonometri digunakan dalam kalkulus integral, serta dalam penyederhanaan trigonometri, perhitungan, dan transformasi.
Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!
Persamaan yang mengandung yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri (`sin x, cos x, tg x` atau `ctg x`) disebut persamaan trigonometri, dan kami akan mempertimbangkan rumusnya lebih lanjut.
Persamaan paling sederhana adalah `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, di mana `x` adalah sudut yang akan dicari, `a` adalah bilangan apa pun. Mari kita tulis rumus akar untuk masing-masingnya.
1. Persamaan `sin x=a`.
Untuk `|a|>1` tidak memiliki solusi.
Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi tak terhingga.
Rumus akar: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Persamaan `cos x=a`
Untuk `|a|>1` - seperti dalam kasus sinus, tidak ada solusi di antara bilangan real.
Dengan `|a| \leq 1` memiliki jumlah solusi tak terhingga.
Rumus akar: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Kasus khusus untuk sinus dan kosinus dalam grafik. 
3. Persamaan `tg x=a`
Memiliki jumlah solusi tak terbatas untuk setiap nilai `a`.
Rumus akar: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Persamaan `ctg x=a`
Ini juga memiliki jumlah solusi yang tak terbatas untuk setiap nilai `a`.
Rumus akar: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Rumus untuk akar persamaan trigonometri dalam tabel
Untuk sinus: 
Untuk kosinus: 
Untuk tangen dan kotangen: 
Rumus untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung fungsi trigonometri terbalik:
Metode untuk memecahkan persamaan trigonometri
Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap:
- gunakan untuk mengubahnya menjadi yang paling sederhana;
- selesaikan persamaan sederhana yang dihasilkan menggunakan rumus di atas untuk akar dan tabel.
Mari kita pertimbangkan metode utama solusi menggunakan contoh.
metode aljabar.
Dalam metode ini, penggantian variabel dan substitusinya menjadi kesetaraan dilakukan.
Contoh. Selesaikan persamaan: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
buat pengganti: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, lalu `2y^2-3y+1=0`,
kami menemukan akarnya: `y_1=1, y_2=1/2`, dari mana dua kasus berikut:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Jawaban: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorisasi.
Contoh. Selesaikan persamaan: `sin x+cos x=1`.
Keputusan. Pindah ke kiri semua suku persamaan: `sin x+cos x-1=0`. Menggunakan , kami mengubah dan memfaktorkan sisi kiri:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Jawaban: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reduksi menjadi persamaan homogen
Pertama, Anda perlu membawa persamaan trigonometri ini ke salah satu dari dua bentuk:
`a sin x+b cos x=0` (persamaan homogen derajat pertama) atau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (persamaan homogen derajat kedua).
Kemudian bagi kedua bagian dengan `cos x \ne 0` untuk kasus pertama, dan dengan `cos^2 x \ne 0` untuk yang kedua. Kami mendapatkan persamaan untuk `tg x`: `a tg x+b=0` dan `a tg^2 x + b tg x +c =0`, yang harus diselesaikan menggunakan metode yang diketahui.
Contoh. Selesaikan persamaan: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Keputusan. Mari kita tulis ruas kanan sebagai `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` `sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Ini adalah persamaan trigonometri homogen derajat kedua, membagi sisi kiri dan kanannya dengan `cos^2 x \ne 0`, kita mendapatkan:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Mari kita perkenalkan penggantian `tg x=t`, sebagai hasilnya `t^2 + t - 2=0`. Akar persamaan ini adalah `t_1=-2` dan `t_2=1`. Kemudian:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Menjawab. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Pergi ke Setengah Sudut
Contoh. Selesaikan persamaan: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Keputusan. Menerapkan rumus sudut ganda, hasilnya adalah: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Menerapkan metode aljabar yang dijelaskan di atas, kami memperoleh:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \di Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \di Z`.
Menjawab. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Pengenalan sudut bantu
Dalam persamaan trigonometri `a sin x + b cos x =c`, di mana a,b,c adalah koefisien dan x adalah variabel, kita bagi kedua bagian dengan `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(kuadrat (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(kuadrat (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(a^2 +b^2))`.
Koefisien di ruas kiri memiliki sifat sinus dan cosinus, yaitu jumlah kuadratnya adalah 1 dan modulusnya paling banyak 1. Mari kita nyatakan sebagai berikut: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , kemudian:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Mari kita lihat lebih dekat contoh berikut:
Contoh. Selesaikan persamaan: `3 sin x+4 cos x=2`.
Keputusan. Membagi kedua ruas persamaan dengan `sqrt (3^2+4^2)`, kita memperoleh:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Menunjukkan `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Karena `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, kami mengambil `\varphi=arcsin 4/5` sebagai sudut bantu. Kemudian kita tulis persamaan kita dalam bentuk:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Menerapkan rumus untuk jumlah sudut untuk sinus, kami menulis persamaan kami dalam bentuk berikut:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Menjawab. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Persamaan trigonometri pecahan-rasional
Ini adalah persamaan dengan pecahan, di pembilang dan penyebutnya ada fungsi trigonometri.
Contoh. Memecahkan persamaan. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Keputusan. Kalikan dan bagi ruas kanan persamaan dengan `(1+cos x)`. Hasilnya, kita mendapatkan:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Mengingat bahwa penyebut tidak boleh nol, kita mendapatkan `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Samakan pembilang pecahan dengan nol: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Kemudian `sin x=0` atau `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \di Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Mengingat bahwa ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, solusinya adalah `x=2\pi n, n \in Z` dan `x=\pi /2+2\pi n` , `n \di Z`.
Menjawab. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometri, dan persamaan trigonometri khususnya, digunakan di hampir semua bidang geometri, fisika, dan teknik. Pelajaran dimulai di kelas 10, selalu ada tugas untuk ujian, jadi cobalah untuk mengingat semua rumus persamaan trigonometri - mereka pasti akan berguna untuk Anda!
Namun, Anda bahkan tidak perlu menghafalnya, yang utama adalah memahami esensinya, dan dapat menyimpulkan. Ini tidak sesulit kelihatannya. Buktikan sendiri dengan menonton videonya.
Anda dapat memesan solusi terperinci untuk masalah Anda !!!
Rumus sudut ganda memungkinkan untuk menyatakan fungsi trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen) dari sudut ` 2\alpha` melalui fungsi sudut `\alpha` ini.
Daftar di bawah ini adalah rumus dasar sudut ganda yang paling umum digunakan dalam trigonometri. Ada tiga dari mereka untuk kosinus, semuanya setara dan sama pentingnya.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alfa-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Identitas berikut menyatakan semua fungsi trigonometri sudut `2\alpha` dalam bentuk fungsi tangen dan kotangen dari sudut `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Rumus untuk kosinus dan sinus dari sudut ganda berlaku untuk setiap sudut `\alfa`. Rumus untuk tangen sudut ganda berlaku untuk `\alpha` di mana `tg \ 2\alpha` didefinisikan, yaitu, untuk ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \di Z`. Demikian pula, untuk kotangen, mereka berlaku untuk `\alpha` di mana `ctg \ 2\alpha` didefinisikan, yaitu, untuk ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.
Bukti rumus sudut ganda
Semua rumus sudut rangkap diturunkan dari rumus jumlah dan selisih sudut fungsi trigonometri.
Mari kita ambil dua rumus untuk jumlah sudut sinus dan cosinus:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` and `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Ambil `\beta=\alpha`, lalu `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, mirip dengan `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, yang dan membuktikan rumus sudut ganda untuk sinus dan cosinus.
Dua persamaan lainnya untuk cosinus ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` dan `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` direduksi menjadi apa yang telah dibuktikan jika kita ganti 1 di dalamnya menjadi `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Jadi `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` dan ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Untuk membuktikan rumus tangen sudut ganda dan kotangen, kita menggunakan definisi fungsi-fungsi ini. Tulis `tg \ 2\alpha` dan `ctg \ 2\alpha` sebagai `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` dan `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Menerapkan rumus sudut ganda yang sudah terbukti untuk sinus dan kosinus, kita mendapatkan `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` dan `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\ \alpha)`.
Dalam kasus garis singgung, kita membagi pembilang dan penyebut pecahan terakhir dengan `cos^2 \alpha`, untuk kotangen, sebaliknya, dengan `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alfa)(1-tg^2\alfa)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.
Kami juga menyarankan menonton video untuk mengkonsolidasikan materi teoretis dengan lebih baik:
Contoh penggunaan rumus dalam memecahkan masalah
Rumus sudut ganda dalam banyak kasus digunakan untuk mengubah ekspresi trigonometri. Mari kita pertimbangkan beberapa kasus, bagaimana Anda dapat menerapkannya dalam praktik saat memecahkan masalah tertentu.
Contoh 1. Periksa validitas identitas sudut ganda untuk `\alpha=30^\circ`.
Keputusan. Rumus kami menggunakan dua sudut `\alpha` dan `2\alpha`. Nilai sudut pertama diberikan dalam kondisi, yang kedua akan menjadi `2\alpha=60^\circ` sesuai. Kami juga mengetahui nilai numerik untuk semua fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Mari kita tuliskan:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` dan
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Maka kita akan memiliki
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ persegi 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Yang membuktikan validitas persamaan untuk sudut yang diberikan dalam kondisi.
Contoh 2. Nyatakan `sin \frac (2\alpha)3` dalam bentuk fungsi trigonometri sudut `\frac (\alpha)6`.
Keputusan. Kami menulis sudut sinus sebagai berikut ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Kemudian, dengan menerapkan rumus sudut ganda dua kali, kita dapat menyelesaikan masalah kita.
Pertama, kita menggunakan persamaan sinus sudut ganda: `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, sekarang kita terapkan rumus untuk sinus dan cosinus lagi masing-masing. Hasilnya, kita mendapatkan:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Menjawab. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Rumus Sudut Tiga
Rumus ini, mirip dengan rumus sebelumnya, memungkinkan untuk menyatakan fungsi sudut ` 3\alpha` dalam kaitannya dengan fungsi sudut `\alpha` ini.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Anda dapat membuktikannya menggunakan persamaan jumlah dan selisih sudut, serta rumus sudut ganda yang terkenal.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
Dalam rumus yang dihasilkan, ganti `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` dengan `1-sin^2\alpha` dan dapatkan `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.
Juga untuk kosinus dari sudut rangkap tiga:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Mengganti `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` dengan `1-cos^2\alpha` dalam persamaan terakhir, kita mendapatkan `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.
Menggunakan identitas terbukti untuk sinus dan cosinus, seseorang dapat membuktikan tangen dan kotangen:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alfa)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
Untuk membuktikan rumus sudut ` 4\alpha`, Anda dapat menyatakannya sebagai ` 2 \cdot 2\alpha` dan mencoba rumus sudut ganda dua kali.
Untuk menurunkan persamaan yang serupa untuk sudut `5\alpha`, Anda dapat menuliskannya sebagai `3\alpha + 2\alpha` dan menerapkan identitas jumlah dan selisih sudut dan sudut rangkap dua dan rangkap tiga.
Demikian pula, semua rumus untuk banyak sudut lainnya diturunkan, sehingga jarang diperlukan dalam praktik.
Trigonometri, rumus trigonometri
Hubungan antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.
Dalam artikel ini, kami membuat daftar secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.
Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.
Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunannya dan contoh penerapannya, lihat artikel identitas trigonometri dasar.
Bagian atas halaman
Cast formula
Cast formula mengikuti dari sifat-sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yaitu, mereka mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda untuk beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.
Alasan untuk rumus ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel tentang rumus reduksi.
Bagian atas halaman
Rumus Tambahan
Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus-rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.
Untuk informasi selengkapnya, lihat Rumus penambahan.
Bagian atas halaman
Rumus untuk double, triple, dll. sudut
Rumus untuk double, triple, dll. sudut (juga disebut rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula tambahan.
Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dll. sudut.
Bagian atas halaman
Rumus Setengah Sudut
Rumus Setengah Sudut menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.
Derivasi dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel rumus setengah sudut.
Bagian atas halaman
Rumus Pengurangan
Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan kosinus di tingkat pertama, tetapi banyak sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi kekuatan fungsi trigonometri menjadi yang pertama.
Bagian atas halaman
Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri
Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan perbedaan sinus dan cosinus.
Untuk turunan rumus, serta contoh penerapannya, lihat artikel rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.
Bagian atas halaman
Rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus
Transisi dari produk fungsi trigonometri ke jumlah atau perbedaan dilakukan melalui rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus.
Bagian atas halaman
Substitusi trigonometri universal
Kami menyelesaikan ulasan rumus dasar trigonometri dengan rumus yang menyatakan fungsi trigonometri dalam hal garis singgung setengah sudut. Penggantian ini disebut substitusi trigonometri universal. Kemudahannya terletak pada kenyataan bahwa semua fungsi trigonometri dinyatakan dalam garis singgung setengah sudut secara rasional tanpa akar.
Untuk informasi lebih lanjut, lihat artikel substitusi trigonometri universal.
Bagian atas halaman
- Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. — M.: Pencerahan, 1993. — 351 hal.: sakit. — ISBN 5-09-004617-4.
- Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
Rumus trigonometri- ini adalah rumus paling penting dalam trigonometri, yang diperlukan untuk mengekspresikan fungsi trigonometri yang dilakukan untuk nilai argumen apa pun.
Rumus tambahan.
sin (α + ) = sin cos + sin cos
sin (α - ) \u003d sin cos - sin cos
cos (α + ) = cos cos - sin sin
cos (α - ) = cos cos + sin sin
tg (α + ) = (tg + tg ) (1 - tg tg )
tg (α - ) = (tg - tg ) (1 + tg tg )
ctg (α + ) = (ctg ctg + 1) (ctg - ctg )
ctg (α - ) = (ctg ctg - 1) ÷ (ctg + ctg )
Rumus sudut ganda.
karena 2α = cos²α — sin²α
karena 2α = 2cos²α — 1
karena 2α = 1 - 2sin²α
dosa 2α = 2sinα karenaα
tg 2α = (2tg ) (1 - tg² )
ctg 2α = (ctg²α - 1) (2ctgα )
Rumus sudut rangkap tiga.
sin3α = 3sinα - 4sin³α
karena 3α = 4cos³α — 3cosα
tg 3α = (3tgα — tg³α ) (1 - 3tg²α )
ctg 3α = (3ctg - ctg³ ) (1 - 3ctg² )
Rumus Setengah Sudut.
Formula pengecoran.
|
Fungsi / sudut dalam rad. |
/2 - |
/2 + |
3π/2 - |
3π/2 + |
2π - |
2π + |
||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Fungsi / sudut dalam ° |
90 ° - |
90 ° + |
180 ° - |
180 ° + |
270 ° - |
270 ° + |
360° - |
360° + |
Penjelasan rinci tentang formula reduksi.
Rumus trigonometri dasar.
Identitas trigonometri dasar:
sin2α+cos2α=1
Identitas ini adalah hasil penerapan teorema Pythagoras pada segitiga dalam lingkaran trigonometri satuan.
Hubungan antara cosinus dan tangen:
1/cos 2 tan 2 =1 atau detik 2 tan 2 =1.
Rumus ini merupakan konsekuensi dari identitas trigonometri dasar dan diperoleh darinya dengan membagi bagian kiri dan kanan dengan cos2α. Ini diasumsikan bahwa /2+πn,n∈Z.
Hubungan antara sinus dan kotangen:
1/sin 2 cot 2 =1 atau csc 2 cot 2 =1.
Rumus ini juga mengikuti dari identitas trigonometri dasar (diperoleh darinya dengan membagi bagian kiri dan kanan dengan dosa2α. Di sini diasumsikan bahwa n, n∈Z.
Definisi tangen:
tanα=sinα/cosα,
di mana /2+πn,n∈Z.
Pengertian kotangen:
cotα=cosα/sinα,
di mana n, n∈Z.
Konsekuensi dari definisi tangen dan kotangen:
tanα⋅ ranjang=1,
di mana n/2,n∈Z.
Definisi sekan:
detikα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z
Definisi kosekan:
cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z
Pertidaksamaan trigonometri.
Pertidaksamaan trigonometri paling sederhana:
sinx > a, sinx a, sinx< a, sinx ≤ a,
cosx > a, cosx a, cosx< a, cosx ≤ a,
tanx > a, tanx a, tanx< a, tanx ≤ a,
cotx > a, cotx a, cotx< a, cotx ≤ a.
Kuadrat fungsi trigonometri.
Rumus kubus fungsi trigonometri.
Matematika Trigonometri. Trigonometri. Rumus. Geometri. Teori
Kami telah mempertimbangkan fungsi trigonometri paling dasar (jangan tertipu, selain sinus, cosinus, tangen dan kotangen, ada banyak fungsi lainnya, tetapi lebih pada mereka nanti), tetapi untuk saat ini kami akan mempertimbangkan beberapa sifat dasar dari fungsi yang sudah dipelajari.
Fungsi trigonometri dari argumen numerik
Berapapun bilangan real t yang diambil, bilangan tersebut dapat diberikan sebuah bilangan yang didefinisikan secara unik sin(t).
Benar, aturan korespondensi agak rumit dan terdiri dari yang berikut.
Untuk menemukan nilai sin (t) dengan angka t, Anda perlu:
- posisikan lingkaran bilangan pada bidang koordinat sehingga pusat lingkaran berimpit dengan titik asal, dan titik awal A lingkaran menyentuh titik (1; 0);
- temukan titik pada lingkaran yang sesuai dengan angka t;
- temukan ordinat titik ini.
- ordinat ini adalah sin(t) yang diinginkan.
Sebenarnya, kita berbicara tentang fungsi s = sin(t), di mana t adalah sembarang bilangan real. Kita tahu cara menghitung beberapa nilai fungsi ini (misalnya, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), dll.) , kita tahu beberapa sifat-sifatnya.
Koneksi fungsi trigonometri
Seperti yang Anda, saya harap, tebak semua fungsi trigonometri saling berhubungan dan bahkan tanpa mengetahui nilai salah satunya, dapat ditemukan melalui yang lain.
Misalnya, rumus terpenting dari semua trigonometri adalah identitas trigonometri dasar:
\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]
Seperti yang Anda lihat, mengetahui nilai sinus, Anda dapat menemukan nilai cosinus, dan sebaliknya.
Rumus trigonometri
Juga rumus yang sangat umum yang menghubungkan sinus dan kosinus dengan tangen dan kotangen:
\[ \kotak (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \kotak (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]
Dari dua rumus terakhir, satu lagi identitas trigometrik dapat disimpulkan, kali ini menghubungkan tangen dan kotangen:
\[ \kotak (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]
Sekarang mari kita lihat bagaimana formula ini bekerja dalam praktik.
CONTOH 1. Sederhanakan ekspresi: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)
a) Pertama-tama, kami menulis garis singgung, menjaga persegi:
\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]
Sekarang kami memperkenalkan semuanya dengan penyebut yang sama, dan kami mendapatkan:
\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]
Dan akhirnya, seperti yang kita lihat, pembilangnya dapat direduksi menjadi satu sesuai dengan identitas trigonometri dasar, sebagai hasilnya kita mendapatkan: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]
b) Dengan kotangen, kami melakukan semua tindakan yang sama, hanya penyebut yang tidak lagi memiliki kosinus, tetapi sinus, dan jawabannya akan menjadi seperti ini:
\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]
Setelah menyelesaikan tugas ini, kami telah menurunkan dua formula yang sangat penting yang menghubungkan fungsi kami, yang juga perlu Anda ketahui seperti punggung tangan Anda:
\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]
\[ \kotak (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]
Anda harus hafal semua rumus yang disajikan dalam kerangka kerja, jika tidak, studi trigonometri lebih lanjut tanpa mereka tidak mungkin. Di masa depan akan ada lebih banyak formula dan akan ada banyak lagi, dan saya jamin Anda pasti akan mengingat semuanya untuk waktu yang lama, atau mungkin Anda tidak akan mengingatnya, tetapi SEMUA ORANG harus tahu enam bagian ini !
Tabel lengkap semua rumus reduksi trigonometri dasar dan langka.
Di sini Anda dapat menemukan rumus trigonometri dalam bentuk yang nyaman. Dan rumus pengurangan trigonometri dapat dilihat di halaman lain.
Identitas trigonometri dasar
adalah ekspresi matematika untuk fungsi trigonometri yang dieksekusi untuk setiap nilai argumen.
- sin² + cos² = 1
- tgα ctgα = 1
- tan = sin cos
- ctg = cos sin
- 1 + tan² = 1 cos²
- 1 + ctg² = 1 sin²
Rumus Tambahan
- sin (α + ) = sin cos + sin cos
- sin (α - ) \u003d sin cos - sin cos
- cos (α + ) = cos cos - sin sin
- cos (α - ) = cos cos + sin sin
- tg (α + ) = (tg + tg ) (1 - tg tg )
- tg (α - ) = (tg - tg ) (1 + tg tg )
- ctg (α + ) = (ctg ctg + 1) (ctg - ctg )
- ctg (α - ) = (ctg ctg - 1) ÷ (ctg + ctg )
https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org
Rumus sudut ganda
- cos 2α = cos² - sin²
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos 2α = 1 - 2sin²
- sin2α = 2sinα cosα
- tg 2α = (2tg ) (1 - tg² )
- ctg 2α = (ctg² - 1) (2ctg )
Rumus Sudut Tiga
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
- cos 3α = 4cos³ - 3cos
- tg 3α = (3tg - tg³ ) (1 - 3tg² )
- ctg 3α = (3ctg - ctg³ ) (1 - 3ctg² )
Rumus Pengurangan
- sin² = (1 - cos 2α) 2
- sin³ = (3sin - sin 3α) 4
- cos² = (1 + cos 2α) 2
- cos³ = (3cos + cos 3α) 4
- sin² cos² = (1 - cos 4α) 8
- sin³ cos³ = (3sin 2α - sin 6α) 32
Transisi dari produk ke jumlah
- sin cos = (sin (α + ) + sin (α - ))
- sin sin \u003d (cos (α - ) - cos (α + ))
- cos cos = (cos (α - ) + cos (α + ))
Kami telah membuat daftar beberapa rumus trigonometri, tetapi jika ada yang hilang, tulis.
Semua untuk belajar » Matematika di sekolah » Rumus trigonometri - lembar contekan
Untuk menandai halaman, tekan Ctrl+D.
Grup dengan banyak informasi berguna (berlangganan jika Anda memiliki ujian atau ujian):
Seluruh dasar abstrak, makalah, tesis dan materi pendidikan lainnya disediakan secara gratis. Dengan menggunakan materi situs, Anda mengonfirmasi bahwa Anda telah membaca perjanjian pengguna dan menyetujui semua klausulnya secara penuh.
transformasi kelompok solusi umum persamaan trigonometri dipertimbangkan secara rinci. Bagian ketiga membahas persamaan trigonometri non-standar, yang penyelesaiannya didasarkan pada pendekatan fungsional.
Semua rumus trigonometri (persamaan): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)
Bagian keempat membahas pertidaksamaan trigonometri. Metode untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dasar dibahas secara rinci, baik pada lingkaran satuan maupun ...
… sudut 1800-α= sepanjang sisi miring dan sudut lancip: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Jadi, dalam pelajaran geometri sekolah, konsep fungsi trigonometri diperkenalkan dengan cara geometri karena ketersediaannya yang lebih besar. Skema metodologi tradisional untuk mempelajari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: 1) pertama, fungsi trigonometri ditentukan untuk sudut lancip dari persegi panjang ...
… Pekerjaan Rumah 19(3,6), 20(2,4) Penetapan tujuan Memperbarui pengetahuan referensi Sifat-sifat fungsi trigonometri Rumus reduksi Materi baru Nilai fungsi trigonometri Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana Konsolidasi Memecahkan masalah Tujuan pelajaran: hari ini kita akan hitung nilai fungsi trigonometri dan selesaikan ...
... hipotesis yang dirumuskan harus menyelesaikan tugas-tugas berikut: 1. Untuk mengidentifikasi peran persamaan dan pertidaksamaan trigonometri dalam pengajaran matematika; 2. Mengembangkan metodologi pembentukan keterampilan untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, yang ditujukan untuk pengembangan representasi trigonometri; 3. Secara eksperimental memverifikasi efektivitas metodologi yang dikembangkan. Untuk solusi…
Rumus trigonometri
Rumus trigonometri
Kami hadir untuk perhatian Anda berbagai rumus yang berkaitan dengan trigonometri.
| ctg(2α) = | ctg 2 (α) - 1 2ctg(α) |
Rumus umum
- versi cetak
definisi sinus sudut (penamaan dosa (α)) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut terhadap sisi miring. Cosinus sudut (penamaan cos(α)) adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sudut terhadap sisi miring. Tangen sudut (penamaan tg(α)) adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sudut terhadap kaki yang berdekatan. Definisi ekivalen adalah perbandingan sinus suatu sudut dengan cosinus sudut yang sama, sin(α)/cos(α). Kotangen sudut (penamaan ctg(α)) adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sudut dengan sisi yang berhadapan. Definisi ekivalen adalah rasio cosinus sudut dengan sinus sudut yang sama - cos(α)/sin(α). Fungsi trigonometri lainnya: garis potong — detik(α) = 1/cos(α); kosekans cosec(α) = 1/sin(α). Catatan Kami secara khusus tidak menulis tanda * (kalikan), - di mana dua fungsi ditulis dalam satu baris, tanpa spasi, itu tersirat. Petunjuk Untuk menurunkan rumus kosinus, sinus, tangen atau kotangen dari beberapa sudut (4+), cukup dengan menuliskannya sesuai dengan rumus masing-masing. cosinus, sinus, tangen atau kotangen dari jumlah, atau direduksi ke kasus sebelumnya, direduksi menjadi rumus sudut rangkap tiga dan ganda. Tambahan Tabel turunan© siswa. Matematika (didukung oleh Branch Tree) 2009—2016
