Galaeva Ekaterina, siswa kelas 11, sekolah menengah 149, Nizhny Novgorod

Pekerjaan ini baik diterapkan dan penelitian di alam. Demi kelengkapan, pertanyaan-pertanyaan berikut dipertimbangkan:

– Bagaimana sifat-sifat suatu fungsi tercermin ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan?

– Persamaan dan ketidaksetaraan apa yang diselesaikan dengan mendefinisikan properti dari domain definisi, himpunan nilai, invarian?

– Apa algoritma penyelesaiannya?

- Tugas dengan parameter yang diusulkan dalam materi KIM dalam persiapan ujian dipertimbangkan.

Dalam karyanya, Ekaterina mengeksplorasi berbagai tugas dan mensistematisasikannya sesuai dengan penampilannya.

Unduh:

Pratinjau:

https://accounts.google.com

Teks slide:

Memecahkan solusi pertidaksamaan. Fungsi f (x) = meningkat secara monoton pada seluruh garis real, dan fungsi g (x) = menurun secara monoton di seluruh domain definisi. Oleh karena itu, pertidaksamaan f (x) > g (x) dipenuhi jika x >

Terima kasih atas perhatian Anda!

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Penerapan sifat-sifat fungsi saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan Menyelesaikan pekerjaan: Sekolah menengah Galaeva Ekaterina MBOU No. 149 distrik Moskovsky Murid kelas 11 "A" Pengawas: Fadeeva I. A. Guru matematika

Arahan utama: Mempelajari sifat-sifat suatu fungsi: kemonotonan, keterbatasan, domain definisi dan invarian Mempelajari pernyataan utama yang paling sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan, pertidaksamaan, dan sistem Memecahkan masalah dari materi KIM untuk persiapan ujian

Monotonisitas Suatu fungsi meningkat jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsi menurun jika nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Pernyataan 1. Jika fungsi y \u003d f (x) monoton, maka persamaan f (x) \u003d c memiliki paling banyak satu akar. x =2 f(x) = - menurun secara monoton, jadi tidak ada solusi lain. Jawab: x=2

Pernyataan 2. Jika fungsi y \u003d f (x) naik secara monoton, dan fungsi y \u003d g (x) turun secara monoton, maka persamaan f (x) \u003d g (x) memiliki paling banyak satu akar. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x menurun secara monoton, dan fungsi f (x) \u003d lg (x + 11) + 1 meningkat secara monoton di domain, yang berarti bahwa persamaan f (x ) = g (x) memiliki paling banyak satu akar. Dengan memilih, kami menentukan bahwa x \u003d -1. Pernyataan di atas memperkuat keunikan solusi.

a) f (x) g (x) jika dan hanya jika x (- ; x 0 ]; b) f (x) g (x) jika dan hanya jika x [x 0; +∞). Arti visual dari pernyataan ini jelas Pernyataan 3. Jika fungsi y \u003d f (x) naik monoton pada seluruh garis real, fungsi y \u003d g (x) menurun secara monoton pada seluruh garis real dan f (x 0) \u003d g (x 0), maka pernyataan berikut ini benar:

Memecahkan solusi pertidaksamaan. Fungsi f (x) = meningkat secara monoton pada seluruh garis real, dan fungsi g (x) = menurun secara monoton di seluruh domain definisi. Oleh karena itu, pertidaksamaan f (x) > g (x) dipenuhi jika x > 2. Mari kita tambahkan domain dari pertidaksamaan tersebut. Dengan demikian, kita mendapatkan sistem Jawaban: (2; 5).

Pernyataan 4. Jika fungsi y \u003d f (x) naik secara monoton, maka persamaan f (x) \u003d x dan f (f (x)) \u003d x memiliki himpunan akar yang sama, berapa pun banyaknya investasi. Konsekuensi. Jika n adalah bilangan asli, dan fungsi y \u003d f (x) meningkat secara monoton, maka persamaan f (x) \u003d x dan n kali memiliki himpunan akar yang sama.

Memecahkan persamaan. Jawaban: Keputusan. Untuk x 1, ruas kanan persamaan tidak kurang dari 1, dan ruas kiri kurang dari 1. Oleh karena itu, jika persamaan memiliki akar, maka salah satu dari mereka kurang dari 1. Untuk x 0, ruas kanan sisi persamaan adalah non-positif, dan sisi kiri adalah positif, karena fakta bahwa . Jadi, setiap akar persamaan ini termasuk dalam interval (0; 1) Mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan x, dan membagi pembilang dan penyebut ruas kiri dengan x, kita peroleh

Dimana = . Dilambangkan melalui t, di mana t 0, kita mendapatkan persamaan = t. Pertimbangkan fungsi f (t)= 1+ meningkat pada domain definisinya. Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis sebagai f (f (f (f (t))))= t , dan sesuai dengan pernyataan 4, persamaan tersebut memiliki himpunan solusi yang sama dengan persamaan f (t)= t , yaitu. persamaan 1 + = t, dari mana. Satu-satunya akar positif dari persamaan kuadrat ini adalah . Jadi, di mana, yaitu , atau. Menjawab:

Pernyataan 1. Jika maks f (x) = c dan min g (x) = c, maka persamaan f (x) = g (x) memiliki himpunan penyelesaian yang sama dengan sistem Batasan nilai maksimum ruas kiri adalah 1 dan nilai minimum di ruas kanan 1 , yang berarti bahwa solusi persamaan dapat direduksi menjadi sistem persamaan: , dari persamaan kedua kita menemukan kandidat yang mungkin x=0 , dan kita pastikan bahwa itu adalah penyelesaian persamaan pertama. Jawab: x=1 .

Memecahkan persamaan Solusi. Karena sin3x≤1 dan cos4x≤1, ruas kiri persamaan ini tidak melebihi 7. Dapat sama dengan 7 jika dan hanya jika dimana k , n Z . Tetap untuk menentukan apakah ada bilangan bulat k dan n yang sistem yang terakhir memiliki solusi. Jawaban: Z

Dalam masalah dengan x dan parameter a yang tidak diketahui, domain definisi dipahami sebagai himpunan semua pasangan bilangan terurut (x ; a), yang masing-masing sedemikian rupa sehingga setelah mensubstitusi nilai x dan a yang sesuai ke dalam semua relasi termasuk dalam masalah, mereka akan ditentukan. Contoh 1. Untuk setiap nilai parameter a, selesaikan solusi pertidaksamaan. Mari kita cari domain definisi pertidaksamaan ini. Dari mana jelas bahwa sistem tidak memiliki solusi. Ini berarti bahwa domain pertidaksamaan tidak mengandung pasangan bilangan x dan a, dan oleh karena itu pertidaksamaan tidak memiliki solusi. Lingkup Jawaban:

Invarian, yaitu invarian dari persamaan atau pertidaksamaan sehubungan dengan penggantian variabel dengan beberapa ekspresi aljabar variabel ini. Contoh paling sederhana dari invarian adalah paritas: jika adalah fungsi genap, maka persamaan tersebut invarian pada perubahan x dan – x, karena = 0.

Temukan akar persamaan. Keputusan. Perhatikan bahwa pasangan adalah invarian di bawah penggantian. Mengganti dalam kesetaraan, kita dapatkan. Mengalikan kedua bagian persamaan ini dengan 2 dan mengurangi suku persamaan dengan suku dari persamaan yang dihasilkan, kita menemukan 3, dari mana. Sekarang tinggal menyelesaikan persamaan, dari mana akar persamaan adalah angka. Menjawab: .

Temukan semua nilai a untuk masing-masing persamaan yang memiliki lebih dari tiga solusi berbeda. Memecahkan masalah dengan parameter properti Monotonisitas

|x|= positif X= |x|= Agar dua akar ada, pembilangnya harus positif. Oleh karena itu, Ketika akar persamaan pertama dan kedua bertepatan, yang tidak memenuhi persyaratan kondisi: adanya lebih dari tiga akar. Menjawab: .

Temukan semua nilai a untuk setiap persamaan yang memiliki dua akar. Mari kita ubah persamaan ke bentuk DAN pertimbangkan fungsi f(x)= terdefinisi dan kontinu pada seluruh garis real. Grafik fungsi ini berupa garis putus-putus yang terdiri dari ruas-ruas garis dan sinar-sinar yang masing-masing ruasnya merupakan bagian dari garis lurus berbentuk y= kt+l . f(x)= Untuk perluasan modul ekspresi pertama, k tidak melebihi 8, jadi kenaikan dan penurunan fungsi f(x) akan bergantung pada perluasan modul kedua. Di x, f(x) akan berkurang, dan di x, itu akan meningkat. Artinya, pada x=3 fungsi akan mengambil nilai terbesar. Agar persamaan memiliki dua akar, perlu bahwa f(3) sifat Monotonisitas

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a Jawaban: a

Temukan semua nilai parameter a, yang masing-masingnya, untuk setiap nilai riil x, pertidaksamaan terpenuhi Mari kita tulis ulang pertidaksamaan dalam bentuk, perkenalkan variabel baru t = dan pertimbangkan fungsi f (t) = , didefinisikan dan kontinu pada seluruh garis nyata. Grafik fungsi ini berupa garis putus-putus yang terdiri dari ruas-ruas garis dan sinar-sinar yang masing-masing ruasnya merupakan bagian dari suatu garis lurus, dimana

Karena, maka t [-1; satu]. Karena penurunan monoton dari fungsi y = f (t), cukup untuk memeriksa tepi kiri segmen ini. Z.A benar, artinya hanya mungkin jika bilangan u dan v bertanda sama atau salah satunya sama dengan nol. , = () () 0. Memfaktorkan trinomial kuadrat, kita memperoleh pertidaksamaan (, dari mana kita menemukan bahwa a (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞).Jawaban: (-∞ ; -1]U(2)U)